資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1.2 全等三角形七大題型（一課一講）
【同步培優】
題型一：判斷命題的真假
【經典例題1】下面的語句中，哪個不是命題（ ）
A．任何一個三角形一定有一個角是直角
B．對頂角相等
C．如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行
D．過直線m外一點A作m的平行線
【變式訓練1-1】下列語句中，不是命題的是（ ）
A．鈍角大于直角
B．三個角對應相等的兩個三角形全等
C．過點A作直線l的垂線，垂足為B
D．若一個三角形的三邊a，b，c滿足，那么該三角形是直角三角形
【變式訓練1-2】下列命題中：垂線段最短；相等的角是對頂角；如果兩個角是同位角，那么這兩個角相等；過一點有且只有一條直線與已知直線平行；在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，是真命題的有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【變式訓練1-3】下列命題是真命題的是（ ）
A．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等
B．兩個銳角的和是直角
C．互補的角是鄰補角
D．若，則
【變式訓練1-4】下列命題是真命題的是（ ）
A．相等的兩個角是對頂角
B．從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到直線的距離
C．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
D．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等
【變式訓練1-5】有下列命題：①點到直線的距離是這一點到直線的垂線段；②兩條直線被第三條直線所截，同旁內角相等；③在同一平面內，有且只有一條直線與已知直線垂直；④對頂角相等；⑤過一點有且只有一條直線與已知直線平行．其中，真命題有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
題型二：全等三角形的識別
【經典例題2】下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-1】下列各組中的兩個圖形中，屬于全等圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】下列各組的兩個圖形屬于全等圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-3】下列各選項中的兩個圖形屬于全等形的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-4】下列幾組圖形中是全等形的是（ ）
A．B． C． D．
【變式訓練2-5】下列各組圖形中，不是全等圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
題型三：全等三角形的概念
【經典例題3】下列說法正確的是（　　）
A．形狀相同的兩個三角形全等 B．周長相等的兩個三角形全等
C．面積相等的兩個三角形全等 D．形狀、大小相同的兩個三角形全等
【變式訓練3-1】說法中正確的是（ ）
A．全等三角形是指形狀相同的兩個三角形 B．全等三角形是指面積相等的兩個三角形
C．兩個等邊三角形是全等三角形 D．周長相等的兩個三角形不一定全等
【變式訓練3-2】下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．兩點確定一條直線
C．如果兩個三角形的面積相等，那么這兩個三角形是全等三角形
D．命題“三個內角都相等的三角形是等邊三角形”的條件是“一個三角形是等邊三角形”
【變式訓練3-3】下列說法正確的是（ ）
A．形狀相同的兩個三角形全等 B．面積相等的兩個三角形全等
C．全等三角形的周長相等、面積相等 D．所有的等邊三角形全等
【變式訓練3-4】下列說法錯誤的是（ ）
A．全等三角形的形狀相同、大小相等
B．全等三角形的對應邊相等、對應角相等
C．面積相等的兩個三角形全等
D．全等三角形的周長相等
題型四：利用全等三角形的性質求角度
【經典例題4】如圖，已知點在上，點在上，，且，若，則（　　）

A． B． C． D．
【變式訓練4-1】如圖，已知，且，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-2】如圖，，的延長線交于點，交于點．若，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-3】如圖，將紙片沿折疊，使點落在點處，且平分，平分，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-4】如下圖，已知，點恰好在的延長線上，，．則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-5】如圖，已知，平分，若，，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
題型五：利用全等三角形的性質求線段長度
【經典例題5】如圖，若，點B、E、C、F在同一直線上，，，則的長是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【變式訓練5-1】如圖，，的周長為，，，，則的長度為（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練5-2】如圖，點B、E在上，且，若，，則的長為 ．
【變式訓練5-3】如圖，．如果，，那么中邊的長是 ．

【變式訓練5-4】如圖，，點在邊上，與相交于點． 若，．
(1)求線段的長；
(2)求的度數．
【變式訓練5-5】如圖所示，已知于D，，求的長．

【變式訓練5-6】如圖，已知，點E在上，與相交于點F，若，，，．

(1)求線段的長；
(2)求的度數．
題型六：全等三角形的性質應用之格點問題
【經典例題6】如圖，在的方格紙中，的三個頂點都在格點上，僅用無刻度的直尺，按要求作圖．

(1)在圖1中，畫出所有與全等（不包含）的；
(2)在圖2中，過頂點A畫一條直線平分的面積（不寫作法，保留作圖痕跡）．
【變式訓練6-1】圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點，的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法，并保留作圖痕跡．
(1)在圖①中畫，使與全等．
(2)在圖②中畫，使與的面積相等，但不全等．
(3)在圖③中畫，使與全等，且所作的三角形有一條邊經過的中點．
【變式訓練6-2】如圖，和△的頂點都在邊長為的正方形網格的格點上，且和關于直線成軸對稱．

(1)直接寫出的面積為 ；
(2)請在如圖所示的網格中作出對稱軸；
(3)請在線段的右側找一點，畫出，使．
【變式訓練6-3】如圖，在的矩形網格中，每個小正方形的邊長均為，小正方形的每一個頂點稱為格點．，，均在格點上，按下面要求畫出格點三角形．

(1)在圖1中，找到格點，使得與全等．
(2)在圖2中，作出的高
(3)在圖2中，在邊上找到點，使得．
【變式訓練6-4】如圖，與是正方形網格中的格點線段與格點三角形（頂點在格點上），請僅用無刻度直尺按下列要求作圖．
(1)在圖1中作格點，且與成軸對稱．

(2)在圖2中作格點，且與全等，但不成軸對稱．

【變式訓練6-5】如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形中，點A、B、C在小正方形的頂點（格點）上．
(1)在圖中畫出與△ABC關于直線l成軸對稱的；
(2)在圖中確定點P，使得點P到點A、C的距離和最小；
(3)頂點在格點，與△ABC全等且僅有1條公共邊，這樣的三角形共能畫出 個．
題型七：全等三角形的性質應用之探究動點問題
【經典例題7】如圖，點C在線段上，于B，于D．且，，點P以的速度沿A向終點E運動，同時點Q以的速度從E開始，在線段上往返運動（即沿EC運動），當點P到達終點時，P，Q同時停止運動．過P、Q分別作的垂線，垂足為M、N．設運動時間為，當以P，C，M為頂點的三角形與全等時，t的值為（ ）

A．1或3 B．1或 C．1或或 D．1或或
【變式訓練7-1】如圖，在中，厘米，厘米，點D為的中點．如果點P在線段上以1厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段上以v厘米/秒的速度由C點向A點運動．若運動時間為t秒時，與全等，則t的值為（　　）

A．3 B．3或4 C．1或1.25 D．1
【變式訓練7-2】如圖，已知四邊形中，，，，，點E為的中點，點P由B向C運動，到達點C后立即由點C向點B運動，運動速度為，同時點Q在線段上由C點向D點運動．當點Q的運動速度為 時，能夠使與全等．
【變式訓練7-3】如圖，，．，點P在線段上以的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段上由點B向點D運動．它們運動的時間為．設點Q的運動速度為，若使得與全等，則x的值為 ．

【變式訓練7-4】如圖，在中，是邊上一點，，點在邊上以的速度由點向點運動，同時點在邊上以的速度由點向點運動，若運動過程中存在某一時刻與全等（其中與是一組對應角），則的值為 ．

【變式訓練7-5】如圖，中，，，，直線l經過點C且與邊相交．動點P從點A出發沿路徑向終點B運動；動點Q從點B出發沿路徑向終點A運動．點P和點Q的速度分別為和，兩點同時出發并開始計時，當點P到達終點B時計時結束．在某時刻分別過點P和點Q作于點E，于點F．設運動時間為t秒，解答下列問題：
(1)用含t的式子表示______，______；
(2)探究t取何值時，與全等？
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1.2 全等三角形七大題型（一課一講）
【同步培優】
題型一：判斷命題的真假
【經典例題1】下面的語句中，哪個不是命題（ ）
A．任何一個三角形一定有一個角是直角
B．對頂角相等
C．如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行
D．過直線m外一點A作m的平行線
【答案】D
【分析】本題考查了命題的定義，根據判斷一件事情的語句，叫做命題，命題由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由題設事項推出的事項，逐一判斷即可．
【詳解】解：A、如果一個圖形是三角形，那么一定有一個角是直角，是一個假命題，故不符合題意；
B、如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等，是一個真命題，故不符合題意；
C、如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，是一個真命題，故不符合題意；
D、過直線m外一點A作m的平行線，這不是命題，故符合題意；
故選：D．
【變式訓練1-1】下列語句中，不是命題的是（ ）
A．鈍角大于直角
B．三個角對應相等的兩個三角形全等
C．過點A作直線l的垂線，垂足為B
D．若一個三角形的三邊a，b，c滿足，那么該三角形是直角三角形
【答案】C
【分析】本題主要考查了命題的定義，根據命題的定義進行判斷即可．
【詳解】解：A．鈍角大于直角是命題，故A不符合題意；
B．三個角對應相等的兩個三角形全等，是命題，故B不符合題意；
C．過點A作直線l的垂線，垂足為B，不是命題，故C符合題意；
D．若一個三角形的三邊a，b，c滿足，那么該三角形是直角三角形，是命題，故C不符合題意．
故選：C．
【變式訓練1-2】下列命題中：垂線段最短；相等的角是對頂角；如果兩個角是同位角，那么這兩個角相等；過一點有且只有一條直線與已知直線平行；在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，是真命題的有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】B
【分析】本題主要考查對頂角的定義、命題及平行線的性質，分別根據對頂角的定義、同位角的定義及平行線的性質可直接進行求解，熟練掌握對頂角的定義、命題及平行線的性質是解題的關鍵．
【詳解】垂線段最短，正確，是真命題；
相等的角不一定是對頂角，故原命題錯誤，是假命題；
只有兩直線平行，同位角才相等，故原命題錯誤，是假命題；
過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原命題錯誤，是假命題；
在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，正確，是真命題，真命題有個，
故選：．
【變式訓練1-3】下列命題是真命題的是（ ）
A．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等
B．兩個銳角的和是直角
C．互補的角是鄰補角
D．若，則
【答案】D
【分析】本題考查了命題與定理的知識．利用平行線的性質、領補角的定義等知識分別判斷后即可確定正確的選項．
【詳解】解：A、兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；
B、兩個銳角的和是可能是直角，也可能不是直角，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；
C、互補的角不一定是鄰補角，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；
D、若，則，正確，是真命題，符合題意．
故選：D．
【變式訓練1-4】下列命題是真命題的是（ ）
A．相等的兩個角是對頂角
B．從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到直線的距離
C．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
D．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等
【答案】C
【分析】本題主要考查了對頂角、點到直線的距離、平行線公理、平行線的性質等知識，理解并掌握相關定義和定理是解題關鍵．根據對頂角、點到直線的距離、平行線公理、平行線的性質，逐項分析判斷即可．
【詳解】解：A. 相等的兩個角不一定是對頂角，故該命題是假命題，不符合題意；
B. 從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到直線的距離，故該命題是假命題，不符合題意；
C. 過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，該命題是真命題，符合題意；
D. 兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故該命題是假命題，不符合題意．
故選：C．
【變式訓練1-5】有下列命題：①點到直線的距離是這一點到直線的垂線段；②兩條直線被第三條直線所截，同旁內角相等；③在同一平面內，有且只有一條直線與已知直線垂直；④對頂角相等；⑤過一點有且只有一條直線與已知直線平行．其中，真命題有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】A
【分析】此題考查了點到直線的距離、平行線的性質、垂線的性質、對頂角的性質等知識，根據相關知識進行判斷即可．
【詳解】解：①點到直線的距離是這一點到直線的垂線段的長度；故選項錯誤，不符合題意；
②兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內角互補；故選項錯誤，不符合題意；
③在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；故選項錯誤，不符合題意；
④對頂角相等；故選項正確，符合題意．
⑤過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；故選項錯誤，不符合題意；
故選：A．
題型二：全等三角形的識別
【經典例題2】下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了全等圖形．根據全等圖形的定義（能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形）逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、兩個圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項不符合題意；
B、兩個圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項不符合題意；
C、兩個圖形能夠完全重合，是全等圖形，則此項符合題意；
D、兩個圖形的形狀不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項不符合題意；
故選：C．
【變式訓練2-1】下列各組中的兩個圖形中，屬于全等圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查全等圖形的定義，根據能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形進行逐項判斷即可．
【詳解】解：A中兩個圖形不是全等圖形，故不符合題意；
B中兩個圖形不是全等圖形，故不符合題意；
C中兩個圖形是全等圖形，故符合題意；
D中兩個圖形不是全等圖形，故不符合題意；
故選：C．
【變式訓練2-2】下列各組的兩個圖形屬于全等圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了全等形的定義，掌握能夠完全重合的圖形是全等形成為解題的關鍵．
運用全等形的定義逐項判斷即可解答．
【詳解】解：A、兩只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本選項錯誤；
B、兩個圖形能夠完全重合，故本選項正確
C、兩個正方形的邊長不相等，不能完全重合，故本選項錯誤；
C、圓內兩條相交的線段不能完全重合，故本選項錯誤．
故選B．
【變式訓練2-3】下列各選項中的兩個圖形屬于全等形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查圖形全等，涉及全等圖形的定義，根據能夠完全重合的兩個圖形是全等圖形，逐項驗證即可得到答案，熟記全等圖形的定義是解決問題的關鍵．
【詳解】
解：根據全等圖形的定義可知，只有這兩個圖形能夠完全重合，
故選：B．
【變式訓練2-4】下列幾組圖形中是全等形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了全等形，根據全等形的定義即可求解，熟練掌握“能夠完全重合的圖形叫作全等圖形”是解題的關鍵．
【詳解】解：根據全等形的定義得：C選項是全等形，
故選C．
【變式訓練2-5】下列各組圖形中，不是全等圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是全等形的識別．根據能夠完全重合的兩個圖形是全等圖形對各選項分析即可得解．
【詳解】解：觀察發現，B、C、D選項的兩個圖形都可以完全重合，
∴B、C、D選項的兩個圖形都是全等圖形，
A選項中兩個圖形不可能完全重合，
∴它們不是全等形．
故選：A．
題型三：全等三角形的概念
【經典例題3】下列說法正確的是（　　）
A．形狀相同的兩個三角形全等 B．周長相等的兩個三角形全等
C．面積相等的兩個三角形全等 D．形狀、大小相同的兩個三角形全等
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的定義，根據兩個三角形全等的定義即可判斷．理解定義是判斷的關鍵．
【詳解】解：A、形狀相同的兩個三角形不一定全等，說法錯誤，不符合題意；
B、周長相等的兩個三角形不一定全等，說法錯誤，不符合題意；
C、面積相等的兩個三角形不一定全等，說法錯誤，不符合題意；
D、形狀、大小相同的兩個三角形全等，正確，符合題意．
故選：D．
【變式訓練3-1】說法中正確的是（ ）
A．全等三角形是指形狀相同的兩個三角形 B．全等三角形是指面積相等的兩個三角形
C．兩個等邊三角形是全等三角形 D．周長相等的兩個三角形不一定全等
【答案】D
【分析】本題主要考查了全等三角形的概念，根據能夠完全重合的兩個三角形是全等三角形，對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：形狀相同的兩個三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故選項A錯誤；
面積相等的兩個三角形形狀不一定相同，不一定是全等三角形，故選項B錯誤；
兩個等邊三角形，形狀相同，邊長不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故選項C錯誤．
長相等的兩個三角形不一定全等，故選項D正確；
故選D．
【變式訓練3-2】下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．兩點確定一條直線
C．如果兩個三角形的面積相等，那么這兩個三角形是全等三角形
D．命題“三個內角都相等的三角形是等邊三角形”的條件是“一個三角形是等邊三角形”
【答案】B
【分析】根據絕對值的意義，確定直線的條件，全等三角形的判定，命題的條件與結論逐項判斷即可．
【詳解】解：A.若，則或，原說法錯誤；
B.兩點確定一條直線，說法正確；
C.面積相等的兩個三角形不一定全等，原說法錯誤；
D.命題“三個內角都相等的三角形是等邊三角形”的條件是“一個三角形的三個內角都相等”，原說法錯誤；
故選：B．
【變式訓練3-3】下列說法正確的是（ ）
A．形狀相同的兩個三角形全等 B．面積相等的兩個三角形全等
C．全等三角形的周長相等、面積相等 D．所有的等邊三角形全等
【答案】C
【分析】本題考查三角形全等的概念及性質，根據三角形全等的概念和性質逐一判斷即可.
【詳解】A選項：形狀和大小完全相同的兩個三角形全等，故形狀相同的兩個三角形不一定全等，本選項說法錯誤；
B選項：全等的兩個三角形面積相等，但面積相等的兩個三角形不一定全等，故本選項說法錯誤；
C選項：全等三角形的周長相等，面積相等，本選項說法正確；
D選項：等邊三角形的形狀相同，但大小不同，故本選項說法錯誤.
故選：C
【變式訓練3-4】下列說法錯誤的是（ ）
A．全等三角形的形狀相同、大小相等
B．全等三角形的對應邊相等、對應角相等
C．面積相等的兩個三角形全等
D．全等三角形的周長相等
【答案】C
【分析】根據全等三角形的性質及概念逐項判斷即可得到答案．
【詳解】解：A、全等三角形的形狀相同、大小相等，原說法正確，故此選項不符合題意；
B、全等三角形的對應邊相等、對應角相等，原說法正確，故此選項不符合題意；
C、面積相等的兩個三角形，形狀不一定相同，不一定全等，原說法錯誤，故此選項符合題意；
D、全等三角形的周長相等，原說法正確，故此選項不符合題意；
故選：C．
題型四：利用全等三角形的性質求角度
【經典例題4】如圖，已知點在上，點在上，，且，若，則（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查全等三角形的性質和三角形的內角和定理，根據全等三角形的性質，，，又，，得到，在中根據內角和定理求解，熟練掌握全等三角形的性質及三角形內角和定理，數形結合是解決問題的關鍵．
【詳解】解：，
，，
，
，
，
，
在中，由三角形內角和定理可得，
，，，
，
故選：C．
【變式訓練4-1】如圖，已知，且，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查全等三角形的性質與判定、三角形內角和定理，由，推出，再求出，再根據三角形內角和定理進行求解．
【詳解】∵
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：C
【變式訓練4-2】如圖，，的延長線交于點，交于點．若，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查全等三角形的性質、三角形外角的性質，由，則與是一組對應角，與是一組對應角，對于，外角等于除外的兩個內角之和，求得，再在中，由三角形內角和即可求得結果．
【詳解】解：，，，
，．
由三角形外角的性質可得，
．
．
，，
．
故選：B．
【變式訓練4-3】如圖，將紙片沿折疊，使點落在點處，且平分，平分，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形內角和定理，角平分線定義，三角形外角的性質，折疊變換等知識，關鍵在于能夠正確添加輔助線，靈活運用所學知識．根據折疊可知，，，再利用平角為，三角形內角和，推出，再利用三角形內角和定理、角平分線性質求出，再求出結果即可．
【詳解】解：紙片沿折疊，
，
，，
，
平分，平分，，
，，
，
，
，
，
故選：C
【變式訓練4-4】如下圖，已知，點恰好在的延長線上，，．則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形內角和，以及全等三角形性質，根據三角形內角和得到，再利用全等三角形性質推出，最后各角平角的定義，即可解題．
【詳解】解：，，
，
，
，
點恰好在的延長線上，
，
故選：C．
【變式訓練4-5】如圖，已知，平分，若，，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的性質，三角形內角和定理和三角形的外角，解題的關鍵是能熟記全等三角形的性質，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．全等得到，外角的性質，求出，進而求出，三角形的內角和定理，求出，即可．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故選B．
題型五：利用全等三角形的性質求線段長度
【經典例題5】如圖，若，點B、E、C、F在同一直線上，，，則的長是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的性質，得到繼而得到，計算即可．
【詳解】．∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故選：D．
【變式訓練5-1】如圖，，的周長為，，，，則的長度為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由得，再根據周長求出，即可由求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵的周長為，
∴，
即，
∴，
∴，
故選：A．
【變式訓練5-2】如圖，點B、E在上，且，若，，則的長為 ．
【答案】2
【分析】據全等三角形的性質可得，進而可得，再由，，即可求出的長．本題主要考查了全等三角形的性質，熟練掌握“全等三角形對應邊相等”是解題的關鍵．
【詳解】解：，
，
，
即，
∵，，
，
即，
，
故答案為：2．
【變式訓練5-3】如圖，．如果，，那么中邊的長是 ．

【答案】6
【分析】根據全等三角形的性質得到，結合圖形計算，得到答案．
【詳解】解：∵，
故答案為：6．
【變式訓練5-4】如圖，，點在邊上，與相交于點． 若，．
(1)求線段的長；
(2)求的度數．
【答案】(1)5
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的性質定理，三角形內角和定理，能熟記全等三角形的性質定理是解此題的關鍵．
（1）根據全等三角形的性質得出，，再求出即可；
（2）根據全等三角形的性質得出，，求出，再求出即可．
【詳解】（1）解： ∵，，，
，，
；
（2）解：∵，，，
，，
，
．
【變式訓練5-5】如圖所示，已知于D，，求的長．

【答案】3
【分析】根據全等三角形的性質可得，，從而求得，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練5-6】如圖，已知，點E在上，與相交于點F，若，，，．

(1)求線段的長；
(2)求的度數．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由全等三角形的性質可得，，即可求解；
（2）由全等三角形的性質可得，，再利用三角形內角和定理求得，即可求解．
【詳解】（1）解：，，，
，，
；
（2）解：，，，
，，
，
.
題型六：全等三角形的性質應用之格點問題
【經典例題6】如圖，在的方格紙中，的三個頂點都在格點上，僅用無刻度的直尺，按要求作圖．

(1)在圖1中，畫出所有與全等（不包含）的；
(2)在圖2中，過頂點A畫一條直線平分的面積（不寫作法，保留作圖痕跡）．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了全等的性質，中線的性質．熟練掌握全等三角形對應邊相等，中線等分三角形的面積是解題的關鍵．
（1）根據全等三角形對應邊相等作圖，如圖1；
（2）如圖2，點向右1個格點為，點向左1個格點為，連接，交于，則為中點，連接，為中邊上的中線，則平分的面積，即為所求．
【詳解】（1）解：如圖1，，，即為所求；

（2）解：如圖2，直線即為所求；

【變式訓練6-1】圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點，的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法，并保留作圖痕跡．
(1)在圖①中畫，使與全等．
(2)在圖②中畫，使與的面積相等，但不全等．
(3)在圖③中畫，使與全等，且所作的三角形有一條邊經過的中點．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）根據全等三角形，三邊分別對應相等，作圖如圖①；
（2）根據平行線間距離處處相等，作圖如圖②；
（3）根據軸對稱的性質，作圖如圖③．
【詳解】（1）解：如圖①，即為所求；

（2）解：如圖②，即為所求；

（3）解：如圖③，即為所求；

【變式訓練6-2】如圖，和△的頂點都在邊長為的正方形網格的格點上，且和關于直線成軸對稱．

(1)直接寫出的面積為 ；
(2)請在如圖所示的網格中作出對稱軸；
(3)請在線段的右側找一點，畫出，使．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）根據割補法求三角形的面積即可求解；
（2）連接，根據網格的特點過的中點作直線，即可求解；
（3）根據軸對稱的性質作出，即可．
【詳解】（1）的面積為－－－＝，
故答案為
（2）如圖，直線即為所求．

（3）如圖，即為所求．

【變式訓練6-3】如圖，在的矩形網格中，每個小正方形的邊長均為，小正方形的每一個頂點稱為格點．，，均在格點上，按下面要求畫出格點三角形．

(1)在圖1中，找到格點，使得與全等．
(2)在圖2中，作出的高
(3)在圖2中，在邊上找到點，使得．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）利用翻折變換根據全等三角形即可；
（2）根據全等三角形的性質，找到格點，則，進而根據三角形高的定義，即可求解；
（3）取格點E，連接，即為所求．
【詳解】（1）如圖，即為所求（答案不唯一）；

（2）如圖所示，即為所求

∵，則
∴
∴
∴即為的高；
（3）如圖所示，即為所求．

【變式訓練6-4】如圖，與是正方形網格中的格點線段與格點三角形（頂點在格點上），請僅用無刻度直尺按下列要求作圖．
(1)在圖1中作格點，且與成軸對稱．

(2)在圖2中作格點，且與全等，但不成軸對稱．

【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）利用網格圖結合軸對稱變換的性質進行畫圖即可；
（2）利用全等三角形的定義進行畫圖即可
【詳解】（1）作圖，如下圖所示：

（2）作圖，如下圖所示：

【變式訓練6-5】如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形中，點A、B、C在小正方形的頂點（格點）上．
(1)在圖中畫出與△ABC關于直線l成軸對稱的；
(2)在圖中確定點P，使得點P到點A、C的距離和最小；
(3)頂點在格點，與△ABC全等且僅有1條公共邊，這樣的三角形共能畫出 個．
【答案】(1)作圖見解析
(2)當點P在線段AC上時，點P到點A、C的距離和最小
(3)4
【分析】（1）根據對稱性質作出A、B、C的對稱點，再順次連接即可求解；
（2）根據兩點之間線段最短可知，當點P在線段AC上時滿足條件；
（3）根據軸對稱性質和全等三角形的性質畫圖即可解答．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求作；
（2）解：根據兩點之間線段最短可知，當點P在線段AC上時，點P到點A、C的距離和最小；
（3）解：如圖，滿足條件的三角形有4個，
故答案為：4．
題型七：全等三角形的性質應用之探究動點問題
【經典例題7】如圖，點C在線段上，于B，于D．且，，點P以的速度沿A向終點E運動，同時點Q以的速度從E開始，在線段上往返運動（即沿EC運動），當點P到達終點時，P，Q同時停止運動．過P、Q分別作的垂線，垂足為M、N．設運動時間為，當以P，C，M為頂點的三角形與全等時，t的值為（ ）

A．1或3 B．1或 C．1或或 D．1或或
【答案】C
【分析】需要分兩類三種情況討論，根據全等三角形的判定和性質結合建立一元一次方程可求解．
【詳解】第一類：當點在上，點在上時，如圖，

根據題意有：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵P，C，M為頂點的三角形與全等，
∴，
∴；
當點在上，點在上時，
以，，為頂點的三角形與全等，
，
，
，
當點在上，點第一次從點返回時，
以，，為頂點的三角形與全等，
，
，
；
第二類：當點P在上時，如圖，
以，，為頂點的三角形與全等，
∴結合圖形有：，
∴，
當點P在上，點Q第一次從E點返回時，
∵以P，C，M為頂點的三角形與全等，
∴，
∴，
∴，
綜上所述：t的值為1或或，
故選：C．
【變式訓練7-1】如圖，在中，厘米，厘米，點D為的中點．如果點P在線段上以1厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段上以v厘米/秒的速度由C點向A點運動．若運動時間為t秒時，與全等，則t的值為（　　）

A．3 B．3或4 C．1或1.25 D．1
【答案】B
【分析】本題考查了等腰三角形的性質和全等三角形的性質，注意：全等三角形的對應邊相等．
分兩種情況討論：若，根據全等三角形的性質，則厘米，(厘米)，根據速度、路程、時間的關系即可求得；若，則厘米，，得出．
【詳解】∵中，厘米，點為的中點，
∴厘米，
若，則需厘米，(厘米)，
∵點P的運動速度為1厘米/秒，
∴點P的運動時間為：；
若，則需厘米，，
∴點P的運動時間為：；
∴的值為：4或3，
故選：B．
【變式訓練7-2】如圖，已知四邊形中，，，，，點E為的中點，點P由B向C運動，到達點C后立即由點C向點B運動，運動速度為，同時點Q在線段上由C點向D點運動．當點Q的運動速度為 時，能夠使與全等．
【答案】或3或或
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質，一元一次方程的應用；分四種情況進行討論，①點P由B向C運動，時，②點P由B向C運動，時，③點P由C向B運動，時，④點P由C向B運動，時，根據全等三角形的性質分別列出方程進行求解即可．
【詳解】解：設點P在線段上運動的時間為，
∵點E為的中點，，
∴；
①點P由B向C運動，時，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
此時，點Q的運動速度為；
②點P由B向C運動，時，
∴，，
∴，
解得：，
此時，點Q的運動速度為：；
③點P由C向B運動，時，，
∴，
∴，
解得，
∴，
此時，點Q的運動速度為；
④點P由C向B運動，時，
∴，
∴，
解得：，
∵，
此時，點Q的運動速度為；
綜上所述：點Q的運動速度為或或或．
故答案為：或3或或．
【變式訓練7-3】如圖，，．，點P在線段上以的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段上由點B向點D運動．它們運動的時間為．設點Q的運動速度為，若使得與全等，則x的值為 ．

【答案】或2
【分析】根據題意進行分類討論：當時，當時，結合全等三角形的性質，即可解答．
【詳解】解：當時，
∵與全等，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
當時，
∵與全等，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
綜上：x的值為或2．
故答案為：或2．
【變式訓練7-4】如圖，在中，是邊上一點，，點在邊上以的速度由點向點運動，同時點在邊上以的速度由點向點運動，若運動過程中存在某一時刻與全等（其中與是一組對應角），則的值為 ．

【答案】1或
【分析】設點D、F的運動時間為，用表示出相關線段，再根據全等三角形對應邊相等，分①、是對應邊，②與是對應邊兩種情況討論即可求解．
【詳解】解：設點D、F的運動時間為，則，，，
分兩種情況：①當時，即，
∴，
解得：；
②當時，即，
∴
解得：；
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
綜上，的值為1或．
故答案為：1或．
【變式訓練7-5】如圖，中，，，，直線l經過點C且與邊相交．動點P從點A出發沿路徑向終點B運動；動點Q從點B出發沿路徑向終點A運動．點P和點Q的速度分別為和，兩點同時出發并開始計時，當點P到達終點B時計時結束．在某時刻分別過點P和點Q作于點E，于點F．設運動時間為t秒，解答下列問題：
(1)用含t的式子表示______，______；
(2)探究t取何值時，與全等？
【答案】(1)，
(2)當秒或秒或12秒時，與全等
【分析】該題主要考查了全等三角形的性質，解答的關鍵是運用分類討論思想解答；
（1）根據題意的運動方式，列代數式即可；
（2）分為，，三種情況分別解答即可
【詳解】（1）當動點P在上時；當動點Q在上時，，，
當動點P在上時；當動點Q在上時，，，
綜上，，；
（2）①如圖1，Q在上，點P在上時，作，，
∵，
∴，
∴，
當時，
則，
即，
解得：；
②如圖2，當點P與點Q重合時，
當，
則，
∴．
解得：；
③如圖3，當點Q與A重合時，
，
∴，
當，
則，
即，
解得：；
當綜上所述：當秒或秒或12秒時，與全等．
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