資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1.1.4 三角形的外角和定理七大題型（一課一講）
【同步培優】
題型一：利用三角形的外角和定理求角度
【經典例題1】如圖，的外角，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】如圖，在中，，點D在上，點E在上，連接，，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】如圖，在中，D、E分別是邊上的點，相交于點F，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】已知三角形三個內角的比為，則這個三角形三個外角的比為（ ）．
A． B． C． D．
【變式訓練1-4】如圖，在中，，點D在的延長線上，且，過點B作射線交邊于點E，則的度數可能為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-5】如圖，電腦屏幕上，設計一個運動的光點P，點P先沿水平直線從左向右勻速運動到點A，在A點向右轉后，再沿直線勻速運動到B點，在B點向左轉后，再沿直線勻速運動到C點，在C點再向右轉后，沿直線勻速運動到M點，此時點M在C點的（ ）
A．南偏東 B．南偏西 C．南偏東 D．南偏東
題型二：與三角板有關的三角形外角和問題
【經典例題2】將含角的直角三角板的一個頂點按如圖方式放置在直尺上，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練2-1】將一副三角板和按如圖所示的方式放置，邊與邊在同一直線上，其中，，．若與邊交于點G，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】將一副直角三角板按如圖所示擺放，，，則下列結論不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-3】如圖，含角的三角板的直角頂點C在直尺的邊上，斜邊與直尺的兩邊分別交于點D，E，直角邊與直尺的邊交于點F，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-4】將一副三角板按如圖所示的方式擺放，點F在邊上，，作的平分線，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-5】如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點F在上，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
題型三：與平行有關的三角形的外角和問題
【經典例題3】如圖，直線，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】兩個直角三角板如圖所示擺放，其中，，，，分別與交于點，，若，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】如圖，，，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練3-3】已知：如圖，，和相交于點O，E是上一點，F是上一點，且．
(1)求證：；
(2)若，求的度數．
【變式訓練3-4】如圖，已知點、在直線上，點在線段上，與交于點，，．
(1)求證：；
(2)試判斷與之間的數量關系，并說明理由；
(3)若，，求的度數．
【變式訓練3-5】如圖，，直線分別與直線相交于點E，F，M是和之間的一點，N在上，連接，．
(1)求證：平分；
(2)當，時，求的度數．
題型四：與角平分線有關的三角形外角和問題
【經典例題4】如圖，，，，平分，過點作交于點，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】如圖1，，點A，B分別在的邊，上（不與點O重合）.
(1)若是的平分線，的反向延長線與的平分線交于點D.則的度數為_______.
(2)如圖2，若，，求的度數.
(3)如圖3，若將“”改為“（）”，，，求的度數（用含，n的代數式表示）.
【變式訓練4-2】如圖，直線，，、在上，且滿足，平分

(1)求的度數；
(2)若平行移動，那么的值是否隨之發生變化？若變化，找出變化規律或求出變化范圍；若不變，求出這個比值．
(3)在平行移動的過程中，是否存在某種情況，使？若存在，求出其度數；若不存在，說明理由．
【變式訓練4-3】已知，平分，點，，分別是射線，，上的動點，，不與點重合），連接，連接交射線于點，設．
(1)如圖1，若，
①的度數是 　　；
②當時，的度數是 　　；當時，的度數是 　　；
(2)在一個四邊形中，若存在一個內角是它的對角的2倍，我們稱這樣的四邊形為“完美四邊形”，如圖2，若，延長交射線于點，當四邊形為“完美四邊形”時，求的值．
【變式訓練4-4】如圖，已知兩條射線，動線段的兩個端點、分別在射線、上，且，點在線段上，平分，平分．
(1)寫出與的數量關系，并說明理由
(2)若平行移動，那么與的度數比是否隨著位置的變化而發生變化？若變化，找出變化規律；若不變，求出這個比值；
(3)如果在平行移動的過程中，是否存在某種情況，使？若存在，請求出度數；若不存在，說明理由．
【變式訓練4-5】【探究】
（1）如圖1，，，和的平分線交于點，則______°；
（2）如圖2，，，且，和的平分線交于點，則______；（用、表示）
（3）如圖3，，，當和的平分線、平行時，、應該滿足怎樣的數量關系？請證明你的結論．
【挑戰】
如果將（2）中的條件改為，再分別作和的平分線，你又可以找到怎樣的數量關系？畫出圖形并直接寫出結論．
題型五：三角形折疊中角度問題
【經典例題5】如圖，將三角形紙片沿折疊，使點落在處，并測得，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-1】如圖，把紙片沿折疊，當點落在四邊形的外部時，則與和之間有一種數量關系始終保持不變，請試著找一找這個規律，你發現的規律是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練5-2】如圖，將一張三角形紙片的一角折疊，使點A落在外的點處，折痕為，下列式子中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練5-3】如圖，在中，，將沿直線l折疊，使點落在點的位置，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-4】如圖，將紙片沿折疊使點A落在點處，且平分，若，則的大小為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練5-5】如圖，將一張三角形紙片的一角折疊，使點落在外的 處，折痕為，如果，，，，那么下列式子中不一定成立的是( )

A． B． C．β= D．
【變式訓練5-6】如圖，將沿折疊，使、與邊分別相交于點、，若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
題型六：利用三角形外角和比較角度大小
【經典例題6】如圖，已知，，線段上從左到右依次有兩點，（不與，重合）．
（I）求證：：
（2）比較，，的大小，并說明理由；
（3）若，平分，且，求的度數．
【變式訓練6-1】把兩個形狀相同，大小不同的三角板如圖所示拼在一起，已知，．
（1）求的度數；
（2）如圖，如果，試比較和的大小．
【變式訓練6-2】如圖，已知在中，與的平分線交于點．
（1）試比較與的大小，并說明理由（利用三角形外角的性質證明）；
（2）當時，求的度數．
【變式訓練6-3】如圖，是內任意一點，連接、．
(1)求證：；
(2)比較與的大小，并說明理由．
【變式訓練6-4】已知：如圖，．

(1)畫出中邊上的中線；
(2)畫出中邊上的高線；
(3)畫出的角平分線；
(4)比較與的大小： ，依據是 ．
(5)比較線段與的大小： ，依據是 ．
題型七：三角形外角和應用之探究問題
【經典例題7】【學科融合】
射到平面鏡上的光線（入射光線）和變向后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面夾角為，反射光線與水平鏡面夾角為，則．
【應用探究】
有兩塊平面鏡，，入射光線經過兩次反射，得到反射光線．
（1）如圖2，有兩塊平面鏡，，且，入射光線經過兩次反射，得到反射光線．求證．（補充：三角形內角和為）
（2）如圖3，光線與相交于點，若，求的度數．
【深入思考】
（3）如圖4，有兩塊平面鏡，，且，入射光線經過兩次反射，得到反射光線，光線與所在的直線相交于點，，與之間滿足的等量關系是______．（直接寫出結果）
【變式訓練7-1】綜合與實踐
【問題情境】
已知，點P為一動點，和都不經過點P，探索與的數量關系．
【探究實踐】
（1）在圖1中，已知，，小亮的思路是：過點P作，請你按照小亮的思路，求出的度數為_______；
【拓展應用】
（2）在圖2中，若 ，求的度數；
（3）在圖3中，過點P作直線，試探究與，的數量關系，并說明理由．
【變式訓練7-2】 已知：如圖①，在中，是角平分線，點E、F分別在邊、上，，將繞點C以每秒5°的速度按逆時針方向旋轉一周，旋轉時間為t．當所在直線與線段，有交點時，交點分別為點M、點N．
(1)當時，如圖②，此時直線與的位置關系是 ， °；
(2)是否存在某個時刻t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；
(3)試探究：在旋轉過程中，當t為何值時，中有兩個角相等，請直接寫出t的值．
【變式訓練7-3】認真閱讀下面關于三角形內外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題．
(1)探究1：如圖1，在中，O是與的平分線和的交點，猜想與之間存在怎樣的數量關系？并說明你的猜想．
(2)探究2：如圖2中，O是與外角的平分線和的交點，試分析與有怎樣的關系？請說明理由．
(3)探究3：如圖3中，O是外角與外角的平分線和的交點，則與有怎樣的關系？請說明理由．
【變式訓練7-4】在中，，點，分別是邊，上的點（不與，，重合），點是平面內一動點（與，不在同一直線上），設，，．
(1)若點在邊上運動（不與點和點重合），且，如圖（1）所示，則 ；
(2)若點在的外部，如圖（2）所示，則，，之間有何關系？寫出你的結論，并說明理由．
(3)當點在邊的延長線上運動時，請你通過畫出圖形進行探究，然后直接寫出，，之間的關系．
【變式訓練7-5】問題背景：如圖，已知，李老師說，，存在某種數量關系，小明同學經過認真思考，得出了結論，
(1)請直接寫出，，存在的數量關系．
(2)問題探究：愛動手實踐的小芳同學有一塊如圖七巧板，小芳同學發現，，，存在某種確定的數量關系，請寫出你發現的，，，存在的數量關系，并寫出證明過程．
(3)拓展應用：如圖，若，，，，請直接寫出度數（用表示）．
【變式訓練7-6】如圖，已知，點E在直線AB，CD之間，連接AE，CE．
【感知】如圖①，若，，則__________°；
【探究】如圖②，猜想、和之間有什么樣的數量關系，并說明理由；
【應用】如圖③，若AH平分，將線段CE沿CD方向平移至FG（），若，FH平分，則__________°．
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1.1.4 三角形的外角和定理七大題型（一課一講）
【同步培優】
題型一：利用三角形的外角和定理求角度
【經典例題1】如圖，的外角，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查三角形外角的性質．三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，由此即可求解．
【詳解】解：，，
．
故選：D．
【變式訓練1-1】如圖，在中，，點D在上，點E在上，連接，，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了三角形外角的性質，熟知三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內角之和是解題的關鍵．根據三角形外角性質和等腰三角形的性質得出，進而解答即可．
【詳解】解：∵是的外角，
∴，
同理，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選：D．
【變式訓練1-2】如圖，在中，D、E分別是邊上的點，相交于點F，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理，三角形外角的性質，由三角形內角和定理，三角形外角的性質得到，，則．
【詳解】解：∵，，
∴，
故選；C．
【變式訓練1-3】已知三角形三個內角的比為，則這個三角形三個外角的比為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形的外角與內角性質的綜合，先設三角形三個內角分別為，再根據三角形的內角和性質列式，得出每個具體的角，再算出對應的外角，最后化簡，即可作答．
【詳解】解：設三角形三個內角分別為．
則，
∴，
∴三角形三個內角分別為，
則三角形對應的三個外角分別為，
化簡得三角形對應的三個外角分別為，
∴這個三角形三個外角的比為，
故選：C．
【變式訓練1-4】如圖，在中，，點D在的延長線上，且，過點B作射線交邊于點E，則的度數可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查三角形的外角的性質，先根據外角的性質，求出的度數，再根據，得到的范圍，即可．
【詳解】解：∵是的一個外角，
∴，
∴，
∵過點B作射線交邊于點E，
∴，
∵是的一個外角，
∴，
∴，
即：；
故符合題意的只有選項B；
故選B．
【變式訓練1-5】如圖，電腦屏幕上，設計一個運動的光點P，點P先沿水平直線從左向右勻速運動到點A，在A點向右轉后，再沿直線勻速運動到B點，在B點向左轉后，再沿直線勻速運動到C點，在C點再向右轉后，沿直線勻速運動到M點，此時點M在C點的（ ）
A．南偏東 B．南偏西 C．南偏東 D．南偏東
【答案】C
【分析】本題考查了方向角，熟練掌握三角形的外角性質和方向角的定義是解題的關鍵．
根據三角形外角的性質得出和的度數，然后計算出的度數，根據方向角的定義即可得出答案．
【詳解】如圖，延長和相交于點，過點作的垂線交于點
，，
，
，
此時點M在C點的南偏東．
故選：C．
題型二：與三角板有關的三角形外角和問題
【經典例題2】將含角的直角三角板的一個頂點按如圖方式放置在直尺上，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形的外角性質，熟練掌握以上性質是解題的關鍵．根據平行線的性質和三角形的外角性質即可求解．
【詳解】解： 如圖，
，
，
在中，，
．
故選：B．
【變式訓練2-1】將一副三角板和按如圖所示的方式放置，邊與邊在同一直線上，其中，，．若與邊交于點G，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查平行線的判定和性質、三角形外角的性質．先證，推出，根據對頂角相等可得，再利用三角形外角的性質可得．
【詳解】解：如圖，設與邊交于點H，
，
，
，
，
，
，
故選D．
【變式訓練2-2】將一副直角三角板按如圖所示擺放，，，則下列結論不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質，延長交于點，先利用平角定義可得，從而可得，即可判斷A；利用平行線的性質可得，再利用三角形的外角性質可得，從而可得，即可判斷B；利用三角形的外角性質可得，即可判斷C；利用平角定義可得，從而可得，即可判斷D．
【詳解】延長交于點，
，
，
，
∴，
故A不符合題意；
∵，
，
是的一個外角，
，
，
故B不符合題意；
是的一個外角，
，
故C不符合題意；
，，
，
，
故D符合題意；
故選：D．
【變式訓練2-3】如圖，含角的三角板的直角頂點C在直尺的邊上，斜邊與直尺的兩邊分別交于點D，E，直角邊與直尺的邊交于點F，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是平行線的性質，外角的性質．
根據題目可以得到，然后推出角，再利用外角,通過計算得出答案．
【詳解】∵，
∴．
又∵，
∴．
故選C．
【變式訓練2-4】將一副三角板按如圖所示的方式擺放，點F在邊上，，作的平分線，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查平行線的性質，三角形的外角，與角平分線有關的計算，平行線的性質，求出的度數，外角的性質，求出的度數，角平分線求出的度數，再利用角的和差關系，進行求解即可．
【詳解】解：如圖，由題意，得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故選B．
【變式訓練2-5】如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點F在上，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質，外角的性質，解題的關鍵是熟練掌握以上性質；根據平行線的性質，外角的性質解題即可；
【詳解】解：如圖：設與相交于點G，
，
，
故選：A．
題型三：與平行有關的三角形的外角和問題
【經典例題3】如圖，直線，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質、三角形外角的性質，熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和是解答本題的關鍵．如圖，根據平行線的性質求出，然后根據三角形外角的性質得出答案．
【詳解】解：如圖．
∵，，
∴，
∵，，
∴ ，
故選：．
【變式訓練3-1】兩個直角三角板如圖所示擺放，其中，，，，分別與交于點，，若，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查平行線的性質及三角形外角的性質，根據平行線的性質得，根據三角形內角和定理得，再根據三角形外角的性質得到．掌握平行線的性質及三角形外角的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的大小為．
故選：B．
【變式訓練3-2】如圖，，，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質以及三角形外角的性質，根據平行線得到，再根據三角形外角的性質即可得到結論．
【詳解】
故選：B．
【變式訓練3-3】已知：如圖，，和相交于點O，E是上一點，F是上一點，且．
(1)求證：；
(2)若，求的度數．
【答案】(1)詳見解析
(2)．
【分析】本題考查了平行線的性質與判定，三角形的外角性質．
（1）根據平行線的性質可得，等量代換可得，根據平行線的判定定理即可得證；
（2）由三角形的外角性質得，結合，據此即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴（兩直線平行，內錯角相等），
又∵，
∴，
∴（同位角相等，兩直線平行）；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴．
【變式訓練3-4】如圖，已知點、在直線上，點在線段上，與交于點，，．
(1)求證：；
(2)試判斷與之間的數量關系，并說明理由；
(3)若，，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)互補，見解析
(3)130°
【分析】考查了平行線的判定和性質，三角形外角的性質，平角的定義，平行線的性質有：同位角相等兩直線平行；內錯角相等兩直線平行；同旁內角互補兩直線平行；平行線的性質有：兩直線平行同位角相等；兩直線平行內錯角相等；兩直線平行同旁內角互補．
（1）根據同位角相等兩直線平行，可證；
（2）根據平行線的性質可得，根據等量關系可得，根據內錯角相等，兩直線平行可得，再根據平行線的性質可得與之間的數量關系；
（3）根據對頂角相等可求，根據三角形外角的性質可求，根據平行線的性質可得，，再根據平角的定義可求的度數．
【詳解】（1）證明：，
；
（2）解：，
，
，
，
，
；
（3），，
，
，
，
，
，
．
【變式訓練3-5】如圖，，直線分別與直線相交于點E，F，M是和之間的一點，N在上，連接，．
(1)求證：平分；
(2)當，時，求的度數．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】本題考查平行線的性質，三角形的內角和與三角形的外角：
（1）根據，得到，進而推出，即可得證；
（2）延長交于點G，根據三角形的外角，求出，三角形的內角和定理，求出的度數即可．
【詳解】（1）證明：∵
∴
∵
∴
∴平分；
（2）延長交于點G
∵，
∴
∵
∴
∵，
∴．
題型四：與角平分線有關的三角形外角和問題
【經典例題4】如圖，，，，平分，過點作交于點，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質、三角形內角和、三角形的外角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．根據平行線的性質可以求得和，再根據三角形內角和求得，最后由三角形的外角和定理求出答案．
【詳解】，
，
，
，
又平分角，
，
，，
，
，
，
，
故選：B ．
【變式訓練4-1】如圖1，，點A，B分別在的邊，上（不與點O重合）.
(1)若是的平分線，的反向延長線與的平分線交于點D.則的度數為_______.
(2)如圖2，若，，求的度數.
(3)如圖3，若將“”改為“（）”，，，求的度數（用含，n的代數式表示）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此題考查了三角形外角的性質定理，熟練掌握三角形外角的性質定理是解題的關鍵.
（1）由三角形外角性質得到，，由角平分線的定義得到，，代入即可的答案；
（2）由三角形外角性質得到，，，代入即可的答案；
（3）由三角形外角性質得到，，，代入即可的答案.
【詳解】（1）解：∵，
∴.
∵，
∴
∵是的平分線，的反向延長線與的平分線交于點D.
∵，
∴
故答案為：
（2）∵，
∴.
∵，
∴
∵，
∴
（3）∵，
∴
∵，
∴.
∵，
∴.
【變式訓練4-2】如圖，直線，，、在上，且滿足，平分

(1)求的度數；
(2)若平行移動，那么的值是否隨之發生變化？若變化，找出變化規律或求出變化范圍；若不變，求出這個比值．
(3)在平行移動的過程中，是否存在某種情況，使？若存在，求出其度數；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)，是定值
(3)存在，
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義，熟記各性質并準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．
（1）根據兩直線平行，同旁內角互補求出，然后求出，計算即可得解；
（2）根據兩直線平行，內錯角相等可得，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得，從而得解；
（3）根據三角形的內角和定理求出，從而得到、、是的四等分線，再利用三角形的內角和定理列式計算即可得解．
【詳解】（1）解： ，
，
平分，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，是定值；
（3）在和中，
，，
，
、、是的四等分線，
，
，
故存在某種情況，使，此時．
【變式訓練4-3】已知，平分，點，，分別是射線，，上的動點，，不與點重合），連接，連接交射線于點，設．
(1)如圖1，若，
①的度數是 　　；
②當時，的度數是 　　；當時，的度數是 　　；
(2)在一個四邊形中，若存在一個內角是它的對角的2倍，我們稱這樣的四邊形為“完美四邊形”，如圖2，若，延長交射線于點，當四邊形為“完美四邊形”時，求的值．
【答案】(1)①；②，
(2)的值是或或
【分析】（1）①利用角平分線的定義求出，根據平行線的性質可得出答案；
②當時，利用三角形內角和定理求出，進而可得的度數；
當時，求出，然后根據三角形外角的性質即可求出的度數；
（2）分三種情況進行討論：①當時，②當點在左邊，時，③當點在右邊，時，分別根據三角形外角的性質以及三角形內角和定理求解即可．
【詳解】（1）解：①，平分，
，
，
；
②當時，
，
，，
；
當時，
，
，
，
；
故答案為：①； ②，；
（2）解：①當時，如圖，
，，
，
，
，
，
；
②當點在左邊，時，
，，，
，，
，
，
；
③當點在右邊，時，
，，，
，，
，，
，
；
綜上所述，當四邊形為“完美四邊形”時，的值是或或．
【變式訓練4-4】如圖，已知兩條射線，動線段的兩個端點、分別在射線、上，且，點在線段上，平分，平分．
(1)寫出與的數量關系，并說明理由
(2)若平行移動，那么與的度數比是否隨著位置的變化而發生變化？若變化，找出變化規律；若不變，求出這個比值；
(3)如果在平行移動的過程中，是否存在某種情況，使？若存在，請求出度數；若不存在，說明理由．
【答案】(1)，理由見解析
(2)不變，與的度數的比值
(3)存在，
【分析】本題考查了平移的性質，平行線的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義，熟記各性質并準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．
（1）由，推出，，所以，根據平分，平分，推出，，所以，即；
（2）由，得，根據，推出，所以，即，則與的度數的比值．
（3）因為，，所以，再根據，推出，即可求出．
【詳解】（1）解：，理由如下：
如圖：
，
，，
，
，
平分，平分．
，，
，
，
；
（2）解：不變，與的度數的比值，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
與的度數的比值．
（3）解：存在，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【變式訓練4-5】【探究】
（1）如圖1，，，和的平分線交于點，則______°；
（2）如圖2，，，且，和的平分線交于點，則______；（用、表示）
（3）如圖3，，，當和的平分線、平行時，、應該滿足怎樣的數量關系？請證明你的結論．
【挑戰】
如果將（2）中的條件改為，再分別作和的平分線，你又可以找到怎樣的數量關系？畫出圖形并直接寫出結論．
【答案】（1）；（2）；（3），證明見解析；[挑戰]，證明見解析
【分析】（1）利用三角形外角的性質，列出．再通過角平分線的定義以及四邊形內角和的性質進行計算求出的度數；
（2）利用三角形外角的性質，列出．再通過角平分線的定義以及四邊形內角和的性質，將轉化為含有α與β的關系式，進而求出；
（3）利用三角形外角的性質，列出．再通過角平分線的定義以及平行線的性質，得出α與β的關系式；
[挑戰]畫出圖形，利用三角形外角的性質，列出．再通過角平分線的定義以及四邊形內角和的性質，將轉化為含有α與β的關系式，進而求出．
【詳解】解：（1）平分，平分，
，．
，
．
又，
．
（2）由（1）得：，．
．
（3）若，則．
證明：若，則．
平分，平分，
，．
．
．
．
[挑戰]如圖4，平分，平分，
，．
，
．
．
．
與是對頂角，
．
又，
．
，
即．
題型五：三角形折疊中角度問題
【經典例題5】如圖，將三角形紙片沿折疊，使點落在處，并測得，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了三角形外角的性質，
首先求出，然后利用三角形外角的性質求解即可．
【詳解】∵，
∴，
∴．
故選：D．
【變式訓練5-1】如圖，把紙片沿折疊，當點落在四邊形的外部時，則與和之間有一種數量關系始終保持不變，請試著找一找這個規律，你發現的規律是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的內角、外角以及折疊的性質，根據折疊的性質可得，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得到，，然后列式整理即可得解．
【詳解】根據折疊的性質，得.
在中，，
在中，，
∴，即.
故選：A．
【變式訓練5-2】如圖，將一張三角形紙片的一角折疊，使點A落在外的點處，折痕為，下列式子中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此題重點考查三角形內角和定理、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和、軸對稱的性質等知識．由折疊得，則，據此即可判斷，于是得到問題的答案．
【詳解】解：設與交于點F，由折疊得，
∴，
∴，
故A正確，B錯誤；
∵變化而不變，
∴與不相等，
∴不正確，故C錯誤；
∵，且，
∴，
若正確，則，
觀察圖形可知，隨的增大而減小，
∴與不一定相等，故D錯誤，
故選：A．
【變式訓練5-3】如圖，在中，，將沿直線l折疊，使點落在點的位置，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形外角的性質得知，，則，即可得出答案．此題考查了折疊的性質，三角形外角定理，解答關鍵在于熟練掌握相關知識點．
【詳解】解：如圖
將沿直線l折疊，使點落在點的位置
，
故選：D．
【變式訓練5-4】如圖，將紙片沿折疊使點A落在點處，且平分，若，則的大小為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接．根據三角形外角的性質，得：．由角平分線的性質及三角形內角和定理得．由折疊的性質得．進而可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
，
．
平分，平分，
，．
．
．
是由沿折疊得到．
．
，，
故選：C．
【變式訓練5-5】如圖，將一張三角形紙片的一角折疊，使點落在外的 處，折痕為，如果，，，，那么下列式子中不一定成立的是( )

A． B． C．β= D．
【答案】B
【分析】本題考查了折疊問題中的三角形內角和定理，三角形的外角的性質，熟練掌握三角形內角和定理，三角形的外角的性質是解題的關鍵．
根據三角形外角的性質可得∠代入計算可判斷A；無法得到選項B的結論；由折疊的性質結合平角的定義可判斷選項C；由折疊的性質結合三角形內角和定理可判斷D．
【詳解】解：如圖，

由折疊得，
∵
又
∴故A正確，不符合題意；
無法得到，故選項B符合題意；
由折疊得，
又
∴
∵
∴
∴，故選項C正確，不符合題意；
由折疊得，
∵
∴
∴，故選項D正確，不符合題意；
故選B．
【變式訓練5-6】如圖，將沿折疊，使、與邊分別相交于點、，若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可得，，可求，從而可求，由，，即可求解．
【詳解】解：由翻折得：
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故選：B．
題型六：利用三角形外角和比較角度大小
【經典例題6】如圖，已知，，線段上從左到右依次有兩點，（不與，重合）．
（I）求證：：
（2）比較，，的大小，并說明理由；
（3）若，平分，且，求的度數．
【答案】（1）見解析（2）＞＞，理由見解析（3）56°．
【分析】（1）根據平行線的性質與判定即可證明；
（2）根據三角形的外角定理即可判斷求解；
（3）設，∠EBF=y，根據題意找到數量關系得到方程組，求出x，y即可求解．
【詳解】（1）∵
∴
∵
∴
∴
（2）＞＞，理由如下：
∵是△BEF的一個外角
∴=
∴＞
∵是△BDF的一個外角
∴=
∴＞
∴＞＞
（3）設，∠EBF=y，
∵
∴
∵
∴
∵平分
∴∠EBA=∠EBF=y
∴=4x+y
∵
∴
∴
∵
∴4x+y=①
∵
∴
即2y+x=②
聯立①②解得
∴=14°+42°=56°．
【變式訓練6-1】把兩個形狀相同，大小不同的三角板如圖所示拼在一起，已知，．
（1）求的度數；
（2）如圖，如果，試比較和的大小．
【答案】（1）60°；（2）∠AEC=∠BFC
【分析】（1）根據∠BAC=90°可得2x+x=90°，求出x即可得到∠C；
（2）利用外角的性質得到∠AEC=∠90°+∠BCF，∠BFC=90°+∠ACF，結合∠ACF=∠BCF，即可比較大小．
【詳解】解：（1）由圖可知：
∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAC=90°，
∵∠B=∠DAC=x，∠C=∠BAD=2x，
∴2x+x=90°，
∴x=30°，
∴∠C=60°；
（2）由圖可知：∠BAC=∠ADC=90°，
∵∠AEC=∠ADC+∠BCF=∠90°+∠BCF，∠BFC=∠BAC+∠ACF=90°+∠ACF，
且∠ACF=∠BCF，
∴∠AEC=∠BFC．
【變式訓練6-2】如圖，已知在中，與的平分線交于點．
（1）試比較與的大小，并說明理由（利用三角形外角的性質證明）；
（2）當時，求的度數．
【答案】（1），見解析；（2）
【分析】（1）連接AP并延長至D，根據三角形的外角性質，得出∠BPD＋∠CPD＞∠BAP＋∠CAP，即可得到∠A與∠BPC的大小關系；
（2）先根據∠A＝α，∠ABC與∠ACB的角平分線相交于P，求得∠PBC＋∠PCB的度數，最后根據三角形內角和定理，求得∠BPC的度數．
【詳解】（1）連接AP并延長至D，
∵∠BPD是△ABP的外角，
∴∠BPD＞∠BAP，
同理可得，∠CPD＞∠CAP，
∴∠BPD＋∠CPD＞∠BAP＋∠CAP，
∴∠BPC＞∠BAC；
（2）∵∠A＝α，
∴∠ABC＋∠ACB＝180° α，
∵∠ABC與∠ACB的角平分線相交于P，
∴∠PBC＋∠PCB＝（∠ABC＋∠ACB）＝×（180° α），
在△PBC中，∠BPC＝180° （∠PBC＋∠PCB）＝180° ×（180° α）＝90°＋α．
【變式訓練6-3】如圖，是內任意一點，連接、．
(1)求證：；
(2)比較與的大小，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)，理由見解析
【分析】（1）延長交于點，利用三角形的外角性質得到， ，即可得證；
（2）．根據三角形的三邊關系證得，，從而得到，即可得證．
【詳解】（1）證明：延長交于點，
∵是的外角，是的外角，
∴，，
∴；
（2）．理由如下：
在和中，得：
，，
∴，
∴．
【變式訓練6-4】已知：如圖，．

(1)畫出中邊上的中線；
(2)畫出中邊上的高線；
(3)畫出的角平分線；
(4)比較與的大小： ，依據是 ．
(5)比較線段與的大小： ，依據是 ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
(4)，三角形的外角大于任意一個不相鄰的內角
(5)，垂線段最短
【分析】（1）取的中點D，連接，即可畫出中邊上的中線；
（2）根據鈍角三角形的高線的畫法即可畫出中邊上的高，即過點D畫的垂線即可；
（3）根據角平分線的畫法即可畫出的平分線；
（4）利用三角形的外角性質即可判斷；
（3）利用垂線段最短即可得解．
【詳解】（1）解：如圖，即為所示求，
；
（2）解：如圖，即為所示求，
；
（3）解：如圖，即為所示求，
；
（4）解：，依據是三角形的外角大于任意一個不相鄰的內角．
故答案為：，三角形的外角大于任意一個不相鄰的內角；
（5）解：，依據是垂線段最短．
故答案為：，垂線段最短．
題型七：三角形外角和應用之探究問題
【經典例題7】【學科融合】
射到平面鏡上的光線（入射光線）和變向后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面夾角為，反射光線與水平鏡面夾角為，則．
【應用探究】
有兩塊平面鏡，，入射光線經過兩次反射，得到反射光線．
（1）如圖2，有兩塊平面鏡，，且，入射光線經過兩次反射，得到反射光線．求證．（補充：三角形內角和為）
（2）如圖3，光線與相交于點，若，求的度數．
【深入思考】
（3）如圖4，有兩塊平面鏡，，且，入射光線經過兩次反射，得到反射光線，光線與所在的直線相交于點，，與之間滿足的等量關系是______．（直接寫出結果）
【答案】（1）見詳解
（2）
（3）
【分析】本題主要考查了平行線的判定、三角形外角的性質以及三角形內角和定理，熟練掌握三角形的性質是解題的關鍵．
（1）根據平面鏡反射光線的規律得，，再利用，可得，然后根據“同旁內角互補，兩直線平行”證明結論即可；
（2）根據三角形內角和定理求得，根據平面鏡反射光線的規律得，，再結合平角的定義得出，然后根據三角形內角和定理即可得出答案；
（3）結合三角形外角的性質可得，，結合，可得，整理可得答案．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）∵，
，
，
∴，
∴．
【變式訓練7-1】綜合與實踐
【問題情境】
已知，點P為一動點，和都不經過點P，探索與的數量關系．
【探究實踐】
（1）在圖1中，已知，，小亮的思路是：過點P作，請你按照小亮的思路，求出的度數為_______；
【拓展應用】
（2）在圖2中，若 ，求的度數；
（3）在圖3中，過點P作直線，試探究與，的數量關系，并說明理由．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】本題主要考查平等線的判定與性質,三角形內角和定理和外角的性質：
（1）過點P作，得，由平等線的性質可得，從而可得出
（2）過點P作，得，得出，從而可得出；
（3）由平行線的性質得，由三角形內角和定理得由三角形外角性質得，從而可得出結論
【詳解】解：（1）過點P作，如圖，
∵，
∴，
又，，
∴
∴，
故答案為：；
（2）過點P作，如圖，
∵，
∴，
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴；
（3）如圖，
∵，
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
【變式訓練7-2】 已知：如圖①，在中，是角平分線，點E、F分別在邊、上，，將繞點C以每秒5°的速度按逆時針方向旋轉一周，旋轉時間為t．當所在直線與線段，有交點時，交點分別為點M、點N．
(1)當時，如圖②，此時直線與的位置關系是 ， °；
(2)是否存在某個時刻t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；
(3)試探究：在旋轉過程中，當t為何值時，中有兩個角相等，請直接寫出t的值．
【答案】(1)，60
(2)33或69
(3)t的值為9或18或54或63
【分析】本題主要考查了平行線的性質，三角形內角和定理的應用，三角形外角的性質，解題的關鍵是數形結合，注意分類討論．
（1）根據題中條件，求得，由此可求得，即，同時可求得；
（2）分兩種情況討論：當在點C的左邊時，當在點C的右邊時，分別畫出圖形，求出結果即可；
（3）分情況進行討論，①，求得CE旋轉45°或315°，②，可求得CE旋轉90°或270°．
【詳解】（1）解：如圖所示，與交于點O，
∵，
∴，
∵是角平分線，
∴，
當時，根據由旋轉可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴直線與的位置關系是：垂直，
∵，
∴．
（2）解：如圖，當在點C的左邊時，延長交于點G，
∵，
∴，
∵是角平分線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如圖，當在點C的右邊時，
∵，
∴，
∵是角平分線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴根據旋轉可知，旋轉角為：，
∴；
綜上分析可知：或時，使得；
（3）解：由題意可知，，
①當，
∴，
∴，
∵，
∴，
即當旋轉時，中有兩個角相等，如圖所示，
∴此時；
②時，
則： ，
∴，即，如圖，
則旋轉的度數為：，
即當旋轉時，中有兩個角相等；
此時；
③當時，
∵，
∴，
則，
即，
∵，
∴，
即當旋轉時，中有兩個角相等，如圖所示，
此時；
④由③可知，如圖，當時，
∵，
此時旋轉，
即當旋轉時，中有兩個角相等，
此時；
綜上所述：當t的值為9或18或54或63時，中有兩個角相等．
【變式訓練7-3】認真閱讀下面關于三角形內外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題．
(1)探究1：如圖1，在中，O是與的平分線和的交點，猜想與之間存在怎樣的數量關系？并說明你的猜想．
(2)探究2：如圖2中，O是與外角的平分線和的交點，試分析與有怎樣的關系？請說明理由．
(3)探究3：如圖3中，O是外角與外角的平分線和的交點，則與有怎樣的關系？請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先根據角平分線的定義，可得，，再根據三角形內角和定理，即可求解；
（2）先由角平分線得出，再由三角形的外角的性質得出，再根據三角形外角的性質，即可得出結論；
（3）首先根據三角形的外角性質，得，再根據角平分線的定義，可得，再根據三角形內角和定理，即可求解．
【詳解】（1）解：，理由如下：
∵和分別是與的角平分線
∴，
∴
又∵
∴
∴
=
；
（2）解：，理由如下：
∵和分別是與外角的角平分線，
∴，
又∵是的一外角，
∴，
∴，
∵是的一外角，
∴；
（3）解：結論．
根據三角形的外角性質，得，
∵O是外角與外角的平分線和的交點，
∴，
∴
∵，
∴，
∴在中，
故答案為：．
【變式訓練7-4】在中，，點，分別是邊，上的點（不與，，重合），點是平面內一動點（與，不在同一直線上），設，，．
(1)若點在邊上運動（不與點和點重合），且，如圖（1）所示，則 ；
(2)若點在的外部，如圖（2）所示，則，，之間有何關系？寫出你的結論，并說明理由．
(3)當點在邊的延長線上運動時，請你通過畫出圖形進行探究，然后直接寫出，，之間的關系．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本題考查三角形的外角，三角形的內角和定理，解題的關鍵是掌握三角形的外角性質，三角形的內角和定理，四邊形內角和，即可．
（1）根據，，即可得到的角度；
（2）根據三角形的外角，則，即可；
（3）分類討論，根據三角形的外角的性質，即可．
【詳解】（1）∵，
∴，
∵，，，
∴．
故答案為：．
（2），理由，如下：
∵，，
∵，
∴，
∴．
（3），
證明如下：
∵，，，
∴，
∴；
，
證明如下：
∵，，，
∴，
∴．
【變式訓練7-5】問題背景：如圖，已知，李老師說，，存在某種數量關系，小明同學經過認真思考，得出了結論，
(1)請直接寫出，，存在的數量關系．
(2)問題探究：愛動手實踐的小芳同學有一塊如圖七巧板，小芳同學發現，，，存在某種確定的數量關系，請寫出你發現的，，，存在的數量關系，并寫出證明過程．
(3)拓展應用：如圖，若，，，，請直接寫出度數（用表示）．
【答案】(1)，理由見解析；
(2)，理由見解析；
(3)．
【分析】本題主要考查了平行線的判定及性質，三角形的外角性質，熟練掌握三角形的外角形的性質是解題的關鍵．
（1）過點作，則，則，，從而；
（2）延長交于點，由三角形的外角性質得，，從而得；
（3）由，，得，由（）得，，進而得，求解即可．
【詳解】（1）解：，理由如下：
過點作，則，
∴，，
∴；
（2）解：，理由如下：延長交于點，
∵是的一個外角，是的一個外角，
∴，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，，
∴
由（）得，，
∴，，
∴，
解得．
【變式訓練7-6】如圖，已知，點E在直線AB，CD之間，連接AE，CE．
【感知】如圖①，若，，則__________°；
【探究】如圖②，猜想、和之間有什么樣的數量關系，并說明理由；
【應用】如圖③，若AH平分，將線段CE沿CD方向平移至FG（），若，FH平分，則__________°．
【答案】【感知】90；【探究】，證明見解析；【應用】40．
【分析】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形內角和定理，平行線的性質，角平分線的定義等知識，解題的關鍵學會利用幾何模型解決問題，屬于中考常考題型．
感知：過點E作，由平行線的性質得出，證出，由平行線的性質得出，即可得出結論；
探究：延長點點交于點F，則可根據三角形的外角即可判定
應用：證明，再根據，可得結論．
【詳解】證明：如圖①，
過點E作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案為：90；
【探究】，證明如下：
如圖，延長點交于點F，
∵，
∴，
∵在中，，
∴；
【應用】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案為：40．
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