資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1.3.4 垂直平分線的性質(zhì)與判定六大題型（一課一講）
【同步培優(yōu)】
題型一：利用垂直平分線的性質(zhì)求線段長度
【經(jīng)典例題1】如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點D，E，連接，若，，則的長是（ ）
A．11 B．8 C．5 D．3
【變式訓練1-1】如圖，在中，的垂直平分線交于點，邊的垂直平分線交于點．已知的周長為，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】如圖，在中，邊的垂直平分線交．于點，，且，，則的周長是（ ）
A．7.5 B．5 C．8 D．6
【變式訓練1-3】如圖，在中，，的垂直平分線交邊于點，的垂直平分線交邊于點，則的周長是（ ）
A． B．10 C．12 D．
【變式訓練1-4】如圖，中，D是的中點，交于，則 ．
【變式訓練1-5】如圖，在中，，，作邊的垂直平分線，交于點，交于點．若，則的長為 ．
題型二：利用垂直平分線的性質(zhì)求角度
【經(jīng)典例題2】如圖，在中，，P為內(nèi)一點，過點P的直線分別交，于點E，F(xiàn)．若點E，F(xiàn)分別在，的垂直平分線上，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-1】如圖，，點O是，的垂直平分線，的交點，則的度數(shù)為（ ）

A．145° B．150° C．160° D．165°
【變式訓練2-2】如圖，在中，，點D為中點，過點D作的垂線，交于點E，連接，作的平分線，與的延長線交于點F，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-3】如圖，在中，點為三邊垂直平分線交點，是三角形角平分線的交點，連接，，，，若，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-4】如圖，在中，為直角，由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的直線交于點D，連接．若，則的度數(shù)為 ．
【變式訓練2-5】如圖，線段的垂直平分線m，n相交于點O． 連接，若，則 °．
題型三：利用垂直平分線的性質(zhì)求最值
【經(jīng)典例題3】如圖，四邊形中，，，在、上分別找一點M、N，當周長最小時，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】如圖，P為∠AOB內(nèi)一定點，M、N分別是射線OA、OB上一點，當△PMN周長最小時，∠OPM＝50°，則∠AOB＝（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【變式訓練3-2】如圖，P為內(nèi)一定點，M，N分別是射線上的點，當周長最小時，，則 ．
【變式訓練3-3】如圖，四邊形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的一點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為 ．
【變式訓練3-4】如圖，已知∠BAC＝65°，D為∠BAC內(nèi)部一點，過D作DB⊥AB于B，DC⊥AC于C，設點E、點F分別為AB、AC上的動點，當△DEF的周長最小時，∠EDF的度數(shù)為 ．

【變式訓練3-5】如圖，，點、分別是邊、上的定點，點、分別是邊、上的動點，記，，當最小時，則的值為 .
題型四：利用垂直平分線的性質(zhì)和判定證明
【經(jīng)典例題4】如圖，在中，點D為邊的中點，過點B作交的延長線于點E．
(1)求證：．
(2)若，求證：
【變式訓練4-1】如圖，與相交于點，，，．
求證：
(1)；
(2)垂直平分．
【變式訓練4-2】如圖，在中，邊的垂直平分線分別交于點D、E，直線交于點O．
(1)試判斷點O是否在的垂直平分線上，并說明理由；
(2)若，求的度數(shù)．
【變式訓練4-3】已知：E是的平分線上一點，，垂足分別為C、D．
(1)若，求；
(2)求證：垂直平分．
【變式訓練4-4】如圖，在四邊形中，，為的中點，連接，，延長交的延長線于點．

(1)求證：點是的中點；
(2)若，，求的長．
【變式訓練4-5】如圖，在四邊形中，，為的中點，連接并延長，交的延長線于點．

(1)求證：
(2)點在線段的垂直平分線上，，，求四邊形的面積．
題型五：垂直平分線性質(zhì)和應用之多結(jié)論問題
【經(jīng)典例題5】如圖，，，，垂足分別為，，下列結(jié)論成立的是（ ）
①平分；②；③平分；④垂直平分．
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②③④
【變式訓練5-1】如圖，中，的平分線交于D，過點D作，，垂足為點E、F，下面四個結(jié)論中：①；②垂直平分；③；④，正確的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【變式訓練5-2】如圖，在中，平分交于點D，過點D作，垂足分別為E，F(xiàn)．下面四個結(jié)論：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正確的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【變式訓練5-3】如圖，在△ABC中，，，BD平分∠ABC，，交AB于點E．關于下面兩個結(jié)論，說法正確的是（ ）
結(jié)論①；結(jié)論②．
A．結(jié)論①②都正確 B．結(jié)論①②都錯誤
C．只有結(jié)論①正確 D．只有結(jié)論②正確
【變式訓練5-4】如圖，在中，，分別為，邊上的高，，相交于點F，，連接，則下列結(jié)論：①；②；③若，則周長等于的長；④．其中正確的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【變式訓練5-5】如圖，在中，D為上一點，于點E，于點F，連接，點H是的中點，交于點G，連接．若平分，則下列結(jié)論： ； ； ； ．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
題型六：垂直平分線性質(zhì)和應用之探究問題
【經(jīng)典例題6】（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．
解決此問題可以用如下方法：延長到點E使，再連接（或?qū)⒗@著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到），把、，集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線的取值范圍是　　；
（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊上的中點，于點D，交于點E，交于點F，連接，求證：；
（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點作一個角，角的兩邊分別交，于E、F兩點，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關系，并加以證明．

【變式訓練6-1】八年級一班數(shù)學興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．

【閱讀理解】如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．小聰同學是這樣思考的：延長至，使，連接．利用與全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關系即可求出中線的取值范圍．在這個過程中小聰同學證與全等的判定方法是：__________；中線的取值范圍是__________．
【閱讀感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．
【理解與應用】如圖2，在中，，點是的中點，點在邊上，點在邊上，若．證明：．
【問題解決】如圖3，在中，點是的中點，，，其中，連接，探索與的關系，并說明理由．
【變式訓練6-2】八年級一班數(shù)學興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．

(1)【閱讀理解】如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．小聰同學是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關系即可求出中線的取值范圍．在這個過程中小聰同學證三角形全等用到的判定方法是： ；中線的取值范圍是
(2)【理解與應用】如圖2，在中，，點是的中點，點在邊上，點在邊上，若．試猜想線段、、三者之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．
(3)【問題解決】如圖3，在中，點是的中點，，，其中，連接，探索與的數(shù)量關系，并說明理由．
【變式訓練6-3】在中，，，射線，的夾角為，過點作于點，直線交于點，連接．
(1)如圖1，射線，都在內(nèi)部．
①若，，則　 　；
②作點關于直線的對稱點，在圖1中找出與線段相等的線段，并證明．
(2)如圖2，射線在的內(nèi)部，射線在的外部，其它條件不變，探究線段之間的數(shù)量關系，并證明．
【變式訓練6-4】八年級的同學在一次探究試驗活動中發(fā)現(xiàn)，解決幾何問題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線（延長的線段等于中線長）或延長過中點的線段，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，進而使得問題得以解決．
(1)如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍；
(2)如圖2，在中，點D是的中點，點M在邊上，點N在邊上，若．
求證：；
(3)如圖3，和均為等腰直角三角形，且，連接，，點D為邊的中點，連接．請直接寫出與的數(shù)量關系和位置關系．
【變式訓練6-5】（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關系即可求出中線的取值范圍，在這個過程中小聰同學證三角形全等用到的判定方法是______，中線的取值范圍是______；
（2）問題解決：如圖2，在中，點是的中點，．交于點，交于點．求證：；
（3）問題拓展：如圖3，在中，點是的中點，分別以，為直角邊向外作和，其中，，，連接，請你探索與的數(shù)量與位置關系．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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1.3.4 垂直平分線的性質(zhì)與判定六大題型（一課一講）
【同步培優(yōu)】
題型一：利用垂直平分線的性質(zhì)求線段長度
【經(jīng)典例題1】如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點D，E，連接，若，，則的長是（ ）
A．11 B．8 C．5 D．3
【答案】C
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．
首先求出，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得．
【詳解】∵，
∴
∵是的垂直平分線
∴．
故選：C．
【變式訓練1-1】如圖，在中，的垂直平分線交于點，邊的垂直平分線交于點．已知的周長為，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．利用線段垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”可得，，然后利用等量代換可得的周長，即可解答．
【詳解】解：是的垂直平分線，
，
是的垂直平分線，
，
的周長，
，
，
，
的長為；
故選：C．
【變式訓練1-2】如圖，在中，邊的垂直平分線交．于點，，且，，則的周長是（ ）
A．7.5 B．5 C．8 D．6
【答案】B
【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題法關鍵．根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．
【詳解】解：是邊的垂直平分線，
，
的周長．
故選：B．
【變式訓練1-3】如圖，在中，，的垂直平分線交邊于點，的垂直平分線交邊于點，則的周長是（ ）
A． B．10 C．12 D．
【答案】C
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，由是的垂直平分線，是的垂直平分線，得出，即可求解，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．
【詳解】解：∵是的垂直平分線，是的垂直平分線，
∴，
∵
∴的周長，
故選：C．
【變式訓練1-4】如圖，中，D是的中點，交于，則 ．
【答案】10
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)的運用，解決問題的關鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，依據(jù)全等三角形對應邊相等進行求解，解題時注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．
先連接，過作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及中垂線的性質(zhì)，得出，進而判定，即可得到，據(jù)此列出方程，求得的值，即可得到長．
【詳解】解：連接，過作于，
∵是的中點，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
設，則，
，
解得，
，
故答案為：10．
【變式訓練1-5】如圖，在中，，，作邊的垂直平分線，交于點，交于點．若，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)；根據(jù)題意得出，進而根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：，，
，
是的垂直平分線，
，
，
，
，
平分，
，，
，
故答案為：．
題型二：利用垂直平分線的性質(zhì)求角度
【經(jīng)典例題2】如圖，在中，，P為內(nèi)一點，過點P的直線分別交，于點E，F(xiàn)．若點E，F(xiàn)分別在，的垂直平分線上，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關鍵．由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，．再根據(jù)平角和三角形內(nèi)角和定理計算即可得出答案．
【詳解】解：∵點E，F(xiàn)分別在，的垂直平分線上，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
【變式訓練2-1】如圖，，點O是，的垂直平分線，的交點，則的度數(shù)為（ ）

A．145° B．150° C．160° D．165°
【答案】C
【分析】本題考查垂直平分線性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、以及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)，得到，，再利用三角形內(nèi)角和定理進行求解，即可解題．
【詳解】解：連接，
∵，
∴，
∵、的垂直平分線交于點O，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故選C．

【變式訓練2-2】如圖，在中，，點D為中點，過點D作的垂線，交于點E，連接，作的平分線，與的延長線交于點F，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本考查中垂線的性質(zhì)，與角平分線有關的三角形的內(nèi)角和問題，根據(jù)題意，易得垂直平分，進而推出，角平分線，得到，三角形的內(nèi)角和得到，進而得到，三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)即可．
【詳解】解：∵在中，，
∴，
∵點D為中點，過點D作的垂線，交于點E，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴；
故選B．
【變式訓練2-3】如圖，在中，點為三邊垂直平分線交點，是三角形角平分線的交點，連接，，，，若，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義；連接，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，進而得到 ，求出 ，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案．
【詳解】解：連接，
∵，
∴，
∴，
∵O是三邊垂直平分線的交點，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
∴，
故選：D．
【變式訓練2-4】如圖，在中，為直角，由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的直線交于點D，連接．若，則的度數(shù)為 ．
【答案】/26度
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由題意可知，為線段的垂直平分線，得出，在中，為直角，，求出即可求解，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意可知，為線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∵在中，為直角，，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓練2-5】如圖，線段的垂直平分線m，n相交于點O． 連接，若，則 °．
【答案】43
【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)余角的性質(zhì)得到即可．
【詳解】連接并延長至，直線與m交于點，
∵線段的垂直平分線m，n相交于點O
∴，，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
題型三：利用垂直平分線的性質(zhì)求最值
【經(jīng)典例題3】如圖，四邊形中，，，在、上分別找一點M、N，當周長最小時，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′，進而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
【詳解】解：作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．作DA延長線AH，
∵∠DAB= ，
∴∠HAA′=，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=，
．
故選：B．
【變式訓練3-1】如圖，P為∠AOB內(nèi)一定點，M、N分別是射線OA、OB上一點，當△PMN周長最小時，∠OPM＝50°，則∠AOB＝（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】A
【分析】作P關于OA，OB的對稱點P1，P2．連接OP1，OP2．則當M，N是P1P2與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得：∠OP1M＝∠OPM＝50°，OP1＝OP2＝OP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：作P關于OA，OB的對稱點P1，P2．連接OP1，OP2．則當M，N是P1P2與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，連接P1O、P2O，
∵PP1關于OA對稱，
∴∠P1OP＝2∠MOP，OP1＝OP，P1M＝PM，∠OP1M＝∠OPM＝50°
同理，∠P2OP＝2∠NOP，OP＝OP2，
∴∠P1OP2＝∠P1OP+∠P2OP＝2（∠MOP+∠NOP）＝2∠AOB，OP1＝OP2＝OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N＝∠OP1M＝50°，
∴∠P1OP2＝180°﹣2×50°＝80°，
∴∠AOB＝40°，
故選A．
【變式訓練3-2】如圖，P為內(nèi)一定點，M，N分別是射線上的點，當周長最小時，，則 ．
【答案】50°
【分析】作P關于OA，OB的對稱點P1，P2．連接OP1，OP2．則當M，N是P1P2與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得：∠OP1M=∠OPM，, OP1=OP2=OP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】如圖，作P關于，的對稱點，連接．則當M，N是與的交點時，的周長最小．
∵P，關于對稱，，
∴，．
同理，，，
∴．
∵，∴，
∴，∴．
故答案為：
【變式訓練3-3】如圖，四邊形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的一點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為 ．
【答案】100°．
【分析】根據(jù)要使△AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝40°，進而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
【詳解】作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，
則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，
∵∠C＝40°，
∴∠DAB＝140°，
∴∠HAA′＝40°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°，
故答案為：100°．
【變式訓練3-4】如圖，已知∠BAC＝65°，D為∠BAC內(nèi)部一點，過D作DB⊥AB于B，DC⊥AC于C，設點E、點F分別為AB、AC上的動點，當△DEF的周長最小時，∠EDF的度數(shù)為 ．

【答案】50°
【分析】先作點D關于AB和AC的對稱點M、N，連接MN交AB和AC于點E、F，此時△DEF的周長最小，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和與等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：如圖所示：

延長DB和DC至M和N，使MB＝DB，NC＝DC，
連接MN交AB、AC于點E、F，
連接DE、DF，此時△DEF的周長最小．
∵DB⊥AB，DC⊥AC，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAC＝65°，
∴∠BDC＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，
∴∠M+∠N＝180°﹣115°＝65°
根據(jù)對稱性質(zhì)可知：
DE＝ME，DF＝NF，
∴∠EDM＝∠M，∠FDN＝∠N，
∴∠EDM+∠FDN＝65°，
∴∠EDF＝∠BDC﹣（∠EDM+∠FDN）＝115°﹣65°＝50°．
故答案為50°．
【變式訓練3-5】如圖，，點、分別是邊、上的定點，點、分別是邊、上的動點，記，，當最小時，則的值為 .
【答案】/40度
【分析】本題考查軸對稱最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．作關于的對稱點，關于的對稱點，連接交于，交于，則最小易知，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論．
【詳解】如圖，作關于的對稱點，關于的對稱點，連接交于，交于，則最小，
，，
，
，
，
故答案為：．
題型四：利用垂直平分線的性質(zhì)和判定證明
【經(jīng)典例題4】如圖，在中，點D為邊的中點，過點B作交的延長線于點E．
(1)求證：．
(2)若，求證：
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的判定和性質(zhì)：
（1）由中點，得到，由，得到，即可得證；
（2）由全等三角形的性質(zhì)，得到，進而推出垂直平分，即可得證．
【詳解】（1）證明：為的中點，
．
；
在和中，
；
（2）證明：
垂直平分，
．
【變式訓練4-1】如圖，與相交于點，，，．
求證：
(1)；
(2)垂直平分．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析．
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
（1）證明，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)線段的垂直平分線的判定解決問題即可．
【詳解】（1）證明：在與中，
，
∴，
∴．
（2）證明：由（1）得，
∴，
∴點O在線段的垂直平分線上，
∵，
∴點E在線段的垂直平分線上，
∴垂直平分．
【變式訓練4-2】如圖，在中，邊的垂直平分線分別交于點D、E，直線交于點O．
(1)試判斷點O是否在的垂直平分線上，并說明理由；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)點O在的垂直平分線上，理由見解析
(2)
【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．
（1）連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，則，根據(jù)垂直平分線的判定可證明結(jié)論
（2）證明，又由及四邊形內(nèi)角為即可得到的度數(shù)．
【詳解】（1）點O在的垂直平分線上，理由如下：
連接，
∵邊的垂直平分線分別交于點D、E，直線交于點O．
∴，
∴，
∴點O在的垂直平分線上；
（2）∵，
∴，
∵，
∴
【變式訓練4-3】已知：E是的平分線上一點，，垂足分別為C、D．
(1)若，求；
(2)求證：垂直平分．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的判定、角平分線的性質(zhì)：
（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得，，通過證明，，結(jié)合等邊對等角，即可作答．
（2）根據(jù)到線段的端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，即可作答．
【詳解】（1）解：∵E是的平分線上一點，，
∴，
在和中
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴
（2）解：由(1)知，
∴又
∴O、E在的垂直平分線上
∴垂直平分
【變式訓練4-4】如圖，在四邊形中，，為的中點，連接，，延長交的延長線于點．

(1)求證：點是的中點；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及中點性質(zhì)，再結(jié)合已知條件，利用全等三角形的判定定理得到，再由全等性質(zhì)即可得證；
（2）由（1）中，結(jié)合中垂線的判定與性質(zhì)即可得到，代值求解即可得到答案．
【詳解】（1）證明：，
，
是的中點，
，
在與中，
，
，即點是的中點；
（2）解：，
，
又，，
是線段的垂直平分線，
，
，
．
【變式訓練4-5】如圖，在四邊形中，，為的中點，連接并延長，交的延長線于點．

(1)求證：
(2)點在線段的垂直平分線上，，，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)40
【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題關鍵．
（1）根據(jù)三角形全等的判定證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；
（2）連接，先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)可得，然后根據(jù)和直角梯形的面積公式求解即可得．
【詳解】（1）證明：為中點，
，
在和中，，
，
．
（2）解：如圖，連接，

由（1）已證：，
，
點在線段的垂直平分線上，
垂直平分，
，
∵在四邊形中，，，，
∴四邊形是直角梯形，
∴四邊形的面積為．
題型五：垂直平分線性質(zhì)和應用之多結(jié)論問題
【經(jīng)典例題5】如圖，，，，垂足分別為，，下列結(jié)論成立的是（ ）
①平分；②；③平分；④垂直平分．
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、垂直平分線定義，以及角平分線的性質(zhì)和判定，由，，，可證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可解題．
【詳解】解：，，
在和中，
有，，
，
，，，
平分，平分，
①②③正確，
，，
垂直平分，
④錯誤，
故選C．
【變式訓練5-1】如圖，中，的平分線交于D，過點D作，，垂足為點E、F，下面四個結(jié)論中：①；②垂直平分；③；④，正確的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)垂直的定義、等腰三角形的性質(zhì)判斷①；根據(jù)線段垂直平分線的判定定理判斷②；根據(jù)三角形的面積公式判斷③，結(jié)合題意判斷④．
【詳解】解：∵的平分線交于D，，，
∴，
∴，又，
∴，①正確；
∵，
∴，又，
∴垂直平分，②正確；
，③正確；
由垂直平分，若，則，由題意，不一定垂直，故與不一定平行，④錯誤，
故選：A．
【變式訓練5-2】如圖，在中，平分交于點D，過點D作，垂足分別為E，F(xiàn)．下面四個結(jié)論：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正確的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】①利用AAS證明△AFD≌△AED即可得出AF=AE；②由AF=AE，DF=DE，即可判定垂直平分；③利用DF=DE和三角形面積公式即可判定；④由AD不一定垂直BC即可判定該選項錯誤．
【詳解】解：①在△ABC中，AD是的角平分線，DE⊥AC，DF⊥AB，
∵在△AFD和△AED中，
∠FAD=∠EAD，∠AFD=∠AED，AD=AD，
∴△AFD≌△AED（AAS），
∴DF=DE，AF=AE，故①項正確；
②∵AF=AE，DF=DE，
∴A，D都在EF的垂直平分線上，
∴AD垂直平分EF，故②項正確；
③∵DF=DE，
∴，故③正確；
④∵AD不一定垂直BC，
∴EF不一定平行BC，故④錯誤．
綜上①②③正確，
故選A．
【變式訓練5-3】如圖，在△ABC中，，，BD平分∠ABC，，交AB于點E．關于下面兩個結(jié)論，說法正確的是（ ）
結(jié)論①；結(jié)論②．
A．結(jié)論①②都正確 B．結(jié)論①②都錯誤
C．只有結(jié)論①正確 D．只有結(jié)論②正確
【答案】A
【分析】由三角形內(nèi)角和定理得，根據(jù)ASA可證明得出，，從而得到BD是CE的垂直平分線，得DC=DE，又可得，從而再由三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，
∵在△ABC中，，，
∴
∵BD是∠ABC的平分線，
∴
又
∴
在和中，
∴
∴BC=BE，CO=EO
∴
∴
∵CO=EO，
∴BD是CE的垂直平分線，
∴DC=DE，
∴
∴
故①②都正確，
故選A
【變式訓練5-4】如圖，在中，，分別為，邊上的高，，相交于點F，，連接，則下列結(jié)論：①；②；③若，則周長等于的長；④．其中正確的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，垂直的定義，三角形外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的意義，根據(jù)已知，選擇好方法，證明判斷即可．
【詳解】解：如圖，延長交于H，

∵，分別為，邊上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故①符合題意；
∵，
∴，
∴，
故②符合題意；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴的周長，
故③符合題意；
∵，
∴，
∵，
∴，
故④不符合題意；
∴正確的有①②③．
故選：A．
【變式訓練5-5】如圖，在中，D為上一點，于點E，于點F，連接，點H是的中點，交于點G，連接．若平分，則下列結(jié)論： ； ； ； ．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握判定方法是解題的關鍵；
根據(jù)角平分線的性質(zhì)可對①進行判斷；根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可對②進行判斷；通過證明可對③進行判斷；由，則，由于與的大小關系不能確定，則與的大小不能確定，則根據(jù)全等三角形的判定方法可對④進行判斷；
【詳解】于點E，于點F，平分，
故①正確，
點H是的中點，，
垂直平分，
，故②正確
平分，
，
，
，
，
，故③正確，
，
與的大小關系不能確定，
與的大小不能確定，
不能判斷，故④錯誤，
綜上所述：①②③正確；
故選：C．
題型六：垂直平分線性質(zhì)和應用之探究問題
【經(jīng)典例題6】（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．
解決此問題可以用如下方法：延長到點E使，再連接（或?qū)⒗@著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到），把、，集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線的取值范圍是　　；
（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊上的中點，于點D，交于點E，交于點F，連接，求證：；
（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點作一個角，角的兩邊分別交，于E、F兩點，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關系，并加以證明．

【答案】（1）（2）見解析（3），見解析
【分析】（1）根據(jù)判定，選擇即可．根據(jù)，運用三角形三邊關系定理計算即可．
（2）延長到點G使，再連接, 證明，運用三角形三邊關系定理計算即可．
（3）延長到點M使，連接，證明，構(gòu)造半角模型證明即可．
【詳解】（1）∵邊上的中線，
∴，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案為：．
（2）如圖，延長到點G使，連接
∵邊上的中線，
∴，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴直線是線段的垂直平分線，
連接，則，
在中，，
∴，
故．
（3）線段，，之間的數(shù)量關系是．證明如下：
如圖，延長到點M使，連接
∵，
∴，

∵，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓練6-1】八年級一班數(shù)學興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．

【閱讀理解】如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．小聰同學是這樣思考的：延長至，使，連接．利用與全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關系即可求出中線的取值范圍．在這個過程中小聰同學證與全等的判定方法是：__________；中線的取值范圍是__________．
【閱讀感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．
【理解與應用】如圖2，在中，，點是的中點，點在邊上，點在邊上，若．證明：．
【問題解決】如圖3，在中，點是的中點，，，其中，連接，探索與的關系，并說明理由．
【答案】閱讀理解：；；理解與應用：證明見解析；問題解決：，，理由見解析
【分析】閱讀理解：由證明得出，在中，由三角形的三邊關系即可得出結(jié)論；
理解與應用：延長至點，使，連接、，同（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關系即可得出結(jié)論；
問題解決：延長至，使，連接，由（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證出，證明得出，，則，延長交于，根據(jù) ，，可得，即有，則有．
【詳解】閱讀理解：解：延長至E，使，連接，
是邊上的中線，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三邊關系得：，
，即，
，
，
；
故答案為：；；
理解與應用：證明：延長至點，使，連接、，如圖2所示：

同上可證：，
，
，，
∴是線段的垂直平分線，
，
在中，由三角形的三邊關系得：，
；
問題解決：解：，，理由如下：
延長至，使，連接，如圖3所示：

由（1）得：，
，，
，
，即，
，
，
∵，，
∴，
在和中，
，
，
，，
．
延長交于，
，，
，
，
，
．
【變式訓練6-2】八年級一班數(shù)學興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．

(1)【閱讀理解】如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．小聰同學是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關系即可求出中線的取值范圍．在這個過程中小聰同學證三角形全等用到的判定方法是： ；中線的取值范圍是
(2)【理解與應用】如圖2，在中，，點是的中點，點在邊上，點在邊上，若．試猜想線段、、三者之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．
(3)【問題解決】如圖3，在中，點是的中點，，，其中，連接，探索與的數(shù)量關系，并說明理由．
【答案】(1)；
(2)；證明見解析
(3)；理由見解析
【分析】（1）由證明得出，在中，由三角形的三邊關系即可得出結(jié)論；
（2）延長至點，使，連接、，同（1）得，由全等三角形的性質(zhì)得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關系即可得出結(jié)論；
（3）延長至，使，連接，由（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證出，證明得出，則．
【詳解】（1）解：延長至E，使，連接，
是邊上的中線，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三邊關系得：，
，即，
，
，
；
故答案為：；；
（2）解：，證明如下：
延長至點，使，連接、，如圖2所示：

同（1）可證：，
，
，，
∴是線段的垂直平分線，
，
在中，由三角形的三邊關系得：，
；
（3）解：，理由如下：
延長至，使，連接，如圖3所示：

同（1）得：，
，，
，
，即，
，
，
∵，
∴，
在和中，
，
，
，
．
【變式訓練6-3】在中，，，射線，的夾角為，過點作于點，直線交于點，連接．
(1)如圖1，射線，都在內(nèi)部．
①若，，則　 　；
②作點關于直線的對稱點，在圖1中找出與線段相等的線段，并證明．
(2)如圖2，射線在的內(nèi)部，射線在的外部，其它條件不變，探究線段之間的數(shù)量關系，并證明．
【答案】(1)①20；②，理由見解析
(2)，理由見解析
【分析】（1）①先根據(jù)角的運算得出的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)；再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得出的度數(shù)，作差可得結(jié)論；
②連接，可得出，再根據(jù)，，可得出，，所以；進而可得，再由全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）在延長線上取點，使．連接．由垂直平分線的性質(zhì)可得，；設，，所以，由此表達，由，可得，所以，即；由此可得，所以，由此可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：①，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：20；
②，理由如下：
證明：如圖1，連接，
，
∵點與點關于直線對稱，，
，
是的垂直平分線，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：，
證明：如圖2，在延長線上取點，使，連接，
，
，
，
設，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
．
【變式訓練6-4】八年級的同學在一次探究試驗活動中發(fā)現(xiàn)，解決幾何問題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線（延長的線段等于中線長）或延長過中點的線段，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，進而使得問題得以解決．
(1)如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍；
(2)如圖2，在中，點D是的中點，點M在邊上，點N在邊上，若．
求證：；
(3)如圖3，和均為等腰直角三角形，且，連接，，點D為邊的中點，連接．請直接寫出與的數(shù)量關系和位置關系．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)，
【分析】（1）延長至，使，連接，由證明得出，在中，由三角形的三邊關系即可得出結(jié)論；
（2）延長至點，使，連接、，同（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關系即可得出結(jié)論；
（3）延長至，使，連接，同（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證出，證明得出，，則．延長交于，證出，得出，即可．
【詳解】（1）解：延長至，使，連接，如圖1，
是邊上的中線，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三邊關系得：，
，即，
；
（2）證明：延長至點，使，連接、，如圖2：
同（1）得：，
，
，，
，
在中，由三角形的三邊關系得：，
；
（3）解：，，理由如下：
延長至，使，連接，如圖3，
同（1）得：，
，，
，
，
即，
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
延長交于，
，
，
，
，
，
即，．
【變式訓練6-5】（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關系即可求出中線的取值范圍，在這個過程中小聰同學證三角形全等用到的判定方法是______，中線的取值范圍是______；
（2）問題解決：如圖2，在中，點是的中點，．交于點，交于點．求證：；
（3）問題拓展：如圖3，在中，點是的中點，分別以，為直角邊向外作和，其中，，，連接，請你探索與的數(shù)量與位置關系．
【答案】（1），；（2）見解析；（3），
【分析】（1）延長至，使，連接，利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形三邊關系“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”求解即可；
（2）延長至點，使，連接，利用“”證明，易得，可知為的垂直平分線，由垂直平分線的性質(zhì)可得，然后由三角形的三邊關系可證明結(jié)論；
（3）延長于，使得，連接，延長交于，首先證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，再證明，可得，，進而可證明．
【詳解】解：（1）如圖1，延長至，使，連接，
∵為邊上的中線，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，根據(jù)三角形三邊關系可得：，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案為：，；
（2）如圖2中，延長至點，使，連接，
∵點是的中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，由三角形的三邊關系得：，
∴；
（3）結(jié)論：，，
如圖3，延長于，使得，連接，延長交于，
∵點是的中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
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