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1.3.1 全等三角形的判定十一大題型（一課一講）
【同步培優(yōu)】
題型一：用SSS證明三角形全等
【經典例題1】用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖如下，則要說明，需要證明和，則這兩個三角形全等的依據(jù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了作一個角等于已知角的尺規(guī)作圖、三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵．
根據(jù)尺規(guī)作圖可得，，，再根據(jù)定理即可得．
【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知，，，，
在和中，
，
∴
即這兩個三角形全等的依據(jù)是，
故選：C．
【變式訓練1-1】如圖，垂直平分，垂足為E，連接，則圖中全等的三角形共有（ ）
A．2對 B．3對 C．4對 D．5對
【答案】B
【分析】本題考查了對全等三角形的判定定理的應用，垂直平分線的性質，注意：全等三角形的判定定理有．根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可．
【詳解】解：垂直平分，
，
，
在和中，，
∴，
在和中，，
∴，
在和中，，
∴，
故有3對三角形全等，
故選：B．
【變式訓練1-2】如圖，中，，，直接使用“”可判定（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，，
∴，
根據(jù)現(xiàn)有條件無法直接利用判定，，，
故選：C．
【變式訓練1-3】如圖，點A，F(xiàn)，C，D在同一條直線上，，，，和全等嗎？請說明理由．
【答案】全等，理由見解析．
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定．先證明，然后利用證明即可．
【詳解】解：全等．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∵，
∴．
【變式訓練1-4】如圖，．求證：．
【答案】見詳解
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握知識點是解決本題的關鍵．
直接利用“”證明全等即可．
【詳解】證明： 和中，
，
，
．
【變式訓練1-5】如圖，若點、、、在同一直線上，，，．.那么嗎？請說明理由.
【答案】，理由見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，，根據(jù)全等三角形的判定定理證即可．
【詳解】證明：，
，
，
在和中
，
．
【變式訓練1-6】如圖，已知在同一條直線上，，，．與交于點，
(1)求證；
(2)若，，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（）由，可得，利用即可證明；
（）如圖，由（）知，，則，得到，進而推導出，由三角形內角和定理可得，即可求解；
本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的判定與性質，三角形內角和定理．掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：如圖，
由（）知，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
題型二：用SAS證明三角形全等
【經典例題2】 如圖，在中，D為上一點，E為中點，連接并延長至點F，使得，連．
(1)求證：
(2)若，，，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定、平行線的性質和判定、三角形內角和定理等知識點．
（1）求出，根據(jù)全等三角形的性質得出，根據(jù)平行線的判定得出即可；
（2）根據(jù)（1）求出，根據(jù)三角形內角和定理求出即可．
【詳解】（1）證明：∵E為中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓練2-1】如圖，已知 連接．
(1)求證： ；
(2)若 求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質；
（1）根據(jù)題意由，可得，即可求證；
（2）由，可得，再由內角和為即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓練2-2】如圖：已知，，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定，
（1）根據(jù)證明三角形全等即可；
（2）由兩三角形全等，可得，再由三角形的外角性質即可解答．
【詳解】（1）證明：
又，
，
在和中，
；
（2）解：
，
又，
．
【變式訓練2-3】已知：如圖，點B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，，，．
(1)求證：．
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關鍵．
（1）由，兩邊加上，得到，利用即可得證．
（2）根據(jù)全等三角形的性質，等腰三角形的判定和性質和三角形內角和定理解答即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，則,
∵，
∴，
∴．
【變式訓練2-4】如圖，點分別在上，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定、三角形內角和定理，解題的關鍵是得到．
（1）利用即可證明；
（2）根據(jù)三角形內角和定理求出，然后利用，得，進而利用角的和差即可解決問題．
【詳解】（1）證明：在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
．
題型三：用ASA或AAS證明三角形全等
【經典例題3】如圖，已知，，將沿射線的方向平移至，使為的中點，連結，記與的交點為．
(1)求證：；
(2)若平分，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了平移的性質，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，三角形內角和定理．利用角角邊證明是解題的關鍵．
（1）利用角角邊即可證明．
（2）利用三角形內角和定理即可求出．
【詳解】（1）證明：由平移可知，，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵點是的中點，
∴，
∴，
在與中，
∵，，，
∴．
（2）解：平分， ，
∴，
∴．
【變式訓練3-1】如圖，已知點、、、在直線上，點、在直線的異側，連接、、、、、，且，，．
(1)試說明：；
(2)試說明：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、平行線的性質與判定，熟練掌握知識點、推理證明是解題的關鍵．
（1） 根據(jù)“兩直線平行，內錯角相等”，得出，再結合，，利用證明即可；
（2）由，得，推出，根據(jù)“兩直線平行，內錯角相等”，得出，推出，利用證明，得出，根據(jù)“內錯角相等，兩直線平行”，即可證明．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練3-2】如圖，，求證：．
【答案】詳見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，先證明，再利用即可證明．
【詳解】證明：，
，即．
在和中，
，
∴．
【變式訓練3-3】如圖，在和中，點E在邊上，，與交于點G．
(1)試說明：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、三角形的外角的性質等知識點，熟練掌握全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質是解題的關鍵．
（1）根據(jù)等式的性質得，再利用即可證明結論；
（2）由三角形內角和定理可得，根據(jù)全等三角形的性質可得，再根據(jù)等腰三角形的性質可得，最后三角形內角和以及角的和差即可解答．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練3-4】如圖，在和中，點在同一直線上，，．
(1)求證：；
(2)當時，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（）由可得，利用即可證明；
（），可得，即可求解；
本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵
∴．
【變式訓練3-5】如圖，在中，是邊的中點，點在上，點在延長線上，連接，，且．
(1)求證：；
(2)若，，延長至點，當為多少時，．請補全圖形并說明理由．
【答案】(1)詳見解析
(2)當時，
【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質、三角形全等的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）由平行線的性質可得，，結合即可證明；
（2）由得出，，，再證明得出，即可得解．
【詳解】（1）證明：是邊的中點，
∴，
又∵，
∴，，
∴；
（2）解：當時，，
延長至點，連接，
由（1）得，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
題型四：添加條件使三角形全等
【經典例題4】如圖，在和中，再添兩個條件不能使和全等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本題考查了三角形全等的判定方法，根據(jù)全等三角形的判定方法分別進行判定即可．
【詳解】解：A、∵，
∴，
又∵，
∴，故A選項不符合題意；
B、 ∵，，，不能根據(jù)判定兩三角形全等，故B選項符合題意；
C、∵，，
又，
∴，故C選項不符合題意；
D、 ∵，
∴，
又∵，，
∴，故D選項不符合題意；
故選：B．
【變式訓練4-1】如圖，點在同一條直線上，已知，，添加下列條件中的一個，能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)全等三角形的判定逐一判斷即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，，
即，
、添加，不能判定，不合題意；
、添加，根據(jù)可以判定，符合題意；
、添加，不能判定，不合題意；
、添加，不能判定，不合題意；
故選：．
【變式訓練4-2】在與中，已知，，分別補充下列條件中的一個條件：；；；，其中能判定的有（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了對全等三角形的判定定理的應用，根據(jù)全等三角形的判定方法逐項判斷即可，熟練掌握全等三角形的判定方法，，，，是解題的關鍵．
【詳解】添加，根據(jù)能推出，符合題意；
添加，根據(jù)能推出，符合題意；
添加，根據(jù)能推出，符合題意；
添加，根據(jù)，，不能推出，不符合題意；
綜上，能判定的有，
故選：．
【變式訓練4-3】如圖，已知，要使，則可以添加下列哪一個條件（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查三角形全等的判定，已知兩邊，若要證明，只需添加夾角相等，由此可求解．
【詳解】A．∵，
若，則，
∵，
∴，
故A正確；
B．當時，
∵，
∴已知兩邊對應相等，一個角對應相等，但不是夾角，
∴不能判斷，
故B不正確；
C，當時，
∵，
∴已知兩邊對應相等，一個角對應相等，但不是夾角，
∴不能判斷，
故C不正確；
D．當與不可能相等，
∴不能判斷，
故D不正確；
故選：A．
【變式訓練4-4】如圖，已知，，要使，則需要添加的條件是 ．（寫一個即可）
【答案】或或（寫一個即可）
【分析】本題考查全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．由，可得，再根據(jù)題干中的條件，可添加角相等或邊相等即可．
【詳解】解：添加，
，
，
又，，
，
添加，
，
，
又，，
，
添加，
，
，
又，，
，
故答案為：或或（寫一個即可）．
【變式訓練4-5】如圖，與相交于點，，添加一個條件 ，使得．（填一個即可）

【答案】或或或（答案不唯一）
【分析】此題考查了添加條件判定三角形全等，首先根據(jù)圖形，可知，又由已知，可添加或或或，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法及其應用．
【詳解】解：∵，，
添加，
∴；
添加，
∴；
添加，
∴；
添加，
∴，，同理，
故答案為：或或或（答案不唯一）．
題型五：全等三角形方法的靈活運用
【經典例題5】如圖，D是的邊上一點．，交于點E，．
(1)求證：．
(2)若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)的長是3；
【分析】本題考查三角形全等的判定與性質，
（1）根據(jù)平行線得到角度關系，再根據(jù)角角邊判定直接證明即可得到答案；
（2）根據(jù)三角形全等對應邊相等直接求解即可得到答案；
【詳解】（1）證明：∵，
∴，，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∵，，
∴，
，
∴，即的長是3．
【變式訓練5-1】如圖，中，，D是延長線上一點，點E是的平分線上一點，過點E作于F，于G．
(1)求證：；
(2)若，，，求的長．
【答案】(1)見詳解
(2)1
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的定義，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
（1）由角平分線的定義以及垂直的定義，利用即可證明；
（2）先利用證明，得到，繼而得到，而，則，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴．
又∵，，
∴．
在和中：
，，，
∴．
（2）解：∵平分且，，
∴．
∵
∴，
∵
∴
∴
即
在和中
，，
∴．
∴．
又∵，，
即，
又∵，
∴．
∴．
∴．
【變式訓練5-2】如圖，在中，在上取點，使，點在上，連接，且，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（）證明即可求證；
（）由得，進而得，即得，設，則，可得，得到，再根據(jù)三角形外角性質得，解方程求出即可求解；
本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理及外角性質，一元一次方程的應用，掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
設，則，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練5-3】如圖，在四邊形中，，點，分別在，上，連接，，，，，
(1)試說明：；
(2)試說明：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．
（1）利用證明，得出即可；
（2）根據(jù)，得出，推出，利用證明，得出即可．
【詳解】（1）證明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）證明：∵由（1）得，
∴，
∴，即，
在和中，
，
，
∴．
【變式訓練5-4】已知：如圖，是的角平分線，點B、點D分別在上，連接．且．
(1)如圖1，當時，求證：．
(2)如圖2，當時，（1）問的結論是否成立并給予說明．
【答案】(1)見解析
(2)成立，見解析
【分析】本題考查的是角平分線的性質，全等三角形判定與性質，
（1）先證明，根據(jù)角平分線性質證明結論；
（2）過點C作于H，過點C作于G，證明，進而證明，證出結論即可．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴；
∴于B，于D，；
又∵是的角平分線，
∴；
（2）成立
過點C作于H，過點C作于G，
∴，
∵是的角平分線，于H，于G，
∴，
∵，，
∴，
∵在與中，
，
∴；
∴；
【變式訓練5-5】如圖，已知、相交于點，，于點，于點，．
(1)試說明；
(2)判斷與的關系，并加以說明．
【答案】(1)見解析
(2)，，說明見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、平行線的性質、垂線的定義、垂直于同一條直線的兩條直線平行，熟練運用全等三角形的判定與性質推理證明是解題的關鍵．
（1）根據(jù)，得，根據(jù)于點，于點，得出，根據(jù)，推出，利用“”證明即可；
（2）根據(jù)可得，根據(jù)“垂直于同一條直線的兩條直線平行”，得出．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵于點，于點，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，，說明如下，
∵由（1）得，
∴，
∵于點，于點，
∴．
題型六：利用全等三角形求角度或線段長度
【經典例題6】如圖，在四邊形中，，，和的平分線交于點P，點P在上，于點E，若四邊形的面積為78，，則的長為（ ）

A．6 B．10 C．12 D．18
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線定義，平行線性質，通過證明，，得到，根據(jù)求出結果即可．
【詳解】解：，，
，
于點E，
，
平分，平分，
，，
在與中，
，
，
同理，
，
，
，
，
故選：C．
【變式訓練6-1】如圖，平分，，的延長線交于點，如果，則的度數(shù)為 ．
【答案】/84度
【分析】本題考查了全等三角形的性質及判定，角平分線的性質，靈活運用全等三角形的性質及判定是解題的關鍵．
利用全等三角形的判定方法證出，再通過角的等量代換求解即可．
【詳解】解：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓練6-2】和的位置如圖所示，交于點F，，，，，則的度數(shù)為 °．

【答案】30
【分析】本題考查了三角形內角和定理，全等三角形的判定和性質，三角形外角的性質．由三角形內角和定理可得，由可證，可得，由三角形的外角性質可求．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：30．
【變式訓練6-3】如圖，中，D是的中點，交于，則 ．
【答案】10
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質以及角平分線的性質的運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，依據(jù)全等三角形對應邊相等進行求解，解題時注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．
先連接，過作于，根據(jù)角平分線的性質以及中垂線的性質，得出，進而判定，即可得到，據(jù)此列出方程，求得的值，即可得到長．
【詳解】解：連接，過作于，
∵是的中點，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
設，則，
，
解得，
，
故答案為：10．
【變式訓練6-4】如圖，在中，的平分線與的垂直平分線交于點P，連接．若，則的度數(shù)為 ．
【答案】12
【分析】本題考查垂直平分線的性質，角平分線的定義，三角形內角和定理．根據(jù)垂直平分線得到，從而得到，由角平分線得到，得到，根據(jù)三角形內角和定理，結合，得到，再根據(jù)角的和差求解即可得到答案．
【詳解】解：∵的平分線與的垂直平分線交于點P，，
，，
，
，
∴，
∴，
故答案為：12．
【變式訓練6-5】如圖，D、E分別是外部的兩點，連接，，有，，．連接、交于點F，則的度數(shù)為 ．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理，證明三角形全等是解題的關鍵；由題意可得，得；由，利用三角形內角和及全等的結論，即可求得其度數(shù)為，由互補即可求得結果．
【詳解】解：，
，
即；
，
，
；
，，
，
則；
故答案為：．
【變式訓練6-6】如圖，在中，為上一點，為中點，連接并延長至點使得，連．
(1)求證：；
(2)若，連接，平分，平分，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）先根據(jù)線段中點的定義可得，然后利用證明，從而可得，最后利用內錯角相等，兩直線平行可得，即可解答；
（2）先利用角平分線的定義可得，再利用平行線的性質可得，然后利用角平分線的定義可得，再利用（1）的結論即可解答．
【詳解】（1）證明：為中點，
，
在和中，
，
，
，
；
（2），
，
∵
，
平分，
，
，
，
的度數(shù)為．
題型七：全等三角形的實際應用
【經典例題7】政府準備在如圖所示的河流上方修建一座橋梁方便河流兩岸的人們通行交流，現(xiàn)需測量此段河流的寬度（該段河流兩岸是平行的），工作人員是這樣做的：先在河流的一條岸邊E點，選對岸正對的一棵樹A為參照點（即），再沿河岸直走有一棵樹C，繼續(xù)前行到達D處，從D處沿河岸垂直的方向行走，當?shù)竭_A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走，測得的長為，求河流的寬度．
【答案】河流的寬度的長是
【分析】此題考查了三角形全等的應用．由可以證明，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得到答案．
【詳解】解：由題意可知A、C、E三點在同一條直線上，
，，米，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
答：河流的寬度的長是．
【變式訓練7-1】小明和小亮準備用所學數(shù)學知識測一池塘的長度，經過實地測量，繪制如下圖，點在直線l上（點F、C之間的距離為池塘的長度），點A、D在直線l的異側，且，，測得．

(1)求證：；
(2)若，，求池塘的長度．
【答案】(1)證明詳見解析；
(2)44m．
【分析】本題考查全等三角形判定及性質，平行線的性質等．
（1）根據(jù)題意利用平行線的性質，全等三角形判定即可得到本題答案；
（2）根據(jù)題意利用第（1）問結論由全等三角形性質即可得到本題答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴池塘的長為．
【變式訓練7-2】八年級數(shù)學興趣小組開展了測量學校教學樓高度的實踐活動，測量方案如下表：
課題 測量學校教學樓高度
測量工具 測角儀、皮尺等
測量方案示意圖
測量步驟 （1）在教學樓外，選定一點； （2）測量教學樓頂點視線與地面夾角； （3）測的長度； （4）放置一根與長度相同的標桿，垂直于地面； （5）測量標桿頂部視線與地面夾角．
測量數(shù)據(jù) ，，，
請你根據(jù)興趣小組測量方案及數(shù)據(jù)，計算教學樓高度的值．
【答案】
【分析】本題考查全等三角形的應用．熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
先證明，再證明，得到，即可求解．
【詳解】解：，，
，
，
在與中，
，
，
，
，
，
答：教學樓高度為．
【變式訓練7-3】小明利用一根長的竿子來測量路燈的高度．他的方法是這樣的：在路燈前選一點P，使，并測得，然后把豎直的竿子在的延長線上移動，使，此時量得．根據(jù)這些數(shù)據(jù)，小明計算出了路燈的高度．你能計算出路燈高度嗎？請寫出計算過程并說明理由．

【答案】能，
【分析】本題主要考查一線三直角類型，全等三角形的判定和性質綜合，直接依據(jù)，最后在兩個直角三角形中去求角，即可證明．
【詳解】能．
∵，；；
∴；
在和中，
∴；
∴；
∵，；
∴
答：路燈的高度是．
【變式訓練7-4】如圖所示，某湖岸邊有A，B兩棵大樹，想在兩棵大樹間架一條電話線路，為了計算兩棵大樹能承受的壓力，需測量出A，B之間的距離，但是A，B兩點又不能直接到達．你能用已學過的知識和方法設計測量方案，求出A，B兩點間的距離嗎？并說明理由．
【答案】能，見詳解
【分析】本題主要考查構造全等三角形并利用全等的性質求邊長，首先利用“”構造三角形全等，先在地面上取一個可以直接到達點和點的點，連接并延長到點，使；連接并延長到點，使．連接并測量出它的長度，的長就是，兩點之間的距離．
【詳解】解：能．利用“”構造三角形全等的設計方案：先在地面上取一個可以直接到達點和點的點，連接并延長到點，使；連接并延長到點，使．連接并測量出它的長度，的長就是，兩點之間的距離．
理由：如圖所示，
在和中，
，
．
．
∴即為所求．
【變式訓練7-5】廊坊某初中數(shù)學興趣小組為測量路燈高度，設計了如下方案，請據(jù)此求出路燈高度.
主題 測量路燈高度
工具 測角儀、皮尺等
人員 組長：xxx；組員：xxx、xxx、xxx
示意圖
方案 在路燈前選一點P，并測出，然后把豎直竹竿在的延長線上左右移動到某處，并測出
數(shù)據(jù) ，，，，
評價
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形中的兩個銳角互余，先由角的條件得到，再通過證明，即，結合邊的關系，即可作答．
【詳解】解：∵，，，
∴
在和中，
，
∴.
∵，，
∴，
即.
題型八：全等三角形的應用之動點問題
【經典例題8】如圖，在中，為高，．點為上的一點，，連接，交于，若．
(1)猜想線段與的位置關系，并證明；
(2)有一動點從點出發(fā)沿射線以每秒6個單位長度的速度運動，設點的運動時間為秒，是否存在的值，使得的面積為27？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；
(3)在（2）條件下，動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動，、兩點同時出發(fā)，當點到達點時，、兩點同時停止運動，設運動時間為秒，點是直線上一點，且，當與全等時，求的值．
【答案】(1)垂直，見解析
(2)存在，
(3)或
【分析】（1）由全等三角形的性質得，再由三角形內角和定理得，即可得出結論；
（2）由全等三角形的性質得，再求出，，①當時，在線段上，然后由三角形面積公式得，即可求解；
②當時，在射線上，由三角形面積公式得，即可求解；
（3）①當點在線段延長線上時，證，當時，，此時，求解即可；
②當點在線段上時，證，當時，，此時，求解即可．
【詳解】（1），理由如下：
在中，為高，
，
又，
，
，，
，
；
（2）存在的值，使得的面積為27，理由如下：
，，
，
，
，，
由（1）可知，，
，
分兩種情況：
當時，在線段上，如圖1，
，
解得：（舍去）；
當時，在射線上，如圖2，
，
解得：，
此時與重合；
綜上所述，存在的值，使得的面積為27，的值為；
（3）由（1）可知，，
，
當點在線段延長線上時，如圖3，
，
，
，
當時，，
此時，，
解得：；
當點在線段上時，如圖4，
，
，
，
當時，，
此時，，
解得：；
綜上所述，當與全等時，的值為或．
【變式訓練8-1】如圖①，在中，，，，，現(xiàn)有一動點，從點出發(fā)，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設運動時間為．
(1)如圖①，當__________時，的面積等于面積的一半；
(2)如圖②，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發(fā)，沿著邊運動，回到點停止，在兩點運動過程中的某一時刻，恰好以、、為頂點的三角形與全等，求點的運動速度．
【答案】(1)或
(2)Q運動的速度為或或或．
【分析】（1）分點P運動到、的中點時，根據(jù)三角形中線的性質即可求解；
（2）由，分①，②，由全等三角形的性質即可依次求解．
此題主要考查三角形的面積與三角形全等的判定，解題的關鍵是會畫出與已知三角形全等的三角形．
【詳解】（1）如圖，當P在上，的面積等于面積的一半，
∴，
∴，
當P在上時，如圖，的面積等于面積的一半，
∴，
∴，
綜上當t為或時，的面積等于面積的一半．
（2）解：設點Q的運動速度為，
①當點P在上，點Q在上，時，，
∴，解得，
②當點P在上，點Q在上，時，，
∴，解得，
③當點P在上，點Q在上，時，，
∴點P的路程為，點Q的路程為，
∴，解得，
④當點P在上，點Q在上，時，，
∴點P的路程為，點Q的路程為，
∴，解得；
∴Q運動的速度為或或或．
【變式訓練8-2】在中，，分別過點A、B兩點作過點C的直線m的垂線，垂足分別為點D、E．

(1)如圖1，當，點A、B在直線m的同側時，求證：；
(2)如圖2，當，點A、B在直線m的異側時，請問（1）中有關于線段、和三條線段的數(shù)量關系的結論還成立嗎？若成立，請你給出證明；若不成立，請給出正確結論，并說明理由；
(3)如圖3，當，，點A、B在直線m的同側時，一動點M以每秒的速度從A點出發(fā)沿A→C→B路徑向終點B運動，同時另一動點N以每秒的速度從B點出發(fā)沿B→C→A路徑向終點A運動，兩點都要到達相應的終點時才能停止運動．在運動過程中，分別過點M和點N作于P，于Q．設運動時間為t秒，當t為何值時，與全等？
【答案】(1)見解析
(2)，見解析
(3)或14或16秒
【分析】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，同角的余角相等，判斷出是解本題的關鍵，還用到了分類討論的思想．
（1）根據(jù)于D，于E，得，而，根據(jù)等角的余角相等得，然后根據(jù)“”可判斷，則，，于是；
（2）同（1）易證，則，，于是；
（3）只需根據(jù)點M和點N的不同位置進行分類討論即可解決問題．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵于D，于E，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：結論：；
理由：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：①當時，點M在上，點N在上，如圖，

∵，
∴，
解得：，不合題意；
②當時，點M在上，點N也在上，如圖，

∵，
∴點M與點N重合，
∴，
解得：；
③當時，點M在上，點N在上，如圖，

∵，
∴，
解得：；
④當時，點N停在點A處，點M在上，如圖，

∵，
∴，
解得：；
綜上所述：當或14或16秒時，與全等．
【變式訓練8-3】如圖1，在中，，，，，現(xiàn)有一動點從點出發(fā)，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設運動時間為．

(1)如圖1，當 時，；
(2)如圖2，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發(fā)，沿著邊運動，回到點停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，求點的運動速度．
【答案】(1)或
(2)兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，點的運動速度為或或cm/s或
【分析】本題考查全等三角形與動點的綜合，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定和性質，利用數(shù)形結合和分類討論的思想進行解答．
（1）點運動的速度為，則，；根據(jù)，分類討論：點在上時；點在上時，進行解答，即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質，分類討論：當點在上，，，；當點在上，點在上，，，；當點在上，，，；當點在上，點在上，，，，求出對應的點的運動速度，即可．
【詳解】（1）∵點運動的速度為，
點在上時，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：；
點在上時，過點作于點，
∴點的運動路程為，
∴，，
∵，
∴，
∵是直角三角形，
∴當點在的中點時，，，
∴，
解得：；
故答案為：或；
（2）∵在中，，，，，
∴當點在上，，，；
∴點的速度為：；
當點在上，點在上，，，，
∴點的速度為：；
當點在上，，，，
∴點運動的距離為：，
點運動的距離為：，
∴點的速度為：；
當點在上，點在上，，，
∴點的速度為：；

綜上所述，兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，點的運動速度為或或cm/s或．
【變式訓練8-4】如圖，與相交于點，，．動點從點出發(fā)，沿方向以每秒5個單位的速度勻速運動，返回到終點．同時動點從點出發(fā)，沿方向以每秒3個單位的速度勻速運動到終點．設點的運動時間為．
(1)求證：；
(2)當點Q到點E時，求的長；
(3)用含t的代數(shù)式表示的長；
(4)連接，當點C在線段上時，直接寫出t的值．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)當時，；當時，
(4)或
【分析】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，一元一次方程的應用，證明三角形全等是解題的關鍵．
（1）由可證；
（2）當點到點時，點從點返回，根據(jù)題意列出方程即可求解；
（3）根據(jù)題意分兩種情況表示即可；
（4）由全等三角形的性質可得，列出方程可求解．
【詳解】（1）證明：，，，
；
（2）解：當點到點時，，
，
；
（3）解：當時，．
當時，；
（4）解：當線段經過點時，
∵，
，
在和中，
，
，
，，
或，
或．
【變式訓練8-5】如圖，在中，，，，.過點作射線，使，點從點出發(fā)，沿射線方向勻速運動，速度為；同時點從點出發(fā)向點勻速運動，速度為，連接、，設動點的運動時間為（）（），解答下列問題：

(1)用含有的代數(shù)式表示和的長度
(2)當時，請說明；
(3)若的面積為時，直接寫出的值.
【答案】(1)，
(2)見解析
(3)4.5或7.5
【分析】（1）根據(jù)路程=速度×時間，即可得到答案；
（2）利用“SAS”可證得，可得，即可得證；
（3）先根據(jù)，求得，再用含有的代數(shù)式表示，由三角形的面積公式，得到關于的方程，求解即可．
【詳解】（1）解：點從點出發(fā)，沿射線方向勻速運動，速度為，
，
點從點出發(fā)向點勻速運動，速度為，
；
（2）解：當時，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：，
，
點從點出發(fā)向點勻速運動，速度為，
當時，，
當時，，
的面積為，
，
，
或，
解得：或7.5．
題型九：全等三角形的應用之探究線段之間的關系
【經典例題9】在平面直角坐標系中，已知點，，連接．

(1)如圖①，動點在軸負半軸上，且交于點、交于點，求證：．
(2)如圖，在（1）的條件下，連接，求證：．
(3)如圖③，E為的中點，動點G在軸上，，，連接，作交軸于F，猜想，、之間的數(shù)量關系，并說明理由．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
(3)當點在線段上時，．當點在線段的延長線上時，，
【分析】（1）欲證明已經有一邊，一角相等，只要證明即可．
（2）如圖②中，過分別作于點，作于點，由，推出．因為，，推出平分，由此即可證明．
（3）結論：當點在線段上時，．當點在線段的延長線上時，，分兩種情況討論，連接，證明，推出即可．
【詳解】（1）證明：如圖①中，

即，
，
．
在與中，
，
，
（2）證明：過分別作于點，作于點，如圖②．

由（1）中結論，得，
在與中，
，
，
．
，，
平分，
，
，
．
（3）結論：當點在線段上時，．
當點在線段的延長線上時，，
當點在線段上時，理由如下：連接，如圖：

，，為的中點，
，，，
，
即，
，
，
在與中，
，
，
，
，
．
當點在線段的延長線上時，理由如下：連接，如圖：

，，為的中點，
，，，
，
即，
，
，
在與中，
，
，
，
，
．
【變式訓練9-1】在平面直角坐標系中，，，點C為x軸負半軸上一動點，過點B作交y軸于點E．
(1)如圖①，若點C的坐標為，請直接寫出點E的坐標；
(2)如圖②，若點C在x軸負半軸上運動，且，其他條件不變，連接，求證：平分；
(3)如圖③，若點C在x軸負半軸上，且，猜想、和間的數(shù)量關系，并說明理由．
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3)，理由見解析；
【分析】（1）本題考查三角形全等的性質與判定，證明即可得到答案；
（2）本題考查角平分線判定，過點O作于M，于N，根據(jù)（1）中三角形全等得到面積相等，結合面積公式得到，即可得到證明；
（3）本題考查三角形全等的性質與判定，在上截取，根據(jù)角平分線定義得到的條件結合等角對等邊直接求解即可得到答案；
【詳解】（1）解：∵x軸軸，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵點A，B的坐標分別為，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵點C的坐標為，
∴，
∴點E的坐標為；
（2）解：如圖②，過點O作于M，于N，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴點O一定在的角平分線上，
∴平分；
（3）解：，理由如下：
如圖③所示，在上截取，連接，連接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練9-2】已知等腰三角形，，為射線上一動點，連接，以為邊在直線的右側作等腰三角形，，，連接．
(1)如圖1，當點在邊上時，請?zhí)骄浚g的數(shù)量關系．
(2)如圖2，當點在的延長線上時，（1）中，，之間的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請你寫出新的結論，并說明理由．
【答案】(1)
(2)不成立．
【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定方法是解本題的關鍵．
（1）證明．再證明，可得，再進一步可得結論；
（2）證明．再證明，可得，再進一步可得結論；
【詳解】（1）解：∵，
∴，
即．
在與中，，
∴，
∴，
∴．
（2）不成立．．
理由：∵，
∴．
在與中，
，
∴，
∴．
【變式訓練9-3】已知為等腰三角形，，點為直線上一動點（點不與點、點重合）以為邊作，且，連接，．
(1)如圖，當點在邊上時，試說明：
①
②；
(2)如圖，當點在邊的延長線上時，其他條件不變，探究線段、、之間存在的數(shù)量關系，并說明理由．
【答案】(1)①見解析；②見解析
(2)，見解析
【分析】主要考查了全等三角形的判定和性質．
（1）①先判斷出，進而用判斷出，即可得出結論；②利用全等三角形的性質可得，等量代換即可求解．
同（1）的方法即可得出結論．
【詳解】（1）解：，
，
，
在和中，
，
；
由知，，
，
；
（2），
，
，
在和中，
，
∴
，
【變式訓練9-4】如圖，點A在y軸正半軸上，點D在點A下方的y軸上，點B在x軸正半軸上，平分與x軸交于點C．
(1)如圖1，若，求證：；
(2)如圖2，若點A的坐標為，點E為上一點，且，求的長；
(3)如圖3，若，過C作于點F，點H為線段上一動點，點G為線段上一動點，在運動過程中，始終滿足，試判斷之間的數(shù)量關系，寫出你的結論并加以證明．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)，見解析
【分析】本題是三角形綜合題，考查了角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，
（1）由“”可證，可得；
（2）由“”可證，可得，可證，由等腰三角形的性質可得，即可求解；
（3）由“”可證，可得，由“”可證，可得，即可求解；
添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如圖2，在上截取，連接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵點A的坐標為，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如圖3，在的延長線截取，連接，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練9-5】如圖，已知，點A，B在直線l兩側，點C，D在直線l上，點P為l上一動點，連接，，且．
(1)【問題解決】如圖①，當點P在線段上時，若，，則 （填“＞”或“＝”或“＜”）；
(2)【問題探究】如圖②，當點P在延長線上時，若，，探究線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由；
(3)【拓展延伸】如圖③，當點P在線段上時，若，將沿直線l對折得到，此時，探究線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．
【答案】(1)＝
(2)，理由見解析
(3)，理由見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質和判定，
（1）可證明≌，從而得出結果；
（2）可證明≌從而得出，進而得出結論；
（3）證明≌，從而得出，從而得出．
【詳解】（1）∵，，
∴≌，
∴，
故答案為：＝；
（2），理由如下：
∵，，
∴≌，
∴.
∵，
∴；
（3），理由如下：
∵，，，
∴，
由折疊得：，，
∵，，
∴，，
∴≌，
∴，
∴．
【變式訓練9-6】在中，，，D是射線上一動點，連接，以為邊作，在右側，與過點A且垂直于的直線交于點E，連接．
(1)當都在的左側時，如圖①，線段之間的數(shù)量關系是_________；
(2)當在的兩側時，如圖②，線段之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出你的猜想，并給予證明；
(3)當都在AC的右側時，如圖③，線段之間有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出你的猜想，不必證明．
【答案】(1)
(2)，詳見解析
(3)
【分析】（1）過點C作，交AB延長線于點F，如圖，先證明，得到，，然后證明解題即可；
（2）過點C作，交AB于點F，如圖，先證明，得到，，然后證明解題即可；
（3）過點C作，交AB于點F，如圖，先證明，得到，，然后證明解題即可；
【詳解】（1）過點C作，交AB延長線于點F，如圖．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案為：．
（2）圖②的猜想：．
證明：過點C作，交AB于點F，如圖②．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）過點C作，交AB于點F，如圖
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案為：．
題型十：全等三角形的應用之定值問題
【經典例題10】在中，，，點D為上一動點．

(1)如圖1，點E、點F均是射線BD上的點并且滿足，．求證：；
(2)在（1）的條件下，求證：；
(3)由（1）我們知道，如圖2，當點D的位置發(fā)生變化時，過點C作于F，連接AF．那么的度數(shù)是否發(fā)生變化？請證明你的結論．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)，不變化，理由見解析
【分析】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質進行推導．
（1）根據(jù)，得出，即可根據(jù)證明；
（2）易得，根據(jù)，得出，則，進而得出，則，即可求證；
（3）過點A作的垂線交于點E，易得，，即可得出，通過求證得出，則是等腰直角三角形，即可求出．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
在和中
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，不變化，理由如下：

過點A作的垂線交于點E
∵
∴
∴
同理
∵
∴
同（1）理得
在和中
，
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴．
【變式訓練10-1】定義：有一組對角互補的四邊形叫做互補四邊形．
(1)互補四邊形中，若， 度；
(2)如圖1，在四邊形中，平分，，、求證：四邊形是互補四邊形；
(3)如圖2，互補四邊形中，，，點E，F(xiàn)分別是邊，的動點，且，周長是否變化？若不變，請求出不變的值；若有變化，說明理由；
【答案】(1)90
(2)證明見解析
(3)不變，12
【分析】
對于（1），設，則，，根據(jù)互補四邊形的定義得，即可求出各角的度數(shù)；
對于（2），過點D作，，再證明，可得，然后結合可得答案；
對于（3），延長至G，使，連接，可證明，可得，，進而得出，接著證明，可得，再連接，可證明，即可得出，，然后求出，再說明的周長等于，即可得出答案．
【詳解】（1）
解：設，則，，根據(jù)題意，得，
即，
解得，
則，
所以．
故答案為：90；
（2）
過點D作，交的延長線于點E，作，交于點F．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四邊形是互補四邊形；
（3）
不變，
延長至G，使，連接，
∵，，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
連接，
∵，，
∴，
∴，．
在中，，，
∴，
∴的周長等于．
【變式訓練10-2】定義：如圖（1），若分別以的三邊，，為邊向三角形外側作正方形，和，則稱這三個正方形為的外展三葉正方形，其中任意兩個正方形為的外展雙葉正方形．

(1)作的外展雙葉正方形和，記，的面積分別為和；
①如圖（2），當時，求證：；
②如圖（3），當時，與是否仍然相等，請說明理由．
(2)已知中，，，作其外展三葉正方形，記，，的面積和S，請利用圖（1）探究：當?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出的值；若變化，求出的最大值．
【答案】(1)①見解析；②相等，理由見解析
(2)變化，最大值為18
【分析】（1）①由正方形的性質可以得出，，，即可得出而得出結論；
②如圖3，過點作于點，過點作交的延長線于點，通過證明就有而得出結論；
（2）根據(jù)（1）可以得出，要使最大，就要使最大，當時最大，即可求出結論．
【詳解】（1）解：①證明：正方形和正方形，
，，，
，
，
．
在和中，
，
．
，
．
②．
理由如下：
如圖3，過點作于點，過點作交的延長線于點．

．
四邊形，四邊形均為正方形，
，，
，．
．
在和中，
，
，
．
，
，，
；
（2）的值發(fā)生變化；的最大值為18；理由如下：
由（1）得，是面積的三倍，
要使最大，只需的面積最大，
當是直角三角形，即時，有最大值．
此時，．
【變式訓練10-3】如圖，點A，B分別在兩互相垂直的直線上．
(1)如圖1，在三角形尺子中，如果點C到直線的距離是5，求的長；
(2)如圖2，若，點B在射線上運動時，分別以為邊作與圖1中相同形狀的，連接交射線于點P．
①當時，，求的大小；
②當點B在射線上移動時，的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出的值；若變化，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)①；②的長度不變，，理由見解析
【分析】（1）過點C作，交直線于點D，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質求解即可；
（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質求出，根據(jù)角的和差及直角三角形的性質求出，根據(jù)平角的定義求解即可；
②結合等腰直角三角形的性質利用證明，根據(jù)全等三角形的性質利用證明，根據(jù)全等三角形的性質即可得解．
【詳解】（1）過點C作，交直線于點D，
由題意可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
在△和中，
，
∴，
∴；
（2）①∵為等腰直角三角形，與形狀相同，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②的長度不變，，理由如下：
過點E作于G，如下圖所示，則，
由題意可知：都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【變式訓練10-4】如圖，中，，，點D，E分別是，上的兩點，連接，，相交于點F，且．

(1)試說明：．
(2)改變點的位置，其它條件不變，與所成的的大小有無變化，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)與所成的的大小無變化，理由見解析
【分析】（1）由證得即可；
（2）先由三角形內角和定理得出，再由（1）得，則，然后由三角形的外角性質推出，進而求出，即可得出答案．
【詳解】（1）證明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：與所成的的大小無變化，
理由如下：
，，
，
由（1）得：，
，
，
，
是定值，
與所成的的大小無變化．
【變式訓練10-5】如圖，在中，，，，點是邊上的一動點（點不與端點A、重合），過點A作于點，交的延長線于點．
(1)求證：；
(2)在點移動的過程中，若，試求的長；
(3)試探索，在點移動的過程中，的大小是否保持不變？若保持不變，請求出的大小；若有變化，請說明變化情況．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)不變，為135°
【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等證得，根據(jù)AAS證明△ACE≌△BCP即可；
（2）由得到，即可利用余角定義求出，證得 ，結合得到．再根據(jù)全等三角形的性質求得CP=CE，即可求出答案；
（3）的大小保持不變． 作于點，于點，證明 ，得到，由此推出平分，求出，即可求出=135°．
【詳解】（1）證明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴；
（3）解：的大小保持不變．理由如下：
作于點，于點，如圖．
∵，
∴，．
在和中，
∴，
∴．
又∵，，
∴平分，
∴，
∴，即的大小保持不變，為135°．
題型十一：全等三角形的應用之最值問題
【經典例題11】如圖，，，．過點作，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點．
(1)的度數(shù)為______
(2)連接，交于點，試說明垂直平分；
(3)點是直線上的動點，當?shù)闹底钚r，證明點與點重合．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)題意可證明，得到，由，可得，然后根據(jù)直角三角形的性質即可解答；
（2）先說明，由平行的性質可得，然后再證明可得，再根據(jù)等腰三角形的性質可證明結論；
（3）先說明，則，此時的值最小，進而證明結論．
【詳解】（1）解：，，，
，
，
，
，
，
，
故答案為：；
（2）證明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，，，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中點，，
垂直平分；
（3）證明：如圖，延長、交于點，
由（1）（2）知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，此時的值最小，
點是直線上的動點，
當?shù)闹底钚r，點與點重合．
【變式訓練11-1】如圖一，在中，，，是邊上的一點，連接，將沿翻折，點恰好落在邊上的點處．

(1)求的度數(shù)．
(2)如圖二，將繞點順時針旋轉，使點落在的延長線上點處，點落在的延長線上點處．連接．
①求的度數(shù)．
②點在上且點、關于對稱，點是邊上的動點，當?shù)闹底钚r，請直接寫出的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）根據(jù)三角形內角和，求出，根據(jù)折疊的性質，則，即可；
（2）根據(jù)旋轉的性質，則，；根據(jù)等邊對等角，三角形內角和，求出，根據(jù)，即可；連接交于點，此時取最小值；根據(jù)全等三角形的判定和性質，得，得出，根據(jù)，即可．
【詳解】（1）∵在中，，，
∴，
∵沿翻折，點恰好落在邊上的點處，
∴．
（2）∵是旋轉而得，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
連接交于點，此時取最小值，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．

【變式訓練11-2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，點A與點C關于EF所在的直線對稱．
（1）連接AF，CE，判斷四邊形AFCE是何種特殊的四邊形，并說明理由．
（2）若P是邊DC上的一動點，當△PEF的周長最小時，求的值．
【答案】（1）菱形，理由見解析；（2）
【分析】（1）連接AF、CE，AC交于EF于點O，由“AAS”證明△AEO≌△CFO，四邊形AFCE是平行四邊形，再結合AC⊥EF，即可求證結論；
（2）作點F關于CD的對稱點H，連接EH，交CD于點P，此時△PEF的周長最小，由AD∥BC，可得△DEP∽△CHP，由相似三角形性質可得比例式繼而求得答案．
【詳解】解：（1）四邊形AFCE是菱形．
證明：如圖，連接AF，CE，AC交EF于點O，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，
∵點A與點C關于EF所在的直線對稱，
∴AO＝CO，AC⊥EF，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF，且AE∥CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
又∵AC⊥EF，
∴四邊形AFCE是菱形；
（2）如圖，作點F關于CD的對稱點H，連接EH，交CD于點P，此時△PEF的周長最小，
∵四邊形AFCE是菱形，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∵，
∴，
∴AF＝CF＝CH＝，DE＝，
∵AD∥BC，
∴△DEP∽△CHP，
∴＝．
【變式訓練11-3】如圖，在四邊形中，，，分別是，上的點，連接，，．
（1）如圖①，，，．求證：；

（2）如圖②，，當周長最小時，求的度數(shù)；
（3）如圖③，若四邊形為正方形，點、分別在邊、上，且，若，，請求出線段的長度．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）．
【分析】（1）延長到點G,使，連接，首先證明，則有，，然后利用角度之間的關系得出，進而可證明，則，則結論可證；
（2）分別作點A關于和的對稱點，，連接，交于點，交于點，根據(jù)軸對稱的性質有，，當點、、、在同一條直線上時，即為周長的最小值，然后利用求解即可；
（3）旋轉至的位置，首先證明，則有，最后利用求解即可．
【詳解】（1）證明：如解圖①，延長到點，使，連接，
在和中，
．
，，
，，
．
，
在和中，
．
，；
（2）解：如解圖，分別作點A關于和的對稱點，，連接，交于點，交于點．
由對稱的性質可得，，
此時的周長為．
當點、、、在同一條直線上時，即為周長的最小值．
，
．
，，
；
（3）解：如解圖，旋轉至的位置，
，
，．
在和中，
．
．
．
【變式訓練11-4】如圖，、分別是、軸上兩點，其中與互為相反數(shù).點是第二象限內一點，且，點是直線上一動點；
（1）若，且是等腰三角形，求的度數(shù)；
（2）點在直線上運動過程中，當最短時，求的大小.
【答案】（1）30°或120°或75°；（2）45°
【分析】（1）根據(jù)相反數(shù)的定義與非負數(shù)的性質求出a，b的值，即可得出，根據(jù)已知條件求出，然后分情況討論當是等腰三角形時，的度數(shù)；
（2）記與軸交于點，過作交于點，則有，當最短時有，根據(jù)等角替換求出，則可證明≌，推出，再根據(jù)，即可求出.
【詳解】解：（1）由題意有：∵與互為相反數(shù)
+=0
∴
解得：，，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
①當時，
②當時，
③當時，；
（2）記與軸交于點，過作交于點
∴
當最短時有
∴
∵，
∴
在與中
∴≌
∴
∵
∴
【變式訓練11-5】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM.
（1）當M點在 （何處）時，AM＋CM的值最小；
（2）當AM+EM的值最小時，∠BCM= °.
（3）①求證：△AMB≌△ENB；②當M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由.
【答案】（1）BD的中點；（2）15；（3）①證明見解析；
②當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，理由見解析.
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)“兩點之間線段最短”，可得，當M點落在BD的中點時，AM+CM的值最小；（2）②如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+EM的值最小，根據(jù)三角形外角的性質可得∠BCM=15°；（3）①由題意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45°，容易證出△AMB≌△ENB；
②根據(jù)“兩點之間線段最短”，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長；
試題解析：（1）①當M點落在BD的中點時，A. M、C三點共線，AM+CM的值最小；
（2）如圖：
連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+EM的值最小，
過E作EF⊥BC于點F，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，
∴BE=BC，∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30°，
∴∠BCM=∠EBF=15°；
(3)①∵△ABE是等邊三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°，
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，
即∠BMA=∠NBE，
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
②如圖，
連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，
理由如下：連接MN，
由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等邊三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
根據(jù)“兩點之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長.
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1.3.1 全等三角形的判定十一大題型（一課一講）
【同步培優(yōu)】
題型一：用SSS證明三角形全等
【經典例題1】用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖如下，則要說明，需要證明和，則這兩個三角形全等的依據(jù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】如圖，垂直平分，垂足為E，連接，則圖中全等的三角形共有（ ）
A．2對 B．3對 C．4對 D．5對
【變式訓練1-2】如圖，中，，，直接使用“”可判定（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-3】如圖，點A，F(xiàn)，C，D在同一條直線上，，，，和全等嗎？請說明理由．
【變式訓練1-4】如圖，．求證：．
【變式訓練1-5】如圖，若點、、、在同一直線上，，，．.那么嗎？請說明理由.
【變式訓練1-6】如圖，已知在同一條直線上，，，．與交于點，
(1)求證；
(2)若，，求的度數(shù)．
題型二：用SAS證明三角形全等
【經典例題2】 如圖，在中，D為上一點，E為中點，連接并延長至點F，使得，連．
(1)求證：
(2)若，，，求的度數(shù)．
【變式訓練2-1】如圖，已知 連接．
(1)求證： ；
(2)若 求的度數(shù)．
【變式訓練2-2】如圖：已知，，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【變式訓練2-3】已知：如圖，點B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，，，．
(1)求證：．
(2)若，求的度數(shù)．
【變式訓練2-4】如圖，點分別在上，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
題型三：用ASA或AAS證明三角形全等
【經典例題3】如圖，已知，，將沿射線的方向平移至，使為的中點，連結，記與的交點為．
(1)求證：；
(2)若平分，求的度數(shù)．
【變式訓練3-1】如圖，已知點、、、在直線上，點、在直線的異側，連接、、、、、，且，，．
(1)試說明：；
(2)試說明：．
【變式訓練3-2】如圖，，求證：．
【變式訓練3-3】如圖，在和中，點E在邊上，，與交于點G．
(1)試說明：；
(2)若，求的度數(shù)．
【變式訓練3-4】如圖，在和中，點在同一直線上，，．
(1)求證：；
(2)當時，求的度數(shù)．
【變式訓練3-5】如圖，在中，是邊的中點，點在上，點在延長線上，連接，，且．
(1)求證：；
(2)若，，延長至點，當為多少時，．請補全圖形并說明理由．
題型四：添加條件使三角形全等
【經典例題4】如圖，在和中，再添兩個條件不能使和全等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式訓練4-1】如圖，點在同一條直線上，已知，，添加下列條件中的一個，能使的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-2】在與中，已知，，分別補充下列條件中的一個條件：；；；，其中能判定的有（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練4-3】如圖，已知，要使，則可以添加下列哪一個條件（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練4-4】如圖，已知，，要使，則需要添加的條件是 ．（寫一個即可）
【變式訓練4-5】如圖，與相交于點，，添加一個條件 ，使得．（填一個即可）

題型五：全等三角形方法的靈活運用
【經典例題5】如圖，D是的邊上一點．，交于點E，．
(1)求證：．
(2)若，，求的長．
【變式訓練5-1】如圖，中，，D是延長線上一點，點E是的平分線上一點，過點E作于F，于G．
(1)求證：；
(2)若，，，求的長．
【變式訓練5-2】如圖，在中，在上取點，使，點在上，連接，且，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【變式訓練5-3】如圖，在四邊形中，，點，分別在，上，連接，，，，，
(1)試說明：；
(2)試說明：．
【變式訓練5-4】已知：如圖，是的角平分線，點B、點D分別在上，連接．且．
(1)如圖1，當時，求證：．
(2)如圖2，當時，（1）問的結論是否成立并給予說明．
【變式訓練5-5】如圖，已知、相交于點，，于點，于點，．
(1)試說明；
(2)判斷與的關系，并加以說明．
題型六：利用全等三角形求角度或線段長度
【經典例題6】如圖，在四邊形中，，，和的平分線交于點P，點P在上，于點E，若四邊形的面積為78，，則的長為（ ）

A．6 B．10 C．12 D．18
【變式訓練6-1】如圖，平分，，的延長線交于點，如果，則的度數(shù)為 ．
【變式訓練6-2】和的位置如圖所示，交于點F，，，，，則的度數(shù)為 °．

【變式訓練6-3】如圖，中，D是的中點，交于，則 ．
【變式訓練6-4】如圖，在中，的平分線與的垂直平分線交于點P，連接．若，則的度數(shù)為 ．
【變式訓練6-5】如圖，D、E分別是外部的兩點，連接，，有，，．連接、交于點F，則的度數(shù)為 ．
【變式訓練6-6】如圖，在中，為上一點，為中點，連接并延長至點使得，連．
(1)求證：；
(2)若，連接，平分，平分，求的度數(shù)．
題型七：全等三角形的實際應用
【經典例題7】政府準備在如圖所示的河流上方修建一座橋梁方便河流兩岸的人們通行交流，現(xiàn)需測量此段河流的寬度（該段河流兩岸是平行的），工作人員是這樣做的：先在河流的一條岸邊E點，選對岸正對的一棵樹A為參照點（即），再沿河岸直走有一棵樹C，繼續(xù)前行到達D處，從D處沿河岸垂直的方向行走，當?shù)竭_A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走，測得的長為，求河流的寬度．
【變式訓練7-1】小明和小亮準備用所學數(shù)學知識測一池塘的長度，經過實地測量，繪制如下圖，點在直線l上（點F、C之間的距離為池塘的長度），點A、D在直線l的異側，且，，測得．

(1)求證：；
(2)若，，求池塘的長度．
【變式訓練7-2】八年級數(shù)學興趣小組開展了測量學校教學樓高度的實踐活動，測量方案如下表：
課題 測量學校教學樓高度
測量工具 測角儀、皮尺等
測量方案示意圖
測量步驟 （1）在教學樓外，選定一點； （2）測量教學樓頂點視線與地面夾角； （3）測的長度； （4）放置一根與長度相同的標桿，垂直于地面； （5）測量標桿頂部視線與地面夾角．
測量數(shù)據(jù) ，，，
請你根據(jù)興趣小組測量方案及數(shù)據(jù)，計算教學樓高度的值．
【變式訓練7-3】小明利用一根長的竿子來測量路燈的高度．他的方法是這樣的：在路燈前選一點P，使，并測得，然后把豎直的竿子在的延長線上移動，使，此時量得．根據(jù)這些數(shù)據(jù)，小明計算出了路燈的高度．你能計算出路燈高度嗎？請寫出計算過程并說明理由．

【變式訓練7-4】如圖所示，某湖岸邊有A，B兩棵大樹，想在兩棵大樹間架一條電話線路，為了計算兩棵大樹能承受的壓力，需測量出A，B之間的距離，但是A，B兩點又不能直接到達．你能用已學過的知識和方法設計測量方案，求出A，B兩點間的距離嗎？并說明理由．
【變式訓練7-5】廊坊某初中數(shù)學興趣小組為測量路燈高度，設計了如下方案，請據(jù)此求出路燈高度.
主題 測量路燈高度
工具 測角儀、皮尺等
人員 組長：xxx；組員：xxx、xxx、xxx
示意圖
方案 在路燈前選一點P，并測出，然后把豎直竹竿在的延長線上左右移動到某處，并測出
數(shù)據(jù) ，，，，
評價
題型八：全等三角形的應用之動點問題
【經典例題8】如圖，在中，為高，．點為上的一點，，連接，交于，若．
(1)猜想線段與的位置關系，并證明；
(2)有一動點從點出發(fā)沿射線以每秒6個單位長度的速度運動，設點的運動時間為秒，是否存在的值，使得的面積為27？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；
(3)在（2）條件下，動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動，、兩點同時出發(fā)，當點到達點時，、兩點同時停止運動，設運動時間為秒，點是直線上一點，且，當與全等時，求的值．
【變式訓練8-1】如圖①，在中，，，，，現(xiàn)有一動點，從點出發(fā)，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設運動時間為．
(1)如圖①，當__________時，的面積等于面積的一半；
(2)如圖②，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發(fā)，沿著邊運動，回到點停止，在兩點運動過程中的某一時刻，恰好以、、為頂點的三角形與全等，求點的運動速度．
【變式訓練8-2】在中，，分別過點A、B兩點作過點C的直線m的垂線，垂足分別為點D、E．

(1)如圖1，當，點A、B在直線m的同側時，求證：；
(2)如圖2，當，點A、B在直線m的異側時，請問（1）中有關于線段、和三條線段的數(shù)量關系的結論還成立嗎？若成立，請你給出證明；若不成立，請給出正確結論，并說明理由；
(3)如圖3，當，，點A、B在直線m的同側時，一動點M以每秒的速度從A點出發(fā)沿A→C→B路徑向終點B運動，同時另一動點N以每秒的速度從B點出發(fā)沿B→C→A路徑向終點A運動，兩點都要到達相應的終點時才能停止運動．在運動過程中，分別過點M和點N作于P，于Q．設運動時間為t秒，當t為何值時，與全等？
【變式訓練8-3】如圖1，在中，，，，，現(xiàn)有一動點從點出發(fā)，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設運動時間為．

(1)如圖1，當 時，；
(2)如圖2，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發(fā)，沿著邊運動，回到點停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，求點的運動速度．
【變式訓練8-4】如圖，與相交于點，，．動點從點出發(fā)，沿方向以每秒5個單位的速度勻速運動，返回到終點．同時動點從點出發(fā)，沿方向以每秒3個單位的速度勻速運動到終點．設點的運動時間為．
(1)求證：；
(2)當點Q到點E時，求的長；
(3)用含t的代數(shù)式表示的長；
(4)連接，當點C在線段上時，直接寫出t的值．
【變式訓練8-5】如圖，在中，，，，.過點作射線，使，點從點出發(fā)，沿射線方向勻速運動，速度為；同時點從點出發(fā)向點勻速運動，速度為，連接、，設動點的運動時間為（）（），解答下列問題：

(1)用含有的代數(shù)式表示和的長度
(2)當時，請說明；
(3)若的面積為時，直接寫出的值.
題型九：全等三角形的應用之探究線段之間的關系
【經典例題9】在平面直角坐標系中，已知點，，連接．

(1)如圖①，動點在軸負半軸上，且交于點、交于點，求證：．
(2)如圖，在（1）的條件下，連接，求證：．
(3)如圖③，E為的中點，動點G在軸上，，，連接，作交軸于F，猜想，、之間的數(shù)量關系，并說明理由．
【變式訓練9-1】在平面直角坐標系中，，，點C為x軸負半軸上一動點，過點B作交y軸于點E．
(1)如圖①，若點C的坐標為，請直接寫出點E的坐標；
(2)如圖②，若點C在x軸負半軸上運動，且，其他條件不變，連接，求證：平分；
(3)如圖③，若點C在x軸負半軸上，且，猜想、和間的數(shù)量關系，并說明理由．
【變式訓練9-2】已知等腰三角形，，為射線上一動點，連接，以為邊在直線的右側作等腰三角形，，，連接．
(1)如圖1，當點在邊上時，請?zhí)骄浚g的數(shù)量關系．
(2)如圖2，當點在的延長線上時，（1）中，，之間的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請你寫出新的結論，并說明理由．
【變式訓練9-3】已知為等腰三角形，，點為直線上一動點（點不與點、點重合）以為邊作，且，連接，．
(1)如圖，當點在邊上時，試說明：
①
②；
(2)如圖，當點在邊的延長線上時，其他條件不變，探究線段、、之間存在的數(shù)量關系，并說明理由．
【變式訓練9-4】如圖，點A在y軸正半軸上，點D在點A下方的y軸上，點B在x軸正半軸上，平分與x軸交于點C．
(1)如圖1，若，求證：；
(2)如圖2，若點A的坐標為，點E為上一點，且，求的長；
(3)如圖3，若，過C作于點F，點H為線段上一動點，點G為線段上一動點，在運動過程中，始終滿足，試判斷之間的數(shù)量關系，寫出你的結論并加以證明．
【變式訓練9-5】如圖，已知，點A，B在直線l兩側，點C，D在直線l上，點P為l上一動點，連接，，且．
(1)【問題解決】如圖①，當點P在線段上時，若，，則 （填“＞”或“＝”或“＜”）；
(2)【問題探究】如圖②，當點P在延長線上時，若，，探究線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由；
(3)【拓展延伸】如圖③，當點P在線段上時，若，將沿直線l對折得到，此時，探究線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．
【變式訓練9-6】在中，，，D是射線上一動點，連接，以為邊作，在右側，與過點A且垂直于的直線交于點E，連接．
(1)當都在的左側時，如圖①，線段之間的數(shù)量關系是_________；
(2)當在的兩側時，如圖②，線段之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出你的猜想，并給予證明；
(3)當都在AC的右側時，如圖③，線段之間有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出你的猜想，不必證明．
題型十：全等三角形的應用之定值問題
【經典例題10】在中，，，點D為上一動點．

(1)如圖1，點E、點F均是射線BD上的點并且滿足，．求證：；
(2)在（1）的條件下，求證：；
(3)由（1）我們知道，如圖2，當點D的位置發(fā)生變化時，過點C作于F，連接AF．那么的度數(shù)是否發(fā)生變化？請證明你的結論．
【變式訓練10-1】定義：有一組對角互補的四邊形叫做互補四邊形．
(1)互補四邊形中，若， 度；
(2)如圖1，在四邊形中，平分，，、求證：四邊形是互補四邊形；
(3)如圖2，互補四邊形中，，，點E，F(xiàn)分別是邊，的動點，且，周長是否變化？若不變，請求出不變的值；若有變化，說明理由；
【變式訓練10-2】定義：如圖（1），若分別以的三邊，，為邊向三角形外側作正方形，和，則稱這三個正方形為的外展三葉正方形，其中任意兩個正方形為的外展雙葉正方形．

(1)作的外展雙葉正方形和，記，的面積分別為和；
①如圖（2），當時，求證：；
②如圖（3），當時，與是否仍然相等，請說明理由．
(2)已知中，，，作其外展三葉正方形，記，，的面積和S，請利用圖（1）探究：當?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出的值；若變化，求出的最大值．
【變式訓練10-3】如圖，點A，B分別在兩互相垂直的直線上．
(1)如圖1，在三角形尺子中，如果點C到直線的距離是5，求的長；
(2)如圖2，若，點B在射線上運動時，分別以為邊作與圖1中相同形狀的，連接交射線于點P．
①當時，，求的大小；
②當點B在射線上移動時，的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出的值；若變化，求的取值范圍．
【變式訓練10-4】如圖，中，，，點D，E分別是，上的兩點，連接，，相交于點F，且．

(1)試說明：．
(2)改變點的位置，其它條件不變，與所成的的大小有無變化，請說明理由．
【變式訓練10-5】如圖，在中，，，，點是邊上的一動點（點不與端點A、重合），過點A作于點，交的延長線于點．
(1)求證：；
(2)在點移動的過程中，若，試求的長；
(3)試探索，在點移動的過程中，的大小是否保持不變？若保持不變，請求出的大小；若有變化，請說明變化情況．
題型十一：全等三角形的應用之最值問題
【經典例題11】如圖，，，．過點作，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點．
(1)的度數(shù)為______
(2)連接，交于點，試說明垂直平分；
(3)點是直線上的動點，當?shù)闹底钚r，證明點與點重合．
【變式訓練11-1】如圖一，在中，，，是邊上的一點，連接，將沿翻折，點恰好落在邊上的點處．

(1)求的度數(shù)．
(2)如圖二，將繞點順時針旋轉，使點落在的延長線上點處，點落在的延長線上點處．連接．
①求的度數(shù)．
②點在上且點、關于對稱，點是邊上的動點，當?shù)闹底钚r，請直接寫出的度數(shù)．
【變式訓練11-2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，點A與點C關于EF所在的直線對稱．
（1）連接AF，CE，判斷四邊形AFCE是何種特殊的四邊形，并說明理由．
（2）若P是邊DC上的一動點，當△PEF的周長最小時，求的值．
【變式訓練11-3】如圖，在四邊形中，，，分別是，上的點，連接，，．
（1）如圖①，，，．求證：；

（2）如圖②，，當周長最小時，求的度數(shù)；
（3）如圖③，若四邊形為正方形，點、分別在邊、上，且，若，，請求出線段的長度．
【變式訓練11-4】如圖，、分別是、軸上兩點，其中與互為相反數(shù).點是第二象限內一點，且，點是直線上一動點；
（1）若，且是等腰三角形，求的度數(shù)；
（2）點在直線上運動過程中，當最短時，求的大小.
【變式訓練11-5】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM.
（1）當M點在 （何處）時，AM＋CM的值最小；
（2）當AM+EM的值最小時，∠BCM= °.
（3）①求證：△AMB≌△ENB；②當M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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