資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1.3.3 角平分線的性質與判定九大題型（一課一講）
【同步培優】
題型一：對角平分線性質的理解
【經典例題1】如圖，三個村莊、、構成，供奶站須到三個村莊的距離都相等，則供奶站應建在（ ）
A．三條邊的垂直平分線的交點 B．三個角的角平分線的交點
C．三角形三條高的交點 D．三角形三條中線的交點
【變式訓練1-1】如圖，已知，兩個完全一樣的三角板如圖擺放，它們的一組對應直角邊分別在，上，且這組對應邊所對的頂點重合于點M，點M一定在（ ）
A．邊的高上 B．的平分線上 C．的平分線上 D．邊的中線上
【變式訓練1-2】下列說法正確的是（ ）
A．三角形三條角平分線的交點是三角形的重心
B．三角形的中線、角平分線、高都是線段
C．三角形的一條角平分線把該三角形分成面積相等的兩部分
D．三角形的三條高都在三角形內部
【變式訓練1-3】到三角形的三邊距離相等的點是（ ）
A．三角形三條高的交點 B．三角形三條內角平分線的交點
C．三角形三條邊的垂直平分線的交點 D．三角形三條中線的交點
【變式訓練1-4】如圖所示，點是內一點，要使點到、的距離相等，且，點是（ ）

A．的角平分線與邊上中線的交點
B．的角平分線與邊上中線的交點
C．的角平分線與邊上中線的交點
D．的角平分線與邊上中線的交點
【變式訓練1-5】到三角形三邊距離相等的點是三角形三條（ ）
A．中線的交點 B．三邊垂直平分線的交點
C．角平分線的交點 D．高線的交點
題型二：利用角平分線的性質求線段長度
【經典例題2】如圖，是中的角平分線，于點，，，，則長是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【變式訓練2-1】如圖，在中，，，，點O是三條角平分線的交點，則的邊上的高是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練2-2】如圖，中，是角平分線，．則的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-3】如圖，在中，，點O是、的平分線的交點，且，，則點O到邊的距離為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-4】如圖，，和分別平分和．過點P，且與垂直，若．則點P到的距離是（　　）
A．5 B． C．6 D．
【變式訓練2-5】如圖，中，，，點D 是的角平分線的交點，則點D到的距離為（　　）

A．1 B．2 C．3 D．
題型三：利用角平分線的性質求面積
【經典例題3】如圖，在中，的角平分線交于，則的面積為（ ）

A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6
【變式訓練3-1】如圖，平分，于點C，點D在上，若，則的面積為（ ）

A．3 B．6 C．9 D．18
【變式訓練3-2】如圖，在中，，，，，BD是的平分線，設和的面積分別為，，則的值為（ ）
A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5
【變式訓練3-3】如圖，的周長為23，和的角平分線交于點O，且于點D，，則的面積為（ ）
A．23 B．34 C．39 D．46
【變式訓練3-4】如圖，在中，為的中點，平分，，與相交于點，若的面積比的面積大，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
題型四：利用角平分線的性質求最值
【經典例題4】如圖，平分，P是上一點，過點P作于點Q，，O是上任意一點，連接，則的最小值為 ．
【變式訓練4-1】如圖，在中，，平分交于點，為線段上一動點，為邊上一動點，當的值最小時， ．

【變式訓練4-2】如圖，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，點M為OB上一定點，P為OC上的一動點，N為OB上一動點，當PM＋PN最小時，則∠PMO的度數為 ．
【變式訓練4-3】如圖，是等腰的角平分線，，，則的值是 ；E為線段（端點除外）上的動點，連接，作，且，連接，當的周長最小時，則的值是 ．

【變式訓練4-4】如圖，在中，，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，點在上．若，，，當最小時，的面積是（　　）
A．2 B．1 C．6 D．7
題型五：利用角平分線的判定求角度
【經典例題5】如圖，點是內一條射線上的一點，且于點于點，若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練5-1】如圖，，M是的中點，平分，且，則的度數是（　　）

A． B． C． D．
【變式訓練5-2】如圖，將紙片沿折疊，點A落在點處，恰好滿足平分平分，若，則度數為 ．
【變式訓練5-3】如圖，是的外角，，和的平分線相交于點E，連接，則的度數是 ．
【變式訓練5-4】如圖，在中，，三角形的外角和的平分線交于點E，則 ．
【變式訓練5-5】如圖，在中，，，的平分線與的外角平分線交于點，連接，則的大小等于 ．
題型六：利用角平分線的性質和判定證明
【經典例題6】如圖，在中，點在邊上，連接，有，的平分線交于點，過點作交的延長線于點，且，連接．求證：平分．
【變式訓練6-1】如圖，在中，和的平分線相交于點，連接．求證：平分．
【變式訓練6-2】如圖，，，，、交于點，連接．
(1)求證：；
(2)求證：平分；
(3)求的度數．（用含α的式子表示）
【變式訓練6-3】如圖，已知中，、的平分線交于，交于，交于，連接，過作于．
(1)試判斷與的數量關系，并證明你的結論；
(2)試判斷與的數量關系，并證明你的結論；
(3)若，探究與的數量關系，并證明你的結論．
【變式訓練6-4】如圖，，是的中點，平分．
(1)求證：平分；
(2)若，，求四邊形的面積．
【變式訓練6-5】如圖，中，，點分別在邊上，，．

(1)求證：平分；
(2)寫出與的數量關系，并說明理由．
題型七：角平分線的實際應用
【經典例題7】尺規作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：

(1)如圖①，要在河邊l修建一個水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？
(2)如圖②，三條公路兩兩相交，現計劃修建一個油庫P，要求油庫P到這三條公路的距離都相等，那么如何選擇油庫P的位置？（請作出符合條件的一個）
【變式訓練7-1】已知：如圖，直線，，表示三條相互交叉的公路，現要建一個塔臺，若要求它到三條公路的距離都相等，試問：
(1)可選擇的地點有幾處？
(2)你能畫出塔臺的位置嗎？
【變式訓練7-2】如圖，某地有兩個村莊，，和兩條相交的公路，，現計劃在內修建一個物資倉庫，希望倉庫到兩個村莊的距離相等，到兩條公路的距離也相等，請你確定物資倉庫的位置．（保留畫圖痕跡，不寫畫法）
【變式訓練7-3】如圖，、為兩條公路，點和點為內部的兩個居民點．現計劃在內部區域修建一貨站，使貨站到兩條公路距離相等，到兩居民點的距離也分別相等．
(1)請你找出點貨站位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)簡述你的作圖理由．
【變式訓練7-4】如圖，三條公路兩兩相交，現計劃修建一個油庫．
（1）如果要求油庫到兩條公路的距離都相等，那么如何選擇油庫的位置？
（2）如果要求油庫到這三條公路的距離都相等，那么如何選擇油庫的位置？
【變式訓練7-5】三條公路兩兩相交于三點，現計劃修建一個商品超市，要求這個超市到三條公路的距離相等，問可供選擇的地方有多少處 請畫出圖形并在圖中找出來．
題型八：角平分線性質和判定的應用之多結論問題
【經典例題8】如圖，在和中，，連接，交于點F，連接．下列結論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數為（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練8-1】如圖，中，，的角平分線、相交于點P，過P作交的延長線于點F，交于點H，則下列結論：①；②；③；④連接，平分，其中正確的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【變式訓練8-2】如圖，在和中，，，，，連接，交于點，連接．下列結論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【變式訓練8-3】如圖，與均為等腰三角形，，連接交于點F，與交于點G，與交于點H，并連接．下列結論：①；②；③；④平分；⑤，正確的個數有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練8-4】如圖，在中，，，分別平分，，，，下列結論：①；②；③；④，其中正確的為（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【變式訓練8-5】如圖，在和中，，，，連接，相交于點，連接．下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論個數為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
題型九：角平分線性質和判定的應用之探究問題
【經典例題9】【問題情境】在和中，，，．

(1)【初步探究】如圖1，當點A，C，D在同一條直線上時，連接、，延長交于點F，則與的數量關系是________，位置關系是________；
(2)【類比探究】如圖2，當點A、C、D不在同一條直線上時，連接交于點H，連接交于點F，（1）中結論是否仍然成立，為什么？
(3)【衍生拓展】如圖3，在（2）的條件下，連接并延長交于點G，的大小固定嗎？若固定，求出的度數；若不固定，請說明理由．
【變式訓練9-1】已知點C是平分線上一點，的兩邊分別與射線相交于B，D兩點，且．過點C作，垂足為E．
(1)如圖1，當點E在線段上時，求證：；
(2)如圖2，當點E在線段的延長線上時，探究線段與之間的等量關系；
(3)如圖3，在（2）的條件下，若，連接，作的平分線交于點F，交于點O，連接并延長交于點G．若，求線段的長．
【變式訓練9-2】在中，平分交于點．

(1)如圖1，若，則　 　．（直接寫出結果）
(2)如圖2，點為延長線上的一點，于點，當時，求的度數．
(3)如圖3，平分的外角交的延長線于點，連，點是延長線上的一點且，請探究與之間是否存在某種數量關系，寫出你的結論并加以證明．
【變式訓練9-3】在四邊形中，對角線平分．
【感知】如圖①，當時，利用全等知識求證：．
【探究】如圖②，當時，求．
【應用】如圖③，當，，，于點，則______．
【變式訓練9-4】如圖1，等腰直角三角形中，O為斜邊的中點，為的平分線，過點B作，垂足為D，交于點E，與交于點F．
（1）求證：；
（2）將沿方向移動至P處，角的一邊分別交、于點Q、H，如圖2所示，試探究線段和的數量關系，以及它們所在直線的位置關系．
【變式訓練9-5】已知，直線，點A，在上（點A在點的左側），點，在上，連接，．作的平分線交于點．
（1）特例感知：如圖1，點在點的右側，連接，作的平分線交于點，若，求的度數．
（2）點在點的左側，連接，作的平分線交于點．
①變式求異：如圖2，若，求的度數．
②化歸探究：已知，直線，直線交于點（點不與點重合），若，求的度數（用含的代數式表示，直接寫出答案）．
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1.3.3 角平分線的性質與判定九大題型（一課一講）
【同步培優】
題型一：對角平分線性質的理解
【經典例題1】如圖，三個村莊、、構成，供奶站須到三個村莊的距離都相等，則供奶站應建在（ ）
A．三條邊的垂直平分線的交點 B．三個角的角平分線的交點
C．三角形三條高的交點 D．三角形三條中線的交點
【答案】A
【分析】本題考查了到三角形三個頂點距離相等的點是三條邊的垂直平分線的交點，據此解答即可．
【詳解】解：依題意，供奶站應建在三條邊的垂直平分線的交點
故選：A．
【變式訓練1-1】如圖，已知，兩個完全一樣的三角板如圖擺放，它們的一組對應直角邊分別在，上，且這組對應邊所對的頂點重合于點M，點M一定在（ ）
A．邊的高上 B．的平分線上 C．的平分線上 D．邊的中線上
【答案】B
【分析】根據角平分線的判定推出M在的角平分線上，即可得到答案．
【詳解】解：如圖：
，，，
在的角平分線上，
故選B．
【變式訓練1-2】下列說法正確的是（ ）
A．三角形三條角平分線的交點是三角形的重心
B．三角形的中線、角平分線、高都是線段
C．三角形的一條角平分線把該三角形分成面積相等的兩部分
D．三角形的三條高都在三角形內部
【答案】B
【分析】根據三角形重心概念、三角形的中線、角平分線、高性質判斷求解即可．
【詳解】解：三角形三條中線的交點是三角形的重心，
故A錯誤，不符合題意；
三角形的中線、角平分線、高都是線段，
故B正確，符合題意；
三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分，
故C錯誤，不符合題意；
銳角三角形的三條高都在三角形內部，
故D錯誤，不符合題意；
故選：B．
【變式訓練1-3】到三角形的三邊距離相等的點是（ ）
A．三角形三條高的交點 B．三角形三條內角平分線的交點
C．三角形三條邊的垂直平分線的交點 D．三角形三條中線的交點
【答案】B
【分析】本題考查了角的平分線的性質．根據角平分線的性質“在角的內部，到該角兩邊距離相等的點在該角的平分線上”判斷即可．
【詳解】解：根據角平分線的性質知，到三角形的三邊距離相等的點是三角形三條內角平分線的交點，
觀察四個選項，選項B符合題意；
故選：B．
【變式訓練1-4】如圖所示，點是內一點，要使點到、的距離相等，且，點是（ ）

A．的角平分線與邊上中線的交點
B．的角平分線與邊上中線的交點
C．的角平分線與邊上中線的交點
D．的角平分線與邊上中線的交點
【答案】B
【分析】本題考查角平分線，三角形中線，全等三角形的知識，解題的關鍵是延長交于點，過點作的延長線交于點，過點作交，根據角平分線的性質，則點在的角平分線上，根據，則，根據全等三角形的判定和性質，則，推出，即可．
【詳解】延長交于點，過點作的延長線交于點，過點作交于點，
∵點到、的距離相等，
∴點在的角平分線上，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是上的中線，
∴點是的角平分線與邊上中線的交點．
故選：B．

【變式訓練1-5】到三角形三邊距離相等的點是三角形三條（ ）
A．中線的交點 B．三邊垂直平分線的交點
C．角平分線的交點 D．高線的交點
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
利用角平分線的性質，只有角平分線的交點到三邊的距離相等．
【詳解】到三角形各邊距離相等的點是三角形三條角平分線的交點，
故選：C．
題型二：利用角平分線的性質求線段長度
【經典例題2】如圖，是中的角平分線，于點，，，，則長是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】A
【分析】本題考查了角的平分線性質，三角形面積公式的應用．過作于，根據角平分線性質求出，根據和三角形面積公式，即可解題．
【詳解】解：過作于，如圖所示：
是中的角平分線，，于點，，
，
，
，
，
，
解得．
故選：A．
【變式訓練2-1】如圖，在中，，，，點O是三條角平分線的交點，則的邊上的高是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形全等的判定，勾股定理的逆定理，根據面積相等列方程求出OE是解決本題的關鍵．
過O作于E，于F，于D，得到，證明是直角三角形，設，從而利用面積等于3個小三角形面積和，求得的邊上的高．
【詳解】解：過O作于E，于F，于D，
∵點O為的三條角平分線的交點，
∴，
在中，，，，
∴
∴是直角三角形，
設，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點O到的距離等于1．
即的邊上的高是1，
故選：A．
【變式訓練2-2】如圖，中，是角平分線，．則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，等高的三角形的面積的比等于底邊的比的性質．根據角平分線的性質可得點D到的距離相等，設為h，然后表示出和，然后根據等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出，進而可求出的長．
【詳解】解：∵是角平分線，
∴點D到的距離相等，設為h，
∴，
∵點A到的距離相等，
∴，
∵，
∴．
故選C．
【變式訓練2-3】如圖，在中，，點O是、的平分線的交點，且，，則點O到邊的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線的性質以及三角形面積求法，正確表示出三角形面積是解題的關鍵．利用角平分線的性質結合三角形的面積得出答案．
【詳解】解：過點作，垂足分別為，連接，
，，，
，
是、的平分線，，
，
，
，
（），
故選：B．
【變式訓練2-4】如圖，，和分別平分和．過點P，且與垂直，若．則點P到的距離是（　　）
A．5 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質、角平分線的性質，點到直線的距離；過作交于，由角平分線的性質得，即可求解；掌握性質，作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：過作交于，
，，
，
和分別平分和，
，
；
故選：C．
【變式訓練2-5】如圖，中，，，點D 是的角平分線的交點，則點D到的距離為（　　）

A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了角平分線的性質，先利用角平分線的性質得出，再根據等面積法計算即可.
【詳解】解：如圖所示，過點D作作、、分別垂直于，、，垂足分別為E、F、G，連接
與的角平分線交于點D，
，
∴
∴，
，
∴，
∴點D到的距離為1，
故選：A．
題型三：利用角平分線的性質求面積
【經典例題3】如圖，在中，的角平分線交于，則的面積為（ ）

A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線的性質，以及運用三角形的高求面積，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．先根據角平分線的性質，得，通過同高，底邊比就是面積比得，運用割補法得的面積，進行代入數值計算，即可作答．
【詳解】解：如圖：分別過點E作，的面積分別記
∵的角平分線交于，
∴
∵
則，，（同高，底邊比就是面積比）
∴
∴
則的面積
故選：C
【變式訓練3-1】如圖，平分，于點C，點D在上，若，則的面積為（ ）

A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，過點P作于E，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，即可解答．
【詳解】解：如圖，過點P作于E，

∵平分，，，
，
，
∴的面積為：，
故選：C．
【變式訓練3-2】如圖，在中，，，，，BD是的平分線，設和的面積分別為，，則的值為（ ）
A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線的性質定理，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
過點D作交于點E，根據角平分線的性質得出，再利用三角形的面積公式分別求出，，最后求比即可得出答案．
【詳解】解：過點D作交于點E
BD是的平分線，
，，
，
故選B．
【變式訓練3-3】如圖，的周長為23，和的角平分線交于點O，且于點D，，則的面積為（ ）
A．23 B．34 C．39 D．46
【答案】D
【分析】本題主要考查了角平分線的性質、三角形的面積等知識點，掌握角平分線上的點到兩邊距離相等是解題的關鍵．
過點O作于E，于F，然后根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質可得，再根據三角形面積計算即可．
【詳解】解：如圖: 過點O作于E，于F，
的平分線交于O，，，，
∴，，
∴，
∴的面積．
故選D．
【變式訓練3-4】如圖，在中，為的中點，平分，，與相交于點，若的面積比的面積大，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線的性質定理和三角形中線，以及利用方程思想解決三角形的面積問題，作于，于，得，則，設的面積為，則，由為的中點，從而，根據的面積比的面積大，列出方程即可求解，掌握以上知識是解題的關鍵．
【詳解】作于，于，
∵平分，
∴，
∴，
設的面積為，則，
∵為的中點，
∴，
∵的面積比的面積大，
∴的面積比的面積大，
∴，
∴，
∴
故選：．
題型四：利用角平分線的性質求最值
【經典例題4】如圖，平分，P是上一點，過點P作于點Q，，O是上任意一點，連接，則的最小值為 ．
【答案】5
【分析】本題考查角平分線的性質定理，垂線段最短，解題關鍵是找到最短距離的位置．
根據垂線段最短確定點O的位置，再根據角平分線的性質即可得到最短距離．
【詳解】解：∵O是上任意一點，
∴當時，的值最小，
又∵平分，P是上一點，，
∴的最小值為5．
故答案為：5．
【變式訓練4-1】如圖，在中，，平分交于點，為線段上一動點，為邊上一動點，當的值最小時， ．

【答案】128
【分析】本題考查的角平分線的性質，角平分線的含義，三角形的內角和定理的應用，如圖，過作于，交于，此時，此時最短，再結合角平分線與三角形的內角和定理可得答案．
【詳解】解：如圖，過作于，交于，

當時，而平分，
∴，
∴，此時最短，
∵，平分，
∴，，
∴，
故答案為：
【變式訓練4-2】如圖，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，點M為OB上一定點，P為OC上的一動點，N為OB上一動點，當PM＋PN最小時，則∠PMO的度數為 ．
【答案】45°
【分析】找到點M關于OC對稱點M′，過點M′作M′N⊥OB于點N，交OC于點P，則此時PM+PN的值最小，再根據角平分線的性質及三角形內角和即可得出答案．
【詳解】解：如圖，
找到點M關于OC對稱點M′，過點M′作M′N⊥OB于點N，交OC于點P，則此時PM+PN的值最小．
∵PM=PM′，
∴此時PM+PN=PM′+PN′=M′N′，
∵點M與點M′關于OC對稱，OC平分∠AOB，
∴OM=OM′，
∵∠AOB=45°，
∴∠PM'O=∠AOB=45°，
∴∠PMO=∠PM'O=45°，
故答案為：45°．
【變式訓練4-3】如圖，是等腰的角平分線，，，則的值是 ；E為線段（端點除外）上的動點，連接，作，且，連接，當的周長最小時，則的值是 ．

【答案】
【分析】作，可通過面積比求出；連接，易證，，所以點F在射線上運動，作點A關于射線對稱點，當，F，D三點共線時，，此時周長最小，求出結論即可．
【詳解】解：作，如圖：

是等腰的角平分線，
，
，
邊上的高相同，
；
連接，
，
，
，
，
，
，
點F在射線上運動，
作點A關于射線對稱點，當，F，D三點共線時，
，
此時周長最小，
由點A與點對稱，得：
，
平分，
．
故答案為：，．

【變式訓練4-4】如圖，在中，，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，點在上．若，，，當最小時，的面積是（　　）
A．2 B．1 C．6 D．7
【答案】B
【分析】過點作于，由角平分線的作法可知，是的角平分線，利用角平分線的性質得出，根據過直線外一點到直線的垂線段最短， 最短為2，由直角三角形全等的判定和性質可得出，利用線段間的數量關系及三角形面積公式即可求解．
【詳解】解：如圖，
由角平分線的作法可知，是的角平分線，
點為線段上的一個動點，最短，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的面積．
故選：B．
題型五：利用角平分線的判定求角度
【經典例題5】如圖，點是內一條射線上的一點，且于點于點，若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本題考查了角平分線的判定， 利用角平分線的判定定理得到平分，再利用角平分線的定義求解即可．
【詳解】解：∵，，，
∴平分，
∵，
∴．
故選D．
【變式訓練5-1】如圖，，M是的中點，平分，且，則的度數是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線的性質和判定，解題的關鍵是掌握角平分線上的點到兩邊距離相等．作于N，根據角平分線的性質得出，進而得出．
【詳解】解：作于N，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵M是的中點，
∴，
∴，
又，，
∴，
故選：B．

【變式訓練5-2】如圖，將紙片沿折疊，點A落在點處，恰好滿足平分平分，若，則度數為 ．
【答案】/70度
【分析】本題考查了翻折變換的性質、角平分線的判定與性質、三角形內角和定理及三角形外角的性質，熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，三角形的內角和等于是解題的關鍵．連接，過作，利用角平分線的判定得到平分，利用角平分線性質及三角形內角和定理得出相應角度，進而求得；再根據折疊可知，得出，由等腰三角形性質得出，最后利用外角性質即可得到答案．
【詳解】解：連接，過作，如圖所示：
∵平分，平分，
，
∴平分，
∴，
∵平分，平分，
∴，
，
，
∴，
∴，
∵將紙片沿折疊，點A落在點處，
∴，
∴，
，
∴，
是的一個外角，
∴，
故答案為：．
【變式訓練5-3】如圖，是的外角，，和的平分線相交于點E，連接，則的度數是 ．
【答案】/48度
【分析】根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和和角平分線的定義列式并整理得到，過點E作交延長線于F，作于G，作于H，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得，然后求出，再根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷出是的平分線，再根據角平分線的定義解答即可．
【詳解】解：∵和的角平分線相交于點E，
∴，
由三角形的外角性質得，，
，
∴，
∴，
整理得，，
∵，
∴，
過點E作交延長線于F，作于G，作于H，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是的平分線，
∴．
故答案為：．
【變式訓練5-4】如圖，在中，，三角形的外角和的平分線交于點E，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了角平分線的性質和角平分線的定義，解題的關鍵是能正確作出輔助線，證明平分；
過點E作，根據角平分線的性質可得，則有，再根據，即可得出平分即可解答．
【詳解】解：過點E作，如圖所示：
三角形的外角和的平分線交于點E，
，
，
，
平分，
，
故答案為：．
【變式訓練5-5】如圖，在中，，，的平分線與的外角平分線交于點，連接，則的大小等于 ．
【答案】/34度
【分析】本題考查了角平分線的判定與性質，三角形外角的性質等知識，先根據角平分線的判定與性質得出平分，然后利用三角形外角的性質，即可求解．
【詳解】解：過點D作于H，于E，于F，
∵的平分線與的外角平分線交于點，
∴，，
∴平分，
∴，
∵，
∴
，
故答案為：．
題型六：利用角平分線的性質和判定證明
【經典例題6】如圖，在中，點在邊上，連接，有，的平分線交于點，過點作交的延長線于點，且，連接．求證：平分．
【答案】見解析
【分析】
此題考查了角平分線的性質，理解角平分線上的點到角的兩邊距離相等，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上是解答此題的關鍵．過點作于點，于點，先通過計算得出，根據角平分線的性質得，，進而得，據此根據角平分線的性質可得出結論
【詳解】證明：如圖，過點作于點，于點，
，，
，
，
，
，即為的平分線．
又，，
．
是的平分線，
，
，
點在的平分線上，
平分．
【變式訓練6-1】如圖，在中，和的平分線相交于點，連接．求證：平分．
【答案】見詳解
【分析】
本題考查了角平分線的判定與性質，過點作于點于點于點，利用角平分線的性質可得，進一步得到，即可證明平分．
【詳解】證明：過點作于點于點于點，
，分別平分和，
，
．
于點于點，
平分．
【變式訓練6-2】如圖，，，，、交于點，連接．
(1)求證：；
(2)求證：平分；
(3)求的度數．（用含α的式子表示）
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)．
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質，角平分線的判定，正確作出輔助線是解題的關鍵．
（1）由條件根據可證明，則結論得證；
（2）過點作于，于，可證明，可證得，利用角平分線的判定可證明結論；
（3）由（1）可得，再利用三角形內角及外角的性質可求得．
【詳解】（1）證明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）證明：過點作于，于，
，
，
在和中，
，
，
，
于，于，
平分；
（3）解：，
，
，
，
，
由（2）得平分，
，
即．
【變式訓練6-3】如圖，已知中，、的平分線交于，交于，交于，連接，過作于．
(1)試判斷與的數量關系，并證明你的結論；
(2)試判斷與的數量關系，并證明你的結論；
(3)若，探究與的數量關系，并證明你的結論．
【答案】(1)，證明見解析
(2)，證明見解析
(3)，證明見解析
【分析】（1）根據角平分線的定義可得，，然后由，即可獲得答案；
（2）過作于，于，首先根據角平分線的性質定理可得，，得，進而證明為的角平分線，結合（1）可知，，再證明，即可證明結論；
（3）結合題意證明，然后利用“”證明，由全等三角形的性質即可證明．
【詳解】（1），證明如下：
∵平分，平分，
∴，，
∴
；
（2），證明如下：
過作于，于，
∵平分，平分，，
∴，，
∴，
∴在的角平分線上，
∴，
結合（1）可知，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），證明如下：
∵，
∴由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【變式訓練6-4】如圖，，是的中點，平分．
(1)求證：平分；
(2)若，，求四邊形的面積．
【答案】(1)見詳解
(2)60
【分析】此題主要考查了梯形的面積，角平分線的性質和判定，以關鍵是掌握角平分線的性質和判定定理．
（1）過點作于點，首先根據角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得，根據等量代換可得，再根據角平分線的判定可得平分；
（2）根據全等三角形的性質可得，，可求，再利用梯形的面積公式可得答案．
【詳解】（1）證明：過點作于點，
平分
是的中點，
又∵，
∴平分．

（2）平分，
∵
同理可得：，
，
【變式訓練6-5】如圖，中，，點分別在邊上，，．

(1)求證：平分；
(2)寫出與的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)．理由見解析
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定與性質、角平分線的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）過點作于點，證明得到，從而可得出點在的平分線上，即可得證；
（2）證明得到，由（1）知，，得到，即可得解．
【詳解】（1）證明：如圖，過點作于點，

∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴點在的平分線上，
平分；
（2）解：，
理由如下：
由（1）知，平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
由（1）知，，
∴，
∴．
題型七：角平分線的實際應用
【經典例題7】尺規作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：

(1)如圖①，要在河邊l修建一個水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？
(2)如圖②，三條公路兩兩相交，現計劃修建一個油庫P，要求油庫P到這三條公路的距離都相等，那么如何選擇油庫P的位置？（請作出符合條件的一個）
【答案】(1)見解析
(2)見解析（答案不唯一）
【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質和畫法得出即可；
（2）根據“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，分別作出兩個內角的平分線、相鄰兩個外角的平分線，共有四個點（作一個點即可）．
【詳解】（1）如圖1所示：M點即為所求．

（2）如圖2所示（答案不唯一）．

【變式訓練7-1】已知：如圖，直線，，表示三條相互交叉的公路，現要建一個塔臺，若要求它到三條公路的距離都相等，試問：
(1)可選擇的地點有幾處？
(2)你能畫出塔臺的位置嗎？
【答案】(1)4處
(2)見解析
【分析】（1）根據角平分線的性質得出符合條件的點，即可得到答案；
（2）作出相交組成的角的平分線，平分線的交點就是所求的點．
【詳解】（1）解：可選擇的地點有4處，如圖：
、、、，共4處．
（2）解：能，如圖，根據角平分線的性質，作三條直線相交的角的平分線，平分線的交點就是所求的點．
【變式訓練7-2】如圖，某地有兩個村莊，，和兩條相交的公路，，現計劃在內修建一個物資倉庫，希望倉庫到兩個村莊的距離相等，到兩條公路的距離也相等，請你確定物資倉庫的位置．（保留畫圖痕跡，不寫畫法）
【答案】見詳解
【分析】先連接，根據線段垂直平分線的性質作出線段的垂直平分線，再作的平分線兩者交于點P，點P即為所求．
【詳解】連接，作線段的垂直平分線，與的平分線交于點P，則點P到點，的距離相等，到，的距離相等，作圖如下，點P即為所求，

【變式訓練7-3】如圖，、為兩條公路，點和點為內部的兩個居民點．現計劃在內部區域修建一貨站，使貨站到兩條公路距離相等，到兩居民點的距離也分別相等．
(1)請你找出點貨站位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)簡述你的作圖理由．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）先做的角平分線，再畫的垂直平分線，相加于點為所求；
（2）根據角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等即可理解．
【詳解】（1）解：作圖如下：
（2）解：理由：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等、垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．點P到兩條公路距離相等，到兩個村莊距離也相等故為角平分線與垂直平分線的交點．
【點睛】本題考查作圖應用與設計作圖，角平分線的性質，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
【變式訓練7-4】如圖，三條公路兩兩相交，現計劃修建一個油庫．
（1）如果要求油庫到兩條公路的距離都相等，那么如何選擇油庫的位置？
（2）如果要求油庫到這三條公路的距離都相等，那么如何選擇油庫的位置？
【答案】（1）油庫的位置在直線MN或直線EF上；（2）見解析
【分析】（1）作∠BAC角平分線AN，作∠BAD的角平分線AE，直線MN，直線EF上的點滿足條件．
（2）根據“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，分別作出三個內角的平分線、相鄰兩個外角的平分線，共有四個點．
【詳解】解：（1）如圖，油庫的位置在直線MN或直線EF上；
（2）如圖，點P1，P2，P3，P4即為所求．
【變式訓練7-5】三條公路兩兩相交于三點，現計劃修建一個商品超市，要求這個超市到三條公路的距離相等，問可供選擇的地方有多少處 請畫出圖形并在圖中找出來．
【答案】詳見解析
【分析】要到三條公路的距離相等，所以超市要選擇的位置是△ABC內角平分線和外角平分線的交點，作圖即可.
【詳解】分別作△ABC外角的平分線和內角平分線，交點處即是所求，如圖可供選擇的地方有4處，分別為：O1，O2，O3，O4．
題型八：角平分線性質和判定的應用之多結論問題
【經典例題8】如圖，在和中，，連接，交于點F，連接．下列結論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數為（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】此題重點考查全等三角形的判定與性質、根據面積等式證明線段相等、角平分線的判定、三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．
先由證明，即可根據全等三角形的判定定理“”證明，得，可判斷①正確；設交于點，因為，所以，可判斷②正確；作于點于點，由得，則，即可證明平分，可判斷④正確；假設，則，所以，由，得，即可推導出，得，與已知條件相矛盾，可判斷③錯誤，于是得到問題的答案．
【詳解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故①正確；
設交于點G，
∴，
故②正確；
作于點于點J，
∵，
∴，又，
∴，
∴點A在的平分線上，
∴平分，
故④正確；
假設，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，與已知條件相矛盾，
∴，
故③錯誤，
∴①②④這3個結論正確，
故選：C．
【變式訓練8-1】如圖，中，，的角平分線、相交于點P，過P作交的延長線于點F，交于點H，則下列結論：①；②；③；④連接，平分，其中正確的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的判定和性質定理，掌握相關性質是解題關鍵．根據角平分線的定義和三角形內角和定理，即可判斷①結論；證明，即可判斷②結論；證明，即可判斷③結論；根據角平分線的判定和性質定理，即可判斷④結論．
【詳解】
解：在中，
，
，
又、分別平分、，
，
，故①正確．
，
又，
，
，
，
又，，
，
，，，故②正確．
在和中，
，，，
，
，故③正確．
的角平分線、相交于點P，
點P到、的距離相等，點P到、的距離相等，
點P到、的距離相等，
點P在的平分線上，
平分，故④正確．
故選：D．
【變式訓練8-2】如圖，在和中，，，，，連接，交于點，連接．下列結論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、三角形外角的定義和性質、角平分線的判定等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題關鍵．利用“”證明，由全等三角形的性質可得，，，故①正確；由三角形的外角性質得，易得，故②正確；作于，于，首先證明，易得，進而證明平分，當時，才平分，假設，可證明，可得，進而可得，而與矛盾，故③錯誤；沒有條件可以證明平分，故④錯誤．
【詳解】解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，，故①正確；
由三角形的外角性質得，
∴，故②正確；
作于，于，如圖所示，
則，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，
∵，
∴當時，平分，
假設，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，與矛盾，故③錯誤；
∵沒有條件可以證明平分，
∴④錯誤．
綜上所述，正確的個數有2個．
故選：C．
【變式訓練8-3】如圖，與均為等腰三角形，，連接交于點F，與交于點G，與交于點H，并連接．下列結論：①；②；③；④平分；⑤，正確的個數有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】本題考查全等三角形的判定和性質，角平分線的判定等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．過點A作于點M，于點N，證明，即可判斷①③④正確．
【分析】解：過點A作于點M，于點N，
∵
∴
在和中，
∴，故①正確，
∴，
∵
∴
∵
∴，故③正確，
∵
∴
∴
∴，
∴平分，故④正確，
在和中，，
由于無法判斷，
故無法判斷，故與不一定相等．故②錯誤．
故選：C．
【變式訓練8-4】如圖，在中，，，分別平分，，，，下列結論：①；②；③；④，其中正確的為（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】由角平分線的定義及三角形外角的性質可得，進而判定①；由角平分線的定義及平角的定義可求，利用三角形外角的性質及平行線的性質可判定②；利用角平分線的定義可判定③；由角平分線的性質及判定可得為外角的平分線，結合角平分線的定義及三角形外角的性質即可證明，再利用平行線的性質可得結論④．
【詳解】解：∵
∴，，
∵平分
∴
∵平分，，
∴．
∵，
∴
∴，故①錯誤；
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵
∴
∴，故②正確；
∵BD平分，
∴
∵，
∴，故③正確；
過點D作于N，于 G ，于H，如圖，

∵平分，， ，
∴
∵平分， ，，
∴
∴
∴為外角的平分線，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
即，故④正確．
故選：C．
【變式訓練8-5】如圖，在和中，，，，連接，相交于點，連接．下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論個數為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題考查了三角形全等的判定及性質．利用手拉手模型證明，可得①②正確，根據全等推導出是的平分線可得④正確；利用反證法證明③不成立即可．
【詳解】解：設、相交于點，過點作，垂足為，作，垂足為，

，
，即，
，
，
，故①正確；
，
，
，
，
，故②正確；
，
，
，，
平分，
，
，
，故④正確；
假設③正確，則一定有，又，則會有，
，，
，則，假設不成立，③錯誤．
綜上，①②④正確；
故選：C．
題型九：角平分線性質和判定的應用之探究問題
【經典例題9】【問題情境】在和中，，，．

(1)【初步探究】如圖1，當點A，C，D在同一條直線上時，連接、，延長交于點F，則與的數量關系是________，位置關系是________；
(2)【類比探究】如圖2，當點A、C、D不在同一條直線上時，連接交于點H，連接交于點F，（1）中結論是否仍然成立，為什么？
(3)【衍生拓展】如圖3，在（2）的條件下，連接并延長交于點G，的大小固定嗎？若固定，求出的度數；若不固定，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)成立，理由見詳解；
(3)，理由見詳解．
【分析】
（1）證明，得到，由對頂角相等得到，所以，即可解答；
（2）證明，得到，又由，得到，即可解答；
（3），如圖3，過點C作，，垂足分別為M、N，由，得到，，證明得到，得到平分，由，得到，所以，根據對頂角相等得到．
【詳解】（1）證明：如圖1，

在和中，
，
，
，
，
，
；
故答案為：；
（2）解：成立，證明：如圖2，

，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3），
如圖3，過點C作，，垂足分別為M、N，

，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
．
【變式訓練9-1】已知點C是平分線上一點，的兩邊分別與射線相交于B，D兩點，且．過點C作，垂足為E．
(1)如圖1，當點E在線段上時，求證：；
(2)如圖2，當點E在線段的延長線上時，探究線段與之間的等量關系；
(3)如圖3，在（2）的條件下，若，連接，作的平分線交于點F，交于點O，連接并延長交于點G．若，求線段的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)，理由見解析；
(3)6．
【分析】（1）過點C作，根據角平分線的性質得到，證明，根據全等三角形的性質證明結論；
（2）過點C作，利用證明，從而得到，證明，得到，結合圖形解答即可；
（3）在BD上截取，連接OH，證明，根據全等三角形的性質得到，根據角平分線的判定定理得到，證明，得到，計算即可．
【詳解】（1）證明：如圖1，過點C作，垂足為F，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如圖2，過點C作，垂足為F，
∵平分，
∴
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴；
（3）解：如圖3，在上截取，連接，
在和中，
，
∴
∴，
∵是的平分線，是的平分線，
∴點O到的距離相等，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練9-2】在中，平分交于點．

(1)如圖1，若，則　 　．（直接寫出結果）
(2)如圖2，點為延長線上的一點，于點，當時，求的度數．
(3)如圖3，平分的外角交的延長線于點，連，點是延長線上的一點且，請探究與之間是否存在某種數量關系，寫出你的結論并加以證明．
【答案】(1)
(2)
(3)，見解析
【分析】（1）過點作于，作于，根據角平分線的性質得，根據三角形的面積公式即可求解；
（2）設，則，，據此知，結合可得答案；
（3）過點作于點，于點，，交延長線于點，證明得，從而得到平分，根據三角形外角的性質得，則，根據三角形外角的性質及平角的定義即可得到答案．
【詳解】（1）解：過點作于，作于，
，
平分交于點，
，
，，
，
故答案為：；
（2）解：設，則，
，
平分，
，
，
，
，
；
（3）解：，
證明：如圖3，過點作于點，于點，，交延長線于點，
，
平分，平分，
，
又，
，
，
，
平分，
，
，即，
，
則
，
．
【變式訓練9-3】在四邊形中，對角線平分．
【感知】如圖①，當時，利用全等知識求證：．
【探究】如圖②，當時，求．
【應用】如圖③，當，，，于點，則______．
【答案】【感知】：證明見解析；【探究】：1∶2；【應用】1∶2．
【感知】證明，即可求證；
【探究】過點C作于點E，過點C作垂直延長線于點F，根據三角形中高相等，面積的比即為底的比即可求解；
【應用】過點C作于點F，通過設未知數找到與的長度比，即可求解．
【詳解】感知：∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∴．
探究：如圖②，過點C作于點E，過點C作垂直延長線于點F．
∵平分，，，
∴，
∵，，且，
∴=1∶2．
應用：如圖③，過點C作于點F，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴四邊形為正方形，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
設，則，
設，
∵四邊形為正方形，
∴，
∴，
∴，
解得：，
即：，
∴，
．
【變式訓練9-4】如圖1，等腰直角三角形中，O為斜邊的中點，為的平分線，過點B作，垂足為D，交于點E，與交于點F．
（1）求證：；
（2）將沿方向移動至P處，角的一邊分別交、于點Q、H，如圖2所示，試探究線段和的數量關系，以及它們所在直線的位置關系．
【答案】（1）見解析；（2）=且⊥，見解析
【分析】（1）由等腰直角三角形，可得AB=CB，∠ABC=90°，∠A=∠ACB=45°，由為的平分線，可得∠OCH=∠BOH=22.5°，可證∠ABE=∠BCH=22.5°，由O為斜邊的中點，可得AO=CO=BO，∠ABO=∠CBO=45°，可證△ABE≌△BCH（ASA），再證Rt△BOE≌Rt△COH（HL）；
（2）=2，PQ⊥BE，過P作PM⊥OB于N，交BE于M，CD⊥BE于D，由沿方向移動至P處，可得QP∥CD，∠QPB=∠DCB=22.5°由，可得PQ⊥BE，由OC⊥OB，可得PM∥OC，可證∠NPB=∠NBP,可證△BMN≌△PHN（ASA），再證△BPQ≌△MPQ（ASA）可推出PH=2BQ．
【詳解】證明（1）∵等腰直角三角形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，∠A=∠ACB=45°，
∵為的平分線，
∴∠OCH=∠BOH=22.5°
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∵，
∴∠BDC=90°，
∴∠EBC+∠HCB=90°，
∴∠ABE=∠BCH=22.5°，
∵O為斜邊的中點，
∴AO=CO=BO，∠ABO=∠CBO=45°，
∴∠A=∠HBC，
∴△ABE≌△BCH（ASA），
∴BE=CH，
∵OB=OC，
∵BO是等腰直角三角形的斜邊中線，
∴OB⊥AC，
∴Rt△BOE≌Rt△COH（HL）；
（2）=2，PQ⊥BE，
過P作PM⊥OB于N，交BE于M，CD⊥BE于D，
∵將沿方向移動至P處，
∴QP∥CD，
∴∠QPB=∠DCB=22.5°，
∵，
∴PQ⊥BE，
∵OC⊥OB，
∴PM∥OC，
∴∠NPB=45°，
∵∠NBP=45°，
∴∠NPB=∠NBP,
∴BN=PN，
由（1）知∠EBO=∠OCD=22.5°，
∵∠NPH=∠NPB-∠HPB=45°-22.5°=22.5°=∠MBN，
∵∠MNB=∠HNP=90°，
∴△BMN≌△PHN（ASA），
∴BM=PH，
由PQ⊥BE，
∴∠PQB=∠PQM=90°，
∵∠BPQ=∠MPQ=22.5°，PQ=PQ，
∴△BPQ≌△MPQ（ASA），
∴BQ=QM=，
∴PH=2BQ．
【變式訓練9-5】已知，直線，點A，在上（點A在點的左側），點，在上，連接，．作的平分線交于點．
（1）特例感知：如圖1，點在點的右側，連接，作的平分線交于點，若，求的度數．
（2）點在點的左側，連接，作的平分線交于點．
①變式求異：如圖2，若，求的度數．
②化歸探究：已知，直線，直線交于點（點不與點重合），若，求的度數（用含的代數式表示，直接寫出答案）．
【答案】（1）；（2）①；②∠BGD的度數為或或．
【分析】（1）作直線，由平行線和角平分線的性質即可得出，，即可求出．
（2）①直接利用平行線和角平分線的性質即可得出．
②分類討論Ⅰ當點D在①條件下的點D的右側時、Ⅱ當點D在①條件下的點D的左側，且點G在MN下方時、Ⅲ當點D在①條件下的點D的左側，且點G在MN和PQ中間時，分別利用由平行線和角平分線的性質結合三角形內角和定理和三角形外角性質即可求出．
【詳解】（1）如圖，作直線，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵BE為的角平分線．
∴，
∴．
∵，
∴，
∵DF為的角平分線．
∴，
∴．
∴．
（2）①由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵DF為∠ADC的角平分線，
∴．
②Ⅰ如圖，當點D在①條件下的點D的右側時．
由（1）可知，
∵，
∴.
∵DF為∠ADC的角平分線，
∴.
∴，
∴．
Ⅱ如圖，當點D在①條件下的點D的左側，且點G在MN下方時．
同理可知，，
∴．
Ⅲ如圖，當點D在①條件下的點D的左側，且點G在MN和PQ中間時．
同理可知，，
∴．
綜上可知，∠BGD的度數為或或．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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