資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
1.3.2 全等三角形模型九大題型（一課一講）
【同步培優(yōu)】
題型一：全等三角形九大模型之“平移”模型
【經(jīng)典例題1】如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，．若，求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，求證：．
【變式訓(xùn)練1-2】如圖，點(diǎn)，在線段上，，，．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練1-3】如圖，點(diǎn)，，，在同一條直線上，，，．
(1)求證：；
(2)求證：．
【變式訓(xùn)練1-4】如圖，在中，，將沿射線的方向平移至，連接，設(shè)與的交點(diǎn)為．
(1)若為的中點(diǎn)，求證：；
(2)若平分，求的度數(shù)．
題型二：全等三角形九大模型之“軸對稱”模型
【經(jīng)典例題2】如圖：已知中，，中，，連接并延長交于．試說明的理由．
【變式訓(xùn)練2-1】如圖，點(diǎn)，在上，，，．試說明．

【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在中，，在邊上順次取點(diǎn)，，使．作，，分別與，的延長線交于點(diǎn)，．求證：．

【變式訓(xùn)練2-3】如圖所示，已知．
(1)求證：；
(2)若，請求出的長度．
【變式訓(xùn)練2-4】如圖，已知點(diǎn)在一條直線上，，，．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【變式訓(xùn)練2-5】如圖，和相交于點(diǎn)，，，求證：．

題型三：全等三角形九大模型之“旋轉(zhuǎn)”模型
【經(jīng)典例題3】如圖，已知和中，，，，，，線段分別交，于點(diǎn)，．
（1）請說明的理由；
（2）可以經(jīng)過圖形的變換得到，請你描述這個變換；
（3）求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練3-1】【基本模型】
（1）如圖1，是正方形，，當(dāng)在邊上，在邊上時，請你探究、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【模型運(yùn)用】
（2）如圖2，是正方形，，當(dāng)在的延長線上，在的延長線上時，請你探究、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，已知，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，和中，，連接與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)連接，有以下兩個結(jié)論：①平分；②平分，其中正確的一個是　　　　（請寫序號），并給出證明過程．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，，，．
（1）求證：；
（2）若，試判斷與的數(shù)量及位置關(guān)系并證明；
（3）若，求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練3-5】在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC，邊CD上的兩點(diǎn)．
（1）若∠ABC＝∠ADC，∠BAE＝30°，AD＝3，求AE的長；
（2）若∠EAF＝∠BAD，求證：BE+DF＝EF．
題型四：全等三角形九大模型之“三垂直”模型
【經(jīng)典例題4】如圖，為等腰直角三角形，，．
(1)求證：；
(2)求證：
【變式訓(xùn)練4-1】如圖， 在中， 點(diǎn)在的延長線上，且 過點(diǎn) 作 與的垂線交于點(diǎn)．
(1)求證：
(2)若 求的長．
【變式訓(xùn)練4-2】中，，過點(diǎn)作，且，過點(diǎn)作分別交于點(diǎn)．若，求的長．

【變式訓(xùn)練4-3】已知：如圖，在中，，過點(diǎn)作，垂足為．在射線上截取，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．求證：．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，在中，，延長至點(diǎn)，使，過點(diǎn)作，使，連接．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【變式訓(xùn)練4-5】如圖，等腰中，，，點(diǎn)為射線上一動點(diǎn)，連接，作且．
(1)如圖1，過F點(diǎn)作交于G點(diǎn)，求證：；
(2)如圖2，連接交于點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；
(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，連接與的延長線交于點(diǎn)，若，則 ．
【變式訓(xùn)練4-6】如圖，中，，，分別過點(diǎn)，作過點(diǎn)的直線的垂線，，垂足為D，E，
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
題型五：全等三角形九大模型之“角平分線”模型
【經(jīng)典例題5】如圖，是的平分線，，點(diǎn)在上，，，，分別是垂足，求證：．
【變式訓(xùn)練5-1】如圖，在中，，，是角平分線，與相交于點(diǎn)，，，垂足分別為M，N．
(1)求的度數(shù)；
(2)求證：．
【變式訓(xùn)練5-2】如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)．是線段上的點(diǎn)（不與、重合），過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)若平分，求的長．
【變式訓(xùn)練5-3】已知，平分；
(1)如圖1中，若點(diǎn)B,D分別在上，，求證：；
(2)在圖2中，若，，求（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明，若不成立，則說明理由．
【變式訓(xùn)練5-4】如圖，是等邊三角形外的一點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在，上．
(1)求證：是的垂直平分線．
(2)若平分，寫出，，三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【變式訓(xùn)練5-5】如圖，和中，，連接與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N．
(1)求證：；
(2)試猜想與有何特殊關(guān)系，并證明；
(3)連接，有以下兩個結(jié)論：①平分；②平分，其中正確的有______（請寫序號，少選、錯選均不得分）．
題型六：全等三角形九大模型之“一線三等角”模型
【經(jīng)典例題6】已知，中，，，直線m過點(diǎn)A，且于D，于E，當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時，我們可以發(fā)現(xiàn)．
(1)當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，問：與、的關(guān)系如何？請予證明；
(2)直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，、、存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）
【變式訓(xùn)練6-1】（1）如圖1，已知中，90°，，直線經(jīng)過點(diǎn)直線，直線，垂足分別為點(diǎn)．求證：．
（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，三點(diǎn)都在直線上，并且有．請寫出三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【變式訓(xùn)練6-2】如圖，已知：在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，，．
（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：；
（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，求證：；
（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系：____________．
【變式訓(xùn)練6-3】在中，，過點(diǎn)C作直線，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作于點(diǎn)N．
（1）如圖1，當(dāng)直線在外時，證明：．
（2）如圖2，當(dāng)直線經(jīng)過內(nèi)部時，其他條件不變，則與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
【變式訓(xùn)練6-4】問題1：在數(shù)學(xué)課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分別為E、D．圖中哪條線段與AD相等？并說明理由．
問題2：試問在這種情況下線段DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出來，不需要說明理由．
問題3：當(dāng)直線CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線MN的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并說明理由．
【變式訓(xùn)練6-5】某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D，E．

(1)問題發(fā)現(xiàn)
___；___；___；___；
(2)類比探究
求證：．
(3)拓展延伸
組員小明想，如果三個角不是直角，那么（2）中的結(jié)論是否還成立呢？如圖2若將題中的條件改為：在中，，D，A，E三點(diǎn)都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．
題型七：全等三角形九大模型之“倍長中線”模型
【經(jīng)典例題7】如圖，，平分，點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：．

【變式訓(xùn)練7-1】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍，小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點(diǎn)，使，請根據(jù)小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到的理由是________．
A． B． C． D．
(2)求得的取值范圍是________．
A． B． C． D．
【感悟】
解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．
【問題解決】
(3)如圖2，在四邊形中，，的角平分線交于，連接，且平分，猜想①的度數(shù)；②、、的數(shù)量關(guān)系；說明理由．
【變式訓(xùn)練7-2】八年級數(shù)學(xué)課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖，中，若，，求邊上的中線的取值范圍小紅在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點(diǎn)，使，請根據(jù)小紅的方法思考作答：
(1)由已知和作圖能得到的理由是______；
A． B． C． D．
(2)求得的取值范圍是______；
A． B． C． D．
(3)歸納總結(jié)：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中完成上題之后，小紅善于探究，她又提出了如下的問題，請你解答．
如圖，在中，點(diǎn)在上，且，過作，且求證：平分．
【變式訓(xùn)練7-3】【閱讀理解】
課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，，，求邊上的中線的取值范圍．
經(jīng)過組內(nèi)合作交流，小明得到了如下的解決方法：延長到點(diǎn)E，使．請根據(jù)小明的方法思考：
（1）請證明
（2）請直接寫出的取值范圍________________________；
【問題解決】
請利用上述方法（倍長中線）解決問題．
（3）如圖2，已知，，，P為的中點(diǎn)，若A，C，D共線，求證：平分；
【變式訓(xùn)練7-4】如圖1，在中，，點(diǎn)D在的延長線上，連接，．
(1)求證：；
(2)如圖2，若點(diǎn)F為的中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)G，求證：；
(3)在（2）的條件下，若，求的面積．
【變式訓(xùn)練7-5】數(shù)學(xué)興趣小組在探討全等三角形相關(guān)問題的解決方法時發(fā)現(xiàn)：當(dāng)條件中出現(xiàn)“中線”或“中點(diǎn)”時，可考慮倍長中線或作一條邊的平行線來解決問題．

(1)【問題初探】如圖1：在中，，，為邊上的中線，則的取值范圍為__________．
(2)【類比分析】如圖2：在中，，，是的中線，于點(diǎn)C，且．求的長度．
(3)【拓展延伸】如圖3：在中，于點(diǎn)F，在右側(cè)作于點(diǎn)A，且，在左側(cè)作于點(diǎn)A，且，連接DE，延長交于點(diǎn)O．求證：點(diǎn)O為中點(diǎn)．
【變式訓(xùn)練7-6】倍長中線法與作平行線是構(gòu)造全等三角形常見的輔助線．
(1)如圖1，在中，，中線，求的取值范圍．方法一：延長到E使，連接；方法二：過點(diǎn)C作的平行線交的延長線于E．請你從以上兩種方法中選一種方法證明，并直接寫出的取值范圍；
(2)如圖2，在中，點(diǎn)B、D在上，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，若平分，求證：．
題型八：全等三角形九大模型之“截長補(bǔ)短”模型
【經(jīng)典例題8】如圖，交于，交于平分平分，直線經(jīng)過點(diǎn)并與分別交于點(diǎn)．

(1)如圖①，求證：；
(2)如圖②，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明：若不成立，直接寫出三條線段的數(shù)量關(guān)系．
【變式訓(xùn)練8-1】如圖所示， ，，分別是， 的平分線，點(diǎn)E在上，求證：．

【變式訓(xùn)練8-2】已知：如圖，在中，，、分別為、上的點(diǎn)，且、交于點(diǎn)．若、為的角平分線．

(1)求的度數(shù)；
(2)若，，求的長．
【變式訓(xùn)練8-3】如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．
（1）求證：AD為∠BDC的平分線；
（2）若∠DAE=∠BAC，且點(diǎn)E在BD上，直接寫出BE、DE、DC三條線段之間的等量關(guān)系_______．
【變式訓(xùn)練8-4】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD．
【變式訓(xùn)練8-5】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于點(diǎn)E．試說明AD＝AB﹣BC的理由．
【變式訓(xùn)練8-6】已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE

題型九：全等三角形九大模型之“手拉手”模型
【經(jīng)典例題9】如圖，CA=CB, CD=CE，∠ACB=∠DCE=α, AD、BE相交于點(diǎn)H
（1）求證：AD=BE.
（2）連接CH, 求證：CH平分∠AHE.
（3）求∠AHE的度數(shù)（用含α的式子表示）.
【變式訓(xùn)練9-1】已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE,且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=α，直線AE與BD交于點(diǎn)F.
（1）如圖1所示，
①求證AE= BD
②求∠AFB (用含α的代數(shù)式表示)
（2）將圖1中的△ACD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)某個角度(交點(diǎn)F至少在BD、AE中的一條線段上)，得到如圖2所示的圖形，若∠AFB= 150°，請直接寫出此時對應(yīng)的α的大小(不用證明)
【變式訓(xùn)練9-2】已知，如圖，等腰，等腰, ，，，，交、分別于點(diǎn)M、F
（1）求證：；
（2）若，，求的長.
【變式訓(xùn)練9-3】將正方形ABCD和正方形BEFG如圖（一）所示放置，已知AB＝5，BE＝6，將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°≤α≤360°）到圖（二）所示：連接AE，CG，
（1）求線段AE與CG的關(guān)系，并給出證明
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至某一個角度時，點(diǎn)C，E，G在同一條直線上，請畫出示意圖形，并求出此時AE的長
【變式訓(xùn)練9-4】如圖1，若點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)（不與，重合），分別以、為邊向線段的同一側(cè)作等邊和等邊.
（1）圖1中，連接、，相交于點(diǎn)，設(shè)，那么 ；
（2）如圖2，若點(diǎn)固定，將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于），此時的大小是否發(fā)生變化？請說明理由.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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1.3.2 全等三角形模型九大題型（一課一講）
【同步培優(yōu)】
題型一：全等三角形九大模型之“平移”模型
【經(jīng)典例題1】如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，．若，求的度數(shù)．
【答案】
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確利用全等三角形的判定定理進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．首先得出，再利用證明，即可得出答案．
【詳解】證明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，求證：．
【答案】詳見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定等知識點(diǎn)，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，再根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵點(diǎn)B是線段的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
∴．
【變式訓(xùn)練1-2】如圖，點(diǎn)，在線段上，，，．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】此題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用；
（1）首先根據(jù)可得，再根據(jù)，可得出，即可判定；
（2）首先根據(jù)（1）中兩三角形全等，可得，在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出．
【詳解】（1）證明： ，
，
即，
在和中，
，
∴．
（2），，，，
，
．
【變式訓(xùn)練1-3】如圖，點(diǎn)，，，在同一條直線上，，，．
(1)求證：；
(2)求證：．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是全等三角形判定定理的應(yīng)用．
（1）先由平行線的性質(zhì)得到，再利用即可證明；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得到，則由同位角相等，兩直線平行即可得到．
【詳解】（1）證明：，
，
在和中，
，
；
（2）證明：，
，
．
【變式訓(xùn)練1-4】如圖，在中，，將沿射線的方向平移至，連接，設(shè)與的交點(diǎn)為．
(1)若為的中點(diǎn)，求證：；
(2)若平分，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查幾何變換，平移的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握和理解這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平移性質(zhì)得到，，從而得到，再根據(jù)為的中點(diǎn)，得到，從而證明結(jié)論；
（2）根據(jù)平分，得到，從而證明．再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及，即可求解；
【詳解】（1）解：由沿射線的方向平移所得，
，，
，
為的中點(diǎn)，
，
．
在和中
，
；
（2）平分，
，
又，
．
，，
．
題型二：全等三角形九大模型之“軸對稱”模型
【經(jīng)典例題2】如圖：已知中，，中，，連接并延長交于．試說明的理由．
【答案】見詳解
【分析】本題主要考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的判定條件是解題關(guān)鍵．根據(jù)“到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”，可得點(diǎn)、在線段的垂直平分線上，易得垂直平分線段，即可證明結(jié)論．
【詳解】證明：∵，
∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上，
∵，
∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上，
∴垂直平分線段，
∵延長線交于，
∴．
【變式訓(xùn)練2-1】如圖，點(diǎn)，在上，，，．試說明．

【答案】證明見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)，得出，再結(jié)合，，即可證明，進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：∵，
∴，即．
在和中，
，
∴．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在中，，在邊上順次取點(diǎn)，，使．作，，分別與，的延長線交于點(diǎn)，．求證：．

【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)推出，根據(jù)，，得出，結(jié)合，利用證明，即可得出，熟練掌握利用證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
【詳解】證明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練2-3】如圖所示，已知．
(1)求證：；
(2)若，請求出的長度．
【答案】(1)見解析
(2)2
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
（1）先證明，然后根據(jù)即可證明；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得，然后根據(jù)等式的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）由（1）得，則．
由題有．
【變式訓(xùn)練2-4】如圖，已知點(diǎn)在一條直線上，，，．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)6
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定：
（1）先由平行線的性質(zhì)得到，再利用即可證明；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)線段的和差關(guān)系求解即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴．
【變式訓(xùn)練2-5】如圖，和相交于點(diǎn)，，，求證：．

【答案】見解析
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握其判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意運(yùn)用“邊角邊”證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】證明：在和中，
．
．
題型三：全等三角形九大模型之“旋轉(zhuǎn)”模型
【經(jīng)典例題3】如圖，已知和中，，，，，，線段分別交，于點(diǎn)，．
（1）請說明的理由；
（2）可以經(jīng)過圖形的變換得到，請你描述這個變換；
（3）求的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）通過觀察可知繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，可以得到；（3）
【分析】（1）先利用已知條件∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，利用SAS可證△ABC≌△AEF，那么就有∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，那么∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，即有∠BAE=∠CAF=25°；
（2）通過觀察可知△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)25°，可以得到△AEF；
（3）由（1）知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，而∠AMB是△ACM的外角，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求∠AMB．
【詳解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）通過觀察可知繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，可以得到；
（3）由（1）知，，
∴．
【變式訓(xùn)練3-1】【基本模型】
（1）如圖1，是正方形，，當(dāng)在邊上，在邊上時，請你探究、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【模型運(yùn)用】
（2）如圖2，是正方形，，當(dāng)在的延長線上，在的延長線上時，請你探究、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】（1），證明見解析（2），證明見解析
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)．本題蘊(yùn)含半角模型，遇到半角經(jīng)常要通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形．
（1）結(jié)論：．將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，然后求出，利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，從而得解；
（2）結(jié)論：，證明方法同法（1）．
【詳解】解：（1）結(jié)論：．
理由：如圖1，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，

則：，，，
∴，即：三點(diǎn)共線，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）結(jié)論：．
理由：如圖2，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，

則：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，已知，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)知識．
（1）根據(jù)“”證明，再利用全等三角形的性質(zhì)求解；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可．
【詳解】（1）證明：，
，
即．
在和中
，
，
；
（2）解：，
．
，
，
，
．
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，和中，，連接與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)連接，有以下兩個結(jié)論：①平分；②平分，其中正確的一個是　　　　（請寫序號），并給出證明過程．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
(3)②
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線解決問題．
（1）欲證明，只要證明；
（2）由，推出，由可得；
（3）結(jié)論：②；作于于J．利用角平分線的判定定理證明即可．
【詳解】（1）證明：∵
∴
即
在和中，
∴
∴．
（2）證明：∵
∴
∵
又，
，
∴，
∴
（3）解：結(jié)論：②
理由：作于于J．
∵
∴
∴ ，
∴，
∵作于K，于J，
∴
不妨設(shè)①成立，則，則顯然不可能，故①錯誤．
故答案為：②．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，，，．
（1）求證：；
（2）若，試判斷與的數(shù)量及位置關(guān)系并證明；
（3）若，求的度數(shù)．
【答案】（1）見詳解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）
【分析】（1）根據(jù)三角形全等的證明方法SAS證明兩三角形全等即可；
（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代換證明即可；
（3）過A分別做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，進(jìn)而可知∠CFA
【詳解】（1）∵∠CAB=∠EAD
∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴ ∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AE=AD
在△AEC和△ADB中
∴ △AEC≌△ADB（SAS）
（2）CE=BD且CE⊥BD，證明如下：
將直線CE與AB的交點(diǎn)記為點(diǎn)O，
由（1）可知△AEC≌△ADB，
∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD，
∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，
∴ ∠BFO=∠CAB=∠=90°，
∴ CE⊥BD．
（3）過A分別做AM⊥CE，AN⊥BD
由（1）知△AEC≌△ADB，
∴兩個三角形面積相等
故AM·CE=AN·BD
∴AM=AN
∴AF平分∠DFC
由（2）可知∠BFC=∠BAC=
∴∠DFC=180°-
∴∠CFA=∠DFC=
【變式訓(xùn)練3-5】在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC，邊CD上的兩點(diǎn)．
（1）若∠ABC＝∠ADC，∠BAE＝30°，AD＝3，求AE的長；
（2）若∠EAF＝∠BAD，求證：BE+DF＝EF．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)已知條件得到∠ABC=∠ADC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）延長CB到G，使BG=DF，證明△ABG≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=AF，∠GAB=∠FAD，證明△AEG≌△AEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明．
【詳解】（1）解：∵AB＝AD，AD＝3，
∴AB＝3，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵∠BAE＝30°，
∴AE=AB＝；
（2）證明：延長CB到G，使BG＝DF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，
∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中，，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAD+∠BAE＝∠GAB+∠BAE＝∠BAD，
∴∠GAE＝∠FAE，
在△AEG和△AEF中，，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EF＝GE，
∴EF＝BE+BG＝BE+DF．
題型四：全等三角形九大模型之“三垂直”模型
【經(jīng)典例題4】如圖，為等腰直角三角形，，．
(1)求證：；
(2)求證：
【答案】(1)見解析；
(2)見解析．
【分析】（1）利用邊角邊證明三角形全等即可．
（2）利用（1）中的全等及互余關(guān)系證明直角即可．
【詳解】（1）證明：是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在與中，
，
∴
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖， 在中， 點(diǎn)在的延長線上，且 過點(diǎn) 作 與的垂線交于點(diǎn)．
(1)求證：
(2)若 求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，
（1）根據(jù)等角的余角相等，證明，再根據(jù)即可證明；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出，即可求解．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
理由：由（）證得，，
，，
，
．
，
．
【變式訓(xùn)練4-2】中，，過點(diǎn)作，且，過點(diǎn)作分別交于點(diǎn)．若，求的長．

【答案】
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，先證明，，進(jìn)而證明，得到，則．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練4-3】已知：如圖，在中，，過點(diǎn)作，垂足為．在射線上截取，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．求證：．
【答案】見詳解
【分析】本題考查全等三角形的判定．根據(jù)題意，先得出，再用兩角夾邊判定即可．
【詳解】證明：
在和中
．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，在中，，延長至點(diǎn)，使，過點(diǎn)作，使，連接．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)10
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，
（1）首先根據(jù)題意得到，然后利用證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【變式訓(xùn)練4-5】如圖，等腰中，，，點(diǎn)為射線上一動點(diǎn)，連接，作且．
(1)如圖1，過F點(diǎn)作交于G點(diǎn)，求證：；
(2)如圖2，連接交于點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；
(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，連接與的延長線交于點(diǎn)，若，則 ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查了全等三角形的判定以及性質(zhì).
（1）易證，即可證明，即可解題；
（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，即可證明，可得，根據(jù)可證，根據(jù)，，即可解題；
（3）過作的延長線交于點(diǎn)，易證，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解題．
【詳解】（1）證明：，，
，
在和中，
，
；
（2）證明：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
點(diǎn)為中點(diǎn)；
（3）解：過作的延長線交于點(diǎn)，如圖，
，，，
，
由（1）（2）知：，，
，，
，
，
，
．
故答案為．
【變式訓(xùn)練4-6】如圖，中，，，分別過點(diǎn)，作過點(diǎn)的直線的垂線，，垂足為D，E，
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)5
【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理．
（1）首先證明，然后再根據(jù)定理證明；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而得到答案．
【詳解】（1）證明 ，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
（2）解：，
，，
．
題型五：全等三角形九大模型之“角平分線”模型
【經(jīng)典例題5】如圖，是的平分線，，點(diǎn)在上，，，，分別是垂足，求證：．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，先由角平分線的定義得到，再證明，得到．進(jìn)而得到．進(jìn)一步證明，即可證明．
【詳解】解：是的平分線，
，
在利中，
，
．
．
．
，，
∴，
又∵，
∴，
．
【變式訓(xùn)練5-1】如圖，在中，，，是角平分線，與相交于點(diǎn)，，，垂足分別為M，N．
(1)求的度數(shù)；
(2)求證：．
【答案】(1)的度數(shù)為；
(2)見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理．
（1）根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理即可解決問題；
（2）連接，證明，即可解決問題．
【詳解】（1）解：在中，，，
，
、分別是、的平分線，
，，
，
，
∴的度數(shù)為；
（2）證明：如圖，連接，
是角平分線交點(diǎn)，
也是角平分線，
，，
在中，，，
，
，
，
，，
，
，
．
【變式訓(xùn)練5-2】如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)．是線段上的點(diǎn)（不與、重合），過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)若平分，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判斷和性質(zhì)和角平分線定理，
（1）證明，即可得到；
（2）過點(diǎn)E作，垂足為P，根據(jù)角平分線定理得到，即可求得，在根據(jù)是等腰直角三角形即可求出的長．
【詳解】（1）解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：過點(diǎn)E作，垂足為P，如下圖所示，

∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練5-3】已知，平分；
(1)如圖1中，若點(diǎn)B,D分別在上，，求證：；
(2)在圖2中，若，，求（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明，若不成立，則說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)成立，證明見解析
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．對應(yīng)邊的對角是對應(yīng)角，對應(yīng)角的對邊是對應(yīng)邊．
（1）由角平分線的性質(zhì)可得，即可證明，可得，再根據(jù)，即可解題；
（2）過C作于E，于F，根據(jù)平分，可得，證明，即可證明，可得，再根據(jù)（1）中證明，即可解題．
【詳解】（1）證明： ∵，
∴，
又∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：成立，過C作于E，于F，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
【變式訓(xùn)練5-4】如圖，是等邊三角形外的一點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在，上．
(1)求證：是的垂直平分線．
(2)若平分，寫出，，三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)見解析
(2)，見解析
【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）先由等邊三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合，即可得出是的垂直平分線進(jìn)行作答．
（2）先由等邊三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合角平分線的性質(zhì)，得出，證明，再證明，結(jié)合邊的等量代換以及邊的運(yùn)算，即可作答．
【詳解】（1）證明：是等邊三角形，
，
在的垂直平分線上，
，
∴在的垂直平分線上，
∴是的垂直平分線．
（2）證明：
過作，如圖：
是等邊三角形，
，，
．
．
，．
，平分，
，
，
．
，，
．
．
又，
，
【變式訓(xùn)練5-5】如圖，和中，，連接與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N．
(1)求證：；
(2)試猜想與有何特殊關(guān)系，并證明；
(3)連接，有以下兩個結(jié)論：①平分；②平分，其中正確的有______（請寫序號，少選、錯選均不得分）．
【答案】(1)見解析
(2)且，理由見解析
(3)②
【分析】本題考查了常見的全等三角形模型――“手拉手模型”，熟記模型的構(gòu)成條件、推理過程及結(jié)論是解題關(guān)鍵．
（1）推出，即可求證；
（2）由可得，結(jié)合可得，即可得；
（3）作，由可得，，即可推出，從而結(jié)論②正確；假設(shè)結(jié)論①正確，可得出，，與條件不符．
【詳解】（1）證明：∵，，
，
∴
∵
∴
（2）解：且，理由如下：
∵，
∴，
，
，
，
，
∴
（3）解：作，如圖所示：
∵，
∴，
∵
∴
∵
∴平分
假設(shè)①正確，即平分，
則有：
∴
即：
∵平分，
，
，
，
，
故只有當(dāng)時，①才成立；
故答案為：②
題型六：全等三角形九大模型之“一線三等角”模型
【經(jīng)典例題6】已知，中，，，直線m過點(diǎn)A，且于D，于E，當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時，我們可以發(fā)現(xiàn)．
(1)當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，問：與、的關(guān)系如何？請予證明；
(2)直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，、、存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）
【答案】(1)，證明見解析；
(2)，，．
【分析】（1）利用條件證明， 再結(jié)合線段的和差可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)圖，可得、、存在3種不同的數(shù)量關(guān)系；
【詳解】（1）證明：如圖2，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴．
（2）直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，、、存在3種不同的數(shù)量關(guān)系：，，．
如圖1時，，
如圖2時，，
如圖3時，，（證明同理）
【變式訓(xùn)練6-1】（1）如圖1，已知中，90°，，直線經(jīng)過點(diǎn)直線，直線，垂足分別為點(diǎn)．求證：．
（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，三點(diǎn)都在直線上，并且有．請寫出三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析
【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，進(jìn)而利用AAS得出則△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）根據(jù)∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根據(jù)AAS證出△ADB≌△CEA，從而得出AE=BD，AD=CE，即可證出DE=BD+CE；
【詳解】（1）DE=BD+CE．理由如下：
∵BD⊥，CE⊥，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2），理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【變式訓(xùn)練6-2】如圖，已知：在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，，．
（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：；
（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，求證：；
（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系：____________．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DE=BE-AD
【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因?yàn)椤螦CD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到答案；
（2）結(jié)論：DE=AD-BE．與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．
（3）結(jié)論：DE=BE-AD．證明方法類似．
【詳解】解：（1）證明：如圖1，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）如圖2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
（3）DE=BE-AD；
如圖3，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．
【變式訓(xùn)練6-3】在中，，過點(diǎn)C作直線，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作于點(diǎn)N．
（1）如圖1，當(dāng)直線在外時，證明：．
（2）如圖2，當(dāng)直線經(jīng)過內(nèi)部時，其他條件不變，則與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2），理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題目條件可以證明，然后根據(jù)全等的性質(zhì)就可以證得結(jié)論；
（2）依然是證明，再根據(jù)全等對應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論；
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
【變式訓(xùn)練6-4】問題1：在數(shù)學(xué)課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分別為E、D．圖中哪條線段與AD相等？并說明理由．
問題2：試問在這種情況下線段DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出來，不需要說明理由．
問題3：當(dāng)直線CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線MN的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并說明理由．
【答案】問題1，AD＝EC，證明見解析；問題2：DE+BE＝AD；問題3：DE＝AD+BE，證明見解析．
【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因?yàn)椤螦CD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC；
（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（3）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之間的等量關(guān)系．
【詳解】解：（1）AD＝EC；
證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝EC；
（2）DE+BE＝AD；
由（1）已證△ADC≌△CEB，
∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD
∴CE=CD+DE=BE+DE=AD
即DE+BE＝AD；
（3）DE＝AD+BE．
證明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵CD+CE＝DC，
∴DE＝AD+BE．
【變式訓(xùn)練6-5】某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D，E．

(1)問題發(fā)現(xiàn)
___；___；___；___；
(2)類比探究
求證：．
(3)拓展延伸
組員小明想，如果三個角不是直角，那么（2）中的結(jié)論是否還成立呢？如圖2若將題中的條件改為：在中，，D，A，E三點(diǎn)都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．
【答案】(1)；；；
(2)證明見解析
(3)成立，證明見解析
【分析】（1）證明，則，，，，即可得到答案；
（2）同（1）的方法，證明，則，，即可得到，結(jié)論得證；
（3）由得到，，則，即可證明，則，，即可得到．
【詳解】（1）證明：如圖1，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，，
故答案為：；；；
（2）證明：如圖，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：成立．
證明：如圖，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
題型七：全等三角形九大模型之“倍長中線”模型
【經(jīng)典例題7】如圖，，平分，點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：．

【答案】見解析
【分析】延長，交于點(diǎn)，根據(jù)證明與全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．
【詳解】證明：延長，交于點(diǎn)，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
在與中，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
【變式訓(xùn)練7-1】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍，小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點(diǎn)，使，請根據(jù)小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到的理由是________．
A． B． C． D．
(2)求得的取值范圍是________．
A． B． C． D．
【感悟】
解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．
【問題解決】
(3)如圖2，在四邊形中，，的角平分線交于，連接，且平分，猜想①的度數(shù)；②、、的數(shù)量關(guān)系；說明理由．
【答案】(1)B
(2)C
(3)①，理由見解析；②，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)，，，得出和全等即可；
（2）根據(jù)（1）得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出，求出即可；
（3）①根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)角平分線的定義，得出，，進(jìn)而得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，計算即可得出的度數(shù)；②延長交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)①得出，進(jìn)而得出，再根據(jù)角平分線的定義，得出，再根據(jù)“角邊角”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)“角邊角”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)線段之間數(shù)量關(guān)系，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵在和中
，
∴，
故選：B；
（2）解：∵由（1）知：，
∴，，
∵在中，，由三角形三邊關(guān)系定理得：，
∴，
故選：C．
（3）解：①，理由如下：
∵，
∴，
∵、分別是與的角平分線，
∴，，
∴，
∴；
②，理由如下：
如圖，延長交的延長線于點(diǎn)，
∵由①可知：，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練7-2】八年級數(shù)學(xué)課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖，中，若，，求邊上的中線的取值范圍小紅在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點(diǎn)，使，請根據(jù)小紅的方法思考作答：
(1)由已知和作圖能得到的理由是______；
A． B． C． D．
(2)求得的取值范圍是______；
A． B． C． D．
(3)歸納總結(jié)：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中完成上題之后，小紅善于探究，她又提出了如下的問題，請你解答．
如圖，在中，點(diǎn)在上，且，過作，且求證：平分．
【答案】(1)B
(2)C
(3)證明見解析
【分析】本題是三角形綜合題，考查了倍長中線法解題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握倍長中線法，靈活進(jìn)行三角形全等的證明，是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)三角形全等的判定定理去選擇即可；
（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系定理計算即可；
（3）由“”可證，可得，，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可證，可得平分．
【詳解】（1）解：延長到點(diǎn)，使，
，
在和中，
，
，
故選：B．
（2）解：，
，
，，，
，
，
故選：C；
（3）證明：如圖，延長至，使，連接，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
【變式訓(xùn)練7-3】【閱讀理解】
課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，，，求邊上的中線的取值范圍．
經(jīng)過組內(nèi)合作交流，小明得到了如下的解決方法：延長到點(diǎn)E，使．請根據(jù)小明的方法思考：
（1）請證明
（2）請直接寫出的取值范圍________________________；
【問題解決】
請利用上述方法（倍長中線）解決問題．
（3）如圖2，已知，，，P為的中點(diǎn)，若A，C，D共線，求證：平分；
【答案】（1）見解析；（2）1，7；（3）見解析．
【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定和性質(zhì)，畫出輔助線推理論證是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)證明即可；
（2）根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可進(jìn)行解答；
（3）延長交延長線于點(diǎn)，首先證明出，得到，，然后證明出，得到，即可證明．
【詳解】（1）為邊上的中線，
，
在和中
；
（2）∵
，
，
，
即，
，
，
；
（3）如下圖，延長交延長線于點(diǎn)
，
，
，，
為的中點(diǎn)
，
，
，，
又，
，即，
在和中
，
∴平分．
【變式訓(xùn)練7-4】如圖1，在中，，點(diǎn)D在的延長線上，連接，．
(1)求證：；
(2)如圖2，若點(diǎn)F為的中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)G，求證：；
(3)在（2）的條件下，若，求的面積．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
(3)80
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，利用了三角形全等的判定和性質(zhì)解題．正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)，可得，然后根據(jù)，可證明，繼而可得出；
（2）延長至，使，連接，證，可得出，證，從而證得，通過，得到；
（3）求出，由（2）可求出，則的面積可求出．
【詳解】（1）證明：∵，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）證明：延長至，使，連接，
在與中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
，
即；
（3）解：如圖，∵，
，
，
，
，
，
．
【變式訓(xùn)練7-5】數(shù)學(xué)興趣小組在探討全等三角形相關(guān)問題的解決方法時發(fā)現(xiàn)：當(dāng)條件中出現(xiàn)“中線”或“中點(diǎn)”時，可考慮倍長中線或作一條邊的平行線來解決問題．

(1)【問題初探】如圖1：在中，，，為邊上的中線，則的取值范圍為__________．
(2)【類比分析】如圖2：在中，，，是的中線，于點(diǎn)C，且．求的長度．
(3)【拓展延伸】如圖3：在中，于點(diǎn)F，在右側(cè)作于點(diǎn)A，且，在左側(cè)作于點(diǎn)A，且，連接DE，延長交于點(diǎn)O．求證：點(diǎn)O為中點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)18
(3)證明見解析
【分析】本題考查三角形三邊的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)：
（1）延長到點(diǎn)，使，連接，證明，得到，再根據(jù)在中，，即，求解即可；
（2）延長到點(diǎn)F，使，連接，先證明，得到，，再證明E、C、F三點(diǎn)共線，得到，然后證明，得到解決問題；
（3）過點(diǎn)E作交延長線于M，先證明，得到，再證明，得到，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖，延長到點(diǎn)，使，連接，
∵為邊上的中線，
，
，
，
，
中，
∴，
，
；
（2）解：延長到點(diǎn)F，使，連接，如圖4，
∵為邊上的中線，
，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴E、C、F三點(diǎn)共線，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）證明：過點(diǎn)E作交延長線于M，如圖4，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∴O為中點(diǎn)．
【變式訓(xùn)練7-6】倍長中線法與作平行線是構(gòu)造全等三角形常見的輔助線．
(1)如圖1，在中，，中線，求的取值范圍．方法一：延長到E使，連接；方法二：過點(diǎn)C作的平行線交的延長線于E．請你從以上兩種方法中選一種方法證明，并直接寫出的取值范圍；
(2)如圖2，在中，點(diǎn)B、D在上，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，若平分，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法以及能正確作出輔助線；
（1）方法一中利用證明，則，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系來確定取值范圍即可；
（2）先用證明，得出，再用證明，即可解答．
【詳解】（1）解：選方法一來證明，
是的中線，
在和中
，
，
在中，
，
，
即：，
，
（2）解：延長到F使，連接，如圖所示；
點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
．
題型八：全等三角形九大模型之“截長補(bǔ)短”模型
【經(jīng)典例題8】如圖，交于，交于平分平分，直線經(jīng)過點(diǎn)并與分別交于點(diǎn)．

(1)如圖①，求證：；
(2)如圖②，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明：若不成立，直接寫出三條線段的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)見解析；
(2)（1）中結(jié)論不成立，；
【分析】（1）在上截取，連，根據(jù)題意證明，得到，，再由證明，由平角定義得到，則有，再證明，得到，則；
（2）延長交于點(diǎn)H，根據(jù)題意證明，得到，，再由平分，證明，得到，則．
【詳解】（1）證明：如圖，在上截取，連，

∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
（2）（1）中的結(jié)論不成立，；
理由：延長交于點(diǎn)H，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練8-1】如圖所示， ，，分別是， 的平分線，點(diǎn)E在上，求證：．

【答案】見解析
【分析】運(yùn)用截長補(bǔ)短的方法，在上取點(diǎn)F，使，由角平分線定義得，，可證，得，結(jié)合平行線的性質(zhì)可證，進(jìn)一步證得，所以，得證結(jié)論．
【詳解】在上取點(diǎn)F，使

∵，分別是，的平分線
∴，
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴．
【變式訓(xùn)練8-2】已知：如圖，在中，，、分別為、上的點(diǎn)，且、交于點(diǎn)．若、為的角平分線．

(1)求的度數(shù)；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）由題意，根據(jù)，即可解決問題；
（2）在上截取，連接．只要證明，推出，，再證明，推出，由此即可解決問題．
【詳解】（1）解：、分別為的角平分線，
，，
，
；
（2）解：在上截取，連接．

、分別為的角平分線
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【變式訓(xùn)練8-3】如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．
（1）求證：AD為∠BDC的平分線；
（2）若∠DAE=∠BAC，且點(diǎn)E在BD上，直接寫出BE、DE、DC三條線段之間的等量關(guān)系_______．
【答案】（1）見解析；（2）DE= B E+DC.
【分析】（1）過A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，先證明∠BAG=∠CAF，然后證明△BAG≌△CAF得到AG=AF，最后由角平分線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）過A作∠CAH=∠BAE，證明△EAD≌△HAD，得到AE=AH，再證明△EAB≌△HAC中，即可得出BE、DE、DC三條線段之間的等量關(guān)系.
【詳解】證明:（1）如圖1，過A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，
∵AG⊥BD，AF⊥DC，
∴∠AGD=∠F=90°，
∴∠GAF+∠BDC=180°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠GAF=∠BAC，
∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC，
∴∠BAG=∠CAF，
在△BAG和△CAF中
∴△BAG≌△CAF（AAS），
∴AG=AF，
∴∠BDA=∠CDA，
（2）BE、DE、DC三條線段之間的等量關(guān)系是DE= B E+DC，理由如下：
如圖2，過A作∠CAH=∠BAE交DC的延長線于H，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，
∵∠CAH=∠BAE，
∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH，
在△EAD和△HAD中
，
∴△EAD≌△HAD（ASA），
∴DE=DH，AE=AH，
在△EAB和△HAC中
，
∴△EAB≌△HAC（SAS），
∴BE=CH，
∴DE=DH=DC+CH=DC+BE，
∴DE=DC+BE.
故答案是：DE=DC+BE.
【變式訓(xùn)練8-4】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD．
【答案】證明見解析．
【分析】延長EB到G，使BG=DF，連接AG．先說明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性質(zhì)和已知條件證得△AEG≌△AEF，最后再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和線段的和差即可解答．
【詳解】延長EB到G，使BG=DF，連接AG．
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD
【變式訓(xùn)練8-5】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于點(diǎn)E．試說明AD＝AB﹣BC的理由．
【答案】見解析
【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易證△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根據(jù)平行線性質(zhì)可證∠C＝∠BFE，即可證明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解題．
【詳解】證明：在AB上找到F使得AF＝AD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠EAF，
∵在△AEF和△AED中，
，
∴△AEF≌△AED，（SAS）
∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠D＋∠C＝180°，
∵∠AFE＋∠BFE＝180°
∴∠C＝∠BFE，
∵BE平分∠BAD，
∴∠FBE＝∠C，
∵在△BEC和△BEF中，
，
∴△BEC≌△BEF，（AAS）
∴BF＝BC，
∵AB＝AF＋BF，
∴AB＝AD＋BC，
即AD＝AB﹣BC．
【變式訓(xùn)練8-6】已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE

【答案】詳見解析
【分析】過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長線于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CE＝CF，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等求出∠CDF＝∠B，然后利用“角角邊”證明△CDF和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF＝BE，再利用“HL”證明Rt△ACF和Rt△ACE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE＝AF，然后根據(jù)AF＝AD＋DF等量代換即可得證．
【詳解】證明：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長線于F，

∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∴CE＝CF，
∵∠B＋∠ADC＝180°．
∠ADC＋∠CDF＝180°（平角定義），
∴∠CDF＝∠B，
在△CDF和△CBE中，
，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴DF＝BE，
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AE＝AF，
∵AF＝AD＋DF，
∴AE＝AD＋BE．
題型九：全等三角形九大模型之“手拉手”模型
【經(jīng)典例題9】如圖，CA=CB, CD=CE，∠ACB=∠DCE=α, AD、BE相交于點(diǎn)H
（1）求證：AD=BE.
（2）連接CH, 求證：CH平分∠AHE.
（3）求∠AHE的度數(shù)（用含α的式子表示）.
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠AHE=180°－α.
【分析】（1）由，，，利用，即可判定：；
（2）首先作于，于，由，可證，再證，（或證，可得，即可證得平分；
（3）由，可得，繼而求得，則可求得的度數(shù)．
【詳解】（1）證明：，
，
在和中，
，
；
（2）證明：過點(diǎn)作于，于，
，
，
在和中，
，
，
，
平分；
（3），
，
，
，
，
．
【變式訓(xùn)練9-1】已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE,且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=α，直線AE與BD交于點(diǎn)F.
（1）如圖1所示，
①求證AE= BD
②求∠AFB (用含α的代數(shù)式表示)
（2）將圖1中的△ACD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)某個角度(交點(diǎn)F至少在BD、AE中的一條線段上)，得到如圖2所示的圖形，若∠AFB= 150°，請直接寫出此時對應(yīng)的α的大小(不用證明)
【答案】（1）①見解析，②180° -α（2）30°
【分析】（1）①由∠ACD=∠BCE=α，得到∠ACE=∠DCB=180°，然后得到△ACE≌DCB，即可得到AE=BD；
②由①知△ACE≌DCB，則∠CAF=∠CDF，利用三角形內(nèi)角和定理，由∠CAF+∠AFB+∠B=180°，∠CDF+∠DCB+∠B=180°，則∠AFB=∠DCB=；
（2）由∠AFB= 150°，則∠EFB=，由∠ACD=∠BCE，得∠ACE=∠DCB，然后得到△ACE≌△DCB，得到∠AEC=∠DBC，則∠BCE=∠EFB=30°.
【詳解】解：（1）如圖1：
①證明：∵∠ACD=∠BCE=α，
∴180°∠ACD=180°∠BCE，
即∠ACE=∠DCB=180°，
∵CA=CD，CB=CE，
∴△ACE≌DCB，
∴AE=DB；
②∵△ACE≌DCB，
∴∠CAF=∠CDF，
由三角形內(nèi)角和定理，得
∠CAF+∠AFB+∠B=180°，∠CDF+∠DCB+∠B=180°，
∴∠AFB=∠DCB=；
（2）如圖2：
∵∠AFB= 150°，
∴∠EFB=，
∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCO=∠BCE+∠DCO，
∴∠ACE=∠DCB，
∵AC=DC，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠DBC，
∵∠FOE=∠COB，
∴∠BCE=∠EFB=30°，
∴.
【變式訓(xùn)練9-2】已知，如圖，等腰，等腰, ，，，，交、分別于點(diǎn)M、F
（1）求證：；
（2）若，，求的長.
【答案】（1）答案見詳解；（2）8.
【分析】（1）由，，可得∠BAE=∠DAC，結(jié)合條件，即可證明；
（2）由，可得∠ADC=∠AEB，進(jìn)而可知∠EFM=∠DAM=90°，可得∠DEF=60°，∠FDE=30°，根據(jù)“直角三角形中，30°所對得直角邊等于斜邊的一半”，即可求解.
【詳解】（1）∵，，
∴∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,
∴∠BAE=∠DAC，
在與中，
∵
∴（SAS）；
（2）∵，
∴∠ADC=∠AEB，
∵∠AMD=∠EMF，
∴∠EFM=∠DAM=90°，
∵∠AED=45°，∠AEF=15°，
∴∠DEF=60°，∠FDE=30°，
∴DE=2EF=2×4=8.
【變式訓(xùn)練9-3】將正方形ABCD和正方形BEFG如圖（一）所示放置，已知AB＝5，BE＝6，將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°≤α≤360°）到圖（二）所示：連接AE，CG，
（1）求線段AE與CG的關(guān)系，并給出證明
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至某一個角度時，點(diǎn)C，E，G在同一條直線上，請畫出示意圖形，并求出此時AE的長
【答案】（1）AE＝CG，證明詳見解析；（2）AE＝或
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)中對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，可證△ABE≌△CBG，可得AE＝CG
（2）畫圖可知，點(diǎn)C、E、G在同一條直線上存在兩種情況，根據(jù)（1）的全等證明，可知AE＝CG，利用CG所在三角形利用勾股定理求出CH，加上HG可得CG長度即AE的長．
【詳解】解：（1）AE＝AG
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBG，BE＝BG
∴△ABE≌△CBG（SAS）
∴AE＝CG
（2）當(dāng)E在CG線段上時，如圖所示
由（1）可知△ABE≌△CBG
∴AE＝CG
在Rt△CBH中
BC＝，BH＝EH＝
∴CH＝
∴CE＝
∴CG＝
∴AE＝
當(dāng)點(diǎn)E在CG的延長線上時，如圖所示
由（1）可知△ABE≌△CBG
∴AE＝CG
在Rt△BHC中
BH＝HG＝，BC＝
∴CH＝
∴CG＝
∴AE＝
∴AE＝或
【變式訓(xùn)練9-4】如圖1，若點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)（不與，重合），分別以、為邊向線段的同一側(cè)作等邊和等邊.
（1）圖1中，連接、，相交于點(diǎn)，設(shè)，那么 ；
（2）如圖2，若點(diǎn)固定，將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于），此時的大小是否發(fā)生變化？請說明理由.
【答案】（1）；（2）此時的大小不會發(fā)生改變，始終等于，理由見解析
【分析】（1）首先證得△APD≌△CPB，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；
（2）旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中得兩個三角形的全等關(guān)系不變，因而角度不會變化．
【詳解】（1），理由：
∵△APC是等邊三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等邊三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°；
（2）此時的大小不會發(fā)生改變，始終等于.
理由：∵是等邊三角形，
∴，
∵是等邊三角形
∴，
∴
∴
∴≌
∴
∵
∴
∴
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