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專題13 子集、全集、補集
1、理解集合間的包含與被包含關系，子集的概念； 2、能夠求出給定集合的子集； 3、理解全集、補集的概念； 4、能夠求出給定集合的補集。
一、子集基本概念：
子集：如果集合的任意一個元素都是集合的元素(若,則),那么集合稱為集合的子集(subset),記為或,讀作“集合A包含于集合B"或“集合B包含集合A".
特別的，任何一個集合是它本身的子集.
對于空集，我們規定，即空集是任何集合的子集.
真子集：如果,并且,那么集合稱為集合的真子集(proper subset),記為或,讀作"A真包含于B"或"B真包含A",如.
二、補集基本概念
全集：如果一個集合包含我們所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集(universal set),全集通常記作.
例如,在實數范圍內討論集合時,便可看作一個全集.
補集：設,由中不屬于的所有元素組成的集合稱為的子集的補集(complementary set),記為(讀作"A在S中的補集"),即．
三、Venn圖
我們常用平面上的封閉曲線的內部表示集合，稱為Venn圖.
四、利用Venn圖表示集合關系
子集 補集
例題1．下列表述正確的是（ ）
A． B． C． D．
例題2.已知集合，非空集合滿足：（1）；（2）若，則，則集合的個數是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
例題3.已知集合，.若，則的值為（ ）
A．2 B．1
C．-1 D．-2
例題4.已知，，若，則______．
1．設，，若，則 （ ）
A．0 B．0或2 C．0或 D．0或
2．已知集合，，若，則（ ）
A．或 B． C． D．或或
3．已知集合，，則滿足條件的集合C的個數為（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
4．已如集合，則滿足的集合的個數是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
5．若集合，，且，則滿足條件的實數的取值集合為______.
1．已知集合滿足，則集合A可以是（ ）
A． B． C． D．
2．集合，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．設，則集合，若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（多選）下列正確的有（ ）
A． B． C． D．
5．（多選）已知集合，且，則實數的取值可以為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
一、單選題
1．若集合，則的子集個數為（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．下列與集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
3．集合的子集個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．集合或，，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．集合或，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
6．已知集合，若A的子集個數為2個，則實數______．
7．若集合，則時，___________．
8．已知集合，，若，則實數的取值范圍是____________．
9．若對任意的，則，就稱A是“具有伙伴關系”的集合.集合的所有非空子集中，具有伙伴關系的集合的個數為___________.
10．集合，，若且，則的取值為________．
三、解答題
11．已知集合或，，且，求m的取值范圍．
12．已知集合A={x|x2-9x+14=0}，集合B={x|ax+2=0}，若B是A的真子集，求實數a的取值集合．
13．已知非空集合，，若，求實數的取值范圍.
14．已知非空集合S的元素都是整數，且滿足：對于任意給定的x，y∈S (x、y可以相同)，有x+y∈S且x-y∈S.
（1）集合S能否為有限集，若能，求出所有有限集，若不能，請說明理由；
（2）證明：若3∈S且5∈S，則S=Z.
專題13 子集、全集、補集
1、理解集合間的包含與被包含關系，子集的概念； 2、能夠求出給定集合的子集； 3、理解全集、補集的概念； 4、能夠求出給定集合的補集。
一、子集基本概念：
子集：如果集合的任意一個元素都是集合的元素(若,則),那么集合稱為集合的子集(subset),記為或,讀作“集合A包含于集合B"或“集合B包含集合A".
特別的，任何一個集合是它本身的子集.
對于空集，我們規定，即空集是任何集合的子集.
真子集：如果,并且,那么集合稱為集合的真子集(proper subset),記為或,讀作"A真包含于B"或"B真包含A",如.
二、補集基本概念
全集：如果一個集合包含我們所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集(universal set),全集通常記作.
例如,在實數范圍內討論集合時,便可看作一個全集.
補集：設,由中不屬于的所有元素組成的集合稱為的子集的補集(complementary set),記為(讀作"A在S中的補集"),即．
三、Venn圖
我們常用平面上的封閉曲線的內部表示集合，稱為Venn圖.
四、利用Venn圖表示集合關系
子集 補集
例題1．下列表述正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據元素與集合，集合與集合的關系判斷即可；
【詳解】
解：對于A：，故A錯誤；對于B：，故B錯誤；對于C：，故滿足，故C正確；
對于D：，故D錯誤；
故選：C
例題2.已知集合，非空集合滿足：（1）；（2）若，則，則集合的個數是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】C
【分析】
根據題意把中元素按相反數分成4組，這4組元素中一定是一組元素全屬于或全不屬于，由此結合集合的子集的性質可得的個數．
【詳解】
滿足條件的集合應同時含有或或或0，又因為集合非空，所以集合
的個數為個，
故選：.
例題3.已知集合，.若，則的值為（ ）
A．2 B．1
C．-1 D．-2
【答案】A
【分析】
由題意可知集合，解出集合即可求出的值.
【詳解】
因為，所以集合為雙元素集，
即
所以.
故選：A.
例題4.已知，，若，則______．
【答案】1
【分析】
根據集合相等先確定出，結合集合中元素的互異性求解出的值，由此可計算出的值.
【詳解】
因為且，所以，所以，
所以，所以且，
所以，所以，
故答案為：.
1．設，，若，則 （ ）
A．0 B．0或2 C．0或 D．0或
【答案】C
【分析】
根據題意分和兩種情況，進而對方程的根依次檢驗即可得答案.
【詳解】
當時，得，
若，則不滿足集合中的元素的互異性，所以；
若，則，，滿足題意，
當時，或（舍去），滿足題意，
∴或，
故選：C．
2．已知集合，，若，則（ ）
A．或 B． C． D．或或
【答案】D
【分析】
利用子集的定義討論即可.
【詳解】
因為，集合，，
若，則，符合；
若，則或，經檢驗均符合.
故選：D.
3．已知集合，，則滿足條件的集合C的個數為（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】A
【分析】
先求出集A，B，再由件，確定集合C即可
【詳解】
解：由題意得,
因為
所以，
所以集合C的個數為集合的非空子集的個數為，
故選：A.
4．已如集合，則滿足的集合的個數是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】
先求出，再根據和子集個數的計算公式可得正確的選項．
【詳解】
，
因為，故有元素，且可能有元素，
故滿足的集合的個數為，
故選：D．
5．若集合，，且，則滿足條件的實數的取值集合為______.
【答案】
【分析】
求出集合，由可分、、三種情況討論，可求得實數的值.
【詳解】
依題意得，.
∵,所以集合、、．
當時，即方程無實根，所以，符合題意；
當時，則1是方程的根，所以，符合題意；
當時，則是方程的根，所以，符合題意；
故答案為：．
【點睛】
本題考查利用集合的包含關系求參數值，解題時不要忽略對空集的討論.
1．已知集合滿足，則集合A可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由題可得集合A可以是，.
【詳解】
，
集合A可以是，.
故選：D.
2．集合，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
將兩個集合化簡后比較分子的關系可得兩個集合的關系.
【詳解】
，
表示整數，表示奇數，故，
故A錯誤，B錯誤，C正確，而中的元素有分數，故D錯誤.
故選：C．
3．設，則集合，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由集合的描述寫出集合，根據求，進而可求.
【詳解】
由題意，得，
∵，
∴僅當時符合題意，故.
故選：C.
4．（多選）下列正確的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】
先求出方程的解，則集合可知，由此可判斷各選項的對錯.
【詳解】
因為，所以，所以，
A．，故正確；
B．，故錯誤；
C．空集是任何集合的子集，，故正確；
D．任何集合都是它本身的子集，，故正確；
故選：ACD.
5．（多選）已知集合，且，則實數的取值可以為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】ABC
【分析】
先判斷時， 符合題意，再由時化簡集合B，即得或，解得結果即可.
【詳解】
依題意，
當時， ，滿足題意；
當時，，要使，則有或，解得.
綜上，或或.
故選：ABC.
一、單選題
1．若集合，則的子集個數為（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【分析】
先求得集合A,然后根據子集的個數求解即可.
【詳解】
解：，則的子集個數為個，
故選：D.
2．下列與集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
集合相等指的是兩個集合中元素完全相同，A為點集，B不是集合，C也是點集，D經過計算后可知元素與集合A中完全相同，故選D.
【詳解】
解：∵，
∴與集合相等的是.
故選：D
3．集合的子集個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
先求得集合A，根據元素的個數，即可求得子集的個數，即可得答案.
【詳解】
由，解得，
所以集合，含有2個元素
所以集合A的子集個數為.
故選：D
4．集合或，，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分與兩種情況討論，分別求出參數的取值范圍，最后取并集即可；
【詳解】
解：∵，
∴①當時，即無解，此時，滿足題意.
②當時，即有解，當時，可得，
要使，則需要，解得.
當時，可得，要使，則需要，解得，
綜上，實數的取值范圍是.
故選：B.
5．集合或，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據，分和兩種情況討論，建立不等關系即可求實數的取值范圍．
【詳解】
解：，
①當時，即無解，此時，滿足題意．
②當時，即有解，當時，可得，
要使，則需要，解得．
當時，可得，
要使，則需要，解得，
綜上，實數的取值范圍是．
故選：A．
【點睛】
易錯點點睛：研究集合間的關系，不要忽略討論集合是否為.
二、填空題
6．已知集合，若A的子集個數為2個，則實數______．
【答案】或1
【分析】
由已知可得：集合A只有一個元素，即關于x的方程只有一個根.分類討論求出a的值.
【詳解】
A的子集個數為2個，所以集合A只有一個元素，
即關于x的方程只有一個根.
當時，方程只有一個根符合題意；
當時，關于x的方程只有一個根，只需，解得：.
故或1.
故答案為：或1.
【點睛】
集合A有n個元素，則A的子集的個數為.
7．若集合，則時，___________．
【答案】0
【分析】
由集合相等的定義得出結論．
【詳解】
因為，所以．
故答案為：0．
8．已知集合，，若，則實數的取值范圍是____________．
【答案】
【分析】
分情況討論：當或，根據集合的包含關系即可求解.
【詳解】
當時，有，則；
當時，若，如圖，
則解得．
綜上，的取值范圍為．
故答案為：
9．若對任意的，則，就稱A是“具有伙伴關系”的集合.集合的所有非空子集中，具有伙伴關系的集合的個數為___________.
【答案】15
【分析】
先分析“具有伙伴關系”的集合的特點，然后分析集合中元素的特點，再根據非空子集個數的計算公式求解出結果.
【詳解】
由題意可知：，，，滿足，將和看成一個元素，
所以的所有非空子集中“具有伙伴關系”的集合：
即為，，，四個“大元素”所構成的集合的非空子集，
所以“具有伙伴關系”的集合的個數為，
故答案為：.
10．集合，，若且，則的取值為________．
【答案】或
【分析】
根據條件可得或，解方程即可得答案；
【詳解】
由題意得：或，解得或，
故答案為：或.
三、解答題
11．已知集合或，，且，求m的取值范圍．
【答案】或
【分析】
因為，所以，分別討論和兩種情況然后求并集.
【詳解】
解：因為，所以，
當時，，解得：；
當時，或解得：或
所以或.
12．已知集合A={x|x2-9x+14=0}，集合B={x|ax+2=0}，若B是A的真子集，求實數a的取值集合．
【答案】
【分析】
解出集合A，根據真子集的概念確定參數的取值.
【詳解】
A={x|x2-9x+14=0}={2，7}，
因為B是A的真子集，
所以若a=0，即B= 時，滿足條件．
若a≠0，則B=，若B是A的真子集，
則-=2或7，
解得a=-1或-．
則實數a的取值的集合為．
【點睛】
關鍵點點睛：考慮真子集時，要考慮到空集也是集合的真子集，確保取到所有的參數值.
13．已知非空集合，，若，求實數的取值范圍.
【答案】
【分析】
即，列出不等式組，可得實數的取值范圍．
【詳解】
∵，又，∴，即.
是非空集合，
∴，解得.
∴所求實數的取值范圍是.
14．已知非空集合S的元素都是整數，且滿足：對于任意給定的x，y∈S (x、y可以相同)，有x+y∈S且x-y∈S.
（1）集合S能否為有限集，若能，求出所有有限集，若不能，請說明理由；
（2）證明：若3∈S且5∈S，則S=Z.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）若，分析和可得答案；
（2）集合S的元素都是整數，利用已知得到非空集合S是所有整數構成的集合.然后再由，， 得到，且可得答案.
【詳解】
（1）能，理由如下：
若，且，由題意知的所有整數倍的數都是中的元素，所以是無限集；若，且，則，符合題意，且是有限集，所以集合S能為有限集，即.
（2）證明：
因為非空集合S的元素都是整數，且,
由，，所以，所以，
所以，，，，
，，，，
所以非空集合S是所有整數構成的集合.
由，，所以，因為，
所以，，， ，
所以2的所有整數倍的數都是中的元素，
即，
且，所以也是集合中的元素，
即，
，
綜上所述，.
【點睛】
本題考查對集合性質的理解，關鍵點是理解，考查了學生分析問題、解決問題的能力，以及推理能力.

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