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專題14 交集、并集
1、理解交集、并集的概念； 2、能夠求出給定集合的交集、并集；
一、交集基本概念：
交集：由所有屬于集合且屬于集合的元素構(gòu)成的集合,稱為與的交集(intersection set),記作（讀作“交”），即.
二、并集基本概念
并集：由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑貥?gòu)成的集合,稱為與的并集(intersection set),記作（讀作“并”），即.
三、利用Venn圖表示集合關(guān)系
交集 并集
例題1．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
例題2.已知集合， ，則=（ ）
A． B．
C． D．
例題3.設(shè)全集與集合的關(guān)系如圖所示，則圖中陰影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
例題4.已知集合，，
（1）求，；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍．
1．設(shè)集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
3．已知全集，集合和的關(guān)系的韋恩（Wenn）如圖所示，則陰影部分所示的集合是（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，，，則的值為______．
1．設(shè)集合，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
2．(多選)圖中陰影部分用集合符號可以表示為（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知集合，且．
（1）若，求m，a的值．
（2）若，求實數(shù)a組成的集合．
一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知全集，集合，，則（ ）
A．{4} B．{3} C．{1，2} D．
3．已知集合和集合，則（ ）
A． B．
C． D．
4．已知全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
5．設(shè)，其中，，，是1，2，3，4的一個組合，若下列四個關(guān)系：①；②；③；④有且只有一個是錯誤的，則滿足條件的的最大值與最小值的差為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
6．已知集合，若，則所有實數(shù)m組成的集合是__________.
7．設(shè)集合，若，則的值為_________.
8．已知集合，，則______．
9．已知集合，集合，若，則=_______
10．設(shè)集合，且，則實數(shù)的取值范圍是____.
三、解答題
11．設(shè)全集為R，集合，非空集合，
（1）若a＝10，求P∩Q； ；
（2）若，求實數(shù)a的取值范圍
12．已知集合，．
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，求實數(shù)t的取值范圍．
13．已知集合
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
14．已知全集，，
（1）若，求的取值范圍；
（2）若，，求
專題14 交集、并集
1、理解交集、并集的概念； 2、能夠求出給定集合的交集、并集；
一、交集基本概念：
交集：由所有屬于集合且屬于集合的元素構(gòu)成的集合,稱為與的交集(intersection set),記作（讀作“交”），即.
二、并集基本概念
并集：由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑貥?gòu)成的集合,稱為與的并集(intersection set),記作（讀作“并”），即.
三、利用Venn圖表示集合關(guān)系
交集 并集
例題1．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)交集的運算規(guī)則計算得出結(jié)果.
【詳解】
由交集的定義知，所以選項ACD錯誤，選項B正確.
故選:B．
例題2.已知集合， ，則=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用并集的概念求解即可.
【詳解】
由， ，
則=.
故選：B
例題3.設(shè)全集與集合的關(guān)系如圖所示，則圖中陰影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)圖，得到集合關(guān)系為．
【詳解】
解：由圖，元素屬于但不屬于，
即陰影部分對應(yīng)的集合為，
故選：D．
例題4.已知集合，，
（1）求，；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）進(jìn)行根據(jù)交集、并集和補集的定義運算即可；
（2）根據(jù)可得出，然后討論是否為空集：時，；時得到不等式組，然后解出的范圍即可．
【詳解】
解：（1）因為或，
所以，
（2）由，則
當(dāng)時，，所以
當(dāng)時，，所以
綜上：實數(shù)的取值范圍為
1．設(shè)集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接利用交集的定義求解即可
【詳解】
，
故選：B
2．已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)并集的知識確定正確選項.
【詳解】
依題意可知
故選：B
3．已知全集，集合和的關(guān)系的韋恩（Wenn）如圖所示，則陰影部分所示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
陰影部分所示的集合，由集合的運算求解即可.
【詳解】
陰影部分所示的集合
故選：C
4．已知集合，，，則的值為______．
【答案】﹣2
【分析】
根據(jù)并集運算以及集合中元素的互異性即可求出答案．
【詳解】
解：∵，，，
∴，
∴，且，
∴，
故答案為：2．
1．設(shè)集合，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分析可得，利用韋達(dá)定理可得出、的值，由此可求得的值.
【詳解】
因為集合，，則，
所以，、是方程的兩根，所以，，因此，.
故選：D.
2．(多選)圖中陰影部分用集合符號可以表示為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】
由圖可知，陰影部分是集合B與集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A與B的交集并上集合A與C的交集，從而可得答案
【詳解】
解：由圖可知，陰影部分是集合B與集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A與B的交集并上集合A與C的交集，
所以陰影部分用集合符號可以表示為或，
故選：AD
3．已知集合，且．
（1）若，求m，a的值．
（2）若，求實數(shù)a組成的集合．
【答案】（1），；）（2）
【分析】
（1）依題意可得，，即可求出，從而求出集合，則，即可求出；
（2）首先求出集合，依題意可得，對集合分類討論，即可求出參數(shù)的取值；
【詳解】
解：（1）因為，且．，所以，，所以解得，所以，所以，所以，解得
（2）若，所以，因為，所以
當(dāng)，則；
當(dāng)，則；
當(dāng)，則；
綜上可得
一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)交集的運算直接求解即可.
【詳解】
因為集合,,故，
故選：A.
2．已知全集，集合，，則（ ）
A．{4} B．{3} C．{1，2} D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)集合的運算法則計算．
【詳解】
因為，，，所以．
故選：A．
3．已知集合和集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
直接利用交集的定義求解即可
【詳解】
因為集合和集合，
所以，
故選：C．
4．已知全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)補集、交集的定義計算可得；
【詳解】
解：因為，
所以，，所以.
故選：B
5．設(shè)，其中，，，是1，2，3，4的一個組合，若下列四個關(guān)系：①；②；③；④有且只有一個是錯誤的，則滿足條件的的最大值與最小值的差為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
因為只有一個錯誤，故分類討論，若①錯，有兩種情況，若②錯則互相矛盾，若③錯，有三種情況，若④錯，有一種情況，分別求解即可得結(jié)果．
【詳解】
若①錯，則，，，
有兩種情況：，，，，
或，，，，；
若②錯，則，，互相矛盾，故②對；
若③錯，則，，，
有三種情況：，，，，；
，，，，；
，，，，；
若④錯，則，，，
只有一種情況：，，，，
所以
故選：C
二、填空題
6．已知集合，若，則所有實數(shù)m組成的集合是__________.
【答案】
【分析】
由已知得，從而，或或，由此能求出所有實數(shù)m組成的集合.
【詳解】
∵，，∴，
∴，或或，∴或或，
∴所有實數(shù)m組成的集合是.
故答案為：.
7．設(shè)集合，若，則的值為_________.
【答案】-3
【分析】
根據(jù)交集的定義分類討論求解參數(shù)的值即可得出答案.
【詳解】
根據(jù)題意：時，或
（1）時，或
時，，集合 B中兩元素相等不合題意.
時，
此時，符合題意
（2）時，，此時
，此時 不合題意
所以
故答案為：-3
8．已知集合，，則______．
【答案】.
【分析】
根據(jù)補集的概念可直接求解.
【詳解】
因為集合，，
根據(jù)補集的概念得，
故答案為：.
9．已知集合，集合，若，則=_______
【答案】4；
【分析】
根據(jù)集合交集中的元素，結(jié)合集合交集的定義，求得結(jié)果.
【詳解】
因為，所以，
因為集合，集合，
所以，
故答案為：4.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：該題考查的是有關(guān)集合的問題，正確解題的關(guān)鍵是理解集合交集的定義.
10．設(shè)集合，且，則實數(shù)的取值范圍是____.
【答案】
【分析】
由題意，可得是集合的子集，按集合中元素的個數(shù)，結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系，分類討論即可求解.
【詳解】
由題意，可得是集合的子集，
又，
當(dāng)是空集時，即方程無解，則滿足，解得，即，此時顯然符合題意；
當(dāng)中只有一個元素時，即方程只有一個實數(shù)根，此時
，解得，則方程的解為或，并不是集合的子集中的元素，不符合題意，舍去；
當(dāng)中有兩個元素時，則，此時方程的解為，，由根與系數(shù)之間的關(guān)系，可得兩根之和為5，故；當(dāng)時，可解得，符合題意.綜上的取值范圍為.
故答案為：
【點睛】
方法點睛：根據(jù)集合的運算求參數(shù)問題的方法：
1、要明確集合中的元素，對子集是否為空集進(jìn)行分類討論，做到不漏解；
2、若集合元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程（組）求解，此時注意集合中元素的互異性；
3、若集合表示的不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式（組）求解，此時需要注意端點值是否取到.
三、解答題
11．設(shè)全集為R，集合，非空集合，
（1）若a＝10，求P∩Q； ；
（2）若，求實數(shù)a的取值范圍
【答案】（1），；（2） .
【分析】
（1）把的值代入求出集合，再由交集、補集的運算求出，；
（2）由得，再由子集的定義列出不等式組，求出的范圍．
【詳解】
（1）當(dāng)時，，
又集合，
所以，
，
則；
（2）由得，，
因為，則，解得，
綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.
12．已知集合，．
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，求實數(shù)t的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先求出N＝{x|1＜x＜3}，t＝2時求出集合，再并集的運算即可；
（2）根據(jù)N M可得，進(jìn)而可得在上恒成立，參變分離，令，求其最大值即可．
【詳解】
（1）化簡得={x|1＜x＜3}，
當(dāng)t＝2時，，∴＝；
（2）∵N M，且={x|1＜x＜3}，∴在上恒成立，
參變分離得，令，則在上遞增，
∴，∴.∴實數(shù)t的取值范圍為：．
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：根據(jù)N M，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，參變分離求函數(shù)的最大值.
13．已知集合
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)集合的運算法則計算；
（2）由得，然后分類和求解．
【詳解】
（1）當(dāng)時，中不等式為，即，
∴，則
（2）∵，∴，
①當(dāng)時，，即，此時；
②當(dāng)時，，即，此時.
綜上的取值范圍為.
14．已知全集，，
（1）若，求的取值范圍；
（2）若，，求
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由集合為空集，轉(zhuǎn)化為方程無根，從而求得參數(shù)取值范圍.
（2）由交并補集的運算，分別求得p，q的值，從而求得.
【詳解】
（1）若，則方程無實數(shù)解，
，則.
（2）∵，
∴方程的一個根為4，則，方程另一個根為3.
∴.
∵，
∴方程的一個根為2，則，方程另一個根為3.
∴
∴
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：由交并補集的運算求得相關(guān)參數(shù)值.

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