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專題11 圓
圓是初高中平面解析幾何中非常重要的知識點。特別是圓與直線的位置關系，是研究的重點。主要是相離、相切、相交，判斷位置關系，核心是找到圓心與直線的距離。在解決問題的時候，要注意分析問題，找到解題關鍵點，重點突破。
《初中課程要求》 1、了解圓的概念及基本性質； 2、了解并掌握點與圓的位置關系； 3、了解并掌握直線與圓的位置關系； 4、垂徑定理。
《高中課程要求》 掌握圓的標準方程和一般方程； 能通過計算判斷直線與圓的位置關系； 能通過聯(lián)立方程組解決一些問題。
直線與圓的位置關系：
①相交：圓與直線有兩個交點，
圓心到直線的距離.
②相切：圓與直線有一個交點，
圓心到直線的距離.
③相離：圓與直線有零個交點，
圓心到直線的距離.
2.垂徑定理：如圖，圓與直線相交，為弦，則過作AB的垂線平分弦。
3.點的軌跡：
利用動點到定點的距離為定長構成的圖形為圓，圓心就是該定點，半徑就是該定長。
該定理在解決動點軌跡問題上運用很多。
4.有關圓切線的幾個定理：
①切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
②弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.
③相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.
④切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.
⑤割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.
例題1．如圖，在中，，以為直徑的交于點D，過點D作于點E．
（1）求證：是的切線．
（2）若，，求的長．
1.如圖，是的外接圓，點D是的中點，過點D作分別交、的延長線于點E和點F，連接、，的平分線交于點M．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求線段的長．
1.如圖，已知中，，以為直徑的交于，過點作于，交的延長線于點．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求證：；
（3）當，時，求的長．
1．如圖，AB為圓O的直徑，C、D兩點均在圓上，其中OD⊥AC交AC于E點．若DE＝1，BC＝6，則AC＝（ ）
A．3 B． C．5 D．
2．如圖，是的直徑，是的切線，點為切點，若，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，AB為的直徑，AC為的弦，D是弧BC的中點，E是AC的中點．若，，則DE=（ ）
A． B．5 C． D．
4．引理：在中，若為的中點，則．（中線長公式，不用證明，可以直接應用）根據這個引理，解決下面的問題：如圖，在矩形中，，，點在以為直徑的半圓上運動，則的最小值是（ ）
A． B．38 C．40 D．68
5．如圖，在中，，，，以邊的中點為圓心，作半圓與相切，點，分別是邊和半圓上的動點，連接，則長的最大值與最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，⊙O的半徑為4 cm，BC是直徑，若AB＝10 cm，則AC＝_____cm時，AC是⊙O的切線．
7．如圖，是的直徑，切于點，線段交于點．若，，則弧的長為____________．
8．如圖，從點P引⊙O的切線PA，PB，切點分別為A，B，DE切⊙O于C，交PA，PB于D，E．若△PDE的周長為20cm，則PA=________cm．
9．在平面直角坐標系中，以O為圓心，2個單位長度為半徑畫圓．若一次函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖像與有公共點，則k的取值范圍是_________．
10．如圖，在中，，以為圓心，為半徑作圓．若該圓與線段只有一個交點，則的取值范圍為___．
11．如圖，的弦相交于點P，且．求證．
12．如圖，在菱形中，是上一點，且， 經過點、、．
（1）求證；
（2）求證與相切．
13．如圖，AB是半圓O的直徑，過點O作弦AD的垂線交AD于M，且交切線AC于點C，OC與半圓O交于點E，連結BE，DE．
（1）求證：∠BED＝∠C；
（2）若OA＝5，AD＝8，求MC的長．
14．如圖，BD是四邊形ABCD的對角線，BD⊥AD，⊙O是△ABD的外接圓，∠BDC＝∠BAD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）連接OC交⊙O于點E，若AD＝2，CD＝6，cos∠BDC＝，求CE的長．
15．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的一條弦，點P是⊙O上一點，且PA＝PC，PD∥AC，與BA的延長線交于點D．
（1）求證：PD是⊙O的切線．
（2）若tan∠PBA＝，AC＝12，求直徑AB的長．
專題11 圓
圓是初高中平面解析幾何中非常重要的知識點。特別是圓與直線的位置關系，是研究的重點。主要是相離、相切、相交，判斷位置關系，核心是找到圓心與直線的距離。在解決問題的時候，要注意分析問題，找到解題關鍵點，重點突破。
《初中課程要求》 1、了解圓的概念及基本性質； 2、了解并掌握點與圓的位置關系； 3、了解并掌握直線與圓的位置關系； 4、垂徑定理。
《高中課程要求》 掌握圓的標準方程和一般方程； 能通過計算判斷直線與圓的位置關系； 能通過聯(lián)立方程組解決一些問題。
直線與圓的位置關系：
①相交：圓與直線有兩個交點，
圓心到直線的距離.
②相切：圓與直線有一個交點，
圓心到直線的距離.
③相離：圓與直線有零個交點，
圓心到直線的距離.
2.垂徑定理：如圖，圓與直線相交，為弦，則過作AB的垂線平分弦。
3.點的軌跡：
利用動點到定點的距離為定長構成的圖形為圓，圓心就是該定點，半徑就是該定長。
該定理在解決動點軌跡問題上運用很多。
4.有關圓切線的幾個定理：
①切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
②弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.
③相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.
④切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.
⑤割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.
例題1．如圖，在中，，以為直徑的交于點D，過點D作于點E．
（1）求證：是的切線．
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）要想證DE是⊙O的切線，只要連接OD，求證∠ODE=90°即可．
（2）連接，先求，再利用求DE的長．
【詳解】
解：（1）連接，
，
，
又，
，
，
又，
，即，
，即，
是的切線，
（2）連接，得，
∵AB=AC，
是的中點，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，
，
∴，，
∵，，
∴∠DEC=∠ADC=90°，
∵∠C+∠CDE=∠C+∠DAC=90°，
∴∠CDE=∠DAC，
，
，即，
．
【點睛】
本題考查了切線的判定，相似三角形的性質與判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．
1.如圖，是的外接圓，點D是的中點，過點D作分別交、的延長線于點E和點F，連接、，的平分線交于點M．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求線段的長．
【答案】（1）見詳解；（2）2
【分析】
（1）連接OD，由垂徑定理得OD⊥BC，從而得OD⊥EF，進而即可得到結論；
（2）由平行線分線段定理得DN=，再證明，可得BD=2，最后證明∠BMD=∠DBM，進而即可求解．
【詳解】
（1）證明：連接OD，如圖，
∵點D是的中點，
∴，
∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF為⊙O的切線；
（2）設BC、AD交于點N，
∵，，，
∴，
∴DN=，
∵點D是的中點，
∴∠BAD=∠CAD=∠CBD，
又∵∠BDN=∠ADB，
∴，
∴，即：，
∴BD=2，
∵的平分線交于點M，
∴∠ABM=∠CBM，
∴∠ABM+∠BAD=∠CBM+∠CBD，即：∠BMD=∠DBM，
∴DM=BD=2．
【點睛】
本題主要考查圓的基本性質，切線的判定定理相似三角形的判定和性質，平行線分線段定理，等腰三角形的判定和性質，找出相似三角形，是解題的關鍵．
1.如圖，已知中，，以為直徑的交于，過點作于，交的延長線于點．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求證：；
（3）當，時，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）
【分析】
（1）連接，，由為的直徑，可得，由，可得為中點，由為中點，利用中位線性質可得OE∥AC，由，可得即可；
（2）由，可得，由EF為圓的切線，可得，由，可得，可證，可得，當時，可求，可證為等邊三角形，可得，可證即可；
（3）由（2）得，可得，解得或FC=-8舍去，可證，可得，可求即可．
【詳解】
解：（1）證明：連接，，
∵為的直徑，
∴，
∴，
又∵，
∴為中點，
又∵為中點，
∴OE∥AC，
又∵，
∴，
又為的半徑，
∴是的切線．
（2）∵，
∴，
∵EF為圓的切線，
∴，
∵
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
當時，，
又，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
即．
（3）由（2）得，
又，，F(xiàn)B=BC+FC=6+FC，
∴，
因式分解得（FC+8）（FC-2）=0，
解得或FC=-8舍去，
∵，
∴，，
∴，
∵CG∥OE，
∴∠GCF=∠EOF，∠FGC=∠FEO，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【點睛】
本題考查圓的切線判定，直徑所對圓周角性質，等腰三角形性質，中位線性質，三角形相似判定與性質，等邊三角形判定與性質，掌握圓的切線判斷，直徑所對圓周角性質，等腰三角形性質，中位線性質，三角形相似判定與性質，等邊三角形判定與性質是解題關鍵．
1．如圖，AB為圓O的直徑，C、D兩點均在圓上，其中OD⊥AC交AC于E點．若DE＝1，BC＝6，則AC＝（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】
根據垂徑定理得到E是AC的中點，進而分析出OE是的中位線，得到OE的長，然后在中應用勾股定理求解AE的長后即可求得AC．
【詳解】
∵OD⊥AC，OD為圓O的半徑，
∴E是AC的中點，
∵O是AB的中點，
∴OE是的中位線，
∴，
∴，
在中，，
∴；
故選D．
【點睛】
本題考查了垂徑定理，三角形中位線的性質，以及勾股定理，關鍵是判斷出OE和BC的數(shù)量關系．
2．如圖，是的直徑，是的切線，點為切點，若，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由題意易得，然后根據三角函數(shù)可進行求解．
【詳解】
解：∵是的切線，
∴，
∵，，
∴；
故選D．
【點睛】
本題主要考查切線的性質及解直角三角形，熟練掌握切線的性質及三角函數(shù)是解題的關鍵．
3．如圖，AB為的直徑，AC為的弦，D是弧BC的中點，E是AC的中點．若，，則DE=（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】
連接OC、BC、OE、BD，OE交于F，OD交BC于G，連接OE并延長交于點F，如圖，先根據垂徑定理得到，，再計算出，設的半徑為r，則，利用勾股定理得到，然后利用勾股定理計算DE的長．
【詳解】
解：連接OC、BC、BD，OD交BC于G，連接OE并延長交于點F，
∵D是弧BC的中點，
∴，，，
∵E是AC的中點，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
設的半徑為r，則，
在中，，
在中，，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
∴，
易得四邊形OGCE為矩形，
∴，
在中，．
故選：A．
【點睛】
本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．
4．引理：在中，若為的中點，則．（中線長公式，不用證明，可以直接應用）根據這個引理，解決下面的問題：如圖，在矩形中，，，點在以為直徑的半圓上運動，則的最小值是（ ）
A． B．38 C．40 D．68
【答案】C
【分析】
如圖，設AD中點為E，半圓圓心為O，連接OE，交半圓于P，此時PE取最小值，根據矩形的性質可得CD=AB=OE，AD=BC，根據中線長公式可得=2PE2+2AE2，可得PE最短時取最小值，根據線段的和差關系可求出PE的長，即可得答案．
【詳解】
如圖，設AD中點為E，半圓圓心為O，連接OE，交半圓于P，此時PE取最小值，
∵四邊形ABCD是矩形，，，
∴AE=DE=4，OB=OC=OP=4，
∴CD=AB=OE=6，AD=BC=8，
∴PE=2，
∵點E為AD中點，
∴=2PE2+2AE2，
∴的最小值為2PE2+2AE2=2×22+2×42=40，
故選：C．
【點睛】
本題考查矩形的性質、點與圓的位置關系及中線長公式，根據點與圓的位置關系得出PE的最小值是解題關鍵．
5．如圖，在中，，，，以邊的中點為圓心，作半圓與相切，點，分別是邊和半圓上的動點，連接，則長的最大值與最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如圖，設⊙O與AC相切于點E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q1，此時垂線段OP1最短，P1Q1最小值為OP1-OQ1，如圖當Q2在AB邊上時，P2與B重合時，P2Q2最大值=5+3=8，由此即可求解．
【詳解】
解：如解圖，設與相切于點，連接，則，
作垂足為點，交于點，此時垂線段最短，
當O、Q1、P1三點不共線時，構成△OQP1，
由三角形兩邊之差小于第三邊可知，當O、Q1、P1三點不共線時，
PQ有最小值為，且，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∵O為斜邊AB上的中點，
∴OP1和OE均為△ABC的中位線，
∴，
∴，
∴，
∴最小值為，
當在邊上，與重合時，最大值為，
∴長的最大值與最小值的和是9，
故選：D．
【點睛】
本題考查了三角形中位線定理，三角形兩邊之差小于第三邊求最值，解題的關鍵是正確找到點PQ取得最大值、最小值時的位置．
6．如圖，⊙O的半徑為4 cm，BC是直徑，若AB＝10 cm，則AC＝_____cm時，AC是⊙O的切線．
【答案】6
【分析】
根據切線的判定定理當∠BCA=90°時,AC是⊙O的切線,然后根據勾股定理計算AC.
【詳解】
∵⊙O的半徑為4 cm，
∴BC=8cm，
∵BC是直徑，
∴∠BCA=90°時,AC是⊙O的切線,
∴.
故答案為6.
【點睛】
本題考查了切線的判定:過半徑的外端點與半徑垂直的性質為圓的切線.也考查了勾股定理.
7．如圖，是的直徑，切于點，線段交于點．若，，則弧的長為____________．
【答案】
【分析】
求得半徑和圓心角的度數(shù)，即可求得弧的長．
【詳解】
解：∵切于點
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴弧的長
故答案為．
【點睛】
此題主要考查了弧長的計算，熟練掌握弧長公式是解題的關鍵．
8．如圖，從點P引⊙O的切線PA，PB，切點分別為A，B，DE切⊙O于C，交PA，PB于D，E．若△PDE的周長為20cm，則PA=________cm．
【答案】10
【分析】
由于PA、PB、DE都是⊙O的切線，可根據切線長定理將△PDE的周長轉化為切線PA、PB的長．
【詳解】
解：∵PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=20(cm)；
∴PA=PB=10(cm)，
故答案為10．
【點睛】
本題主要考查了切線長定理，能夠發(fā)現(xiàn)△PDE的周長和切線PA、PB長的關系是解答此題的關鍵．
9．在平面直角坐標系中，以O為圓心，2個單位長度為半徑畫圓．若一次函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖像與有公共點，則k的取值范圍是_________．
【答案】且
【分析】
根據題意，首先得出一次函數(shù)必過定點（-5,0），則直線繞點（-5,0）旋轉，與有公共點，即找出兩個相切的極限位置，求出對應的k值，k在兩個極限位置k值之間．
【詳解】
∵一次函數(shù)解析式為：（k為常數(shù)，），
∴當時，y=0，即一次函數(shù)必過定點，
設一次函數(shù)與x軸和y軸分別交于點A,B，
當直線AB與相切時，切點為M，有兩種情況，如圖所示：
①當直線與y軸交于正半軸時，連接OM，
∵直線AB與相切，
∴OM⊥AB，
∴∠AMO=90°，
在Rt△AMO中，
,
∴,
在Rt△ABO中，
,
解得：,
即B點坐標為，
代入一次函數(shù)解析式，
解得，
②當直線與y軸交于負半軸時，同理可得：
B點坐標為，
代入一次函數(shù)解析式，
解得，
∴且，
故填：且．
【點睛】
本題考查直線與圓的位置關系，一次函數(shù)的性質，勾股定理及解直角三角形，解題關鍵是熟練掌握直線與圓的位置關系，將幾何關系轉化為代數(shù)關系．
10．如圖，在中，，以為圓心，為半徑作圓．若該圓與線段只有一個交點，則的取值范圍為___．
【答案】或
【分析】
先根據題意畫出符合的兩種情況，根據勾股定理求出BC，即可得出答案．
【詳解】
解：過C作CD⊥AB于D，
在Rt△BCA中，
∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°，
∴AB=4，
∴，
根據三角形的面積公式得：AB CD=AC BC，
∴，
當圓與時AB相切時，r=，
當點A在圓內，點B在圓外或圓上時，r的范圍是2＜r≤2，
綜上所述：r的取值范圍是r=或2＜r≤2，
故答案為：r=或2＜r≤2．
【點睛】
本題考查了直線和圓的位置關系，切線的性質，勾股定理的應用，能求出符合題意的所有情況是解此題的關鍵，用了分類討論思想．
11．如圖，的弦相交于點P，且．求證．
【答案】證明見解析；
【分析】
要證PB=PD，可連接BD，需證∠Ｄ=∠B，根據已知條件，只需證即可．
【詳解】
證明：連接BD．
即
【點睛】
本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系的定理及推論、圓周角定理及推論、等腰三角形的判定等知識點，熟知上述定理及推論是解題的基礎，而善于發(fā)現(xiàn)問題、掌握分析問題的方法是解題的關鍵．
12．如圖，在菱形中，是上一點，且， 經過點、、．
（1）求證；
（2）求證與相切．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）根據菱形的選擇得到，，，求得 ，推出，于是得到結論；
（2）連接，，根據已知條件得到，根據平行線的性質得到 ，根據切線的判定定理即可得到結論．
【詳解】
證明：（1）四邊形是菱形，
，，，
，
，，
，
，
，
；
（2）連接，，
，，
，
，
，
，
，
，
又點在上，
與相切．
【點睛】
本題主要考查了直線與圓的位置關系，圓周角定理，菱形的性質，熟練掌握圓周角定理是解決問題的關鍵．
13．如圖，AB是半圓O的直徑，過點O作弦AD的垂線交AD于M，且交切線AC于點C，OC與半圓O交于點E，連結BE，DE．
（1）求證：∠BED＝∠C；
（2）若OA＝5，AD＝8，求MC的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）由切線的性質得∠1+∠2=90°；由同角的余角相等得∠C=∠2，由圓周角定理知∠BED=∠2，故∠BED=∠C．
（2）由直徑所對的圓周角是直角，利用勾股定理求出BD，再根據三角形相似，求出OC和OM，再求MC即可．
【詳解】
解：如圖，
（1）∵AC是圓O的切線，
∴AB⊥AC，即∠1＋∠2＝90°，
又∵CO⊥AD，
∴∠1＋∠C＝90°，
∴∠C＝∠2，
而∠BED＝∠2，
∴∠BED＝∠C；
（2）連接BD，
∵AB是圓O的直徑，OA＝5，
∴∠ADB＝90°，AB＝10，
，
又∵CO⊥AD，且OM過圓心，
∴AM＝DM，
∵OA＝OB，
∴OM//BD，且OM＝BD＝3，
∵∠C＝∠2，
∴sinC＝sin∠2，即，也即，
，
．
【點睛】
本題主要考查利用圓的直徑的性質、切線的性質、三角形相似等知識，關鍵是圓的有關性質的應用．
14．如圖，BD是四邊形ABCD的對角線，BD⊥AD，⊙O是△ABD的外接圓，∠BDC＝∠BAD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）連接OC交⊙O于點E，若AD＝2，CD＝6，cos∠BDC＝，求CE的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）連接OD，根據等腰三角形的性質得到∠ODB=∠OBD，由垂直的定義得到∠ADB=90°，確定∠ABD+∠A=90°，等量代換得到∠ODB+∠BDC=90°，求得OD⊥CD，根據切線的定義即可得到結論；
（2）根據切線的性質得到∠CDO=90°，根據余角的性質得到∠COD=∠BDC，解直角三角形即可得到結論．
【詳解】
解：（1）證明：連接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠A=90°，
∵∠BDC=∠BAD，
∴∠ODB+∠BDC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）∵CD是⊙O的切線，
∴∠CDO=90°，
∵cos∠BDC=，∠BDC=∠BAD．
∴cos∠BAD=，
∵AD=2，
∴AB=6，
∴OD=OE=3，
∵CD=6，
∴OC=，
∴CE=CO-OE=．
【點睛】
本題考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，解直角三角形，正確的識別圖形是解題的關鍵．
15．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的一條弦，點P是⊙O上一點，且PA＝PC，PD∥AC，與BA的延長線交于點D．
（1）求證：PD是⊙O的切線．
（2）若tan∠PBA＝，AC＝12，求直徑AB的長．
【答案】（1）見解析；（2）20
【分析】
（1）連接，交于點，由等腰三角形的性質可得，，由平行線的性質、圓周角定理可得，由為直徑可得，可得，得出，可得結論．
（2）由平行線性質及垂徑定理可求，由可求，由，即可求解．
【詳解】
解：（1）連接，如圖所示．
，
，
又與所對同一段弧，
．
又，
，
，
．
為直徑，
，
，
即，
又為半徑，
故是的切線．
（2），
，
由垂徑定理可知：，
又，
．
．
設，則，
在中，有，
即，解得：．
故直徑．
【點睛】
本題考查了切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，證明切線時若有交點，則連交點得半徑，證垂直．（1）中證得∠DPA=∠PAC=∠PAC=∠B是解題關鍵，（2）中利用垂徑定理求出PE是解題關鍵．

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