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專題10 三角形
初中對三角形的研究比較多，但是集中在研究三角形的全等與相似以及直角三角形等特殊情況。高中對三角形的研究就上升到了一般三角形的研究，對于任意的三角形都能去解決邊角問題。同時，結合三角函數，可以更好的去解三角形。
《初中課程要求》 1、了解三角形的基本概念及其性質； 2、全等三角的相關概念； 3、相似三角形的相關概念； 4、直角三角形的相關概念。
《高中課程要求》 三角恒等變換； 解三角形。
三角形的”“四心”：
①重心：三角形三邊中線的交點；
②垂心：三角形三邊高的交點；
③內心：內切圓圓心，到三邊距離相等，三角形三條角平分線交點；
④外心：外接圓圓心，到三個頂點距離相等，三角形三條邊的垂直平分線交點。
2.含120°角的等腰三角形：三邊之比為
3.邊長為的等邊三角形：高為邊長的倍，即;面積為。
例題1．如圖，將一張長方形紙片沿折疊，使兩點重合．點落在點處．已知，．
（1）求證：是等腰三角形；
（2）求線段的長．
1.如圖，連接四邊形的對角線，已知．
（1）求證：是直角三角形；
（2）求四邊形的面積．
1.如圖，在四邊形中，，，對角線，相交于點，AC平分，過點作交的延長線于點，連接．
（1）求證：四邊形是菱形：
（2）若，且，求的長．
1．如圖，已知四邊形是矩形，點在上，，點在上，且與交于點，則（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，，，，，垂足分別為A、B．點P從點A出發，以每秒2個單位的速度沿向點B運動；點Q從點B出發，以每秒a個單位的速度沿射線方向運動．點P、點Q同時出發，當以P、B、Q為頂點的三角形與全等時，a的值為（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．2或
3．已知與全等，A、B、C的對應點分別為D、E、F，且E點在AE上，B、F、C、D四點共線，如圖所示若，，則下列敘述何者正確？（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．下列說法錯誤的是（ ）
A．一組鄰邊相等的四邊形是菱形
B．對角線互相垂直的四邊形，順次連接其四邊的中點，所得四邊形是矩形
C．若三角形的三邊長的比為5∶12∶13，則這個三角形是直角三角形
D．若，則a≥0
5．如圖，在中，，，為中線，則與的周長之差為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如圖，在四邊形中，，．若，，，則對角線的長為____________cm．
7．如圖，將沿對角線折疊，使點落在點處，若，則為______．
8．如圖，在平行四邊形中，平分交于點，過點作的垂線交于點，若，，則______．
9．如圖，點為正方形邊上一動點，，，將點繞點順時針旋轉到點，若、分別為、中點，則的最小值為___．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AD＝4，AB＝10，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．
（1）則△PMN面積是________．
（2）把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，△PMN面積的最大值為________．
11．如圖中，，分別是的高和角平分線，，．求和的度數．
12．如圖，已知中，，．
（1）畫出的高和；
（2）若，求的長：
（3）求的值．
13．如圖，將矩形ABCD沿對角線BD所在直線折疊，點C落在同一平面內，落點記為F，BF與AD交于點E，若AB＝4，BC＝8，求BE的長．
14．如圖，中，，是邊上的高，是邊上的高，．
求證：（1）；
（2）．
15．如圖，在中，，平分，交于點，過點作于點．
（1）求證：；
（2）若，，求的長．
專題10 三角形
初中對三角形的研究比較多，但是集中在研究三角形的全等與相似以及直角三角形等特殊情況。高中對三角形的研究就上升到了一般三角形的研究，對于任意的三角形都能去解決邊角問題。同時，結合三角函數，可以更好的去解三角形。
《初中課程要求》 1、了解三角形的基本概念及其性質； 2、全等三角的相關概念； 3、相似三角形的相關概念； 4、直角三角形的相關概念。
《高中課程要求》 三角恒等變換； 解三角形。
三角形的”“四心”：
①重心：三角形三邊中線的交點；
②垂心：三角形三邊高的交點；
③內心：內切圓圓心，到三邊距離相等，三角形三條角平分線交點；
④外心：外接圓圓心，到三個頂點距離相等，三角形三條邊的垂直平分線交點。
2.含120°角的等腰三角形：三邊之比為
3.邊長為的等邊三角形：高為邊長的倍，即;面積為。
例題1．如圖，將一張長方形紙片沿折疊，使兩點重合．點落在點處．已知，．
（1）求證：是等腰三角形；
（2）求線段的長．
【答案】（1）見解析；（2）3
【分析】
（1）根據矩形的性質可得,則,因為折疊，，即可得證；
（2）設用含的代數式表示，由折疊，，再用勾股定理求解即可
【詳解】
（1）四邊形是矩形
因為折疊，則
是等腰三角形
（2）四邊形是矩形
,
設，則
因為折疊，則，,
在中
即
解得：
【點睛】
本題考查了矩形的性質，等腰三角形的判定定理，圖像的折疊，勾股定理，熟悉以上知識點是解題的關鍵．
1.如圖，連接四邊形的對角線，已知．
（1）求證：是直角三角形；
（2）求四邊形的面積．
【答案】（1）△ ACD是直角三角形；（2）
【分析】
（1）利用含30°角的直角三角形的性質求出AC的長，再利用勾股定理逆定理證明△ACD是直角三角形即可；
（2）計算出△ABC和△ACD的面積，再求和即可．
【詳解】
解：（1）∵ ∠ B=90°，∠ BAC=30°，BC=1，
∴ AC=2BC=2，
又CD=2，，
∴ AC2+CD2=8，AD2=8，
∴ AC2+CD2=AD2，
∴ △ ACD是直角三角形．
（2）∵ AC=2，BC=1，
∴ ，
∴ S四邊形ABCD=
=．
【點睛】
此題主要考查了勾股定理逆定理，含30°角的直角三角形的性質，正確得出AC的長是解題關鍵．
1.如圖，在四邊形中，，，對角線，相交于點，AC平分，過點作交的延長線于點，連接．
（1）求證：四邊形是菱形：
（2）若，且，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）根據平行四邊形的判定和菱形的判定證明即可；
（2）根據菱形的性質和勾股定理解答即可；
【詳解】
（1）證明：∵，∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴．
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
（2）解：由（1）知，四邊形是菱形，，
∴，．
∵，∴，．
∵，，
∴四邊形是平行四邊形．
∴，．
∴．
【點睛】
本題主要考查了菱形的判定與性質，結合勾股定理計算是解題的關鍵．
1．如圖，已知四邊形是矩形，點在上，，點在上，且與交于點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
設BM=CD=a，DN=CM=b，利用勾股定理分別表示出DM與BN的值即可解答．
【詳解】
解：設BM=CD=a，DN=CM=b，
∴BC=a+b，NC=a-b，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，
在Rt△DCM和Rt△BCN中，由勾股定理得，
，
，
，
故選：B．
【點睛】
本題考查了矩形的性質和勾股定理等知識，關鍵是設出相等邊，利用勾股定理表示出所求邊．
2．如圖，，，，，垂足分別為A、B．點P從點A出發，以每秒2個單位的速度沿向點B運動；點Q從點B出發，以每秒a個單位的速度沿射線方向運動．點P、點Q同時出發，當以P、B、Q為頂點的三角形與全等時，a的值為（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．2或
【答案】D
【分析】
根據題意，可以分兩種情況討論，第一種△CAP≌△PBQ，第二種△CAP≌△QBP，然后分別求出相應的a的值即可．
【詳解】
解：當△CAP≌△PBQ時，則AC=PB，AP=BQ，
∵AC=6，AB=14，
∴PB=6，AP=AB-AP=14-6=8，
∴BQ=8，
∴8÷a=8÷2，
解得a=2；
當△CAP≌△QBP時，則AC=BQ，AP=BP，．
∵AC=6，AB=14，
∴BQ=6，AP=BP=7，
∴6÷a=7÷2，
解得a=，
由上可得a的值是2或，
故選：D．
【點睛】
本題考查全等三角形的判定，解答本題的關鍵是明確有兩種情況，利用數形結合的思想解答．
3．已知與全等，A、B、C的對應點分別為D、E、F，且E點在AE上，B、F、C、D四點共線，如圖所示若，，則下列敘述何者正確？（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】
由與全等，A、B、C的對應點分別為D、E、F，可得，，，可得；，可得，由大角對大邊可得；利用，可得，即，由上可得正確選項．
【詳解】
解：≌，
，，，
，
．
，，
．
．
，
，即．
．
，．
故選：B．
【點睛】
本題主要考查了全等三角形的性質．利用全等三角形對應角相等，對應邊相等是解題的關鍵．
4．下列說法錯誤的是（ ）
A．一組鄰邊相等的四邊形是菱形
B．對角線互相垂直的四邊形，順次連接其四邊的中點，所得四邊形是矩形
C．若三角形的三邊長的比為5∶12∶13，則這個三角形是直角三角形
D．若，則a≥0
【答案】A
【分析】
根據選項逐一判斷正誤，找出符合題意的選項即可；
【詳解】
A.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故原說法錯誤，符合題意；
B.對角線互相垂直的四邊形，順次連接其四邊的中點，所得四邊形是矩形，
因為順次連接其四邊的中點，構成的四邊形是平行四邊形，
鄰邊互相垂直則所得的四邊形是矩形；
說法正確，不符合題意
C.若三角形的三邊長的比為5∶12∶13，則這個三角形是直角三角形，
設若三角形的三邊長，
根據勾股定理的逆定理可知這個三角形是直角三角形；
說法正確，不符合題意；
D.，則
若，則a≥0
說法正確，不符合題意
故選A
【點睛】
本題考查了菱形的判定定理，矩形的判定定理，勾股定理逆定理，二次根式的性質，絕對值的意義，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．
5．如圖，在中，，，為中線，則與的周長之差為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根據題意易得BD=CD，然后根據三角形周長公式及題意可直接進行求解．
【詳解】
解：∵為中線，
∴BD=CD，
∵，，
∴，，
∴；
故選B．
【點睛】
本題主要考查三角形的中線，熟練掌握三角形的中線是解題的關鍵．
6．如圖，在四邊形中，，．若，，，則對角線的長為____________cm．
【答案】
【分析】
過點C作CE⊥AB，交AB的延長線于點E，證明△ABC≌△ADC（SSS），由全等三角形的性質得出∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，求出∠EBC=45°，由直角三角形的性質求出CE和AC的長即可．
【詳解】
解：過點C作CE⊥AB，交AB的延長線于點E，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，
∵∠BAD=60°，∠BCD=30°，
∴∠EAC=∠BAD=30°，∠ACB=∠BCD=15°，
∴∠EBC=∠BAC+∠ACB=30°+15°=45°，
∴BE=CE，
∵BC=4cm，
∴CE=BC=cm，
∴AC=2CE=cm，
故答案為．
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形的性質，證明△ABC≌△ADC是解題的關鍵．
7．如圖，將沿對角線折疊，使點落在點處，若，則為______．
【答案】120°
【分析】
由平行四邊形的性質和折疊的性質得出，由三角形的外角性質求出，再由三角形內角和定理求出即可．
【詳解】
解：四邊形是平行四邊形，
，
，
由折疊的性質得：，
，
；
故答案為：．
【點睛】
題考查了平行四邊形的性質、折疊的性質、三角形的外角性質以及三角形內角和定理；解題的關鍵是：熟練掌握平行四邊形的性質，求出的度數是解決問題的關鍵．
8．如圖，在平行四邊形中，平分交于點，過點作的垂線交于點，若，，則______．
【答案】4
【分析】
先過點E作EG//AB，根據平行四邊形的性質、角平線線的性質證明出△ABE≌△AGE，得到BA=BE=GA=GE，再利用直角的性質，通過等量代換得到，最后得出結論．
【詳解】
解：如圖所示，過點E作EG//AB，
∵四邊形是平行四邊形，
∴AB//DC，AD//BC，
∴∠BAE=∠AEG，∠GAE=∠BEA，
∵平分
∴∠BAE=∠GAE，
∴∠BAE=∠AEG=∠GAE=∠BEA，
∴BA=BE，GA=GE
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AGE（ASA）
∴BA=BE=GA=GE，
∵AE⊥EF，
∴∠AEG+∠GEF=90°，∠AEB+∠FEC=90°，
∵∠AEG=∠BEA，
∴∠GEF=∠FEC，
∵GE//DC,
∴∠GEF=∠EFC,
∴∠FEC=∠EFC,
∴,
∴AB=BE=5-1=4，
故答案為：4．
【點睛】
本題主要考查了平行四邊形的性質、角平分線的性質、垂直的性質，解決本題的關鍵是作出輔助線，利用平行的性質進行等量代換．
9．如圖，點為正方形邊上一動點，，，將點繞點順時針旋轉到點，若、分別為、中點，則的最小值為___．
【答案】
【分析】
過N作NG⊥BC于G，由將點繞點順時針旋轉到點，可得∠MPN=90°=∠B=∠NGP，PM=PN，可證△MBP≌△PGN（AAS），可得BP=GN=1，可知當點M在運動時，點N都在距離BC為1的直線上運動，由CN≥NG，可得當CN=NG時EF最小，EF最小=最小=．
【詳解】
解：過N作NG⊥BC于G，
∵將點繞點順時針旋轉到點，四邊形ABCD為正方形，
∴∠MPN=90°=∠B=∠NGP，PM=PN，
∴∠BMP+∠MPB=90°，∠MPB+∠NPG=90°，
∴∠BMP=∠GPN，
在△MBP和△PGN中，
，
∴△MBP≌△PGN（AAS），
∴BP=GN=1，
∴當點M在運動時，點N都在距離BC為1的直線上運動，
∵CN≥NG，
當CN=NG時EF最小，
∵E，F分別為PN與PC的中點，
∴EF//CN，且EF=，
當點N在CD上時CN最小=1，
∴EF最小=最小=．
故答案為：．
【點睛】
本題考查圖形旋轉性質，正方形性質，三角形全等判定與性質，點到直線的距離，中位線性質，掌握圖形旋轉性質，正方形性質，三角形全等判定與性質，點到直線的距離，中位線性質是解題關鍵．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AD＝4，AB＝10，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．
（1）則△PMN面積是________．
（2）把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，△PMN面積的最大值為________．
【答案】
【分析】
（1）利用三角形的中位線得出且，進一步可證明為等腰直角三角形，再利用三角形面積計算公式計算即可；
（2）要使△PMN面積最大，PN值則要最大，則BD的值要最大，故當時最大，求出面積即可．
【詳解】
解：（1）點P，N是BC，CD的中點，
，
點P，M是CD，DE的中點，
，
，
，
，
，即，
，
為等腰直角三角形，
故，
故答案為：；
（2）由（1）可知為等腰直角三角形，
則，
最大時，面積最大，即最大時，面積最大，
點D在BA的延長線上，
，
，
∴△PMN面積的最大值；
故答案為：．
【點睛】
此題是幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練運用三角形中位線定理，能夠正確求出的最大值．
11．如圖中，，分別是的高和角平分線，，．求和的度數．
【答案】∠CAE=34°，∠C=70°
【分析】
首先在△AED中利用三角形內角和定理計算出∠AED=76°，再根據三角形內角與外角的關系可得∠B+∠BAE=∠AED，進而算出∠BAE的度數，從而得到∠CAE的度數，再根據∠CAD=∠CAE-∠DAE可以算出∠CAD的度數，進而得到∠C的度數．
【詳解】
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°．
又∵∠DAE=14°．
∴∠AED=76°，
∵∠B+∠BAE=∠AED，
∴∠BAE=∠AED-∠B=76°-42°=34°．
∴∠CAE=∠BAE=34°，
∴∠CAD=∠CAE-∠DAE=34°-14°=20°，
∴∠C=90°-20°=70°．
【點睛】
此題主要考查了三角形內角和定理，以及三角形的高和三角形的角平分線，關鍵是掌握三角形內角和為180°．
12．如圖，已知中，，．
（1）畫出的高和；
（2）若，求的長：
（3）求的值．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【分析】
（1）根據鈍角三角形高的畫法，即可畫出三角形的高；
（2）利用等面積的方法，即可求出答案；
（3）由等面積的方法，得到，即可得到答案．
【詳解】
解：（1）如圖：
（2），
，
；
（3）
．
【點睛】
本題考查了基本作圖，畫三角形的高，以及三角形的面積計算方法，解題的關鍵時熟練利用面積相等的方法進行解題．
13．如圖，將矩形ABCD沿對角線BD所在直線折疊，點C落在同一平面內，落點記為F，BF與AD交于點E，若AB＝4，BC＝8，求BE的長．
【答案】5
【分析】
先證明△ABE和△FDE全等，得出BE和DE相等，從而AE=8-BE，在△ABE中用勾股定理算出BE長即可．
【詳解】
解：在△ABE和△FDE中，
，
∴△ABE≌△FDE（AAS），
∴BE=DE，
設BE=x，則AE=8-x，
∴42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
∴BE的長度為5．
【點睛】
本題主要考查矩形的性質和全等三角形的判定，關鍵是要能根據矩形的性質，判斷出三角形全等，矩形的內角是90°，對邊相等，對角相等要牢記于心．
14．如圖，中，，是邊上的高，是邊上的高，．
求證：（1）；
（2）．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【分析】
（1）先證∠EAF=∠ECB，再結合∠AEF=∠CEB=90°且AE=CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；
（2）由全等三角形的性質得AF=BC，由等腰三角形的性質“三線合一”得BC=2CD，等量代換得出結論．
【詳解】
證明：（1），
，
，
，
，
，
又，
．
在和中，
，
；
（2），
，
，
，．
．
【點睛】
此題考查了余角的性質，以及全等三角形的判定與性質，全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS和HL；全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等、對應角相等、對應邊上的中線相等、對應邊上的高線相等、對應角的角平分線相等．
15．如圖，在中，，平分，交于點，過點作于點．
（1）求證：；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）2
【分析】
（1）根據角平分線性質求出CD=DE，根據HL定理求出另三角形全等即可；
（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根據含30度角的直角三角形性質求出即可．
【詳解】
解：（1）證明：∵平分，，，
∴，，
∵在和中
．
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定，角平分線性質，含30度角的直角三角形性質的應用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．

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