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專題12 集合的概念與表示
1、了解集合的含義； 2、理解集合中元素與集合的關系； 3、掌握集合的表示方法，并能用圖形、符號刻畫集合； 4、能夠用不同的方法表示一些簡單集合。
一、元素與集合的基本概念：
集合：一般地，一定范圍內某些確定的、不同的對象的全體組成一個集合.
元素：集合中的每一個對象稱為該集合的元素.
元素的特性:確定性、無序性、互異性
二、集合中元素與集合的關系
概念 關系 記法 讀法
如果是集合中中的元素 屬于 屬于
如果a不是集合中A中的元素 不屬于 不屬于
三、常用數集的符號表示：
特別地,全體自然數組成的集合,叫作自然數集,記作；
全體正整數組成的集合,叫作正整數集,記作或；
全體整數組成的集合,叫作整數集,記作；
全體有理數組成的集合,叫作有理數集,記作；
全體實數組成的集合,叫.
例題1．下列各對象可以組成集合的是（ ）
A．與1非常接近的全體實數
B．某校2015-2016學年度笫一學期全體高一學生
C．高一年級視力比較好的同學
D．與無理數相差很小的全體實數
例題2.已知集合，且，則集合_____.
例題3.用適當的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理數組成的集合．
（2）24的正因數組成的集合．
（3）自然數的平方組成的集合．
（4）由0，1，2這三個數字抽出一部分或全部數字(沒有重復)所組成的自然數組成的集合．
例題4.設A是由一些實數構成的集合，若a∈A，則 ∈A，且1 A，
（1）若3∈A，求A.
（2）證明:若a∈A，則.
1．若，則實數（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
2．下列四組對象能構成集合的是（ ）
A．某班所有高個子學生 B．某校足球隊的同學
C．一切很大的書 D．著名的藝術家
3．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，且，則等于（ ）
A． B． C． D．或
5．把下列集合用另一種方法表示出來：
（1）；
（2）；
1.已知集合，若，求實數的值.
一、單選題
1．已知集合，，則集合中的元素的個數為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．設集合，則下列集合中與集合相等的是（ ）
A． B． C． D．
3．設集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，則C中元素的個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知集合只有一個元素，則的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
5．下列集合中，結果是空集的是( )
A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}
二、填空題
6．若集合中有且僅有一個元素，則k的值為___________.
7．已知集合，用列舉法表示集合，則__________.
8．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且僅有兩個子集，則a的值是________.
9．已知集合，且，則_________．
10．設集合，若且，則實數的取值范圍是________
三、解答題
11．已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范圍；
（2）若A中只有一個元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一個元素，求的取值范圍
12．若集合A中含有三個元素，，，且，求實數a的值.
13．已知集合．
（1）若中只有一個元素，求的值；
（2）若中至少有一個元素，求的取值范圍；
（3）若中至多有一個元素，求的取值范圍.
14．設數集由實數構成，且滿足：若(且)，則.
（1）若，試證明中還有另外兩個元素；
（2）集合是否為雙元素集合，并說明理由.
專題12 集合的概念與表示
1、了解集合的含義； 2、理解集合中元素與集合的關系； 3、掌握集合的表示方法，并能用圖形、符號刻畫集合； 4、能夠用不同的方法表示一些簡單集合。
一、元素與集合的基本概念：
集合：一般地，一定范圍內某些確定的、不同的對象的全體組成一個集合.
元素：集合中的每一個對象稱為該集合的元素.
元素的特性:確定性、無序性、互異性
二、集合中元素與集合的關系
概念 關系 記法 讀法
如果是集合中中的元素 屬于 屬于
如果a不是集合中A中的元素 不屬于 不屬于
三、常用數集的符號表示：
特別地,全體自然數組成的集合,叫作自然數集,記作；
全體正整數組成的集合,叫作正整數集,記作或；
全體整數組成的集合,叫作整數集,記作；
全體有理數組成的集合,叫作有理數集,記作；
全體實數組成的集合,叫.
例題1．下列各對象可以組成集合的是（ ）
A．與1非常接近的全體實數
B．某校2015-2016學年度笫一學期全體高一學生
C．高一年級視力比較好的同學
D．與無理數相差很小的全體實數
【答案】B
【分析】
根據集合定義與性質一一判斷即可.
【詳解】
A中對象不確定，故錯；B中對象可以組成集合；C中視力比較好的對象不確定，故錯；D中相差很小的對象不確定，故錯.
故選：B
例題2.已知集合，且，則集合_____.
【答案】
【分析】
根據，分類討論，結合集合中元素的互異性，即可求解.
【詳解】
由題意，集合，且，
若，可得，此時集合不滿足集合中元素的互異性，（舍去）；
若，可得或（舍去），
當時，可得，即.
故答案為：.
例題3.用適當的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理數組成的集合．
（2）24的正因數組成的集合．
（3）自然數的平方組成的集合．
（4）由0，1，2這三個數字抽出一部分或全部數字(沒有重復)所組成的自然數組成的集合．
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析．
【分析】
（1）集合有無限個元素，利用描述法求解；
（2）集合中元素較少，利用列舉法求解；
（3）集合有無限個元素，利用描述法求解；
（4）集合中元素較少，利用列舉法求解；
【詳解】
（1）用描述法表示為{x|2（2）用列舉法表示為{1，2，3，4，6，8，12，24}．
（3）用描述法表示為{x|x=n2，n∈N}．
（4）用列舉法表示為{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．
例題4.設A是由一些實數構成的集合，若a∈A，則 ∈A，且1 A，
（1）若3∈A，求A.
（2）證明:若a∈A，則.
【答案】（1）;（2）證明見解析.
【分析】
根據題意求依次求解即可.
【詳解】
(1)因為3∈A，
所以，
所以，
所以，
所以.
(2)因為a∈A，
所以，
所以.
1．若，則實數（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
【答案】C
【分析】
根據集合的確定性，互異性，即可求得答案.
【詳解】
因為，根據集合性質可得：.
故選：C
2．下列四組對象能構成集合的是（ ）
A．某班所有高個子學生 B．某校足球隊的同學
C．一切很大的書 D．著名的藝術家
【答案】B
【分析】
根據集合的定義，逐項判定，即可求解.
【詳解】
根據集合的定義，可得：
對于A中，某班所有高個子學生，其中元素不確定，不能構成集合；
對于B中，某校足球隊的同學，滿足集合的定義，能構成集合；
對于C中，一切很大的書，其中元素不確定，不能構成集合；
對于D中，著名的藝術家，其中元素不確定，不能構成集合.
故選：B.
3．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求得集合M，再根據元素與集合的關系，集合與集合的關系可得選項.
【詳解】
因為集合，所以，
故選：D.
4．已知集合，且，則等于（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】
轉化條件為或，驗證集合元素的互異性即可得解.
【詳解】
因為集合，且，
所以當即時，，不滿足集合中元素的互異性；
當時，解得或（舍），此時，滿足題意；
綜上，.
故選：B.
5．把下列集合用另一種方法表示出來：
（1）；
（2）；
【答案】（1）{且}；（2）.
【分析】
（1）根據集合中的元素都是偶數用描述法進行表示即可；
（2）用列舉法表示即可.
【詳解】
（1）因為集合中的元素都是偶數，
所以{且}；
（2）.
1.已知集合，若，求實數的值.
【答案】
【分析】
根據題意，可得或，然后根據結果進行驗證即可.
【詳解】
由題可知：集合，
所以或，則或
當時，，不符合集合元素的互異性，
當時，，符合題意
所以
【點睛】
本題考查元素與集合的關系求參數，考查計算能力，屬基礎題.
一、單選題
1．已知集合，，則集合中的元素的個數為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】
由題知以，即，故，進而得答案.
【詳解】
解：因為，，
所以，即
所以，
故，即集合中的元素的個數為個.
故選：C
2．設集合，則下列集合中與集合相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據集合相等的定義判斷選項.
【詳解】
兩個集合的元素相同，兩個集合相等，集合中有2個元素，分別是1和2，所以與集合相等的集合是.
故選：C
3．設集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，則C中元素的個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
直接求出集合C即可.
【詳解】
集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，
所以C={5，6，7,8}.
即C中元素的個數為4.
故選：B.
4．已知集合只有一個元素，則的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
對參數分類討論，結合判別式法得到結果.
【詳解】
解：①當時，，此時滿足條件；
②當時，中只有一個元素的話，，解得，
綜上，的取值集合為，．
故選：D．
5．下列集合中，結果是空集的是( )
A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}
【答案】D
【分析】
分析是否有元素在各選項的集合中，再作出判斷.
【詳解】
A選項：，不是空集；B選項：{x|x>6或x<1}，不是空集；
C選項：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D選項：不存在既大于6又小于1的數，
即：{x|x>6且x<1}=.
故選：D
二、填空題
6．若集合中有且僅有一個元素，則k的值為___________.
【答案】0或1
【分析】
轉化為求方程有且僅有一個解的條件，分k=0和k≠0，利用一次方程和二次方程的解的個數的判定方法求解.
【詳解】
當k=0時，方程為2x+1=0,有且只有一解，符合題意；
當k≠0時，方程有且僅有一個解等價于,解得k=1,
故答案為：0或1.
7．已知集合，用列舉法表示集合，則__________.
【答案】
【分析】
根據集合的描述法即可求解.
【詳解】
,
故答案為：
8．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且僅有兩個子集，則a的值是________.
【答案】0或±1
【分析】
依題意可得出集合A為單元素集合，進而轉化為方程ax2+2x+a=0僅有一根，再分a=0和 a≠0兩種情況討論可得最后結果.
【詳解】
因為A有且僅有兩個子集，所以A僅有一個元素，即方程ax2+2x+a=0僅有一根，當a=0時，方程化為2x=0，A={0}，符合題意；當a≠0時，Δ=4-4a2=0，解得a=±1. 此時A={-1}或{1}，符合題意. 綜上所述a=0或a=±1.
故答案為：0或±1.
9．已知集合，且，則_________．
【答案】-3
【分析】
由集合，，，且，得或，由此能求出結果．
【詳解】
解：集合，，，且，
或，
解得，或，
當時，，，，不合題意，
當時，，，，符合題意．
綜上，．
故答案為：.
10．設集合，若且，則實數的取值范圍是________
【答案】
【分析】
直接根據元素和集合之間的關系求解即可．
【詳解】
解：因為集合，若且，
且；解得；
故答案為：．
三、解答題
11．已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范圍；
（2）若A中只有一個元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一個元素，求的取值范圍
【答案】（1）；（2）當時，；當時，；（3）.
【分析】
（1）方程ax2﹣3x+2＝0無解，則，根據判別式即可求解；
（2）分a＝0和a≠0討論即可；
（3）綜合（1）（2）即可得出結論.
【詳解】
（1）若A是空集，則方程ax2﹣3x+2＝0無解此時 ＝9-8a＜0即a
所以的取值范圍為
（2）若A中只有一個元素
則方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一個實根
當a＝0時方程為一元一次方程，滿足條件
當a≠0，此時＝9﹣8a＝0，解得：a
∴a＝0或a
當時，；當時，
（3）若A中至多只有一個元素，則A為空集，或有且只有一個元素
由（1），（2）得滿足條件的a的取值范圍是.
12．若集合A中含有三個元素，，，且，求實數a的值.
【答案】或.
【分析】
由已知得或或，解之可求得實數a的值，代入集合中檢驗是否滿足元素的互異性，可得答案.
【詳解】
①若，則，此時，滿足題意.
②若，則，此時，不滿足元素的互異性.
③若，則.當時，，滿足題意；當時，由②知不合題意.
綜上可知或.
13．已知集合．
（1）若中只有一個元素，求的值；
（2）若中至少有一個元素，求的取值范圍；
（3）若中至多有一個元素，求的取值范圍.
【答案】（1）或；（2）；（3）或.
【分析】
根據集合中元素的個數以及方程的解即可確定的取值范圍.
【詳解】
解：（1）若中只有一個元素，
則當時，原方程變為，此時符合題意，
當時，方程為二元一次方程，，即，
故當或時，原方程只有一個解；
（2）中至少有一個元素，
即中有一個或兩個元素，
由得綜合（1）當時中至少有一個元素；
（3）中至多有一個元素，
即中有一個或沒有元素
當，
即時原方程無實數解，
結合（1）知當或時中至多有一個元素.
【點睛】
關鍵點點睛：本題解題的關鍵是理解集合中的元素與方程的根之間的關系.
14．設數集由實數構成，且滿足：若(且)，則.
（1）若，試證明中還有另外兩個元素；
（2）集合是否為雙元素集合，并說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）不是雙元素集合，理由見解析.
【分析】
（1）根據，則，由求解.
（2）根據，，進行遞推求解.
【詳解】
（1）∵若，則，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴中另外兩個元素分別為-1，.
（2）∵，，
∴，且，，，
所以集合中至少有3個元素，
所以集合A不是雙元素集合.

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