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第一講 數與式的運算
在初中，我們已學習了實數，知道字母可以表示數用代數式也可以表示數，我們把實數和代數式簡稱為數與式．代數式中有整式（多項式、單項式）、分式、根式．它們具有實數的屬性，可以進行運算．在多項式的乘法運算中，我們學習了乘法公式（平方差公式與完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多項式的運算簡便．由于在高中學習中還會遇到更復雜的多項式乘法運算，因此本節中將拓展乘法公式的內容，補充三個數和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的運算中，我們已學過被開方數是實數的根式運算，而在高中數學學習中，經常會接觸到被開方數是字母的情形，但在初中卻沒有涉及，因此本節中要補充．基于同樣的原因，還要補充“繁分式”等有關內容．
一、乘法公式
【公式1】
證明：
等式成立
【例1】計算：
解：原式=
說明：多項式乘法的結果一般是按某個字母的降冪或升冪排列．
【公式2】(立方和公式)
證明:
說明:請同學用文字語言表述公式2.
【例2】計算：
解：原式=
我們得到：
【公式3】(立方差公式)
請同學觀察立方和、立方差公式的區別與聯系，公式1、2、3均稱為乘法公式．
【例3】計算：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
說明：（1）在進行代數式的乘法、除法運算時，要觀察代數式的結構是否滿足乘法公式的結構．
（2）為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、…、20的平方數和1、2、3、4、…、10的立方數，是非常有好處的．
【例4】已知，求的值．
解：
原式=
說明：本題若先從方程中解出的值后，再代入代數式求值，則計算較煩瑣．本題是根據條件式與求值式的聯系，用整體代換的方法計算，簡化了計算．請注意整體代換法．本題的解法，體現了“正難則反”的解題策略，根據題求利用題知，是明智之舉．
【例5】已知，求的值．
解：
原式=
①
②，把②代入①得原式=
說明：注意字母的整體代換技巧的應用．
引申：同學可以探求并證明：
二、根式
式子叫做二次根式，其性質如下：
(1) (2)
(3) (4)
【例6】化簡下列各式：
(1) (2)
解：(1) 原式=
(2) 原式=
說明：請注意性質的使用：當化去絕對值符號但字母的范圍未知時，要對字母的取值分類討論．
【例7】計算(沒有特殊說明，本節中出現的字母均為正數)：
(1) (2) (3)
解：(1) 原式=
(2) 原式=
(3) 原式=
說明：(1)二次根式的化簡結果應滿足：①被開方數的因數是整數，因式是整式；②被開方數不含能開得盡方的因數或因式．
(2)二次根式的化簡常見類型有下列兩種：①被開方數是整數或整式．化簡時，先將它分解因數或因式，然后把開得盡方的因數或因式開出來；②分母中有根式(如)或被開方數有分母(如)．這時可將其化為形式(如可化為) ，轉化為 “分母中有根式”的情況．化簡時，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個根式進行化簡．(如化為，其中與叫做互為有理化因式)．
【例8】計算：
(1) (2)
解：(1) 原式=
(2) 原式=
說明：有理數的的運算法則都適用于加法、乘法的運算律以及多項式的乘法公式、分式二次根式的運算．
【例9】設，求的值．
解：
原式=
說明：有關代數式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當直接代入運算較復雜時，可根據結論的結構特點，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量．
三、分式
當分式的分子、分母中至少有一個是分式時，就叫做繁分式，繁分式的化簡常用以下兩種方法：(1) 利用除法法則；(2) 利用分式的基本性質．
【例10】化簡
解法一：原式=
解法一：原式=
說明：解法一的運算方法是從最內部的分式入手，采取通分的方式逐步脫掉繁分式，解法二則是利用分式的基本性質進行化簡．一般根據題目特點綜合使用兩種方法．
【例11】化簡
解：原式=
說明：(1) 分式的乘除運算一般化為乘法進行，當分子、分母為多項式時，應先因式分解再進行約分化簡；(2) 分式的計算結果應是最簡分式或整式．
A 組
1．二次根式成立的條件是( )
A． B． C． D．是任意實數
2．若，則的值是( )
A．－３ B．３ C．－９ D．９
3．計算：
(1) (2)
(3) (4)
4．化簡(下列的取值范圍均使根式有意義)：
(1) (2)
(3) (4)
5．化簡：
(1) (2)
B 組
1．若，則的值為( )：
A． B． C． D．
2．計算：
(1) (2)
3．設，求代數式的值．
4．當，求的值．
5．設、為實數，且，求的值．
6．已知，求代數式的值．
7．設，求的值．
8．展開
9．計算
10．計算
11．化簡或計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
第一講 習題答案
A組
1． C 2． A
3． (1) (2)
(3) (4)
4．
5．
B組
1． D 2． 3．
4． 5． 6． 3 7．
8．
9．
10．
11．
練 習
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