資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第13講 二次函數的圖象與系數之間的關系
·模塊一 拋物線y=ax +bx+c與系數之間的關系
·模塊二 課后作業
拋物線y=ax +bx+c與各項系數之間的關系：
（1）a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小；
（2）b的符號的判定：對稱軸在y軸左邊則ab＞0，在y軸的右側則ab＜0，概括的說就是“左同右異”；
（3）c決定了拋物線與y軸交點的位置：
系數 字母的符號 圖象的特征
a a＞0 開口向上
a＜0 開口向下
b b＝0 對稱軸為y軸
ab＞0(a與b同號) 對稱軸在y軸左側
ab＜0(a與b異號) 對稱軸在y軸右側
c c＝0 經過原點
c＞0 與y軸正半軸相交
c＜0 與y軸負半軸相交
【例1.1】（2023九年級·山東青島·期末）二次函數（）的圖象如圖所示，對稱軸是直線，下列結論：①；②方程（）必有一個根大于2且小于3；③若，是拋物線上的兩點，那么；④；⑤對于任意實數，都有，其中正確的結論是 ．
【例1.2】（2023九年級·福建泉州·期末）拋物線（a，c是常數且，）經過點．
下列四個結論：
①該拋物線一定經過點；
②；
③若點，在該拋物線上，，則的取值范圍為：
④若是方程的兩個根，其中，則．
其中正確的是 ．（填寫序號）
【例1.3】（2023九年級·江蘇無錫·階段練習）如圖，拋物線與軸交于點，其對稱軸為直線，結合圖象分析下列結論：①；②；③當時，隨的增大而增大；④一元二次方程的兩根分別為，；⑤；⑥若，為方程的兩個根，則且，其中正確的結論有 ．（填序號）
【變式1.1】（2023九年級·湖北咸寧·階段練習）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點坐標為（﹣2，﹣9a），下列結論：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為﹣8．其中正確結論的是 ．
【變式1.2】（2023·山東泰安·一模）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點(﹣1，0)，對稱軸為直線x＝2，下列結論：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若點A(﹣3，y1)、點B(﹣，y2)、點C(7，y3)在該函數圖象上，則y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根為x1和x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1＜5＜x2，其中正確的結論有 ．
【變式1.3】（2023九年級·湖北武漢·期末）已知二次函數（，為常數且）經過，且，下列結論： ； ；若關于的方程有整數解，則符合條件的的值有個；當時，二次函數的最大值為，則.
其中一定正確的有 .（填序號即可）
1．（2023·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線（a、b、c為常數，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，與軸的交點在，之間（不含端點），則下列結論正確的有多少個（ ）
①；
②；
③；
④若方程兩根為，則．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·山東青島·一模）已知二次函數的圖象與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列結論中：①；②若點，，均在該二次函數圖象上，則；③方程的兩個實數根為，且，則，；④若為任意實數，則．正確結論的序號為（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
3．（2023九年級·廣東廣州·開學考試）如圖，二次函數的圖象過點，對稱軸為直線 ．有以下結論：①；②；③ （為任意實數）；④若 是拋物線上的兩點，當 時，；⑤若方程 的兩根為 且 ，則．
其中正確的結論有（ ）個
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023九年級·河南平頂山·期末）二次函數(a，b，c是常數，)的自變量x與函數值y的部分對應值如下表：
… 0 1 2 …
… …
且當時，其對應的函數值．有下列結論：①；②對稱軸為；③和3是關于x的方程的兩個根；④其中，正確結論的個數是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2023·新疆·一模）已知二次函數的圖象與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線．下列結論中：①；②若點，，均在該二次函數圖象上，則；③若m為任意實數，則；④方程的兩實數根為，，且，則，、正確結論的序號為（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
6．（2023·廣東廣州·一模）已知二次函數的函數值和自變量的部分對應取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
若，則下列結論：①；②若方程的兩個實數根為、，則；③；④的最大值為．其中正確的結論是（ ）．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
7．（2023九年級·天津·期中）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為D（﹣1，2），與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2：④方程ax2+bx+c﹣2＝0有兩個相等的實數根．其中正確結論的個數為（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
8．（2023九年級·重慶江津·期末）如圖，二次函數圖象的對稱軸是直線，直線經過二次函數圖象的頂點，下列結論：①；②；③若點，在二次函數的圖象上，則；④是方程的一個根，正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
9．（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，拋物線的頂點在直線上，對稱軸為直線；下列結論：①；②；③；④若方程（為常數）有四個根，分別為，則．其中正確結論的個數是（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
10．（2023九年級·湖北孝感·期中）如圖，已知開口向下的拋物線與軸交于點，對稱軸為直線．則下列結論正確的有（ ）
① ②
③方程的兩個根為
④拋物線上有兩點和，若且，則．
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
11．（2023·黑龍江齊齊哈爾·二模）如圖，拋物線交x軸于，，交y軸負半軸于點C，頂點為D，下列結論：①；②；③若方程的兩根分別為m，n，則；④當是等腰直角三角形時，；⑤拋物線上有兩點、，且，若，則．正確的有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．（2023·湖北咸寧·模擬預測）二次函數（a，b，c是常數，且）的自變量x與函數值y的部分對應值如下表：
x … －1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且當時，對應的函數值，有以下結論：
①； ②當時y隨x的增大而增大；
③關于x的方程有異號兩實根的，而且負實數根在和0之間；
④；其中正確的結論是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
13．（2023九年級·山東濟南·期末）已知二次函數圖像的一部分如圖，以下結論：①；②當時，函數有最大值；③方程的解是，；④．其中正確的有 個．
14．（2023九年級·廣東廣州·期中）如圖，二次函數的圖象與正比例函數的圖象相交于，兩點，已知點的橫坐標為，點的橫坐標為2，二次函數圖象的對稱軸是直線．下列結論：①；②；③；④關于的方程的兩根為，．其中正確的是 ．（只填寫序號）

15．（2023九年級·廣西玉林·期中）在平面直角坐標系中，如圖是二次函數（）的圖象的一部分，給出下列命題：①；②；③方程的兩根分別為和；④；⑤．其中正確的命題是 ．
16．（2023九年級·湖北武漢·期末）二次函數（，，均為常數，且）的圖像經過點，點 ，則下列結論：
①；
②；
③若點，在拋物線上，若，則；
④若關于的方程沒有實數根，則．
其中結論正確的序號是 ．中小學教育資源及組卷應用平臺
第13講 二次函數的圖象與系數之間的關系
·模塊一 拋物線y=ax +bx+c與系數之間的關系
·模塊二 課后作業
拋物線y=ax +bx+c與各項系數之間的關系：
（1）a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小；
（2）b的符號的判定：對稱軸在y軸左邊則ab＞0，在y軸的右側則ab＜0，概括的說就是“左同右異”；
（3）c決定了拋物線與y軸交點的位置：
系數 字母的符號 圖象的特征
a a＞0 開口向上
a＜0 開口向下
b b＝0 對稱軸為y軸
ab＞0(a與b同號) 對稱軸在y軸左側
ab＜0(a與b異號) 對稱軸在y軸右側
c c＝0 經過原點
c＞0 與y軸正半軸相交
c＜0 與y軸負半軸相交
【例1.1】（2023九年級·山東青島·期末）二次函數（）的圖象如圖所示，對稱軸是直線，下列結論：①；②方程（）必有一個根大于2且小于3；③若，是拋物線上的兩點，那么；④；⑤對于任意實數，都有，其中正確的結論是 ．
【答案】①②⑤
【分析】①根據函數圖象分別判斷a、b、c的正負，求出的正負；
②將方程轉化為函數與x軸的交點，利用已知交點和對稱軸找出另一交點的范圍；
③根據二次函數圖象的性質：當圖象開口向上，離對稱軸越近的點y值越小；
④用a來表示改變函數解析式，根據圖象，令，得到，即，因為，所以得出；
⑤化簡不等式，用a表示b，根據及不等式的性質得到只含有m的不等式，解不等式即可．
【詳解】解：①根據圖象可知，
∵對稱軸是直線，
，即，，．故①正確．
②方程，即為二次函數與x軸的交點，
根據圖象已知一個交點，關于對稱，
∴另一個交點．
故②正確．
③∵對稱軸是直線，
，
∴點離對稱軸更近，，
故③錯誤．
④，，，
根據圖象，令，，，，，
故④錯誤．
⑤，，
即證：，，
∴m為任意實數，恒成立．
故⑤正確．
綜上①②⑤正確．
【點睛】本題以二次函數為背景考查了二次函數圖象與系數的關系，考察查學生在函數圖象中數形結合的能力．運用待定系數法，二次函數圖象與x軸的交點，利用圖象求出a、b、c的范圍以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解決問題關鍵．這類題型是中考常考題，很有參考價值．
【例1.2】（2023九年級·福建泉州·期末）拋物線（a，c是常數且，）經過點．
下列四個結論：
①該拋物線一定經過點；
②；
③若點，在該拋物線上，，則的取值范圍為：
④若是方程的兩個根，其中，則．
其中正確的是 ．（填寫序號）
【答案】①②④
【分析】本題考查了二次函數的性質及數形結合思想，掌握二次函數的基本性質并會靈活應用是解題的關鍵．
根據題意確定拋物線的對稱軸，再根據圖象與系數的關系逐個判斷即可．
【詳解】解：①拋物線經過點，
，
，
當時，，
該拋物線一定經過，
故此項正確；
②由①得：，
，
，
，
，
，
，
故此項正確；
③拋物線的對稱軸為直線，
，
當時，
，
解得，或，
故此項錯誤．
④拋物線，對稱軸為直線，
拋物線經過點，，
∵是方程的兩個根，其中，，
所以兩個根就是拋物線與直線交點的橫坐標，
，
∴，
故此項正確，
故答案為：①②④．
【例1.3】（2023九年級·江蘇無錫·階段練習）如圖，拋物線與軸交于點，其對稱軸為直線，結合圖象分析下列結論：①；②；③當時，隨的增大而增大；④一元二次方程的兩根分別為，；⑤；⑥若，為方程的兩個根，則且，其中正確的結論有 ．（填序號）
【答案】①②④⑤⑥
【分析】利用二次函數圖象與系數的關系，結合圖象依次對各結論進行判斷．
【詳解】解：拋物線與軸交于點，其對稱軸為直線
拋物線與軸交于點和，且
由圖象知：，，
故結論①正確；
拋物線與軸交于點
故結論②正確；
當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小
結論③錯誤；
，
拋物線與軸交于點和
的兩根是和2
，
即為：，解得，；
故結論④正確；
當時，
故結論⑤正確；
拋物線與軸交于點和，
，為方程的兩個根
，為方程的兩個根
，為函數與直線的兩個交點的橫坐標
結合圖象得：且
故結論⑥成立；
故答案為：①②④⑤⑥
【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數，二次項系數決定拋物線的開口方向和大小：當時，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；一次項系數和二次項系數共同決定對稱軸的位置：當與同號時（即，對稱軸在軸左； 當與異號時（即，對稱軸在軸右；常數項決定拋物線與軸交點位置：拋物線與軸交于；拋物線與軸交點個數由△決定：△時，拋物線與軸有2個交點；△時，拋物線與軸有1個交點；△時，拋物線與軸沒有交點．
【變式1.1】（2023九年級·湖北咸寧·階段練習）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點坐標為（﹣2，﹣9a），下列結論：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為﹣8．其中正確結論的是 ．
【答案】②③④
【分析】根據拋物線圖象判斷參數符號判斷①，由頂點坐標可得b＝4a、c＝﹣5a，進而判斷②；由方程有兩個根和，且，即可判斷③；討論，結合根與系數關系求四個根的和判斷④．
【詳解】解：∵拋物線的開口向上，則a＞0，對稱軸在y軸的左側，則b＞0，交y軸的負半軸，則c＜0，
∴abc＜0，①錯誤；
∵拋物線的頂點坐標（﹣2，﹣9a），
∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，
∴b＝4a，c＝﹣5a，
∴拋物線的解析式為，
∴16a﹣4b+c＝16a﹣16a﹣5a＝﹣5a＜0，②正確；
∵拋物線交x軸于（﹣5，0），（1．0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個根和，且，則，③正確；
若方程有四個根，設方程的兩根分別為，
則＝﹣2，可得，
設方程的兩根分別為，則＝﹣2，可得，
所以這四個根的和為﹣8，④正確．
故答案為：②③④．
【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數，二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小．當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置．當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．常數項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點個數由△決定：時，拋物線與x軸有2個交點；時，拋物線與x軸有1個交點；時，拋物線與x軸沒有交點，熟練掌握二次函數圖像與系數的關系是解題的關鍵．
【變式1.2】（2023·山東泰安·一模）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點(﹣1，0)，對稱軸為直線x＝2，下列結論：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若點A(﹣3，y1)、點B(﹣，y2)、點C(7，y3)在該函數圖象上，則y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根為x1和x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1＜5＜x2，其中正確的結論有 ．
【答案】（1）（2）（5）
【分析】根據拋物線的對稱軸為直線x＝2，則有4a+b＝0，可得（1）正確；根據二次函數的對稱性得到當x＝3時，函數值大于0，則9a+3b+c＞0，即9a+c＞﹣3b，可得（2）正確；由于x＝﹣1時，y＝0，則a﹣b+c＝0，易得c＝﹣5a，所以8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，再根據拋物線開口向下得a＜0，于是有7a﹣3b+2c＜0，可得（3）錯誤；利用拋物線的對稱性得到（﹣3，y3）在拋物線上，然后利用二次函數的增減性可得（4）錯誤；作出直線y＝﹣3，然后依據函數圖象進行判斷可得（5）正確；綜上即可得答案．
【詳解】∵x＝﹣＝2，
∴4a+b＝0，故（1）正確．
∵拋物線與x軸的一個交點為（-1，0），對稱軸為直線x=2，
∴另一個交點為（5，0），
∵拋物線開口向下，
∴當x＝3時，y＞0，即9a+3b+c＞0，
∴9a+c＞﹣3b，故（2）正確．
∵拋物線與x軸的一個交點為（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0
∵b＝﹣4a，
∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a，
∴7a﹣3b+2c＝7a+12a﹣10a＝9a，
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∴7a﹣3b+2c＜0，故（3）錯誤；
∵拋物線的對稱軸為x＝2，C（7，y3）在拋物線上，
∴點（﹣3，y3）與C（7，y3）關于對稱軸x＝2對稱，
∵A(﹣3，y1)在拋物線上，
∴y1=y3，
∵﹣3＜﹣，在對稱軸的左側，拋物線開口向下，
∴y隨x的增大而增大，
∴y1＝y3＜y2，故（4）錯誤．
方程a（x+1）（x﹣5）＝0的兩根為x＝﹣1或x＝5，
過y＝﹣3作x軸的平行線，直線y＝﹣3與拋物線的交點的橫坐標為方程的兩根，
∵x1＜x2，拋物線與x軸交點為（-1，0），（5，0），
∴依據函數圖象可知：x1＜﹣1＜5＜x2，故⑤正確．
故答案為：（1）（2）（5）
【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小，當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置，當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數由△決定，△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
【變式1.3】（2023九年級·湖北武漢·期末）已知二次函數（，為常數且）經過，且，下列結論： ； ；若關于的方程有整數解，則符合條件的的值有個；當時，二次函數的最大值為，則.
其中一定正確的有 .（填序號即可）
【答案】/////
【分析】本題考查了二次函數的性質，當時，，則，根據得，根據，得，根據得，則，即可判斷正確，根據，得，即可得點在軸的下方，根據拋物線的對稱軸為直線，，得拋物線與直線交點的橫坐標為整數的有，則關于x的方程有整數解，則符合條件的的值有個，故正確；根據拋物線對稱軸為直線，與軸的交點為，得拋物線過，根據當時，二次函數的最大值為得或，即可得；熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：二次函數，當時，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
∴正確，
∵，，
∴，
∴點在軸的下方，
∵拋物線的對稱軸為直線，，，
∴拋物線與直線交點的橫坐標為整數的有，
∴關于的方程有整數解，則符合條件的的值有個，
故正確；
∵拋物線對稱軸為直線，與軸的交點為，
∴拋物線過，
∵當時，二次函數的最大值為，且，
∴，
∴，
故錯誤，
綜上，正確，
故答案為：．
1．（2023·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線（a、b、c為常數，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，與軸的交點在，之間（不含端點），則下列結論正確的有多少個（ ）
①；
②；
③；
④若方程兩根為，則．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題主要考查二次函數和一次函數的性質，根據題干可得，，，即可判斷①錯誤；根據對稱軸和一個交點求得另一個交點為，即可判斷②錯誤；將c和b用a表示，即可得到，即可判斷③正確；結合拋物線和直線與軸得交點，即可判斷④正確．
【詳解】解：由圖可知，
∵拋物線的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，
∴，，
則，
∵拋物線與軸的交點在，之間，
∴，
則，故①錯誤；
設拋物線與軸另一個交點，
∵對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，
∴，解得，
則，故②錯誤；
∵，，，
∴，解得，故③正確；
根據拋物線與軸交于點和，直線過點和，如圖，
方程兩根為滿足，故④正確；
故選：B．
2．（2023·山東青島·一模）已知二次函數的圖象與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列結論中：①；②若點，，均在該二次函數圖象上，則；③方程的兩個實數根為，且，則，；④若為任意實數，則．正確結論的序號為（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
【答案】B
【分析】本題考查根據二次函數圖象判斷式子符號，二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是掌握二次函數的圖象與性質，熟練運用數形結合思想．
首先對稱性的得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為，然后畫出示意圖，將代入解析式根據圖象即可判斷①；根據題意得到，進而可判斷②；根據題意畫出直線的圖象，然后根據圖象即可判斷③；首先有對稱軸得到，然后將代入解析式得到，進而得到，然后由時，y有最大值，即可判斷④．
【詳解】解：∵二次函數的圖象與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，
∴開口向下，拋物線與x軸的另一個交點坐標為，
∴畫出示意圖如下，
∴當時，，故①正確；
∵
∴，故②錯誤；
如圖所示，拋物線和直線有兩個交點，
∴方程的兩個實數根為，，且，
∴，，故③正確；
∵對稱軸為直線，
∴
∴
∵二次函數的圖象與軸的一個交點坐標為，
∴
∴
∴
∴
∵拋物線開口向下，對稱軸為
∴當時，y有最大值
∴若為任意實數，，故④正確．
綜上可知，正確的有①③④，
故選B．
3．（2023九年級·廣東廣州·開學考試）如圖，二次函數的圖象過點，對稱軸為直線 ．有以下結論：①；②；③ （為任意實數）；④若 是拋物線上的兩點，當 時，；⑤若方程 的兩根為 且 ，則．
其中正確的結論有（ ）個
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的圖象及性質、二次函數的圖象與系數間的關系，利用二次函數的圖象及性質和二次函數的圖象與系數間的關系逐一判斷及可求解，熟練掌握二次函數的圖象及性質是解題的關鍵．
【詳解】解：由圖象可知，，，，
，
，故①錯誤；
拋物線的對稱軸為，
，即：，
當時，，
，
，
，
，
，
，故②正確；
由圖象可知，當時，函數值最小，
（為任意實數），
，故③正確；
是拋物線上的兩個點，
由拋物線的對稱性可知：，
當時，
，故④正確；
圖象過點，對稱軸為直線，
拋物線與軸的另外一個交點為，
，
若方程，
即的兩根為，，
則，為拋物線與直線的兩個交點的橫坐標，
，
，故⑤錯誤，
則正確的個數有3個，
故選：B．
4．（2023九年級·河南平頂山·期末）二次函數(a，b，c是常數，)的自變量x與函數值y的部分對應值如下表：
… 0 1 2 …
… …
且當時，其對應的函數值．有下列結論：①；②對稱軸為；③和3是關于x的方程的兩個根；④其中，正確結論的個數是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】①根據表中數據判斷的正負即可；②根據，，，，可得對稱軸為直線；③根據對稱軸為直線，再根據二次函數的對稱性得出結論；④把和代入拋物線解析式求出的值，再根據的取值范圍得出結論．
【詳解】解：①當時，，
當時，，
，
，
，
故①正確；
②根據，，，，可得對稱軸為直線；
故②錯誤；
③對稱軸為直線
時則時，
和是關于的方程的兩個根；
故③正確
④，，
，
，
當時，其對應的函數值
，故④錯誤；
故選：C．
【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質；熟練掌握二次函數圖象上點的特征，能夠從表格中獲取信息確定出對稱軸是解題的關鍵．
5．（2023·新疆·一模）已知二次函數的圖象與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線．下列結論中：①；②若點，，均在該二次函數圖象上，則；③若m為任意實數，則；④方程的兩實數根為，，且，則，、正確結論的序號為（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【分析】
本題考查二次函數圖象與系數的關系，由拋物線經過可判斷①，由各點到拋物線對稱軸的距離大小可判斷從而判斷②，由時y取最大值可判斷③，由拋物線的對稱性可得拋物線與x軸交點坐標，從而判斷④．
【詳解】解：∵拋物線經過，代入，
得：，故①正確，
∵，
∴拋物線開口向下，
點，，均在該二次函數圖象上，且點到對稱軸的距離最大，點到對稱軸的距離最小，
∴，故②錯誤，
∵
∴，
∵
∴，
∵拋物線的最大值為，
∴若m為任意實數，則
，
∴，故③正確；
∵方程有兩實數根為，，
∴拋物線與直線的交點的橫坐標為，，
由拋物線對稱性可得拋物線x軸另一交點坐標為，
∴拋物線與x軸交點坐標為，，
∵拋物線開口向下，
∴，，故④正確．
綜上①③④正確，
故選：B．
6．（2023·廣東廣州·一模）已知二次函數的函數值和自變量的部分對應取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
若，則下列結論：①；②若方程的兩個實數根為、，則；③；④的最大值為．其中正確的結論是（ ）．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，一元二次方程根和系數的關系，掌握二次函數的性質是解題關鍵．先得出拋物線對稱軸為，進而得到，再根據時的函數值，得出，再分別表示出、，列出不等式組求出的取值范圍，即可判斷結論；根據一元二次方程根和系數的關系，即可判斷結論；根據，，即可判斷③結論；根據拋物線的對稱性可得，即可判斷④結論．
【詳解】解：由表格可知，拋物線對稱軸為，
，
，
當時，，
，
，
，，
，
，
或，
解得：或，①結論錯誤；
若方程的兩個實數根為、，
則，②結論正確；
，，
，③結論正確；
根據拋物線的對稱性可得，當和時的函數值相等，
，
，
，④結論錯誤；
即正確的結論是②③
故選：B．
7．（2023九年級·天津·期中）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為D（﹣1，2），與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2：④方程ax2+bx+c﹣2＝0有兩個相等的實數根．其中正確結論的個數為（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】利用拋物線與x軸有2個交點和判別式的意義可對①進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點A在點（0，0）和（1，0）之間，則x＝1時，a﹣b+c＜0，則可對②進行判斷；由拋物線的對稱軸方程得到b＝2a，而x＝﹣1時，a﹣b+c＝2，則a﹣2a+c＝2，、于是可對③進行判斷；利用拋物線y＝ax2+bx+c的頂點D（﹣1，2），可得到拋物線與直線y＝2只有一個公共點，于是可對④進行判斷．
【詳解】解：∵拋物線與x軸有2個交點，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以①錯誤；
∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點D（﹣1，2），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，
而拋物線與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，
∴拋物線與x軸的另一個交點A在點（0，0）和（1，0）之間，
∴x＝1時，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x＝＝﹣1，
∴b＝2a，
∵x＝﹣1時，y＝2，
即a﹣b+c＝2，
∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正確；
∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點D（﹣1，2），
即x＝﹣1時，y有最大值2，
∴拋物線與直線y＝2只有一個公共點，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有兩個相等的實數根，所以④正確．
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數與系數的關系：對于二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小．當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數由△決定：Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
8．（2023九年級·重慶江津·期末）如圖，二次函數圖象的對稱軸是直線，直線經過二次函數圖象的頂點，下列結論：①；②；③若點，在二次函數的圖象上，則；④是方程的一個根，正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】根據拋物線開口向上可得，根據對稱軸為，可得，根據拋物線與軸的交點可得，進而判斷①，根據拋物線的對稱性可得當與時的函數值相等，進而可知時，函數值小于0，進而判斷②，根據拋物線的對稱性可得與時的函數值相等，進而根據在對稱軸右側時，隨的增大而增大，即判斷③，根據直線經過二次函數圖象的頂點，可得，進而可得，即可判斷④
【詳解】解：根據拋物線開口向上可得，對稱軸為，
，
拋物線與軸的交點可得，
故①正確；
對稱軸是直線，
當與時的函數值相等，
即
又
故②正確；
對稱軸是直線，
與時的函數值相等，
由
即
對稱軸右側時，隨的增大而增大，
又
故③不正確；
直線經過二次函數圖象的頂點，
即時，兩函數值相等
即
當時，方程，即
是方程的一個根
故④正確
故正確的有①②④，共3個
故選C
【點睛】本題考查了二次函數與一次函數綜合，二次函數圖象與系數之間的關系，二次函數的對稱性，掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．
9．（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，拋物線的頂點在直線上，對稱軸為直線；下列結論：①；②；③；④若方程（為常數）有四個根，分別為，則．其中正確結論的個數是（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查二次函數的性質．由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與軸交點可判斷①，由時，可判斷②，由拋物線的頂點在直線上可判斷③，由拋物線的對稱性可判斷④．
【詳解】∵拋物線開口向上，
∴，
∵拋物線對稱軸為直線，
∴，
∵拋物線與軸交點在軸下方，
∴，
∴，①正確．
由圖象可得時，，
∴，②錯誤．
將代入得，
將代入得，
∵拋物線頂點在直線上，
∴，
∴，③正確．
由拋物線對稱軸為直線可得函數的對稱軸為直線，
∴直線與函數圖象交點關于直線對稱，
∴，④正確．
故選：C．
10．（2023九年級·湖北孝感·期中）如圖，已知開口向下的拋物線與軸交于點，對稱軸為直線．則下列結論正確的有（ ）
① ②
③方程的兩個根為
④拋物線上有兩點和，若且，則．
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】此題考查二次函數圖像與系數的關系，二次函數的性質．根據拋物線開口方向及對稱軸的位置以及拋物線與y軸的交點的位置，可確定a，b，c的符號，由此可判斷①；根據拋物線的對稱軸為直線，以及拋物線與x軸的一個交點為，可得拋物線與x軸的另一個交點為，由此可判斷②；由拋物線與x軸交于點和，可得，，進而可得方程的兩根，由此可判斷③；由且，可得P點到對稱軸的距離小于Q點到對稱軸的距離，由此可判斷④．熟練掌握二次函數的圖像與性質，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．
【詳解】由拋物線的開口可知：，由拋物線與y軸的交點可知：，由拋物線的對稱軸可知：，
∴，
∴，
故①正確；
∵拋物線與x軸交于點，對稱軸為直線，
則另一個交點為，
∴時，
∴，故②正確；
∵拋物線與x軸交于點和，
∴的兩根為6和，
∴，，
則，，
∴方程可變為，
∵，
∴，
解得，，
故③不正確；
∵，
∴P、Q兩點分布在對稱軸的兩側，
∵，
∴，
即P點到對稱軸的距離小于Q點到對稱軸的距離，
∴，故④正確．
綜上，正確的有①②④，
故選：B．
11．（2023·黑龍江齊齊哈爾·二模）如圖，拋物線交x軸于，，交y軸負半軸于點C，頂點為D，下列結論：①；②；③若方程的兩根分別為m，n，則；④當是等腰直角三角形時，；⑤拋物線上有兩點、，且，若，則．正確的有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】依據題意，由拋物線交軸的負半軸于點，從而令，又對稱軸是直線，故可判斷①；拋物線過，從而，又，即，進而，最后可以判斷②；依據，代入方程，可化為，根據一元二次方程根與系數關系即可判斷③；由是等腰直角三角形，為頂點，從而，結合頂點為，對稱軸是直線，故，再由拋物線為，又拋物線過點，計算可以判斷④；根據，判斷出點在直線左側，點在直線右側，根據二次函數增減性即可判斷⑤．
【詳解】解：∵拋物線交軸的負半軸于點，開口向上，
∴令．
∵
∴對稱軸是直線，
∴．，
∴，故①錯誤．
∵拋物線過，
∴．
又，即，
∴．
∴，故②錯誤．
∵，
則可化為，即，
若方程的兩根分別為m，n，即方程的兩根分別為m，n，
則；故③正確；
是等腰直角三角形，
又為頂點，
∵拋物線交x軸于，，
故設頂點為，對稱軸是直線，
，
∴可設拋物線為，
又拋物線過點，
∴．
∴，故④正確．
因為，
所以點在直線左側，點在直線右側，
又因為，
則．
因為拋物線的對稱軸為直線，且開口向上，
所以，故⑤正確．
故選：C．
【點睛】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，熟知二次函數的圖象和性質及二次函數與一元二次方程之間的關系是解題的關鍵．
12．（2023·湖北咸寧·模擬預測）二次函數（a，b，c是常數，且）的自變量x與函數值y的部分對應值如下表：
x … －1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且當時，對應的函數值，有以下結論：
①； ②當時y隨x的增大而增大；
③關于x的方程有異號兩實根的，而且負實數根在和0之間；
④；其中正確的結論是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】①將點與點代入解析式可得到a、b互為相反數，，即可判斷；②先求出拋物線對稱軸為：，再根據當時，對應的函數值，函數過點與點，可以判斷拋物線開口向下，即，，即當時，y隨x的增大而增大，即當時y隨x的增大而增大；③函數過點且當時，對應的函數值，可知方程的正實數根在1和 之間，結合拋物線的對稱性可得關于的方程的負實數根在和0之間；④將點與點代入解析式得：，進而可得，再根據當時，對應的函數值，可得，解得，問題隨之得解.
【詳解】①將點與點代入解析式得：，
可得：，，
則a、b互為相反數，
∴，故①錯誤；
②∵a、b互為相反數，
∴拋物線對稱軸為：，
∵當時，對應的函數值，函數過點與點，
∴可以判斷拋物線開口向下，即，，
∴當時，y隨x的增大而增大，
即當時y隨x的增大而增大，
故②正確；
③∵函數過點且當時，對應的函數值，
∴方程的正實數根在1和之間，
∵拋物線對稱軸為：，
∴結合拋物線的對稱性可得關于的方程的負實數根在和0之間，
故③正確；
④∵將點與點代入解析式得：，
∵，
∴；
∴，
∵當時，對應的函數值，
∴,
∵，
∴，解得，
∴，
故④正確；
故選：C.
【點睛】本題主要考查二次函數的相關性質，解題的關鍵是能通過圖表所給的點以及題目的信息來判斷拋物線的開口方向以及對稱軸，結合二次函數的圖象的性質來解決對應的問題.
13．（2023九年級·山東濟南·期末）已知二次函數圖像的一部分如圖，以下結論：①；②當時，函數有最大值；③方程的解是，；④．其中正確的有 個．
【答案】3
【分析】根據函數圖像和二次函數的性質可以判斷各個小題中的結論是否正確，從而可以解答本題．
【詳解】由圖像可知：， ，，
∴，故①正確；
當時，函數有最大值，故②正確；
方程的解是，，故③正確；
∵對稱軸為直線，
∴，
∴，故④錯誤；
故答案為：3
【點睛】本題考查二次函數圖像與系數的關系、二次函數的最值、拋物線與軸的交點，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和數形結合的思想解答．
14．（2023九年級·廣東廣州·期中）如圖，二次函數的圖象與正比例函數的圖象相交于，兩點，已知點的橫坐標為，點的橫坐標為2，二次函數圖象的對稱軸是直線．下列結論：①；②；③；④關于的方程的兩根為，．其中正確的是 ．（只填寫序號）

【答案】①③④
【分析】依據題意，根據所給圖象可以得出 再結合對稱軸 同時令，從而由根與系數的關系，逐個判斷可以得解.
【詳解】由圖象可得， 又 ,
，
，
∴①正確；
由題意，令
，
又二次函數 的圖象與正比例函數的圖象相交于兩點，已知
點的橫坐標為 ， 點B的橫坐標為2，
的兩根之和為兩根之積為
，
，又 ，
，
，
∴②錯誤, ④正確.
，
，
∴③正確.
故答案為: ①③④.
【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質； 熟練掌握二次函數的圖象及性質是解題的關鍵.
15．（2023九年級·廣西玉林·期中）在平面直角坐標系中，如圖是二次函數（）的圖象的一部分，給出下列命題：①；②；③方程的兩根分別為和；④；⑤．其中正確的命題是 ．
【答案】③④⑤
【分析】由函數圖象可知，則可判定①；由拋物線的對稱軸為直線可判定②；根據拋物線的對稱性可直接判定③；由圖象可知拋物線與x軸有兩個交點，進而可判定④；由拋物線的頂點可進行判斷⑤．
【詳解】解：由圖象得：拋物線的對稱軸為直線，開口向上，與y軸的交點在y軸的負半軸上，
∴，，
∴，故①②錯誤；
由圖象可知拋物線與x軸的一個交點坐標為，根據拋物線的對稱性可知另一個交點的橫坐標為，
∴方程的兩根分別為和，故③正確；
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴，故④正確；
當x=1時，則有，
∵，
∴，故⑤正確；
綜上所述：正確的有③④⑤；
故答案為③④⑤．
【點睛】本題主要考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
16．（2023九年級·湖北武漢·期末）二次函數（，，均為常數，且）的圖像經過點，點 ，則下列結論：
①；
②；
③若點，在拋物線上，若，則；
④若關于的方程沒有實數根，則．
其中結論正確的序號是 ．
【答案】①③④
【分析】由且A、B兩點位于y軸兩側，可判斷①；由對稱軸為，可得，把代入拋物線的表達式中可判斷②；由可知可能在A、B之間，也可能在B點右側，而在B點右側，分兩種情況討論，可判斷③；由方程沒有實數根可得，由此可判斷④．
本題主要考查了二次函數的圖像與系數的關系，解題的關鍵在于熟練掌握二次函數的圖像與系數的關系．二次函數系數a決定拋物線的開口方向和大小，一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置，常數項c決定拋物線與y軸交點．
【詳解】∵,
∴拋物線開口向下，
又∵拋物線與x軸的兩個交點、 位于y軸兩側，
∴，
故結論①正確；
∵拋物線的對稱軸為
∴，
由可知時，，
，
，
故結論②錯誤；
∵
∴可能在A、B之間，也可能在B點右側，而在B點右側，
，
當點在A、B之間時，此時；
當在B點右側時， 此時、都在對稱軸右側，y隨x的增大而減小，
∴，
∴當時，，
故結論③正確；
若關于x的方程沒有實數根，
則，
，
，
故結論④正確．
綜上，正確的有①③④
故答案為：①③④．

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