資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第14講 二次函數與其他知識的綜合
·模塊一 二次函數與一次函數的綜合
·模塊二 二次函數與一元二次方程的綜合
·模塊三 二次函數與幾何圖形的綜合
·模塊四 二次函數與動點問題
·模塊五 課后作業
【例1.1】（2023·安徽亳州·三模）二次函數與一次函數（，是常數，且）在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查二次函數與一次函數圖象綜合判斷．熟練掌握二次函數和一次函數的圖象和性質，是解題的關鍵．
根據二次函數和一次函數的圖象和性質，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：∵二次函數
∴對稱軸為直線，故B，D不符合題意；
∵當時，，，
∴二次函數與一次函數交于y軸上的點，故C不符合題意，A符合題意．
故選：A．
【例1.2】（2023九年級·湖南岳陽·開學考試）如圖，二次函數（是常數，且）的圖象與正比例函數的圖象相交于兩點，若點的橫坐標為，點的橫坐標為，二次函數圖象的對稱軸是直線．下列結論：；；關于的方程的兩根為；；．其中正確的是 ．（只填寫序號）
【答案】
【分析】本題考查二次函數的圖象及性質，根據所給圖象可以得出， ，再結合對稱軸，即可判斷；根據二次函數與正比例函數的交點坐標即可判斷；由方程根與系數的關系即可判斷；熟練掌握二次函數的圖象及性質是解題的關鍵．
【詳解】解：由圖象可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，故、正確；
∵二次函數的圖象與正比例函數的圖象相交于兩點，點的橫坐標為，點的橫坐標為，
∴關于的方程的兩根為，故正確；
由得，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，故錯誤；
∵，
∴，
∵
∴，故正確；
∴正確的是，
故答案為：．
【例1.3】（2023九年級·全國·專題練習）在平面直角坐標系中，過點的直線交拋物線于A，B兩點，已知，，且，則下列說法正確的是（　　）
A．當且時，有最小值 B．當且時，有最大值
C．當且時，有最小值 D．當且時，有最大值
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數的性質，一次函數與二次函數交點問題，熟悉掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
設直線，聯立直線與拋物線解析式得出a，c是方程的兩根，進而根據，得出在的下方，得出，則，即可得出，進而結合選項，進行判斷即可求解．
【詳解】解：依題意，過點的直線交拋物線于，，兩點，設直線，
聯立，
即，
∴a，c是方程的兩根，
即，，
∵，
∴在的下方，
聯立，
解得： 或，
∴，
∵在拋物線上，則，
∴，
∴，
當且，
∴，
∴有最小值，
故選：A．
【變式1.1】（2023九年級·江蘇·專題練習）已知二次函數的圖象與直線的圖象如圖所示．

(1)判斷的圖象的開口方向，并說出此拋物線的對稱軸、頂點坐標；
(2)設直線與拋物線的交點分別為A，B，如圖所示，試確定A，B兩點的坐標；
(3)連接，，求的面積．
【答案】(1)拋物線的開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標為
(2)A點坐標為，B點坐標為
(3)3
【分析】本題主要考查二次函數的性質、待定系數法求函數解析式，掌握二次函數的開口方向、對稱軸、頂點坐標與二次函數解析式的關系是解答本題的關鍵．
（1）根據二次函數的性質求解即可；
（2）聯立二次函數和一次函數解析式求解即可；
（3）首先得到與y軸交點的坐標為，進而求解即可．
【詳解】（1）拋物線的開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標為；
（2）由題意得，即，
解得或，
則或，
∴A點坐標為，B點坐標為；
（3）∵與y軸交點的坐標為，
∴的面積．
【變式1.2】（2023九年級·北京西城·開學考試）在平面直角坐標系中，函數與的圖象交于，兩點若，則的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查了二次函數圖象與系數的關系、一次函數圖象與系數的關系、根與系數的關系，熟練掌握相關知識點是解決本題的關鍵．
由函數與的圖象交于，兩點可得：，，，再由，得，根據計算即可．
【詳解】解：函數與的圖象交于，兩點，
，
，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
解得：，
或，此不等式組無解，
綜上：．
故答案為：．
【變式1.3】（2023九年級·安徽蚌埠·階段練習）已知拋物線（是常數，且）經過點．
（1）該拋物線的頂點坐標為 ．
（2）若一次函數的圖象與二次函數的圖象的交點坐標分別是，，且，則的最大值為 ．
【答案】 4
【分析】（1）將點代入拋物線解析式，求出的值，再將拋物線解析式表示成頂點式，即可求解；
（2）將一次函數和二次函數解析式聯立，求出，然后表示出，求出的表達式，再將表達式化為頂點式，求二次函數的最值即可．
【詳解】解：（1）將點代入拋物線，
可得，解得，
∴該拋物線解析式為，
∵，
∴該拋物線的頂點坐標為；
（2）將一次函數解析式與拋物線解析式聯立，
可得，
整理可得，
解得，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴當時，取最大值，最大值為4．
故答案為：（1）；（2）4．
【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數的最值、二次函數的頂點式、一次函數與二次函數的交點問題等知識，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.
【例2.1】（2023·山東臨沂·二模）已知方程，當時方程有唯一解，則a的取值范圍為 ．
【答案】或
【分析】本題考查二次函數與一元二次方程的聯系，設，利用二次函數的對稱性以及二次函數與x軸的交點即為對應一元二次方程的解進行求解即可．
【詳解】解：設，
則，
函數的對稱軸為直線，
當時，，
當時，，
當時，，
若時，，則有唯一解，
∴，即，
當時，方程在時方程有唯一解，
∴，
綜上，a的取值范圍為或，
故答案為：或．
【例2.2】（2023·浙江溫州·三模）已知，二次函數與軸有兩個交點，且為正整數，當時，對應函數值的取值范圍是，則滿足條件的的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的性質、二次函數與一元二次方程，由題意得出，且，結合為正整數，得出，從而得出二次函數為，再結合二次函數的性質分兩種情況討論：當時；當時，分別計算即可得出答案．
【詳解】解：由題意得：，且，
解得：，且，
∵為正整數，
∴，
∴二次函數為，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴當時，，當時，，
∵當時，對應函數值的取值范圍是，
∴，
∴當時，函數在上隨著的增大而增大，
∴當時，，即，
解得：（不符合題意，舍去）或（不符合題意，舍去）；
當時，當時，取到最小值，為，即，
解得：（符合題意）；
故選：B．
【例2.3】（2023·浙江杭州·三模）已知二次函數的圖象經過點．
(1)若直線與拋物線相交所得的線段長為，求的值；
(2)若拋物線與軸交于，和，兩點，且，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)或；
(2)的取值范圍為或．
【分析】本題考查的重點是用待定系數法求二次函數的解析式，利用根與系數之間的關系解題．
（1）將點代入拋物線，可以推導出系數，直接的關系；因為直線與拋物線有兩個交點，所以利用兩點之間的距離公式和根與系數之間的關系可以求出的值；
（2）拋物線與軸有兩個交點，所以首先利用根的判別式可以推導出的范圍，在分類討論在不同取值范圍內是否符合要求．
【詳解】（1）解：拋物線的圖象經過點，
，
，
，
直線與拋物線相交所得的線段長為，
，
，
設兩個交點為和，線段長為，
，，
，
，
或者，經檢驗，符合題意；
答：或；
（2）解：拋物線與軸有兩個交點，
當時，△，
或，
①當時，
拋物線恒經過點和，
，
恒成立，
②當時，
拋物線與軸交于，和兩點，
，，
，
，
當時，，
，
答：的取值范圍為或．
【變式2.1】（2023·山東濟寧·三模）已知二次函數的圖象經過點，，則關于的一元二次方程的解是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與軸的交點問題，依據題意，由二次函數的圖象經過點，，從而方程的兩根為，又一元二次方程可化為，進而可以判斷得解．
【詳解】解：由題意，∵二次函數的圖象經過點，，
∴方程的兩根為．
又一元二次方程可化為，
∴或．
∴或．
∴一元二次方程的兩根為．
故答案為：．
【變式2.2】（2023·河北石家莊·二模）老師給出了二次函數的部分對應值如表：
… 0 1 3 5 …
… 7 0 7 …
同學們討論得出了下列結論，
①拋物線的開口向上；
②拋物線的對稱軸為直線；
③當時，；
④是方程的一個根；
⑤若，是拋物線上的兩點，則．
其中正確的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質、二次函數與一元二次方程的關系、二次函數與不等式的關系，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
根據當和時，函數值相等，求出對稱軸，判斷②，得出頂點坐標，得出拋物線的開口方向，判斷①，得出的對稱點為，根據拋物線的開口向上，判斷③，根據時，，判定④，根據拋物線的開口向上，反例“若，都在對稱軸左邊時，隨的增大而減小，則”，判定⑤，綜合得出答案即可．
【詳解】解：∵當和時，
∴函數圖象拋物線對稱軸為，則為最低點，故②錯誤，
∴拋物線的開口向上，故①正確，
∵，
∴的對稱點為，
又∵拋物線的開口向上，
∴當時，，故③正確，
∵時，，
∴是方程，即方程的一個根，故④正確，
∵拋物線的開口向上，
∴若，都在對稱軸左邊時，隨的增大而減小，則，故⑤錯誤，
綜上所述，正確的是①③④，
故選：A．
【變式2.3】（2023·江蘇南京·二模）已知二次函數（a，m為常數，）．
(1)求證：不論a，m為何值，該二次函數的圖像與x軸總有兩個公共點；
(2)該二次函數的圖像與x軸交于A，B兩點，若不論m為何值，該二次函數的圖像上都只有兩個點C，D，使和的面積均為4，求a的取值范圍．
【答案】(1)見解析
(2)，且
【分析】本題考查拋物線與軸的交點，二次函數的性質，一元二次方程根的判別式，關鍵是掌握二次函數的性質．
（1）證明判別式即可；
（2）先求出坐標，求出，再根據二次函數的圖象上都只有兩個點，使和的面積均為4，得出拋物線的頂點到軸的距離小于2，解不等式即可．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
∴不論為何值，該二次函數的圖象與軸總有兩個公共點；
（2）令，則，
，
，
，
，
，
，
∴到軸的距離為2，
∵該二次函數的圖象上都只有兩個點，使和的面積均為4，
∴二次函數的頂點到軸的距離小于2，
即，
解得，且，
∴的取值范圍為，且．
【例3.1】（2023·山西呂梁·模擬預測）綜合與探究
如圖，已知拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．P是拋物線上一動點，設點P的橫坐標為m．
(1)求拋物線的函數表達式．
(2)若，求m的值．
【答案】(1)
(2)或3
【分析】此題考查了二次函數的圖象和性質、待定系數法求函數解析式、等腰直角三角形的性質等知識，數形結合和分類討論是解題的關鍵．
（1）利用待定系數法求出函數解析式即可；
（2）分兩種情況畫出圖形，根據等腰直角三角形的性質列出方程，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點，，
∴，
解得，
∴拋物線的函數表達式為．
（2）當點P在軸下方時，如圖，過點P作軸于點D，則點D的坐標為，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
即，
解得
其中不合題意，故
當點P在軸上方時，如圖，過點P作軸于點E，則點E的坐標為，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
即，
解得
其中不合題意，故
綜上可知，或.
【例3.2】（2023·吉林松原·二模）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線經過點，點P、點Q均在此拋物線上，其橫坐標分別為m、，拋物線上點P、Q之間的部分記為圖像G（包括點P、點Q）．連接，以為對角線作矩形，且矩形的各邊均與坐標軸平行或垂直．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)當時，該二次函數的最大值是______，最小值是______；
(3)當拋物線在矩形內的部分所對應的函數值y隨x的增大而減小時，直接寫出m的取值范圍；
(4)當矩形的面積被坐標軸平分，且該拋物線的最低點是圖像G的最低點時，求m的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
(4)或
【分析】本題主要考查了求二次函數解析式、二次函數的性質、二次函數圖像的性質等知識點，靈活運用二次函數的相關性質成為解題的關鍵．
（1）將點代入求得c的值即可解答；
（2）先確定拋物線的對稱軸，然后再根據二次函數的性質求最值即可；
（3）根據圖像以及題意列不等式求解即可；
（4）先確定P、Q、M、N的坐標，然后根據題意列方程求解即可．
【詳解】（1）解：將點代入可得，解得：，
所以此拋物線的解析式．
（2）解：∵，
∴拋物線的對稱軸為：，
∵，
∴當時，有最小值，
∵，
∴當時，有最大值．
故答案為：，．
（3）解： ∵點P、點Q均在此拋物線上，其橫坐標分別為m、，
∴，，
∴,，
∵拋物線在矩形內的部分所對應的函數值y隨x的增大而減小，
∴，或
解得：或；
（4）解：∵點P、點Q均在此拋物線上，其橫坐標分別為m、，
∴，，
∴,，
∵矩形的面積被坐標軸平分，且該拋物線的最低點是圖像G的最低點時，
①當矩形的面積被x軸平分，則，
∴點P、點Q的縱坐標互為相反數，
∴，解得：（不符合題意）或，
②當矩形的面積被y軸平分，則，
∴點P、點Q的橫坐標互為相反數，
∴，解得：
∴當或時，矩形的面積被坐標軸平分，且該拋物線的最低點是圖像G的最低點．
【例3.3】（2023九年級·全國·專題練習）如圖1，二次函數圖象交坐標軸于點A，，點P為x軸上一動點．
(1)求二次函數的表達式；
(2)過點P作軸分別交線段，拋物線于點Q，C，連接．當時，求的面積；
(3)如圖2，將線段繞點P逆時針旋轉得到線段．當點D在拋物線上時，求點D的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）將代入，即可求解；
（2）先求直線的解析式為，則，，可求；
（3）設，過點作軸垂線交于點，可證明，則，將點代入拋物線解析式得，求得或．
【詳解】（1）解：將代入，得，
，
；
（2）令，則，
或，
，
設直線的解析式為，
，
，
，
，
，
軸，
，，
，
；
（3）設，
如圖2，過點作軸垂線交于點，
∴
，
，，
，
，
，
，，
，
，
解得或，
或．
【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數圖象和性質，待定系數法求拋物線解析式，三角形面積，全等三角形判定和性質，旋轉的性質等，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象及性質，分類討論，數形結合．
【變式3.1】（2023·山西呂梁·模擬預測）已知：如圖，拋物線的表達式為，圖象與軸交于點，將拋物線沿軸正方向平移后得到拋物線，拋物線交軸于點，交軸于點，（點在點的左側），點的坐標為．
(1)直接寫出拋物線的表達式及點的坐標．
(2)點為拋物線上一動點，橫坐標為，過點作軸交于點，連接，的面積為，用含的式子表示的面積，并求出當時，點的坐標．
【答案】(1)，，；
(2)，．
【分析】（）由拋物線的頂點坐標求出拋物線的頂點坐標，利用頂點式即可求出拋物線的表達式，再把代入的表達式即可求出點的坐標；
（）由平移的性質可得，進而由三角形的面積公式可求出與的函數解析式，再把代入所得的函數解析式可求出點的坐標；
本題考查了求二次函數的解析式，二次函數與軸的交點坐標，二次函數圖象的平移，求一次函數解析式，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：由得，，拋物線的頂點坐標為，
∵點的坐標為，
∴拋物線向上平移了個單位長度，
∴拋物線的頂點坐標為，
∴拋物線的表達式為，
即，
把代入得，，
解得，，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
即，
當時，，
∴，
∴．
【變式3.2】（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，已知，，以為邊在左側作等邊，點D在第二象限．
(1)求拋物線的表達式；
(2)將等邊沿x軸方向平移，在拋物線的對稱軸上存在一點E，使得以點A，C，D，E為頂點的四邊形是菱形，請求出點E的坐標，并寫出平移方式．
【答案】(1)；
(2)，將等邊沿x軸向左平移個單位或，將等邊沿x軸向右平移個單位或，將等邊沿x軸向右平移個單位時，以點A，C，D，E為頂點的四邊形是菱形．
【分析】本題考查二次函數圖象與性質，菱形的性質及應用
（1）用待定系數法可得拋物線的表達式為；
（2）求出，，，即可得，由可知，拋物線對稱軸為直線，設將等邊沿x軸方向平移t個單位（當時，向右平移，當時向左平移），，則平移后，分三種情況列方程組可解得答案．
【詳解】（1）解：把代入得：
，
解得，
∴拋物線的表達式為；
（2）解：在中，令得，
解得或，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
由可知，拋物線對稱軸為直線，
設將等邊沿x軸方向平移t個單位（當時，向右平移，當時向左平移），，
則平移后，
①以為對角線時，
∵，
∴當四邊形是平行四邊形時，四邊形為菱形，
∵平行四邊形兩條對角線的中點重合，
∴，
解得，
∴，將等邊沿x軸向左平移個單位；
②以為對角線時，
∵，
∴當四邊形是平行四邊形時，四邊形為菱形，
∵平行四邊形兩條對角線的中點重合，
∴，
解得，
∴，將等邊沿x軸向右平移個單位；
③以為對角線時，
∵，
∴當四邊形是平行四邊形時，四邊形為菱形，
∵平行四邊形兩條對角線的中點重合，
∴，
解得，
∴，將等邊沿x軸向右平移個單位；
綜上所述，，將等邊沿x軸向左平移個單位或，將等邊 沿x軸向右平移個單位或，將等邊沿x軸向右平移個單位時，以點A，C，D，E為頂點的四邊形是菱形．
【變式3.3】（2023·山東日照·二模）如圖，平面直角坐標系中，拋物線過原點，與軸正半軸交于另一點，且經過點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若是拋物線上一點（不與點重合），其橫坐標為，以為對角線作矩形，垂直于軸，
①當拋物線在矩形內部的圖象從左到右逐漸上升時，直接寫出的取值范圍；
②當矩形內部的圖象（包括邊界）的最高點縱坐標與最低點的縱坐標之差為4時，求的值；
③如圖3，拋物線的頂點為點，點是軸下方、拋物線對稱軸上一點，若，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)①，且；②或或；③
【分析】（1）利用待定系數法求解即可；
（2）①首先得到，拋物線開口向下，對稱軸為，當時，y隨x的增大而增大，進而求解即可；
②根據題意分點M的縱坐標為和點M的縱坐標為兩種情況討論分別代入拋物線表達式求解即可；
③過點A作交的延長線于點Q，過點Q作軸于點H，令交x軸于點M，根據，得，，求出直線解析式，然后把點Q的坐標代入即可求解．
【詳解】（1）∵拋物線過原點，
∴
解得
∴拋物線的解析式為；
（2）①∵拋物線；
∴拋物線開口向下，對稱軸為
∴當時，y隨x的增大而增大，
∵是拋物線上一點（不與點重合），其橫坐標為，
∴當，且時，拋物線在矩形內部的圖象從左到右逐漸上升；
②∵，矩形內部的圖象（包括邊界）的最高點縱坐標與最低點的縱坐標之差為4
∴當點M的縱坐標為時，
∴
解得；
當點M的縱坐標為時，
∴
解得，
綜上所述，或或；
③過點A作交的延長線于點Q，過點Q作軸于點H，令交x軸于點M，頂點，

解得，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴ ，
∴，，
令點，則，
∴，
設直線解析式為，則，
解得，
∴，
將點Q代入可得：，
解得：，
∵點P在y軸下方，
∴，
∴，
∴P點的坐標為．
【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，二次函數與幾何綜合，全等三角形的性質和判定，坐標與圖形的性質，等腰直角三角形的判定與性質等知識，數形結合是解答本題的關鍵．
【例4.1】（2023九年級·山東濟寧·期中）如圖，中，，動點P，Q分別從A，C兩點同時出發，P點沿邊向C以每秒3個單位長度的速度運動，Q點沿邊向B以每秒4個單位長度的速度運動，當P，Q到達終點C，B時，運動停止，設運動時間為t（s）．
(1)當運動停止時，的值為 ；
(2)設的面積為S．
①求S的表達式（用含t的式子表示，并注明t的取值范圍）；
②求當t為何值時，S取得最大值，這個最大值是多少？
【答案】(1)2
(2)①；②當時，取得最大值為
【分析】（1）根據運動速度，以及、的長度，即可求解；
（2）①求得線段、的長度，即可求得S的表達式；②根據表達式可得S與t為二次函數的關系，根據二次函數的性質即可求解．
【詳解】（1）解：運動停止時，分別到達終點點和B點，
．
故答案為．
（2）解：①由題意可得：，
，則
△PCQ的面積
故答案為：．
②由二次函數可得：
，開口向下，對稱軸為
∴當時，S取得最大值，最大值為．
【點睛】本題主要考查了函數與幾何的綜合應用，二次函數的性質等知識點，解題的關鍵是掌握二次函數的有關性質．
【例4.2】（2023·福建泉州·二模）如圖1，在平行四邊形中，，，動點以每秒1個單位的速度從點出發沿線段運動到點，同時動點以每秒4個單位的速度從點出發，沿折線運動到點．圖2是點、運動時，的面積隨運動時間變化關系的圖像，求值．

【答案】的值為
【分析】根據圖2可知時，點停止運動，可計算出的長，分類討論，當時，當時分別計算出的面積，當到達點時，，由此即可求解．
【詳解】解：根據圖2可知，時，點停止運動，
∴，
根據題意得，，
當在上時，即，
∴，如圖所示，過作于點，

∵，
∴在中，，
∴；
當點在上時，即時，如圖所示，

∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴；
綜上所述，當點到達點時，，
∴當時，，
∴的值為．
【點睛】本題主要考查函數與幾何圖形的變換的綜合，掌握動點與幾何圖形的性質，函數圖像的性質是解題的關鍵．
【例4.3】（2023·山東臨沂·一模）小明將小球從斜坡O點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數刻畫，斜坡可以用一次函數刻畫，如圖建立直角坐標系，小球能達到的最高點的坐標．
(1)請求出b和n的值；
(2)小球在斜坡上的落點為M，求點M的坐標；
(3)點P是小球從起點到落點拋物線上的動點，連接，當的面積最大時，求點P的坐標．
【答案】(1)，；
(2)
(3)的面積最大時，點P的坐標為．
【分析】本題考查了二次函數的綜合應用，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
（1）先由在一次函數上求出b，再由在二次函數求出n．
（2）聯立兩解析式，可求出交點M的坐標．
（3）根據點M的坐標求得直線的解析式，設，，求得，，即可得到結論．
【詳解】（1）解：由題意可知，，
解得：，；
（2）解：聯立得，
解得，，
當時為原點，舍去，
將代入得，
∴點M的坐標為；
（3）解：過P點作y軸的平行線，交線段于Q．
∵M的坐標為，
∴直線的解析式為：，
∴設，，，
，
，
∵，拋物線開口向下，
∴當時，的面積最大．此時點P的坐標為．
【變式4.1】（2023九年級·北京·期末）如圖，正方形的邊長為，，分別是，邊上一動點，點，同時從點出發，以每秒的速度分別向點，運動，當點與點重合時，運動停止，設運動時間為，運動過程中的面積為，求關于的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍．
【答案】
【分析】△AEF的面積=正方形ABCD的面積-△ABE的面積-△ADF的面積-△ECF的面積，分別表示正方形ABCD的面積、△ABE的面積、△ADF的面積、△ECF的面積代入即可．
【詳解】解：設運動時間為，
點，同時從點出發，以每秒的速度分別向點，運動，
，，，，
的面積正方形的面積的面積的面積的面積，
即：
【點睛】此題考查了函數關系式，解題關鍵是正確表示正方形ABCD的面積、△ABE的面積、△ADF的面積、△ECF的面積．
【變式4.2】（2023·廣東佛山·二模）綜合應用
如圖，等邊三角形的邊長為a，點D，E，F分別是邊，，上的動點，且滿足，連接，，．

(1)證明：；
(2)設的長為x，的面積為y，求出y與x的函數表達式（用含a的式子表示）；
(3)在（2）的條件下，當時，y有最小值，畫出y與x的函數圖象．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)見解析
【分析】（1）由題意易得，，然后根據“”可進行求證；
（2）過F作于H，可證，得，，從而是等邊三角形，由是等邊三角形，看求出，即可得，，，故，然后根據即可求解；
（3）先根據當時，y有最小值，求出函數解析式，然后描點法畫出圖象即可．
【詳解】（1）∵是邊長為4的等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）過F作于H，如圖：

同（1）可證，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
，
∴
；
∴y與x的函數表達式為；
（3）解：，
∵當時，y有最小值，
∴，
解得，
∴，
∴的圖象頂點為，過點，，，，
畫出圖象如下：

【點睛】本題考查三角形綜合應用，涉及等邊三角形面積，全等三角形判定與性質，二次函數的圖象及性質等知識，解題的關鍵是掌握等邊三角形面積與邊長的關系．
【變式4.3】（2023九年級·山西運城·期中）如圖，在矩形中，cm，cm，動點P從點A開始沿折線以4cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿邊以1cm/s的速度運動，點P和點Q分別從點A和點C同時出發，當其中一點到達終點時也隨之停止運動，設動點的運動時間為ts．
(1)求當t為何值時，四邊形是矩形；
(2)直接寫出當t為何值時，圖中存在的矩形的個數最多，最多是幾個；
(3)設四邊形的面積為S，求S與t的函數關系式．
【答案】(1)4；
(2)t為，最多3個；
(3)．
【分析】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質，二次函數的解析式，梯形的面積，三角形的面積，解決本題的關鍵是利用分類討論思想．
（1）根據題意分別表示出，利用建立方程即可求解；
（2）由（1）即可得出結論；
（3）分類討論①當點P在上②當點P在上③當點P在上三種情況，即可求解．
【詳解】（1）解：根據題意可知：，，
在矩形中，
∵，，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴當t為4時，四邊形是矩形；
（2）解：由（1）可知，當t為4時，圖中存在的矩形的個數最多，最多是個
（3）解：①當點P在上時，，
②當點P在上時，，
根據題意可知：
∴
③當點P在上時，點Q也在上，
∴不是四邊形，不符合題意，
綜上所述：S與t的函數關系式為：．
1．（2023·河南南陽·二模）如圖，一次函數與二次函數的圖象相交于兩點，則函數的圖象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數與一元二次方程，二次函數與一次函數交點問題，由圖象得出一元二次方程有兩個不相等的正實數根，由此即可得解，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．
【詳解】解：一次函數與二次函數的圖象相交于兩點，
由圖可得：一元二次方程有兩個不相等的正實數根，
函數的圖象與軸的正半軸有兩個交點，
故選：A．
2．（2023·甘肅·三模）已知二次函數的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程的解為（　　）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本題考查二次函數的性質，二次函數與一元二次方程的關系；理解函數與方程的聯系是解題的關鍵．由圖知，拋物線與軸交于點，代入求出m的值，再解方程即可．
【詳解】解：由圖知，拋物線與軸交于點，
將，代入，則，
，
∴原方程為
解得：或；
故選：B．
3．（2023九年級·山東東營·期中）拋物線與x軸分別交于點A和點，與y軸交于點C，P為拋物線對稱軸上一動點．當的值最大時，P的坐標為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接交對稱軸與點，根據，得到當點三點共線時，即點與點重合時，的值最大，求出直線的解析式，與對稱軸的交點即為點P的坐標．
【詳解】解：∵，當時，，
∴，對稱軸為直線；
連接交對稱軸與點，

設直線的解析式為：，
把，代入，得：，
解得：，
∴，
當時，，
∴；
∵，
∴當點三點共線時，即點與點重合時，的值最大，
∴；
故選A．
【點睛】本題考查二次函數的綜合應用．熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解題的關鍵．
4．（2023·四川自貢·模擬預測）如圖，二次函數的圖象交軸于，兩點，圖象上的一點使，則點的坐標是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了拋物線與軸的交點，二次函數圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形的判定和性質，表示出的坐標是解題的關鍵．過點作軸于點，構造等腰直角，設，根據等腰直角三角形的性質表示出點的坐標，代入拋物線解析式得到關于的方程，解方程即可求解．
【詳解】解：二次函數中，令，則，
解得，，
，，
過點作軸于點，
，
，
是等腰直角三角形，
，
設，
，
點在二次函數的圖象上，
，
解得，（舍去），
，
故選：．
5．（2023·安徽亳州·模擬預測）如圖，在中，，，，點D為的中點，點P為上一動點，點P從點B出發運動到點A處停止，設點P經過的路程為x，，令，則w的最小值為（ ）

A． B．7 C．5 D．
【答案】A
【分析】作于H，由直角三角形的性質得到，，得到，由勾股定理得到，因此，即可求出w的最小值．
【詳解】解：作于H，
，，
∴，
，由勾股定理得： ，
，
，，
是中點，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
的最小值為．
故選：A．

【點睛】本題考查含角的直角三角形，勾股定理，二次函數的應用，關鍵是由直角三角形的性質得到．
6．（2023九年級·陜西渭南·期末）如圖，在矩形中，，，點和點分別為邊和邊上的動點，且滿足，則當的面積最大時，的值為 ．
【答案】/4厘米
【分析】本題考查二次函數的應用，根據題意設，列出二次函數表達式并求出最大值時自變量取值即可．
【詳解】解：設，
，，
，
，
，
當時，的面積最大，
即當的面積最大時，的值為，
故答案為：．
7．（2023九年級·福建龍巖·階段練習）二次函數與軸交于點，點，點是拋物線上的動點，若三角形是以為底的等腰三角形，則點的坐標為 ．
【答案】或
【分析】根據題意得出，求出點A坐標，可得點P的縱坐標，代入二次函數中，解方程求出橫坐標，即可得解．
【詳解】解：如圖，∵三角形是以為底的等腰三角形，
∴，
在中，令，則，
∴，又，
∴，
令，
解得：，，
∴點的坐標為或，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了二次函數與一元二次方程的關系，等腰三角形的定義，解題的關鍵是畫出函數圖象，利用數形結合求出相應坐標．
8．（2023九年級·吉林長春·期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸的負半軸于點．點是軸正半軸上一點，點關于點的對稱點恰好落在拋物線上．過點作軸的平行線交拋物線于另一點．若點的橫坐標為1，則的長為 ．

【答案】3
【分析】本題主要考查了拋物線與一元二次方程等知識點，解方程得，再利用對稱的性質得到點A的坐標為，所以拋物線解析式為，再計算自變量為1的函數值得到，接著利用C點的縱坐標為2求出C點的橫坐標，然后計算的長即可，熟練掌握其性質是解決此題的關鍵．
【詳解】當時，，解得，，則，
∵點A關于點B的對稱點為，點的橫坐標為1，
∴點A的坐標為，
∴拋物線解析式為，
當時，，則，
當時，，解得，，則，
∴的長為，
故答案為：3．
9．（2023·廣東深圳·二模）已知函數的大致圖象如圖所示，對于方程（m為實數），若該方程恰有3個不相等的實數根，則m的值是 ．
【答案】4
【分析】此題考查函數圖象的應用，解題的關鍵是求出函數與y軸的交點．先求出函數與y軸的交點，再根據函數圖象的特點即可求解．
【詳解】解：令得，，
所以函數的圖象與y軸的交點坐標為．
方程的實數根可以看成函數的圖象與直線交點的橫坐標．
因為該方程恰有3個不相等的實數根，
所以函數的圖象與直線有3個不同的交點．
如圖所示，
當時，兩個圖象有3個不同的交點，
所以m的值為4．
故答案為：4．
10．（2023九年級·云南昆明·期中）如圖，在邊長為的正方形中，點，，，分別從點，，，同時出發，均以的速度向點，，，勻速運動，當點到達點時，四個點同時停止運動，在運動過程中，當運動時間為 時，四邊形，的面積最小，其最小值是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查二次函數與實際問題的運用，理解并掌握配方法求二次函數最值的方法是解題的關鍵．
根據題意，設運動時間為，可得，，，可得，根據數量關系列式，可得關于的二次函數的解析式，運用配方法求最值即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，，
點，，，分別從點，，，同時出發，均以的速度向點，，，勻速運動，設運動時間為，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
∵，即關于的二次函數圖像開口線上，則有最小值，
∴當時，有最小值，且最小值為，
故答案為：，．
11．（2023·浙江溫州·模擬預測）在平面直角坐標系中，，為二次函數上兩點，若，．
(1)求該二次函數的對稱軸以及其圖象與x軸的交點個數．
(2)若該二次函數圖象恰好經過，，，其中一點，求a的最大值．
【答案】(1)對稱軸為直線，其圖象與x軸有1個交點
(2)a的最大值為1
【分析】
本題主要考查了二次函數的性質，求二次函數解析式，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質，得出．
（1）根據，，先確定拋物線的對稱軸為直線，然后得出，代入得出函數解析式為：，令，根據一元二次方程根的判別式，判斷根的情況，即可得出答案；
（2）將四個點的坐標分別代入函數解析式中求出a的值，然后比較大小即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴該二次函數的對稱軸為直線，
∴，
∴，
把代入得：，
令，
∵，
∴有一個解，
∴該二次函數圖象與x軸有1個交點．
（2）解：把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∵，
∴a的最大值為1．
12．（2023九年級·湖北十堰·期中）如圖是拋物線圖象的一部分，拋物線的頂點為A，與x軸的一個交點為B，直線與拋物線交于A，B兩點．

(1)寫出不等式中x的取值范圍；
(2)若方程 有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本題考查了二次函數，一次函數的圖象和性質，二次函數與一元二次方程的關系，
（1）根據點A和點B的橫坐標找到直線在拋物線上方的部分x的取值范圍即可；
（2）根據題意得到拋物線與直線有兩個交點，然后結合拋物線的最大值為3求解即可．
解題關鍵是掌握二次函數和一次函數的圖象和性質，以及利用數形結合的方法求解．
【詳解】（1）由圖象可得，直線與拋物線交于A，B兩點，
∵點A的橫坐標為1，點B的橫坐標為4，
∵直線在拋物線上方的部分x的取值范圍是或，
∴不等式中x的取值范圍為或；
（2）∵方程 有兩個不相等的實數根，
∴拋物線與直線有兩個交點，
∵拋物線的頂點坐標為
∴拋物線的最大值為3，
∴當，拋物線與直線有兩個交點．
13．（2023·吉林·二模）如圖，在等腰直角三角形中，，．動點E，F分別從點A，B同時出發，點E沿折線A→C→B向終點B運動，在AC上的速度為2cm/s，在CB上的速度為cm/s，點F以1cm/s的速度沿線段向終點A運動，連接，．設運動時間為x（s），的面積為y（cm2）（）．
(1)的長為______cm（用含x的代數式表示）．
(2)求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍．
(3)當為鈍角三角形時，直接寫出x的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)當時，；當時，
(3)或
【分析】本題考查動點的函數，等腰直角三角形的性質，三角形的面積公式，解直角三角形，恰當分類是解題的關鍵．
（1）分兩種情況：和，根據動點運動的路程、速度和時間的關系，結合勾股定理求解即可；
（2）分兩種情況：和，根據等腰直角三角形的性質和勾股定理求解即可；
（3）先畫出是直角三角形的圖形，求出此時的值，再結合的取值范圍求解即可．
【詳解】（1）當時， 點E運動的路程就是的長，即：=，
當時，作于點，如圖所示，
在中，，，
在中，，。
故答案為：或；
（2）點F運動的路程就是線段的長，即，
當時，，即；
當時，作于點，如圖所示，
∴，
∵，
∴，
綜上可得，求y關于x的函數解析式為：；
（3）當時，是直角三角形，如圖所示，
在中，，，，
∴，
解得：，
當時，是直角三角形，如圖所示，
在中，，，，
∴，
解得：，
∴當為鈍角三角形時，x的取值范圍是：或．
14．（2023·江蘇南京·一模）在平面直角坐標系，二次函數的圖象與軸交于點，將點向右平移個單位長度得到點，點恰好也在該函數的圖象上．
(1)寫出該函數圖象的對稱軸；
(2)已知點．
①若函數圖象恰好經過點，求的值；
②若函數圖象與線段只有一個交點，結合函數圖象，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)對稱軸為
(2)①；②或
【分析】本題主要考查二次函數圖象的性質，掌握二次函數圖象的性質，對稱軸的計算，圖形交點的計算方法是解題的關鍵．
（1）根據點的平移即對稱軸的計算方法即可求解；
（2）①根據二次函數的對稱軸，可得，結合二次函數過點，即可求解；②根據二次函數圖象的性質可得頂點坐標為，分類討論，當時，點在二次函數圖象上；當時，點在二次函數圖象上；圖形結合分析即可求解．
【詳解】（1）解：二次函數圖象與軸交于點，則，
∵點向右平移個單位長度得到點，點 恰好也在該函數的圖象上，
∴，
∴該函數圖象的對稱軸為，
∴對稱軸為；
（2）解：①∵二次函數圖象的對稱軸為，
∴，
∵二次函數圖象過點，
∴，
∴，
∴，
解得，；
②根據題意，，
∴二次函數解析式為，
∴當時，，即頂點坐標為；
當時，，即二次函數與軸的交點為；
當時，，
解得，；
∴當時，如圖所示，

∴點在二次函數圖象上，
∴，
解得，，
∴當時，二次函數與線段只有一個交點；
當，如圖所示，

∴點在二次函數圖象上，
∴，
解得，，
∴當時，二次函數與線段只有一個交點；
綜上所示，的取值范圍為：或．
15．（2023·山西晉中·三模）綜合與探究
如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，已知點的坐標為，點的坐標為，直線與拋物線交于，兩點．
(1)求拋物線的函數表達式及點的坐標．
(2)求的值和點的坐標．
(3)是第四象限內拋物線上的動點，點的橫坐標為，過點作軸的垂線，垂足為，交直線于點，過點作于點．
①當是線段的三等分點時，求點的坐標；
②連接，，，在點運動的過程中，是否存在？若存在，直接寫出的長；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，點的坐標為
(2)，點的坐標為
(3)①點的坐標為或；②存在，的長為．
【分析】本題考查了待定系數法求函數解析式、兩個函數求交點，二次函數的性質，正方形的性質等，正確畫出輔助線是解題的關鍵．
（1）待定系數法求解即可；
（2）聯立解方程組即可；
（3）①根據坐標求出線段長，利用三等分即可求解；
②作輔助線見解析，根據正方形的性質，列式求解即可．
【詳解】（1）將點，點代入，
得，解得，
拋物線的函數表達式為，
點的坐標為．
（2）將點代入，解得，
聯立，解得（舍去），，
點的坐標為．
（3）①由題意可知，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，
．
是線段的三等分點，
或．
當時，即，解得，（舍去），
點的坐標為．
當時，即，解得，（舍去），
點的坐標為．
綜上所述，點的坐標為或．
②存在，的長為．
如圖，過點作軸，過點作軸，令直線與軸的交點為，點關于直線對稱的點為，
，，
，，
，
四邊形是正方形．
，
．
由正方形的對稱性可知，
．
把代入，得，
點在拋物線上，
當點與點重合時，即滿足，
．中小學教育資源及組卷應用平臺
第14講 二次函數與其他知識的綜合
·模塊一 二次函數與一次函數的綜合
·模塊二 二次函數與一元二次方程的綜合
·模塊三 二次函數與幾何圖形的綜合
·模塊四 二次函數與動點問題
·模塊五 課后作業
【例1.1】（2023·安徽亳州·三模）二次函數與一次函數（，是常數，且）在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【例1.2】（2023九年級·湖南岳陽·開學考試）如圖，二次函數（是常數，且）的圖象與正比例函數的圖象相交于兩點，若點的橫坐標為，點的橫坐標為，二次函數圖象的對稱軸是直線．下列結論：；；關于的方程的兩根為；；．其中正確的是 ．（只填寫序號）
【例1.3】（2023九年級·全國·專題練習）在平面直角坐標系中，過點的直線交拋物線于A，B兩點，已知，，且，則下列說法正確的是（　　）
A．當且時，有最小值 B．當且時，有最大值
C．當且時，有最小值 D．當且時，有最大值
【變式1.1】（2023九年級·江蘇·專題練習）已知二次函數的圖象與直線的圖象如圖所示．

(1)判斷的圖象的開口方向，并說出此拋物線的對稱軸、頂點坐標；
(2)設直線與拋物線的交點分別為A，B，如圖所示，試確定A，B兩點的坐標；
(3)連接，，求的面積．
【變式1.2】（2023九年級·北京西城·開學考試）在平面直角坐標系中，函數與的圖象交于，兩點若，則的取值范圍是 ．
【變式1.3】（2023九年級·安徽蚌埠·階段練習）已知拋物線（是常數，且）經過點．
（1）該拋物線的頂點坐標為 ．
（2）若一次函數的圖象與二次函數的圖象的交點坐標分別是，，且，則的最大值為 ．
【例2.1】（2023·山東臨沂·二模）已知方程，當時方程有唯一解，則a的取值范圍為 ．
【例2.2】（2023·浙江溫州·三模）已知，二次函數與軸有兩個交點，且為正整數，當時，對應函數值的取值范圍是，則滿足條件的的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【例2.3】（2023·浙江杭州·三模）已知二次函數的圖象經過點．
(1)若直線與拋物線相交所得的線段長為，求的值；
(2)若拋物線與軸交于，和，兩點，且，直接寫出的取值范圍．
【變式2.1】（2023·山東濟寧·三模）已知二次函數的圖象經過點，，則關于的一元二次方程的解是 ．
【變式2.2】（2023·河北石家莊·二模）老師給出了二次函數的部分對應值如表：
… 0 1 3 5 …
… 7 0 7 …
同學們討論得出了下列結論，
①拋物線的開口向上；
②拋物線的對稱軸為直線；
③當時，；
④是方程的一個根；
⑤若，是拋物線上的兩點，則．
其中正確的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤
【變式2.3】（2023·江蘇南京·二模）已知二次函數（a，m為常數，）．
(1)求證：不論a，m為何值，該二次函數的圖像與x軸總有兩個公共點；
(2)該二次函數的圖像與x軸交于A，B兩點，若不論m為何值，該二次函數的圖像上都只有兩個點C，D，使和的面積均為4，求a的取值范圍．
【例3.1】（2023·山西呂梁·模擬預測）綜合與探究
如圖，已知拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．P是拋物線上一動點，設點P的橫坐標為m．
(1)求拋物線的函數表達式．
(2)若，求m的值．
【例3.2】（2023·吉林松原·二模）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線經過點，點P、點Q均在此拋物線上，其橫坐標分別為m、，拋物線上點P、Q之間的部分記為圖像G（包括點P、點Q）．連接，以為對角線作矩形，且矩形的各邊均與坐標軸平行或垂直．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)當時，該二次函數的最大值是______，最小值是______；
(3)當拋物線在矩形內的部分所對應的函數值y隨x的增大而減小時，直接寫出m的取值范圍；
(4)當矩形的面積被坐標軸平分，且該拋物線的最低點是圖像G的最低點時，求m的值．
【例3.3】（2023九年級·全國·專題練習）如圖1，二次函數圖象交坐標軸于點A，，點P為x軸上一動點．
(1)求二次函數的表達式；
(2)過點P作軸分別交線段，拋物線于點Q，C，連接．當時，求的面積；
(3)如圖2，將線段繞點P逆時針旋轉得到線段．當點D在拋物線上時，求點D的坐標．
【變式3.1】（2023·山西呂梁·模擬預測）已知：如圖，拋物線的表達式為，圖象與軸交于點，將拋物線沿軸正方向平移后得到拋物線，拋物線交軸于點，交軸于點，（點在點的左側），點的坐標為．
(1)直接寫出拋物線的表達式及點的坐標．
(2)點為拋物線上一動點，橫坐標為，過點作軸交于點，連接，的面積為，用含的式子表示的面積，并求出當時，點的坐標．
【變式3.2】（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，已知，，以為邊在左側作等邊，點D在第二象限．
(1)求拋物線的表達式；
(2)將等邊沿x軸方向平移，在拋物線的對稱軸上存在一點E，使得以點A，C，D，E為頂點的四邊形是菱形，請求出點E的坐標，并寫出平移方式．
【變式3.3】（2023·山東日照·二模）如圖，平面直角坐標系中，拋物線過原點，與軸正半軸交于另一點，且經過點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若是拋物線上一點（不與點重合），其橫坐標為，以為對角線作矩形，垂直于軸，
①當拋物線在矩形內部的圖象從左到右逐漸上升時，直接寫出的取值范圍；
②當矩形內部的圖象（包括邊界）的最高點縱坐標與最低點的縱坐標之差為4時，求的值；
③如圖3，拋物線的頂點為點，點是軸下方、拋物線對稱軸上一點，若，求點的坐標．
【例4.1】（2023九年級·山東濟寧·期中）如圖，中，，動點P，Q分別從A，C兩點同時出發，P點沿邊向C以每秒3個單位長度的速度運動，Q點沿邊向B以每秒4個單位長度的速度運動，當P，Q到達終點C，B時，運動停止，設運動時間為t（s）．
(1)當運動停止時，的值為 ；
(2)設的面積為S．
①求S的表達式（用含t的式子表示，并注明t的取值范圍）；
②求當t為何值時，S取得最大值，這個最大值是多少？
【例4.2】（2023·福建泉州·二模）如圖1，在平行四邊形中，，，動點以每秒1個單位的速度從點出發沿線段運動到點，同時動點以每秒4個單位的速度從點出發，沿折線運動到點．圖2是點、運動時，的面積隨運動時間變化關系的圖像，求值．

【例4.3】（2023·山東臨沂·一模）小明將小球從斜坡O點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數刻畫，斜坡可以用一次函數刻畫，如圖建立直角坐標系，小球能達到的最高點的坐標．
(1)請求出b和n的值；
(2)小球在斜坡上的落點為M，求點M的坐標；
(3)點P是小球從起點到落點拋物線上的動點，連接，當的面積最大時，求點P的坐標．
【變式4.1】（2023九年級·北京·期末）如圖，正方形的邊長為，，分別是，邊上一動點，點，同時從點出發，以每秒的速度分別向點，運動，當點與點重合時，運動停止，設運動時間為，運動過程中的面積為，求關于的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍．
【變式4.2】（2023·廣東佛山·二模）綜合應用
如圖，等邊三角形的邊長為a，點D，E，F分別是邊，，上的動點，且滿足，連接，，．

(1)證明：；
(2)設的長為x，的面積為y，求出y與x的函數表達式（用含a的式子表示）；
(3)在（2）的條件下，當時，y有最小值，畫出y與x的函數圖象．
【變式4.3】（2023九年級·山西運城·期中）如圖，在矩形中，cm，cm，動點P從點A開始沿折線以4cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿邊以1cm/s的速度運動，點P和點Q分別從點A和點C同時出發，當其中一點到達終點時也隨之停止運動，設動點的運動時間為ts．
(1)求當t為何值時，四邊形是矩形；
(2)直接寫出當t為何值時，圖中存在的矩形的個數最多，最多是幾個；
(3)設四邊形的面積為S，求S與t的函數關系式．
1．（2023·河南南陽·二模）如圖，一次函數與二次函數的圖象相交于兩點，則函數的圖象可能是（ ）
A．B． C． D．
2．（2023·甘肅·三模）已知二次函數的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程的解為（　　）

A．， B．，
C．， D．，
3．（2023九年級·山東東營·期中）拋物線與x軸分別交于點A和點，與y軸交于點C，P為拋物線對稱軸上一動點．當的值最大時，P的坐標為（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·四川自貢·模擬預測）如圖，二次函數的圖象交軸于，兩點，圖象上的一點使，則點的坐標是　　
A． B． C． D．
5．（2023·安徽亳州·模擬預測）如圖，在中，，，，點D為的中點，點P為上一動點，點P從點B出發運動到點A處停止，設點P經過的路程為x，，令，則w的最小值為（ ）

A． B．7 C．5 D．
6．（2023九年級·陜西渭南·期末）如圖，在矩形中，，，點和點分別為邊和邊上的動點，且滿足，則當的面積最大時，的值為 ．
7．（2023九年級·福建龍巖·階段練習）二次函數與軸交于點，點，點是拋物線上的動點，若三角形是以為底的等腰三角形，則點的坐標為 ．
8．（2023九年級·吉林長春·期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸的負半軸于點．點是軸正半軸上一點，點關于點的對稱點恰好落在拋物線上．過點作軸的平行線交拋物線于另一點．若點的橫坐標為1，則的長為 ．

9．（2023·廣東深圳·二模）已知函數的大致圖象如圖所示，對于方程（m為實數），若該方程恰有3個不相等的實數根，則m的值是 ．
10．（2023九年級·云南昆明·期中）如圖，在邊長為的正方形中，點，，，分別從點，，，同時出發，均以的速度向點，，，勻速運動，當點到達點時，四個點同時停止運動，在運動過程中，當運動時間為 時，四邊形，的面積最小，其最小值是 ．
11．（2023·浙江溫州·模擬預測）在平面直角坐標系中，，為二次函數上兩點，若，．
(1)求該二次函數的對稱軸以及其圖象與x軸的交點個數．
(2)若該二次函數圖象恰好經過，，，其中一點，求a的最大值．
12．（2023九年級·湖北十堰·期中）如圖是拋物線圖象的一部分，拋物線的頂點為A，與x軸的一個交點為B，直線與拋物線交于A，B兩點．

(1)寫出不等式中x的取值范圍；
(2)若方程 有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍．
13．（2023·吉林·二模）如圖，在等腰直角三角形中，，．動點E，F分別從點A，B同時出發，點E沿折線A→C→B向終點B運動，在AC上的速度為2cm/s，在CB上的速度為cm/s，點F以1cm/s的速度沿線段向終點A運動，連接，．設運動時間為x（s），的面積為y（cm2）（）．
(1)的長為______cm（用含x的代數式表示）．
(2)求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍．
(3)當為鈍角三角形時，直接寫出x的取值范圍．
14．（2023·江蘇南京·一模）在平面直角坐標系，二次函數的圖象與軸交于點，將點向右平移個單位長度得到點，點恰好也在該函數的圖象上．
(1)寫出該函數圖象的對稱軸；
(2)已知點．
①若函數圖象恰好經過點，求的值；
②若函數圖象與線段只有一個交點，結合函數圖象，直接寫出的取值范圍．
15．（2023·山西晉中·三模）綜合與探究
如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，已知點的坐標為，點的坐標為，直線與拋物線交于，兩點．
(1)求拋物線的函數表達式及點的坐標．
(2)求的值和點的坐標．
(3)是第四象限內拋物線上的動點，點的橫坐標為，過點作軸的垂線，垂足為，交直線于點，過點作于點．
①當是線段的三等分點時，求點的坐標；
②連接，，，在點運動的過程中，是否存在？若存在，直接寫出的長；若不存在，請說明理由．

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