資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第12講 二次函數的應用
·模塊一 面積最值問題
·模塊二 建筑物問題和隧道問題
·模塊三 拋體運動、營銷、行程問題
·模塊四 課后作業
【考點1 利用二次函數解決面積最大值問題】
【例1.1】（2023·新疆吐魯番·三模）某居民小區要在一塊一邊靠墻（墻長）的空地上修建一個矩形花園，花園的一邊靠墻，另三邊用總長的柵欄圍成（如圖所示）．若設花園的邊長為，花園的面積為．
(1)求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
(2)滿足條件的花園面積能否達到？若能，請求出的值；若不能，請說明理由；
(3)當是多少時，矩形場地面積最大？最大面積是多少？
【例1.2】（2023九年級·內蒙古赤峰·期中）如圖，一塊矩形土地由籬笆圍著，并且由一條與邊平行的籬笆分開．已知籬笆的總長為（籬笆的厚度忽略不計），當 m時，矩形土地的面積最大．
【例1.3】（2023九年級·四川德陽·期中）某社區委員會決定把一塊長，寬的矩形空地改建成健身廣場；設計圖如圖所示，矩形四周修建4個全等的長方形花壇，花壇的長比寬多4米，其余部分修建健身活動區，設花壇的長為，健身活動區域的面積為．

(1)求出S與x之間的函數關系式；
(2)求健身活動區域的面積S的最大值．
【變式1.1】（2023九年級·福建龍巖·期末）如圖，現打算用的籬笆圍成一個“日”字形菜園（含隔離欄），菜園的一面靠墻 （籬笆的寬度忽略不計）
(1)菜園面積可能為嗎？若可能，求邊長的長，若不可能，請說明理由；
(2)因場地限制，菜園的寬度不能超過，求該菜園面積的最大值．
【變式1.2】（2023九年級·安徽馬鞍山·期中）用木料制作成一個如圖所示的“目”形長方形大窗框（橫檔，也用木料，其中，要使窗框的面積最大，則的長為 m．
【變式1.3】（2023九年級·山東濟南·期末）【綜合與實踐】數學來源于生活，同時數學也可以服務于生活．
【知識背景】如圖，校園中有兩面直角圍墻（兩邊足夠長），墻角內的處有一棵古樹與墻、的距離分別是15米和6米，在美化校園的活動中，某數學興趣小組想借助圍墻（兩邊足夠長），用28米長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍、兩邊），設米．
【方案設計】設計一個矩形花園，使之面積最大，且要將古樹P圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細）．
【解決問題】思路：把矩形的面積與邊長（即的長）的函數解析式求出，并利用函數的性質來求面積的最大值即可．

(1)請用含有x的代數式表示的長： ；
(2)求面積S與x的函數解析式，寫出x的取值范圍；并求當x為何值時，花園面積S最大，最大面積為多少？
【考點2 利用二次函數解決面積最小值問題】
【例2.1】（2023九年級·廣東肇慶·期末）如圖，在矩形中，，，從點開始沿向終點以的速度移動，與此同時，點從點開始沿邊向點以的速度移動，如果、分別從、同時出發，當點運動到點時，兩點停止運動，設運動時間是．
(1)t為何值時，？
(2)t為何值時，的長度為？
(3)設五邊形的面積為，當t為何值時，五邊形的面積最小？最小面積為多少？
【例2.2】（2023九年級·浙江杭州·期末）如圖，要在一面靠墻（墻長11米）的空地上，用長為16米的籬笆圍成一個矩形花圃（靠墻一邊不超過墻長），設與墻平行的一邊的長為米，面積為平方米.
（1）直接寫出：與墻垂直的一邊的長（用含的代數式表示）；
（2）若矩形花圃的面積為30平方米，求的長；
（3）若與墻平行的一邊的長度不小于與墻垂直的一邊的長度，問邊應為多少米時，才能使矩形花圃所占地面面積最小，最小的面積是多少？
【例2.3】（2023九年級·湖北武漢·階段練習）將一根長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，設其中一段鐵絲長為4x cm，兩個正方形的面積和為y cm2
（1）求y與x的函數關系式；
（2）要使這兩個正方形面積之和為17cm2，那么這根鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少？
（3）要使這兩個正方形面積之和最小，則這根鐵絲剪成兩段后的長度各是多少？這兩個正方形面積之和最小為多少？
【變式2.1】（2023九年級·江蘇連云港·學業考試）把一根長為的鐵絲剪成兩段，并把每一段鐵絲圍成一個正方形．若設圍成的一個正方形的邊長為．
（1）要使這兩個正方形的面積的和等于，則剪出的兩段鐵絲長分別是多少？
（2）剪出的兩段鐵絲長分別是多少時，這兩個正方形的面積和最小？最小值是多少？
【變式2.2】（2023九年級·甘肅定西·階段練習）如圖，矩形中，，，點M以的速度從點B向點C運動，點N以的速度從點C向點D運動．兩點同時出發，設運動開始第t秒鐘時，五邊形的面積為．
(1)寫出S與t的函數關系式，并指出自變量t的取值范圍；
(2)當運動多少秒時五邊形的面積最小 并求出最小面積．
【變式2.3】（2023九年級·廣西南寧·階段練習）如圖，點E，F，G，H分別在邊長為6的正方形的四條邊上運動，四邊形也是正方形．

(1)求證：；
(2)設的長為x，正方形的面積為y，求y關于x的函數解析式；
(3)在（2）的條件下，當的長為多少時，正方形的面積最小？最小值是多少？
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023九年級·廣西南寧·階段練習）在美化校園活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍兩邊），設，若在處有一棵樹與墻的距離分別是和，要將這棵樹圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細），則花園面積的最大值為 ．
【題型2】（2023九年級·天津濱海新·期末）如圖，用一段長為的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為．設矩形菜園的邊的長為,面積為,其中．
有下列結論：
①x的取值范圍為；
②的長有兩個不同的值滿足該矩形菜園的面積為；
③矩形菜園的面積的最大值為．
其中，正確結論的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【題型3】（2023·新疆烏魯木齊·模擬預測）加強勞動教育，落實五育并舉．某中學在當地政府的支持下，建成了一處勞動實踐基地．2024年計劃將其中的土地全部種植甲乙兩種蔬菜．經調查發現：甲種蔬菜種植成本（單位：元與其種植面積（單位：的函數關系如圖所示，其中，乙種蔬菜的種植成本為50元．
(1)當為多少時，是35元；
(2)設2024年甲乙兩種蔬菜總種植成本為元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使最小？
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023九年級·山東濱州·期中）如圖，陽信縣某中學把五育并舉與減負延時服務相結合，勞動課準備在校園里利用校圍墻的一段再圍三面籬笆，形成一個矩形茶園，讓學生在茶園里體驗種茶活動．現已知校圍墻長25米，籬笆40米長（籬笆用完），設長米，矩形茶園的面積為平方米．

(1)求S與之間的函數關系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
(2)矩形茶園的面積是否有最大值？若有，求出的長．若沒有，說明理由．
【題型2】（2023九年級·浙江臺州·期末）如圖，校園某處的直角墻角，墻長，長，現準備用長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍兩邊），設，花園的面積為．
(1)若花園的面積為，求x的值；
(2)寫出S與x的函數關系式；
(3)求出花園面積S的最大值．
【題型3】（2023九年級·重慶南岸·期末）為了加強中小學學生的勞動教育，2024年計劃將該區的土地作為社會實踐基地，該基地準備種植甲乙兩種蔬菜．經調查發現：甲種蔬菜種植成本y（單位：元）與其種植面積x（單位：）的函數關系，其中；乙種蔬菜的種植成本為50元．
(1)設2024年甲乙兩種蔬菜總種植成本為w元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使w最小？
(2)學校計劃今后每年在這土地上，均按（1）中方案種植蔬菜，因技術改進，預計種植成本逐年下降．若甲種蔬菜種植成本平均每年下降，乙種蔬菜種植成本平均每年下降，當a為何值時，2026年的總種植成本為28920元？
【考點1 利用二次函數計算建筑物的高度問題】
【例1.1】（2023·河南鶴壁·模擬預測）廊橋是我國古老的文化遺產．如圖是某座拋物線形廊橋的示意圖，已知水面AB寬48m，拱橋最高處點C到水面的距離為12m，為保護該橋的安全，現要在該拋物線上的點E，F處安裝兩盞警示燈，若要保證兩盞燈的水平距離是24m，則警示燈E距水面的高度為（ ）
A．12m B．11m C．10m D．9m
【例1.2】（2023·甘肅蘭州·一模）如圖1，從遠處看蘭州深安黃河大橋似張開的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黃河上，它采用疊合梁拱橋方案設計．深安黃河大橋主拱形呈拋物線狀，從上垂下若干個吊桿，與橋面相連．如圖2所示，建立平面直角坐標系，吊桿到原點O的水平距離，吊桿到原點O的水平距離，且，主拱形離橋面的距離與水平距離近似滿足二次函數關系，其對稱軸為直線．
(1)求的長度：
(2)求主拱形到橋面的最大高度的長．
【例1.3】（2023九年級·安徽安慶·期末）一輛卡車要通過跨度為8米，拱高為4米的拋物線形隧道，車從隧道正中通過，為保證安全行車，在車頂到隧道頂部的距離至少要米，若卡車寬米，則卡車限高為多少米？
【變式1.1】（2023九年級·福建福州·期中）一座拱橋的輪廓是拋物線型（如圖所示），拱高，跨度，相鄰兩支柱間的距離均為，支柱的高度為，則橋高為 ．

【變式1.2】（2023九年級·四川綿陽·期中）如圖，一座拋物線型拱橋，橋下水面寬度是時，拱頂到水面的距離是，則當水面寬為時，水面上升了（　　）

A． B．1 C． D．
【變式1.3】（2023九年級·山東煙臺·期中）一座拱橋的示意圖如圖2所示，當水面寬為16米時，橋洞頂部離水面4米．已知橋洞的拱橋是拋物線

(1)建立合適的平面直角坐標系，求該拋物線的表達式；
(2)由于暴雨導致水位上漲了1米，求此時水面的寬度；
(3)已知一艘貨船的高為2.16米，寬為3.2米，其截面如圖3所示．為保證這艘貨船可以安全通過拱橋，水面在正常水位的基礎上最多能上升多少？（結果精確到0.1）
【考點2 利用二次函數計算建筑物的跨度問題】
【例2.1】（2023九年級·吉林長春·期末）如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內，與水平橋面相交于兩點，拱橋最高點到的距離為米，米，為拱橋底部的兩點，且，若點到直線的距離為米，則的長為 米．
【例2.2】（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，某公司的大門是一拋物線形建筑物，大門的地面寬度和大門最高點離地面的高度都是，公司想在大門兩側距地面處各安裝一盞壁燈，兩盞壁燈之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【例2.3】（2023九年級·山東青島·開學考試）圖中是拋物線拱橋，P處有一照明燈，點P到水面的距離為，從O，A兩處觀測P處，仰角分別為，，且，，以O為原點，所在直線為x軸建立如圖所示平面直角坐標系，已知拋物線滿足．求拋物線表達式，并求拋物線上的最高點到水面的距離．

【變式2.1】（2023九年級·廣東江門·期末）如圖，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，左右兩個拋物線形是全等的．正常水位時，大孔水面寬度為，大孔頂點P距水面（即），小孔水面寬度為，小孔頂點Q距水面（即），建立如圖所示的平面直角坐標系．

(1)求大孔拋物線的解析式；
(2)現有一艘船高度是，寬度是，這艘船在正常水位時能否安全通過拱橋大孔？并說明理由．
(3)當水位上漲時，求小孔的水面寬度．
【變式2.2】（2023九年級·山東聊城·期末）泗水卞橋（如圖①始建于晚唐時期，造型雅樸，雕飾精美，是山東省現存最古老的橋梁．拱橋中孔輪廓近似拋物線，現以拱橋的中孔最高點為坐標原點建立平面直角坐標系（如圖②，已知兩點的距離為6米時，到軸的距離為3米．當水面與軸的距離為4米時，水面寬度等于 米．
【變式2.3】（2023九年級·山西長治·期末）圖1是山西晉城丹河大橋，位處太行山脈南端，橋梁欄桿上有多幅與歷史文化有關的石雕圖畫，體現了現代與傳統文明的完美結合．丹河大橋拱橋橋洞的形狀呈拋物線形，現以水面為x軸，拱橋左側與水面的交點為原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，已知水面的寬度為米，拱橋離水面的最大高度為米．
(1)求該拋物線的表達式；
(2)若要在橋洞兩側壁上距離水面米的點B和點C處各安一盞景觀燈，求兩盞景觀燈之間的水平距離．
【考點3 利用二次函數解決車過隧道問題】
【例3.1】（2023九年級·河南駐馬店·階段練習）如圖1所示是某即將通行的雙向隧道的橫斷面．經測量，兩側墻和與路面垂直，隧道內側寬米．工程人員在路面上取點E，測量點E到墻面的距離，點E到隧道頂面的距離．設米，米．通過取點、測量，工程人員得到了x與y的幾組值，如表：
x/米 0 2 4 6 8
y/米 2.5 4.75 5.5 4.75 2.5

(1)若以點A為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標系，求出隧道頂部所在拋物線的解析式；
(2)如圖2所示，一輛輕卡要在隧道內靠右模擬試行，依據圖紙要求汽車距離右側墻的距離不小于0.8米且到隧道頂面的距離不小于0.33米．按照這個要求，隧道需標注的限高應為多少米？
【例3.2】（2023九年級·浙江臺州·期中）為促進經濟發展，方便居民出行，某施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，隧道最高點P離路面的距離為6米，寬度為12米．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)若隧道內設雙向行車道，并且中間有一條寬為1米的隔離帶，如果一貨運汽車裝載某大型設備后高為4米，寬為3.5米，按如圖所示的平面直角坐標系這輛貨車能否安全通過？為什么？
【例3.3】（2023·河南平頂山·三模）小明發現有一處隧道的截面由拋物線的一部分和矩形構成，他對此展開研究：測得矩形的寬為，長為，最高處點P到地面的距離為，建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為 ，其中表示拋物線上任一點到地面的高度，表示拋物線上任一點到隧道一邊的距離．
(1)求拋物線的解析式．
(2)為了保障貨車在道路上的通行能力及行車安全，根據我國交通運輸部的相關規定，普通貨車的寬度應在之間，高度應在之間，小明發現隧道為單行道，一貨車沿隧道中線行駛，寬為，貨車的最高處與隧道上部的豎直距離約為，通過計算，判斷這輛貨車的高度是否符合規定．
【變式3.1】（2023九年級·廣東珠海·期中）如圖隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長是寬是．按照圖中所示的直角坐標系，拋物線可以用表示．
（1）求拋物線的函數關系式，并計算出拱頂到地面的距離；
（2）一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為，寬為如果隧道內設雙向車道，那么這輛貨車能否安全通過
【變式3.2】（2023九年級·安徽六安·階段練習）如圖，某市一條高速公路的隧道口在平面直角坐標系上的示意圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長是16m，寬是6m，隧道頂距地面8m．
(1)求出隧道上部拋物線的解析式；
(2)現有一大型運貨汽車，裝載某大型設備后，其寬為4m，車載大型設備的頂站與路面的距離均為7m，它能否完全通過這個隧道？請說明理由．
(3)如果該隧道內設雙行道，那么這輛運貨汽車沿隧道中線右側行駛能否完全通過這個隧道？說明理由．
【變式3.3】（2023·安徽·模擬預測）如圖，某長為的隧道的橫截面頂部為拋物線形，隧道的左側是高為的墻，右側是高為的墻，拱壁上某處離地面的高度與其離墻的水平距離之間的關系滿足．現測得兩墻體之間的水平距離為．
(1)求該拋物線的函數關系式，并計算出拱頂到地面的距離．
(2)從隧道頭到隧道尾，在拋物線形拱壁上安裝若干排吊燈，每排吊燈與地面的距離都不低于，每相鄰兩排吊燈之間的水平距離為，每排內相鄰兩盞吊燈之間的距離為．求共需要多少盞吊燈？
(3)如果隧道內設雙向行車道，每條車道的寬為，兩條車道之間是寬為的綠化帶，一輛貨車載一個長方體集裝箱后高為、寬為，那么這輛貨車無論從哪條車道都能安全通過嗎？請說明理由．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023九年級·陜西榆林·期末）如圖是一座拱橋，圖2是以左側橋墩與水面接觸點為原點建立的平面直角坐標系，其拋物線形橋拱的示意圖，經測量得水面寬度，拱頂到水面的距離為．
(1)求這條拋物線的表達式；
(2)為迎接新年，管理部門在橋下懸掛了3個長為的燈籠，中間的燈籠正好懸掛在處，兩邊燈籠與最中間燈籠的水平距離為，為了安全，要求燈籠的最低處到水面的距離不得小于．根據氣象局預報，過年期間將會有一定量的降雨，橋下水面會上升，請通過計算說明，現在的懸掛方式是否安全．
【題型2】（2023九年級·陜西西安·階段練習）如圖，某市新建的一座拋物線型拱橋，在正常水位時水面寬，當水位上升時，水面寬．
(1)按如圖所示的直角坐標系，此拋物線的函數表達式為 ．
(2)有一條船以的速度向此橋徑直駛來，當船距離此橋時，橋下水位正好在處，之后水位每小時上漲，當水位達到處時，將禁止船只通行．如果該船的速度不變繼續向此橋行駛時，它能否安全通過此橋？
【題型3】（2023九年級·山東青島·階段練習）如圖，有一條雙向隧道，其橫斷面由拋物線和矩形的三邊組成，隧道的最大高度為米；米，米，
(1)在如圖所示的坐標系中，求拋物線的解析式．
(2)若有一輛高為4米，寬為2米裝有集裝箱的汽車要通過隧道，則汽車靠近隧道的一側離開隧道壁m米，才不會碰到隧道的頂部，又不違反交通規則，問m的取值范圍是多少？
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023九年級·河南周口·期末）拱橋是指由拱形結構成的橋梁，它是中國古代建筑中的重要形式之一，在中國的古代建筑史上占據著重要的地位，因其獨特的結構和精美的外觀而受到廣泛的贊譽和喜愛．圖1是一座拱橋，此拱橋的拱形呈拋物線形狀，在拱橋中，當水面寬度為時，水面離橋洞的最大距離為，如圖2，以水平面為x軸，點O為原點建立平面直角坐標系
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當河水上漲，水面離橋洞的最大距離為3m時，求拱橋內水面的寬度．
【題型2】（2023·寧夏銀川·模擬預測）現要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，以O為坐標原點，以所在直線為x軸，建立平面直角坐標系．根據設計要求：，該拋物線的頂點P到的距離為．
(1)求滿足設計要求的拋物線的函數表達式；
(2)現需在這一隧道內壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點A、B處分別安裝照明燈．已知點A、B到的距離均為，求A、B兩點間的距離．
【題型3】（2023·河南周口·二模）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，其中長方形的長，寬．按照圖中所示的平面直角坐標系，拋物線可以用表示，且拋物線上的點C到墻面的水平距離為時，到地面的距離為．為安全起見，隧道正中間有寬為的隔離帶．
(1)求b，c的值，并計算出拱頂D到地面的距離．
(2)一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為，寬為，如果隧道內設雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？
(3)在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，且它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？
【考點1 利用二次函數解決拋體運動問題】
【例1.1】（2023九年級·河北保定·期中）擲實心球是中考體育考試項目之一．如圖1是一名男生投實心球情境，實心球行進路線是條拋物線，行進高度與水平距離之間的函數關系如圖2所示．擲出時，起點處高度為．當水平距離為時，實心球行進至最高點處．
(1)求關于的函數表達式；
(2)根據中考體育考試評分標準（男生版），投據過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于時，即可得滿分分．該男生在此項考試中能否得滿分，請說明理由．
【例1.2】（2023·安徽蕪湖·一模）如圖1所示的某種發石車是古代一種遠程攻擊的武器，發射出去的石塊的運動軌跡是拋物線的一部分，且距離發射點20米時達到最大高度10米．將發石車置于山坡底部O處，山坡上有一點A，點A與點O的水平距離為30米，與地面的豎直距離為3米，AB是高度為3米的防御墻．若以點O為原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系．
(1)求石塊運動軌跡所在拋物線的解析式；
(2)試通過計算說明石塊能否飛越防御墻AB；
(3)在豎直方向上，試求石塊飛行時與坡面OA的最大距離．
【例1.3】（2023·河北邯鄲·二模）如圖，在平面直角坐標系中，從原點的正上方8個單位處向右上方發射一個小球，小球在空中飛行后，會落在截面為矩形的平臺上（包括端點），把小球看作點，其飛行的高度與飛行的水平距離滿足關系式．其中，，．
(1)求的值；
(2)求的取值范圍；
(3)若落在平臺上的小球，立即向右上方彈起，運動軌跡形成另一條與形狀相同的拋物線，在軸有兩個點、，且，，從點向上作軸，且．若沿拋物線下落的小球能落在邊（包括端點）上，求拋物線最高點縱坐標差的最大值是多少？
【變式1.1】（2023九年級·內蒙古赤峰·階段練習）如圖，某同學在練習打網球時發現，網球沿與地面成一定角度的方向飛出，網球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，網球的飛行高度（單位：）與飛行時間（單位：）之間具有函數關系， 根據要求解答下列問題：

(1)在飛行過程中，當網球的飛行高度為時，飛行時間是多少？
(2)在飛行過程中，網球從飛出到落地所用時間題多少？
(3)在飛行過程中，網球飛行高度何時最大？最大高度是多少？
【變式1.2】（2023·河南平頂山·一模）在某場籃球比賽中，運動員甲在距籃下的三分線外跳起投籃，球運行的路線大致是拋物線，當球運行的水平距離為時，球達到最大高度，然后準確落入籃圈，籃圈中心到地面的距離為，建立如圖所示的平面直角坐標系．
(1)請求出該拋物線的表達式；
(2)另一運動員乙位于運動員甲與原點之間，且距離甲為，原地起跳后成功蓋帽攔截運動員甲投出的球，問：運動員乙起跳后雙手達到的高度至少為多少？（結果精確到）
【變式1.3】（2023九年級·河南安陽·期末）足球作為一項重要的體育運動，越來越受到廣大體育愛好者的喜歡，校園足球更是同學們的最愛．在一次足球訓練中，小王從球門正前方9米的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線形．當球飛行的水平距離為6米時，球達到最高點D，此時球離地面4米．已知球門的高為2.44米，現以O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系．
(1)求拋物線的函數表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）；
(2)對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，請通過計算說明當時小王應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經過B點正上方米處入門？
【考點2 利用二次函數解決利潤問題】
【例2.1】（2023·遼寧錦州·二模）某超市銷售一種商品，成本價為30元/千克，經市場調查，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間滿足一次函數關系，規定每千克售價不能低于30元，且不高于80元．
(1)如果該超市銷售這種商品每天獲得3600元的利潤，那么該商品的銷售單價為多少元？
(2)設每天的總利潤為w元，當銷售單價定為多少元時，該超市每天的利潤最大？最大利潤是多少元？
【例2.2】（2023九年級·江蘇無錫·階段練習）某經銷商以24元/箱的價格進了一批礦泉水，商家批發時發現在批發數量不超過100箱時，該礦泉水的批發價y（元/箱）與批發數量x（箱）之間滿足如下折線段圖象．
(1)當時，求出此時y與x的函數關系式；
(2)求該批發商在批發出多少箱礦泉水時才能獲取最大利潤．
【例2.3】（2023·四川南充·中考真題）2024年“五一”假期期間，閬中古城景區某特產店銷售A，B兩類特產．A類特產進價50元/件，B類特產進價60元/件．已知購買1件A類特產和1件B類特產需132元，購買3件A類特產和5件B類特產需540元．
(1)求A類特產和B類特產每件的售價各是多少元？
(2)A類特產供貨充足，按原價銷售每天可售出60件．市場調查反映，若每降價1元，每天可多售出10件（每件售價不低于進價）．設每件A類特產降價x元，每天的銷售量為y件，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．
(3)在（2）的條件下，由于B類特產供貨緊張，每天只能購進100件且能按原價售完．設該店每天銷售這兩類特產的總利潤為w元，求w與x的函數關系式，并求出每件A類特產降價多少元時總利潤w最大，最大利潤是多少元？（利潤＝售價－進價）
【變式2.1】（2023九年級·浙江杭州·階段練習）某公司分別在A、B兩城生產一批同種產品，共100件，A城生產產品的成本y（萬元）與產品數量x（件）之間的函數關系為，當時，；當時，．B城生產產品的每件成本為70萬元．
(1)求A城生產產品的成本y（萬元）與產品數量x（件）之間的函數關系式；
(2)若A、B兩城生產這批產品的總成本的和為w（萬元），求w與A城產品數量x（件）之間的函數關系式；
(3)當A、B兩城生產這批產品的總成本的和最少時，求A、B兩城各生產多少件．
【變式2.2】（2023·四川遂寧·中考真題）某酒店有兩種客房、其中種間，種間．若全部入住，一天營業額為元；若兩種客房均有間入住，一天營業額為元．
(1)求兩種客房每間定價分別是多少元？
(2)酒店對種客房調研發現：如果客房不調價，房間可全部住滿；如果每個房間定價每增加元，就會有一個房間空閑；當種客房每間定價為多少元時，種客房一天的營業額最大，最大營業額為多少元？
【變式2.3】（2023九年級·全國·競賽）某種學習用品每件的市場售價（單位：元）、生產成本（單位：元）都是時間（單位：月）的函數，如圖所示．根據圖示信息，分別求出每件學習用品的市場售價、生產成本和利潤關于時間的函數關系式，并求出在第幾個月出售時，每件該學習用品的利潤最大？最大利潤是多少？

【考點3 利用二次函數解決行程問題】
【例3.1】（2023九年級·陜西咸陽·階段練習）交通工程學理論把在單向道路上行駛的汽車看成連續的流體，并用流量和速度來描述車流的基本特征，其中流量（輛/小時）指單位時間內通過道路指定斷面的車輛數；速度（千米/小時）指通過道路指定斷面的車輛速度．為配合大數據治堵行動，測得某路段流量與速度之間的關系式為．
(1)若該路段上汽車行駛的速度為40千米/小時，則該路段的流量為多少？
(2)當該路段的車輛速度為多少時，流量達到最大？最大流量是多少？
【例3.2】（2023九年級·河北石家莊·期中）我校數學興趣小組對某運載汽車的剎車距離做了研究，發現剎車距離S是K與T兩部分之和，其中，K與行車速度x的平方成正比，比例系數為a；T為系數b、全車重量m及行車速度x三者的乘積（系數a、b；均為定值）．根據調查數據制作了如下表格：
全車重量m（噸） 行車速度x（邁） 剎車距離（米）
第一次觀測 10 40 20
第二次觀測 10 50 30
(1)用a和x表示_________，用b，m，x表示_________；
(2)根據表格中的數據，求剎車距離S與行車速度x之間的函數關系式；若該車速度為80邁，剎車距離是多少？
(3)若某高速路段要求限速100邁，要想剎車距離不大于120米，則該車最多再加多少噸貨物？
【例3.3】（2023九年級·浙江臺州·期末）如圖1，在高速公路上，為了避免載重貨車剎車失靈造成事故，在長下坡路段設計避險車道．
避險車道的截面圖如圖2，通過引道把貨車引導到鋪有一定厚度礫石的制動坡的坡底處，然后通過上坡中汽車自身的重力和松散礫石坡面增大輪胎的滾動摩擦，從而達到給貨車減速的目的．
(1)如圖3是從上往下觀察一段長下坡路段的平面示意圖，現要設計引道引導貨車從行車道行駛到避險車道，你認為怎樣設計引道比較合適？請你畫出引道的平面示意圖，并簡要說明理由．
(2)如圖2，設貨車在制動坡上處的初速度為（單位：），運動時間為（單位：）時刻的速度為（單位：），制動坡面的摩擦系數為，制動坡坡度為， ，根據科學原理，有，其中（單位：）．
①貨車在制動坡上行駛到秒的平均速度是多少？行駛的路程是多少？（平均速度，用含有的式子表示）；
②如果，問：貨車在制動坡上行駛多少米才能停下（精確到，）？
③某段高速公路長下坡上貨車剎車失靈后，到達制動坡底的初速度不超過，在②的條件下，制動坡長至少要多長（精確到）？
【變式3.1】（2023九年級·浙江·期中）甲船從A處起以的速度向正北方向航行，這時乙船從A的正東方向的B處起以的速度向西航行，多長時間后，兩船的距離最小？最小距離是多少？
【變式3.2】（2023九年級·浙江紹興·階段練習）某日上午7：00，一列火車在A城的正北24km處，以12km/h的速度駛向A城．同時，一輛汽車在A城的正東12km處，以12km/h的速度駛向正西方向行駛．假設火車和汽車的行駛的方向和速度都保持不變．
問：（1）何時火車與汽車之間的距離最近？最近距離是多少千米？
（2）當火車與汽車之間的距離最近時，汽車是否已過鐵路與公路的立交處？
【變式3.3】（2023九年級·湖北黃石·期末）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
（1）當時，求車流速度v關于x的解析式；
（2）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/時，）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023·浙江溫州·二模）為了解新建道路的通行能力，查閱資料獲知：在某種情況下，車流速度V（單位：千米/時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數，其函數圖象如圖所示．
(1)當時，求V關于x的函數表達式．
(2)車流量是單位時間內通過觀測點的車輛數，計算公式為：車流量車流速度車流密度．若車流速度V不超過80千米/時，求當車流密度x為多少時，車流量P（單位：輛/時）達到最大，并求出這一最大值．
【題型2】（2023九年級·浙江臺州·期末）大自然中有一種神奇的魚一射水魚，它能以極快的速度從口中射出拋物線形水柱擊落昆蟲來捕食，如圖1，已知水柱的解析式為，水柱的最大高度為．
(1)當射水魚在原點處時，求水柱的解析式；
(2)如圖2，昆蟲在處停留，水柱形成的時間忽略不計，射水魚從原點出發．
①射水魚需要水平向右游動多少距離才能擊中昆蟲？
②昆蟲發現原點處的射水魚后立即以的速度水平向右逃離，同時射水魚以的速度水平向右追趕，經過多少時間，射水魚恰好能擊中昆蟲？
【題型3】（2023·河南濮陽·三模）如圖1，為打造潴龍河夜景景觀觀賞通道，管理部門在河道兩旁安裝了噴水裝置．噴水水柱要越過綠道噴入潴龍河中．圖2是其截面圖，已知綠道路面寬米，河道壩高米，壩面的坡比為（其中），是河底．當水柱離噴水口O處水平距離為2米時，離地平面距離的最大值為3米．為解決這個問題，建立如圖3的平面直角坐標系．
(1)出于安全考慮，在河道的壩邊A 處安裝護欄，要求水柱不能噴射到護欄上，則護欄的最大高度是多少米（結果保留一位小數）？
(2)水柱落入水中會濺起美麗的水花，河水水深至少為多少米時，噴水水柱剛好落在水面上？
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023九年級·江西九江·期中）去年夏天，全國多地出現了極端高溫天氣，某商場抓住這一商機，先用3200元購進一批防紫外線太陽傘，很快就銷售一空，商場又用8000元購進了第二批這種太陽傘，所購數量是第一批的2倍，但單價貴了4元，商店在銷售這種太陽傘時，每把定價都是50元，每天可賣出20把．
(1)求兩次共購進這種太陽傘多少把；
(2)商場為了加快資金的回籠速度，打算對第二批太陽傘進行降價銷售，經市場調查，如果這種太陽傘每把降價1元，則每天可多售出2把，這種太陽傘降價多少元時，才能使商場每天的銷售額最大？每天最大的銷售額是多少元？
【題型2】（2023九年級·浙江杭州·期中）鷹眼系統能夠追蹤、記錄和預測球的運動軌跡．如圖分別為足球比賽中某一時刻的鷹眼系統預測畫面（如圖1）和截面示意圖（如圖2），攻球員位于點，守門員位于點的延長線與球門線交于點，且點均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線，已知，足球飛行的水平速度為，水平距離（水平距離水平速度時間）與離地高度的鷹眼數據如表：（單位：）
9 12 15 18 21
4.28 4.82 5 4.82 4.28
(1)假如沒有守門員，根據表中數據預測足球落地時，求的值：
(2)求關于的函數解析式；
(3)守門員在攻球員射門瞬間就作出防守反應，當守門員位于足球正下方時，足球離地高度不大于守門員的最大防守高度視為防守成功．已知守門員背對足球向球門前進過程中最大防守高度為，若守門員背對足球向球門前進并成功防守，求此過程守門員的最小速度．
【題型3】（2023·湖北宜昌·二模）一架飛機在跑道起點處著陸后滑行的相關數據如下表：
滑行時間 0 1 2 3 4
滑行速度 60 57 54 51 48
已知該飛機在跑道起點處著陸后的滑行速度y（單位：）與滑行時間t（單位：s）之間滿足一次函數關系．而滑行距離平均速度時間t，，其中是初始速度，是t秒時的速度．
(1)直接寫出y關于t的函數解析式和自變量的取值范圍；
(2)求飛機滑行的最遠距離；
(3)當飛機在跑道起點處著陸后滑行了，求此時飛機的滑行速度；
(4)若飛機在跑道起點處開始滑行時，發現前方有一輛通勤車正以的速度勻速同向行駛，試問飛機滑行過程中是否有碰撞通勤車的危險？
1．（2023·湖南長沙·模擬預測）某校九年級學生在數學社團課上進行紙盒設計，利用一個邊長為的正方形硬紙板，在正方形紙板的四角各剪掉一個同樣大小的小正方形，將剩余部分折成一個無蓋紙盒．
(1)若無蓋紙盒的底面積為，則剪掉的小正方形的邊長為多少？
(2)折成的無蓋紙盒的側面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的小正方形的邊長；如果沒有，說明理由．
2．（2023·山西晉城·三模）學科實踐驅動任務：用數學的眼光觀察校園．
研究步驟：
①如圖，某同學觀察校門口的隔離欄發現，各個欄桿上涂有顏色部分的頂端及點A，B所在曲線呈拋物線形（欄桿寬度忽略不計）；
②隔離欄長為，隔離欄被12根欄桿等分成13份，左起第4根欄桿涂色部分的高度．
問題解決：
(1)請以點A為坐標原點，所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，并求出拋物線的函數表達式；
(2)若相鄰某兩根欄桿涂色部分的高度差為，求這相鄰的兩根欄桿分別是左起第幾根？
3．（2023·湖北十堰·模擬預測）某旅游景區新進一批文創產品，每件進價是30元，并規定每件售價不得少于50元．根據以往銷售經驗發現，當每件售價定為50元時，日銷售量為500件，每件售價每提高元，日銷售量減少5件．設每件售價為x元，日銷售量為y件．
(1)求y與x之間的函數關系式；
(2)當每件售價定為多少元時，日銷售利潤W（元）最大？最大利潤是多少？
(3)當日銷售利潤不低于6000元時，求每件文創產品售價x的取值范圍．
4．（2023·河北唐山·二模）某課外科技活動小組研制了一種航模飛機，通過實驗，發現該航模飛機相對于出發點的飛行水平距離與飛行時間之間的函數關系式為，該航模飛機相對于出發點的飛行高度與飛行時間之間的函數關系式為（為常數）．示意圖如圖，若該航模飛機從水平安全線上的A處發射，則飛機再次落到水平安全線上時飛行的水平距離為60m．
(1)求a的值；
(2)求y關于x的函數解析式，并求飛行高度y的最大值；
(3)該活動小組在水平安全線上的點A處設置一個高度可以變化的發射平臺進行試飛訓練，發射平臺高度的取值范圍為，并在水平安全線上設置一個飛機降落區域，若保證飛機能落在區域內，求線段的最小長度．
5．（2023·浙江杭州·二模）“水門禮”是民航最高級別的禮儀，寓意接風洗塵，C919國產大飛機首航抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”．如圖1，兩輛車向飛機噴射水柱，形成的兩條水柱形狀相同，均可以看作是拋物線的一部分，當兩輛車噴水口的水平距離為60米，兩條水柱在拋物線的頂點處相遇．建立直角坐標系，如圖2，此時頂點距離地面22米，噴水口，點距地面均為4米．（噴射水柱的動力和角度均保持不變）
(1)請寫出經過，，三點的拋物線的函數表達式．
(2)若兩輛車同時向后退10米，兩條水柱形狀及噴水口到地面的距離均保持不變，兩條水柱的相遇點距離地面多少米？
(3)若水柱相遇點距離地面14米，兩輛車應該在（2）的條件下再分別后退多少米？
6．（2023九年級·寧夏銀川·期末）某商城在2024年元旦節期間舉行促銷活動，一種熱銷商品進貨價為每個14元，標價為每個20元．
(1)商城舉行了“感恩老客戶”活動，對于老客戶，商城連續兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以每個16.2元的價格售出，求商城每次降價的百分率；
(2)市場調研表明：當每個售價20元時，平均每天能夠售出40個，當每個售價每降1元時，平均每天就能多售出10個，在保證每個商品的售價不低于進價的前提下，商城要想獲得最大利潤，每個商品的定價應為多少元？最大利潤是多少？
7．（2023·山西呂梁·模擬預測）隨著多地中考體育項目以及分值的調整，游泳成為某些地區中考選考科目，如圖某校新建成游泳館的截面由拋物線的一部分和矩形組成，其中米，米，最高點P離地面的距離為9米，以地面所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標系．

(1)求拋物線的表達式．
(2)學校計劃在體育周舉行游泳比賽，體育老師設計了6米長的豎狀條幅從頂棚拋物線部分懸掛下來（條幅的寬可忽略不計），為了安全起見，條幅最低處位于地面上方2米，求條幅與的水平距離．
8．（2023·河南周口·二模）某道路兩側有兩個與地面垂直且長度相等的電線桿和，中間是自然垂下的電線，符合拋物線特征．兩電線桿的距離為，電線桿上的電線離地面的距離均為，最低點到地面的距離為．
(1)請建立合適的平面直角坐標系，并求出該拋物線的函數表達式；
(2)因實際需要，電力公司需要在 之間增設一根電線桿，若增設的電線桿距離為，使得左邊形成的拋物線的最低點距為，到地面的距離為，求電線桿 上電線離地面的距離．
9．（2023·河北石家莊·三模）在一次全國自由式滑雪比賽項目中，運動員首先沿著跳臺助滑道飛速下滑，然后在起跳點騰空，身體在空中飛行至著陸坡著陸，再滑行到停止區終止，某數學小組對該項目中的數學問題進行了深入研究，如圖是該小組繪制的賽道截面圖，以停止區所在的進水平線為x軸，過起跳點A與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系，為著陸坡，，某運動員在A處起跳騰空后，飛行至著陸坡的B處著陸，飛行軌跡呈拋物線形，過點B作軸于點E，且，在空中飛行過程中，運動員到x軸的距離與水平方向移動的距離具備二次函數關系，其關系式為．
(1)c的值為__________，B點的坐標是__________．
(2)進一步研究發現，該運動員在飛行過程中，其水平方向移動的距離與飛行時間具備一次函數關系，當運動員在起跳點騰空時，，；空中飛行后著陸．求x關于t的函數關系式．
(3)在（2）的條件下，當：t為何值時，運動員離著陸坡的豎直距離h最大，最大值是多少？
10．（2023·安徽六安·模擬預測）如圖1是某文藝舞臺背景裝飾架的示意圖，它是以支架為對稱軸的軸對稱圖形（支架粗細忽略不計），垂直舞臺于點O，米，米，曲線均為拋物線的一部分．數學活動小組測得曲線的最低點到舞臺的距離是5米，與支架的水平距離是4米．以O為原點建立平面直角坐標系如圖．
(1)求曲線的函數表達式（不用寫自變量的取值范圍）；
(2)數學活動小組又測得曲線的最低點到舞臺的距離是米，與支架的水平距離是5米．若按圖2的方式布置裝飾燈帶，布置好后成軸對稱分布，其中垂直于舞臺．
① 若與之間的距離比與之間的距離少2米，當米時，求的長度；
② 若，求裝飾燈帶總長度的最小值．中小學教育資源及組卷應用平臺
第12講 二次函數的應用
·模塊一 面積最值問題
·模塊二 建筑物問題和隧道問題
·模塊三 拋體運動、營銷、行程問題
·模塊四 課后作業
【考點1 利用二次函數解決面積最大值問題】
【例1.1】（2023·新疆吐魯番·三模）某居民小區要在一塊一邊靠墻（墻長）的空地上修建一個矩形花園，花園的一邊靠墻，另三邊用總長的柵欄圍成（如圖所示）．若設花園的邊長為，花園的面積為．
(1)求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
(2)滿足條件的花園面積能否達到？若能，請求出的值；若不能，請說明理由；
(3)當是多少時，矩形場地面積最大？最大面積是多少？
【答案】(1)，
(2)時，花園的面積能達到
(3)時，的最大值為
【分析】對于（1），先表示，再根據面積公式求出函數關系式，然后確定自變量的取值范圍；
對于（2），令，求出解即可；
對于（3），先確定拋物線的開口方向和對稱軸，再根據二次函數的增減性得出答案．
【詳解】（1）解：根據題意得：由題意可知為米，則
∴
因為墻長.
∴，
自變量的取值范圍是；
（2）此花園面積能達到，理由如下：，
解得（舍），，
時，花園的面積能達到 ；
（3），
∵，，
當隨的增大而減小，
∴時，的最大值為．
【點睛】本題主要考查了二次函數與幾何圖形的綜合問題，求二次函數關系式，二次函數與一元二次方程，求二次函數的極值，確定自變量的取值范圍是解題的關鍵．
【例1.2】（2023九年級·內蒙古赤峰·期中）如圖，一塊矩形土地由籬笆圍著，并且由一條與邊平行的籬笆分開．已知籬笆的總長為（籬笆的厚度忽略不計），當 m時，矩形土地的面積最大．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數函數的實際應用，設，求出的長度關系，然后求出四邊形的面積關系式，利用二次函數的性質即可求解．
【詳解】解：設，則，
∴矩形的面積為，
∵，開口向下，
∴當時，
S取得最大值為平方米，
故答案為．
【例1.3】（2023九年級·四川德陽·期中）某社區委員會決定把一塊長，寬的矩形空地改建成健身廣場；設計圖如圖所示，矩形四周修建4個全等的長方形花壇，花壇的長比寬多4米，其余部分修建健身活動區，設花壇的長為，健身活動區域的面積為．

(1)求出S與x之間的函數關系式；
(2)求健身活動區域的面積S的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用健身區域的面積等于矩形的面積減掉周圍四個長方形花壇的面積即可求解；
（2）把（1）中求得的S與x之間的函數關系式化成二次函數的頂點式，利用二次函數的增減性即可求解．
【詳解】（1）解：由題意解得：；
（2）解：∵，
∵，
∴拋物線開口向下，對稱軸為直線，
∴當時，S隨x的增大而減小，
∴當時，S有最大值，最大值為，
答：活動區域面積S的最大值為．
【點睛】本題考查了二次函數的應用及二次函數的性質，讀懂題意，找出題目中的等量關系是解題的關鍵．
【變式1.1】（2023九年級·福建龍巖·期末）如圖，現打算用的籬笆圍成一個“日”字形菜園（含隔離欄），菜園的一面靠墻 （籬笆的寬度忽略不計）
(1)菜園面積可能為嗎？若可能，求邊長的長，若不可能，請說明理由；
(2)因場地限制，菜園的寬度不能超過，求該菜園面積的最大值．
【答案】(1)可能，
(2)288平方米
【分析】本題考查了矩形的面積與周長，一元二次方程的應用，熟練掌握矩形的性質，一元二次方程的應用是解題的關鍵，根據題意，列出方程計算即可．
（1）設，則矩形的長，依題意，得：，解方程計算即可．
（2）設，則，依題意列出關于的面積，根據函數性質計算即可．
【詳解】（1）設，則矩形的長，依題意，得：，
即，
解得：，，
當時，，舍去，
當時，成立，
答：花園面積可能是，此時邊的長為14米．
（2）∵，則，依題意，得：
，
∵，
∴當時，y隨x的增大而增大，
∵，
∴當時，y最大，最大為288．
答：該菜園面積的最大值為288平方米．
【變式1.2】（2023九年級·安徽馬鞍山·期中）用木料制作成一個如圖所示的“目”形長方形大窗框（橫檔，也用木料，其中，要使窗框的面積最大，則的長為 m．
【答案】6
【分析】設AB的長為，得到，表示出窗框的面積，利用二次函數的最值求解即可．
【詳解】解：設的長為，則，
∴，
這窗框的面積，
，
，
，
，
∴當時，窗框ABCD的面積最大值為，
故答案為：6．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，表示出所需長度是解題的基礎，列出函數關系式是關鍵．
【變式1.3】（2023九年級·山東濟南·期末）【綜合與實踐】數學來源于生活，同時數學也可以服務于生活．
【知識背景】如圖，校園中有兩面直角圍墻（兩邊足夠長），墻角內的處有一棵古樹與墻、的距離分別是15米和6米，在美化校園的活動中，某數學興趣小組想借助圍墻（兩邊足夠長），用28米長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍、兩邊），設米．
【方案設計】設計一個矩形花園，使之面積最大，且要將古樹P圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細）．
【解決問題】思路：把矩形的面積與邊長（即的長）的函數解析式求出，并利用函數的性質來求面積的最大值即可．

(1)請用含有x的代數式表示的長： ；
(2)求面積S與x的函數解析式，寫出x的取值范圍；并求當x為何值時，花園面積S最大，最大面積為多少？
【答案】(1)
(2)，當米時，面積最大，最大為195平方米
【分析】本題主要考查了二次函數的應用以及二次函數最值求法，得出與的函數關系式是解答本題的關鍵．
（1）依據題意，由米，總長米，計算即可得解；
（2）依據題意，結合（1）可得，再由在點與，的距離分別是米和米，可得的范圍；由所得關于的函數關系式，根據函數增減性進行計算可以得解．
【詳解】（1）解：由題意，米，
米，
故答案為：；
（2）解：．
在點與，的距離分別是米和米，
．
．
面積與的函數解析式為：；
，拋物線的開口向下，對稱軸為直線，
當時，隨的增大而增大．
當時，取到最大值，
即當米時，花園面積最大，最大為195平方米．
【考點2 利用二次函數解決面積最小值問題】
【例2.1】（2023九年級·廣東肇慶·期末）如圖，在矩形中，，，從點開始沿向終點以的速度移動，與此同時，點從點開始沿邊向點以的速度移動，如果、分別從、同時出發，當點運動到點時，兩點停止運動，設運動時間是．
(1)t為何值時，？
(2)t為何值時，的長度為？
(3)設五邊形的面積為，當t為何值時，五邊形的面積最小？最小面積為多少？
【答案】(1)當時，．
(2)當或時，的長度為．
(3)當秒時，五邊形的面積最小，最小面積為．
【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，動點問題，三角形的面積二次函數的性質等，解題的關鍵是根據題意列函數關系式．
（1）根據題意得，，則，當時，點在的中垂線上，進而列方程求解即可；
（2）根據矩形的性質可得，根據勾股定理得出，，求解即可得出答案；
（3）根據題意可得當五邊形的面積為時，，再利用函數的性質即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵從點開始沿向終點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動，
∴，，
則，
當時，
故，
解得：，
故當時，．
（2）∵四邊形是矩形，
∴，
在中，，且，，，
即，
解得：，．
∴當或時，的長度為．
（3）∵五邊形的面積四邊形的面積，
故當五邊形的面積為時；
∴，
∵，有最小值，
∴當，
最小值為：，
∴當秒時，五邊形的面積最小，最小面積為．
【例2.2】（2023九年級·浙江杭州·期末）如圖，要在一面靠墻（墻長11米）的空地上，用長為16米的籬笆圍成一個矩形花圃（靠墻一邊不超過墻長），設與墻平行的一邊的長為米，面積為平方米.
（1）直接寫出：與墻垂直的一邊的長（用含的代數式表示）；
（2）若矩形花圃的面積為30平方米，求的長；
（3）若與墻平行的一邊的長度不小于與墻垂直的一邊的長度，問邊應為多少米時，才能使矩形花圃所占地面面積最小，最小的面積是多少？
【答案】（1）；（2）的長為10米或6米；（3）當邊為11米時，能使矩形花圃所占地面面積最小，最小面積為平方米.
【分析】（1）根據與墻平行的一邊BC的長為x米，得出AB的長；
（2）根據矩形花圃的面積為30平方米，即y=30，代入可以求出BC的長；
（3）利用二次函數的增減性求出二次函數最值即可．
【詳解】解：設與墻平行的一邊BC的長為x米，面積為y平方米．其中0＜x≤11．
（1）則：寬為,
即.
（2）當y=30，
依題意得：，
解得：，均符合題意，
所以的長為10米或6米.
（3）∵矩形花圃所占地面面積.
由題意知，解得.因為墻長11米，所以.
函數的圖象為開口向下的拋物線的一段（草圖如圖②所示），其對稱軸為直線.
由圖象知，當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小.
而當時，；當時，.
因為，所以當時，有最小值.
所以當邊為11米時，能使矩形花圃所占地面面積最小，最小面積為平方米.
【點睛】此題主要考查了二次函數的增減性以及一元二次方程的應用，根據題意得出函數關系式利用二次函數增減性求出最值是初中階段的難點，同學們應重點分析．
【例2.3】（2023九年級·湖北武漢·階段練習）將一根長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，設其中一段鐵絲長為4x cm，兩個正方形的面積和為y cm2
（1）求y與x的函數關系式；
（2）要使這兩個正方形面積之和為17cm2，那么這根鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少？
（3）要使這兩個正方形面積之和最小，則這根鐵絲剪成兩段后的長度各是多少？這兩個正方形面積之和最小為多少？
【答案】（1）y=2x2﹣10x+25；（2）4cm，16cm．（3）剪成兩段均為10cm的長度時面積之和最小，最小面積和為12.5cm2．
【詳解】試題分析：（1）由題意可知：設其中一段長為4xcm，則另一段長為20﹣4xcm，根據正方形面積和周長的轉化關系“正方形的面積=×周長×周長”列出面積的函數關系式；
（2）當y=17時，列方程即可得到結論；
（3）根據函數的性質求得最值．
解：（1）設一段鐵絲的長度為4x，另一段為（20﹣4x），則邊長分別為x，（20﹣4x）=5﹣x，
則y=x2+（5﹣x）（5﹣x）=2x2﹣10x+25；
（2）1當y=17時，
即2x2﹣10x+25=17，
解得：x=1，或x=4，
故這根鐵絲剪成兩段后的長度分別是4cm，16cm．
（3）∵y=2x2﹣10x+25=2（x﹣）2+12.5，
∴剪成兩段均為10cm的長度時面積之和最小，最小面積和為12.5cm2．
考點：二次函數的應用．
【變式2.1】（2023九年級·江蘇連云港·學業考試）把一根長為的鐵絲剪成兩段，并把每一段鐵絲圍成一個正方形．若設圍成的一個正方形的邊長為．
（1）要使這兩個正方形的面積的和等于，則剪出的兩段鐵絲長分別是多少？
（2）剪出的兩段鐵絲長分別是多少時，這兩個正方形的面積和最小？最小值是多少？
【答案】（1）這根鐵絲剪成兩段后的長度分別是，；（2）剪成兩段均為的長度時面積之和最小，最小面積和為
【分析】（1）根據題意可以列出相應的方程，從而可以解答本題；
（2）根據題意可以得到面積和所截鐵絲的長度之間的函數關系，然后二次函數的性質即可解答本題．
【詳解】解：（1）根據題意知：一個正方形的邊長分別為，
則另一個正方形的邊長為，
且分成的鐵絲一段長度為，另一段為，
，
整理得：，
解得：，，
故這根鐵絲剪成兩段后的長度分別是，；
（2）設這兩個正方形的面積之和為cm2，
，
∴當時，y取得最小值，最小值為cm2，
即剪成兩段均為的長度時面積之和最小，最小面積和為cm2.
【點睛】本題考查二次函數的應用、一元二次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和方程的知識解答．
【變式2.2】（2023九年級·甘肅定西·階段練習）如圖，矩形中，，，點M以的速度從點B向點C運動，點N以的速度從點C向點D運動．兩點同時出發，設運動開始第t秒鐘時，五邊形的面積為．
(1)寫出S與t的函數關系式，并指出自變量t的取值范圍；
(2)當運動多少秒時五邊形的面積最小 并求出最小面積．
【答案】(1)；
(2)當秒時，S有最小值．
【分析】本題考查了二次函數的應用．
（1）先表示出第t秒鐘時的長，根據三角形的面積公式即可得到的面積的函數關系式，再用矩形的面積減去的面積即可得到結果；
（2）先把配方為頂點式，再根據二次函數的性質即可求得結果．
【詳解】（1）解：第t秒鐘時，，故，，
故．
∵．
∴；
（2）解：，
∵，
∴當秒時，S有最小值．
【變式2.3】（2023九年級·廣西南寧·階段練習）如圖，點E，F，G，H分別在邊長為6的正方形的四條邊上運動，四邊形也是正方形．

(1)求證：；
(2)設的長為x，正方形的面積為y，求y關于x的函數解析式；
(3)在（2）的條件下，當的長為多少時，正方形的面積最小？最小值是多少？
【答案】(1)見解析
(2)
(3)時，正方形的面積最小，最小為18
【分析】本題考查了正方形的性質，三角形全等判定和性質，二次函數的最值．
(1)根據正方形的性質，運用角角邊證明全等即可．
(2)設，則，根據(1) 得到，，同理可證，，
結合圖形，得到正方形的面積為y，等于正方形面積減去4個三角形面積，計算即可．
(3)根據，結合二次函數性質計算即可．
【詳解】（1）∵正方形，四邊形也是正方形．
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）設，則，
∵ ，
∴，，
同（1）可證，，
∴正方形的面積為．
故．
（3）∵，
∵，
∴拋物線有最小值，且當時，取得最小值，最小值為18．
故時，正方形的面積最小，最小為18．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023九年級·廣西南寧·階段練習）在美化校園活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍兩邊），設，若在處有一棵樹與墻的距離分別是和，要將這棵樹圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細），則花園面積的最大值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的應用，設，則，花園的面積，根據要將這棵樹圍在花園內，得出，再根據二次函數的性質即可得出答案，熟練掌握二次函數的性質是解此題的關鍵．
【詳解】解：設，則，
花園的面積，
要將這棵樹圍在花園內，
，即，
解得：，
的對稱軸為直線，且，
在上，隨著的增大而增大，
當時，最大，此時，
花園面積的最大值為，
故答案為：．
【題型2】（2023九年級·天津濱海新·期末）如圖，用一段長為的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為．設矩形菜園的邊的長為,面積為,其中．
有下列結論：
①x的取值范圍為；
②的長有兩個不同的值滿足該矩形菜園的面積為；
③矩形菜園的面積的最大值為．
其中，正確結論的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本題考查了矩形的面積，構造二次函數求最值，熟練掌握矩形的性質，二次函數的性質是解題的關鍵，根據題意，列出方程，構造二次函數計算即可．
【詳解】∵，則，依題意，得：
，
∵
∴，
解得，
故①錯誤；
當時，
即，
解得：，，
當時，不在范圍中，舍去，
當時，成立．
故②錯誤；
，
∴當時，y有最大值為．
故③正確，
故選B．
【題型3】（2023·新疆烏魯木齊·模擬預測）加強勞動教育，落實五育并舉．某中學在當地政府的支持下，建成了一處勞動實踐基地．2024年計劃將其中的土地全部種植甲乙兩種蔬菜．經調查發現：甲種蔬菜種植成本（單位：元與其種植面積（單位：的函數關系如圖所示，其中，乙種蔬菜的種植成本為50元．
(1)當為多少時，是35元；
(2)設2024年甲乙兩種蔬菜總種植成本為元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使最小？
【答案】(1)當為時，是35元
(2)當種植甲種蔬菜，乙種蔬菜時，使最小
【分析】本題考查二次函數的應用、一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的函數解析式，利用二次函數的性質求最值；
（1）先求出當時，與的函數關系式，然后將代入求出相應的的值即可；
（2）分別討論兩段對應的的最小值，然后比較大小即可解答本題．
【詳解】（1）解：當時，設與的函數關系式為，
點，在該函數圖象上，
，
解得，
即當時，與的函數關系式為，
當時，，
解得，
即當為時，是35元；
（2）解：由題意可得，
當時，，
當時，取得最小值42000，此時；
當時，，
當時，取得最小值43000，此時；
，
當種植甲種蔬菜，乙種蔬菜時，使最小．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023九年級·山東濱州·期中）如圖，陽信縣某中學把五育并舉與減負延時服務相結合，勞動課準備在校園里利用校圍墻的一段再圍三面籬笆，形成一個矩形茶園，讓學生在茶園里體驗種茶活動．現已知校圍墻長25米，籬笆40米長（籬笆用完），設長米，矩形茶園的面積為平方米．

(1)求S與之間的函數關系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
(2)矩形茶園的面積是否有最大值？若有，求出的長．若沒有，說明理由．
【答案】(1)
(2)長10米，矩形茶園的面積有最大值
【分析】本題考查了二次函數的應用．
（1）長可表示為，于是，化簡得答案；
（2）利用二次函數的性質求解即可；
【詳解】（1）解：
，
，得，
自變量的取值范圍為：，
∴；
（2）解：，
∵，∴當，S有最大值，最大值為，
答：長10米時，矩形茶園的面積有最大值．
【題型2】（2023九年級·浙江臺州·期末）如圖，校園某處的直角墻角，墻長，長，現準備用長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍兩邊），設，花園的面積為．
(1)若花園的面積為，求x的值；
(2)寫出S與x的函數關系式；
(3)求出花園面積S的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)當時，S最大，為144
【分析】本題考查了一元二次方程的應用以及二次函數的應用：
（1）分別表示長和寬，根據矩形的面積等于長于寬的乘積，即可作答；
（2）矩形的面積等于長于寬的乘積，即可作答；
（3）把S與x的函數關系式化為頂點式，再結合二次函數的性質，即可作答．
【詳解】（1）解：∵墻長，長，現準備用長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍兩邊），
∴，
解得
（舍去）
．
（2）解：∵墻長，長，現準備用長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍兩邊），
∴
（3）解：由（2）知
∴，
，開口向下，當時，S最大，
即；
∴花園面積S的最大值為144．
【題型3】（2023九年級·重慶南岸·期末）為了加強中小學學生的勞動教育，2024年計劃將該區的土地作為社會實踐基地，該基地準備種植甲乙兩種蔬菜．經調查發現：甲種蔬菜種植成本y（單位：元）與其種植面積x（單位：）的函數關系，其中；乙種蔬菜的種植成本為50元．
(1)設2024年甲乙兩種蔬菜總種植成本為w元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使w最小？
(2)學校計劃今后每年在這土地上，均按（1）中方案種植蔬菜，因技術改進，預計種植成本逐年下降．若甲種蔬菜種植成本平均每年下降，乙種蔬菜種植成本平均每年下降，當a為何值時，2026年的總種植成本為28920元？
【答案】(1)當甲種蔬菜的種植面積為，乙種蔬菜的種植面積為時，w最小
(2)當a為20時，2026年的總種植成本為28920元
【分析】此題考查了二次函數的應用、一元二次方程的應用，解題的關鍵是用待定系數法正確求出函數關系式，正確列出一元二次方程．
（1）根據當時，，由二次函數的性質得當時，w有最小值，再根據土地總面積為解答即可．
（2）根據2026年的總種植成本為28920元，列出一元二次方程，解方程即可．
【詳解】（1）當時，
∵，
∴拋物線開口向上．
∴當時，w有最小值，．
∴，
∴當甲種蔬菜的種植面積為，乙種蔬菜的種植面積為時，w最小．
（2）由題意可知：甲、乙兩種蔬菜總種植成本是42000元，
乙種蔬菜的種植成本是（元），
甲種蔬菜的種植成本是（元），
，
設，則，
解得：，（舍去），
∴．
∴．
答：當a為20時，2026年的總種植成本為28920元．
【考點1 利用二次函數計算建筑物的高度問題】
【例1.1】（2023·河南鶴壁·模擬預測）廊橋是我國古老的文化遺產．如圖是某座拋物線形廊橋的示意圖，已知水面AB寬48m，拱橋最高處點C到水面的距離為12m，為保護該橋的安全，現要在該拋物線上的點E，F處安裝兩盞警示燈，若要保證兩盞燈的水平距離是24m，則警示燈E距水面的高度為（ ）
A．12m B．11m C．10m D．9m
【答案】D
【分析】本題考查二次函數的實際應用，以的中點為原點，所在直線為橫軸，建立直角坐標系，求出拋物線的的解析式，進而求出點的縱坐標即可．
【詳解】解：如圖，以的中點為原點，所在直線為橫軸，建立直角坐標系，
由題意，得：，
設拋物線的解析式為：，把代入，得：，
∴；
∵，
∴點的橫坐標為，
∴當時，，
即：警示燈E距水面的高度為9m；
故選D．
【例1.2】（2023·甘肅蘭州·一模）如圖1，從遠處看蘭州深安黃河大橋似張開的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黃河上，它采用疊合梁拱橋方案設計．深安黃河大橋主拱形呈拋物線狀，從上垂下若干個吊桿，與橋面相連．如圖2所示，建立平面直角坐標系，吊桿到原點O的水平距離，吊桿到原點O的水平距離，且，主拱形離橋面的距離與水平距離近似滿足二次函數關系，其對稱軸為直線．
(1)求的長度：
(2)求主拱形到橋面的最大高度的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次函數與拱橋問題，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）根據二次函數的對稱性，則 ，代入數值，即可作答．
（2）先求出B的坐標，得出，即可作答．
【詳解】（1）解：依題意，∵，，，
∴，
∴
（2）解：依題意
∵主拱形離橋面的距離與水平距離近似滿足二次函數關系，且
∴
∴
即點B的坐標為
∵由（1）得
∴
把點B的坐標為代入
得
解得
∴
∴
【例1.3】（2023九年級·安徽安慶·期末）一輛卡車要通過跨度為8米，拱高為4米的拋物線形隧道，車從隧道正中通過，為保證安全行車，在車頂到隧道頂部的距離至少要米，若卡車寬米，則卡車限高為多少米？
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數的應用，先求出對應的拋物線解析式，進而求出當時，的值即可得到答案，
【詳解】解：如圖所示，建立坐標系，則可設拋物線解析式為，
把代入中得，
∴，
∴拋物線解析式為，
當時，，
，
∴卡車限高為．
【變式1.1】（2023九年級·福建福州·期中）一座拱橋的輪廓是拋物線型（如圖所示），拱高，跨度，相鄰兩支柱間的距離均為，支柱的高度為，則橋高為 ．

【答案】7
【分析】本題考查二次函數的實際應用，借助二次函數解決實際問題是解題根本，求出二次函數關系式是關鍵．根據題目可知、、的坐標，設出拋物線的解析式用待定系數法求出函數解析式，設點的坐標為代入解析式求出，在加長的長度即為橋高．
【詳解】解：建立如圖所示坐標系：

設拋物線解析式為，
根據題目條件，、、的坐標分別是、、，
將、的坐標代入，得：
，
解得，
所以拋物線的表達式是；
設，于是，
橋高為（米，
故答案為：7．
【變式1.2】（2023九年級·四川綿陽·期中）如圖，一座拋物線型拱橋，橋下水面寬度是時，拱頂到水面的距離是，則當水面寬為時，水面上升了（　　）

A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查了二次函數的應用，解題的關鍵是首先建立平面直角坐標系，設拋物線解析式為，進而求出解析式，即可得出水面上升的高度．
【詳解】解：如圖所示建立平面直角坐標系，
設拋物線解析式為，
由已知拋物線過點，則，
解得：，
拋物線解析式為：，
當，則，
則，
水面上升了：．
故選：D．

【變式1.3】（2023九年級·山東煙臺·期中）一座拱橋的示意圖如圖2所示，當水面寬為16米時，橋洞頂部離水面4米．已知橋洞的拱橋是拋物線

(1)建立合適的平面直角坐標系，求該拋物線的表達式；
(2)由于暴雨導致水位上漲了1米，求此時水面的寬度；
(3)已知一艘貨船的高為2.16米，寬為3.2米，其截面如圖3所示．為保證這艘貨船可以安全通過拱橋，水面在正常水位的基礎上最多能上升多少？（結果精確到0.1）
【答案】(1)
(2)米
(3)1.7米
【分析】本題考查二次函數的實際應用，建立合適的平面直角坐標系是解題的關鍵．
（1）建立的坐標系要便于計算，因此以正常水面所在直線為x軸，拱橋的最高點在y軸上，設拋物線的函數表達式為，利用待定系數法求解；
（2）水位上漲了1米時，，求出對應的x的值即可；
（3）貨船安全通過拱橋，當水面寬與貨船寬相等時，水位上升的高度取最大值，結合函數解析式求解．
【詳解】（1）解：如圖，為寬16米的水面，C為拱橋最高點，以的中點為平面直角坐標系的原點O，所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標系如下：

則，，
拋物線的頂點坐標為，，
設拋物線的函數表達式為，
將代入，得：，
解得：，
則該拋物線的表達式為；
（2）解：由題意，令得，
解得：，
，
即水面上升1米后的水面寬度為：米，
（3）解：如圖，這艘貨船安全通過拱橋時，水面最多可以上升到處，

∵貨船的高為2.16米，寬為3.2米，
∴，，
設，則，
∴點的坐標為，
將代入，得：
解得，
∵要使這艘貨船安全通過拱橋，結果精確到0.1，
∴水面在正常水位的基礎上最多能上升1.7米．
【考點2 利用二次函數計算建筑物的跨度問題】
【例2.1】（2023九年級·吉林長春·期末）如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內，與水平橋面相交于兩點，拱橋最高點到的距離為米，米，為拱橋底部的兩點，且，若點到直線的距離為米，則的長為 米．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數綜合應用，以為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，設該拋物線的表達式為，代入點的坐標求出解析式，再把點的縱坐標代入解析式，進而求得點的橫坐標，即可求解，解題的關鍵是正確地建立平面直角坐標系．
【詳解】解：如圖，以點為原點建立平面直角坐標系，
由題意可得，點的坐標為，點的縱坐標為，
設拋物線形的解析式為，
把代入得，，
解得，
∴，
把代入得，，
解得，
∴米，
故答案為：．
【例2.2】（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，某公司的大門是一拋物線形建筑物，大門的地面寬度和大門最高點離地面的高度都是，公司想在大門兩側距地面處各安裝一盞壁燈，兩盞壁燈之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用．建立坐標系，拋物線的頂點坐標為，設拋物線解析式為，又知拋物線過，可求出，把代入函數表達式即可解決問題．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．
【詳解】解：以地面所在直線為軸，過大門最高點垂直于地面的直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示：
拋物線的頂點坐標為，
設拋物線解析式為，
又知拋物線過，
，
解得：，
，
把代入，
解得：，
故兩壁燈之間水平距離為．
故選：．
【例2.3】（2023九年級·山東青島·開學考試）圖中是拋物線拱橋，P處有一照明燈，點P到水面的距離為，從O，A兩處觀測P處，仰角分別為，，且，，以O為原點，所在直線為x軸建立如圖所示平面直角坐標系，已知拋物線滿足．求拋物線表達式，并求拋物線上的最高點到水面的距離．

【答案】拋物線的解析式為，拋物線上的最高點到水面的距離．
【分析】如圖過點P作于H，求出中的長得到P點坐標，再求出中長得到A點坐標為，所以可設拋物線解析式為，然后將P點坐標代入求解得到拋物線解析式，然后求出頂點坐標即可得到答案．
【詳解】解：過點P作于H，如圖．

在中，
，，
，
點P的坐標為，
在中，
，，
，
，
∴點A坐標為，
過點，的拋物線的解析式可設為，
在拋物線上，
，
解得，
拋物線的解析式為=，
∴拋物線的頂點坐標為，
則拋物線上的最高點到水面的距離，
故拋物線的解析式為，拋物線上的最高點到水面的距離．
【點睛】本題主要考查二次函數的應用，解此題的關鍵在于先利用三角函數求出拋物線上點的坐標，然后用待定系數法求出拋物線的解析式，然后即可解決其它相關問題．
【變式2.1】（2023九年級·廣東江門·期末）如圖，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，左右兩個拋物線形是全等的．正常水位時，大孔水面寬度為，大孔頂點P距水面（即），小孔水面寬度為，小孔頂點Q距水面（即），建立如圖所示的平面直角坐標系．

(1)求大孔拋物線的解析式；
(2)現有一艘船高度是，寬度是，這艘船在正常水位時能否安全通過拱橋大孔？并說明理由．
(3)當水位上漲時，求小孔的水面寬度．
【答案】(1)
(2)這艘船在正常水位時能安全通過拱橋大孔，理由見解析
(3)
【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用：
（1）設大孔拋物線的解析式為，把代入解析式中求解即可；
（2）在中，求出當時y的值即可得到結論；
（3）先求出小孔拋物線的解析式，進而求出當時，x的值即可得到答案．
【詳解】（1）解；設大孔拋物線的解析式為，
由題意得，，
把代入中得：，
解得，
∴大孔拋物線的解析式為；
（2）解：這艘船在正常水位時能安全通過拱橋大孔，理由如下：
在中，當時，解得，
∵，
∴這艘船在正常水位時能安全通過拱橋大孔；
（3）解：設右邊小孔拋物線解析式為，
由題意得，，
把代入中得，
解得，
∴右邊小孔拋物線解析式為，
在中，當時，
解得或，
∴，
∴小孔的水面寬度為．
【變式2.2】（2023九年級·山東聊城·期末）泗水卞橋（如圖①始建于晚唐時期，造型雅樸，雕飾精美，是山東省現存最古老的橋梁．拱橋中孔輪廓近似拋物線，現以拱橋的中孔最高點為坐標原點建立平面直角坐標系（如圖②，已知兩點的距離為6米時，到軸的距離為3米．當水面與軸的距離為4米時，水面寬度等于 米．
【答案】
【分析】本題主要考查二次函數的性質，根據題意得點，設拋物線解析式為，解得，結合題意得點F的縱坐標為，代入拋物線解得，即可得水面寬度．
【詳解】解：∵已知兩點的距離為6米時，到軸的距離為3米，
∴點，
根據題意設拋物線解析式為，將點A代入得，解得，
則拋物線解析式為，
∵水面與軸的距離為4米，
∴點F的縱坐標為，代入拋物線得，解得，
則水面寬度．
故答案為：．
【變式2.3】（2023九年級·山西長治·期末）圖1是山西晉城丹河大橋，位處太行山脈南端，橋梁欄桿上有多幅與歷史文化有關的石雕圖畫，體現了現代與傳統文明的完美結合．丹河大橋拱橋橋洞的形狀呈拋物線形，現以水面為x軸，拱橋左側與水面的交點為原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，已知水面的寬度為米，拱橋離水面的最大高度為米．
(1)求該拋物線的表達式；
(2)若要在橋洞兩側壁上距離水面米的點B和點C處各安一盞景觀燈，求兩盞景觀燈之間的水平距離．
【答案】(1)
(2)兩盞景觀燈之間的水平距離為米
【分析】本題考查了二次函數的應用，二次函數的解析式．熟練掌握二次函數的應用，二次函數的解析式是解題的關鍵．
（1）由題意可知，拋物線的頂點坐標為，設該拋物線的表達式為，然后將原點代入，計算求解，然后作答即可；
（2）令，則，計算求解，可求坐標，進而可求的長．
【詳解】（1）解：由題意可知，拋物線的頂點坐標為．
設該拋物線的表達式為．
拋物線經過原點，
，
解得，
該拋物線的表達式為；
（2）解：令，則．
解得，．
∴，．
∴；
答：兩盞景觀燈之間的水平距離為米．
【考點3 利用二次函數解決車過隧道問題】
【例3.1】（2023九年級·河南駐馬店·階段練習）如圖1所示是某即將通行的雙向隧道的橫斷面．經測量，兩側墻和與路面垂直，隧道內側寬米．工程人員在路面上取點E，測量點E到墻面的距離，點E到隧道頂面的距離．設米，米．通過取點、測量，工程人員得到了x與y的幾組值，如表：
x/米 0 2 4 6 8
y/米 2.5 4.75 5.5 4.75 2.5

(1)若以點A為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標系，求出隧道頂部所在拋物線的解析式；
(2)如圖2所示，一輛輕卡要在隧道內靠右模擬試行，依據圖紙要求汽車距離右側墻的距離不小于0.8米且到隧道頂面的距離不小于0.33米．按照這個要求，隧道需標注的限高應為多少米？
【答案】(1)
(2)隧道需標注的限高應米
【分析】（1）根據二次函數的對稱性可知在時，y有最大值5.5，然后運用待定系數法求出解析式即可；
（2）把代入解析式，求出函數值即可解題．
【詳解】（1）根據二次函數的對稱性可知，當時，y有最大值5.5，
∴設隧道滿足的關系式為．
把，代入解析式，得，
解得．
∴隧道滿足的關系式為．
（2）當時，，∴（米）．
答：隧道需標注的限高應3.25米．
【點睛】本題考查二次函數在實際問題中的應用，數形結合、待定系數法等知識點，理清題中的數量關系，求得解析式是解題的關鍵．
【例3.2】（2023九年級·浙江臺州·期中）為促進經濟發展，方便居民出行，某施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，隧道最高點P離路面的距離為6米，寬度為12米．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)若隧道內設雙向行車道，并且中間有一條寬為1米的隔離帶，如果一貨運汽車裝載某大型設備后高為4米，寬為3.5米，按如圖所示的平面直角坐標系這輛貨車能否安全通過？為什么？
【答案】(1)；
(2)這輛貨車不能安全通過，理由見解析．
【分析】（1）由題意可知頂點P的坐標為，則設拋物線的解析式為，把點代入求解即可；
（2）根據隧道隧道是雙向車道，把代入解析式中求出的值與4進行比較即可．
【詳解】（1）解：根據題意，頂點P的坐標為，
設拋物線的解析式為，
把點代入得：，
解得：，
即所求拋物線的解析式為：；
（2）解：當時，
，
這輛貨車不能安全通過．
【點睛】本題考查二次函數在實際問題中的應用以及待定系數法求函數解析式，關鍵是根據圖象求出函數解析式．
【例3.3】（2023·河南平頂山·三模）小明發現有一處隧道的截面由拋物線的一部分和矩形構成，他對此展開研究：測得矩形的寬為，長為，最高處點P到地面的距離為，建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為 ，其中表示拋物線上任一點到地面的高度，表示拋物線上任一點到隧道一邊的距離．
(1)求拋物線的解析式．
(2)為了保障貨車在道路上的通行能力及行車安全，根據我國交通運輸部的相關規定，普通貨車的寬度應在之間，高度應在之間，小明發現隧道為單行道，一貨車沿隧道中線行駛，寬為，貨車的最高處與隧道上部的豎直距離約為，通過計算，判斷這輛貨車的高度是否符合規定．
【答案】(1)
(2)這輛貨車的高度不否符合規定．
【分析】本題主要考查了求二次函數解析式、二次函數的應用等知識點，掌握數形結合思想成為解題的關鍵．
（1）有題意可得：， ，然后運用待定系數法即可解答；
（2）由題意可得：點，設D點坐標為，然后代入解析式求得d，即，再根據線段的和差求得，然后判斷是否符合規定即可．
【詳解】（1）解：由題意可得：，
設該拋物線的解析式為：
將代入可得： ，解得：，
所以拋物線的解析式為．
（2）解：由題意可得：點，
設D點坐標為，則，
∴，即，
∴，
∵，
∴這輛貨車的高度不否符合規定．
【變式3.1】（2023九年級·廣東珠海·期中）如圖隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長是寬是．按照圖中所示的直角坐標系，拋物線可以用表示．
（1）求拋物線的函數關系式，并計算出拱頂到地面的距離；
（2）一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為，寬為如果隧道內設雙向車道，那么這輛貨車能否安全通過
【答案】（1），10m，（2）能
【分析】（1）根據題意得出點B（0，4）、C（12，4），再利用待定系數法求解可得；
（2）根據題意求出x＝6﹣4＝2時的函數值，比較可得；
【詳解】解：（1）根據題意得B（0，4），C（12，4），
把B（0，4），C（12，4）代入得
，
解得．
所以拋物線解析式為，
化成頂點式為y＝﹣（x﹣6）2+10，
頂點D坐標為（6，10），
所以拱頂D到地面OA的距離為10m；
（2）由題意得貨運汽車最外側的橫坐標為6-4=2或6+4=10，
當x＝2或x＝10時，y＝﹣（x﹣6）2+10=﹣×16+10=＞6，
所以這輛貨車能安全通過．
【點睛】本題考查了二次函數的應用：構建二次函數模型解決實際問題，利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．
【變式3.2】（2023九年級·安徽六安·階段練習）如圖，某市一條高速公路的隧道口在平面直角坐標系上的示意圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長是16m，寬是6m，隧道頂距地面8m．
(1)求出隧道上部拋物線的解析式；
(2)現有一大型運貨汽車，裝載某大型設備后，其寬為4m，車載大型設備的頂站與路面的距離均為7m，它能否完全通過這個隧道？請說明理由．
(3)如果該隧道內設雙行道，那么這輛運貨汽車沿隧道中線右側行駛能否完全通過這個隧道？說明理由．
【答案】(1)拋物線的解析式為；
(2)貨運汽車能通過；理由見解析
(3)貨運汽卡車能通過．理由見解析
【分析】（1）根據拋物線在坐標系中的特殊位置，可以設拋物線的解析式為，再有條件求出a的值即可；
（2）令，求出縱坐標與7m作比較即可；
（3）隧道內設雙行道后，求出縱坐標與7m作比較即可．
【詳解】（1）解：根據題意得A，B，C，
設拋物線的解析式為，把B代入
，
解得：．
拋物線的解析式為；
（2）解：根據題意，把代入解析式，
得．
∵，
∴貨運汽車能通過；
（3）解：根據題意，把代入解析式，
得．
∵，
∴貨運汽車能通過．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，求拋物線解析式可以使用一般式，頂點式或者交點式，因條件而定．運用二次函數解題時，可以給自變量（或者函數）一個特殊值，求函數（自變量）的值，解答題目的問題．
【變式3.3】（2023·安徽·模擬預測）如圖，某長為的隧道的橫截面頂部為拋物線形，隧道的左側是高為的墻，右側是高為的墻，拱壁上某處離地面的高度與其離墻的水平距離之間的關系滿足．現測得兩墻體之間的水平距離為．
(1)求該拋物線的函數關系式，并計算出拱頂到地面的距離．
(2)從隧道頭到隧道尾，在拋物線形拱壁上安裝若干排吊燈，每排吊燈與地面的距離都不低于，每相鄰兩排吊燈之間的水平距離為，每排內相鄰兩盞吊燈之間的距離為．求共需要多少盞吊燈？
(3)如果隧道內設雙向行車道，每條車道的寬為，兩條車道之間是寬為的綠化帶，一輛貨車載一個長方體集裝箱后高為、寬為，那么這輛貨車無論從哪條車道都能安全通過嗎？請說明理由．
【答案】(1)，
(2)486盞
(3)貨車無論從哪條車道都能安全通過，理由見解析
【分析】本題考查二次函數的實際應用：
（1）根據已知條件得出點A和點B的坐標，代入即可求出函數關系式，化為頂點式，即可求出拱頂到地面的距離；
（2）令，解方程求出最外側兩排吊燈的水平距離，再求出吊燈的排數和每排吊燈的個數，即可求解；
（3）隧道左側比右側低，因此若貨車從左車道能通過，則從右車道一定能通過．令貨車右側車輪靠近中間的綠化帶，求出左側車輪與地面的交點坐標，再求了此處隧道的高，與貨車的高度進行比較即可．
【詳解】（1）解：由題意知，，，
，
代入，得，
解得，
．
拱頂到地面的距離為．
（2）解：令，
解得，
，
（盞）．
答：共需要486盞吊燈．
（3）解：貨車無論從哪條車道都能安全通過．
理由：由題意，得若貨車從左車道能通過，則從右車道一定能通過．
設貨車從左車道行駛，貨車最左側車輪與地面的交點為，即，
當時，，
∴貨車無論從哪條車道都能安全通過．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023九年級·陜西榆林·期末）如圖是一座拱橋，圖2是以左側橋墩與水面接觸點為原點建立的平面直角坐標系，其拋物線形橋拱的示意圖，經測量得水面寬度，拱頂到水面的距離為．
(1)求這條拋物線的表達式；
(2)為迎接新年，管理部門在橋下懸掛了3個長為的燈籠，中間的燈籠正好懸掛在處，兩邊燈籠與最中間燈籠的水平距離為，為了安全，要求燈籠的最低處到水面的距離不得小于．根據氣象局預報，過年期間將會有一定量的降雨，橋下水面會上升，請通過計算說明，現在的懸掛方式是否安全．
【答案】(1)
(2)安全，說明見解析
【分析】本題考查二次函數的實際應用，涉及待定系數法確定函數關系式、利用二次函數圖像與性質解決實際問題等知識，讀懂題意，將實際問題轉化為數學知識是解決問題的關鍵．
（1）根據題意設該拋物線的表達式為，利用待定系數法，把代入表達式解方程即可確定函數關系式；
（2）根據題意得到左側最低點橫坐標為，將其代入表達式解得左側最低點的縱坐標為1.8，進而由題中限制條件判斷即可得到答案．
【詳解】（1）解：根據題意知，頂點，設該拋物線的表達式為，
把代入表達式得，解得，
∴這條拋物線的表達式為；
（2）解：∵中間的燈籠正好懸掛在A處，兩邊燈籠與最中間燈籠的水平距離為，
∴左側最低點橫坐標為，
由（1）知拋物線的表達式為，
∴當時，，
∴左側最低點的縱坐標為1.8，
∵燈籠長為，
∴最低點到水面的距離為，
∵降水水面會上升，
，
∴最低點距水面，
∴現在的懸掛方式安全．
【題型2】（2023九年級·陜西西安·階段練習）如圖，某市新建的一座拋物線型拱橋，在正常水位時水面寬，當水位上升時，水面寬．
(1)按如圖所示的直角坐標系，此拋物線的函數表達式為 ．
(2)有一條船以的速度向此橋徑直駛來，當船距離此橋時，橋下水位正好在處，之后水位每小時上漲，當水位達到處時，將禁止船只通行．如果該船的速度不變繼續向此橋行駛時，它能否安全通過此橋？
【答案】(1)
(2)該船的速度不變繼續向此橋行駛時，它能安全通過此橋
【分析】本題考查了運用待定系數法求二次函數的解析式，行程問題的數量關系，求出函數的解析式是解題的關鍵．
（1）以拱橋最頂端為原點，建立直角坐標系，根據題目中所給的數據設函數解析式為，由待定系數法求出其解即可；
（2）計算出船行駛到橋下的時間，由這個時間計算水位上升的高度，從而得出此時水面寬度，再比較就可以求出結論．
【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為，橋拱最高點到水面的距離為米．
則，，
，
解得，
拋物線的解析式為，
故答案為；
（2）解：由題意得：
船行駛到橋下的時間為：小時，
水位上升的高度為：米．
設此時水面寬為，
由（1）知：，
縱坐標為：，
把代入，
得，
解得：，，
，
，
該船的速度不變繼續向此橋行駛時，它能安全通過此橋．
【題型3】（2023九年級·山東青島·階段練習）如圖，有一條雙向隧道，其橫斷面由拋物線和矩形的三邊組成，隧道的最大高度為米；米，米，
(1)在如圖所示的坐標系中，求拋物線的解析式．
(2)若有一輛高為4米，寬為2米裝有集裝箱的汽車要通過隧道，則汽車靠近隧道的一側離開隧道壁m米，才不會碰到隧道的頂部，又不違反交通規則，問m的取值范圍是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查二次函數的應用，包括待定系數法求解析式等知識；
（1）設拋物線解析式為，根據題意解出、，拋物線頂點坐標為且過點，設拋物線的解析式為，可求出的值，確定表達式．
（2）由（1）得拋物線解析式，若汽車的右側離開隧道右壁不至于碰到隧道的頂部，則令，解得，然后根據題意得解；
靈活運用二次函數性質解決實際問題是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：設拋物線解析式為，
由題意知，隧道的最大高度為米；米，米，
由題意可知，拋物線的頂點坐標為，且過點，
則有，
，，
拋物線的解析式為，
（2）由題意得，
當時，，
，．
當或8時，集裝箱剛好碰到隧道的頂部，此時，
當時，此時剛好違反交通規則，
汽車靠近隧道的一側離開隧道壁m米，才不會碰到隧道的頂部，又不違反交通規則，
的取值范圍是．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023九年級·河南周口·期末）拱橋是指由拱形結構成的橋梁，它是中國古代建筑中的重要形式之一，在中國的古代建筑史上占據著重要的地位，因其獨特的結構和精美的外觀而受到廣泛的贊譽和喜愛．圖1是一座拱橋，此拱橋的拱形呈拋物線形狀，在拱橋中，當水面寬度為時，水面離橋洞的最大距離為，如圖2，以水平面為x軸，點O為原點建立平面直角坐標系
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當河水上漲，水面離橋洞的最大距離為3m時，求拱橋內水面的寬度．
【答案】(1)
(2)m
【分析】（1）本題考查二次函數的應用，根據題意得到函數過及頂點，設出解析式代入求出系數即可得到答案；
（2）本題考查二次函數的應用，根據水位得到，代入求解即可得到答案；
【詳解】（1）解：∵ ，
∴該拋物線的對稱軸為直線，，
∵水面離橋洞的最大距離為，
∴該拋物線的頂點坐標為，
設該拋物線的解析式為，
把代入，得，
解得，
∴該拋物線的解析式為；
（2）解：由題意可得，
，
水位上升了，
把代入，
得，
解得，，
水面寬為 ，
答：拱橋內水面的寬度為．
【題型2】（2023·寧夏銀川·模擬預測）現要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，以O為坐標原點，以所在直線為x軸，建立平面直角坐標系．根據設計要求：，該拋物線的頂點P到的距離為．
(1)求滿足設計要求的拋物線的函數表達式；
(2)現需在這一隧道內壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點A、B處分別安裝照明燈．已知點A、B到的距離均為，求A、B兩點間的距離．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本題考查了二次函數的應用，待定系數法求二次函數解析式，根據題意求得函數解析式是解題的關鍵．
（1）設拋物線的函數表達式為，將代入，即可求解．
（2）令，解一元二次方程，求得點，，的坐標，進而即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得，頂點，
設拋物線的函數表達式為，
將代入，得，
解得，
拋物線的函數表達式為：；
（2）解：令，得，
解得，
，，
，兩點的距離為．
【題型3】（2023·河南周口·二模）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，其中長方形的長，寬．按照圖中所示的平面直角坐標系，拋物線可以用表示，且拋物線上的點C到墻面的水平距離為時，到地面的距離為．為安全起見，隧道正中間有寬為的隔離帶．
(1)求b，c的值，并計算出拱頂D到地面的距離．
(2)一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為，寬為，如果隧道內設雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？
(3)在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，且它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？
【答案】(1)，，拱頂D到地面的距離為
(2)這輛貨車能安全通過
(3)兩排燈的水平距離最小是．
【分析】
本題考查了二次函數的應用：構建二次函數模型解決實際問題，利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．
（1）先確定B點和C點坐標，然后利用待定系數法求出拋物線解析式，再利用配方法確定頂點D的坐標，從而得到點D到地面的距離；
（2）由于拋物線的對稱軸為直線，而隧道內設雙向行車道，車寬為，則貨運汽車最外側與地面OA的交點為或，然后計算自變量為或時的函數值，再把函數值與6進行大小比較即可判斷；
（3）拋物線開口向下，函數值越大，對稱點之間的距離越小，于是計算函數值為8所對應的自變量的值即可得到兩排燈的水平距離最小值．
【詳解】（1）解：根據題意得，，
把，代入得
解得
∴拋物線的解析式為，
∴，
∴拱頂D到地面的距離為．
（2）解：由題意得隧道中每側行車道的寬度為，
∴貨運汽車最外側與地面的交點為或，
當或時，，
∴這輛貨車能安全通過．
（3）解：令，
則，
解得，，
則，
∴兩排燈的水平距離最小是．
【考點1 利用二次函數解決拋體運動問題】
【例1.1】（2023九年級·河北保定·期中）擲實心球是中考體育考試項目之一．如圖1是一名男生投實心球情境，實心球行進路線是條拋物線，行進高度與水平距離之間的函數關系如圖2所示．擲出時，起點處高度為．當水平距離為時，實心球行進至最高點處．
(1)求關于的函數表達式；
(2)根據中考體育考試評分標準（男生版），投據過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于時，即可得滿分分．該男生在此項考試中能否得滿分，請說明理由．
【答案】(1)
(2)該男生在此項考試不能得滿分，理由見詳解
【分析】（1）由圖2可知，頂點坐標為，設二次函數表達式為，由此即可求解；
（2）令（1）中拋物線的解析式，且，解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：根據題意設關于的函數表達式為，
把代入解析式得，，解得，，
∴關于的函數表達式為，即：．
（2）解：不能得滿分，理由如下，
根據題意，令，且，
∴，解方程得，，（舍去），
∵，
∴不能得滿分．
【點睛】本題主要考查二次函數的實際運用，掌握二次函數的性質及求解是解題的關鍵．
【例1.2】（2023·安徽蕪湖·一模）如圖1所示的某種發石車是古代一種遠程攻擊的武器，發射出去的石塊的運動軌跡是拋物線的一部分，且距離發射點20米時達到最大高度10米．將發石車置于山坡底部O處，山坡上有一點A，點A與點O的水平距離為30米，與地面的豎直距離為3米，AB是高度為3米的防御墻．若以點O為原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系．
(1)求石塊運動軌跡所在拋物線的解析式；
(2)試通過計算說明石塊能否飛越防御墻AB；
(3)在豎直方向上，試求石塊飛行時與坡面OA的最大距離．
【答案】(1)y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）
(2)能飛越，理由見解析
(3)8.1米
【分析】（1）設石塊運行的函數關系式為y＝a（x﹣20）2+10，用待定系數法求得a的值即可求得答案；
（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，與6作比較即可；
（3）用待定系數法求得OA的解析式為y＝x，設拋物線上一點P（t，﹣t2+t），過點P作PQ⊥x軸，交OA于點Q，則Q（t，t），用含t的式子表示出d關于t的表達式，再利用二次函數的性質可得答案；
【詳解】（1）解：設石塊的運動軌跡所在拋物線的解析式為y＝a（x﹣20）2＋10．
把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）．
（2）解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5．
∵7.5＞3＋3，∴石塊能飛越防御墻AB．
（3）解：設直線OA的解析式為y＝kx（k≠0）．
把（30，3）代入，得3＝30k，
∴k＝．
故直線OA的解析式為y＝x．
設直線OA上方的拋物線上的一點P的坐標為（t，﹣t2＋t）．
過點P作PQ⊥x軸，交OA于點Q，則Q（t，t）．
∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1．
∴當t＝18時，PQ取最大值，最大值為8.1．
答：在豎直方向上，石塊飛行時與坡面OA的最大距離是8.1米．
【點睛】本題考查了二次函數在實際問題中的應用，理清題中的數量關系并熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
【例1.3】（2023·河北邯鄲·二模）如圖，在平面直角坐標系中，從原點的正上方8個單位處向右上方發射一個小球，小球在空中飛行后，會落在截面為矩形的平臺上（包括端點），把小球看作點，其飛行的高度與飛行的水平距離滿足關系式．其中，，．
(1)求的值；
(2)求的取值范圍；
(3)若落在平臺上的小球，立即向右上方彈起，運動軌跡形成另一條與形狀相同的拋物線，在軸有兩個點、，且，，從點向上作軸，且．若沿拋物線下落的小球能落在邊（包括端點）上，求拋物線最高點縱坐標差的最大值是多少？
【答案】(1)；
(2)；
(3)拋物線最高點縱坐標差的最大值是．
【分析】本題考查了二次函數的應用．
（1）將代入，即可求解；
（2）將，分別代入，計算即可求解；
（3）設拋物線的解析式為，若拋物線經過點，時，求得最大值為，拋物線經過點，時，求得最大值為，據此求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，
∴，
解得；
（2）解：由題意得，，
∴當拋物線經過點時，，
解得；
當拋物線經過點時，，
解得；
∴的取值范圍為；
（3）解：由題意得，，，，
設拋物線的解析式為，
若拋物線經過點，時，
有，
解得，
∵，
∴此時拋物線的最大值為；
若拋物線經過點，時，
有，
解得，
∵，
∴此時拋物線的最大值為；
∴拋物線最高點縱坐標差的最大值是．
【變式1.1】（2023九年級·內蒙古赤峰·階段練習）如圖，某同學在練習打網球時發現，網球沿與地面成一定角度的方向飛出，網球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，網球的飛行高度（單位：）與飛行時間（單位：）之間具有函數關系， 根據要求解答下列問題：

(1)在飛行過程中，當網球的飛行高度為時，飛行時間是多少？
(2)在飛行過程中，網球從飛出到落地所用時間題多少？
(3)在飛行過程中，網球飛行高度何時最大？最大高度是多少？
【答案】(1)在飛行過程中，當網球的飛行高度為時，飛行時間是或
(2)在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是
(3)在飛行過程中，小球飛行高度第時最大，最大高度是
【分析】
本題考查二次函數的實際應用：
（1）令，求出的值即可；
（2）令，求出的值即可；
（3）求出二次函數的最值即可．
【詳解】（1）
解：當時，，
解得，，，
答：在飛行過程中，當網球的飛行高度為時，飛行時間是或；
（2）
當時，，
解得，，
，
在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是．
（3）
，
當時，取得最大值，此時，，
答：在飛行過程中，小球飛行高度第時最大，最大高度是．
【變式1.2】（2023·河南平頂山·一模）在某場籃球比賽中，運動員甲在距籃下的三分線外跳起投籃，球運行的路線大致是拋物線，當球運行的水平距離為時，球達到最大高度，然后準確落入籃圈，籃圈中心到地面的距離為，建立如圖所示的平面直角坐標系．
(1)請求出該拋物線的表達式；
(2)另一運動員乙位于運動員甲與原點之間，且距離甲為，原地起跳后成功蓋帽攔截運動員甲投出的球，問：運動員乙起跳后雙手達到的高度至少為多少？（結果精確到）
【答案】(1)
(2)運動員乙起跳后雙手達到的高度至少為
【分析】
本題考查了二次函數的實際應用，讀懂題意，利用待定系數法求出函數關系式是解題的關鍵．
（1）設該拋物線的關系式為，利用待定系數法即可求解；
（2）把代入到（1）中所求的函數關系式中求出，結合平面直角坐標系即可求解．
【詳解】（1）解：依題意，設拋物線表達式．
由題可知，當時，，代入，得．
所以，
該拋物線的表達式為．
（2）解：當時，．
答：運動員乙起跳后雙手達到的高度至少為．
【變式1.3】（2023九年級·河南安陽·期末）足球作為一項重要的體育運動，越來越受到廣大體育愛好者的喜歡，校園足球更是同學們的最愛．在一次足球訓練中，小王從球門正前方9米的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線形．當球飛行的水平距離為6米時，球達到最高點D，此時球離地面4米．已知球門的高為2.44米，現以O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系．
(1)求拋物線的函數表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）；
(2)對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，請通過計算說明當時小王應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經過B點正上方米處入門？
【答案】(1)，球不能射進球門
(2)當時小王應該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經過點B正上方米處入門
【分析】本題考查了二次函數的圖象性質，待定系數法求解析式，平移規律．
（1）依題意，先得到拋物線的頂點坐標，設拋物線的表達式為，把代入，當時，，即可作答．
（2）依題意設小王帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線表達式為，再把點代入，，計算出n的值，即可作答．
【詳解】（1）解：由題意知，拋物線的頂點D的坐標為．
設拋物線的表達式為，把代入，
得，解得．
∴拋物線的函數表達式為．
當時，，
∴球不能射進球門
（2）解：設小王帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線表達式為，
把點代入，得，
解得（舍去），．
答：當時小王應該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經過點B正上方米處入門．
【考點2 利用二次函數解決利潤問題】
【例2.1】（2023·遼寧錦州·二模）某超市銷售一種商品，成本價為30元/千克，經市場調查，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間滿足一次函數關系，規定每千克售價不能低于30元，且不高于80元．
(1)如果該超市銷售這種商品每天獲得3600元的利潤，那么該商品的銷售單價為多少元？
(2)設每天的總利潤為w元，當銷售單價定為多少元時，該超市每天的利潤最大？最大利潤是多少元？
【答案】(1)60元
(2)當銷售單價定為80元時，該超市每天的利潤最大，最大利潤是5000元
【分析】本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用以及一元二次方程的應用．
（1）根據題意用每千克得利潤乘以銷售量等于總利潤列出一元二次方程，求解即可．
（2）根據題意列出w關于x的二次函數關系，利用二次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）解∶由題意得∶，
解得或，
∵3
∴
∴如果該超市銷售這種商品每天獲得3600元的利潤，那么該商品的銷售單價為60元．
（2）由題意得，，
∵，
∴w有最大值，
∵．
∴當時，（元）．
∴當銷售單價定為80元時，該超市每天的利潤最大，最大利潤是5000元．
【例2.2】（2023九年級·江蘇無錫·階段練習）某經銷商以24元/箱的價格進了一批礦泉水，商家批發時發現在批發數量不超過100箱時，該礦泉水的批發價y（元/箱）與批發數量x（箱）之間滿足如下折線段圖象．
(1)當時，求出此時y與x的函數關系式；
(2)求該批發商在批發出多少箱礦泉水時才能獲取最大利潤．
【答案】(1)
(2)該批發商在批發出65箱礦泉水時才能獲取最大利潤
【分析】
本題考查了二次函數的實際應用—銷售盈利問題，待定系數法進行求一次函數的解析式，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）運用待定系數法進行求一次函數的解析式，即可作答．
（2）先根據利潤等于單件利潤乘上數量，得，根據二次函數的性質，即開口向下，當，有最小值，即可作答．
【詳解】（1）解：依題意，設y與x的函數關系式為
在時，經過，
則有
解得
∴；
（2）解：設利潤為，依題意
當時，，
∵，隨的增大而增大，
當時，有最大值，且為；
當，得
∵
∴開口向下，當， 有最小值，
且為
∵
∴該批發商在批發出65箱礦泉水時才能獲取最大利潤．
【例2.3】（2023·四川南充·中考真題）2024年“五一”假期期間，閬中古城景區某特產店銷售A，B兩類特產．A類特產進價50元/件，B類特產進價60元/件．已知購買1件A類特產和1件B類特產需132元，購買3件A類特產和5件B類特產需540元．
(1)求A類特產和B類特產每件的售價各是多少元？
(2)A類特產供貨充足，按原價銷售每天可售出60件．市場調查反映，若每降價1元，每天可多售出10件（每件售價不低于進價）．設每件A類特產降價x元，每天的銷售量為y件，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．
(3)在（2）的條件下，由于B類特產供貨緊張，每天只能購進100件且能按原價售完．設該店每天銷售這兩類特產的總利潤為w元，求w與x的函數關系式，并求出每件A類特產降價多少元時總利潤w最大，最大利潤是多少元？（利潤＝售價－進價）
【答案】(1)A類特產的售價為60元/件，B類特產的售價為72元/件
(2)（）
(3)A類特產每件售價降價2元時，每天銷售利潤最犬，最大利潤為1840元
【分析】本題主要考查一元一次方程的應用、函數關系式和二次函數的性質，
根據題意設每件A類特產的售價為x元，則每件B類特產的售價為元，進一步得到關于x的一元一次方程求解即可；
根據降價1元，每天可多售出10件列出函數關系式，結合進價與售價，且每件售價不低于進價得到x得取值范圍；
結合（2）中A類特產降價x元與每天的銷售量y件，得到A類特產的利潤，同時求得B類特產的利潤，整理得到關于x的二次函數，利用二次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）解：設每件A類特產的售價為x元，則每件B類特產的售價為元．
根據題意得．
解得．
則每件B類特產的售價（元）．
答：A類特產的售價為60元/件，B類特產的售價為72元/件．
（2）由題意得
∵A類特產進價50元/件，售價為60元/件，且每件售價不低于進價
∴．
答：（）．
（3）
．
∴當時，w有最大值1840．
答：A類特產每件售價降價2元時，每天銷售利潤最大，最大利潤為1840元．
【變式2.1】（2023九年級·浙江杭州·階段練習）某公司分別在A、B兩城生產一批同種產品，共100件，A城生產產品的成本y（萬元）與產品數量x（件）之間的函數關系為，當時，；當時，．B城生產產品的每件成本為70萬元．
(1)求A城生產產品的成本y（萬元）與產品數量x（件）之間的函數關系式；
(2)若A、B兩城生產這批產品的總成本的和為w（萬元），求w與A城產品數量x（件）之間的函數關系式；
(3)當A、B兩城生產這批產品的總成本的和最少時，求A、B兩城各生產多少件．
【答案】(1)
(2)
(3)A城生產20件，B城生產80件
【分析】本題主要考查二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意；
（1）由題意可直接進行代入求解；
（2）由（1）及題意可直接進行求解；
（3）由（2）及根據二次函數的性質可進行求解．
【詳解】（1）解：由題意得：，
解得：，
∴；
（2）解：根據題意得：，
∴w與A城產品數量x（件）之間的函數關系式為；
（3）解：∵，
∵，
∴當時，w取得最小值，最小值為6600萬元，此時，
答：A城生產20件，B城生產80件．
【變式2.2】（2023·四川遂寧·中考真題）某酒店有兩種客房、其中種間，種間．若全部入住，一天營業額為元；若兩種客房均有間入住，一天營業額為元．
(1)求兩種客房每間定價分別是多少元？
(2)酒店對種客房調研發現：如果客房不調價，房間可全部住滿；如果每個房間定價每增加元，就會有一個房間空閑；當種客房每間定價為多少元時，種客房一天的營業額最大，最大營業額為多少元？
【答案】(1)種客房每間定價為元，種客房每間定價為為元；
(2)當種客房每間定價為元時，種客房一天的營業額最大，最大營業額為元．
【分析】（）設種客房每間定價為元，種客房每間定價為為元，根據題意，列出方程組即可求解；
（）設種客房每間定價為元，根據題意，列出與的二次函數解析式，根據二次函數的性質即可求解；
本題考查了二元一次方程組的應用，二次函數的應用，根據題意，正確列出二元一次方程組和二次函數解析式是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：設種客房每間定價為元，種客房每間定價為為元，
由題意可得，，
解得，
答：種客房每間定價為元，種客房每間定價為為元；
（2）解：設種客房每間定價為元，
則，
∵，
∴當時，取最大值，元，
答：當種客房每間定價為元時，種客房一天的營業額最大，最大營業額為元．
【變式2.3】（2023九年級·全國·競賽）某種學習用品每件的市場售價（單位：元）、生產成本（單位：元）都是時間（單位：月）的函數，如圖所示．根據圖示信息，分別求出每件學習用品的市場售價、生產成本和利潤關于時間的函數關系式，并求出在第幾個月出售時，每件該學習用品的利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】在第8個月出售時，每件該學習用品的利潤最大，最大利潤是23元
【分析】本題主要考查了二次函數的應用．分別求出y與t的函數關系，s與t的函數關系，可得到R與t的函數關系，再根據二次函數的性質，即可求解．
【詳解】解：當時，設，
把點代入得：
，解得：，
∴；
當時，；
當時，同理，
∴y與x的函數關系式為
設s與t的函數關系式為，
把點代入得：
，解得：
∴，
若，
當時，R取得最大值，最大為（元）；
若，
∵，
∴當時，R取得最大值，最大為（元）；
若，
當時，R取得最大值，最大為（元），
在第8個月出售時，每件該學習用品的利潤最大，最大利潤是23元．
【考點3 利用二次函數解決行程問題】
【例3.1】（2023九年級·陜西咸陽·階段練習）交通工程學理論把在單向道路上行駛的汽車看成連續的流體，并用流量和速度來描述車流的基本特征，其中流量（輛/小時）指單位時間內通過道路指定斷面的車輛數；速度（千米/小時）指通過道路指定斷面的車輛速度．為配合大數據治堵行動，測得某路段流量與速度之間的關系式為．
(1)若該路段上汽車行駛的速度為40千米/小時，則該路段的流量為多少？
(2)當該路段的車輛速度為多少時，流量達到最大？最大流量是多少？
【答案】(1)1600輛/小時
(2)該路段的車輛速度為30千米/小時，流量達到最大，最大流量是1800輛/小時
【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用：
（1）把代入解析式，即可求解；
（2）把函數解析式化為頂點式，即可求解．
【詳解】（1）解：當時，，
該路段的流量為1600輛/小時
（2）解：，
，
時，達到最大值，的最大值為1800，
即該路段的車輛速度為30千米/小時，流量達到最大，最大流量是1800輛/小時．
【例3.2】（2023九年級·河北石家莊·期中）我校數學興趣小組對某運載汽車的剎車距離做了研究，發現剎車距離S是K與T兩部分之和，其中，K與行車速度x的平方成正比，比例系數為a；T為系數b、全車重量m及行車速度x三者的乘積（系數a、b；均為定值）．根據調查數據制作了如下表格：
全車重量m（噸） 行車速度x（邁） 剎車距離（米）
第一次觀測 10 40 20
第二次觀測 10 50 30
(1)用a和x表示_________，用b，m，x表示_________；
(2)根據表格中的數據，求剎車距離S與行車速度x之間的函數關系式；若該車速度為80邁，剎車距離是多少？
(3)若某高速路段要求限速100邁，要想剎車距離不大于120米，則該車最多再加多少噸貨物？
【答案】(1)，
(2)剎車距離為72米
(3)10噸貨物
【分析】（1）根據題意可直接得出結論；
（2）根據待定系數法可得出S和x之間的關系，將代入可得出S的值；
（3）根據題意可得出時，S隨z的增大而增大，由此可得出當時，S有最大值，得出方程可得出結論．
【詳解】（1）解：根據題意得：，；
故答案為：，；
（2）解：∵，
∴，
將表格數據代入得，
解得：，
∴，
當時，（米）
答：剎車距離為72米．
（3）解：，
∵開口向上，
在中，S隨x的增大而增大，
當時，
S達到最大，
則，
∴再多加噸貨物．
【點睛】本題主要考查二次函數的應用，涉及待定系數法求函數解析式，二次函數的性質等知識，根據題意得出S和x的函數關系式是解題關鍵．
【例3.3】（2023九年級·浙江臺州·期末）如圖1，在高速公路上，為了避免載重貨車剎車失靈造成事故，在長下坡路段設計避險車道．
避險車道的截面圖如圖2，通過引道把貨車引導到鋪有一定厚度礫石的制動坡的坡底處，然后通過上坡中汽車自身的重力和松散礫石坡面增大輪胎的滾動摩擦，從而達到給貨車減速的目的．
(1)如圖3是從上往下觀察一段長下坡路段的平面示意圖，現要設計引道引導貨車從行車道行駛到避險車道，你認為怎樣設計引道比較合適？請你畫出引道的平面示意圖，并簡要說明理由．
(2)如圖2，設貨車在制動坡上處的初速度為（單位：），運動時間為（單位：）時刻的速度為（單位：），制動坡面的摩擦系數為，制動坡坡度為， ，根據科學原理，有，其中（單位：）．
①貨車在制動坡上行駛到秒的平均速度是多少？行駛的路程是多少？（平均速度，用含有的式子表示）；
②如果，問：貨車在制動坡上行駛多少米才能停下（精確到，）？
③某段高速公路長下坡上貨車剎車失靈后，到達制動坡底的初速度不超過，在②的條件下，制動坡長至少要多長（精確到）？
【答案】(1)汽車行駛有慣性，按照原來的方向行駛更加安全，理由見解析
(2)①，；②；③
【分析】
（1）汽車在下坡路段速度較高，質量大，慣性大，為保障安全，應按照原來的方向保持直行，由此即可求解；
（2）①當時的速度為，當時的速度為，再根據平均速度，即可求解；②將，代入①中的代數式，根據二次函數的頂點坐標公式即可求解；③到達制動坡底的初速度不超過，代入二次函數頂點計算公式即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，
汽車行駛有慣性，按照原來的方向直線行駛更加安全．
（2）解：①根據題意，
當時的速度為；
當時的速度為；
根據平均速度，
∴，
根據路程等于速度乘以時間，
∴（用代替也可以）；
②當，時，代入
，
∴，根據二次函數的形式可知，，，
∴根據函數的頂點坐標公式得，當時，有最大值，且最大值為；
③到達制動坡底的初速度不超過，即，
∴，的最大值為．
【點睛】本題主要考查二次函數與實際問題的綜合運用，理解題目含義，二次函數的頂點坐標公式計算最值是解題的關鍵．
【變式3.1】（2023九年級·浙江·期中）甲船從A處起以的速度向正北方向航行，這時乙船從A的正東方向的B處起以的速度向西航行，多長時間后，兩船的距離最小？最小距離是多少？
【答案】后，兩船的距離最小，最小距離是12．
【分析】可設x小時后，兩船相距y，寫出y2于x的二次函數關系式，再把關系式配方可得到多長時間后，兩船的距離最小；并求出最小距離即可．
【詳解】解：根據題意畫出示意圖如下：
設x小時后，兩船相距y，根據題意，得：
y2＝（15x）2＋（20 20x）2
＝225x2＋400 800x＋400x2
＝（25x 16）2＋144
∴當x＝=時，y2有最小值144，則y的最小值為12，
答：后，兩船的距離最小，最小距離是12．

【點睛】本題考查了二次函數在行程問題中的應用及勾股定理在實際問題中的應用，根據題意正確地列出函數關系式并配方是解題的關鍵．
【變式3.2】（2023九年級·浙江紹興·階段練習）某日上午7：00，一列火車在A城的正北24km處，以12km/h的速度駛向A城．同時，一輛汽車在A城的正東12km處，以12km/h的速度駛向正西方向行駛．假設火車和汽車的行駛的方向和速度都保持不變．
問：（1）何時火車與汽車之間的距離最近？最近距離是多少千米？
（2）當火車與汽車之間的距離最近時，汽車是否已過鐵路與公路的立交處？
【答案】（1）當經過小時時火車與汽車之間的距離最近，最近距離是6千米；（2）當經過小時時汽車與火車的距離最近，此時汽車已過鐵路與公路的交叉口．
【分析】（1）畫出示意圖，利用勾股定理表示出兩車的距離，利用配方法求出兩車的距離最小值；
（2）計算出汽車行走路程與12km比較，可判斷是否已過交叉口．
【詳解】解：（1）如圖所示：
設兩車經過時間為t，兩車之間的距離為y，兩車的行駛方向如圖所示，由題意得：
AB＝24﹣12t，AC＝12﹣12t，
在Rt△ABC中，BC2＝AB2+AC2＝（24﹣12t）2+（12﹣12t）2＝288（t﹣）2+72，
當t＝時，BC之間的距離最小，此時BC＝＝6km；
（2）當t＝h時，汽車運動的距離為12×＝18km＞12km，
故已過鐵路與公路的交叉口，
答：當經過小時時汽車與火車的距離最近，此時汽車已過鐵路與公路的交叉口．
【點睛】本題考查了二次函數的應用、勾股定理的知識，解答本題的關鍵是表示出兩車之間的距離表達式，注意掌握配方法求二次函數最值得應用，難度較大．
【變式3.3】（2023九年級·湖北黃石·期末）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
（1）當時，求車流速度v關于x的解析式；
（2）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/時，）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）
【答案】（1）；（2）當時，最大值約為3333．即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．
【分析】（1）根據題意可得需要分兩部分討論：當時，；當時，設，將兩個臨界點代入求解即可確定解析式，然后綜合兩部分即可得；
（2）根據題意分兩部分進行討論：當時，，利用一次函數的單調性可得在此范圍內的最值；當時，，利用二次函數的最值問題求解即可得；綜合兩部分的最大值比較即可得出結論
【詳解】解：（1）由題意：當時，，
當時，
設，根據題意得，
，
解得，
所以函數解析式為：，
故車流速度v關于x的解析式為；
（2）依題并由（1）可得車流量，
當時，
，
∵，
∴w隨x的增大而增大，
故當時，其最大值為；
當時，
，
當時，w有最大值為，
綜上所述，當時，最大值約為3333．
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．
【點睛】題目主要考查一次函數及二次函數的綜合運用，理解題意，注意分類討論是解題關鍵．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023·浙江溫州·二模）為了解新建道路的通行能力，查閱資料獲知：在某種情況下，車流速度V（單位：千米/時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數，其函數圖象如圖所示．
(1)當時，求V關于x的函數表達式．
(2)車流量是單位時間內通過觀測點的車輛數，計算公式為：車流量車流速度車流密度．若車流速度V不超過80千米/時，求當車流密度x為多少時，車流量P（單位：輛/時）達到最大，并求出這一最大值．
【答案】(1)
(2)時，P的最大值為4418
【分析】此題主要考查了一次函數的應用以及二次函數的應用以及函數最值求法，得出關于的函數關系式是解題關鍵．
（1）直接利用待定系數法求一次函數解析式進而得出答案；
（2）根據計算公式為：車流量車流速度車流密度可得，再利用配方法求出最值即可．
【詳解】（1）解：當時，．
當時，設，
由圖象可知，，
解得：，
當時，；
（2）根據題意，得．
答：當車流密度為94輛千米時，車流量最大，為4418輛時．
【題型2】（2023九年級·浙江臺州·期末）大自然中有一種神奇的魚一射水魚，它能以極快的速度從口中射出拋物線形水柱擊落昆蟲來捕食，如圖1，已知水柱的解析式為，水柱的最大高度為．
(1)當射水魚在原點處時，求水柱的解析式；
(2)如圖2，昆蟲在處停留，水柱形成的時間忽略不計，射水魚從原點出發．
①射水魚需要水平向右游動多少距離才能擊中昆蟲？
②昆蟲發現原點處的射水魚后立即以的速度水平向右逃離，同時射水魚以的速度水平向右追趕，經過多少時間，射水魚恰好能擊中昆蟲？
【答案】(1)
(2)①射水魚需要向右游動才能擊中昆蟲；②經過射水魚恰好能擊中昆蟲
【分析】本題考查了二次函數的應用噴水問題：
（1）運用待定系數法求解即可；
（2）①令，求出x的值，再進行判斷即可；②根據“時間=路程÷速度”求解即可
【詳解】（1）解：水柱的最大高度為，
，
射水魚在原點處，
將代入8，得，
解得或（舍去），
水柱的解析式為
（2）解：①令，得，
解得或，
，
，
射水魚需要向右游動才能擊中昆蟲．
②由題意得，，
經過射水魚恰好能擊中昆蟲．
【題型3】（2023·河南濮陽·三模）如圖1，為打造潴龍河夜景景觀觀賞通道，管理部門在河道兩旁安裝了噴水裝置．噴水水柱要越過綠道噴入潴龍河中．圖2是其截面圖，已知綠道路面寬米，河道壩高米，壩面的坡比為（其中），是河底．當水柱離噴水口O處水平距離為2米時，離地平面距離的最大值為3米．為解決這個問題，建立如圖3的平面直角坐標系．
(1)出于安全考慮，在河道的壩邊A 處安裝護欄，要求水柱不能噴射到護欄上，則護欄的最大高度是多少米（結果保留一位小數）？
(2)水柱落入水中會濺起美麗的水花，河水水深至少為多少米時，噴水水柱剛好落在水面上？
【答案】(1)護欄的最大高度為米；
(2)河水水深至少為米時，噴水水柱剛好落在水面上．
【分析】本題主要考查了二次函數的應用，解題時要熟練掌握二次函數的性質是關鍵．
（1）依據題意得二次函數的頂點坐標為，設該二次函數的解析式為，
再結合函數經過原點，求出的值，得到二次函數的解析式為： 從而可得當時， ，進而可以判斷得解；
（2）依據題意，可得， 再求得B的坐標為再設的解析式為建立方程組可得進而可得直線，再與拋物線解析式建立方程組，進而計算可以判斷得解．
【詳解】（1）解：由題意得：二次函數的頂點坐標為，
∴設該二次函數的解析式為：，
∵函數經過原點，
，
解得：，
∴該二次函數的解析式為：，
∴當 時，
∴護欄的最大高度為米．
（2）解：設點的橫坐標為，則，
∵米，壩面的坡比為，
∴，
∴點B的坐標為，
又由題意可知，，
設的解析式為，
，
，
，
，
解得：(不合題意，舍去)，
當時，，
∴河水降至離地平面距離為米時，水柱剛好落在水面上，
∴河水水深為米時，水柱剛好落在水面上．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023九年級·江西九江·期中）去年夏天，全國多地出現了極端高溫天氣，某商場抓住這一商機，先用3200元購進一批防紫外線太陽傘，很快就銷售一空，商場又用8000元購進了第二批這種太陽傘，所購數量是第一批的2倍，但單價貴了4元，商店在銷售這種太陽傘時，每把定價都是50元，每天可賣出20把．
(1)求兩次共購進這種太陽傘多少把；
(2)商場為了加快資金的回籠速度，打算對第二批太陽傘進行降價銷售，經市場調查，如果這種太陽傘每把降價1元，則每天可多售出2把，這種太陽傘降價多少元時，才能使商場每天的銷售額最大？每天最大的銷售額是多少元？
【答案】(1)兩次共購進這種太陽傘600把
(2)太陽傘每把降價20元時，才能使商場每天的銷售額最大，商場每天的最大銷售額是1800元
【分析】本題考查的是分式方程的應用，二次函數的應用，理解題意，確定相等關系建立方程與函數關系式是解本題的關鍵；
（1）設第一次購進x把這種太陽傘，則第二次購進把這種太陽傘．利用所購數量是第一批的2倍，但單價貴了4元，再建立方程求解即可；
（2）設商場每天的銷售額為y元，太陽傘每把降價x元．由總利潤等于每件利潤乘以銷售量建立函數關系式，再利用二次函數的性質解決問題即可．
【詳解】（1）解：設第一次購進x把這種太陽傘，則第二次購進把這種太陽傘．
由題意得，，
解得，
經檢驗是原方程的解，則，
答：兩次共購進這種太陽傘600把；
（2）設商場每天的銷售額為y元，太陽傘每把降價x元．
由題意得，
化簡得：，
當時y有最大值，y最大值，
答：太陽傘每把降價20元時，才能使商場每天的銷售額最大，商場每天的最大銷售額是1800元．
【題型2】（2023九年級·浙江杭州·期中）鷹眼系統能夠追蹤、記錄和預測球的運動軌跡．如圖分別為足球比賽中某一時刻的鷹眼系統預測畫面（如圖1）和截面示意圖（如圖2），攻球員位于點，守門員位于點的延長線與球門線交于點，且點均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線，已知，足球飛行的水平速度為，水平距離（水平距離水平速度時間）與離地高度的鷹眼數據如表：（單位：）
9 12 15 18 21
4.28 4.82 5 4.82 4.28
(1)假如沒有守門員，根據表中數據預測足球落地時，求的值：
(2)求關于的函數解析式；
(3)守門員在攻球員射門瞬間就作出防守反應，當守門員位于足球正下方時，足球離地高度不大于守門員的最大防守高度視為防守成功．已知守門員背對足球向球門前進過程中最大防守高度為，若守門員背對足球向球門前進并成功防守，求此過程守門員的最小速度．
【答案】(1)s的值為30
(2)
(3)此過程守門員的最小速度為m/s
【分析】本題考查了求二次函數的關系式，二次函數的圖象的性質，二次函數與一元二次方程的關系，解一元二次方程等．
（1）由表格可知拋物線的對稱軸，進而得出答案；
（2）設拋物線的頂點式，再將點代入解析式，可得答案；
（3）求出，求出所需的時間，再設守門員的速度為，至少在1.8秒時，足球位于守門員正上方，可得方程，并求出解.
【詳解】（1）由表格可知，時和時，相等，時，時，相等，
拋物線關于對稱，
當時，，
時，，
所以；
（2）由（1）知，拋物線關于對稱，設，
把代入上述解析式，
，解得，
；
（3）足球到達2.12米高度時的水平距離為，可得方程：
解得：或3（舍去），
由足球的水平速度可求出所需的時間為1.8秒.
若守門員背對足球向球門前進并成功防守，設守門員的速度為，至少在1.8秒時，足球位于守門員正上方,
故：，
解得，
此過程守門員的最小速度為．
【題型3】（2023·湖北宜昌·二模）一架飛機在跑道起點處著陸后滑行的相關數據如下表：
滑行時間 0 1 2 3 4
滑行速度 60 57 54 51 48
已知該飛機在跑道起點處著陸后的滑行速度y（單位：）與滑行時間t（單位：s）之間滿足一次函數關系．而滑行距離平均速度時間t，，其中是初始速度，是t秒時的速度．
(1)直接寫出y關于t的函數解析式和自變量的取值范圍；
(2)求飛機滑行的最遠距離；
(3)當飛機在跑道起點處著陸后滑行了，求此時飛機的滑行速度；
(4)若飛機在跑道起點處開始滑行時，發現前方有一輛通勤車正以的速度勻速同向行駛，試問飛機滑行過程中是否有碰撞通勤車的危險？
【答案】(1)
(2)飛機滑行的最遠距離為
(3)此時飛機的滑行速度是
(4)飛機滑行過程中沒有碰撞通勤車的危險
【分析】本題考查待定系數法確定函數解析式，求函數值、求自變量值；理解函數與方程的聯系是解題的關鍵．
（1）設y關于t的函數解析式為，利用待定系數法求解，令，即可求出t的取值范圍即可；
（2）根據滑行距離平均速度時間t，，其中是初始速度，是t秒時的速度，代入數值計算即可求解；
（3）根據行距離平均速度時間t，，其中是初始速度，是t秒時的速度，即，建立關于t的一元二次方程即可求解；
（4）設飛機滑行的距離為，求出飛機滑行的距離與時間t的關系式，由飛機滑行的時間內，根據通勤車與飛機之間的距離，建立關于t的方程，在飛機滑行的時間內，看飛機能否追上通勤車即可得出結論．
【詳解】（1）解：設y關于t的函數解析式為，
將代入，得：，
解得：，
y關于t的函數解析式為，
當時，則，
解得，
y關于t的函數解析式；
（2）解：根據題意：飛機滑行的最遠距離為，
答：飛機滑行的最遠距離為；
（3）解：，，
，即，
解得：或（舍去），
答：此時飛機的滑行速度是；
（4）解：設飛機滑行的距離為，
則飛機滑行的距離與時間t的關系式為：，
通勤車與飛機之間的距離為：，
令通勤車與飛機之間的距離0，則，即，
，
方程無解，
在飛機滑行的時間內，飛機不會撞上通勤車，
飛機滑行過程中沒有碰撞通勤車的危險．
1．（2023·湖南長沙·模擬預測）某校九年級學生在數學社團課上進行紙盒設計，利用一個邊長為的正方形硬紙板，在正方形紙板的四角各剪掉一個同樣大小的小正方形，將剩余部分折成一個無蓋紙盒．
(1)若無蓋紙盒的底面積為，則剪掉的小正方形的邊長為多少？
(2)折成的無蓋紙盒的側面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的小正方形的邊長；如果沒有，說明理由．
【答案】(1)剪掉的小正方形的邊長為
(2)無蓋紙盒的側面積有最大值，剪掉的小正方形的邊長為時，有最大值，最大值為
【分析】本題主要考查一元二次方程與幾何圖形面積，二次函數最值，掌握一元二次方程的解法，二次函數的性質是解題的關鍵．
（1）根據題意和圖示，設剪掉的小正方形的邊長為，列式求解即可；
（2）根據題意，設剪掉的小正方形的邊長為，無蓋紙盒的側面積為，結合幾何圖形面積的計算方法，二次函數圖象最值的計算方法即可求解．
【詳解】（1）解：設剪掉的小正方形的邊長為，
∴無蓋紙盒的底面的邊長為，
∴，
解得，（負值舍去），
∴剪掉的小正方形的邊長為；
（2）解：設剪掉的小正方形的邊長為，無蓋紙盒的側面積為，
∴，
∴當時，有最大值，最大值為，
∴無蓋紙盒的側面積有最大值，剪掉的小正方形的邊長為時，有最大值，最大值為．
2．（2023·山西晉城·三模）學科實踐驅動任務：用數學的眼光觀察校園．
研究步驟：
①如圖，某同學觀察校門口的隔離欄發現，各個欄桿上涂有顏色部分的頂端及點A，B所在曲線呈拋物線形（欄桿寬度忽略不計）；
②隔離欄長為，隔離欄被12根欄桿等分成13份，左起第4根欄桿涂色部分的高度．
問題解決：
(1)請以點A為坐標原點，所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，并求

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