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第08講 二次函數y=ax2的圖象和性質
·模塊一 二次函數
·模塊二 二次函數y=ax2的圖象和性質
·模塊三 課后作業
二次函數的定義：
我們把一種意義一般地，如果就是常數，，那么y叫做x的二次函數.
【考點1 二次函數的概念】
【例1.1】（2023九年級·江西南昌·階段練習）下列函數解析式中，一定是的二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查二次函數的識別，形如的函數是二次函數，根據定義逐一判斷即可得到答案．
【詳解】解：A，當時，，不是二次函數，不合題意；
B，，是的一次函數，不合題意；
C，，一定是的二次函數，符合題意；
D，中含有分式，不是二次函數，不合題意；
故選C．
【例1.2】（2023·北京大興·二模）下面的三個問題中都有兩個變量：
①扇形的圓心角一定，面積S與半徑r；
②用長度為20的線繩圍成一個矩形，矩形的面積S與一邊長；
③汽車在高速公路上勻速行駛，行駛路程s與行駛時間t．
其中，兩個變量之間的函數關系可以利用二次函數表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】本題主要考查了二次函數的定義，根據二次函數的定義求解即可．
【詳解】解：①扇形的面積，扇形的圓心角n一定， 面積S與半徑r兩個變量之間的函數關系可以利用二次函數表示，符合題意，
②矩形的面積，矩形的面積S與一邊長兩個變量之間的函數關系可以利用二次函數表示，符合題意，
③行駛路程，行駛路程s與行駛時間t兩個變量之間的函數關系可以利用一次函數表示，不符合題意，
則①②符合題意，
故選：A．
【例1.3】（2023九年級·全國·專題練習）若是關于x的二次函數，則a的值是（　　）
A．1 B． C． D．或
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的定義等知識點，根據二次函數定義可得且，求解即可．
【詳解】∵函數是關于x的二次函數，
∴且，
解得，
故選：B．
【變式1.1】（2023九年級·北京朝陽·期末）如圖，矩形綠地的長和寬分別為和．若將該綠地的長、寬各增加，擴充后的綠地的面積為，則y與x之間的函數關系是 ．（填“正比例函數關系”、“一次函數關系”或“二次函數關系”）
【答案】二次函數關系
【分析】根據矩形面積公式求出y與x之間的函數關系式即可得到答案．
【詳解】解：由題意得，
∴y與x之間的函數關系是二次函數關系，
故答案為；二次函數關系．
【點睛】本題主要考查了列函數關系式和二次函數的定義，正確列出y與x之間的函數關系式是解題的關鍵．
【變式1.2】（2023九年級·江蘇·專題練習）下列函數關系式中，二次函數的個數有（　　）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的定義，一般地，形如為常數，的函數叫做二次函數．判斷一個函數是不是二次函數，在關系式是整式的前提下，如果把關系式化簡整理（去括號、合并同類項)后，能寫成為常數，的形式，那么這個函數就是二次函數，否則就不是．
【詳解】解：（1）是二次函數，故符合題意；
（2），不是二次函數，故不符合題意；
（3）是二次函數，故符合題意；
（4）不是二次函數，故不符合題意；
（5）不是二次函數，故不符合題意；
（6），不確定m是否為0，不一定是二次函數，故不符合題意；
綜上所述，二次函數有2個．
故選：B．
【變式1.3】（2023九年級·廣東東莞·期中）已知函數是二次函數，則 ．
【答案】
【分析】根據定義得：形如 是常數，且的函數是二次函數，列方程可求得答案．
【詳解】解：依題意得：且，
解得．
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數的定義．注意：二次函數中，是常數，本題關鍵點為．
【考點2 二次函數的一般形式及函數值】
【例2.1】（2023九年級·四川南充·階段練習）二次函數的二次項是 ，一次項系數是 ，常數項是 ．
【答案】 5
【分析】根據二次函數的定義判斷即可。
【詳解】解：二次函數的二次項是，一次項系數是，常數項是，
故答案為：①，② ，③ ，
【點睛】此題主要考查了二次函數的定義，要熟練掌握，一般地，形如、、是常數，的函數，叫做二次函數．其中、是變量，、、是常量，是二次項系數，是一次項系數，是常數項．
【例2.2】（2023九年級·四川達州·階段練習）標準大氣壓下，質量一定的水的體積與溫度之間的關系滿足二次函數，則當溫度為時，水的體積為 ．
【答案】106
【分析】本題考查二次函數的應用，細心計算是解題的關鍵．
將代入解析式求值即可．
【詳解】解： ，
當時，，
水的體積為．
故答案為：106．
【例2.3】（2023九年級·安徽六安·階段練習）二次函數的二次項系數是 ．
【答案】
【分析】先進行多項式的乘法運算，再合并同類項化成一般式即可．
【詳解】解：，
，
∴二次項系數是，
故答案為：．
【點睛】此題考查了二次函數的一般形式，解題的關鍵是掌握化成一般形式，確定二次項系數，一次項系數和常數項．
【變式2.1】（2023九年級·云南大理·期中）在二次函數中，二次項系數、一次項系數、常數項的和為 ．
【答案】0
【分析】分別得出二次項系數，一次項系數和常數項相加即可；
【詳解】∵，
∴二次項系數為，一次項系數為0，常數項為1，
∴；
故答案是0．
【點睛】本題主要考查了二次函數一般式的認識，準確分析判斷是解題的關鍵．
【變式2.2】（2023九年級·河南洛陽·期末）軍事演習近平坦的草原上進行，一門迫擊炮發射的一發炮彈飛行的高度與飛行時間的關系滿足．經過 秒時間，炮彈落到地上爆炸了．
【答案】
【分析】炮彈落到地上即y=0，代入解析式解答即可．
【詳解】依題意，關系式化為：
y= (x 25)2+125.
令y=0，
解得：x=50秒．
故答案為50．
【點睛】二次函數的應用．
【變式2.3】（2023·山西運城·模擬預測）標準大氣壓下，質量一定的水的體積與溫度之間的關系滿足二次函數，則當溫度為時，水的體積為 ．
【答案】120
【分析】把代入解析式求值即可．
【詳解】解：，
當時，，
水的體積為．
故答案為：．
【點睛】本題考查二次函數的應用，細心計算是解題的關鍵．
【考點3 根據實際問題建立二次函數的模型】
【例3.1】（2023九年級·山東濟寧·期中）某工廠實行技術改造，產量年均增長率為x，已知2020年產量為1萬件，那么2022年的產量y（萬件）與x間的關系式為 ．
【答案】
【分析】因為產量的平均增長率相同，所以2021的產量為，2022年的產量為，由此即可知道2022年的產量y（萬件）與x間的關系式．
【詳解】解：∵2020年產量為1萬件，且產量年均增長率為x．
∴2021年產量為；2022年的產量為．
∴2022年的產量y（萬件）與x間的關系式為．
故答案為：
【點睛】本題考查二次函數的實際問題，能夠根據題意分步列出相關的代數式是解題的關鍵．
【例3.2】（2023九年級·福建莆田·期中）一個邊長為4厘米的正方形，如果它的邊長增加厘米，則面積隨之增加y平方厘米，那么y關于x的函數解析式為 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了根據實際問題列二次函數關系式，關鍵是正確表示出正方形的面積．
首先表示出原邊長為4厘米的正方形面積，再表示出邊長增加x厘米后正方形的面積，再根據面積隨之增加y平方厘米可列出方程．
【詳解】解：原邊長為4厘米的正方形面積為：（平方厘米），
邊長增加x厘米后邊長變為：，
則面積為：平方厘米，
∴．
故答案為：．
【例3.3】（2023九年級·浙江溫州·階段練習）經市場調查發現，將進貨價格為45元的商品按單價70元售出時，能賣出150個．已知該商品單價每降低2元，獲得的利潤為y元，則下列關系式正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了根據實際問題列二次函數關系式．當這種商品的售價減低元時，每個的銷售利潤為元，銷售量為個，利用總利潤每個的銷售利潤銷售量，即可找出關于的函數關系式，此題得解．
【詳解】解：當這種商品的售價減低元時，每個的銷售利潤為元，銷售量為個，
根據題意得：．
故選：A．
【變式3.1】（2023九年級·廣東深圳·期末）用一根長為20cm的鐵絲圍成一個長方形，若該長方形的一邊長為xcm，面積為ycm2，則y與x之間的關系式為 ．
【答案】y＝﹣x2+10x
【分析】根據長方形的面積=長×寬，即可解答．
【詳解】解：由題意知：y=x （）=x（10-x）=-x2+10x．
故答案為y=-x2+10x．
【點睛】此題主要考查利用二次函數解決實際問題，解決本題的關鍵是熟記長方形的面積=長×寬．
【變式3.2】（2023九年級·全國·階段練習）長為，寬為的矩形，四個角上剪去邊長為的小正方形，然后把四邊折起來，作成底面為的無蓋的長方體盒子，則y與x的關系式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用現有一塊長20cm、寬10cm的矩形，將它的四個角各剪去一個邊長為xcm的小正方形，則底面長與寬均減少2xcm，表示出無蓋的長方體盒子底邊的長，進而得出y與x之間的函數關系式．
【詳解】解：設小正方形邊長為xcm，由題意知：
現在底面長為（20-2x）cm，寬為（10-2x）cm，
則y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），
故選：C．
【點睛】此題主要考查了根據實際問題列二次函數關系式，表示出長方體盒子底邊的長與寬是解題關鍵.
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023九年級·河南洛陽·期末）中 ， ， .
【答案】 5 2 0
【分析】根據二次項系數、一次項系數、常數項的定義解答.
【詳解】解：在中，a＝5，b＝2，c＝0．
【點睛】本題考查的是二次函數的一般形式、各項系數與常數項．
【題型2】（2023九年級·全國·課后作業）函數y＝(m＋2)＋2x－1(x≠0)，當m＝ 時，它是二次函數，當m＝ 時，它為一次函數．
【答案】 2， ±或－2
【詳解】試題分析：令m2－2＝2，得m＝2或－2，
∵m＋2≠0，m≠－2，
∴m＝2，
即m＝2時是二次函數；
當m＝－2時，y＝2x－1，是一次函數，
當m2－2＝1，即m＝時，是一次函數，
即m＝或－2時，是一次函數．
故答案為2；或－2．
【題型3】（2023九年級·遼寧大連·期中）已知有n個球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽，比賽的場次數為m，則m關于n的函數解析式為 ．
【答案】
【分析】根據n個球隊都要與除自己之外的球隊個打一場，因此要打場，然而有重復一半的場次，即可求出函數關系式．
【詳解】解：根據題意，得，
故答案為： ．
【點睛】本題考查了函數關系式，理解題意是解題的關鍵．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023·上海徐匯·一模）下列各點中，在二次函數圖象上的點是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把選項坐標代入二次函數驗證即可．
【詳解】A． ，選項錯誤，不符合題意；
B． ，選項正確，符合題意；
C． ，選項錯誤，不符合題意；
D． ，選項錯誤，不符合題意．
故選：B．
【點睛】此題考查了二次函數，解題的關鍵是把選項坐標代入二次函數驗證．
【題型2】（2023九年級·重慶·階段練習）勻速地向如圖所示的一個空水瓶里注水，最后把空水瓶注滿．在這個注水過程中，水面高度h與注水時間t之間函數關系的大致圖像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據空水瓶的形狀可知空水瓶的橫截面先增大后減小，橫截面為圓形，所以水面高度h與注水時間t之間函數關系的大致圖像滿足二次函數的曲線，整體為水面高度增長速度先快、后慢、再快，對應函數圖像先陡、后緩、再陡．
【詳解】解：下面的容器較粗，中間最粗，上面最細，
∵容器橫截面為圓形，橫截面，
∴水面高度h與注水時間t之間函數關系的大致圖像滿足二次函數的曲線，
∴對應函數圖像先陡、后緩、再陡，
故選：C．
【點睛】本題考查了函數圖像，解決本題的關鍵是根據底面積在變化從而判斷水面高度h與注水時間t之間函數關系的大致圖像滿足二次函數的曲線．
【題型3】（2023九年級·福建泉州·期末）如圖，分別在正方形邊上取點，并以的長分別作正方形．已知．設正方形的邊長為，陰影部分的面積為，則與滿足的函數關系是（ ）

A．一次函數關系 B．二次函數關系 C．正比例函數關系 D．反比例函數關系
【答案】A
【分析】本題考查函數關系的識別，完全平方公式，列函數關系式，根據題意表示出、的長度，再結合陰影部分的面積等于以的長的正方形的面積之差可得，理解題意，列出函數關系式是解決問題的關鍵．
【詳解】解：由題意可得：，，
則陰影部分的面積為，
即：，為一次函數，
故選：A．
二次函數的性質：
（1）拋物線的頂點就是坐標原點，對稱軸就是y軸；
（2）函數的圖像與a的符號關系：
①當a＞0時拋物線開口向上頂點為其最低點；
②當a＜0時拋物線開口向下頂點為其最高點；
（3）頂點就是坐標原點，對稱軸就是y軸，拋物線的解析式形式為(a≠0)
【考點1 二次函數y=ax2的圖象】
【例1.1】（2023九年級·河北保定·期末）二次函數的圖象如圖所示，則a的值可能為（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查二次函數的圖象與性質，根據二次函數的圖象的開口方向求解即可．
【詳解】解：由圖象知，二次函數的圖象開口向上，則，
故選項A符合題意，選項B、C、D不符合題意，
故選：A．
【例1.2】（2023九年級·全國·課后作業）觀察二次函數的圖象，并填空．
(1)圖象與x軸的交點也是它的________，這個點的坐標是________；
(2)二次函數的圖象是一條________，它的開口向________，它的對稱軸為________；
(3)當時，隨著x值的增大，y的值________；當時，隨著x值的增大，y的值________．
【答案】(1)頂點，
(2)拋物線，上，y軸（或直線）
(3)減小，增大
【分析】此題主要考查了二次函數的圖象性質，掌握的性質是解題關鍵．
（1）根據的圖象得出頂點位置及坐標；
（2）根據的圖象得出其形狀、開口方向及對稱軸；
（3）根據的圖象得出其性質．
【詳解】（1）圖象與x軸的交點也是它的頂點，這個點的坐標是．
故答案為：頂點，
（2）二次函數的圖象是一條拋物線，它的開口向上，它的對稱軸為y軸（或直線）．
故答案為：拋物線，上，y軸（或直線）
（3）當時，隨著x值的增大，y的值減小；當時，隨著x值的增大，y的值增大．
故答案為：減小，增大．
【例1.3】（2023九年級·山東濟寧·階段練習）如圖，三個二次函數圖象中，分別對應的是①；②；③，則a、b、c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】二次函數中越大開口越小，據此即可求解．
【詳解】解：二次函數中越大開口越小，
由圖得：
，
故選：A．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，理解性質是解題的關鍵．
【變式1.1】（2023九年級·福建福州·期中）拋物線與的形狀相同，而開口方向相反，則的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】理解二次函數解析式，決定拋物線的形狀，開口向上，開口向下；由題意可得，進而由開口方向確定具體值．
【詳解】解：由題意知，或，
∵開口方向相反，
∴．
故選：D．
【變式1.2】（2023九年級·陜西西安·期末）拋物線 開口 ，頂點坐標是 ，當x 0時，．
【答案】 向下
【分析】本題考查了二次函數的性質，重點是注意函數的開口方向、頂點坐標、對稱軸及單調性與最值的問題．
根據二次函數的性質即可得出結論．
【詳解】解：，
∴拋物線開口向下，頂點坐標為，當時，．
故答案為：向下，，．
【變式1.3】（2023九年級·四川南充·階段練習）已知是二次函數，且當時，y隨x的增大而增大．

(1)則k的值為____；對稱軸為_____．
(2)若點A的坐標為，則該圖象上點A的對稱點的坐標為______．
(3)請畫出該函數圖象．
【答案】(1)，軸
(2)
(3)圖像見解析
【分析】（1）根據二次函數定義以及當時，隨的增大而增大．可得出結論；
（2）根據函數的對稱性求點對稱點的坐標即可；
（3）根據二次函數的解析式畫出函數圖象即可．
【詳解】（1）解：由是二次函數，且當時，隨的增大而增大，得
，
解得：，
二次函數的解析式為，
對稱軸為軸，
故答案為：，軸；
（2）點，
當時，，
點
點的對稱點的坐標為，
故答案為：；
（3）如圖

【點睛】本題考查二次函數的定義和二次函數的性質，關鍵是求函數解析式．
【考點2 二次函數y=ax2的性質】
【例2.1】（2023九年級·吉林四平·期末）拋物線，，共有的性質是（ ）
A．開口向下 B．對稱軸是y軸 C．都有最低點 D．y隨x的增大而減小
【答案】B
【分析】
本題考查二次函數的性質．根據二次函數的性質解題．
【詳解】
解：開口向上，對稱軸為軸，有最低點，頂點為原點；
開口向下，對稱軸為軸，有最高點，頂點為原點；
∴拋物線，，共有的性質是對稱軸為軸，頂點為原點；
故選：B．
【例2.2】（2023九年級·北京海淀·期中）已知點在拋物線上，則的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】A
【分析】分別把代入解析式求解．
【詳解】把代入得，
把代入得，
，
，
故選：A.
【點睛】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，解題關鍵是掌握二次函數上點的特征．
【例2.3】（2023九年級·河北廊坊·階段練習）已知某拋物線的開口向下，且該拋物線的對稱軸為軸，經過原點，請寫出一個滿足條件的拋物線的解析式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據拋物線的開口向下和對稱軸，設出函數解析且，據此寫出解析式即可解答．
【詳解】解：根據題意可得：二次函數的頂點坐標為，
設且，例如：．
故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題主要考查了二次函數的性質與解析式的關系，正確寫拋物線的表達式是解題的關鍵．
【變式2.1】（2023九年級·江蘇徐州·階段練習）若拋物線經過點，則它也經過（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據拋物線的表達式的形式可得圖象關于y軸對稱，從而判定其必經過的點．
【詳解】解：∵拋物線的圖象關于y軸對稱，
∴若圖象經過，
則一定經過，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是掌握二次函數的圖象關于y軸對稱．
【變式2.2】（2023九年級·廣西梧州·期中）對于二次函數，下列說法正確的是（ ）
A．函數有最小值 B．函數圖象開口向下
C．函數圖象頂點坐標是 D．y隨x增大而減小
【答案】B
【分析】根據二次函數的性質進行逐項判斷即可．
【詳解】解：二次函數，開口向下，有最大值，對稱軸為y軸，頂點為，
當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小．
故A，C，D不符合題意；B符合題意；
故選B．
【點睛】本題考查的是二次函數的性質，熟記二次函數的開口方向，頂點坐標，函數最值，增減性是解本題的關鍵．
【變式2.3】（2023九年級·安徽阜陽·期中）若點是拋物線的最低點，則m的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】本題考查了二次函數最值、二次函數的性質，二次函數有最低點，拋物線的開口向上是解題的關鍵． 根據原點是拋物線的最低點，則拋物線必須開口向上，可得，即可解答．
【詳解】解：解：點是是拋物線的最低點，
．
故答案為：．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023九年級·北京密云·期末）若點，，三點都在二次函數的圖象上，則、、的大小關系是 .（按從小到大的順序，用“”連接）.
【答案】
【分析】本題考查比較二次函數值的大小，開口向下，離對稱軸越遠的點縱坐標越小，由此可解．
【詳解】解： 中，
的圖象開口向下，對稱軸為y軸，
距離y軸越遠的點縱坐標越小，
，
，
故答案為：．
【題型2】（2023九年級·全國·課后作業）如圖，A，B為拋物線上兩點，且線段軸．若，則點A的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，根據對稱性求出點橫坐標為，代入解析式進行求解即可．
【詳解】解：∵關于y軸對稱，線段軸，
∴線段關于y軸對稱，
∵且點A在第二象限，
∴點A的橫坐標為，
把代入，得，
∴點A的坐標為．
故選D．
【題型3】（2023九年級·全國·課后作業）關于拋物線，給出下列說法：
①拋物線開口向下，頂點是原點；
②當時，隨的增大而減小；
③當時，；
④若、是該拋物線上的兩點，則．
其中正確的說法有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，根據拋物線，可得拋物線的對稱軸是軸，頂點是，拋物線開口向下，再結合拋物線的增減性，逐項判斷即可，解題關鍵是掌握二次函數的圖象與性質．
【詳解】解：，，
拋物線的對稱軸是軸，頂點是，拋物線開口向下，
①拋物線開口向下，頂點是原點，故①正確；
②拋物線的對稱軸為軸，當時，隨的增大而減小，故②正確；
③當時，，取最大值為0，時，取值最小值為，所以，故③錯誤；
④若，是該拋物線上的兩點，則，關于軸對稱，橫坐標互為相反數，所以，故④正確；
正確的說法共有3個，
故選C．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023九年級·全國·課后作業）在同一平面直角坐標系中，二次函數與一次函數的圖象大致是（　　）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本題考查二次函數的圖象、一次函數的圖象，解題的關鍵是明確二次函數與一次函數圖象的特點與其系數的關系．
解法一：分和，根據一次函數的性質和二次函數的性質逐項判斷即可；
解法二：根據一次函數的性質和二次函數的性質，由函數圖象可以判斷a的正負情況，從而可以解答本題．
【詳解】解法一：當時，函數的圖象開口向上，函數的圖象經過第一、第二、第三象限，所以A、D錯誤，B正確；
當時，函數的圖象開口向下，函數的圖象經過第二、第三、第四象限，所以C錯誤．
解法二：A項，由一次函數的增減性，知，由一次函數圖象與y軸的交點，知，故A不符合題意；
B項，由二次函數的圖象，知，由一次函數的圖象，知，故B符合題意；
C項，由二次函數的圖象，知，由一次函數的圖象，知，故C不符合題意；
D項，由二次函數的圖象，知，由一次函數的圖象，知，故D不符合題意．
故選：B．
【題型2】（2023·浙江金華·二模）若是拋物線圖象上兩個不同的點，則為（ ）
A．正數 B．負數 C．非正數 D．非負數
【答案】D
【分析】本題主要考查了二次函數的性質，根據解析式可得，拋物開口向上，對稱軸為y軸，則離對稱軸越遠函數值越大，即可推出與同號或都等于0，據此可得答案．
【詳解】解：由題意得，拋物開口向上，對稱軸為y軸，
∴離對稱軸越遠函數值越大，
∴當，，當，，
∴與同號或都等于0，
∴
故選：D．
【題型3】（2023九年級·貴州遵義·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，線段的端點坐標分別為，，若拋物線與線段有交點，則a的取值范圍是
【答案】
【分析】本題考查了二次函數圖象與性質，根據拋物線與線段的交點需要在之間，將，分別帶入函數求出a的值，拋物線開口向上，a的絕對值越小，開口越大，即可得出結果．
【詳解】解：由題意可知二次函數經過原點，想要拋物線與線段有交點，如下圖：
拋物線與線段的交點需要在之間，
當拋物線經過A點時，，解得：，
當跑五項經過B點時，，解得：，
拋物線開口向上，a的絕對值越小，開口越大，
．
故答案為：．
1．（2023九年級·江蘇蘇州·階段練習）下列函數中，是二次函數的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
本題考查的是二次函數定義，形如，這樣的函數叫做二次函數，據此進行判斷即可．
【詳解】解：A、是一次函數，不符合題意；
B、不是二次函數，不符合題意；
C、是二次函數，符合題意；
D、化簡后，不含二次項，不是二次函數，不符合題意；
故選：C．
2．（2023九年級·浙江麗水·期末）若函數的圖象經過點，則n的值為（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數圖象的點坐標．熟練掌握二次函數圖象上的點坐標滿足二次函數表達式是解題的關鍵．
將代入，計算求解即可．
【詳解】解：將代入得，，
故選：A．
3．（2023九年級·安徽淮北·階段練習）二次函數的一次項系數是（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】根據二次函數的定義“一般地，形如（a、b、c是常數，）的函數，叫做二次函數．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項”作答即可．
【詳解】解：二次函數的一次項系數是．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了二次函數的定義，關鍵是注意在找二次項系數，一次項系數和常數項時，不要漏掉符號．
4．（2023九年級·北京朝陽·期中）正方體的棱長為x，表面積為y，則y與x之間的函數關系式為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了列二次函數關系式，正方體有6個面，每個面的面積為據此可求解．
【詳解】解：由題意得，，
故選：C．
5．（2023九年級·全國·課后作業）關于二次函數和的圖象，以下說法正確的有（　　）
①兩圖象都關于軸對稱；②兩圖象都關于軸對稱；③兩圖象的頂點相同；④兩圖象的開口方向不同；⑤點在拋物線上，也在拋物線上．
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數圖像的性質，根據二次函數的性質即可作答．
【詳解】根據二次函數和的圖象，可得兩圖象都關于軸對稱，兩圖象的頂點相同，兩圖象的開口方向不同，的圖象開口向上，的圖象開口向下，點只在拋物線上，所以①③④正確．
故選：B．
6．（2023九年級·全國·課后作業）若二次函數的二次項系數為a，一次項系數為b，常數項為c，則 ， ， ．
【答案】 0
【分析】本題主要考查了二次函數有關概念．熟練掌握二次函數各項系數的概念，是解決問題的關鍵．
根據二次函數各項的系數填空．
【詳解】∵二次函數為，
∴二次項系數為，一次項系數為0，常數項為，
∴，，．
故答案為：，0，．
7．（2023九年級·四川自貢·階段練習）已知x的二次函數，則寫一個符合條件的m的值可能是 ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本題主要考查的是二次函數的定義．依據二次函數的二次項系數不為零可求得m的取值范圍，然后可找出符合條件的m的值．
【詳解】解：∵函數是二次函數，
∴．
解得．
∴是符合條件的一個可能的值．
故答案為：0（答案不唯一）．
8．（2023九年級·全國·課后作業）已知二次函數，當時，y的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數的最值問題，根據二次函數解析式可得二次函數開口向下，對稱軸為y軸，則離對稱軸越遠函數值越小，由此求解即可．
【詳解】解：∵二次函數解析式為，
∴二次函數開口向下，對稱軸為y軸，
∴離對稱軸越遠函數值越小，
∴當時，y有最小值，最小值為，
故答案為：．
9．（2023九年級·山東淄博·期中）如圖，在同一平面直角坐標系中，作出了二次函數①；②；③的圖象，則開口由小到大的三條拋物線分別對應的二次函數依次是 ．（按照要求只填寫序號）
【答案】①③②
【分析】二次函數，越大，拋物線的開口越小，根據這一結論判斷即可．
【詳解】∵，
由里到外的三條拋物線對應的函數分別是：①③②．
故答案為：①③②．
【點睛】本題關鍵在于考查拋物線解析式中二次項系數與拋物線圖像的關系，它的正負決定了拋物線的開口方向，它的絕對值的大小決定了拋物線開口的大小．
10．（2023九年級·全國·專題練習）如圖，正方形的邊長為4，以正方形中心為原點建立平面直角坐標系，作出函數與的圖象，則陰影部分的面積是 ．

【答案】8
【分析】根據題意，觀察圖形，利用割補法可知圖中的陰影部分的面積是圖中正方形面積的一半，而正方形面積為16，由此可以求出陰影部分的面積．
【詳解】解：∵函數與的圖象關于x軸對稱，
∴圖中的陰影部分的面積是圖中正方形面積的一半，
∵邊長為4的正方形面積為16，
∴圖中的陰影部分的面積為8，
故答案為：8．
【點睛】本題考查的是關于x軸對稱的二次函數解析式的特點，根據解析式與判斷出兩函數圖象關于x軸對稱是解答本題的關鍵．
11．（2023九年級·天津濱海新·階段練習）若函數是二次函數．
(1)求k的值．
(2)當時，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據二次函數的定義列出關于k所滿足的式子，求解即可；
（2）在（1）的基礎上，先求出二次函數解析式，然后代入求解即可．
【詳解】（1）解：依題意有，
解得：，
∴k的值為3；
（2）把代入函數解析式中得：，
當時，，
∴y的值為．
【點睛】本題考查二次函數的定義，以及求二次函數的函數值，理解并掌握二次函數的基本定義是解題關鍵．
12．（2023九年級·全國·課后作業）指出下列二次函數的二次項系數、一次項系數和常數項．
函數解析式 二次項系數 一次項系數 常數項
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】見解析
【分析】根據二次函數的定義，二次函數的解析式處理．
【詳解】解：
函數解析式 二次項系數 一次項系數 常數項
（1） 2
（2） 0
（3） 1 0
（4） 1 0 0
【點睛】本題考查二次函數的定義，理解二次函數的解析式是解題的關鍵．
13．（2023九年級·上海·假期作業）判斷下列函數是否是二次函數．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)不是
(2)是
(3)不是
(4)是
(5)是
(6)不是
【分析】根據二次函數的概念求解即可．
【詳解】（1），沒有二次項，故不是二次函數；
（2），符合，故是二次函數；
（3），不是整式，故不是二次函數；
（4），符合，故是二次函數；
（5），符合，故是二次函數；
（6），沒有二次項，故不是二次函數．
【點睛】本題考查了二次函數的概念，判斷一個函數是否是二次函數，關鍵看是否符合的形式．
14．（2023九年級·河南濮陽·階段練習）已知二次函數，解答下列問題：
(1)根據已知的圖像部分畫出這個函數圖象的另一部分（直接在網格中作圖即可）．
(2)判斷點是否在這個函數圖象上，說明理由．
(3)求當時對應的函數圖象上的點的坐標．
【答案】(1)見解析；
(2)點不在這個函數圖像上；
(3)和．
【分析】（1）根據對稱性可直接畫出圖象；
（2）代入橫坐標或縱坐標都可判斷；
（3）代入即可求出坐標．
【詳解】（1）如圖所示，
（2）當時，
，
∴點不在這個函數圖象上；
（3）當時，
，
∴，
∴時，對應的函數圖象上的點的坐標為：和．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象，解題關鍵是運用好數形結合的思想．
15．（2023九年級·福建南平·階段練習）用描點法畫函數的圖象是學習各類函數的基礎，并能直觀反映出兩個變量之間的函數關系．請用描點法畫函數的圖象，并按照要求回答下列問題：
x … 0 1 2 3 …
y … 4.5 0.5 0 2 4.5 …

(1)補齊上表；
(2)在所給坐標系內描出表格中的點；
(3)將上述各點用平滑曲線連線．
(4)由圖象可知：當時， ；當時，x的取值范圍是 ．
【答案】(1)；
(2)見解析；
(3)見解析；
(4)8，；
【分析】（1）根據計算填空即可；
（2）在坐標系內描點即可；
（3）將各點用平滑曲線連接即可；
（4）通過圖象可知：當時，圖象上對應點的縱坐標即為答案；當時，可直接寫出的取值范圍．
【詳解】（1）當時，；
當時，；
故答案為：．
（2）描點如下圖．
（3）用平滑曲線連線如下圖．

（4）由圖象可知：
當時，；
當時，．
【點睛】本題考查二次函數的性質、圖象，及圖象上點的坐標的特征．描點并作圖是學習函數部分必備的基本能力，一定要熟練掌握．中小學教育資源及組卷應用平臺
第08講 二次函數y=ax2的圖象和性質
·模塊一 二次函數
·模塊二 二次函數y=ax2的圖象和性質
·模塊三 課后作業
二次函數的定義：
我們把一種意義一般地，如果就是常數，，那么y叫做x的二次函數.
【考點1 二次函數的概念】
【例1.1】（2023九年級·江西南昌·階段練習）下列函數解析式中，一定是的二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023·北京大興·二模）下面的三個問題中都有兩個變量：
①扇形的圓心角一定，面積S與半徑r；
②用長度為20的線繩圍成一個矩形，矩形的面積S與一邊長；
③汽車在高速公路上勻速行駛，行駛路程s與行駛時間t．
其中，兩個變量之間的函數關系可以利用二次函數表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【例1.3】（2023九年級·全國·專題練習）若是關于x的二次函數，則a的值是（　　）
A．1 B． C． D．或
【變式1.1】（2023九年級·北京朝陽·期末）如圖，矩形綠地的長和寬分別為和．若將該綠地的長、寬各增加，擴充后的綠地的面積為，則y與x之間的函數關系是 ．（填“正比例函數關系”、“一次函數關系”或“二次函數關系”）
【變式1.2】（2023九年級·江蘇·專題練習）下列函數關系式中，二次函數的個數有（　　）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式1.3】（2023九年級·廣東東莞·期中）已知函數是二次函數，則 ．
【考點2 二次函數的一般形式及函數值】
【例2.1】（2023九年級·四川南充·階段練習）二次函數的二次項是 ，一次項系數是 ，常數項是 ．
【例2.2】（2023九年級·四川達州·階段練習）標準大氣壓下，質量一定的水的體積與溫度之間的關系滿足二次函數，則當溫度為時，水的體積為 ．
【例2.3】（2023九年級·安徽六安·階段練習）二次函數的二次項系數是 ．
【變式2.1】（2023九年級·云南大理·期中）在二次函數中，二次項系數、一次項系數、常數項的和為 ．
【變式2.2】（2023九年級·河南洛陽·期末）軍事演習近平坦的草原上進行，一門迫擊炮發射的一發炮彈飛行的高度與飛行時間的關系滿足．經過 秒時間，炮彈落到地上爆炸了．
【變式2.3】（2023·山西運城·模擬預測）標準大氣壓下，質量一定的水的體積與溫度之間的關系滿足二次函數，則當溫度為時，水的體積為 ．
【考點3 根據實際問題建立二次函數的模型】
【例3.1】（2023九年級·山東濟寧·期中）某工廠實行技術改造，產量年均增長率為x，已知2020年產量為1萬件，那么2022年的產量y（萬件）與x間的關系式為 ．
【例3.2】（2023九年級·福建莆田·期中）一個邊長為4厘米的正方形，如果它的邊長增加厘米，則面積隨之增加y平方厘米，那么y關于x的函數解析式為 ．
【例3.3】（2023九年級·浙江溫州·階段練習）經市場調查發現，將進貨價格為45元的商品按單價70元售出時，能賣出150個．已知該商品單價每降低2元，獲得的利潤為y元，則下列關系式正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式3.1】（2023九年級·廣東深圳·期末）用一根長為20cm的鐵絲圍成一個長方形，若該長方形的一邊長為xcm，面積為ycm2，則y與x之間的關系式為 ．
【變式3.2】（2023九年級·全國·階段練習）長為，寬為的矩形，四個角上剪去邊長為的小正方形，然后把四邊折起來，作成底面為的無蓋的長方體盒子，則y與x的關系式為（ ）
A． B．
C． D．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023九年級·河南洛陽·期末）中 ， ， .
【題型2】（2023九年級·全國·課后作業）函數y＝(m＋2)＋2x－1(x≠0)，當m＝ 時，它是二次函數，當m＝ 時，它為一次函數．
【題型3】（2023九年級·遼寧大連·期中）已知有n個球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽，比賽的場次數為m，則m關于n的函數解析式為 ．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023·上海徐匯·一模）下列各點中，在二次函數圖象上的點是（ ）
A． B． C． D．
【題型2】（2023九年級·重慶·階段練習）勻速地向如圖所示的一個空水瓶里注水，最后把空水瓶注滿．在這個注水過程中，水面高度h與注水時間t之間函數關系的大致圖像是（ ）
A． B．
C． D．
【題型3】（2023九年級·福建泉州·期末）如圖，分別在正方形邊上取點，并以的長分別作正方形．已知．設正方形的邊長為，陰影部分的面積為，則與滿足的函數關系是（ ）

A．一次函數關系 B．二次函數關系 C．正比例函數關系 D．反比例函數關系
二次函數的性質：
（1）拋物線的頂點就是坐標原點，對稱軸就是y軸；
（2）函數的圖像與a的符號關系：
①當a＞0時拋物線開口向上頂點為其最低點；
②當a＜0時拋物線開口向下頂點為其最高點；
（3）頂點就是坐標原點，對稱軸就是y軸，拋物線的解析式形式為(a≠0)
【考點1 二次函數y=ax2的圖象】
【例1.1】（2023九年級·河北保定·期末）二次函數的圖象如圖所示，則a的值可能為（ ）
A．2 B．0 C． D．
【例1.2】（2023九年級·全國·課后作業）觀察二次函數的圖象，并填空．
(1)圖象與x軸的交點也是它的________，這個點的坐標是________；
(2)二次函數的圖象是一條________，它的開口向________，它的對稱軸為________；
(3)當時，隨著x值的增大，y的值________；當時，隨著x值的增大，y的值________．
【例1.3】（2023九年級·山東濟寧·階段練習）如圖，三個二次函數圖象中，分別對應的是①；②；③，則a、b、c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式1.1】（2023九年級·福建福州·期中）拋物線與的形狀相同，而開口方向相反，則的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【變式1.2】（2023九年級·陜西西安·期末）拋物線 開口 ，頂點坐標是 ，當x 0時，．
【變式1.3】（2023九年級·四川南充·階段練習）已知是二次函數，且當時，y隨x的增大而增大．

(1)則k的值為____；對稱軸為_____．
(2)若點A的坐標為，則該圖象上點A的對稱點的坐標為______．
(3)請畫出該函數圖象．
【考點2 二次函數y=ax2的性質】
【例2.1】（2023九年級·吉林四平·期末）拋物線，，共有的性質是（ ）
A．開口向下 B．對稱軸是y軸 C．都有最低點 D．y隨x的增大而減小
【例2.2】（2023九年級·北京海淀·期中）已知點在拋物線上，則的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．不能確定
【例2.3】（2023九年級·河北廊坊·階段練習）已知某拋物線的開口向下，且該拋物線的對稱軸為軸，經過原點，請寫出一個滿足條件的拋物線的解析式： ．
【變式2.1】（2023九年級·江蘇徐州·階段練習）若拋物線經過點，則它也經過（　　）
A． B． C． D．
【變式2.2】（2023九年級·廣西梧州·期中）對于二次函數，下列說法正確的是（ ）
A．函數有最小值 B．函數圖象開口向下
C．函數圖象頂點坐標是 D．y隨x增大而減小
【變式2.3】（2023九年級·安徽阜陽·期中）若點是拋物線的最低點，則m的取值范圍是 ．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023九年級·北京密云·期末）若點，，三點都在二次函數的圖象上，則、、的大小關系是 .（按從小到大的順序，用“”連接）.
【題型2】（2023九年級·全國·課后作業）如圖，A，B為拋物線上兩點，且線段軸．若，則點A的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【題型3】（2023九年級·全國·課后作業）關于拋物線，給出下列說法：
①拋物線開口向下，頂點是原點；
②當時，隨的增大而減小；
③當時，；
④若、是該拋物線上的兩點，則．
其中正確的說法有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023九年級·全國·課后作業）在同一平面直角坐標系中，二次函數與一次函數的圖象大致是（　　）
A．B．
C．D．
【題型2】（2023·浙江金華·二模）若是拋物線圖象上兩個不同的點，則為（ ）
A．正數 B．負數 C．非正數 D．非負數
【題型3】（2023九年級·貴州遵義·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，線段的端點坐標分別為，，若拋物線與線段有交點，則a的取值范圍是
1．（2023九年級·江蘇蘇州·階段練習）下列函數中，是二次函數的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023九年級·浙江麗水·期末）若函數的圖象經過點，則n的值為（ ）
A．3 B．6 C． D．
3．（2023九年級·安徽淮北·階段練習）二次函數的一次項系數是（ ）
A．1 B．2 C． D．5
4．（2023九年級·北京朝陽·期中）正方體的棱長為x，表面積為y，則y與x之間的函數關系式為（　　）
A． B． C． D．
5．（2023九年級·全國·課后作業）關于二次函數和的圖象，以下說法正確的有（　　）
①兩圖象都關于軸對稱；②兩圖象都關于軸對稱；③兩圖象的頂點相同；④兩圖象的開口方向不同；⑤點在拋物線上，也在拋物線上．
A．個 B．個 C．個 D．個
6．（2023九年級·全國·課后作業）若二次函數的二次項系數為a，一次項系數為b，常數項為c，則 ， ， ．
7．（2023九年級·四川自貢·階段練習）已知x的二次函數，則寫一個符合條件的m的值可能是 ．
8．（2023九年級·全國·課后作業）已知二次函數，當時，y的最小值為 ．
9．（2023九年級·山東淄博·期中）如圖，在同一平面直角坐標系中，作出了二次函數①；②；③的圖象，則開口由小到大的三條拋物線分別對應的二次函數依次是 ．（按照要求只填寫序號）
10．（2023九年級·全國·專題練習）如圖，正方形的邊長為4，以正方形中心為原點建立平面直角坐標系，作出函數與的圖象，則陰影部分的面積是 ．

11．（2023九年級·天津濱海新·階段練習）若函數是二次函數．
(1)求k的值．
(2)當時，求y的值．
12．（2023九年級·全國·課后作業）指出下列二次函數的二次項系數、一次項系數和常數項．
函數解析式 二次項系數 一次項系數 常數項
（1）
（2）
（3）
（4）
13．（2023九年級·上海·假期作業）判斷下列函數是否是二次函數．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
14．（2023九年級·河南濮陽·階段練習）已知二次函數，解答下列問題：
(1)根據已知的圖像部分畫出這個函數圖象的另一部分（直接在網格中作圖即可）．
(2)判斷點是否在這個函數圖象上，說明理由．
(3)求當時對應的函數圖象上的點的坐標．
15．（2023九年級·福建南平·階段練習）用描點法畫函數的圖象是學習各類函數的基礎，并能直觀反映出兩個變量之間的函數關系．請用描點法畫函數的圖象，并按照要求回答下列問題：
x … 0 1 2 3 …
y … 4.5 0.5 0 2 4.5 …

(1)補齊上表；
(2)在所給坐標系內描出表格中的點；
(3)將上述各點用平滑曲線連線．
(4)由圖象可知：當時， ；當時，x的取值范圍是 ．

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