資源簡介

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第09講 二次函數y=ax +k、y=a(x-h) 的圖象和性質
·模塊一 y=ax +k的圖象
·模塊二 y=a（x-h） 的圖象
·模塊三 課后作業
二次函數 y=ax +k的圖象與性質：
函數解析式 開口方向 對稱軸 頂點坐標 增減性
y=ax +k a＞0 開口向上 x=0（y軸） (0, k) a＞0 在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大
a＜0 開口向下 a＜0 在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而減小
【考點1 y=ax +k的圖象】
【例1.1】（2023九年級·海南省直轄縣級單位·期末）已知二次函數的圖象如圖所示，將其拋物線的表達式可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，根據由圖象得拋物線開口向下，排除C、D兩個選項，由圖象得拋物線頂點在y軸正半軸上，排除A選項，問題得解．
【詳解】解：由圖象得拋物線開口向下，故C、D兩個選項不合題意，
由圖象得拋物線頂點在y軸正半軸上，故A選項不合題意．
故選：B．
【例1.2】（2023九年級·陜西延安·期中）已知二次函數的圖象與軸交于兩點（在的左側），與軸交于點．
(1)在坐標系中利用描點法畫出此拋物線圖象，并標出；
… …
… …
(2)任意寫出兩條該函數圖象具有的特征．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了畫二次函數圖象，二次函數圖象的性質，利用數形結合的思想求解是解題的關鍵．
（1）先列表，然后描點，最后連線畫出函數圖象即可；
（2）根據（1）所畫函數圖象，寫出兩條該函數的性質即可．
【詳解】（1）解：列表如下：
… 0 1 2 …
… 0 0 …
函數圖象如下所示：
（2）解：由函數圖象可知，該函數在時，有最小值；該函數在時，y隨x增大而增大等等．
【例1.3】（2023九年級·吉林長春·期末）當時，二次函數的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據二次函數的性質，進行判斷即可．
【詳解】解：，
∵，
∴拋物線的開口向下，與軸交于正半軸，對稱軸為：，
故選D．
【點睛】本題考查判斷二次函數的圖象．熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
【變式1.1】（2023九年級·浙江金華·期末）下列二次函數中，圖象的形狀與二次函數相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數圖像的形狀與二次項系數的關系，熟悉二次項系數對圖像形狀的影響是解題關鍵．根據題意可知，兩個二次函數的圖像形狀相同，那么它們的二次項系數相等，由此即可解題．
【詳解】解：圖像的形狀與二次函數相同，
二次項系數為，
故選：A．
【變式1.2】（2023九年級·河南新鄉·階段練習）請寫出一個二次函數關系式，滿足以下兩個條件：對稱軸為y軸，頂點坐標不是 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題是一道開放性試題，主要考查二次函數圖像和性質與其系數的關系，對于任意二次函數，對稱軸是y軸，則，頂點坐標直接讓即可，答案不唯一．
【詳解】解：由題可知，對稱軸是y軸，則，頂點坐標不是，直接令；
即，；
故答案為：（答案不唯一）．
【變式1.3】（2023九年級·廣東廣州·階段練習）已知二次函數．
x … 0 1 2 …
y … …
(1)填寫上表，并在下邊平面直角坐標系中描出表中的點并畫出函數圖象．
(2)由圖可知拋物線開口方向為______，對稱軸為______，頂點坐標為______，當時，y隨x的增大而______．
(3)利用圖象寫出當時，y的取值范圍是______．
【答案】(1)見解析
(2)向下；y軸；；減??；
(3)
【分析】本題考查二次函數的基礎知識點，
（1）根據列表、描點、連線三步作出函數圖象即可；
（2）觀察函數圖象求解即可；
（3）觀察函數圖象求解即可；
解題關鍵是掌握二次函數的性質，掌握二次函數圖象畫法，通過數形結合求解．
【詳解】（1）解：如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 0 …
函數圖象如圖所示：
（2）根據函數圖象得：拋物線開口方向為向下；對稱軸為y軸；頂點坐標為；當時，y隨x的增大而減小；
故答案為：向下；y軸；；減??；
（3）有函數圖象可得：當時，y的取值范圍是，
故答案為：．
【考點2 y=ax +k的性質】
【例2.1】（2023九年級·河南焦作·期末）二次函數的頂點坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數（a，h，k為常數，a≠0） 的性質，熟練掌握二次函數的性質是解答本題的關鍵．是拋物線的頂點式，a決定拋物線的形狀和開口方向，其頂點是(0，k)，對稱軸是y軸．直接根據二次函數的性質求解即可．
【詳解】解：二次函數的頂點坐標是．
故選：B．
【例2.2】（2023·安徽池州·三模）下列函數中，y的值隨x值的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了一次函數和二次函數的增減性，一次函數中當一次項系數為正時，y的值隨x值的增大而增大，一次項系數為負時，y的值隨x值的增大而減小，二次函數中，二次項系數為正時，在y軸右側，y的值隨x值的增大而增大，在y軸左側y的值隨x值的增大而減小，二次項系數為負時，在y軸左側，y的值隨x值的增大而增大，在y軸右側y的值隨x值的增大而減小，據此求解即可．
【詳解】解：A、函數在y軸右側，y的值隨x值的增大而增大，在y軸左側y的值隨x值的增大而減小，不符合題意；
B、函數中，在y軸左側，y的值隨x值的增大而增大，在y軸右側y的值隨x值的增大而減小，不符合題意；
C、函數中，y的值隨x值的增大而增大，符合題意；
D、函數中，y的值隨x值的增大而減小，不符合題意；
故選：C．
【例2.3】（2023·山西晉城·一模）若點，，都在二次函數的圖象上，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質等知識點的理解和掌握，能熟練地運用二次函數的性質進行推理是解此題的關鍵．
根據二次函數的解析式得出圖象的開口向上，對稱軸是y軸，根據時，y隨x的增大而減小，即可得出答案．
【詳解】
解：∵的圖象開口向下，對稱軸是y軸，關于y軸的對稱點是，
∴時，y隨x的增大而減小，
又∵
∴，
故選：D．
【變式2.1】（2023九年級·山東煙臺·期末）對于拋物線，若y的最小值是5，則（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了拋物線的性質，確定，問題隨之得解．
【詳解】∵，且，
∴，
∵y的最小值是5，
∴，
∴，
故選：A．
【變式2.2】（2023九年級·浙江杭州·階段練習）若二次函數的圖象過點，則該圖象必經過點（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，根據二次函數的性質，求得對稱軸，再根據二次函數的對稱性即可求解，解題的關鍵是根據二次函數圖象的對稱性，確定出函數圖象的對稱軸為軸是解題的關鍵．
【詳解】解：∵二次函數的對稱軸為軸，
∴若圖象經過點，則該圖象必經過點，
故選：．
【變式2.3】（2023·上海浦東新·二模）沿著x軸的正方向看，如果拋物線在y軸左側的部分是上升的，那么k的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查的是拋物線的增減性，利用拋物線的對稱軸的左側的部分是上升的可得拋物線開口向下，再建立不等式解題即可．
【詳解】解：∵拋物線在對稱軸左側的部分是上升的，
∴拋物線開口向下，
∴，解得．
故答案為：．
【考點3 二次函數y=ax +k的平移】
【例3.1】（2023九年級·浙江寧波·期末）把函數的圖象向上平移1個單位后所得圖象的函數表達式是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數圖象的平移，左右平移改變自變量的值：左加右減；上下平移改變因變量的值：上加下減．據此即可求解．
【詳解】解：由題意得：平移后所得圖象的函數表達式是：，
故答案為：．
【例3.2】（2023九年級·全國·課后作業）下列各組拋物線中能夠互相平移得到的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】D
【分析】平移不改變圖形的大小和形狀，而二次項系數決定了拋物線的開口方向和大小，當二次項系數相同才能夠互相平移．
【詳解】由于選項D中二次項系數相同，則拋物線與拋物線能夠互相平移，其它選項中的兩個二次函數的二次項系數都不相同，它們不能互相平移．
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數圖象和性質、平移的性質，關鍵是抓住二次項系數相同才能夠互相平移．
【例3.3】（2023九年級·全國·課后作業）已知二次函數．
(1)確定該函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標；
(2)當__________時，函數有最__________值，是__________；
(3)當__________時，隨的增大而增大；當__________時，隨的增大而減小；
(4)該函數圖象經過怎樣的平移可以得到二次函數的圖象？
【答案】(1)該函數圖象的開口方向向上，對稱軸為軸，頂點坐標為
(2)0，小，
(3)，
(4)見解析
【分析】（1），（2），（3）由于是二次函數，由此可以確定函數的圖像的形狀，根據二次項系數可以確定開口方向，根據拋物線的頂點式解析式可以確定其頂點的坐標，對稱軸及增減性；
（4）根據左加右減，上加下減可得出答案．
【詳解】（1）∵二次函數，，
∴該函數圖象的開口方向向上，對稱軸為軸，頂點坐標為．
（2）當時，函數有最小值，是；
（3）當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減?。?br/>（4）函數向上平移5個單位長度得到
【點睛】本題主要考查了二次函數的性質與圖像的平移． 掌握二次函數圖象和性質是解題的關鍵．
【變式3.1】（2023九年級·湖北孝感·開學考試）在如圖所示的平面直角坐標系中畫出二次函數，的圖象．

(1)分別指出它們的開口方向、對稱軸以及頂點坐標；
(2)拋物線可由拋物線向______平移______個單位長度得到．
【答案】(1)答案見解析
(2)上，3
【分析】（1）直接利用二次函數的性質以及與的關系分析得出答案；
（2）直接利用二次函數的性質以及與的圖象特點分析即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，

，開口向下、對稱軸為：軸，頂點坐標為：
，開口向下、對稱軸為：軸，頂點坐標為：；
（2）解：函數與函數的圖象形狀完全相同，開口方向相同，
相當于向上平移3個單位得到．
故答案為：上；．
【點睛】本題主要考查了二次函數的性質以及二次函數的圖象，正確把握二次函數的性質是解題關鍵．
【變式3.2】（2023九年級·河北滄州·期中）已知二次函數y＝ax2與y＝﹣2x2+c．
（1）隨著系數a和c的變化，分別說出這兩個二次函數圖象的變與不變；
（2）若這兩個函數圖象的形狀相同，則a＝　 　；若拋物線y＝ax2沿y軸向下平移2個單位就能與y＝﹣2x2+c的圖象完全重合，則c＝　 　；
（3）二次函數y＝﹣2x2+c中x、y的幾組對應值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小關系為　 　（用“＜”連接）．
【答案】（1）二次函數y＝ax2的圖象隨著a的變化，開口大小和開口方向都會變化，但是對稱軸、頂點坐標不會改變；二次函數y＝﹣2x2+c的圖象隨著c的變化，開口大小和開口方向都沒有改變，對稱軸也沒有改變，但是，頂點坐標會發生改變；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n
【分析】(1)根據二次函數的性質即可得到結論；
(2)由函數圖象的形狀相同得到a=±2，根據上加下減的平移規律即可求得函數 y =ax2-2，根據完全重合，得到c =-2．
(3)由二次函數的解析式得到開口方向和對稱軸，然后根據點到對稱軸的距離即可判斷．
【詳解】解：（1）二次函數y＝ax2的圖象隨著a的變化，開口大小和開口方向都會變化，但是對稱軸、頂點坐標不會改變；二次函數y＝﹣2x2+c的圖象隨著c的變化，開口大小和開口方向都沒有改變，對稱軸也沒有改變，但是，頂點坐標會發生改變；
（2）∵函數y＝ax2與函數y＝﹣2x2+c的形狀相同，
∴a＝±2，
∵拋物線y＝ax2沿y軸向下平移2個單位得到y＝ax2﹣2，與y＝﹣2x2+c的圖象完全重合，
∴c＝﹣2，
故答案為：±2，﹣2．
（3）由函數y＝﹣2x2+c可知，拋物線開口向下，對稱軸為y軸，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
故答案為：p＜m＜n．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數圖象與幾何變換，二次函數圖象上點的坐標特征，熟知圖形平移不變性的性質是解答此題的關鍵．
【變式3.3】（2023九年級·全國·課后作業）已知二次函數．
(1)寫出它的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標和最值；
(2)若點，在該二次函數的圖象上，且，試比較與的大??；
(3)拋物線可以由拋物線平移得到嗎？如果可以，寫出平移的方法；如果不可以，請說明理由．
【答案】(1)它的圖象的開口向下，對稱軸為軸，頂點坐標為，，沒有最小值
(2)
(3)見解析
【分析】（1）根據二次項系數可以確定開口方向，根據拋物線的表達式解析式可以確定其對稱軸和頂點的坐標以及最值；
（2）首先判定出二次函數的增減性，然后根據求解即可；
（3）根據二次函數的平移規律求解即可．
【詳解】（1）∵，
∴它的圖象的開口向下，對稱軸為軸，頂點坐標為，
當時，，沒有最小值．
（2）∵拋物線的開口向下，對稱軸為軸，
∴當時，隨的增大而減小，
故當時，．
（3）拋物線可以由拋物線平移得到，其平移方法是將拋物線向下平移6個單位長度．
【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質以及平移規律，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象和性質．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023九年級·山東臨沂·階段練習）如果拋物線（a為常數）經過了平面直角系的四個象限，那么a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題拋物線的性質，能判斷出拋物線開口向下是解題的關鍵．由已知條件得拋物線開口向下，得到，即可求出a的取值范圍．
【詳解】解：拋物線（a為常數）恒過點，且經過了平面直角系的四個象限，
拋物線開口向下，
，
解得：，
故答案：．
【題型2】（2023九年級·浙江嘉興·期中）對于二次函數，當x取，時，函數值相等，則當x取時，函數值為 ．
【答案】3
【分析】根據拋物線的頂點式得到二次函數圖象的對稱軸為y軸，所以函數值相等，則自變量互為相反數，然后計算自變量為0時的函數值即可．
【詳解】解：∵二次函數圖象的對稱軸為y軸，當x分別取，時，函數值相等，
∴，
∴當時，．
故答案為：3．
【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．
【題型3】（2023九年級·廣東廣州·期中）已知點，是拋物線上的兩點，其中，下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，根據題意，得到拋物線上的點離對稱軸越遠，函數值越大，進行判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴拋物線的開口向上，對稱軸為軸，
∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數值越大，
∵，
∴或，
當時，，，
∴，
∴，
∴，
當時，，；
∴，
∴，
∴；
綜上：；
故選B．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023九年級·河南周口·階段練習）形狀與開口方向都與拋物線相同，頂點坐標是的拋物線對應的函數解析式為 ．
【答案】
【分析】根據頂點坐標是，設出函數解析式：，再根據形狀與開口方向都與拋物線相同，，即可得解．
【詳解】解：拋物線的頂點坐標為：，設拋物線的解析式為，
該拋物線的形狀與開口方向和拋物線相同，
，
，
故答案為．
【點睛】本題考查求二次函數的解析式．明確拋物線的形狀和開口方向相同時，兩個函數的二次項系數相同，是解題的關鍵．
【題型2】（2023·浙江杭州·一模）已知二次函數，如果當時，，則下列說法正確的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，沒有最小值
C．沒有最大值，有最小值 D．沒有最大值，也沒有最小值
【答案】C
【分析】根據二次函數的性質，表示出、的值，即可求解．
【詳解】解：二次函數．
開口向上，對稱軸為，
當時，隨增大而增大．
．
．即是的一次函數．
，
一次函數上升趨勢．
．
有最小值，沒有最大值．
故選：C．
【點睛】本題考查二次函數的性質，一次函數的性質．關鍵在于表示出的代數值，從而轉化為一次函數的性質．比較綜合．
【題型3】（2023·山東濟南·三模）已知點在直線上，點和在拋物線上．當時，有，則可以等于下列哪個值（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，一次函數圖象上點的坐標特征．求得直線與拋物線的交點的橫坐標，把拋物線的頂點縱坐標代入直線解析式，求得對應的的值，即可求得取值范圍，根據拋物線的對稱性求得，從而求得的取值范圍．
【詳解】解：令，整理得，
解得，，
直線與拋物線的交點的橫坐標為5，0，
，
拋物線開口向上，對稱軸為直線，頂點為，
把代入，
解得，
若，，則，，
，
故選：A．
二次函數 y=a（x-h) 的圖象與性質
函數解析式 開口方向 對稱軸 頂點坐標 增減性
y=a（x-h) a＞0 開口向上 x=h (h, 0) a＞0 在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大
a＜0 開口向下 a＜0 在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而減小
【考點1 y=a（x-h） 的圖象】
【例1.1】（2023九年級·全國·課后作業）在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=x2，y=(x+2)2，y=(x-2)2的圖象，并寫出對稱軸及頂點坐標.
【答案】圖形見解析，拋物線y=x2的對稱軸是直線x=0，頂點坐標為(0，0).拋物線y=(x+2)2的對稱軸是直線x=-2，頂點坐標為(-2，0).拋物線y=(x-2)2的對稱軸是直線x=2,頂點坐標為(2，0).
【詳解】利用描點法可畫出這三個函數的圖象，分別由圖象可得出對稱軸及頂點坐標．
解：函數圖象如圖所示：
拋物線y=x2的對稱軸是直線x=0,頂點坐標為(0,0).
拋物線y=(x+2)2的對稱軸是直線x=-2,頂點坐標為(-2,0).
拋物線y=(x-2)2的對稱軸是直線x=2,頂點坐標為(2,0).
【例1.2】（2023九年級·廣西玉林·期中）關于二次函數，下列說法正確的是（ ）
A．函數圖象的開口向下 B．對稱軸為直線
C．該函數有最大值，最大值是0 D．當時，隨的增大而減小
【答案】B
【分析】本題考查的是拋物線的圖象和性質，主要考查函數圖象上點的坐標特征，掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
【詳解】解：對于，
∵，故拋物線開口向上，故A錯誤；
對稱軸為直線，故B正確；
該函數有最小值，最小值是0，故C錯誤；
當時，y隨x的增大而增大，故D錯誤．
故選：B．
【例1.3】（2023九年級·青海西寧·階段練習）已知二次函數y= -（x-1）2
（1）畫出這個函數的圖象；
（2）由圖象可知，當x___時，y隨x增大而減小，當x=___，y有最___值為___．
【答案】（1）函數圖象見詳解；（2）；1；大；0．
【分析】（1）根據二次函數圖象的作法：先找點，然后確定函數圖象對稱軸，頂點坐標，用光滑的曲線連接即可；
（2）根據作出的函數圖象即可得出函數的增減范圍，最值點．
【詳解】解：（1）根據圖象的作法，找出，，三個點坐標，對稱軸為，頂點坐標為：，用光滑的曲線連接即可；
（2）根據函數圖象可得：當時，y隨x增大而減??；
當時，，即當時，y有最大值，最大值為0，
故答案為：；1；大；0．
【點睛】題目主要考查一元二次函數的基本性質及圖象的作法，熟練掌握二次函數的基本性質是解題關鍵．
【變式1.1】（2023九年級·全國·課前預習）拋物線y＝－3（x＋2）2不經過的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、四象限
C．第二、三象限 D．第三、四象限
【答案】A
【解析】拋物線y＝－3（x＋2）2經過的象限是第三、四象限，不經過第一、二象限.
【變式1.2】（2023九年級·黑龍江哈爾濱·開學考試）拋物線與x軸的交點坐標為 ．
【答案】
【分析】根據二次函數的性質，即可解答．
【詳解】解：拋物線與x軸的交點坐標為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，解題的關鍵是掌握二次函數頂點坐標在x軸上，頂點坐標為．
【變式1.3】（2023九年級·全國·課后作業）若小明將如圖所示的兩條水平線，中的一條當成軸，且向右為正方向；兩條鉛垂線，中的一條當成軸，且向上為正方向，并在此坐標平面中畫出了二次函數的圖象，則坐標原點可能是（ ）

A．點A B．點 C．點 D．點
【答案】C
【分析】根據得到頂點是，結合圖像即可得到坐標原點；
【詳解】解：∵，
∴二次函數頂點是，
由圖像可得，頂點在上，
∴點是標原點，
故選C；
【點睛】本題考查拋物線的頂點坐標及圖像，解題的關鍵是熟練掌握的頂點是．
【考點2 y=a（x-h） 的性質】
【例2.1】（2023九年級·安徽阜陽·階段練習）老師讓寫出一個二次函數，滿足以下3個性質．
1：函數圖象的頂點在軸上；2：當時，隨的增大而減?。?br/>3：該函數的形狀與函數的圖象相同
甲同學寫出幾個二次函數表達式：
①②③④
請問甲同學寫出的二次函數表達式哪些符合上述3個性質 ．
【答案】②④/④②
【分析】根據二次函數的圖象和性質解答即可．
【詳解】解：①，頂點為，在軸上；，開口向下，當時，隨的增大而增大；
開口向上，但與的圖象形狀相同；
②，頂點為，在軸上；，開口向上，當時，隨的增大而減?。?br/>開口向上，與的圖象形狀相同；
③，頂點為，在軸上；，開口向上，當時，隨的增大而減??；
開口向上，與的圖象形狀相同；
④，頂點為，在軸上；，開口向上，當時，隨的增大而減小；
開口向上，與的圖象的形狀相同；
所以，符合上述3個性質的是②④，
故答案為：②④．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是熟記二次函數的圖象和性質．
【例2.2】（2023九年級·福建南平·階段練習）在拋物線上，當時，隨的增大而增大，則的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據二次函數的性質判斷即可．
【詳解】解：拋物線上，開口向上，對稱軸為，
在對稱軸右側，隨的增大而增大，
當時，隨的增大而增大，
，
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，由函數的增減性得到關于的不等式是解題的關鍵．
【例2.3】（2023九年級·廣東惠州·階段練習）拋物線的圖像經過點，，，則，，大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據二次函數的對稱性，再利用二次函數的增減性可判斷值的大?。?br/>【詳解】解：函數的解析式是，
對稱軸是直線，
點的對稱點為，
對稱軸左邊隨的增大而減小，對稱軸右邊隨的增大而增大，
又，
，
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標的特征，解題的關鍵是熟記二次函數的增減性及對稱性．
【變式2.1】（2023九年級·河南洛陽·期末）寫出下列二次函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．
(1)
(2)
(3)．
【答案】(1)開口向下，對稱軸是，頂點坐標為
(2)開口向上，對稱軸是，頂點坐標為
(3)開口向上，對稱軸是，頂點坐標為
【分析】（1）根據二次函數的性質，對稱軸，頂點坐標即可解答；
（2）根據二次函數的性質，對稱軸，頂點坐標即可解答；
（3）根據二次函數的性質，對稱軸，頂點坐標即可解答；
【詳解】（1）解：∵拋物線，
∴開口向下，對稱軸是，頂點坐標為；
（2）解：∵拋物線，
∴開口向上，對稱軸是，頂點坐標為；
（3）解：∵拋物線，
∴開口向上，對稱軸是，頂點坐標為．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，對稱軸，頂點坐標，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
【變式2.2】（2023九年級·全國·課后作業）有一個二次函數，三位同學分別說出了它的一些特點：
A：函數圖像的頂點在x軸上；
B：當時，y隨x的增大而減??；
C：該函數圖像的形狀與函數的圖像相同．
已知這三位同學的描述都正確，請你寫出滿足上述所有性質的一個二次函數關系式： ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的函數圖像與性質，熟練掌握二次函數的圖像和性質是解題的關鍵，根據函數圖像與性質，結合A、B、C三個選項可以求出符合題意的二次函數關系式；
【詳解】根據A的描述可設二次函數關系式為，
根據C的描述可知，則，
再結合B的描述可得出，且，
所以滿足上述所有性質的二次函數關系式可以是，
故答案為： (答案不唯一)．
【變式2.3】（2023九年級·浙江寧波·期末）已知二次函數的圖象經過點，，且，則的值不可能是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根據二次函數圖象上點的坐標特征得到m+1＜3﹣m或m≤﹣1，解得即可．
【詳解】解：∵二次函數y＝a（x﹣m）2（a＞0），
∴拋物線的開口向上，對稱軸為直線x＝m，
∵圖象經過點A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，
∴m+1＜3﹣m或m≤﹣1
解得m＜1，
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
【考點3 二次函數y=a（x-h） 的圖象的平移】
【例3.1】（2023·河南信陽·一模）把函數的圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據二次函數圖象平移的規律“上加下減，左加右減”解答即可，
本題考查二次函數圖象的平移．掌握其平移的規律“上加下減，左加右減”是解題關鍵．
【詳解】解：把函數的圖象向右平移1個單位長度后圖象的函數解析式為：，
故選：．
【例3.2】（2023九年級·湖北黃石·階段練習）將拋物線向 平移3個單位長度后經過原點．
【答案】右
【分析】
本題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，正確記憶平移規律是解題關鍵．直接利用二次函數的平移規律結合二次函數圖象上點的坐標特征進而得出答案．
【詳解】解：設向右平移后解析式為： （a為平移的單位，），
代入得，，
解得：，
故答案為：右．
【變式3.1】（2023九年級·全國·課前預習）拋物線與拋物線的關系：
若h＞0，拋物線向 平移h個單位就得到拋物線；
若h＜0，，拋物線向 平移|h|個單位就得到拋物線．
【答案】 右 左
【解析】若h＞0，拋物線向右平移h個單位就得到拋物線；
若h＜0，，拋物線向左平移|h|個單位就得到拋物線．
【變式3.2】（2023九年級·江蘇·專題練習）已知函數，和．
(1)在同一平面直角坐標系中畫出它們的圖象；
(2)分別說出各個函數圖象的開口方向，對稱軸、頂點坐標；
(3)試說明：分別通過怎樣的平移，可以由函數的圖象得到函數和函數的圖象；
(4)分別說出各個函數的性質．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)由拋物線向左平移1個單位，由拋物線向右平移1個單位；
(4)見解析
【分析】（1）根據“五點法”可畫函數圖象；
（2）根據二次函數的性質可進行求解；
（3）根據二次函數的平移可進行求解；
（4）根據二次函數的圖象與性質可進行求解．
【詳解】（1）解：如圖所示：
（2）解：開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標為，
開口向上，對稱軸為，頂點坐標為，
開口向上，對稱軸為，頂點坐標為；
（3）解：由拋物線向左平移1個單位，由拋物線向右平移1個單位；
（4）解：當時y隨著x的增大而減小，當時y隨著x的增大而增大，
當時y隨著x的增大而減小，當時y隨著x的增大而增大，
當時y隨著x的增大而減小，當時y隨著x的增大而增大．
【點睛】本題主要考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023·安徽·模擬預測）在平面直角坐標系內有線段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若拋物線與線段PQ有交點，則a 的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由可得拋物線隨值的變化左右移動，分別求出拋物線經過點P，Q所對應的的值即可．
【詳解】解：由可得拋物線的對稱軸直線為，頂點坐標為(，0)，
當對稱軸在點P左側時，，
把P（3，1）代入得，
解得或(舍去)，
當對稱軸在點P右側時，，
把Q（9，1），代入得，
解得或(舍去)，
∴當時，拋物線與線段PQ有交點，
故答案為：
【點睛】本題考查了拋物線的圖象與性質，掌握拋物線隨值的變化左右移動是解題的關鍵．
【題型2】（2023九年級·江蘇·專題練習）已知二次函數（h是常數），且自變量取值范圍是．
（1）當時，函數的最大值是 ；
（2）若函數的最大值為，則h的值是 ．
【答案】 0 6或1/1或6
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質；
（1）根據頂點式可直接得出答案；
（2）根據函數的最大值為分情況討論：若，則當時，y最大；若，則當時，y最大；若，則最大值為0，與題意不符；根據最大值為分別求解即可．
【詳解】解：（1）當時，二次函數為，
∴當時，函數有最大值為0，
故答案為：0；
（2）∵二次函數（h是常數），當自變量x滿足時，其對應函數y的最大值為，
∴若，則當時，y最大，即，
解得（舍去），；
若，則當時，y最大，即，
解得，（舍去）；
若，則最大值為0，與題意不符；
綜上，h的值是6或1．
故答案為：6或1．
【題型3】（2023九年級·浙江杭州·階段練習）設函數，，直線與函數，的圖象分別交于點，得（　?。?br/>A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【分析】根據題意分別畫出，的圖象，繼而根據圖象即可求解．
【詳解】解：如圖所示，若，則，
故A選項錯誤；
如圖所示，若，則或，
故B、D選項錯誤；
如圖所示，若，則，
故C選項正確；
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數圖象的性質，理解題意，畫出圖象，數形結合是解題的關鍵．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023九年級·山東煙臺·期中）在平面直角坐標系中，點A是拋物線與y軸的交點，點B是這條拋物線上的另一點，且軸，則以AB為邊的等邊三角形ABC的周長為 ．
【答案】24
【分析】根據拋物線的解析式即可確定對稱軸，則可以確定AB的長度，然后根據等邊三角形的周長公式即可求解．
【詳解】拋物線的對稱軸是
過點作于點，如下圖所示
則，則
則以為邊的等邊的周長為．
故答案為24．
【點睛】此題考查了二次函數的性質，根據拋物線的解析式確定對稱軸，從而求得AB的長是關鍵．
【題型2】（2023九年級·山東德州·階段練習）已知二次函數為常數），當時，的最大值為，則的值為 ．
【答案】1或6/6或1
【分析】分、和三種情況考慮：當時，根據二次函數的性質可得出關于的一元二次方程，解之即可得出結論；當時，由此時函數的最大值為0與題意不符，可得出該情況不存在；當時，根據二次函數的性質可得出關于的一元二次方程，解之即可得出結論．綜上即可得出結論．
【詳解】解：當時，有，
解得：，（舍去）；
當時，的最大值為0，不符合題意；
當時，有，
解得：（舍去），．
綜上所述：的值為1或6．
故答案為：1或6．
【點睛】本題考查了二次函數的最值以及二次函數的性質，分、和三種情況求出值是解題的關鍵．
【題型3】（2023·吉林·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸只有一個交點，與平行于軸的直線交于，兩點．若，則點到直線的距離為 ．
【答案】
【分析】由題意知，對稱軸為直線，，兩點的縱坐標相同，設為，有，點A的橫坐標是，點的橫坐標是，由，可知，計算求解即可．
【詳解】解：與軸只有一個交點，
，對稱軸為直線，
拋物線與平行于軸的直線交于，兩點，
，兩點的縱坐標相同，設為，
則時，，
解得：，
點A的橫坐標是，點的橫坐標是，
，
，
解得：；
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數的對稱性．解題的關鍵在于對二次函數知識的熟練掌握．
1．（2023九年級·湖南邵陽·階段練習）關于二次函數 的圖象，下列說法中，正確的是（　?。?br/>A．對稱軸為直線
B．頂點坐標為
C．可以由二次函數 的圖象向左平移1個單位得到
D．在y軸的左側，圖象上升，在y軸的右側，圖象下降
【答案】D
【分析】根據二次函數圖象的性質逐項判斷即可．
【詳解】解：A.二次函數 的對稱軸為直線，故A選項不符合題意；
B. 二次函數 的頂點坐標，故B選項不符合題意；
C. 二次函數 的圖像可以由二次函數 的圖像向上平移1個單位得到，故C選項不符合題意；
D. 二次函數 的圖像開口向下，在對稱軸左側，圖像上升，在對稱軸右側，圖像下降，故D選項符合題意．
故答案為：D．
【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的性質，理解二次函數圖象與解析式系數的關系是解答本題的關鍵．
2．（2023九年級·吉林長春·階段練習）二次函數的對稱軸是( )
A．軸 B．軸 C．直線 D．直線
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，對于二次函數，其對稱軸為直線，據此即可求解．
【詳解】解：由題意得：拋物線的對稱軸是：直線，
即對稱軸是y軸，
故選：A．
3．（2023·上海虹口·二模）已知二次函數，如果函數值隨自變量的增大而減小，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查二次函數的性質，熟練掌握二次函數的增減性是解題關鍵．根據二次函數，可得函數圖象開口向下，對稱軸為，函數值隨自變量的增大而減小，則，得以解答．
【詳解】解：二次函數，
，
函數圖象開口向下，對稱軸為，
時，函數值隨自變量的增大而減小，
故選：A．
4．（2023·河南新鄉·一模）點，是拋物線上的點，且，則與的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法確定
【答案】A
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是掌握二次函數的對稱軸的求法，根據對稱軸和開口方向分析函數的增減性，當開口向下時，離對稱軸越遠，函數值越小；反之，越大．
根據函數解析式得出圖象開口向上，對稱軸為y軸，結合，即可解答．
【詳解】解：∵拋物線解析式為，
∵，，
∴圖象開口向上，對稱軸為y軸，
∵，
∴，
故選：A．
5．（2023九年級·河南商丘·期末）下列圖象中，有可能是函數的圖象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，若開口向上，則；反之，．對稱軸為軸；圖象與軸交點在軸上方，則；反之，則，據此即可求解．
【詳解】解：若，則圖象開口向上，對稱軸為軸，與軸交點在軸上方，故A滿足題意；
若，則圖象開口向下，對稱軸為軸，與軸交點在軸下方；
故選：A．
6．（2023九年級·上海奉賢·期末）已知拋物線在對稱軸左側部分是的 ．（填“上升”或“下降”）
【答案】上升
【分析】本題考查了二次函數圖象的性質，熟練掌握二次函數的性質是解答本題的關鍵．根據性質解答即可．
【詳解】解：∵，，
∴拋物線開口向下．
∵對稱軸是直線y軸，
∴在對稱軸左側部分是上升的．
故答案為：上升．
7．（2023九年級·山東煙臺·期末）已知拋物線（h為常數），當自變量x滿足時，與其對應的函數值y的最小值是3，則h的值是 ．
【答案】或5
【分析】本題考查了二次函數的性質，解題時注意拋物線的增減性和分類討論數學思想的運用．
由解析式可知函數在時取得最小值，時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減??；根據時，函數的最小值為3可分如下兩種情況：①當時，時，y取得最小值3，②當時，當時，y取得最小值3，分別列出關于h的方程求解即可．
【詳解】解：由題意可得，根據二次函數的圖象與性質，h的值不可能在1到3之間，
①當時，
∴當時，取得最小值，
∴，
∴或（舍去），
②當時，
∴當時，取得最小值，
∴，
∴或（舍去），
綜上可得，或5．
故答案為：或5．
8．（2023九年級·河南鄭州·期末）兩位同學分別說出了一條二次函數的圖象與性質，小明：拋物線開口向上：小智：拋物線對稱軸是直線；請你寫出一個符合，上述條件的二次函數表達式： ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】本題主要考查二次 函數的圖象和性質，此題是開放題，解題的關鍵是熟知二次函數的性質．由開口向上，可知，對稱軸是直線，可得，
【詳解】解：設二次函數表達式為，
二次函數的圖象開口向上，
，
對稱軸為直線，
，
符合上述條件的二次函數表達式可以為，
故答案為：（答案不唯一）．
9．（2023九年級·江蘇南通·階段練習）已知點，在拋物線上，則的值為 ．
【答案】
【分析】將點坐標代入即可．
【詳解】解：因為點在拋物線的圖象上，
所以．
得．
故答案為：．
【點睛】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，將點的坐標代入后的正確計算是解題的關鍵．
10．（2023九年級·浙江寧波·期中）如圖，小明以拋物線為靈感，在平面直角坐標系中設計了一款高為14的獎杯的一部分，則杯口的口徑為 ．
【答案】9
【分析】本題是關于二次函數應用題，主要考查了二次函數圖象和性質，待定系數法，利用待定系數法求出A、C的坐標，可求答案．
【詳解】解：∵為14，
∴令，
解得，
∴，
∴ ，
故答案為：9
11．（2023九年級·甘肅平涼·期中）拋物線經過點．
(1)求的值；
(2)寫出該拋物線頂點坐標，對稱軸．
【答案】(1)
(2)頂點坐標為，對稱軸為直線
【分析】（1）根據二次函數圖象上點的坐標特征，直接把（1，-1）代入可求出a=-1；
（2）根據頂點式可直接寫出頂點坐標與對稱軸．
【詳解】（1）解：把（1，-1）代入得=-1，
解得；
（2）∵拋物線解析式為，
∴頂點坐標為，對稱軸為直線．
【點睛】本題考查了待定系數法求解析式，二次函數的性質，掌握頂點式是解題的關鍵．
12．（2023九年級·廣東廣州·期末）已知函數是關于x的二次函數．
(1)求m的值；
(2)函數圖象的兩點，，若滿足，則此時m的值是多少？
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根據二次函數的定義可得，，即可求解；
（2）點，，且，可得在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小，即可進行解答．
【詳解】（1）解：∵函數是關于x的二次函數，
∴，
解得：或．
（2）∵該函數的對稱軸為y軸，點，，且，
∴在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小，
∴，解得
∴．
【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象定義和性質，解題的關鍵是掌握二次函數的二次項系數不為0，次數最高為2；時，函數開口向上，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大，時，函數開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸右邊，y隨x的增大而減?。?br/>13．（2023九年級·北京·期中）在平面直角坐標系中，拋物線經過點．
(1)求該拋物線的表達式，并用描點法畫出函數圖象；
(2)將該拋物線向上平移 個單位后，所得拋物線與x軸只有一個公共點．
【答案】(1)，圖見解析
(2)1
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，二次函數圖象的平移：
（1）待定系數法求出函數解析式，列表描點，連線畫出函數圖象即可；
（2）拋物線與x軸只有一個公共點時，此時公共點為頂點坐標，即新的拋物線的頂點的縱坐標為0，進行求解即可．
【詳解】（1）解：把，代入，得：，
∴，
∴；
列表如下：
1 2 3 4 5
7 1 1 7
描點，連線畫出函數圖象如圖：
（2）∵拋物線的頂點坐標為，且平移后的拋物線與軸只有一個公共點，
∴只需向上平移1個單位，頂點變為，此時滿足題意．
故答案為：1．
14．（2023九年級·全國·專題練習）拋物線y=3(x－2)2與x軸交于點A，與y軸交于點B，求△AOB的面積和周長．
【答案】的面積為12，周長為
【分析】令，求出的值，令，求出的值，即可得出A、B兩點的坐標，從而得出、的長度，由勾股定理得出的長度，由三角形面積公式以及周長公式即可求出答案．
【詳解】∵拋物線與x軸交于點A，與y軸交于點B，
令，，
解得：，
令，，
，，
，，
由勾股定理得：
，
．
的面積為12，周長為．
【點睛】本題考查二次函數圖像上點的坐標特點，熟知二次函數圖像上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解題的關鍵．
15．（2023九年級·河南商丘·階段練習）如圖，將二次函數位于的下方的圖象沿軸翻折，再得到一個新函數的圖象（圖中的實線）．

(1)當時，新函數值為______，當時，新函數值為______；
(2)當______時，新函數有最小值；
(3)當新函數中函數隨的增大而增大時，自變量的范圍是______；
(4)直線與新函數圖象有兩個公共點時，的取值范圍______．
【答案】(1)5，3
(2)-2或2
(3)或
(4)或
【分析】（1）把和分別代入求得函數值，根據函數圖象即可求得答案；
（2）根據函數圖象即可求得；
（3）根據函數圖象即可求得；
（4）根據圖象求得答案即可．
【詳解】（1）解：把代入，
得，
把代入，
得，
當時，新函數值為，當時，新函數值為，
故答案為：，；
（2）解：觀察圖象可得：
當或時，新函數有最小值為，
故答案為：或；
（3）解：觀察圖象可得：
當新函數中函數隨的增大而增大時，自變量的范圍是或；
故答案為：或；
（4）解：觀察圖象可得：
直線與新函數圖象有兩個公共點時，的取值范圍或，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了二次函數與幾何變換，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，數形結合是解題的關鍵．中小學教育資源及組卷應用平臺
第09講 二次函數y=ax +k、y=a(x-h) 的圖象和性質
·模塊一 y=ax +k的圖象
·模塊二 y=a（x-h） 的圖象
·模塊三 課后作業
二次函數 y=ax +k的圖象與性質：
函數解析式 開口方向 對稱軸 頂點坐標 增減性
y=ax +k a＞0 開口向上 x=0（y軸） (0, k) a＞0 在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大
a＜0 開口向下 a＜0 在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而減小
【考點1 y=ax +k的圖象】
【例1.1】（2023九年級·海南省直轄縣級單位·期末）已知二次函數的圖象如圖所示，將其拋物線的表達式可能為（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023九年級·陜西延安·期中）已知二次函數的圖象與軸交于兩點（在的左側），與軸交于點．
(1)在坐標系中利用描點法畫出此拋物線圖象，并標出；
… …
… …
(2)任意寫出兩條該函數圖象具有的特征．
【例1.3】（2023九年級·吉林長春·期末）當時，二次函數的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
【變式1.1】（2023九年級·浙江金華·期末）下列二次函數中，圖象的形狀與二次函數相同的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1.2】（2023九年級·河南新鄉·階段練習）請寫出一個二次函數關系式，滿足以下兩個條件：對稱軸為y軸，頂點坐標不是 .
【變式1.3】（2023九年級·廣東廣州·階段練習）已知二次函數．
x … 0 1 2 …
y … …
(1)填寫上表，并在下邊平面直角坐標系中描出表中的點并畫出函數圖象．
(2)由圖可知拋物線開口方向為______，對稱軸為______，頂點坐標為______，當時，y隨x的增大而______．
(3)利用圖象寫出當時，y的取值范圍是______．
【考點2 y=ax +k的性質】
【例2.1】（2023九年級·河南焦作·期末）二次函數的頂點坐標是（ ）
A． B． C． D．
【例2.2】（2023·安徽池州·三模）下列函數中，y的值隨x值的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2.3】（2023·山西晉城·一模）若點，，都在二次函數的圖象上，則有（ ）
A． B． C． D．
【變式2.1】（2023九年級·山東煙臺·期末）對于拋物線，若y的最小值是5，則（ ）
A． B． C．5 D．
【變式2.2】（2023九年級·浙江杭州·階段練習）若二次函數的圖象過點，則該圖象必經過點（ ）
A． B． C． D．
【變式2.3】（2023·上海浦東新·二模）沿著x軸的正方向看，如果拋物線在y軸左側的部分是上升的，那么k的取值范圍是 ．
【考點3 二次函數y=ax +k的平移】
【例3.1】（2023九年級·浙江寧波·期末）把函數的圖象向上平移1個單位后所得圖象的函數表達式是 ．
【例3.2】（2023九年級·全國·課后作業）下列各組拋物線中能夠互相平移得到的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【例3.3】（2023九年級·全國·課后作業）已知二次函數．
(1)確定該函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標；
(2)當__________時，函數有最__________值，是__________；
(3)當__________時，隨的增大而增大；當__________時，隨的增大而減?。?br/>(4)該函數圖象經過怎樣的平移可以得到二次函數的圖象？
【變式3.1】（2023九年級·湖北孝感·開學考試）在如圖所示的平面直角坐標系中畫出二次函數，的圖象．

(1)分別指出它們的開口方向、對稱軸以及頂點坐標；
(2)拋物線可由拋物線向______平移______個單位長度得到．
【變式3.2】（2023九年級·河北滄州·期中）已知二次函數y＝ax2與y＝﹣2x2+c．
（1）隨著系數a和c的變化，分別說出這兩個二次函數圖象的變與不變；
（2）若這兩個函數圖象的形狀相同，則a＝　 ??；若拋物線y＝ax2沿y軸向下平移2個單位就能與y＝﹣2x2+c的圖象完全重合，則c＝　 　；
（3）二次函數y＝﹣2x2+c中x、y的幾組對應值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小關系為　 ?。ㄓ谩埃肌边B接）．
【變式3.3】（2023九年級·全國·課后作業）已知二次函數．
(1)寫出它的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標和最值；
(2)若點，在該二次函數的圖象上，且，試比較與的大??；
(3)拋物線可以由拋物線平移得到嗎？如果可以，寫出平移的方法；如果不可以，請說明理由．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023九年級·山東臨沂·階段練習）如果拋物線（a為常數）經過了平面直角系的四個象限，那么a的取值范圍是 ．
【題型2】（2023九年級·浙江嘉興·期中）對于二次函數，當x取，時，函數值相等，則當x取時，函數值為 ．
【題型3】（2023九年級·廣東廣州·期中）已知點，是拋物線上的兩點，其中，下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023九年級·河南周口·階段練習）形狀與開口方向都與拋物線相同，頂點坐標是的拋物線對應的函數解析式為 ．
【題型2】（2023·浙江杭州·一模）已知二次函數，如果當時，，則下列說法正確的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，沒有最小值
C．沒有最大值，有最小值 D．沒有最大值，也沒有最小值
【題型3】（2023·山東濟南·三模）已知點在直線上，點和在拋物線上．當時，有，則可以等于下列哪個值（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
二次函數 y=a（x-h) 的圖象與性質
函數解析式 開口方向 對稱軸 頂點坐標 增減性
y=a（x-h) a＞0 開口向上 x=h (h, 0) a＞0 在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大
a＜0 開口向下 a＜0 在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而減小
【考點1 y=a（x-h） 的圖象】
【例1.1】（2023九年級·全國·課后作業）在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=x2，y=(x+2)2，y=(x-2)2的圖象，并寫出對稱軸及頂點坐標.
【例1.2】（2023九年級·廣西玉林·期中）關于二次函數，下列說法正確的是（ ）
A．函數圖象的開口向下 B．對稱軸為直線
C．該函數有最大值，最大值是0 D．當時，隨的增大而減小
【例1.3】（2023九年級·青海西寧·階段練習）已知二次函數y= -（x-1）2
（1）畫出這個函數的圖象；
（2）由圖象可知，當x___時，y隨x增大而減小，當x=___，y有最___值為___．
【變式1.1】（2023九年級·全國·課前預習）拋物線y＝－3（x＋2）2不經過的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、四象限
C．第二、三象限 D．第三、四象限
【變式1.2】（2023九年級·黑龍江哈爾濱·開學考試）拋物線與x軸的交點坐標為 ．
【變式1.3】（2023九年級·全國·課后作業）若小明將如圖所示的兩條水平線，中的一條當成軸，且向右為正方向；兩條鉛垂線，中的一條當成軸，且向上為正方向，并在此坐標平面中畫出了二次函數的圖象，則坐標原點可能是（ ）

A．點A B．點 C．點 D．點
【考點2 y=a（x-h） 的性質】
【例2.1】（2023九年級·安徽阜陽·階段練習）老師讓寫出一個二次函數，滿足以下3個性質．
1：函數圖象的頂點在軸上；2：當時，隨的增大而減?。?br/>3：該函數的形狀與函數的圖象相同
甲同學寫出幾個二次函數表達式：
①②③④
請問甲同學寫出的二次函數表達式哪些符合上述3個性質 ．
【例2.2】（2023九年級·福建南平·階段練習）在拋物線上，當時，隨的增大而增大，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【例2.3】（2023九年級·廣東惠州·階段練習）拋物線的圖像經過點，，，則，，大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式2.1】（2023九年級·河南洛陽·期末）寫出下列二次函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．
(1)
(2)
(3)．
【變式2.2】（2023九年級·全國·課后作業）有一個二次函數，三位同學分別說出了它的一些特點：
A：函數圖像的頂點在x軸上；
B：當時，y隨x的增大而減小；
C：該函數圖像的形狀與函數的圖像相同．
已知這三位同學的描述都正確，請你寫出滿足上述所有性質的一個二次函數關系式： ．
【變式2.3】（2023九年級·浙江寧波·期末）已知二次函數的圖象經過點，，且，則的值不可能是（ ）
A． B． C．0 D．
【考點3 二次函數y=a（x-h） 的圖象的平移】
【例3.1】（2023·河南信陽·一模）把函數的圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數解析式為（ ）
A． B． C． D．
【例3.2】（2023九年級·湖北黃石·階段練習）將拋物線向 平移3個單位長度后經過原點．
【變式3.1】（2023九年級·全國·課前預習）拋物線與拋物線的關系：
若h＞0，拋物線向 平移h個單位就得到拋物線；
若h＜0，，拋物線向 平移|h|個單位就得到拋物線．
【變式3.2】（2023九年級·江蘇·專題練習）已知函數，和．
(1)在同一平面直角坐標系中畫出它們的圖象；
(2)分別說出各個函數圖象的開口方向，對稱軸、頂點坐標；
(3)試說明：分別通過怎樣的平移，可以由函數的圖象得到函數和函數的圖象；
(4)分別說出各個函數的性質．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023·安徽·模擬預測）在平面直角坐標系內有線段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若拋物線與線段PQ有交點，則a 的取值范圍是 ．
【題型2】（2023九年級·江蘇·專題練習）已知二次函數（h是常數），且自變量取值范圍是．
（1）當時，函數的最大值是 ；
（2）若函數的最大值為，則h的值是 ．
【題型3】（2023九年級·浙江杭州·階段練習）設函數，，直線與函數，的圖象分別交于點，得（　?。?br/>A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023九年級·山東煙臺·期中）在平面直角坐標系中，點A是拋物線與y軸的交點，點B是這條拋物線上的另一點，且軸，則以AB為邊的等邊三角形ABC的周長為 ．
【題型2】（2023九年級·山東德州·階段練習）已知二次函數為常數），當時，的最大值為，則的值為 ．
【題型3】（2023·吉林·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸只有一個交點，與平行于軸的直線交于，兩點．若，則點到直線的距離為 ．
1．（2023九年級·湖南邵陽·階段練習）關于二次函數 的圖象，下列說法中，正確的是（　?。?br/>A．對稱軸為直線
B．頂點坐標為
C．可以由二次函數 的圖象向左平移1個單位得到
D．在y軸的左側，圖象上升，在y軸的右側，圖象下降
2．（2023九年級·吉林長春·階段練習）二次函數的對稱軸是( )
A．軸 B．軸 C．直線 D．直線
3．（2023·上海虹口·二模）已知二次函數，如果函數值隨自變量的增大而減小，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河南新鄉·一模）點，是拋物線上的點，且，則與的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法確定
5．（2023九年級·河南商丘·期末）下列圖象中，有可能是函數的圖象的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九年級·上海奉賢·期末）已知拋物線在對稱軸左側部分是的 ．（填“上升”或“下降”）
7．（2023九年級·山東煙臺·期末）已知拋物線（h為常數），當自變量x滿足時，與其對應的函數值y的最小值是3，則h的值是 ．
8．（2023九年級·河南鄭州·期末）兩位同學分別說出了一條二次函數的圖象與性質，小明：拋物線開口向上：小智：拋物線對稱軸是直線；請你寫出一個符合，上述條件的二次函數表達式： ．
9．（2023九年級·江蘇南通·階段練習）已知點，在拋物線上，則的值為 ．
10．（2023九年級·浙江寧波·期中）如圖，小明以拋物線為靈感，在平面直角坐標系中設計了一款高為14的獎杯的一部分，則杯口的口徑為 ．
11．（2023九年級·甘肅平涼·期中）拋物線經過點．
(1)求的值；
(2)寫出該拋物線頂點坐標，對稱軸．
12．（2023九年級·廣東廣州·期末）已知函數是關于x的二次函數．
(1)求m的值；
(2)函數圖象的兩點，，若滿足，則此時m的值是多少？
13．（2023九年級·北京·期中）在平面直角坐標系中，拋物線經過點．
(1)求該拋物線的表達式，并用描點法畫出函數圖象；
(2)將該拋物線向上平移 個單位后，所得拋物線與x軸只有一個公共點．
14．（2023九年級·全國·專題練習）拋物線y=3(x－2)2與x軸交于點A，與y軸交于點B，求△AOB的面積和周長．
15．（2023九年級·河南商丘·階段練習）如圖，將二次函數位于的下方的圖象沿軸翻折，再得到一個新函數的圖象（圖中的實線）．

(1)當時，新函數值為______，當時，新函數值為______；
(2)當______時，新函數有最小值；
(3)當新函數中函數隨的增大而增大時，自變量的范圍是______；
(4)直線與新函數圖象有兩個公共點時，的取值范圍______．

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