資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第10講 二次函數(shù)y=a(x-h) +k、y=ax +bx+c的圖象和性質(zhì)
·模塊一 y=a（x-h） +k的圖象和性質(zhì)
·模塊二 y=ax +bx+c的圖象和性質(zhì)
·模塊三 課后作業(yè)
二次函數(shù) y=a（x-h) +k的圖象與性質(zhì)：
函數(shù)解析式 開口方向 對(duì)稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) 增減性
y=a（x-h) +k a＞0 開口向上 x=h (h, k) a＞0 在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而增大
a＜0 開口向下 a＜0 在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而減小
【考點(diǎn)1 y=a（x-h） +k的圖象】
【例1.1】（2023·寧夏銀川·二模）關(guān)于拋物線，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．對(duì)稱軸為直線
B．與軸交于點(diǎn)
C．與軸沒有交點(diǎn)
D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小
【例1.2】（2023九年級(jí)·河南南陽·期中）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過（ ）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【例1.3】（2023·浙江金華·三模）若二次函數(shù)的圖象如圖所示，則坐標(biāo)原點(diǎn)可能是（ ）
A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)
【變式1.1】（2023九年級(jí)·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大
C．圖象的對(duì)稱軸為直線 D．
【變式1.2】（2023九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）已知二次函數(shù)．

(1)該函數(shù)圖象的開口向__________，頂點(diǎn)坐標(biāo)為__________，對(duì)稱軸為直線__________，函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為__________，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為__________．
(2)在如圖所示的坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象．
(3)根據(jù)圖象判斷，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是__________．
(4)若點(diǎn)與是此二次函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，則__________．（填“>”“<”或“=”）
【變式1.3】（2023九年級(jí)·山東威海·期末）如圖，拋物線與交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B，C，則線段BC的長(zhǎng)為 ．
【考點(diǎn)2 y=a（x-h） +k的性質(zhì)】
【例2.1】（2023九年級(jí)·安徽六安·期中）已知某拋物線與二次函數(shù)的圖像的開口大小相同，開口方向相反，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A． B．
C． D．
【例2.2】（2023·江蘇淮安·二模）若拋物線過點(diǎn)，，則的值不可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【例2.3】（2023·廣東廣州·一模）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則的值為（ ）．
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【變式2.1】（2023九年級(jí)·吉林白城·階段練習(xí)）頂點(diǎn)為，且開口方向、形狀與函數(shù)的圖像相同的拋物線是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2.2】（2023九年級(jí)·山東威海·期末）下列二次函數(shù)中最大值為1的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2.3】（2023·四川綿陽·一模）已知：二次函數(shù)的圖像上有三個(gè)點(diǎn)，則的大小關(guān)系是 ．
【考點(diǎn)3 二次函數(shù)y=a（x-h） +k圖象的平移】
【例3.1】（2023九年級(jí)·江蘇淮安·階段練習(xí)）將拋物線，先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后所得拋物線解析式（ ）
A． B．
C． D．
【例3.2】（2023九年級(jí)·福建廈門·期中）拋物線y=2(x－1)2－3向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸是直線（ ）
A．x=－3 B．x=－1 C．x=－2 D．x=4
【例3.3】（2023九年級(jí)·遼寧撫順·階段練習(xí)）二次函數(shù)y＝x2的圖象如圖所示，請(qǐng)將此圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位．
（1）請(qǐng)直接寫出經(jīng)過兩次平移后的函數(shù)解析式；
（2）請(qǐng)求出經(jīng)過兩次平移后的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并指出當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，函數(shù)值小于0？
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是經(jīng)過兩次平移后所得的函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且x1＜x2＜0，請(qǐng)比較y1、y2的大小關(guān)系．（直接寫結(jié)果）
【變式3.1】（2023·四川廣安·一模）將拋物線y＝2x2平移，使頂點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新拋物線的表達(dá)式是 ．
【變式3.2】（2023九年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）拋物線經(jīng)過平移得到拋物線，平移過程正確的是( )
A．先向左平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
B．先向左平移6個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
C．先向右平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
D．先向右平格6個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
【變式3.3】（2023·陜西西安·二模）若拋物線與軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為2，拋物線的對(duì)稱軸為直線，將此拋物線向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到的新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【規(guī)律方法綜合練】
【題型1】（2023九年級(jí)·江蘇鹽城·期中）有一條拋物線，三位學(xué)生分別說出了它的一些性質(zhì)：甲說：對(duì)稱軸是直線；乙說：與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為6；丙說：頂點(diǎn)與軸的交點(diǎn)圍成的三角形面積等于9，則這條拋物線解析式的頂點(diǎn)式是 .
【題型2】（2023·山東臨沂·二模）已知一系列拋物線，，，，，…，（k為非負(fù)整數(shù)）．拋物線與x軸相交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），頂點(diǎn)為．若軸于點(diǎn)，則k的值是（ ）
A．3 B．5 C．2023 D．2024
【題型3】（2023九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為 ．
【拓廣探究創(chuàng)新練】
【題型1】（2023·吉林·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線、均為常數(shù)且，．過點(diǎn)作軸垂線交拋物線于、兩點(diǎn)、在點(diǎn)的右側(cè)），連結(jié)、．當(dāng)，且的面積為2時(shí)，則的值為 ．
【題型2】（2023九年級(jí)·湖北武漢·期中）已知關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，則k的值為 ．
【題型3】（2023九年級(jí)·河北邯鄲·期中）如圖，在正方形中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
（2）當(dāng)二次函數(shù)與正方形有公共點(diǎn)時(shí)，的最小值為 ．
二次函數(shù) y=ax +bx+c的圖象與性質(zhì)：
函數(shù)解析式 開口方向 對(duì)稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) 增減性
y=ax +bx+c a＞0 開口向上 x=- (-, ) a＞0 在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而增大
a＜0 開口向下 a＜0 在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而減小
【考點(diǎn)1 二次函數(shù)y=ax +bx+c的圖象的平移】
【例1.1】（2023九年級(jí)·湖北荊州·階段練習(xí)）把拋物線向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（5，） B．（5，0） C．（，） D．（，0）
【例1.2】（2023九年級(jí)·湖南常德·期中）將拋物線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得新拋物線的最小值為1，則的值為 ．
【例1.3】（2023·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測(cè)）將拋物線y=x2+2x+3向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的拋物線與直線y=3的交點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）
A．（0，3）或（﹣2，3） B．（﹣3，0）或（1，0）
C．（3，3）或（﹣1，3） D．（﹣3，3）或（1，3）
【變式1.1】（2023九年級(jí)·山西呂梁·階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)，若將該二次函數(shù)圖象平移后所得的二次函數(shù)表達(dá)式為，則點(diǎn)A經(jīng)過該次平移后的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【變式1.2】（2023·浙江寧波·三模）在平面直角坐標(biāo)系經(jīng)中，將二次函數(shù)的圖象平移，使平移后的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O．設(shè)平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則的取值范圍為( )
A． B． C． D．
【變式1.3】（2023九年級(jí)·江蘇·專題練習(xí)）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+4．
(1)試確定拋物線的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；
(2)x為何值時(shí)，y有最值？
(3)在如圖所示的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，并說明該拋物線是由拋物線y＝﹣x2怎樣平移得到的？
(4)根據(jù)圖象回答，x取何值時(shí)，y＞0，y＝0，y＜0？
(5)根據(jù)圖象回答，x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大？x取何值時(shí)，y隨x的增大而減小？
【考點(diǎn)2 二次函數(shù)y=ax +bx+c的圖象和性質(zhì)】
【例2.1】（2023·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則的值為（ ）

A． B．0 C．1 D．2
【例2.2】（2023·湖北宜昌·模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)二次函數(shù)，的圖象如圖所示，那么函數(shù)（，，為常數(shù)）的大致圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
【例2.3】（2023九年級(jí)·湖南郴州·期中）已知點(diǎn)和點(diǎn)N都在拋物線上，如果軸，則線段的長(zhǎng)度為 ．
【變式2.1】（2023·山東泰安·二模）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為 ．
【變式2.2】（2023·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知在二次函數(shù)中，y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表．
… 0 3 6 …
… 28 18 14 4 6 14 …
當(dāng)x的取值范圍是時(shí)，y的最大值是（　　）
A．4 B．6 C．18 D．28
【變式2.3】（2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，若，則的取值范圍是 ．
【考點(diǎn)3 二次函數(shù)y=ax +bx+c的圖象與系數(shù)的關(guān)系】
【例3.1】（2023·江蘇泰州·一模）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【例3.2】（2023九年級(jí)·湖南婁底·期中）已知二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，且）的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為直線，且經(jīng)過點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①；②；③；④（m為任意實(shí)數(shù)），正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【例3.3】（2023九年級(jí)·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）已知拋物線的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中，；；；④若，則； ；正確的
【變式3.1】（2023九年級(jí)·云南昆明·階段練習(xí)）如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，下列結(jié)論：
①；②；③；④若，是該函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，則．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．1
【變式3.2】（2023九年級(jí)·廣東廣州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①，同號(hào)；②當(dāng)和時(shí)，函數(shù)值相等；③；④當(dāng)時(shí)，正確的結(jié)論有 ．

【變式3.3】（2023九年級(jí)·北京·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)，其部分圖象如圖所示，下面四個(gè)結(jié)論中，
①；
②；
③若點(diǎn)在此拋物線上且，則或．
④若點(diǎn)在此拋物線上，則；
所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
【規(guī)律方法綜合練】
【題型1】（2023·安徽阜陽·三模）若將拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度或向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后都經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【題型2】（2023九年級(jí)·山東濟(jì)南·期末）已知二次函數(shù)，其中．若當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有6個(gè)，則m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【題型3】（2023·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線（c為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，則m的取值范圍為（　　）
A． B．
C． D．
【拓廣探究創(chuàng)新練】
【題型1】（2023·浙江杭州·二模）已知，是函數(shù)與圖象兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【題型2】（2023·山東濟(jì)南·二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，且滿足．當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的最大值m和最小值n之間滿足的關(guān)系式是（ ）
A． B． C． D．
【題型3】（2023·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，則下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的值有個(gè)；④當(dāng)是直角三角形時(shí)，的值有個(gè)；其中正確的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
1．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小 B．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小
C．圖象有最低點(diǎn)，其坐標(biāo)是 D．圖象有最高點(diǎn)，其坐標(biāo)是
2．（2023·湖北宜昌·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)的圖象上有，兩點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)y的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·一模）若直線經(jīng)過一、二、四象限，則拋物線頂點(diǎn)必在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2023·湖北襄陽·二模）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，，是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）

A． B．
C．，則 D．若，則
5．（2023九年級(jí)·山東濟(jì)寧·期末）如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線，其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，下列結(jié)論：①；②；③；④若，在函數(shù)圖象上，則，正確的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
6．（2023九年級(jí)·吉林四平·階段練習(xí)）若一條拋物線與圖象的形狀相同且開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則這條拋物線的解析式為 ．
7．（2023·上海松江·二模）平移拋物線，使得平移后的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第四象限，那么平移后的拋物線的表達(dá)式可以是 ．（只需寫出一個(gè)符合條件的表達(dá)式）
8．（2023·浙江溫州·二模）已知關(guān)于x的二次函數(shù)，該函數(shù)的最大值為 ．
9．（2023·福建福州·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是拋物線上任意兩點(diǎn)．若對(duì)于，，總有，求的取值范圍是 ．
10．（2023·安徽宿州·一模）如圖，已知拋物線（是常數(shù)且）和線段，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．

（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線 ；
（2）當(dāng)時(shí)，將拋物線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與線段僅有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
11．（2023九年級(jí)·廣東湛江·期末）已知二次函數(shù)y＝(x－m)2－1.
（1）當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；
（2）如下圖，當(dāng)m＝2時(shí)，該拋物線與軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求C、D 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

12．（2023九年級(jí)·天津武清·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．
(1)寫出拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)P坐標(biāo)；
(2)若拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，求三角形的面積．
13．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上．
(1)求該拋物線的對(duì)稱軸；
(2)已知，當(dāng)，y的取值范圍是，求a，m的值．
14．（2023九年級(jí)·北京通州·期中）已知二次函數(shù)在和時(shí)的函數(shù)值相等．
(1)求二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸；
(2)過作x軸的平行線與二次函數(shù)的圖像交于不同的兩點(diǎn)M、N．當(dāng)時(shí)，求b的值．
15．（2023·江蘇常州·二模）已知二次函數(shù)．
(1)若該二次函數(shù)的最大值為，求m的值；
(2)若該二次函數(shù)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后得新二次函數(shù)圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第10講 二次函數(shù)y=a(x-h) +k、y=ax +bx+c的圖象和性質(zhì)
·模塊一 y=a（x-h） +k的圖象和性質(zhì)
·模塊二 y=ax +bx+c的圖象和性質(zhì)
·模塊三 課后作業(yè)
二次函數(shù) y=a（x-h) +k的圖象與性質(zhì)：
函數(shù)解析式 開口方向 對(duì)稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) 增減性
y=a（x-h) +k a＞0 開口向上 x=h (h, k) a＞0 在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而增大
a＜0 開口向下 a＜0 在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而減小
【考點(diǎn)1 y=a（x-h） +k的圖象】
【例1.1】（2023·寧夏銀川·二模）關(guān)于拋物線，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．對(duì)稱軸為直線
B．與軸交于點(diǎn)
C．與軸沒有交點(diǎn)
D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小
【答案】D
【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】解：A．對(duì)稱軸為直線，原說法錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；
B．另，，與軸交于點(diǎn)，原說法錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；
C．當(dāng)時(shí)，即，化為，且，方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故該選項(xiàng)不符合題意；
D．∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，說法正確，故該選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【例1.2】（2023九年級(jí)·河南南陽·期中）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過（ ）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】C
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象綜合判斷．根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的位置求得，，據(jù)此可得一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限．
【詳解】解：由題意可知，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
由圖象可知，此拋物線的頂點(diǎn)在第四象限，
∴，，
∴，，
∴一次函數(shù)的圖象必經(jīng)過第一、三、四象限，一定不經(jīng)過第二象限，
故選：C．
【例1.3】（2023·浙江金華·三模）若二次函數(shù)的圖象如圖所示，則坐標(biāo)原點(diǎn)可能是（ ）
A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)
【答案】A
【分析】根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)在第四象限，
∴原點(diǎn)在函數(shù)頂點(diǎn)的左上方，
由圖可知，坐標(biāo)原點(diǎn)只可能是點(diǎn)；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象，確定二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
【變式1.1】（2023九年級(jí)·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大
C．圖象的對(duì)稱軸為直線 D．
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點(diǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
【詳解】解：A．圖像與x軸交于、B，關(guān)于對(duì)稱，所以，說法正確，但不符合題意；
B．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，說法錯(cuò)誤，但符合題意；
C．由拋物線的解析式可知對(duì)稱軸，說法正確，但不符合題意；
D．根據(jù)函數(shù)圖象可知，函數(shù)圖象與y軸交于正半軸，即當(dāng)時(shí)，，
∴，說法正確，但不符合題意．
故選：B．
【變式1.2】（2023九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）已知二次函數(shù)．

(1)該函數(shù)圖象的開口向__________，頂點(diǎn)坐標(biāo)為__________，對(duì)稱軸為直線__________，函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為__________，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為__________．
(2)在如圖所示的坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象．
(3)根據(jù)圖象判斷，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是__________．
(4)若點(diǎn)與是此二次函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，則__________．（填“>”“<”或“=”）
【答案】(1)向下，，，，，
(2)見解析
(3)
(4)<
【分析】（1）根據(jù)，得拋物線開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，令，即，進(jìn)行計(jì)算即可得；
（2）根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)連線即可得；
（3）根據(jù)圖象，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，即可得；
（4）根據(jù)點(diǎn)在軸下方，而在軸上方，即可得．
【詳解】（1）解：∵，，
∴拋物線開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，
令，即，
解得或，
故函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，
令，則，
故與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；
故答案為：向下，，，，，；
（2）解：根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)作出函數(shù)圖象：

（3）解：根據(jù)圖象，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，
故答案為：．
（4）解：∵點(diǎn)在軸下方，而在軸上方，
∴．
故答案為：<．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
【變式1.3】（2023九年級(jí)·山東威海·期末）如圖，拋物線與交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B，C，則線段BC的長(zhǎng)為 ．
【答案】6
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性解決問題是解題的關(guān)鍵．設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與線段交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與線段交于點(diǎn)，由拋物線的對(duì)稱性結(jié)合，即可求出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線與線段交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線與線段交于點(diǎn)，如圖所示．
由拋物線的對(duì)稱性，可知：，，
．
故答案為：6．
【考點(diǎn)2 y=a（x-h） +k的性質(zhì)】
【例2.1】（2023九年級(jí)·安徽六安·期中）已知某拋物線與二次函數(shù)的圖像的開口大小相同，開口方向相反，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為的知識(shí)即可求解．
【詳解】解：∵某拋物線與二次函數(shù)的圖像的開口大小相同，開口方向相反，
∴某拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為，
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴該拋物線的解析為：，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握其圖形大小，開口，頂點(diǎn)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
【例2.2】（2023·江蘇淮安·二模）若拋物線過點(diǎn)，，則的值不可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．解題的關(guān)鍵是利用對(duì)應(yīng)值確定對(duì)稱軸，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．把點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)分別代入解析式得到方程組，消去得到可解得，然后利用得到的取值范圍，再利用此范圍對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【詳解】解：把、分別代入得，
②①得，
解得，
所以，
所以的值不可以是4．
故選：D．
【例2.3】（2023·廣東廣州·一模）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則的值為（ ）．
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【答案】D
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，分兩種情況討論，并且利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：直線，
（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)，隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
，
；
（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)，隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
，
．
故選：D．
【變式2.1】（2023九年級(jí)·吉林白城·階段練習(xí)）頂點(diǎn)為，且開口方向、形狀與函數(shù)的圖像相同的拋物線是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式解析式，系數(shù)a的幾何意義處理．
【詳解】解：∵開口方向、形狀與函數(shù)的圖像相同，
∴拋物線解析式二次項(xiàng)系數(shù)為；
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)解析式；理解二次函數(shù)解析——頂點(diǎn)式，系數(shù)a的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
【變式2.2】（2023九年級(jí)·山東威海·期末）下列二次函數(shù)中最大值為1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，有最大值，為，據(jù)此即可作答．
【詳解】解：A、，，開口方向向上，有最小值，且為1，不符合題意；
B、，，開口方向向下，有最大值，且為1，符合題意；
C、，，開口方向向下，有最大值，且為，不符合題意；
D、，，開口方向向上，有最小值，且為，不符合題意；
故選：B．
【變式2.3】（2023·四川綿陽·一模）已知：二次函數(shù)的圖像上有三個(gè)點(diǎn)，則的大小關(guān)系是 ．
【答案】/
【分析】
本題考查二次函數(shù)的增減性：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而增大；時(shí)，在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而減小，根據(jù)得到拋物線的開口朝上，根據(jù)圖象上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解，∵，對(duì)稱軸為，
∴函數(shù)的圖像開口向上，
∵關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，且，
∴，
故答案為：．
【考點(diǎn)3 二次函數(shù)y=a（x-h） +k圖象的平移】
【例3.1】（2023九年級(jí)·江蘇淮安·階段練習(xí)）將拋物線，先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后所得拋物線解析式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
此題考查了二次函數(shù)圖象的平移與幾何變換，直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．
【詳解】
解：將拋物線，先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后所得拋物線的解析式為：，即；
故選：D．
【例3.2】（2023九年級(jí)·福建廈門·期中）拋物線y=2(x－1)2－3向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸是直線（ ）
A．x=－3 B．x=－1 C．x=－2 D．x=4
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律得出平移后的拋物線的解析式，由此即可得出答案．
【詳解】由題意，平移后的拋物線的解析式為，即，
則此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸是直線，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移、二次函數(shù)的對(duì)稱軸，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．
【例3.3】（2023九年級(jí)·遼寧撫順·階段練習(xí)）二次函數(shù)y＝x2的圖象如圖所示，請(qǐng)將此圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位．
（1）請(qǐng)直接寫出經(jīng)過兩次平移后的函數(shù)解析式；
（2）請(qǐng)求出經(jīng)過兩次平移后的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并指出當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，函數(shù)值小于0？
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是經(jīng)過兩次平移后所得的函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且x1＜x2＜0，請(qǐng)比較y1、y2的大小關(guān)系．（直接寫結(jié)果）
【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）（﹣1，0），（3，0），當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，函數(shù)值小于0；（3）y1＞y2
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)平移的特點(diǎn)：左加右減、上加下減，可以寫出平移后的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式可以求得經(jīng)過兩次平移后的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并指出當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，函數(shù)值小于0；
（3）根據(jù)平移后函數(shù)的圖象可知，當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小，從而可以寫出y1、y2的大小關(guān)系．
【詳解】解：（1）平移后的函數(shù)解析式為y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）平移后的函數(shù)圖象如圖所示，
當(dāng)y＝0時(shí)，0＝（x﹣1）2﹣4，得x1＝﹣1，x2＝3，
即經(jīng)過兩次平移后的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，0），（3，0），當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，函數(shù)值小于0；
（3）由圖象可得，
A（x1，y1），B（x2，y2）是經(jīng)過兩次平移后所得的函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且x1＜x2＜0，則y1＞y2．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，記住平移的口訣“左加右減、上加下減”.
【變式3.1】（2023·四川廣安·一模）將拋物線y＝2x2平移，使頂點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新拋物線的表達(dá)式是 ．
【答案】y＝2（x+3）2+1
【分析】由于拋物線平移前后二次項(xiàng)系數(shù)不變，然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出新拋物線解析式．
【詳解】拋物線y＝2x2平移，使頂點(diǎn)移到點(diǎn)P（﹣3，1）的位置，所得新拋物線的表達(dá)式為y＝2（x+3）2+1．
故答案為y＝2（x+3）2+1
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．
【變式3.2】（2023九年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）拋物線經(jīng)過平移得到拋物線，平移過程正確的是( )
A．先向左平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
B．先向左平移6個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
C．先向右平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
D．先向右平格6個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
【答案】C
【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的圖像平移方法“左加右減，上加下減”進(jìn)行排除選項(xiàng)即可
【詳解】由題意得：
由拋物線先向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線
故答案為：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律,掌握二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律是解題關(guān)鍵．
【變式3.3】（2023·陜西西安·二模）若拋物線與軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為2，拋物線的對(duì)稱軸為直線，將此拋物線向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到的新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)定弦拋物線的定義結(jié)合其對(duì)稱軸，即可找出該拋物線的解析式，利用平移的“左加右減，上加下減”找出平移后新拋物線的解析式，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可找出結(jié)論.
【詳解】∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴該定弦拋物線過點(diǎn)(0，0)、(2，0)，
∴該拋物線解析式為
將此拋物線向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到新拋物線的解析式為：
=
當(dāng)x=-2時(shí)，=-3
∴得到的新拋物線過點(diǎn)
故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何變換，解題關(guān)鍵是求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).
【規(guī)律方法綜合練】
【題型1】（2023九年級(jí)·江蘇鹽城·期中）有一條拋物線，三位學(xué)生分別說出了它的一些性質(zhì)：甲說：對(duì)稱軸是直線；乙說：與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為6；丙說：頂點(diǎn)與軸的交點(diǎn)圍成的三角形面積等于9，則這條拋物線解析式的頂點(diǎn)式是 .
【答案】，
【分析】根據(jù)對(duì)稱軸是直線x=2，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)距離為6，可求出與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），（5，0）；再根據(jù)頂點(diǎn)與x軸的交點(diǎn)圍成的三角形面積等于9，可得頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±3，然后利用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式即可．
【詳解】解：∵對(duì)稱軸是直線x=2，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)距離為6，
∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），（5，0），
設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，y），
∵頂點(diǎn)與x軸的交點(diǎn)圍成的三角形面積等于9，
∴，
∴y=3或y=-3，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）或（2，-3），
設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x-2）2+3或y=a（x-2）2-3；
把點(diǎn)（5，0）代入y=a（x-2）2+3得a=-；
把點(diǎn)（5，0）代入y=a（x-2）2-3得a=；
∴滿足上述全部條件的一條拋物線的解析式為y=-（x-2）2+3或y=（x-2）2-3．
故答案為：，.
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．解題的關(guān)鍵是理解題意，采用待定系數(shù)法求解析式，若給了頂點(diǎn)，注意采用頂點(diǎn)式簡(jiǎn)單．
【題型2】（2023·山東臨沂·二模）已知一系列拋物線，，，，，…，（k為非負(fù)整數(shù)）．拋物線與x軸相交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），頂點(diǎn)為．若軸于點(diǎn)，則k的值是（ ）
A．3 B．5 C．2023 D．2024
【答案】A
【分析】該題主要考查了點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定的解析式．
根據(jù)規(guī)律確定的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，再根據(jù)軸于點(diǎn)，確定點(diǎn)，再代入的解析式即可求解；
【詳解】解：根據(jù)題意可得：的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
觀察這列拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，
由規(guī)律可知的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
∴拋物線的解析式是，
，
，
軸于點(diǎn)，
，
把點(diǎn)的坐標(biāo)代入到的解析式得：，
解得：；
故選：A．
【題型3】（2023九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為 ．
【答案】2或
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．求出二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，再分三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的增減性列方程求解即可．
【詳解】解：∵，
∴拋物線開口向下，離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越大，
二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，
①時(shí)，取得最大值，，
解得，不合題意，舍去；
②時(shí)，取得最大值，，
解得，
∵不滿足的范圍，
∴；
③時(shí)，取得最大值，，
解得．
綜上所述，或時(shí)，二次函數(shù)有最大值4．
故答案為：2或．
【拓廣探究創(chuàng)新練】
【題型1】（2023·吉林·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線、均為常數(shù)且，．過點(diǎn)作軸垂線交拋物線于、兩點(diǎn)、在點(diǎn)的右側(cè)），連結(jié)、．當(dāng)，且的面積為2時(shí)，則的值為 ．
【答案】2
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積．設(shè)，則，由的面積為2，得出，即可根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得出，，把代入解析式即可求得，進(jìn)一步得到．
【詳解】解：設(shè)，
，
，
，
點(diǎn)，的面積為2，
，
，
，，
拋物線為，
把代入得，，
解得，
，
故答案為：2．
【題型2】（2023九年級(jí)·湖北武漢·期中）已知關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，則k的值為 ．
【答案】1或
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)函數(shù)解析式得到二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為直線，則在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x增大而減小，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大，在討論對(duì)稱軸的位置，根據(jù)最小值為進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為，
∴二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為直線，
∴在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x增大而減小，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大，
當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，y有最小值，
∴，
∴，
解得或，都不符合題意；
當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，y有最小值，
∴，
∴，
解得（舍去）
當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在或處取得最小值，
當(dāng)時(shí)，在處取得最小值，此時(shí)或（舍去）；
當(dāng)時(shí)，在處取得最小值，此時(shí)或（舍去）；
綜上所述，或，
故答案為：1或．
【題型3】（2023九年級(jí)·河北邯鄲·期中）如圖，在正方形中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
（2）當(dāng)二次函數(shù)與正方形有公共點(diǎn)時(shí)，的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，
（1）根據(jù)正方形與坐標(biāo)的關(guān)系解答即可；
（2）由拋物線解析式可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得拋物線頂點(diǎn)所在直線方程，再由拋物線開口向上可得拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)滿足題意．
解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確的分析出圖形中的點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系．
【詳解】解：（1）∵在正方形中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，
∵點(diǎn)在第一象限，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
故答案為：；
（2），
拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
拋物線頂點(diǎn)在直線上，
如圖，當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在軸左側(cè)，拋物線經(jīng)過時(shí)，的值最小．

把代入得，
解得（舍或，
故答案為：．
二次函數(shù) y=ax +bx+c的圖象與性質(zhì)：
函數(shù)解析式 開口方向 對(duì)稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) 增減性
y=ax +bx+c a＞0 開口向上 x=- (-, ) a＞0 在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而增大
a＜0 開口向下 a＜0 在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而減小
【考點(diǎn)1 二次函數(shù)y=ax +bx+c的圖象的平移】
【例1.1】（2023九年級(jí)·湖北荊州·階段練習(xí)）把拋物線向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（5，） B．（5，0） C．（，） D．（，0）
【答案】C
【分析】先得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣2），則把點(diǎn)（2，﹣2）向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后得到（﹣1，﹣4）．
【詳解】解：∵拋物線，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣2），
∴把點(diǎn)（2，﹣2），向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到（﹣1，﹣4），
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：把拋物線平移的問題轉(zhuǎn)化為拋物線的頂點(diǎn)（k，h）的平移是解決問題的關(guān)鍵．
【例1.2】（2023九年級(jí)·湖南常德·期中）將拋物線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得新拋物線的最小值為1，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的平移以及二次函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)經(jīng)過平移后新拋物線的解析式為，配方為頂點(diǎn)式，得出最小值為，結(jié)合題意，即可求解．
【詳解】解：設(shè)經(jīng)過平移后新拋物線的解析式為，
∵
拋物線開口向上，最小值為
∵新拋物線的最小值為1，
∴
解得：
故答案為：．
【例1.3】（2023·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測(cè)）將拋物線y=x2+2x+3向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的拋物線與直線y=3的交點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）
A．（0，3）或（﹣2，3） B．（﹣3，0）或（1，0）
C．（3，3）或（﹣1，3） D．（﹣3，3）或（1，3）
【答案】D
【分析】先將拋物線y=x2+2x+3化為頂點(diǎn)式,找出頂點(diǎn)坐標(biāo),利用平移的特點(diǎn)即可求出新的拋物線,可求得與直線y=3的交點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】解:拋物線y= x2+2x+3=,頂點(diǎn)坐標(biāo)(-1,2),再向下平移3個(gè)單位得到的點(diǎn)是(-1,-1).可得新函數(shù)的解析式為y=，
當(dāng)y=3時(shí)候，即:=3，得：，
解得：x=1或x=-3，
拋物線與直線y=3的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）或（-3，3），
故選D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線平移的規(guī)律與性質(zhì), 關(guān)鍵是得到所求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo),利用平移的規(guī)律解答.
【變式1.1】（2023九年級(jí)·山西呂梁·階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)，若將該二次函數(shù)圖象平移后所得的二次函數(shù)表達(dá)式為，則點(diǎn)A經(jīng)過該次平移后的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移．根據(jù)平移前后的二次函數(shù)的解析式找到函數(shù)圖象的平移規(guī)律，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵，
∴拋物線是由先向左平移一個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到的，
∴點(diǎn)向左平移一個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到，即．
故選：A．
【變式1.2】（2023·浙江寧波·三模）在平面直角坐標(biāo)系經(jīng)中，將二次函數(shù)的圖象平移，使平移后的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O．設(shè)平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則的取值范圍為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)平移不改變拋物線的形狀，可得，進(jìn)而將點(diǎn)代入得出，根據(jù)題意，得出，即可求解．
【詳解】∵，平移后的解析式為
將點(diǎn)代入上式得：，
解得：，
∵當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
故，
∴；
故選：D．
【變式1.3】（2023九年級(jí)·江蘇·專題練習(xí)）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+4．
(1)試確定拋物線的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；
(2)x為何值時(shí)，y有最值？
(3)在如圖所示的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，并說明該拋物線是由拋物線y＝﹣x2怎樣平移得到的？
(4)根據(jù)圖象回答，x取何值時(shí)，y＞0，y＝0，y＜0？
(5)根據(jù)圖象回答，x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大？x取何值時(shí)，y隨x的增大而減小？
【答案】(1)開口方向向下、頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸為直線；
(2)當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值，最大值為；
(3)圖見解析，向右平移1個(gè)單位，向上平移個(gè)單位
(4)見詳解
(5)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小．
【分析】（1）把二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式即可求解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可求解；
（3）畫出二次函數(shù)的圖像，進(jìn)而即可得到平移方式；
（4）線求出函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而即可求解；
（5）根據(jù)拋物線的開口方向和對(duì)稱軸，就可求解．
【詳解】（1）解：∵ ，
∴拋物線的開口方向向下、頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸為直線；
（2）解：∵拋物線開口向下，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值，最大值為；
（3）解：如圖所示：
向右平移1個(gè)單位，向上平移個(gè)單位即可得到：；
（4）解：由得：，
∴當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)或4，，
當(dāng)時(shí)，；
（5）解：由函數(shù)圖像可知：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，畫出二次函數(shù)圖像時(shí)關(guān)鍵．
【考點(diǎn)2 二次函數(shù)y=ax +bx+c的圖象和性質(zhì)】
【例2.1】（2023·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則的值為（ ）

A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
由拋物線與軸的交點(diǎn)得出對(duì)稱軸為直線，即可解答．
【詳解】解：∵拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
∴拋物線的對(duì)稱軸為，
∴，
故選：B．
【例2.2】（2023·湖北宜昌·模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)二次函數(shù)，的圖象如圖所示，那么函數(shù)（，，為常數(shù)）的大致圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得，得到，進(jìn)而得到函數(shù)為二次函數(shù)，開口向下，據(jù)此即可求解，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由函數(shù)圖象可得，，
∴，
∴函數(shù)為二次函數(shù)，開口向下，
故選：．
【例2.3】（2023九年級(jí)·湖南郴州·期中）已知點(diǎn)和點(diǎn)N都在拋物線上，如果軸，則線段的長(zhǎng)度為 ．
【答案】4
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解一元二次方程的知識(shí)，根據(jù)軸，得出，是解答本題的關(guān)鍵．
首先求出拋物線解析式為，根據(jù)軸，可得，令，求出，進(jìn)而求解即可．
【詳解】將代入拋物線中，可得：，
解得：，
即拋物線解析式為：，
∵軸，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
解得：或，
即，
∴的長(zhǎng)度為．
故答案為：4．
【變式2.1】（2023·山東泰安·二模）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為 ．
【答案】5
【分析】本題考查二次函數(shù)的最值，能由二次函數(shù)的表達(dá)式得出拋物線的對(duì)稱軸及開口方向是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象，結(jié)合當(dāng)時(shí)函數(shù)圖象的增減情況，即可解決問題．
【詳解】解：由二次函數(shù)的表達(dá)式為可知，
拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，且，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴在中，函數(shù)的最大值為，
故答案為：．
【變式2.2】（2023·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知在二次函數(shù)中，y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表．
… 0 3 6 …
… 28 18 14 4 6 14 …
當(dāng)x的取值范圍是時(shí)，y的最大值是（　　）
A．4 B．6 C．18 D．28
【答案】B
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，找出時(shí)，的最大值．
利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式，即可求得拋物線的開口方向和對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出當(dāng)及時(shí)的值，即可找出時(shí)，的最大值．
【詳解】解：將，，代入，得：
，
解得：，
二次函數(shù)的表達(dá)式為，
二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
時(shí)，的最大值是6．
故選：B．
【變式2.3】（2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，若，則的取值范圍是 ．
【答案】或
【分析】由拋物線，可知拋物線開口向上，與軸的交點(diǎn)為，由拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)，得出對(duì)稱軸為直線，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出或，解不等式（組即可．本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：拋物線，
拋物線開口向上，與軸的交點(diǎn)為，
拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)，
對(duì)稱軸為直線，
，
或，
解得或．
故的取值范圍是或．
故答案為：或．
【考點(diǎn)3 二次函數(shù)y=ax +bx+c的圖象與系數(shù)的關(guān)系】
【例3.1】（2023·江蘇泰州·一模）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】本題考查了根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷二次函數(shù)系數(shù)的正負(fù)，根據(jù)圖象可得拋物線開口向上，與軸交于負(fù)半軸，對(duì)稱軸在軸右側(cè)，由此即可得出答案．
【詳解】解：由圖可得：拋物線開口向上，與軸交于負(fù)半軸，對(duì)稱軸在軸右側(cè)，
，，，
，
故選：B．
【例3.2】（2023九年級(jí)·湖南婁底·期中）已知二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，且）的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為直線，且經(jīng)過點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①；②；③；④（m為任意實(shí)數(shù)），正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)開口方向，對(duì)稱軸和與軸的交點(diǎn)位置，判斷①②③，最值判斷④即可．
【詳解】解：∵拋物線的開口向下，對(duì)稱軸直線，與軸交于正半軸，
∴，
∴，故①錯(cuò)誤，②正確；
∵；故③正確；
∵當(dāng)時(shí)，最大為，
∴，
∴，故④錯(cuò)誤；
故選B．
【例3.3】（2023九年級(jí)·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）已知拋物線的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中，；；；④若，則； ；正確的
【答案】
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【詳解】解：①因?yàn)閽佄锞€開口向上，可知，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，a、b同號(hào)．故，拋物線與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸，因此，所以，故①符合題意；
②拋物線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故，故②正確，符合題意；
③當(dāng)時(shí)，，故③錯(cuò)誤，不符合題意；
④因?yàn)閷?duì)稱軸介于與0之間，因此，得，而，∴，因此④正確，符合題意；
⑤當(dāng)時(shí)，，又∵，∴，∴，故⑤正確，符合題意；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，掌握函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式是解題的關(guān)鍵．
【變式3.1】（2023九年級(jí)·云南昆明·階段練習(xí)）如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，下列結(jié)論：
①；②；③；④若，是該函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，則．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性以及對(duì)稱性逐個(gè)進(jìn)行判斷．
【詳解】解：拋物線開口向上得，
對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，、異號(hào)，
因此，
拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，
因此，
所以，
因此①符合題意；
由，可知，
所以，
因此②不符合題意；
由對(duì)稱軸和拋物線的對(duì)稱性，可得當(dāng)時(shí)，，
即，故③符合題意；
由對(duì)稱軸和拋物線的對(duì)稱性，可得，是該函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，
則．因此④符合題意；
綜上所述，正確的結(jié)論有3個(gè)，
故選：B．
【變式3.2】（2023九年級(jí)·廣東廣州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①，同號(hào)；②當(dāng)和時(shí)，函數(shù)值相等；③；④當(dāng)時(shí)，正確的結(jié)論有 ．

【答案】②③④
【分析】利用拋物線開口方向得到，利用拋物線的對(duì)稱軸得到，則可對(duì)①③進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性確定拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象可對(duì)④進(jìn)行判斷．
【詳解】解：拋物線開口向上，
，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
，所以①錯(cuò)誤，
，所以③正確；
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)和時(shí)，函數(shù)值相等，所以②正確；
拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
而拋物線的對(duì)稱軸為直線，
拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，所以④正確．
故答案為：②③④．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用圖象進(jìn)行分析，得到相應(yīng)系數(shù)的符號(hào)．
【變式3.3】（2023九年級(jí)·北京·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)，其部分圖象如圖所示，下面四個(gè)結(jié)論中，
①；
②；
③若點(diǎn)在此拋物線上且，則或．
④若點(diǎn)在此拋物線上，則；
所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
【答案】②③④
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)稱軸判斷①，開口方向判斷②，對(duì)稱性，增減性判斷③和④．
【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴對(duì)稱軸為，
∴；故①錯(cuò)誤；
∵拋物線的開口向下，
∴；故②正確；
∵，當(dāng)時(shí)，，
∴圖象過，
∵對(duì)稱軸為直線，
∴關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為：，
∵拋物線的開口向下，在對(duì)稱軸的左側(cè)，隨的增大而增大，在對(duì)稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小，
∵點(diǎn)在此拋物線上且，
∴或；故③正確；
∵點(diǎn)在此拋物線上，
∴點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為：，
由圖象可知：當(dāng)時(shí)，；故④正確；
故答案為：②③④．
【規(guī)律方法綜合練】
【題型1】（2023·安徽阜陽·三模）若將拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度或向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后都經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象與上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與與系數(shù)的關(guān)可，求得拋物線的對(duì)稱軸是軸是解題的關(guān)鍵．
由題意可知拋物線與軸的交點(diǎn)為和，則拋物線的對(duì)稱軸為軸，即可求得．
【詳解】∵將拋物線向左平移1個(gè)單位或向右平移3個(gè)單位后都經(jīng)過點(diǎn)，
∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，
，
，
故選：D．
【題型2】（2023九年級(jí)·山東濟(jì)南·期末）已知二次函數(shù)，其中．若當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有6個(gè)，則m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；
由，可知函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，最大值為1，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有6個(gè)，則，解得即可．
【詳解】
，
，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，y有最小值為，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，的最大值為1，
，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有6個(gè)，
這6個(gè)整數(shù)值為：1、0、、、、，
解得：
故選：D．
【題型3】（2023·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線（c為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，則m的取值范圍為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、二次函數(shù)對(duì)稱軸的性質(zhì)以及判斷二次函數(shù)在自變量范圍內(nèi)的增減性等知識(shí)，先求出拋物線的對(duì)稱軸，判斷和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，從而得到和的關(guān)系，再代入，求出的取值范圍，再將代入拋物線的解析式，等到關(guān)于m和的二次函數(shù)關(guān)系式，即可求得答案．
【詳解】解：∵拋物線的解析式為
∴拋物線的對(duì)稱軸為，
∵和的函數(shù)值相等，
∴和關(guān)于拋物線對(duì)稱，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
將代入，
有，變形得，
當(dāng)時(shí)，m最大，，
當(dāng)時(shí)，m最小，，
∴m的取值范圍為，
故選：B．
【拓廣探究創(chuàng)新練】
【題型1】（2023·浙江杭州·二模）已知，是函數(shù)與圖象兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【分析】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱軸的兩側(cè)，二次函數(shù)的函數(shù)值的范圍為：，判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴對(duì)稱軸為直線，
∵，是函數(shù)與圖象兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴兩個(gè)交點(diǎn)為，，
當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，在對(duì)稱軸的兩側(cè)，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值的范圍為：，
∴當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，可能大于，等于或小于；
故選D．
【題型2】（2023·山東濟(jì)南·二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，且滿足．當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的最大值m和最小值n之間滿足的關(guān)系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了拋物線的圖象與性質(zhì)，判斷對(duì)稱軸在之間、確定函數(shù)的最大值是時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，函數(shù)的最小值是時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)，得出對(duì)稱軸為直線，即可得出對(duì)稱軸在之間，根據(jù)函數(shù)的最大值是時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，函數(shù)的最小值是時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，求解即可．
【詳解】解：二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，
圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線
∵對(duì)稱軸為直線，
∴
，
∴
，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，
且為
函數(shù)的最大值是時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，
∴，
∴，代入，得
故選：C．
【題型3】（2023·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，則下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的值有個(gè)；④當(dāng)是直角三角形時(shí)，的值有個(gè)；其中正確的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【分析】由二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，得對(duì)稱軸為直線，從而得，故①正確，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而得，，故②錯(cuò)誤；先求得點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，從而得的值有個(gè)，故③正確；由二次函數(shù)，得頂點(diǎn)，進(jìn)而得，再分類討論即可得解．
【詳解】解：二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，
對(duì)稱軸為直線，
，
，
故①正確，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
故②錯(cuò)誤；
二次函數(shù)，
點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的值有個(gè)，
故③正確；
二次函數(shù)，
頂點(diǎn)，
，
若，可得，
，
，
若，可得，
，
，
當(dāng)是直角三角形時(shí)，或，
的值有個(gè)，
故④錯(cuò)誤，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷各項(xiàng)符號(hào)，勾股定理以及等腰三角形，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
1．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小 B．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小
C．圖象有最低點(diǎn)，其坐標(biāo)是 D．圖象有最高點(diǎn)，其坐標(biāo)是
【答案】B
【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：對(duì)于二次函數(shù)的圖象，
∵，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為，
∴拋物線開口向下，
∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，圖象有最高點(diǎn)，其坐標(biāo)是，
故選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確．
故選：B
2．（2023·湖北宜昌·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)的圖象上有，兩點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)y的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．根據(jù)題意得出，代入函數(shù)的解析式即可求得二次函數(shù)的值．
【詳解】解：二次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)和，
、是方程的兩個(gè)根，
，
當(dāng)時(shí)，
二次函數(shù)
．
故答案為：C．
3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·一模）若直線經(jīng)過一、二、四象限，則拋物線頂點(diǎn)必在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，直線經(jīng)過一、二、四象限可判斷的符號(hào)，再由拋物線求頂點(diǎn)坐標(biāo)，判斷象限，即可求解；熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：直線經(jīng)過一、二、四象限，
∴，
∴拋物線的頂點(diǎn)必在第二象限，
故選：．
4．（2023·湖北襄陽·二模）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，，是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）

A． B．
C．，則 D．若，則
【答案】B
【分析】該題主要考查了二次函數(shù)的圖像與系數(shù)關(guān)系，解答該題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的系數(shù)與圖像的關(guān)系解答即可．
【詳解】解：A、根據(jù)函數(shù)圖像可得當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)對(duì)稱軸為直線可得：故，故B正確；
C、根據(jù)函數(shù)圖像可得當(dāng)，則，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性得：，則，故D錯(cuò)誤；
故選：B．
5．（2023九年級(jí)·山東濟(jì)寧·期末）如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線，其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，下列結(jié)論：①；②；③；④若，在函數(shù)圖象上，則，正確的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可判斷①，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸判斷②，根據(jù)圖象與性質(zhì)判斷③④．
【詳解】解：拋物線開口向下， ，
對(duì)稱軸在軸右側(cè)， ，
拋物線與軸交于正半軸， ，
，故①正確；
， ，
，故②正確；
對(duì)稱軸是直線，其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
， ，故③正確；
當(dāng)、同在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，
，在對(duì)稱軸左側(cè)，隨增大而增大，
， ，
當(dāng)、同在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，
，在對(duì)稱軸右側(cè)，隨增大而減小，
， ，故④錯(cuò)誤．
故選：C．
6．（2023九年級(jí)·吉林四平·階段練習(xí)）若一條拋物線與圖象的形狀相同且開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則這條拋物線的解析式為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)拋物線與圖象的形狀相同且開口向下得到這條拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為，再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得到對(duì)應(yīng)的解析式．
【詳解】解：∵一條拋物線與圖象的形狀相同且開口向下，
∴這條拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為，
又∵這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴這條拋物線的解析式為，
故答案為：．
7．（2023·上海松江·二模）平移拋物線，使得平移后的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第四象限，那么平移后的拋物線的表達(dá)式可以是 ．（只需寫出一個(gè)符合條件的表達(dá)式）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移．根據(jù)題意可設(shè)平移后的拋物線的解析式為，可得該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再由頂點(diǎn)在第四象限，可得，即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可設(shè)平移后的拋物線的解析式為，
∵，
∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵頂點(diǎn)在第四象限，
∴，
即，
∴平移后的拋物線的解析式為．
故答案為：（答案不唯一）．
8．（2023·浙江溫州·二模）已知關(guān)于x的二次函數(shù)，該函數(shù)的最大值為 ．
【答案】5
【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，配方成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】
∵
∴拋物線開口向下
∴當(dāng)時(shí)，拋物線有最大值5．
故答案為：5．
9．（2023·福建福州·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是拋物線上任意兩點(diǎn)．若對(duì)于，，總有，求的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為直線，
∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
10．（2023·安徽宿州·一模）如圖，已知拋物線（是常數(shù)且）和線段，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．

（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線 ；
（2）當(dāng)時(shí)，將拋物線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與線段僅有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】 2 或
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想作出圖形，根據(jù)圖形進(jìn)行求解是解決問題的關(guān)鍵．
（1）由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為直線，即可求解；
（2）由題意可知，當(dāng)時(shí)，將拋物線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后拋物線為，結(jié)合圖形，找到臨界點(diǎn)：當(dāng)拋物線頂點(diǎn)恰好平移到線段上，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的值，結(jié)合圖形即可求解．
【詳解】解：（1）∵，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
故答案為：2；
（2）當(dāng)時(shí)，，
將拋物線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后拋物線為，

當(dāng)拋物線頂點(diǎn)恰好平移到線段上，此時(shí)，，可得；
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，可得，
此時(shí)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，在線段上，不符合題意；
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，可得，
此時(shí)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，不在線段上，符合題意；
結(jié)合圖形可知，平移后的拋物線與線段僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，或；
故答案為：或．
11．（2023九年級(jí)·廣東湛江·期末）已知二次函數(shù)y＝(x－m)2－1.
（1）當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；
（2）如下圖，當(dāng)m＝2時(shí)，該拋物線與軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求C、D 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

【答案】（1）y＝x2＋2x或y＝x2－2x；（2）C(0，3)，D(2，－1)
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），直接代入求出m的值即可得二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)m=2，代入求出二次函數(shù)解析式，進(jìn)而利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)以及圖象與y軸交點(diǎn)即可．
【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)，
∴代入二次函數(shù)y＝(x－m)2－1得m2－1＝0，得m＝±1，
所以二次函數(shù)的解析式為y＝x2＋2x或y＝x2－2x；
（2）當(dāng)m＝2時(shí)，y＝(x－2)2－1，
∴D(2，－1)，
又當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，
∴C(0，3)
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)以等知識(shí)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．
12．（2023九年級(jí)·天津武清·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．
(1)寫出拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)P坐標(biāo)；
(2)若拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，求三角形的面積．
【答案】(1)對(duì)稱軸為軸，開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為
(2)
【分析】（1）由拋物線的性質(zhì)可得答案；
（2）由、，頂點(diǎn)P坐標(biāo)為；可得的面積．
【詳解】（1）解：∵，
∴拋物線的開口方向向上、對(duì)稱軸為直線、頂點(diǎn)P坐標(biāo)為；
（2）解：如圖，

∵、，頂點(diǎn)P坐標(biāo)為；
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形面積，熟記拋物線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
13．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上．
(1)求該拋物線的對(duì)稱軸；
(2)已知，當(dāng)，y的取值范圍是，求a，m的值．
【答案】(1)直線
(2)，
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式：
（1）：把代入中得，再根據(jù)對(duì)稱軸計(jì)算公式求解即可；
（2）根據(jù)題意可得，再由拋物線開口向上，得到離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線；
（2）解：∵，
∴，
∴
∵，
∴拋物線開口向上，
∴離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，
∵當(dāng)，y的取值范圍是，
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為，
∴，
解得或（舍去）．
14．（2023九年級(jí)·北京通州·期中）已知二次函數(shù)在和時(shí)的函數(shù)值相等．
(1)求二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸；
(2)過作x軸的平行線與二次函數(shù)的圖像交于不同的兩點(diǎn)M、N．當(dāng)時(shí)，求b的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根據(jù)對(duì)稱軸為對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)和的一半計(jì)算即可．
(2)設(shè)，，根據(jù)對(duì)稱軸為直線，，得到，求得值后，利用對(duì)稱軸和點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算即可；
本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)在和時(shí)函數(shù)值相等，
∴對(duì)稱軸為直線．
（2）∵過作x軸的平行線與二次函數(shù)的圖像交于不同的兩點(diǎn)M、N，
設(shè)點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，設(shè)，，
∵對(duì)稱軸為直線，，
∴，
解得，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為
∴，，
∴，．
15．（2023·江蘇常州·二模）已知二次函數(shù)．
(1)若該二次函數(shù)的最大值為，求m的值；
(2)若該二次函數(shù)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后得新二次函數(shù)圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)圖像的平移問題：
（1）把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式得到當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值，則，解之即可；
（2）求出平移后的解析式為，根據(jù)題意結(jié)合二次函數(shù)圖像的性質(zhì)可得平移后的拋物線頂點(diǎn)一定在x軸上方，則．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)解析式為，
∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值，
∵該二次函數(shù)的最大值為，
∴，
∴；
（2）解：把二次函數(shù)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后得新二次函數(shù)解析式為，
∵平移后的拋物線解析式與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，且拋物線開口向下，
∴平移后的拋物線頂點(diǎn)一定在x軸上方，
∴．

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