資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第11講 二次函數(shù)與一元二次方程
·模塊一 二次函數(shù)表達(dá)式的確定
·模塊二 二次函數(shù)與一元二次方程
·模塊三 課后作業(yè)
用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：
（1）一般式：y=ax +bx+c，已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式；
（2）頂點式：y=a（x-h) +k，已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式；
（3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點式：y=a（x-x1)（x-x2).
【考點1 用“一般式”求二次函數(shù)表達(dá)式】
【例1.1】（2023九年級·浙江·專題練習(xí)）一個二次函數(shù)，當(dāng)x＝0時，y＝﹣5；當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣4；當(dāng)x＝﹣2時，y＝5，則這個二次函數(shù)的關(guān)系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
【答案】A
【分析】設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由當(dāng)x＝0時，y＝﹣5；當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣4；當(dāng)x＝﹣2時，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程組，解方程組確定a，b，c的值即可．
【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵當(dāng)x＝0時，y＝﹣5；當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣4；當(dāng)x＝﹣2時，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③組成的方程組得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函數(shù)的關(guān)系式為：y＝4x2+3x﹣5．
故選：A．
【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式．設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），通過解方程組確定a，b，c的值．
【例1.2】（2023·廣西南寧·二模）如圖，，，，拋物線過O、A、B三點，則該拋物線的解析式為 ．

【答案】/
【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．先求出，然后用待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】如圖，作于點C

∵，，，
∴，
∴，
設(shè)函數(shù)解析式為，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【例1.3】（2023九年級·江蘇南通·階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過、兩點．
(1)求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；
(2)點P為拋物線上一點、若，求出此時點P的坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）將、兩點代入，解得b、c即可得到解析式，再化為頂點式即可得到頂點坐標(biāo)；
（2）設(shè)點，根據(jù)三角形面積公式以及，即可算出y的值，代入拋物線解析式即可得到P點坐標(biāo)．
【詳解】（1）將、兩點代入，
，
解得，
拋物線解析式為，
，
頂點坐標(biāo)為；
（2） 、，
，
設(shè)點，則，
，
當(dāng)時，，
解得，，
此時或；
當(dāng)時，，
此時方程無解；
綜上所述，P點坐標(biāo)為或．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法，配方法，頂點坐標(biāo)的求法，坐標(biāo)系中三角形的面積以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求得解析式．
【變式1.1】（2023九年級·河北唐山·期中）已知二次函數(shù)，幾組該函數(shù)x與y的對應(yīng)值如表：
x … 1 2 …
y … 0 m 3 …
(1)求此二次函數(shù)的解析式；
(2)求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、求二次函數(shù)的函數(shù)值等知識點．注意計算的準(zhǔn)確性．
（1）將點，代入即可建立方程組求解；
（2）令代入解析式函數(shù)即可求m的值．
【詳解】（1）解：將點，代入得：
，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為：
（2）解；令，則.
【變式1.2】（2023九年級·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點．求b，c的值．
【答案】，
【分析】把點和點分別代入，即可作答
【詳解】解：由題意知，把點和點分別代入，
得，
解得，
所以b，c的值分別為和．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的b，c的值，難度較小．
【變式1.3】（2023九年級·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點．
(1)求和的值；
(2)試判斷點是否在此函數(shù)圖像上？
【答案】(1)
(2)不在
【分析】（1）已知了拋物線上兩點的坐標(biāo)，可將其代入拋物線中，通過聯(lián)立方程組求得、的值；
（2）將點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可判斷出點是否在拋物線的圖象上．
【詳解】（1）解：把，兩點代入二次函數(shù)得
，
解得，；
（2）解：由（1）得，
把代入，得，
點在不在此函數(shù)圖象上．
【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式的方法，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法與步驟是解決問題的關(guān)鍵．
【考點2 用“頂點式”求二次函數(shù)表達(dá)式】
【例2.1】（2023九年級·安徽淮北·階段練習(xí)）若某二次函數(shù)圖象的形狀和開口方向與拋物線相同，且頂點坐標(biāo)為，則它的表達(dá)式為 ．
【答案】
【分析】利用頂點式求解即可．
【詳解】圖象頂點坐標(biāo)為，
可以設(shè)函數(shù)解析式為，
又∵二次函數(shù)圖象的形狀和開口方向與拋物線相同，
∴，
∴這個函數(shù)解析式為：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，如果已知三點坐標(biāo)可以利用一般式求解，若已知對稱軸或頂點坐標(biāo)利用頂點式求解比較簡單．
【例2.2】（2023九年級·吉林松原·期末）一個二次函數(shù)圖象的頂點為，圖象又過點，求二次函數(shù)的解析式．
【答案】．
【分析】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，設(shè)出頂點式，把，代入求解即可．
【詳解】解：∵拋物線的頂點為，
∴設(shè)拋物線解析式為，
把代入得，
解得，
∴．
【例2.3】（2023九年級·吉林白山·階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點，它的對稱軸為直線，且函數(shù)有最小值為．求拋物線的解析式．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，由拋物線的稱軸為直線，且函數(shù)有最小值為可知拋物線的頂點坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，把代入即可求解．
【詳解】解：∵拋物線的稱軸為直線，且函數(shù)有最小值為，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線解析式為，
把代入，得
，
解得．
∴拋物線的解析式．
【變式2.1】（2023九年級·廣東東莞·期中）拋物線的對稱軸為直線，最小值為，且與y軸的交點坐標(biāo)為（0，3）的拋物線的解析式為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意設(shè)出頂點式為，然后將代入求解即可．
【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，最小值為，
∴設(shè)頂點式為，
將代入得，，解得
∴拋物線的解析式為．
故答案為：．
【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式．
【變式2.2】（2023九年級·福建·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)圖象的頂點為P（－1，3），且與y軸交于點A（0，2），求該函數(shù)的解析式并畫出該函數(shù)的圖象．
【答案】；圖象見解析
【分析】根據(jù)頂點 設(shè)出二次函數(shù)的頂點式 ，將點代入得到的值，即可得到答案，最后畫出函數(shù)圖象即可．
【詳解】解：拋物線的頂點為
設(shè)出二次函數(shù)的頂點式，
將點代入，得，解得，
二次函數(shù)的解析式為，
圖象如圖所示．
【點睛】本題主要考查求二次函數(shù)的解析式以及函數(shù)的圖象，掌握求二次函數(shù)解析式得方法是解題的關(guān)鍵．
【變式2.3】（2023九年級·廣東中山·開學(xué)考試）一個二次函數(shù)圖象的頂點為，圖象又過點．求二次函數(shù)的解析式，并求出該函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)．
【答案】，該函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)為．
【分析】本題考查求二次函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．設(shè)拋物線為頂點式，將代入解析式求解，再令得，解出方程，即可求得該函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)．
【詳解】解：拋物線的頂點為，
設(shè)拋物線解析式為，
把代入得，
解得，
，即，
令得，
解得：，
∴該函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)為．
【考點3 用“交點式”求二次函數(shù)表達(dá)式】
【例3.1】（2023九年級·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，拋物線分別經(jīng)過點，，．求拋物線的函數(shù)解析式．
【答案】/
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．
設(shè)交點式，然后把C點坐標(biāo)代入求a即可；
【詳解】解：拋物線經(jīng)過點，，
設(shè)拋物線的解析式為：，
代入得：，
解得：，
拋物線的解析式：．
【例3.2】（2023·江蘇南京·二模）如圖，在水平向右為軸正方向，豎直向上為軸正方向的坐標(biāo)系中標(biāo)記了個格點，已知網(wǎng)格的單位長度為，若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過其中的個格點，則的最大值為( )
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，不共線三點確定拋物線解析式，根據(jù)開口向上，開口越小越大，進而建立坐標(biāo)系，求解析式求得的值，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，
依題意，經(jīng)過點時，拋物線開口向上，的值最大，
∵，
設(shè)拋物線解析式為，將代入得，
解得：
故選：D．
【例3.3】（2023九年級·江西南昌·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線交軸于兩點，交軸于點，，求拋物線的解析式和的長．

【答案】；
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理；求出二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．由題意設(shè)拋物線的解析式為交點式，根據(jù)得點C的坐標(biāo)，并代入拋物線解析式中，即可求解；由勾股定理即可求出的長．
【詳解】解：拋物線交軸于兩點，故設(shè)拋物線解析式為，
∵，
∴，
把點C坐標(biāo)代入中，得，
∴，
∴，
化為一般式為：；
∵，
∴，
由勾股定理得：．
【變式3.1】（2023九年級·廣東湛江·課后作業(yè)）已知拋物線經(jīng)過點(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求拋物線的解析式．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為：，再將點(0，-2)代入，求出a的值，最后改為一般式即可．
【詳解】∵拋物線經(jīng)過點(3，0)，(-1，0)，
故可設(shè)該拋物線的解析式為：，
∵該拋物線又經(jīng)過點(0，-2)，
∴
解得：
∴該拋物線的解析式為：
整理，得：．
【點睛】本題考查求拋物線解析式．掌握交點式和利用待定系數(shù)法求解析式是解題關(guān)鍵．
【變式3.2】（2023九年級·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點，，，求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式
【答案】
【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)出拋物線的表達(dá)式為，將點代入求解即可．
【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點，，，
∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
將點代入得：，解得：，
∴．
∴該拋物線的函數(shù)關(guān)系式為．
【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式．
【變式3.3】（2023九年級·浙江杭州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，是常數(shù)，且的圖象與軸的交點坐標(biāo)為和，其中．
(1)當(dāng)時，求，的值．
(2)求證：．
【答案】(1)、的值分別為，
(2)證明見解析
【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式：
（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為，從而得到，求解；
（2）根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為，從而得到，即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，拋物線與軸的交點坐標(biāo)為和，
可設(shè)拋物線解析式為，
即，
，
解得，
，
即、的值分別為，；
（2）證明：設(shè)拋物線解析式為，
即，
，
，
，
，
．
【規(guī)律方法綜合練】
【題型1】（2023九年級·福建泉州·期末）選你喜歡的、、的值，使二次函數(shù) 的圖象同時滿足下列條件:
①它的圖象不經(jīng)過第三象限；
②圖象經(jīng)過點；
③當(dāng)時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，這樣的二次函數(shù)的表達(dá)式可以是 ．
【答案】 (答案不唯一)
【分析】首先由①得到；由③得到對稱軸為，即 ；由②得到頂點，即可得出答案．
【詳解】解：二次函數(shù)，
①它的圖象不經(jīng)過第三象限，
；
③當(dāng)時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，
故對稱軸為，即；
②得到頂點，故可設(shè)頂點式為；
可取，二次函數(shù)的解析式是．故答案為：
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練運用性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．此題是一道開放型的題目．
【題型2】（2023九年級·浙江杭州·階段練習(xí)）根據(jù)下列條件，分別求出二次函數(shù)的解析式．
(1)已知圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣8），且過點（0，﹣6）；
(2)已知圖象經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（0，3），且對稱軸為直線x＝1．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用頂點式代入頂點坐標(biāo)，進而得出答案；
（2）利用一般式代入，進而計算得出答案．
【詳解】（1）解：∵圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣8），且過點（0，﹣6），
∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，
把（0,﹣6）代入得：
，
解得：a＝2，
故二次函數(shù)的解析式為：；
（2）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把A（﹣1,0）、B（0,3），對稱軸為直線x＝1代入得：
，
解得：，
故二次函數(shù)解析式為：．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法并根據(jù)條件設(shè)出合適的二次函數(shù)表達(dá)式是解本題的關(guān)鍵．
【題型3】（2023·河北邯鄲·二模）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，）．
(1)若該函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點，求函數(shù)的表達(dá)式；
(2)已知，當(dāng)（是實數(shù)，）時，該函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值分別為若，求證：．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，代數(shù)式的化簡，并利用配方法判斷代數(shù)式的取值范圍，第（2）小問的關(guān)鍵是利用，首先對代數(shù)式化簡，然后配方說明的范圍．
（1）使用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，將兩點坐標(biāo)代入，解二元一次方程組即可．
（2）已知，則，容易得到，利用，即代入，對代數(shù)式進行化簡，并配方得出，最后注意利用條件判斷，得證．
【詳解】（1）由題意，得
解得,
所以，該函數(shù)表達(dá)式為．
（2）由題意，得，，
所以
，
由條件，知，
所以．
【拓廣探究創(chuàng)新練】
【題型1】（2023·吉林長春·一模）對于二次函數(shù)（，a為整數(shù)），有四種說法：①函數(shù)與x軸的一個交點為；②對稱軸為直線；③當(dāng)時，函數(shù)的最小值為3；④點在函數(shù)圖象上．若其中只有一個說法是錯誤的，則a的值為 ．
【答案】5
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題可判斷A、C中有一個是錯誤的，進而判斷選項①、②、④或②、③、④組合得到的解析式是否符合題意即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵①選項中函數(shù)圖象與x軸的一個交點為，
即函數(shù)圖象與x軸有交點，
③選項中時函數(shù)的最小值為3，即函數(shù)圖象與x軸無交點，
∴選項①和③中有一個是錯誤的．
若選項①、②、④均正確．
∵函數(shù)與x軸的一個交點為，對稱軸為直線，
∴函數(shù)與x軸另一個交點為．
∴該函數(shù)解析式可表示為．
∵點在函數(shù)圖象上，
∴，
解得：．
∵a為整數(shù)，
∴不符合題意；
若選項②、③、④均正確．
∵對稱軸為直線，函數(shù)的最小值為3，
∴設(shè)拋物線的解析式為．
∵點在函數(shù)圖象上，
∴．
解得：，符合a為整數(shù)的條件．
故答案為：5．
【題型2】（2023·黑龍江·三模）如圖，拋物線的頂點坐標(biāo)為，對稱軸與x軸交于點E，與x軸交于點A，B兩點，請回答下列問題．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點P在y軸上，且，求線段的長．
【答案】(1)
(2)1或
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和勾股定理的應(yīng)用，求得頂點坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵．
（1）用待定數(shù)法求二次函數(shù)的解析式即可．
（2）先求出A，B兩點之間的坐標(biāo)，即可求出，根據(jù)求出點P的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點之間的距離求出的長即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標(biāo)為
∴
解得：
∴拋物線的解析式為．
（2）令，則，
解得，
∴，，
∴，
∴．
①當(dāng)時，
②當(dāng)時，
綜上：的長為1或．
【題型3】（2023九年級·浙江金華·期末）在“探索函數(shù)的系數(shù)，，與圖象的關(guān)系”活動中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的四個點：，，，同學(xué)們探索了經(jīng)過這四個點中的三個點的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中的值最大為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解本題的關(guān)鍵要熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．待定系數(shù)法分別求出表達(dá)式比較的大小即可．
【詳解】解：設(shè)過、、三點的拋物線表達(dá)式為：，則有，
，
解得：，
設(shè)過、、三點的拋物線表達(dá)式為：，則有，
，
解得：，
設(shè)過、、三點的拋物線表達(dá)式為：，則有，
，
解得：，
設(shè)過、、三點的拋物線表達(dá)式為：，則有，
，
解得：，
，
的值最大為：．
故選：B．
直線與拋物線的交點：
（1）y軸與拋物線y=ax +bx+c的交點為(0, c);
（2）與y軸平行的直線x=h與拋物線y=ax +bx+c有且只有一個交點(h,ah +bh+c).
（3）拋物線與x軸的交點
二次函數(shù)y=ax +bx+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)x1、x2，就是對應(yīng)一元二次方程y=ax +bx+c的兩個實數(shù)根.
拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點 Δ＞0 拋物線與x軸相交；
②有一個交點（頂點在x軸上） Δ=0 拋物線與x軸相切；
③沒有交點 Δ＜0 拋物線與x軸相離.
【考點1 二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系】
【例1.1】（2023九年級·北京石景山·期末）若拋物線與x軸只有一個交點，則m的值為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查二次函數(shù)與軸的交點問題．二次函數(shù)與軸有兩個交點，則；與軸有一個交點，則；與軸沒有交點，則．據(jù)此即可求解．
【詳解】解：由題意得：．
解得：，
故選：D
【例1.2】（2023九年級·安徽阜陽·期中）若拋物線與x軸的交點為，，則關(guān)于x的一元二次方程的解為（ ）
A．， B．
C． D．，
【答案】A
【分析】本題考查二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，理解關(guān)于x的方程的根就是函數(shù)與x軸的交點橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵拋物線與x軸的交點為，，
∴一元二次方程的解為，，
故選A．
【例1.3】（2023九年級·湖北省直轄縣級單位·期中）拋物線與軸的交點個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用拋物線與軸交點個數(shù)與的關(guān)系得出即可．
【詳解】解：，
拋物線與軸有個交點．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了拋物線與軸的交點，正確求出的值是解題關(guān)鍵．
【變式1.1】（2023九年級·重慶江津·階段練習(xí)）小明畫出二次函數(shù)的圖像如下圖，則關(guān)于的方程的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于熟知二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)即為對應(yīng)一元二次方程的解．
【詳解】解：由函數(shù)圖象可知二次函數(shù)與x軸的兩個交點坐標(biāo)為，
∴關(guān)于的方程的解為，
故選：B．
【變式1.2】（2023九年級·山西呂梁·階段練習(xí)）若拋物線與x軸沒有交點，則c的值可以是（　　）
A． B．0 C．2 D．5
【答案】D
【分析】本題考查拋物線與x軸的交點問題，解題關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
根據(jù)拋物線與x軸沒有交點，知無解，根據(jù)根的判別式小于0，列不等式求解．
【詳解】解：∵拋物線與x軸沒有交點，
無解，
，
解得，
故選：D．
【變式1.3】（2023九年級·甘肅隴南·期末）拋物線與x軸的兩個交點之間的距離是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】先求出函數(shù)圖像與x軸交點的坐標(biāo)，進而即可求解．
【詳解】解：當(dāng)時，，
解得：，，
∴拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為和，
∴拋物線與x軸的兩個交點之間的距離：，
故選：D．
【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，解一元二次方程；正確理解題意，求出拋物線與x軸交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
【考點2 利用二次函數(shù)的圖象解一元二次不等式】
【例2.1】（2023九年級·吉林松原·階段練習(xí)）如圖是二次函數(shù)的部分圖象，其與軸的一個交點坐標(biāo)為，對稱軸為直線，則當(dāng)時，的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】
本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是得到拋物線與x軸的另一個交點．根據(jù)拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)和對稱軸，由拋物線的對稱性可求拋物線與x軸的另一個交點，再根據(jù)拋物線的增減性可求當(dāng)時，x的取值范圍．
【詳解】解：∵拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為，對稱軸為直線，
即拋物線與x軸的另一個交點橫坐標(biāo)為，
∴拋物線與x軸的另一個交點為，
由圖象可知，當(dāng)時，x的取值范圍是．
故答案為：．
【例2.2】（2023九年級·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則當(dāng)時，函數(shù)值y的取值范圍是 ．

【答案】
【分析】根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)得到當(dāng)橫坐標(biāo)時的縱坐標(biāo)范圍即可．
【詳解】解：由圖象可知，
當(dāng)時，函數(shù)值的取值范圍，
故答案為：．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
【例2.3】（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點和．
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點坐標(biāo)．
(2)當(dāng)時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．
【答案】(1)，頂點坐標(biāo)為
(2)或
【分析】
本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，求出函數(shù)表達(dá)式．
（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，配成頂點式即可得頂點坐標(biāo)；
（2）求出、B關(guān)于對稱軸的對稱點坐標(biāo)，由圖象直接可得答案．
【詳解】（1）
把和代入得：
，
解得，
二次函數(shù)的表達(dá)式為，
，
頂點坐標(biāo)為；
（2）
如圖：
點關(guān)于對稱軸直線的對稱點，點關(guān)于對稱軸直線的對稱點，
由圖像可得，當(dāng)時，的范圍是或．
【變式2.1】（2023九年級·全國·專題練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時，的取值范圍是 ．
【答案】或
【分析】本題考查拋物線與軸的交點，正確利用數(shù)形結(jié)合進行解答是解題關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)圖象求出與軸的交點坐標(biāo)，再由圖象得出答案．
【詳解】解：由可得，，，
觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時，函數(shù)值．
故答案為：或．
【變式2.2】（2023九年級·北京平谷·期中）已知二次函數(shù)．
(1)將化成的形式，并寫出頂點坐標(biāo)；
(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系中，畫出它的示意圖；
(3)當(dāng)時，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)，頂點坐標(biāo)為
(2)見解析
(3)
【分析】此題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)：
（1）根據(jù)配方法配成頂點式解析式，即可求出頂點坐標(biāo)；
（2）利用五點法畫出函數(shù)圖象；
（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；
【詳解】（1）解：，
∴頂點坐標(biāo)為；
（2）
（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，，
∵頂點坐標(biāo)，
∴當(dāng)時，函數(shù)有最小值，
∴當(dāng)時， 的取值范圍是．
【變式2.3】（2023·四川瀘州·一模）設(shè)二次函數(shù)，當(dāng)時，總有，當(dāng)時，總有，那么c的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，根據(jù)題意可知當(dāng)時，，據(jù)此可得，再由當(dāng)時，，得到，解之即可得到答案．
【詳解】解：∵二次函數(shù)，當(dāng)時，總有，當(dāng)時，總有，
∴當(dāng)時，，
∴，
∴，
∵當(dāng)時，總有，
∴當(dāng)時，，
∴，
∴，
∴，
故選；B．
【考點3 利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解】
【例3.1】（2023九年級·河南洛陽·期末）根據(jù)下表列出的函數(shù)的幾組與的對應(yīng)值，判斷方程一個解的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，便可求值根的范圍．
【詳解】解：由表格數(shù)據(jù)可知：當(dāng)時，；當(dāng)，
∴一個根的范圍是：
故選：C．
【點睛】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程根之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確理解題意是解題關(guān)鍵．
【例3.2】（2023九年級·江蘇連云港·期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表，
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
則方程ax2+bx+c＝0的一個解的范圍是 ．
【答案】6.18＜x＜6.19
【分析】根據(jù)表格中自變量、函數(shù)的值的變化情況，得出當(dāng)y＝0時，相應(yīng)的自變量的取值范圍即可．
【詳解】由表格數(shù)據(jù)可得，當(dāng)x＝6.18時，y＝﹣0.01，當(dāng)x＝6.19時，y＝0.02，
∴當(dāng)y＝0時，相應(yīng)的自變量x的取值范圍為6.18＜x＜6.19，
故答案為：6.18＜x＜6.19．
【點睛】本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，解題的關(guān)鍵是找到y(tǒng)由正變?yōu)樨?fù)時，自變量的取值即可．
【例3.3】（2023九年級·山西晉中·階段練習(xí)）由表的對應(yīng)值知，一元二次方程（a，b，c為常數(shù)，）的一個根的百分位上的數(shù)字是 ．
x 3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
【答案】4
【分析】根據(jù)表格可得當(dāng)時，；當(dāng)時，，由此得到一元二次方程（a，b，c為常數(shù)，）的一個根在3.24與3.25之間，由此得到答案．
【詳解】解：由表格得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
故一元二次方程（a，b，c為常數(shù)，）的一個根在3.24與3.25之間，
∴一元二次方程（a，b，c為常數(shù)，）的一個根的百分位上的數(shù)字是4，
故答案為：4．
【點睛】此題考查了一元二次方程的根的情況，正確理解一元二次方程的表示方法是解題的關(guān)鍵．
【變式3.1】（2023九年級·河北承德·期末）下表是一組二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一個近似根是 ；
【答案】1.2
【分析】觀察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【詳解】解：觀察表格得：方程的一個近似根為1.2．
故答案為：1.2．
【點睛】本題主要考查了圖象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．
【變式3.2】（2023九年級·北京房山·期中）在關(guān)于x的二次函數(shù)中，自變量x可以取任意實數(shù)，下表是自變量x與函數(shù)值y的幾組對應(yīng)值：
x … 1 2 3 4 5 6 7 8 …
… 1.4 7.0 14.6 24.2 35.8 …
根據(jù)以上信息，關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根中，其中的一個實數(shù)根約等于
（保留小數(shù)點后一位小數(shù)）．
【答案】3.7（答案不唯一）
【分析】根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以寫出一個符合題意的值，注意本題答案不唯一，但要接近．
【詳解】解：由表格可知，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根中，其中的一個實數(shù)根約等于3.7，
故答案為：3.7（答案不唯一）．
【點睛】本題考查拋物線與軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出一個符合要求的即可，本題答案不唯一．
【變式3.3】（2023九年級·陜西安康·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
… －6 －1 ______ 3 2 ______ －6 …
(1)填寫表，并在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；
(2)根據(jù)表格結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出方程的近似解（指出在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間即可）．
【答案】(1)表見解析，圖見解析
(2)兩個近似根分別在之間和之間
【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)代入解析式即可求解，然后根據(jù)描點法畫出函數(shù)圖象即可；
（2）根據(jù)表格結(jié)合函數(shù)圖象，根據(jù)拋物線與軸的交點，即可直接寫出方程的近似解在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間．
【詳解】（1）解：由，令，，
令，
填表如下：
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
… －6 －1 2 3 2 －1 －6 …
所畫圖象如圖：
（2）由圖象可知，方程的兩個近似根分別在之間和之間．
【點睛】本題考查了畫二次函數(shù)圖象，求函數(shù)值，圖象法解一元二次方程，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
【規(guī)律方法綜合練】
【題型1】（2023九年級·遼寧大連·期末）已知拋物線經(jīng)過點，當(dāng)時，，則m的值可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】先求出拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)圖象進行求解即可．
【詳解】解：當(dāng)時，則，
解得或，
∴拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)為，
∴由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，，
∵拋物線經(jīng)過點，當(dāng)時，，
∴，
故選B．
【點睛】本題主要考查了圖象法解不等式，正確求出拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
【題型2】（2023·江西九江·二模）已知一次函數(shù)與二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中．
(1)當(dāng) 時，求兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．
(2)如果兩個函數(shù)圖象沒有交點，求m的取值范圍．
(3)如圖，當(dāng) 時，點P和點Q分別是兩個函數(shù)圖象上的任意一點．
①當(dāng)軸時，求 的最小值；
②當(dāng)軸時，求 的最小值．
【答案】(1)或
(2)
(3)①；②
【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)交點問題；
（1）當(dāng)時，一次函數(shù)為y= 二次函數(shù)為 ，聯(lián)立解析式，解方程，即可求解．
（2）聯(lián)立解析式，根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義，即可求解；
（3）當(dāng) 時，一次函數(shù)為y= 二次函數(shù)為
①設(shè) ，表示出，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
②設(shè) ，表示出，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：（1）當(dāng)時，一次函數(shù)為y= 二次函數(shù)為
聯(lián)立方程組
解得 或
∴交點坐標(biāo)為或；
（2）由
得
∵兩個函數(shù)圖象沒有交點，
∴
得
（3）當(dāng) 時，一次函數(shù)為二次函數(shù)為
①∵軸
設(shè) ，
∴當(dāng) 時，
②設(shè)
∵軸，
∴當(dāng) 時，
【題型3】（2023·安徽池州·三模）已知拋物線的頂點坐標(biāo)為，試求：
（1） ；
（2）若關(guān)于的一元二次方程在或的范圍內(nèi)有實數(shù)根，則的取值范圍是 ．
【答案】 1 或
【分析】（1）根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)可求出b，c的值，從而可得結(jié)論；
（2）把一元二次方程變形為，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（，）
又∵頂點坐標(biāo)為（1，2）
∴
解得，
∴
故答案為：1；
（2）∵
∴
∴
如圖①，
在時，有實數(shù)根，的取值為
如圖②
在時，有實數(shù)根，的取值為
故答案為：或
【點睛】本題考查拋物線與直線的交點問題，解題的關(guān)鍵畫出函數(shù)圖象，分情況討論，從而求出的范圍．
【拓廣探究創(chuàng)新練】
【題型1】（2023·江蘇泰州·二模）函數(shù)與軸的交點至少有一個在軸的左側(cè)，則的范圍是 ．
【答案】
【分析】求出函數(shù)與軸的交點的坐標(biāo)，由此即可得出答案．
【詳解】解：方程可變形為，
解得或，
函數(shù)與軸的交點坐標(biāo)為和，
函數(shù)與軸的交點至少有一個在軸的左側(cè)，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．
【題型2】（2023九年級·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)自變量x的取值在的范圍時，函數(shù)的圖像與x軸有兩個公共點，則n的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先確定拋物線的對稱軸為直線x=－1，若函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點，利用根的判別式得到4+4n≥0，再由在的范圍時，函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點，利用函數(shù)的圖象性質(zhì)得到當(dāng)x=－2時，y≥0，從而求解即可．
【詳解】∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，且開口向上，
∵當(dāng)自變量x的取值在的范圍時，函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點，
∴，且當(dāng)x=－2時，，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題意列出相應(yīng)的不等式是解題的關(guān)鍵．
【題型3】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)，已知函數(shù)與x軸相交于，且函數(shù)的對稱軸為直線，則的根的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)等等，先根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出二次函數(shù)與x軸相交于，再由二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)時，，最后根據(jù)的根可以看做是二次函數(shù)與直線的交點的橫坐標(biāo)即可得到答案．
【詳解】解：∵二次函數(shù)與x軸相交于，且函數(shù)的對稱軸為直線，
∴二次函數(shù)圖象與x軸另一個交點為，
∵，
∴函數(shù)開口向上，
∴離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，
∴當(dāng)時，
∵的根可以看做是二次函數(shù)與直線的交點的橫坐標(biāo)，
∴，
故選：D．
1．（2023九年級·云南·專題練習(xí)）已知是的二次函數(shù)，與的對應(yīng)值如下表：
則其表達(dá)式為
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的對稱性找到頂點坐標(biāo)，設(shè)，代入，求即可．
【詳解】解：由表可知：關(guān)于對稱軸的對稱點是，
二次函數(shù)對稱軸是直線，
二次函數(shù)頂點坐標(biāo)是，
設(shè)二次函數(shù)解析式是，
把代入得：
，
解得：，
二次函數(shù)解析式是，
故選：B．
2．（2023九年級·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期中）下表給出了二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值：
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … 0.75 1.16 …
那么下列各選項中可能是方程的近似根的是（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】B
【分析】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根．通過表中數(shù)據(jù)確定拋物線與x軸的交點橫坐標(biāo)的范圍，從而得到一元二次方程的根(由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的)．
【詳解】解：由表可知當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
∴拋物線與x軸的一個交點在點與之間，更靠近點，
∴方程的一個根的近似值約為，
故選：B．
3．（2023·河南安陽·模擬預(yù)測）如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點，其對稱軸是直線，則不等式的解集是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，二次函數(shù)的對稱性，先根據(jù)對稱性求出點也在改二次函數(shù)圖象上，再根據(jù)函數(shù)圖象即可得到答案．
【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與y軸交于點，其對稱軸是直線，
∴點也在改二次函數(shù)圖象上，
∴由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，或，
∴不等式的解集是或，
故選：D．
4．（2023·河南濮陽·二模）如圖，是拋物線 的圖象，圖象交x軸于點A、B，交y軸于點C，關(guān)于x的一元二次方程 根的情況為（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根
【答案】A
【分析】本題考查拋物線與軸的交點判斷一元二次方程根的情況，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法可得答案．
【詳解】解：函數(shù)圖象開口向下．圖象交x軸于點A、B，
∴一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；
故選：A．
5．（2023·廣東廣州·二模）已知二次函數(shù)，當(dāng)時有最大值8，其圖象經(jīng)過點，則其與y軸的交點坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，由于已知頂點坐標(biāo)，則可設(shè)頂點式，再把點代入求出a即可得到拋物線解析式，然后把頂點式化為一般式，再確定其與y軸的交點坐標(biāo)即可．
【詳解】解：由已知條件可得拋物線的頂點坐標(biāo)為，可設(shè)解析式為，
代入點，得．
所以該二次函數(shù)的解析式為，
化成一般式為．
當(dāng)時，，
所以，拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為，
故選：C．
6．（2023九年級·江蘇常州·階段練習(xí)）如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，那么的值為 ．
【答案】1
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，將原點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中求解即可．
【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，
∴，則，
故答案為：1．
7．（2023九年級·北京·期中）如圖，拋物線與直線的兩個交點坐標(biāo)分別為A(﹣3，6)，，則方程的解是 ．
【答案】，
【分析】利用圖象法即可解決問題，方程的解就是兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo)．
【詳解】解：由圖象可知，關(guān)于x的方程的解，就是拋物線（a≠0）與直線（b≠0）的兩個交點坐標(biāo)分別為A(﹣3，6)，B(1，3)的橫坐標(biāo)，
即，．
故答案為：，．
【點睛】本題考查拋物線與x軸交點、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識，學(xué)會利用圖象法解決實際問題．
8．（2023·甘肅隴南·三模）如圖是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】
利用拋物線的對稱性得到拋物線與軸的另一個交點坐標(biāo)為，然后寫出拋物線在軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．
本題考查了二次函數(shù)與不等式（組）：利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點直觀求解，也可把兩個函數(shù)解析式列成不等式求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
【詳解】
解：拋物線的對稱軸為直線，
而拋物線與軸的一個交點坐標(biāo)為，
拋物線與軸的另一個交點坐標(biāo)為，
當(dāng)時，．
故答案為：．
9．（2023九年級·河北邢臺·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點坐標(biāo)為，若拋物線與軸相交于，兩點，則 ． ．
【答案】 4
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，先求得解析式，進而求得的值，令，進而得出的長．
【詳解】解：∵中，，頂點坐標(biāo)為，
∴拋物線解析式為 ，則，
令，則，
解得：
∴,
故答案為：，．
10．（2023·江蘇淮安·三模）如圖，二次函數(shù)的圖像的頂點為C，該二次函數(shù)的圖像與x軸相交于A、B兩點，連接，若，，則a的值是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查拋物線與坐標(biāo)軸交點問題，勾股定理，正確運用待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．
過作軸于點，可求，設(shè)出各點坐標(biāo)，則，，重新設(shè)拋物線表達(dá)式為，代入點C即可求解．
【詳解】解：過作軸于點．
由題意可知，
，
，
設(shè)，則，，
拋物線解析式為，
把代入得：
，
解得：，
故答案為：．
11．（2023九年級·湖南郴州·期中）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸分別交于點A，B與C．

(1)求點A，B，C的坐標(biāo)；
(2)直接寫出當(dāng)函數(shù)值時，自變量x的取值范圍．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，熟記相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
（1）令得到，解方程得到，， 即可求出，，然后令，即可求出點C的坐標(biāo)；
（2）結(jié)合函數(shù)圖像，取函數(shù)圖像位于x軸下方部分，寫出x取值范圍即可．
【詳解】（1）令，則，
解得 ，，
∴，
令，則，
∴；
（2）∵，
∴圖像位于x軸下方，
∴x取值范圍為．
12．（2023九年級·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象過點．
(1)求此二次函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)時，直接寫出的取值范圍____________．
(3)設(shè)此二次函數(shù)圖象與x軸交點分別為、與軸交點為，求的面積．
【答案】(1)；
(2)或
(3)3．
【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，二次函數(shù)綜合：
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出二次函數(shù)與x軸的兩個交點坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)圖象求解即可；
（3）先求出點C的坐標(biāo)，再求出的長即可根據(jù)三角形面積計算公式求出答案．
【詳解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴二次函數(shù)解析式為；
（2）解：在中，當(dāng)時，記得或，
∴二次函數(shù)與x軸的兩個交點坐標(biāo)為，
∴由函數(shù)圖象可知，
當(dāng)時，的取值范圍為或，
故答案為：或；
（3）解：如圖所示，
在中，當(dāng)時，，
∴，
∴，
由（2）可知二次函數(shù)與x軸的兩個交點坐標(biāo)為，
∴，
∴．
13．（2023九年級·廣東中山·期中）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，頂點為，拋物線與y軸交于點，與x軸交于和D兩點．

(1)求此拋物線的解析式；
(2)結(jié)合圖象填空：
①關(guān)于x的一元二次方程的解是 ；
②不等式的解集為 ．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與方程、二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
（1）由圖象可知拋物線頂點為，故設(shè)拋物線解析式為，代入點即可求得a的值；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性求得點，的對稱點，然后根據(jù)圖象即可求得．
【詳解】（1）解：由圖象可知拋物線頂點為，
∴設(shè)拋物線解析式為，
∵拋物線與y軸交于點，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：①∵拋物線對稱軸為直線，
∴關(guān)于直線的對稱點是，
∴關(guān)于x的一元二次方程的解是；
故答案為：；
②∵拋物線對稱軸為直線，
∴的對稱點是，
∴不等式的解集為或，
故答案為：或．
14．（2023·江蘇蘇州·二模）已知函數(shù)．
(1)求證：該函數(shù)的圖象與軸總有公共點；
(2)當(dāng)時，該函數(shù)圖象與軸交于，兩點，求線段長度的取值范圍．
【答案】(1)見解析
(2)．
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與軸的交點，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟知二次函數(shù)與方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）利用根的判別式即可判斷；
（2）解方程求得，，則，，，根據(jù)即可求得線段長度的取值范圍．
【詳解】（1）證明：令，則，
△，
該函數(shù)的圖象與軸總有公共點；
（2）解：由方程，
解得，，
，，
，
，
．
15．（2023·河南周口·二模）如圖，拋物線 交x軸于、B兩點，交y軸于點．
(1)求拋物線的解析式．
(2)點P在拋物線上，橫坐標(biāo)設(shè)為m．
①當(dāng)點P在x軸上方時，直接寫出m的取值范圍；
②若拋物線在點 P右側(cè)部分（含點 P）的最高點的縱坐標(biāo)為，求m的值．
【答案】(1)
(2)①；②或2
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與x軸交點問題，解一元二次方程等知識，
（1）利用待入系數(shù)法求解即可；
（2）①首先求出，然后根據(jù)圖象求解即可；
（3）首先得到對稱軸為，頂點坐標(biāo)為，然后分和兩種情況討論，分別求解即可．
【詳解】（1）由題意，將、兩點坐標(biāo)分別代入已知解析式得；
解得
將代入原解析式得
所求拋物線的解析式為．
（2）①由題意，拋物線交軸于、兩點，又解析式為，，
令，有，解得，．
．
結(jié)合圖象，當(dāng)點在軸上方時，．
②由題意，的對稱軸為，頂點坐標(biāo)為．
當(dāng)時，點右側(cè)部分（含點的最高點的縱坐標(biāo)為，
．
當(dāng)時，點右側(cè)部分（含點）的最高點的縱坐標(biāo)為，
解關(guān)于的方程得：
（不合題意，舍去），．
綜上，符合題意的為或2．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第11講 二次函數(shù)與一元二次方程
·模塊一 二次函數(shù)表達(dá)式的確定
·模塊二 二次函數(shù)與一元二次方程
·模塊三 課后作業(yè)
用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：
（1）一般式：y=ax +bx+c，已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式；
（2）頂點式：y=a（x-h) +k，已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式；
（3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點式：y=a（x-x1)（x-x2).
【考點1 用“一般式”求二次函數(shù)表達(dá)式】
【例1.1】（2023九年級·浙江·專題練習(xí)）一個二次函數(shù)，當(dāng)x＝0時，y＝﹣5；當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣4；當(dāng)x＝﹣2時，y＝5，則這個二次函數(shù)的關(guān)系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
【例1.2】（2023·廣西南寧·二模）如圖，，，，拋物線過O、A、B三點，則該拋物線的解析式為 ．

【例1.3】（2023九年級·江蘇南通·階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過、兩點．
(1)求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；
(2)點P為拋物線上一點、若，求出此時點P的坐標(biāo)．
【變式1.1】（2023九年級·河北唐山·期中）已知二次函數(shù)，幾組該函數(shù)x與y的對應(yīng)值如表：
x … 1 2 …
y … 0 m 3 …
(1)求此二次函數(shù)的解析式；
(2)求m的值．
【變式1.2】（2023九年級·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點．求b，c的值．
【變式1.3】（2023九年級·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點．
(1)求和的值；
(2)試判斷點是否在此函數(shù)圖像上？
【考點2 用“頂點式”求二次函數(shù)表達(dá)式】
【例2.1】（2023九年級·安徽淮北·階段練習(xí)）若某二次函數(shù)圖象的形狀和開口方向與拋物線相同，且頂點坐標(biāo)為，則它的表達(dá)式為 ．
【例2.2】（2023九年級·吉林松原·期末）一個二次函數(shù)圖象的頂點為，圖象又過點，求二次函數(shù)的解析式．
【例2.3】（2023九年級·吉林白山·階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點，它的對稱軸為直線，且函數(shù)有最小值為．求拋物線的解析式．
【變式2.1】（2023九年級·廣東東莞·期中）拋物線的對稱軸為直線，最小值為，且與y軸的交點坐標(biāo)為（0，3）的拋物線的解析式為 ．
【變式2.2】（2023九年級·福建·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)圖象的頂點為P（－1，3），且與y軸交于點A（0，2），求該函數(shù)的解析式并畫出該函數(shù)的圖象．
【變式2.3】（2023九年級·廣東中山·開學(xué)考試）一個二次函數(shù)圖象的頂點為，圖象又過點．求二次函數(shù)的解析式，并求出該函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)．
【考點3 用“交點式”求二次函數(shù)表達(dá)式】
【例3.1】（2023九年級·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，拋物線分別經(jīng)過點，，．求拋物線的函數(shù)解析式．
【例3.2】（2023·江蘇南京·二模）如圖，在水平向右為軸正方向，豎直向上為軸正方向的坐標(biāo)系中標(biāo)記了個格點，已知網(wǎng)格的單位長度為，若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過其中的個格點，則的最大值為( )
A． B．1 C． D．
【例3.3】（2023九年級·江西南昌·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線交軸于兩點，交軸于點，，求拋物線的解析式和的長．

【變式3.1】（2023九年級·廣東湛江·課后作業(yè)）已知拋物線經(jīng)過點(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求拋物線的解析式．
【變式3.2】（2023九年級·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點，，，求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式
【變式3.3】（2023九年級·浙江杭州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，是常數(shù)，且的圖象與軸的交點坐標(biāo)為和，其中．
(1)當(dāng)時，求，的值．
(2)求證：．
【規(guī)律方法綜合練】
【題型1】（2023九年級·福建泉州·期末）選你喜歡的、、的值，使二次函數(shù) 的圖象同時滿足下列條件:
①它的圖象不經(jīng)過第三象限；
②圖象經(jīng)過點；
③當(dāng)時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，這樣的二次函數(shù)的表達(dá)式可以是 ．
【題型2】（2023九年級·浙江杭州·階段練習(xí)）根據(jù)下列條件，分別求出二次函數(shù)的解析式．
(1)已知圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣8），且過點（0，﹣6）；
(2)已知圖象經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（0，3），且對稱軸為直線x＝1．
【題型3】（2023·河北邯鄲·二模）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，）．
(1)若該函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點，求函數(shù)的表達(dá)式；
(2)已知，當(dāng)（是實數(shù)，）時，該函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值分別為若，求證：．
【拓廣探究創(chuàng)新練】
【題型1】（2023·吉林長春·一模）對于二次函數(shù)（，a為整數(shù)），有四種說法：①函數(shù)與x軸的一個交點為；②對稱軸為直線；③當(dāng)時，函數(shù)的最小值為3；④點在函數(shù)圖象上．若其中只有一個說法是錯誤的，則a的值為 ．
【題型2】（2023·黑龍江·三模）如圖，拋物線的頂點坐標(biāo)為，對稱軸與x軸交于點E，與x軸交于點A，B兩點，請回答下列問題．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點P在y軸上，且，求線段的長．
【題型3】（2023九年級·浙江金華·期末）在“探索函數(shù)的系數(shù)，，與圖象的關(guān)系”活動中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的四個點：，，，同學(xué)們探索了經(jīng)過這四個點中的三個點的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中的值最大為( )
A． B． C． D．
直線與拋物線的交點：
（1）y軸與拋物線y=ax +bx+c的交點為(0, c);
（2）與y軸平行的直線x=h與拋物線y=ax +bx+c有且只有一個交點(h,ah +bh+c).
（3）拋物線與x軸的交點
二次函數(shù)y=ax +bx+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)x1、x2，就是對應(yīng)一元二次方程y=ax +bx+c的兩個實數(shù)根.
拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點 Δ＞0 拋物線與x軸相交；
②有一個交點（頂點在x軸上） Δ=0 拋物線與x軸相切；
③沒有交點 Δ＜0 拋物線與x軸相離.
【考點1 二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系】
【例1.1】（2023九年級·北京石景山·期末）若拋物線與x軸只有一個交點，則m的值為（ ）
A．3 B． C． D．
【例1.2】（2023九年級·安徽阜陽·期中）若拋物線與x軸的交點為，，則關(guān)于x的一元二次方程的解為（ ）
A．， B．
C． D．，
【例1.3】（2023九年級·湖北省直轄縣級單位·期中）拋物線與軸的交點個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式1.1】（2023九年級·重慶江津·階段練習(xí)）小明畫出二次函數(shù)的圖像如下圖，則關(guān)于的方程的解為（ ）
A． B． C． D．
【變式1.2】（2023九年級·山西呂梁·階段練習(xí)）若拋物線與x軸沒有交點，則c的值可以是（　　）
A． B．0 C．2 D．5
【變式1.3】（2023九年級·甘肅隴南·期末）拋物線與x軸的兩個交點之間的距離是（ ）
A． B．2 C． D．4
【考點2 利用二次函數(shù)的圖象解一元二次不等式】
【例2.1】（2023九年級·吉林松原·階段練習(xí)）如圖是二次函數(shù)的部分圖象，其與軸的一個交點坐標(biāo)為，對稱軸為直線，則當(dāng)時，的取值范圍是 ．
【例2.2】（2023九年級·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則當(dāng)時，函數(shù)值y的取值范圍是 ．

【例2.3】（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點和．
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點坐標(biāo)．
(2)當(dāng)時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．
【變式2.1】（2023九年級·全國·專題練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時，的取值范圍是 ．
【變式2.2】（2023九年級·北京平谷·期中）已知二次函數(shù)．
(1)將化成的形式，并寫出頂點坐標(biāo)；
(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系中，畫出它的示意圖；
(3)當(dāng)時，直接寫出的取值范圍．
【變式2.3】（2023·四川瀘州·一模）設(shè)二次函數(shù)，當(dāng)時，總有，當(dāng)時，總有，那么c的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【考點3 利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解】
【例3.1】（2023九年級·河南洛陽·期末）根據(jù)下表列出的函數(shù)的幾組與的對應(yīng)值，判斷方程一個解的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例3.2】（2023九年級·江蘇連云港·期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表，
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
則方程ax2+bx+c＝0的一個解的范圍是 ．
【例3.3】（2023九年級·山西晉中·階段練習(xí)）由表的對應(yīng)值知，一元二次方程（a，b，c為常數(shù)，）的一個根的百分位上的數(shù)字是 ．
x 3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
【變式3.1】（2023九年級·河北承德·期末）下表是一組二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一個近似根是 ；
【變式3.2】（2023九年級·北京房山·期中）在關(guān)于x的二次函數(shù)中，自變量x可以取任意實數(shù)，下表是自變量x與函數(shù)值y的幾組對應(yīng)值：
x … 1 2 3 4 5 6 7 8 …
… 1.4 7.0 14.6 24.2 35.8 …
根據(jù)以上信息，關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根中，其中的一個實數(shù)根約等于
（保留小數(shù)點后一位小數(shù)）．
【變式3.3】（2023九年級·陜西安康·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
… －6 －1 ______ 3 2 ______ －6 …
(1)填寫表，并在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；
(2)根據(jù)表格結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出方程的近似解（指出在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間即可）．
【規(guī)律方法綜合練】
【題型1】（2023九年級·遼寧大連·期末）已知拋物線經(jīng)過點，當(dāng)時，，則m的值可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【題型2】（2023·江西九江·二模）已知一次函數(shù)與二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中．
(1)當(dāng) 時，求兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．
(2)如果兩個函數(shù)圖象沒有交點，求m的取值范圍．
(3)如圖，當(dāng) 時，點P和點Q分別是兩個函數(shù)圖象上的任意一點．
①當(dāng)軸時，求 的最小值；
②當(dāng)軸時，求 的最小值．
【題型3】（2023·安徽池州·三模）已知拋物線的頂點坐標(biāo)為，試求：
（1） ；
（2）若關(guān)于的一元二次方程在或的范圍內(nèi)有實數(shù)根，則的取值范圍是 ．
【拓廣探究創(chuàng)新練】
【題型1】（2023·江蘇泰州·二模）函數(shù)與軸的交點至少有一個在軸的左側(cè)，則的范圍是 ．
【題型2】（2023九年級·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)自變量x的取值在的范圍時，函數(shù)的圖像與x軸有兩個公共點，則n的取值范圍是 ．
【題型3】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)，已知函數(shù)與x軸相交于，且函數(shù)的對稱軸為直線，則的根的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023九年級·云南·專題練習(xí)）已知是的二次函數(shù)，與的對應(yīng)值如下表：
則其表達(dá)式為
A． B．
C． D．
2．（2023九年級·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期中）下表給出了二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值：
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … 0.75 1.16 …
那么下列各選項中可能是方程的近似根的是（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
3．（2023·河南安陽·模擬預(yù)測）如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點，其對稱軸是直線，則不等式的解集是（ ）
A． B．或 C． D．或
4．（2023·河南濮陽·二模）如圖，是拋物線 的圖象，圖象交x軸于點A、B，交y軸于點C，關(guān)于x的一元二次方程 根的情況為（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根
5．（2023·廣東廣州·二模）已知二次函數(shù)，當(dāng)時有最大值8，其圖象經(jīng)過點，則其與y軸的交點坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九年級·江蘇常州·階段練習(xí)）如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，那么的值為 ．
7．（2023九年級·北京·期中）如圖，拋物線與直線的兩個交點坐標(biāo)分別為A(﹣3，6)，，則方程的解是 ．
8．（2023·甘肅隴南·三模）如圖是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知不等式的解集是 ．
9．（2023九年級·河北邢臺·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點坐標(biāo)為，若拋物線與軸相交于，兩點，則 ． ．
10．（2023·江蘇淮安·三模）如圖，二次函數(shù)的圖像的頂點為C，該二次函數(shù)的圖像與x軸相交于A、B兩點，連接，若，，則a的值是 ．
11．（2023九年級·湖南郴州·期中）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸分別交于點A，B與C．

(1)求點A，B，C的坐標(biāo)；
(2)直接寫出當(dāng)函數(shù)值時，自變量x的取值范圍．
12．（2023九年級·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象過點．
(1)求此二次函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)時，直接寫出的取值范圍____________．
(3)設(shè)此二次函數(shù)圖象與x軸交點分別為、與軸交點為，求的面積．
13．（2023九年級·廣東中山·期中）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，頂點為，拋物線與y軸交于點，與x軸交于和D兩點．

(1)求此拋物線的解析式；
(2)結(jié)合圖象填空：
①關(guān)于x的一元二次方程的解是 ；
②不等式的解集為 ．
14．（2023·江蘇蘇州·二模）已知函數(shù)．
(1)求證：該函數(shù)的圖象與軸總有公共點；
(2)當(dāng)時，該函數(shù)圖象與軸交于，兩點，求線段長度的取值范圍．
15．（2023·河南周口·二模）如圖，拋物線 交x軸于、B兩點，交y軸于點．
(1)求拋物線的解析式．
(2)點P在拋物線上，橫坐標(biāo)設(shè)為m．
①當(dāng)點P在x軸上方時，直接寫出m的取值范圍；
②若拋物線在點 P右側(cè)部分（含點 P）的最高點的縱坐標(biāo)為，求m的值．

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