資源簡介

專題08相似形
利用三角形一邊平行線的判定定理證明兩直線平行的一般步驟為：
(1)首先觀察欲證平行線截哪個三角形；
(2)再觀察它們截這個三角形的哪兩邊；
(3)最后只須證明這兩條邊上對應線段成比例即可，
當已知中有相等線段時，常利用它們和同一條線段(或其他相等線段)的比作為中間比.
常用的有用結論包括：
1.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.
2.推論
(1)平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例.
(2)平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例.
(3)三角形的兩腰被一條直線所截的對應邊成比例.
那么這條直線平行于底邊.
3.三角形的內角平分線性質定理：三角形的內角平分線分對邊的長度比等于對應夾角兩邊的長度比.
《初中課程要求》 ①了解比例的性質、線段的比、成比例線段，通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割. ②通過具體實例認識圖形的相似，了解相似多邊形和相似比. ③理解“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例” ④了解相似三角形的性質定理：相似三角形對應線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方 ⑤了解兩個三角形相似的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊對應成比例的兩個三角形相似. ⑥會用圖形的相似解決一些簡單的實際問題.
《高中課程要求》 相似是高中數學的一個重要工具，要求學生們在解題過程中能靈活應用相似的知識，很多時候相似是一個相當重要的工具，但是不會單獨考查相似的證明
高中必備知識點1：平行線分線段成比例定理
在解決幾何問題時，我們常涉及到一些線段的長度、長度比的問題.在數學學習與研究中，我們發現平行線常能產生一些重要的長度比.
在一張方格紙上，我們作平行線(如圖3.1-1)，直線交于點，，另作直線交于點，不難發現
我們將這個結論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理：
三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.
如圖，，有.當然，也可以得出.在運用該定理解決問題的過程中，我們一定要注意線段之間的對應關系，是“對應”線段成比例.
高中必備知識點2：平行線分線段成比例定理的推論
推論1：平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例.
推論2：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例.
在中，為的平分線，求證：.
證明 過C作CE//AD，交BA延長線于E，
AD平分
由知
.
上述試題的結論也稱為角平分線性質定理，可敘述為角平分線分對邊成比例(等于該角的兩邊之比).
高中必備知識點3：射影定理
我們把下面試題的結論稱為射影定理：
如圖,在直角三角形ABC中，為直角，.
求證：(1)，；
(2)
證明 (1)在與中，，
∽，
同理可證得.
(2)在與中，，
∽，
高中必備知識點1：平行線分線段成比例定理
【典型例題】
已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC．
(1)如圖①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．求證：AB∥CD；
(2)如圖②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，當∠NCE＝　 　°時，AB∥CD；
(3)如圖②，請你直接寫出∠MAE、∠FEG、∠NCE之間滿足什么關系時，AB∥CD；
(4)如圖③，請你直接寫出∠MAE、∠FEG、∠NCE之間滿足什么關系時，AB∥CD．
【變式訓練】
已知，如圖，∠1＝∠2，DC∥FE，DE∥AC，
求證：FE平分∠BED.
【能力提升】
如圖，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分別為D，G.且∠1＝∠2，猜想：DE與AC有怎樣的關系？說明理由．
高中必備知識點2：平行線分線段成比例定理的推論
【典型例題】
請閱讀下面材料，并回答所提出的問題．三角形內角平分線定理：三角形的內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例．
已知：如圖，△ABC中， AD是角平分線．
求證：．
證明：過C作CE∥DA，交BA的延長線于E．
∴． ①
AD是角平分線，
∴ ．
．
． ②
又，
． ③
．
(1)上述證明過程中，步驟①②③處的理由是什么？(寫出兩條即可)
(2)用三角形內角平分線定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分線，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的長；
(3)我們知道如果兩個三角形的高相等，那么它們面積的比就等于底的比．請你通過研究△ABD和△ACD面積的比來證明三角形內角平分線定理．
【變式訓練】
如圖，PB和PC是△ABC的兩條外角平分線。
①求證：∠BPC=90°-∠BAC．
②根據第①問的結論猜想：三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于什么三角形？
【能力提升】
在直角三角形△中，的角平分線交于點,交于點,取,連接.
求證：⑴; ⑵.
高中必備知識點3：射影定理
【典型例題】
如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，O是△ABC內部的一個動點，△OBD是等腰直角三角形，OB＝BD．
(1)求證：∠AOB＝∠CDB；
(2)若△COD是等腰三角形，∠AOC＝140°，求∠AOB的度數．
【變式訓練】
如圖所示，和都是等腰直角三角形，的頂點在的斜邊上，若，求的值．
【能力提升】
如圖，AD⊥BC，垂足為D．如果CD＝1，AD＝2，BD＝4，
(1)求出AC、AB的長度；
(2)△ABC是直角三角形嗎？證明你的結論．
1．如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC與△DEF重疊部分(圖中陰影部分)的面積是△ABC面積的一半，已知BC＝6，則EC的長為( )
A．3 B．3 C．3 D．4
2．如圖，△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，點D在邊BC上(與B、C不重合)，以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，過點F作FN⊥CA，交CA的延長線于點N，連接FB，交DE于點P，給出以下結論：①CN＝FN＋CD；②∠ADC＝∠ABF；③四邊形CBFN為矩形；④∠AFB＋∠FAB＝135°；⑤EF2＝FP·BC，其中正確結論的個數是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如圖，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，點D在△ABC內，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，過點D作直線PQ，分別交AB、AC于點P、Q，若△APQ與△ABC相似，則線段PQ的長為(　　)
A．5 B． C．5或 D．6
4．如圖，在中，，，，點在邊上，，，垂足為，與相交于點，則的值為( )
A． B． C． D．
5．如圖，在矩形ABCD中，BC＝AB，E是BC的中點，連接AE交BD于點F，連接CF，下列結論：①AE⊥BD；②；③；④．則正確的有( )個
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如圖，已知平行四邊形中，為上任意一點(可以與重合)，延長到，使得，以為邊作平行四邊形，則長度的最小值為( )
A． B． C． D．
7．如圖，矩形ABCD中，點G，E分別在邊BC，DC上，連接AG，EG，AE，將△ABG和△ECG分別沿AG，EG折疊，使點B，C恰好落在AE上的同一點，記為點F．若CE＝3，CG＝4，則DE的長度為( )
A． B． C．3 D．
8．如圖，矩形紙片中，，．點E、G分別在，上，將、分別沿、翻折，點A的對稱點為點F，點D的對稱點為點H，當E、F、H、C四點在同一直線上時，連接，則線段長為( )
A． B． C． D．
9．如圖，點是正方形內一點，是等邊三角形，連接、對角線交于點，現有以下結論：①；②；③，其中正確的結論有(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，過點A作邊BC的垂線AF交DC的延長線于點E，點F是垂足，連接BE、DF，DF交AC于點O．則下列結論：①四邊形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝BC；④S四邊形OCEF＝S△AOD，正確的個數是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如圖，在中，，，，過B作，過作，得陰影；再過作，過作，得陰影；…如此下去．請猜測這樣得到的所有陰影三角形的面積之和為_____．
12．如圖，△ABC中，AD1＝AB，D1D2＝D1B，D2D3＝D2B，…，照這樣繼續下去，D2020D2021＝D2020B，且D1E1BC，D2E2BC，D2E3BC；…，D2021E2021BC，則＝__．
13．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以點O位似中心的位似圖形，且相似比為，兩個正方形在點O的同側，點A、B、E在x軸上，其余頂點在第一象限，若正方形BEFG的邊長為6．則點C的坐標為__．
14．如圖所示，在中，，對角線，交于點，點在的延長線上，且．連接交于點，則______．
15．如圖，矩形中，，，為中點，連接、交于點，連接，則的長為______．
16．如圖，在中，．點D為邊上一點，將沿翻折得到交于點E．已知平分，則________．
17．如圖，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點M，N分別在邊AD，BC上，沿著MN折疊矩形ABCD，使點A，B分別落在E，F處，且點F在線段CD上(不與兩端點重合)，若，則折疊后重疊部分的面積為_____．
18．如圖，四邊形中，，．點在邊上，，，，點在射線上，連接，當直線與直線的夾角等于45°時，線段的長為______．
19．如圖，正方形中，，分別在，上，，分別交于，，連接，且知.下列結論：
①；②；③；④.其中，一定正確的有__________(填序號).
20．如圖，在矩形ABCD中，E，F分別為邊AB，AD的中點，BF與EC、ED分別交于點M，N．已知AB＝4，BC＝6，則MN的長為__．
21．如圖，是的直徑，點在上，于點，平分．
(1)求證：是的切線：
(2)若，，直接寫出的半徑的長．
22．四邊形是正方形，點在射線上，以點，點為頂點作正方形(點，，，按順時針方向排列)，連接，．
(1)如圖1，點在線段上，求證：；
(2)如圖2，點在線段上，連接．
①求證：；
②直接寫出線段，，之間的關系：
(3)當，以點，，，，為頂點的四邊形的面積等于5時，直接寫出此時的長．
23．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°．
(1)在AB上求作點D，使△CDB∽△ACB；(要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下，若BC=5，AC=12，求BD長．
24．在坐標平面內，△ABC的頂點位置如圖所示．
(1)將△ABC作平移交換(x，y)→(x+2，y﹣3)得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1．
(2)以點O為位似中心縮小△ABC得到△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC的相似比為1：2，且點A與其對應點A2位于點O的兩側，畫出△A2B2C2．
25．如圖，∠CAE＝∠BAD，∠E＝∠C．
(1)△ADE與△ABC相似嗎？為什么？
(2)如果AB＝3AD，S△ABC＝9，那么△ADE的面積為多少？
26．如圖1，分別以的、為斜邊間外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，點是的中點，連接、．
(1)求證：；
(2)如圖2，若，，，求的正切值；
(3)如圖3，以的邊為斜邊問外作等腰直角三角形，連接，試探究線段、的關系，并加以證明．
27．已知函數和的圖象在第一象限內的交點為A，且函數的圖象分別與x軸正半軸交于點B，C．
(1)求點A的坐標；
(2)若，
①求證：；
②函數圖象的頂點分別為M，N，設的外心為點P，的內心為點Q．問是否存在m，n的值，使得O，P，Q三點共線？若存在，求m，n的值；若不存在，說明理由．
28．(1)問題探究：
如圖1，△ABC，△ADE均為等邊三角形，連接BD、CE，試探究線段BD與CE的數量關系，并說明理由．
(2)類比延伸
如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，連接BD，CE，試確定BD與CE的數量關系，并說明理由．
(3)拓展遷移
如圖3，在四邊形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝BC，CD＝4，若將線段DA繞點D按逆時針方向旋轉90°得到DA′，連接BA′，求線段BA′的長．
29．如圖，在矩形中，，點是邊上一點(點不和點、點重合)聯結，過點作的垂線交于點，交對角線于點．設，
(1)當時，求的值；
(2)用含的代數式表示的值；
(3)在點運動的過程中，能否與相似，如能，請求出此時之長，不能請說明理由．
30．如圖，中，是斜邊的中線．
(1)尺規作圖：畫出以為直徑的，與交于點，與交于點；
(2)若；，求的長：
(3)連接，交于點，若，求的值．
專題08相似形
利用三角形一邊平行線的判定定理證明兩直線平行的一般步驟為：
(1)首先觀察欲證平行線截哪個三角形；
(2)再觀察它們截這個三角形的哪兩邊；
(3)最后只須證明這兩條邊上對應線段成比例即可，
當已知中有相等線段時，常利用它們和同一條線段(或其他相等線段)的比作為中間比.
常用的有用結論包括：
1.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.
2.推論
(1)平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例.
(2)平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例.
(3)三角形的兩腰被一條直線所截的對應邊成比例.
那么這條直線平行于底邊.
3.三角形的內角平分線性質定理：三角形的內角平分線分對邊的長度比等于對應夾角兩邊的長度比.
《初中課程要求》 ①了解比例的性質、線段的比、成比例線段，通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割. ②通過具體實例認識圖形的相似，了解相似多邊形和相似比. ③理解“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例” ④了解相似三角形的性質定理：相似三角形對應線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方 ⑤了解兩個三角形相似的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊對應成比例的兩個三角形相似. ⑥會用圖形的相似解決一些簡單的實際問題.
《高中課程要求》 相似是高中數學的一個重要工具，要求學生們在解題過程中能靈活應用相似的知識，很多時候相似是一個相當重要的工具，但是不會單獨考查相似的證明
高中必備知識點1：平行線分線段成比例定理
在解決幾何問題時，我們常涉及到一些線段的長度、長度比的問題.在數學學習與研究中，我們發現平行線常能產生一些重要的長度比.
在一張方格紙上，我們作平行線(如圖3.1-1)，直線交于點，，另作直線交于點，不難發現
我們將這個結論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理：
三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.
如圖，，有.當然，也可以得出.在運用該定理解決問題的過程中，我們一定要注意線段之間的對應關系，是“對應”線段成比例.
高中必備知識點2：平行線分線段成比例定理的推論
推論1：平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例.
推論2：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例.
在中，為的平分線，求證：.
證明 過C作CE//AD，交BA延長線于E，
AD平分
由知
.
上述試題的結論也稱為角平分線性質定理，可敘述為角平分線分對邊成比例(等于該角的兩邊之比).
高中必備知識點3：射影定理
我們把下面試題的結論稱為射影定理：
如圖,在直角三角形ABC中，為直角，.
求證：(1)，；
(2)
證明 (1)在與中，，
∽，
同理可證得.
(2)在與中，，
∽，
高中必備知識點1：平行線分線段成比例定理
【典型例題】
已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC．
(1)如圖①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．求證：AB∥CD；
(2)如圖②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，當∠NCE＝　 　°時，AB∥CD；
(3)如圖②，請你直接寫出∠MAE、∠FEG、∠NCE之間滿足什么關系時，AB∥CD；
(4)如圖③，請你直接寫出∠MAE、∠FEG、∠NCE之間滿足什么關系時，AB∥CD．
答案:(1)見解析；(2)當∠NCE＝80°時，AB∥CD；(3)當2∠FEG+∠NCE＝∠MAE時AB∥CD
；(4)當∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°時，AB∥CD.
解析：
(1)∵∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE＝∠AEF＝45°，且∠FEG＝15°
∴∠AEG＝60°
∵EG平分∠AEC
∴∠AEG＝∠CEG＝60°
∴∠CEF＝75°
∵∠ECN＝75°
∴∠FEC＝∠ECN
∴EF∥CD且AB∥EF
∴AB∥CD
(2)∵∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA＝180°且∠MAE＝140°
∴∠AEF＝40°
∵∠FEG＝30°
∴∠AEG＝70°
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC＝∠AEG＝70°
∴∠FEC＝100°
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠NCE+∠FEC＝180°
∴∠NCE＝80°
∴當∠NCE＝80°時，AB∥CD
(3)∵∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA＝180°
∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，
∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC＝∠AEG
∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠FEC+∠NCE＝180°
∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°
∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE
∴當2∠FEG+∠NCE＝∠MAE時AB∥CD
(4)∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA＝180°
∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，
∴∠AEG＝∠FEG﹣∠FEA＝∠FEG﹣180°+∠MAE
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC＝∠AEG
∴∠FEC＝∠FEA+2∠AEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG﹣360°+2∠MAE＝∠MAE+2∠FEG﹣180°
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠FEC+∠NCE＝180°
∴∠MAE+2∠FEG﹣180°+∠NCE＝180°
∴∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°
∴當∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°時，AB∥CD
【變式訓練】
已知，如圖，∠1＝∠2，DC∥FE，DE∥AC，
求證：FE平分∠BED.
答案:詳見解析
解析：
∵DC∥FE，∴∠1＝∠3，∠CDE＝∠4，
∵DE∥AC，∴∠2＝∠CDE，
∴∠2＝∠4，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴EF是∠BED的平分線
【能力提升】
如圖，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分別為D，G.且∠1＝∠2，猜想：DE與AC有怎樣的關系？說明理由．
答案:DE∥AC．理由見解析.
解析：
DE∥AC．理由如下：
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠ADG=∠FGC=90°，
∴AD∥FG，
∴∠1=∠CAD，
∵∠1=∠2，
∴∠CAD=∠2，
∴DE∥AC．
高中必備知識點2：平行線分線段成比例定理的推論
【典型例題】
請閱讀下面材料，并回答所提出的問題．三角形內角平分線定理：三角形的內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例．
已知：如圖，△ABC中， AD是角平分線．
求證：．
證明：過C作CE∥DA，交BA的延長線于E．
∴． ①
AD是角平分線，
∴ ．
．
． ②
又，
． ③
．
(1)上述證明過程中，步驟①②③處的理由是什么？(寫出兩條即可)
(2)用三角形內角平分線定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分線，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的長；
(3)我們知道如果兩個三角形的高相等，那么它們面積的比就等于底的比．請你通過研究△ABD和△ACD面積的比來證明三角形內角平分線定理．
答案:(1)①平行線的性質定理；②等腰三角形的判定定理；③平行線分線段成比例定理；(2)cm．(3)證明見解析．
解析：
(1)證明過程中用到的定理有：
①平行線的性質定理；
②等腰三角形的判定定理；
③平行線分線段成比例定理；
(2)∵AD是角平分線，
∴，
又∵AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，
∴，
∴BD=(cm)．
(3)∵△ABD和△ACD的高相等，
可得：△ABD和△ACD面積的比=，
可得：．
【變式訓練】
如圖，PB和PC是△ABC的兩條外角平分線。
①求證：∠BPC=90°-∠BAC．
②根據第①問的結論猜想：三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于什么三角形？
答案:①證明見解析②銳角三角形
解析：
①證明：∵PB和PC是△ABC的兩條外角平分線，
∴∠P=180° (∠PBC+∠PCB)=180° (∠CBD+∠BCE)=180° (∠A+∠ACB+∠BCE)=180° (∠A+180°)=90° ∠A；
②根據①的結論，知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個角都是銳角，
三個角都是銳角的三角形是銳角三角形，故該三角形是銳角三角形。
【能力提升】
在直角三角形△中，的角平分線交于點,交于點,取,連接.
求證：⑴; ⑵.
答案:(1)見解析;(2)見解析.
解析：
⑴. ∵
∴
∴
⑵
證明：作DH⊥AB于H，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝∠DHB＝90°，
∴CE∥DH，
∴∠1＝∠2，
又∵∠ACB＝90°,AD平分∠BAC,
∴DH＝DC，∠3＝∠4，
∵∠5＝∠6＝90° ∠3，
∠7＝90°－∠4，
∴∠5＝∠7，
∴CD＝CF，
∴DH＝CF，
∵BG＝CD，
∴BG＋GD＝CD＋GD，
即BD＝GC，
在△BHD和△GFC中
∴△BHD≌△GFC，
∴∠BHD＝∠GFC＝90°，
∴∠GFC＝∠BEC＝90°，
∴FG∥AB.
高中必備知識點3：射影定理
【典型例題】
如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，O是△ABC內部的一個動點，△OBD是等腰直角三角形，OB＝BD．
(1)求證：∠AOB＝∠CDB；
(2)若△COD是等腰三角形，∠AOC＝140°，求∠AOB的度數．
答案:(1)詳見解析；(2)∠AOB的度數為110°或95°或125°．
解析：
(1)∵△ABC和△OBD是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，OB＝BD，∠ABC＝∠OBD＝90°，
∵∠ABO+∠OBC＝∠CBD+∠OBC，
∴∠ABO＝∠CBD，
在△ABO和△CBD中
，
∴△ABO≌△CBD(SAS)，
∴∠AOB＝∠CDB；
(2)設∠AOB的度數為x，則∠CDB＝x，∠CDO＝x﹣45°，
∠COD＝∠COB﹣∠DOB＝360°﹣140°﹣x﹣45°＝175°﹣x，
∠OCD＝180°﹣∠CDO﹣∠COD＝50°，
①當∠CDO＝∠COD時，x﹣45°＝175°﹣x，解得：x＝110°，
②當∠CDO＝∠OCD時，x﹣45°＝50°，解得：x＝95°，
③當∠COD＝∠OCD時，175°﹣x＝50°，解得：x＝125°，
故∠AOB的度數為110°或95°或125°．
【變式訓練】
如圖所示，和都是等腰直角三角形，的頂點在的斜邊上，若，求的值．
答案:
解析：
如圖,連結BD
∵△ACB與△ECD都是等腰直角三角形
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC,AC=BC,AC+BC=AB
∴2AC=AB∠ECD-ACD=∠ACB-∠ACD
∴∠ACE=∠BCD.
在△AEC和△BDC中,
∴△AEC≌△BDC(SAS)
∴AE=BD,∠E=∠BDC.
∴∠BDC=45°
∴∠BDC+∠ADC=90°
即∠ADB=90°
∴AD+BD=AB
∴AD+AE-=2AC
又∵
∴AD= 3AE
∴10AE=2AC
∴
故答案是:
【能力提升】
如圖，AD⊥BC，垂足為D．如果CD＝1，AD＝2，BD＝4，
(1)求出AC、AB的長度；
(2)△ABC是直角三角形嗎？證明你的結論．
答案:(1)AC=，AB=2；(2)△ABC是直角三角形，理由見解析.
解析：
(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵CD＝1，AD＝2，BD＝4，∴AC＝，AB＝，=2(寫成不算錯)
(2)∵AC＝，AB＝2，BC＝CD+BD＝5，
∴AC2+AB2＝BC2=25，∴∠BAC=90°，即△ABC是直角三角形.
1．如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC與△DEF重疊部分(圖中陰影部分)的面積是△ABC面積的一半，已知BC＝6，則EC的長為( )
A．3 B．3 C．3 D．4
答案:B
解：∵△ABC沿BC邊平移到△DEF的位置，
∴AB∥EG，
∴△GEC∽△ABC，
∴，
∴，
∵BC=6，
∴EC=3，
故選：B．
2．如圖，△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，點D在邊BC上(與B、C不重合)，以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，過點F作FN⊥CA，交CA的延長線于點N，連接FB，交DE于點P，給出以下結論：①CN＝FN＋CD；②∠ADC＝∠ABF；③四邊形CBFN為矩形；④∠AFB＋∠FAB＝135°；⑤EF2＝FP·BC，其中正確結論的個數是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案:C
解：∵四邊形ADEF是正方形
∴∠
∴∠
∵∠
∴∠
∴∠
在△和△中
∴
∴，故①正確；
③由①得，
∵
∴
∵∠
∴
∴四邊形CBFN為矩形，故③正確；
②由③得，∠
∴∠
∵∠，
∴
而
∴∠，故②錯誤；
④由②得，∠
在△中，∠故④正確；
⑤∵∠，∠
∴∠
∵∠，∠
∴∠
∵∠
∴△
∴
∵
∴，故⑤正確，
綜上，①③④⑤正確
故選：C
3．如圖，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，點D在△ABC內，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，過點D作直線PQ，分別交AB、AC于點P、Q，若△APQ與△ABC相似，則線段PQ的長為(　　)
A．5 B． C．5或 D．6
答案:B
解：當PQ∥BC時，△APQ∽△ABC，如圖1，
∵DB平分∠ABC，
∴∠PBD＝∠CBD，
∵PD∥BC，
∴∠PDB＝∠DBC，
∴∠PBD＝∠PDB，
∴PB＝PD，
同理，DQ＝CQ，
∵∠APQ＝∠ABC，
∴tan∠APQ＝tan∠ABC＝＝＝，
∴設AP＝4x，AQ＝3x，
∴PQ＝5x，
∵PB＝PD＝8﹣4x，PQ＝CQ＝6﹣3x，
∴8﹣4x+6﹣3x＝5x，
∴x＝，
∴PQ＝5x＝；
當∠APQ＝∠ACB時，△APQ∽△ACB，
∵AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，
∴BC＝10，
過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，
∴DE＝DF＝DG，
∵S△ABC＝DE(AB+AC+BC)＝AB AC，
∴DE＝＝2，四邊形AEDF是正方形，
∴DF∥AP，
∴∠EPD＝∠FDQ，
同理∠EDP＝∠FQD，
∴△PED∽△DFQ∽△CAB，
∴＝＝＝，
∴PE＝，FQ＝，
∴PD＝＝＝，DQ＝＝＝，
∴PQ＝PD+DQ＝+＝，
綜上所述，若△APQ與△ABC相似，則線段PQ的長為，
故選：B．
4．如圖，在中，，，，點在邊上，，，垂足為，與相交于點，則的值為( )
A． B． C． D．
答案:A
過點C作CG∥EA交BA的延長線于點G，如圖所示．
Rt△ABC中，．
∵AD=AC，AE⊥CD于點F，
∴AF是等腰△ACD底邊CD上的高．
∴AE平分∠DAC，即∠1=∠2．
∵EA∥CG，
∴∠3=∠2，∠1=∠G．
∴∠3=∠G．
∴AG=AC=3．
∵EA∥CG，
∴．
∴．
設CE=x，則有．
解得，x=1.5．
∴在Rt△AEC中，tan∠CAE=．
故選：A．
5．如圖，在矩形ABCD中，BC＝AB，E是BC的中點，連接AE交BD于點F，連接CF，下列結論：①AE⊥BD；②；③；④．則正確的有( )個
A．1 B．2 C．3 D．4
答案:C
解：設，則，,
矩形ABCD，
∠ABE=∠DCB=90°，
∴△ABE∽△BCD，
∴∠BAE=∠CBD，
∵∠CBD+∠ABD=90°，
∴∠BAE+∠ABD=90°，AE⊥BD，故①正確；
過點F作GQ⊥BC，則
BE//AD
則FQ=，
，
則，故②錯誤；
在Rt△ABE中，AB=，BE=，
，
矩形ABCD，
，，
,
故③正確；
BE//AD，
而
矩形
四邊形為矩形，
，
在Rt△FQC中，由勾股定理可得
則==，故④正確；
綜上所述，正確結論為①③④，故選C
6．如圖，已知平行四邊形中，為上任意一點(可以與重合)，延長到，使得，以為邊作平行四邊形，則長度的最小值為( )
A． B． C． D．
答案:B
解：
記PE與CD交點為G，
∵四邊形PFEC為平行四邊形，
∴PF∥CE，
∴∠DPE＝∠CEP，∠PDC＝∠ECD，
∴△PGD∽△EGC，
∵DF＝PD，
∴PDPFCE，
∴，
∴，
∴PE＝3PG，
要求PE的最小值，只要求PG的最小值即可，PG的最小值為當PG⊥CD時取PG，
∵ABCD是平行四邊形
∴平行線間的距離處處相等
過點C作CH⊥AB于點H，
在Rt△CBH中，∵∠B＝60°，BC＝6，
∴sin∠B，即，
∴PG＝CH，
∴PE＝3PG，
故答案為：B．
7．如圖，矩形ABCD中，點G，E分別在邊BC，DC上，連接AG，EG，AE，將△ABG和△ECG分別沿AG，EG折疊，使點B，C恰好落在AE上的同一點，記為點F．若CE＝3，CG＝4，則DE的長度為( )
A． B． C．3 D．
答案:B
∵在矩形ABCD中，GC＝4，CE＝3，∠C＝90°，
∴GE＝＝＝5，
根據折疊的性質：BG＝GF，GF＝GC＝4，
CE＝EF＝3，∠AGB＝∠AGF，
∠EGC＝∠EGF，∠GFE＝∠C＝90°，
∠B＝∠AFG＝90°，
∴BG＝GF＝GC＝4，∠AFG＋∠EFG＝180°，
∴BC＝AD＝8，點A，點F，點E三點共線，
∵∠AGB＋∠AGF＋∠EGC＋∠EGF＝180°，
∴∠AGE＝90°，
∴Rt△EGF∽Rt△EAG，
∴，
即，
∴AE＝，
∴DE＝＝．
故選：B．
8．如圖，矩形紙片中，，．點E、G分別在，上，將、分別沿、翻折，點A的對稱點為點F，點D的對稱點為點H，當E、F、H、C四點在同一直線上時，連接，則線段長為( )
A． B． C． D．
答案:A
由翻折可知：，，
在中：，
∴，
如圖所示：
，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
過點H作于點M，如圖所示：
則，
∴，
∴，
解得：，，
則，
在中，
，
故選：A．
9．如圖，點是正方形內一點，是等邊三角形，連接、對角線交于點，現有以下結論：①；②；③，其中正確的結論有(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案:C
解：∵△MBC是等邊三角形，
∴∠MBC＝∠MCB＝∠CMB＝60°，BM＝BC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，
∴∠ABM＝∠DCM＝30°，
∵AB＝BM，
∴∠AMB＝∠BAM＝×(180° 30°)＝75°，
同理：∠CMD＝∠CDM＝75°，
∴∠AMD＝360° 75° 75° 60°＝150°；
故①正確；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，
∴∠MDN＝∠CDM ∠BDC＝75° 45°＝30°，
∵∠CMD＝∠CMD，∠MDN＝∠DCM＝30°，
∴△MND∽△MDC，
∴，
∴DM2＝MN MC，
∵∠BAD＝∠ADC，∠BAM＝∠CDM，
∴∠MAD＝∠MDA，
∴MA＝DM，
∴MA2＝MN MC，
故②正確；
過點M作MG⊥AB于G，
設MG＝x，
Rt△BGM中，∠GBM＝30°，
∴BM＝BC＝AB＝2x，BG＝x，
∴AG＝2x x，
∴
故③錯誤．
故選C．
10．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，過點A作邊BC的垂線AF交DC的延長線于點E，點F是垂足，連接BE、DF，DF交AC于點O．則下列結論：①四邊形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝BC；④S四邊形OCEF＝S△AOD，正確的個數是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案:D
解：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴BF＝CF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DE，
∴∠BAF＝∠CEF，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴△ABF≌△ECF(AAS)，
∴AB＝CE，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴四邊形ABEC是正方形，故①正確；
②∵CF∥AD，
∴△OCF∽△OAD，
∴OC：OA＝CF：AD＝CF：BC＝1：2，
∴OC：AC＝1：3，∵AC＝BE，
∴OC：BE＝1：3，故②正確；
③∵AB＝CD＝EC，
∴DE＝2AB，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AB＝BC，
∴DE＝2×，故③正確；
④∵△OCF∽△OAD，
∴，
∴，
∵OC：AC＝1：3，
∴3S△OCF＝S△ACF，∵S△ACF＝S△CEF，
∴，
∴，故④正確．
故選：D．
11．如圖，在中，，，，過B作，過作，得陰影；再過作，過作，得陰影；…如此下去．請猜測這樣得到的所有陰影三角形的面積之和為_____．
答案:
解：∵，
∴∠BA1A=∠A1B1B=90°，
∴∠ABA1=∠BA1B1
∴，
則相似比為，
那么陰影部分面積與空白部分面積之比為，
同理可得到其他三角形之間也是這個情況，
那么所有的陰影部分面積之和應等于．
故答案為：．
12．如圖，△ABC中，AD1＝AB，D1D2＝D1B，D2D3＝D2B，…，照這樣繼續下去，D2020D2021＝D2020B，且D1E1BC，D2E2BC，D2E3BC；…，D2021E2021BC，則＝__．
答案:
解：∵D1E1∥BC，
∴△AD1E1∽△ABC，
∴，
∴D1E1＝BC；
∵D1D2＝D1B，
∴AD2＝AB，
同理可得：D2E2＝BC＝(1﹣)BC＝[1﹣()2] BC，
D3E3＝BC＝[1﹣()3] BC，
∴DnEn＝[1﹣()n] BC，
∴，
故答案為：1﹣()2021．
13．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以點O位似中心的位似圖形，且相似比為，兩個正方形在點O的同側，點A、B、E在x軸上，其余頂點在第一象限，若正方形BEFG的邊長為6．則點C的坐標為__．
答案:
解：∵正方形ABCD與正方形BEFG是以點O位似中心的位似圖形，
相似比為，EF＝6，
∴BC∥EF，AB＝BC＝2，
∴△OBC∽△OEF，
∴，即，
解得，OB＝3，
經檢驗：符合題意
∴點C的坐標為(3，2)，
故答案為：(3，2)．
14．如圖所示，在中，，對角線，交于點，點在的延長線上，且．連接交于點，則______．
答案:
如圖，過點作，交于點，
四邊形是平行四邊形，
點是的中點，
是的中位線，
，
又，
，
，
設，則，
，
，，
邊上的高等于邊上的高，
，
故答案為：．
15．如圖，矩形中，，，為中點，連接、交于點，連接，則的長為______．
答案:
如圖，過點P作于點F．
∵四邊形ABCD為矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
根據所作輔助線可得：，
∴，
∴，即，
∴，．
∴．
∴在中，．
故答案為．
16．如圖，在中，．點D為邊上一點，將沿翻折得到交于點E．已知平分，則________．
答案:
解：如圖，過B′作B′F∥AD，交AC的延長線于F，
∴∠F=∠DAC，又∠AED=∠FEB′，
∴△ADE∽△FB′E，
∴，
∵AC平分∠DAB′，
∴∠DAC=∠B′AF，
∴∠F=∠B′AF，
∴B′F=AB′，
又∵△AB′D由△ABD翻折得到，
∴AB=AB′，∠BAD=∠DAB′，
∴B′F=AB，
∴，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=60°，∠DAC=30°，
過點D作DG⊥AB，垂足為G，設AG=x，
∵∠BAD=60°，
∴AD=2x，DG=x，
在△ABC中，，
∴BC=，
在△BDG中，tan∠B=，
∴BG=DG=x，
∴AB=AG+BG=x=，
∴x=，
∴AD=2x=，
∴，
故答案為：．
17．如圖，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點M，N分別在邊AD，BC上，沿著MN折疊矩形ABCD，使點A，B分別落在E，F處，且點F在線段CD上(不與兩端點重合)，若，則折疊后重疊部分的面積為_____．
答案:
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∵，
∴DF=1，FC=2，
∵沿著MN折疊矩形ABCD，使點A，B分別落在E，F處，
∴設BN=NF=x，則NC=(4-x)，
∴在直角三角形NCF中，
∴
解得x=，4-x=，
∵∠EFN=∠ABC=∠C=∠D=90°，∠NFC+∠FNC=90°，
∴∠NFC+∠DFQ=90°，
∴∠FNC=∠DFQ，
∴△NCF∽△FDQ，
∴FD：NC= FQ：NF= DQ：CF=1：，
解得DQ=，FQ=，
∴EQ=EF-FQ=AB-FQ=3-=，
∴EQ=DQ，
∵∠E=∠D=90°，∠EQM=∠DQF，
∴△MEQ≌△FDQ，
∴ME=FD=1，
∴AM=ME=1，
∴重疊面積=四邊形ABNM的面積-△MEQ面積
=
=，
故答案為：．
18．如圖，四邊形中，，．點在邊上，，，，點在射線上，連接，當直線與直線的夾角等于45°時，線段的長為______．
答案:或13
解：連接DE
∵，
∴四邊形ABED是平行四邊形
∴AB∥DE
又∵，，
∴CE=CD=BC-BE=3
∴△ECD是等腰直角三角形
∴∠B=∠DEC=45°
如圖1中，當點M在線段DC上時，∠BNE=∠ABC=45°，
過點A作AH⊥BC，延長BM，AD交于點G
由題意可得，四邊形AHCD為矩形
∴AH=DC=3，AD=CH=2
∴EH=BC-BE-CH=1
在Rt△AEH中，AE=
∵∠AEB=∠BEN，
∴△EBN∽△EAB，
∴，，解得：，
∵AD∥BC
∴△ANG∽△ENB
∴，，解得：
∴DG=1
∵∵AD∥BC
∴△DGM∽△CBM
∴，，解得：DM=，
如圖2，當點M在線段DC的延長線上時，∠ANB=∠ABE=45°，
延長MB，DA交于點G
由題意可得：AB=
∵∠BAE=∠NAB，
∴△BNA∽△EBA，
∴AB2=AE AN，，解得：，
∵AD∥BC
∴△ANG∽△ENB
∴，，解得：
∴DG=
∵AD∥BC
∴△DGM∽△CBM
∴，，解得：DM=，
綜上所述，可知DM的長為或13．
故答案為：或13．
19．如圖，正方形中，，分別在，上，，分別交于，，連接，且知.下列結論：
①；②；③；④.其中，一定正確的有__________(填序號).
答案:①②④
解：①將△ADF繞點A順時針旋轉90°，得到△ABP，則∠BAP=∠DAF，AF=AP，PB=DF．
∵，∠C=90°，
∴∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠BAP=45°，即∠EAP=45°，
∴∠EAF=∠EAP，
在△EAF和EAP中
，
∴△EAF≌△EAP，
∴PE=EF，
∴PB+BE=EF，
∴，故①正確；
②∵∠ANM=∠DNF， ∠MAN=∠NDF=45°，
∴∠AMN=∠DFN．
∵∠AMN=∠BME，
∴∠AMN=∠DFN，
∵∠MBE=∠NDF=45°，
∴，故②正確；
③若成立，則，
∴，
∴．
∵，分別在，上的動點，
∴MN不是定值，故③錯誤；
④∵EF=PE，
∴
=
=2S△APE
=2S△AEF，故④正確．
故答案為：①②④．
20．如圖，在矩形ABCD中，E，F分別為邊AB，AD的中點，BF與EC、ED分別交于點M，N．已知AB＝4，BC＝6，則MN的長為__．
答案:
解：延長CE、DA交于Q，如圖1，
∵四邊形ABCD是矩形，BC＝6，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵F為AD中點，
∴AF＝DF＝3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF＝=5，
∵AD∥BC，
∴∠Q＝∠ECB，
∵E為AB的中點，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，
在△QAE和△CBE中
∴△QAE≌△CBE(AAS)，
∴AQ＝BC＝6，
即QF＝6+3＝9，
∵AD∥BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴，
∵BF＝5，
∴BM＝2，FM＝3，
延長BF和CD，交于W，如圖2，
同理AB＝DW＝4，CW＝8，BF＝FW＝5，
∵AB∥CD，
∴△BNE∽△WND，
∴，
∴，
解得：BN＝，
∴MN＝BN﹣BM＝﹣2＝，
故答案為：．
21．如圖，是的直徑，點在上，于點，平分．
(1)求證：是的切線：
(2)若，，直接寫出的半徑的長．
答案:(1)見解析；(2)
(1)證明：連接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴直線EC是⊙O的切線；
(2)解：連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴，
∵AD=4，cos∠CAB=，
設AC=4x，AB=5x，
∴，
∴x=，
∴AB=，
即⊙O的半徑的長為．
22．四邊形是正方形，點在射線上，以點，點為頂點作正方形(點，，，按順時針方向排列)，連接，．
(1)如圖1，點在線段上，求證：；
(2)如圖2，點在線段上，連接．
①求證：；
②直接寫出線段，，之間的關系：
(3)當，以點，，，，為頂點的四邊形的面積等于5時，直接寫出此時的長．
答案:(1)見解析；(2)①見解析；②；(3)或
解：(1)∵四邊形是正方形，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
；
∴，
∴，
∴；
(2)①連接，
∵四邊形是正方形，
∴，，
在中，，
∴，
∴
∵四邊形是正方形，
∴，，
在中，，
∴，
∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②；
理由如下：
∵FC=BG，CD=DF+CF，
∴CD=DF+BG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，
∴AD=DF+BG；
(3)解：①如圖3，當點F在線段CD上時，
設DE=BG=x，則FC=x，
∴DC=AD=x+1，
過點E作EM⊥AD于點M，
∵∠AEF=∠ADF=90°，
∴A，E，D，F四點共圓，
∴∠AFE=∠EDM=45°，
∴EM=x，
∴S△ADE=AD×EM＝×(x+1)×x，S△ADF=AD×DF=x，
∴解得x=，x=(舍去)，
∴BG=
②如圖4，當點F在線段CD的延長線上時，連接AC，
∵S四邊形AEFD=S△AEF+S△ADF，
設AD=a，
∴AF2=DF2+AD2=1+a2，
∴S=(1+a2)+a=5，解得a=-1+2(負值舍去)，
∴AD=-1+2，
∴CF=2，
由(2)知△CFA∽△BGA，
∴，
∴BG=．
綜上所述，BG的長為或
23．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°．
(1)在AB上求作點D，使△CDB∽△ACB；(要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下，若BC=5，AC=12，求BD長．
答案:(1)見解析；(2)
(1)當 ，時，．
如圖1所示，過點C作，垂足為D，則點D就是所求作的點．
(2)證明：∵BC=5，AC=12，∠ACB=90o，
∴．
∵，
∴ ．
∴．
24．在坐標平面內，△ABC的頂點位置如圖所示．
(1)將△ABC作平移交換(x，y)→(x+2，y﹣3)得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1．
(2)以點O為位似中心縮小△ABC得到△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC的相似比為1：2，且點A與其對應點A2位于點O的兩側，畫出△A2B2C2．
答案:(1)見解析；(2)見解析
解：(1)如圖，△A1B1C1為所作；
(2)如圖，△A2B2C2為所作．
25．如圖，∠CAE＝∠BAD，∠E＝∠C．
(1)△ADE與△ABC相似嗎？為什么？
(2)如果AB＝3AD，S△ABC＝9，那么△ADE的面積為多少？
答案:(1)相似，理由見解析；(2)1
解：(1)△ADE與△ABC相似，
理由：∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE+∠CAD＝∠BAD+∠CAD，
即∠DAE＝∠BAC，
又∵∠E＝∠C，
∴△ADE∽△ABC；
(2)∵AB＝3AD，
∴，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
∵S△ABC＝9，
∴△ADE的面積為1．
26．如圖1，分別以的、為斜邊間外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，點是的中點，連接、．
(1)求證：；
(2)如圖2，若，，，求的正切值；
(3)如圖3，以的邊為斜邊問外作等腰直角三角形，連接，試探究線段、的關系，并加以證明．
答案:(1)證明見詳解；(2)tan；(3)結論是：DG=EG，且DG⊥EG，證明見詳解．
(1)∵和都是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠CAF=45°，
∴∠DAG=∠DAB+∠BAC=∠CAF+∠DAB=∠BAF，
∴AD=ABcos45°=，
∴，
∵點是的中點，
∴AG=，
∵AF= ACcos45°=，
∴，
∴，
∴，又∠DAG =∠BAF，
∴△ADG∽△ABF；
(2)∵∠BAC=90°，和都是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠CAF=45°，
∴∠DAF=∠DAB+∠BAC+∠CAF=45°+90°+45°=180°，
∴點D，A，F三點共線，
∵∠DAB=90°即∠FDB=90°，
∴△DBF為直角三角形，
∵△ADG∽△ABF；
∴∠AGD=∠AFB，
∵，，
∴BD=AD=ABcos45°=，AF= ACcos45°=，
∴DF=AF+AD=3+2=5，
∴tan=tan∠AFB=；
(3)結論是：DG=EG，且DG⊥EG，
理由如下：
∵△BCE和△ACF是等腰直角三角形，
∴∠BCE=∠ACB=45°，
∴EC=BCcos45°=，
∴，
∵點是的中點，
∴CG=，
∴CF=AF= ACcos45°=，
∴，
∴，
∴，
∴∠BCE+∠ACB=∠ACF+∠ACB，
即∠ECG=∠BCF，
∴△ECG∽△BCF，
∴BF=EG，∠EGC=∠BFC，
由△ADG∽△ABF得BF=EG，∠AGD=∠AFB，
∴DG=EG，∠AGD+∠EGC=∠AFB+∠BFC=90°，
∴∠DGE=90°，
∴DG=EG，且DG⊥EG．
27．已知函數和的圖象在第一象限內的交點為A，且函數的圖象分別與x軸正半軸交于點B，C．
(1)求點A的坐標；
(2)若，
①求證：；
②函數圖象的頂點分別為M，N，設的外心為點P，的內心為點Q．問是否存在m，n的值，使得O，P，Q三點共線？若存在，求m，n的值；若不存在，說明理由．
答案:(1)；(2)①見解析；②存在，
(1)解：聯立
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
當時，，
∴；
(2)①證明：令，得，
解得，
∴，
同理，
過點A作于點D，則，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②由題意得函數圖象的頂點分別為，，
過點M作軸于點E，過點N作軸于點F，
則，．
∵外心P在x軸上，
∴當O，P，Q三點共線時，Q也在x軸上，
此時，，
∴，
∴．
聯立
解得，(舍去)，
∴存在，使O，P，Q三點共線．
28．(1)問題探究：
如圖1，△ABC，△ADE均為等邊三角形，連接BD、CE，試探究線段BD與CE的數量關系，并說明理由．
(2)類比延伸
如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，連接BD，CE，試確定BD與CE的數量關系，并說明理由．
(3)拓展遷移
如圖3，在四邊形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝BC，CD＝4，若將線段DA繞點D按逆時針方向旋轉90°得到DA′，連接BA′，求線段BA′的長．
答案:(1)BD＝CE；理由見解析；(2)BD＝2CE，理由見解析；(3)A′B＝．
解：(1)∵△ABC、△ADE均為等邊三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠EAD＝∠CAB＝60°，
∴∠EAC＝60°﹣∠CAD，∠DAB＝60°﹣∠CAD，
∴∠EAC＝∠DAB，
在△EAC與△DAB中，
∴△EAC≌△DAB，
∴BD＝CE；
(2)BD＝2CE，
理由：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴∠EAD＝∠CAB＝60°，AD＝2AE，AB＝2AC，
∴∠EAC＝∠DAB，△EAD∽△CAB，
∴，
∴△EAC∽△DAB，
∴，
∴BD＝2CE；
(3)連接A′A，如圖③，
∵AC⊥BC，且AC＝BC，∴△ABC為等腰直角三角形．
∴，
∵將線段DA繞點D按逆時針方形旋轉90°得到DA′
∴△AA′D為等腰直角三角形．
∴△ABC∽△AA′D．
∴．
∴．
又∵∠CAB＝∠A′AD，∴∠A′AB＝∠DAC，
∴△CAD∽△BAA′．
∴，即，
∴A′B＝．
29．如圖，在矩形中，，點是邊上一點(點不和點、點重合)聯結，過點作的垂線交于點，交對角線于點．設，
(1)當時，求的值；
(2)用含的代數式表示的值；
(3)在點運動的過程中，能否與相似，如能，請求出此時之長，不能請說明理由．
答案:(1)；(2)；(3)能，
解：(1)：四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
．
(2)如圖，延長交于．
，
，
，
，
，
，
．
(3)能．
與相似，
只有時，滿足條件，
∴，
，
，
在中，
，
，
由(2)可知，，
，
．
30．如圖，中，是斜邊的中線．
(1)尺規作圖：畫出以為直徑的，與交于點，與交于點；
(2)若；，求的長：
(3)連接，交于點，若，求的值．
答案:(1)見解析；(2)；(3)．
解：(1)以C為圓心大于定長為半徑畫弧，以D為圓心大于定長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接兩弧交點交CD于點O，以O為圓心，OC為半徑畫圓；
(2)連接CE，
∵CD為直徑，
∴∠CED=∠CEB=90°，
∵∠CEB＝ACB，∠ABC＝∠CBE，
∴△ABC～△CBE，
同理，△ACE～△ABC，
∴2，
AB，CE，
∵S△ABC，
∴BE，AE，
∵，
∴，
(3)∵CD為△ABC中線，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF＝∠DCA＝∠DAC，
∴FO∥AD，
∴，
∴，
令DE＝3x，則CD＝4x＝AD＝BD，BE＝x，
∴CEx，
∴．

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