資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第02講 矩形的性質與判定
·模塊一 矩形的性質
·模塊二 矩形的判定
·模塊三 矩形的性質與判定綜合
·模塊四 課后作業
1．定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
2．性質：矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的一切性質，此外，還具有下述性質：
性質1：矩形的四個內角都相等，且為．
性質2：矩形的兩條對角線相等．
性質3：矩形是軸對稱圖形，對稱軸是一組對邊中點的連線所在的直線．
另外，由矩形的性質可以得出：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）矩形的對角線把矩形分成四個小的等腰三角形．
【考點1 由矩形的性質解角度問題】
【例1.1】（22-23八年級下·江蘇鹽城·階段練習）如圖，在矩形中，．若，則 ．
【變式1.1】（23-24九年級上·山東棗莊·階段練習）如圖，在矩形中，對角線與相交于點，過點作，垂足為點．若，則（ ）

A． B． C． D．
【變式1.2】（23-24九年級上·重慶沙坪壩·階段練習）如圖，延長矩形的邊至點E，使，連接，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【變式1.3】（22-23八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）矩形的對角線、交于點，平分交矩形的一條邊于點，已知，則的度數為 ．
【考點2 由矩形的性質解線段長度問題】
【例2.1】（2024八年級下·浙江·專題練習）如圖，在矩形中，，，，邊上各有一點E，F，，則的值為（ ）
A． B． C．4 D．3
【例2.2】（2024·安徽宿州·一模）如圖，在矩形中，E，F分別在邊和邊上，于點G，且G為的中點．若，則的長為（　　）

A．4 B． C． D．
【變式2.1】（23-24八年級下·安徽安慶·階段練習）如圖，在矩形中，，對角線與相交于點，，垂足為，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式2.2】（23-24八年級下·安徽合肥·階段練習）如圖，在矩形中，分別是邊的中點，連接分別是邊的中點，連接．若，則的長度為（ ）

A．4 B．3 C．2.5 D．2
【變式2.3】（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在矩形中，，．點在邊上，且，分別是邊、上的動點，且，是線段上的動點，連接．若，則線段的長為（ ）
A． B． C．2 D．
【考點3 由矩形的性質解面積問題】
【例3.1】（23-24八年級下·安徽蕪湖·階段練習）兩張寬度相同的矩形紙片按如圖方式交叉疊放在一起，，若，，則圖中重疊（陰影）部分的面積為（ ）

A．2 B． C．1 D．
【變式3.1】（22-23八年級下·江蘇南京·階段練習）矩形中，為上任一點，連接，，為中線，為上一點，且，，交于點．若矩形的面積為12，則四邊形的面積為（ ）

A．2.5 B．5 C． D．以上答案都不正確
【變式3.2】（22-23八年級下·江蘇揚州·階段練習）如圖，是矩形內的任意一點，連接、、、，得到、、、，設它們的面積分別是、、、，給出如下結論：①；②；③若，則；④若，則點在矩形的對角線上．其中正確的結論有(　 )
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
【變式3.3】（23-24八年級下·江蘇徐州·階段練習）如圖，點是矩形的對角線上一點，過點P作，分別交與、，連接．若則陰影部分的面積為 ．
【考點4 由斜邊的中線等于斜邊一半解問題】
【例4.1】（2024·重慶·一模）如圖，在矩形中，，矩形外一點E滿足，點O為對角線的中點，則的長度為 ．
【例4.2】（23-24八年級下·江蘇宿遷·階段練習）如圖，中，分別是的中點，點在上，延長交于，，則 ．
【例4.3】（23-24八年級上·浙江寧波·期中）如圖，中，，，，線段的兩個端點、分別在邊，上滑動，且，若點、分別是、的中點，則的最小值為（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【變式4.1】（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，在菱形中，對角線與交于點O，點E為線段的中點，點F在線段上，連接，，， ，則線段的長為 ．
【變式4.2】（23-24八年級下·湖南永州·階段練習）如圖，中，，為邊上的中點，為邊上一點，，連接、，延長交延長線于，若，，則 ．
【變式4.3】（2023九年級·全國·專題練習）如圖，在中，，，點在上，且，點是邊上的動點，連接，點，分別是和的中點，連接，．當時，線段的長為 ．

判定：
（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）對角線相等的平行四邊形是矩形．
（3）有三個角是的四邊形是矩形．
（4）對于平行四邊形 ，若存在一點到兩對對頂點距離的平方和相等，則為矩形．
【考點1 添一個條件使四邊形是矩形】
【例1.1】（23-24八年級下·山西臨汾·階段練習）在四邊形中，對角線，互相平分，若添加一個條件，使得四邊形是矩形，則下列條件不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1.1】（23-24八年級下·江西南昌·階段練習）在四邊形中，對角線相交于點O，下列選項中，能判定四邊形是矩形的是（ ）
A． B．，
C．， D．
【變式1.2】（23-24九年級上·河南鄭州·階段練習）如圖，順次連接四邊形各邊中點得四邊形，要使四邊形為矩形，應添加的條件是（ ）

A． B．
C． D．
【變式1.3】（22-23八年級下·上海青浦·期末）如圖， 的對角線、交于點，順次聯結 各邊中點得到的一個新的四邊形，如果添加下列四個條件中的一個條件：①；②；③；④，可以使這個新的四邊形成為矩形，那么這樣的條件可以是 ．（填序號）
【考點2 證明四邊形是矩形】
【例2.1】（23-24八年級下·遼寧鞍山·期中）如圖，在菱形中，對角線，交于點，點為邊上一點，連接，與交于點，且，過作交于，求證：四邊形是矩形．
【例2.2】（2024八年級下·浙江·專題練習）如圖，在平行四邊形中，對角線與相交于點，點，分別為，的中點，延長至，使，連接．
(1)求證：；
(2)當時，四邊形是矩形．
【例2.3】（22-23八年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在中，點E是AD的中點，連接BE，BE、CD的延長線相交于點F，連接AF、BD．
（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）當與滿足條件 時，四邊形ABDF是矩形．
【變式2.1】（23-24八年級下·上海寶山·階段練習）如圖，在中，、分別是邊、上的中線，與交于點O，點F、G分別是、的中點，連接、、、．
(1)求證：；
(2)若，求證：四邊形是矩形．
【變式2.2】（22-23八年級下·湖北咸寧·期末）平行四邊形ABCD的兩條對角線交于點O，E，F分別為BO，DO的中點，連接AE，AF，CE，CF．
(1)判斷四邊形AECF的形狀并說明理由；
(2)當AC與BD滿足怎樣的數量關系時，四邊形AECF是矩形？為什么？
【變式2.3】（23-24九年級上·河南駐馬店·階段練習）如圖，在中，是邊上的一個動點，過點作直線，交的平分線于點，交的外角的平分線于點．

(1)求證：
(2)連接，，當點在邊上運動到什么位置時，四邊形是矩形請說明理由．
【考點1 矩形的性質與判定綜合應用】
【例1.1】（23-24八年級下·遼寧大連·期中）如圖，四邊形為平行四邊形，點E在邊上，連接交于點F，．
(1)如圖1，若，則的度數為______
(2)如圖2，若，，四邊形的周長為28，求四邊形的面積．
【變式1.1】（2024·云南昆明·二模）如圖，平行四邊形的對角線，相交于點，，．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，平分，交邊于點，過點作于點．求的長．
【變式1.2】（23-24八年級下·湖北隨州·期中）如圖，菱形的對角線，相交于點O，E是的中點，點F，G在上，，．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，求和的長．
【變式1.3】（23-24八年級下·湖北武漢·期中）如圖，平行四邊形對角線交于點O，點E在上，點F在延長線上，連接，且，與交于點G．
(1)求證：；
(2)若，，G恰好是的中點，求的長．
【變式1.5】（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）在中，點M、N分別為邊、的中點，連接、．
(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如圖2，延長至點P，使，連接，若，請直接寫出圖2中所有與相等的線段（不包括）．
1．（2024·河北石家莊·二模）在矩形中，，點P是線段上一點，點M、N、E分別是的中點，下列四種情況，哪一種情況不可能使四邊形成為矩形（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江杭州·二模）如圖，在矩形中，對角線，交于點，是上一點，沿折疊，點恰好落在點處，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年級下·四川瀘州·期中）如圖，是矩形的邊上一個動點，矩形的兩條邊、的長分別為和，那么點到矩形的兩條對角線和的距離之和是（ ）
A． B． C． D．無法確定
4．（23-24八年級下·湖北武漢·期中）如圖，平分，為矩形的對角線上的一點，于點，的延長線與的延長線交于點，若，則的值是( )

A．6 B．7 C．8 D．10
5．（23-24八年級下·浙江溫州·期中）如圖，在中，，，為的中點，為的中點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年級下·湖北荊州·期中）已知平行四邊形ABCD的對角線交于點O，分別添加下列條件：①；②；③；④中的一個，能使平行四邊為矩形的條件的序號是 ．
7．（23-24七年級上·福建福州·期末）如圖，是矩形中邊的中點，將沿折疊到在矩形內部，延長交于點，若，則 ．
8．（2024·湖南永州·三模）如圖，矩形中，O為的中點．對角線的垂直平分線分別交于點E、F，若，則的面積是 ．
9．（2024·浙江臺州·三模）如圖，點E為矩形的邊上一點，，，將沿翻折得到，使點F落在矩形內部，連接．若平分，則的長為 ．

10．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，矩形中，，，為中點，為上一點，將沿折疊后，點恰好落到上的點處，則折痕的長為 ．
11．（23-24八年級下·江蘇南通·期中）如圖，菱形的對角線交于點O，點E是菱形外一點，，．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)連接交于點F，當，時，求的長度．
12．（23-24八年級下·四川綿陽·期中）如圖，菱形的對角線，相交于點O，于點E，F是的中點，于點G．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，求的值．
13．（23-24八年級下·湖北荊門·期中）如圖，在菱形中，對角線，交于點O，過點A作的垂線，垂足為點E，延長到點F，使，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)連接，若，，求的長．
14．（2024八年級下·浙江·專題練習）在中，，為上的兩點，且，．

(1)求證：；
(2)求證：是矩形；
(3)連接，若是的平分線，，，求四邊形的面積．
15．（2024·江蘇南京·二模）如圖，在中，，垂足分別為G 、H，E 、F分別是、的中點，連接．

(1)求證：；
(2)連接，若，則四邊形的面積為 ．中小學教育資源及組卷應用平臺
第02講 矩形的性質與判定
·模塊一 矩形的性質
·模塊二 矩形的判定
·模塊三 矩形的性質與判定綜合
·模塊四 課后作業
1．定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
2．性質：矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的一切性質，此外，還具有下述性質：
性質1：矩形的四個內角都相等，且為．
性質2：矩形的兩條對角線相等．
性質3：矩形是軸對稱圖形，對稱軸是一組對邊中點的連線所在的直線．
另外，由矩形的性質可以得出：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）矩形的對角線把矩形分成四個小的等腰三角形．
【考點1 由矩形的性質解角度問題】
【例1.1】（22-23八年級下·江蘇鹽城·階段練習）如圖，在矩形中，．若，則 ．
【答案】/45度
【分析】根據矩形性質得出 推出根據求出求出，根據 即可求出的度數．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴
，
，
∴
，
∴
∴
，
∴
∴．
故答案為：．
【點評】本題考查了矩形性質的應用，注意：矩形的對角線互相平分且相等，矩形的四個角都是直角．
【變式1.1】（23-24九年級上·山東棗莊·階段練習）如圖，在矩形中，對角線與相交于點，過點作，垂足為點．若，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先證明是等腰直角三角形，求出，即可．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，，，
═，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故選：A．
【點睛】本題考查矩形的性質、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是發現是等腰直角三角形這個突破口．
【變式1.2】（23-24九年級上·重慶沙坪壩·階段練習）如圖，延長矩形的邊至點E，使，連接，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了矩形的性質，等腰三角形的判定及性質，三角形內角和定理等；連接與交于，根據矩形的性質可證，，由等腰三角形的性質及三角形內角和定理即可求解；掌握性質，作出輔助線，構建等腰是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，連接與交于，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故選：B．
【變式1.3】（22-23八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）矩形的對角線、交于點，平分交矩形的一條邊于點，已知，則的度數為 ．
【答案】或
【分析】分點E在邊上和點E在上兩種情況討論即可.
【詳解】解：當點E在邊上時，如圖：
四邊形是矩形，
平分，
，
是等邊三角形，，
，
；
當點E在上時，如圖：
四邊形是矩形，
平分，
，
是等邊三角形，
，
，
綜上，的度數為或.
故答案為：或
【點睛】此題考查矩形的性質、等邊三角形的判定和性質、平行線的性質、角平分線的定義，熟練掌握各個知識點是解答此題的關鍵.
【考點2 由矩形的性質解線段長度問題】
【例2.1】（2024八年級下·浙江·專題練習）如圖，在矩形中，，，，邊上各有一點E，F，，則的值為（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】C
【分析】此題考查了矩形的性質，菱形的性質和判定，勾股定理等知識．首先根據勾股定理求出，，然后證明出四邊形是菱形，得到，然后利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴
∴．
故選：C．
【例2.2】（2024·安徽宿州·一模）如圖，在矩形中，E，F分別在邊和邊上，于點G，且G為的中點．若，則的長為（　　）

A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，中垂線的性質，作出合適的輔助線，構造直角三角形利用勾股定理是解題的關鍵．連接，且為的中點，得到，利用勾股定理可求出，進而得到，在中，可求出，進而求出，再運用勾股定理即可求．
【詳解】解：連接，
四邊形是矩形，
，
且為的中點，
，，
在中，
，
在中，
．
在中．
故選：C．
【變式2.1】（23-24八年級下·安徽安慶·階段練習）如圖，在矩形中，，對角線與相交于點，，垂足為，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，線段垂直平分線的性質，證明是等邊三角形是本題的關鍵．
由矩形的性質得出，得出，由已知條件得出，由線段垂直平分線的性質得出 ，得出為等邊三角形，因此，由三角形的外角性質得出，由含角的直角三角形的性質即可得出的長．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
故選：D．
【變式2.2】（23-24八年級下·安徽合肥·階段練習）如圖，在矩形中，分別是邊的中點，連接分別是邊的中點，連接．若，則的長度為（ ）

A．4 B．3 C．2.5 D．2
【答案】C
【分析】本題主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，三角形中位線定理等知識，作輔助線構造三角形中位線是解題的關鍵．連接并延長交于，連接，首先證明，得，再利用勾股定理求出的長度，再根據三角形中位線定理可得答案．
【詳解】解：如圖，

連接并延長，交于點，連接．
四邊形是矩形，
．
分別是邊的中點，，
，
，
，
是的中點，
，
在與中，
，
，
，
，
是的中點，
．
故選：C．
【變式2.3】（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在矩形中，，．點在邊上，且，分別是邊、上的動點，且，是線段上的動點，連接．若，則線段的長為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由題意知，，則，，如圖1，在上取點，使，連接，，則，由，，可得，，即三點共線，如圖2，則四邊形是矩形，則，由，可求，由勾股定理得，，計算求解即可．
【詳解】解：∵矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
如圖1，在上取點，使，連接，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即三點共線，如圖2，則四邊形是矩形，

∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
故選：A．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，三角形三邊關系，勾股定理等知識．明確時，點的位置是解題的關鍵．
【考點3 由矩形的性質解面積問題】
【例3.1】（23-24八年級下·安徽蕪湖·階段練習）兩張寬度相同的矩形紙片按如圖方式交叉疊放在一起，，若，，則圖中重疊（陰影）部分的面積為（ ）

A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本題考查矩形的性質，菱形的判定與性質，由四邊形和四邊形是全等的矩形，得出，，，所以四邊形是平行四邊形，在和中，利用證明兩個三角形全等，得出，又因為四邊形是平行四邊形，推出四邊形是菱形，設，則，在中，由勾股定理得，解得，所以圖中重疊（陰影）部分的面積，解題的關鍵是掌握相關知識．
【詳解】解：如圖，
四邊形和四邊形是全等的矩形，
，，，
四邊形是平行四邊形，
在和中，
，
，
，
又四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形，
設，
則，
在中，由勾股定理得，
解得，
圖中重疊（陰影）部分的面積，
故選：D．

【變式3.1】（22-23八年級下·江蘇南京·階段練習）矩形中，為上任一點，連接，，為中線，為上一點，且，，交于點．若矩形的面積為12，則四邊形的面積為（ ）

A．2.5 B．5 C． D．以上答案都不正確
【答案】A
【分析】連接，根據矩形的性質可得，根據為中線，可得，，根據，可得，，，即有，進而可得，， ，即可得，問題隨之得解．
【詳解】連接，如圖，

∵面積為矩形面積的一半，矩形的面積為12，
∴，
∵為中線，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形的面積為：，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質，三角形中線的性質，得出，且等高的兩個三角形面積之比等于其底之比，是解答本題的關鍵．
【變式3.2】（22-23八年級下·江蘇揚州·階段練習）如圖，是矩形內的任意一點，連接、、、，得到、、、，設它們的面積分別是、、、，給出如下結論：①；②；③若，則；④若，則點在矩形的對角線上．其中正確的結論有(　 )
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
【答案】C
【分析】根據矩形的對邊相等可得，，設點到、、、的距離分別為、、、，然后利用三角形的面積公式列式整理即可判斷出①②；根據三角形的面積公式即可判斷③；根據已知進行變形，求出，即可判斷④．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，，
設點到、、、的距離分別為、、、，
∴，
不能得出，
故①錯誤，②正確；
根據，能得出，不能推出，即不能推出，故③錯誤；
∵，，
∴，
∴
∴點一定在對角線上，故④正確．
故選：C．
【點睛】本題考查了矩形的性質，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．
【變式3.3】（23-24八年級下·江蘇徐州·階段練習）如圖，點是矩形的對角線上一點，過點P作，分別交與、，連接．若則陰影部分的面積為 ．
【答案】4
【分析】本題考查矩形的性質、三角形的面積等知識，解題的關鍵是證明．由矩形的性質可證明，即可求解．
【詳解】解：如圖：
解：作于M，交于N．
∵，且四邊形是矩形
∴四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是矩形，
∴，
∵
∵
∴
∴
故答案為：4．
【考點4 由斜邊的中線等于斜邊一半解問題】
【例4.1】（2024·重慶·一模）如圖，在矩形中，，矩形外一點E滿足，點O為對角線的中點，則的長度為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了矩形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，連接，設交于F，則由矩形的性質可得，點O是對角線的中點，利用勾股定理得到，再證明，即可得到．
【詳解】解：如圖所示，連接，設交于F，
∵四邊形是矩形，點O是對角線的中點，
∴，點O是對角線的中點，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案為：．
【例4.2】（23-24八年級下·江蘇宿遷·階段練習）如圖，中，分別是的中點，點在上，延長交于，，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質等知識點，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關鍵．根據三角形中位線的性質得到，然后根據直角三角形的性質得到，進而求解即可．
【詳解】∵，分別是，的中點，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案為：．
【例4.3】（23-24八年級上·浙江寧波·期中）如圖，中，，，，線段的兩個端點、分別在邊，上滑動，且，若點、分別是、的中點，則的最小值為（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質，明確、、在同一直線上時，取最小值是解題的關鍵．
根據勾股定理得到，根據直角三角形斜邊中線的性質求得，，由當、、在同一直線上時，取最小值，即可求得的最小值為2．
【詳解】解：如圖，連接、，
，，，
，
，點、分別是、的中點，
，，
當、、在同一直線上時，取最小值，
的最小值為：．
故選：A．
【變式4.1】（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，在菱形中，對角線與交于點O，點E為線段的中點，點F在線段上，連接，，， ，則線段的長為 ．
【答案】
【分析】此題考查了菱形的性質、直角三角形的性質、勾股定理等知識，證明是等腰三角形，進一步得到則，即可求出答案．
【詳解】解：連接，
∵四邊形是菱形，
∴，與互相平分，
∴點O是與的中點，是等腰三角形，
∵點E為線段的中點，
∴，，
∴是等腰三角形，，
設，則，，
∴，，
∴，
解得，
∴
∴，
∴，
故答案為：．
【變式4.2】（23-24八年級下·湖南永州·階段練習）如圖，中，，為邊上的中點，為邊上一點，，連接、，延長交延長線于，若，，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上中線的性質等知識，證明點E是的中點是解題的關鍵.
取的中點G，連接，則，可得，再利用三角形中位線定理得，利用證明得，再利用勾股定理分別求出，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答；
【詳解】解：取的中點G，連接，
則，
為邊上的中點，G為的中點，
是的中位線，
在和中
,
在中，
為邊上的中點，
在中，
在中，
,
故答案為：
【變式4.3】（2023九年級·全國·專題練習）如圖，在中，，，點在上，且，點是邊上的動點，連接，點，分別是和的中點，連接，．當時，線段的長為 ．

【答案】2
【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質、直角三角形的性質、等腰三角形的性質，連接，和，由題意可得，，和，則有和，進一步有，可得，繼而得，則有，可判定，有即可．
【詳解】解：連接，和，如圖，

在中，，，
，
點分別是和的中點，
，，，
∴，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴，
是直角三角形，且，
，
，
在和中，
，
，
．
判定：
（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）對角線相等的平行四邊形是矩形．
（3）有三個角是的四邊形是矩形．
（4）對于平行四邊形 ，若存在一點到兩對對頂點距離的平方和相等，則為矩形．
【考點1 添一個條件使四邊形是矩形】
【例1.1】（23-24八年級下·山西臨汾·階段練習）在四邊形中，對角線，互相平分，若添加一個條件，使得四邊形是矩形，則下列條件不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定以及矩形的判定等知識點，對角線，互相平分，可得四邊形是平行四邊形，再由矩形的判定，即可求得答案，熟練掌握矩形的判定是解題的關鍵．
【詳解】∵在四邊形中，對角線，互相平分，
∴四邊形是平行四邊形，
A、當時，平行四邊形是矩形，不符合題意；
B、當時，平行四邊形是矩形，不符合題意；
C、當時，平行四邊形還是平行四邊形，符合題意；
D、當時，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴平行四邊形是矩形，不符合題意；
故選：C．
【變式1.1】（23-24八年級下·江西南昌·階段練習）在四邊形中，對角線相交于點O，下列選項中，能判定四邊形是矩形的是（ ）
A． B．，
C．， D．
【答案】A
【分析】此題考查了矩形的判定方法．根據矩形的判定定理求解即可．
【詳解】解：A、，根據對角線相等且平分的四邊形是矩形，能判定四邊形是矩形，本選項符合題意；
B、，，能判定四邊形是平行四邊形，不能判定四邊形是矩形，本選項不符合題意；
C、，，不能判定四邊形是矩形，本選項不符合題意；
D、，不能判定四邊形是矩形，本選項不符合題意；
故選：A．
【變式1.2】（23-24九年級上·河南鄭州·階段練習）如圖，順次連接四邊形各邊中點得四邊形，要使四邊形為矩形，應添加的條件是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】連，根據三角形中位線的性質得到，； ，，即四邊形為平行四邊形，當和，只能判斷四邊形為平行四邊形；當，能判斷四邊形為矩形；當，能判斷四邊形為菱形．
【詳解】解：如圖所示，連，

∵、、、為四邊形各中點，
∴，；，，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
要使四邊形為菱形，則，
而，
∴．
當和，只能判斷四邊形為平行四邊形，故A、D選項錯誤；
當，能判斷四邊形為矩形，故C選項正確；
當，可判斷四邊形為菱形，故B選項錯誤．
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形的判定定理，以及三角形中位線的性質，掌握矩形的判定方法是解題的關鍵．
【變式1.3】（22-23八年級下·上海青浦·期末）如圖， 的對角線、交于點，順次聯結 各邊中點得到的一個新的四邊形，如果添加下列四個條件中的一個條件：①；②；③；④，可以使這個新的四邊形成為矩形，那么這樣的條件可以是 ．（填序號）
【答案】①②④
【分析】根據順次聯結四邊形的中點，得到的四邊形形狀和四邊形的對角線位置、數量關系有關，利用三角形中位線性質可得：當對角線垂直時，所得新四邊形是矩形．逐一對四個條件進行判斷．
【詳解】解：順次聯結四邊形的中點，得到的四邊形形狀和四邊形的對角線位置、數量關系有關，利用三角形中位線性質可得：當對角線垂直時，所得新四邊形是矩形．
①，
新的四邊形成為矩形，符合條件；
②四邊形是平行四邊形，
，．
，
．
根據等腰三角形的性質可知，
，
新的四邊形成為矩形，符合條件；
③四邊形是平行四邊形，
．
，
．
．
，
四邊形是矩形，聯結各邊中點得到的新四邊形是菱形，不符合條件；
④，，
，即平行四邊形的對角線互相垂直，
新四邊形是矩形，符合條件．
所以①②④符合條件．
故答案為：①②④．
【點睛】本題考查矩形，解題的關鍵是數量掌握矩形的判斷定理．
【考點2 證明四邊形是矩形】
【例2.1】（23-24八年級下·遼寧鞍山·期中）如圖，在菱形中，對角線，交于點，點為邊上一點，連接，與交于點，且，過作交于，求證：四邊形是矩形．
【答案】見解析
【分析】本題考查了矩形的判定、菱形的性質、平行四邊形的判定與性質等知識，熟練掌握菱形的性質和矩形的判定是解題的關鍵．先證四邊形是平行四邊形，再證，即可得出結論．
【詳解】證明：四邊形是菱形

四邊形是平行四邊形．
．
四邊形是平行四邊形
四邊形是矩形．
【例2.2】（2024八年級下·浙江·專題練習）如圖，在平行四邊形中，對角線與相交于點，點，分別為，的中點，延長至，使，連接．
(1)求證：；
(2)當時，四邊形是矩形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）由平行四邊形的性質得出，，，，由平行線的性質得出，證出，由證明即可；
（2）證出，由等腰三角形的性質得出，，同理：，得出，由三角形中位線定理得出，，得出四邊形是平行四邊形，即可得出結論．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，，，
，
點，分別為，的中點，
，，
，
在和中，
，
；
（2）證明：，，
，
是的中點，
，
，
同理：，
，
，
，，
是的中位線，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形．
【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質和判定、全等三角形的判定、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．
【例2.3】（22-23八年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在中，點E是AD的中點，連接BE，BE、CD的延長線相交于點F，連接AF、BD．
（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）當與滿足條件 時，四邊形ABDF是矩形．
【答案】（1）見解析；（2）∠BED=2∠C
【分析】（1）要證明四邊形ABDF是平行四邊形，只要證明AB=DF即可，然后根據題目中的條件，利用平行四邊形的性質和全等三角形的判定方法可以得到△BEA≌△FED，即可得到AB=DF；
（2）先寫出∠C與∠BED之間的關系，然后根據矩形的判定方法和平行四邊形的性質，得到∠BAF=90°，再結合（1）中的結論，即可得到四邊形ABDF是矩形．
【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE=∠FDE，
∵點E是AD的中點，
∴AE=DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）∠BED=2∠C時，四邊形ABDF是矩形，
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAE=∠C，
∵∠BED=2∠C，
∴∠BED=2∠BAE，
∵∠BED=∠BAE+∠ABE，
∴∠BAE=∠ABE，
∴EB=EA，
由（1）知四邊形ABDF是平行四邊形，
∴BE=EF，
∴EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠BAE+∠ABE+∠EAF+∠EFA=180°，
∴∠BAE+∠EAF=90°，
∴四邊形ABDF是矩形．
【點睛】本題考查矩形的判定、平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是明確平行四邊形的判定方法和矩形的判定方法，利用數形結合的思想解答．
【變式2.1】（23-24八年級下·上海寶山·階段練習）如圖，在中，、分別是邊、上的中線，與交于點O，點F、G分別是、的中點，連接、、、．
(1)求證：；
(2)若，求證：四邊形是矩形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據點F、G分別是、的中點，得到，由、分別是邊、上的中線，得到，即可證明；
（2）根據第一問結論，可得，，即證得四邊形是平行四邊形，根據，證得，得到，結合，得到，再根據平行四邊形對角線互相平分，得到，即證明四邊形是矩形．
【詳解】（1）點F、G分別是、的中點
，
、分別是邊、上的中線
是的中位線
，
，．
（2） 、分別是邊、上的中線
，
，
，
在與中，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形
，互相平分
，
．
四邊形是矩形．
【點睛】本題考查了三角形中位線的性質，平行線的判定和性質，三角形全等的判定和性質，等腰三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，矩形的判定，熟練掌握相關性質和判定是解題的關鍵．
【變式2.2】（22-23八年級下·湖北咸寧·期末）平行四邊形ABCD的兩條對角線交于點O，E，F分別為BO，DO的中點，連接AE，AF，CE，CF．
(1)判斷四邊形AECF的形狀并說明理由；
(2)當AC與BD滿足怎樣的數量關系時，四邊形AECF是矩形？為什么？
【答案】(1)平行四邊形，見解析
(2)BD=2AC，見解析
【分析】（1）由平行四邊形的性質得OA=OC，OB=OD，再證OE=OF，即可得出結論；
（2）要得到四邊形AECF是矩形，則AC=EF，據此解答即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F分別是OB，OD的中點，
∴OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）解：當BD=2AC時，四邊形AECF是矩形，
證明：由（1）知OB=OD，
∵E，F分別是OB，OD的中點，
∴EF=BD=AC，
∵四邊形AECF是平行四邊形，
又EF= AC，
∴四邊形AECF是矩形．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、矩形的判定等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．
【變式2.3】（23-24九年級上·河南駐馬店·階段練習）如圖，在中，是邊上的一個動點，過點作直線，交的平分線于點，交的外角的平分線于點．

(1)求證：
(2)連接，，當點在邊上運動到什么位置時，四邊形是矩形請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)當點在邊上運動到中點時，四邊形是矩形，理由見解析
【分析】（1）根據平行線的性質可得，再根據分別平分，可得，從而得到，即可求證；
（2）先判定四邊形是平行四邊形，然后根據分別平分，可得，即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵分別平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：當點在邊上運動到中點時，四邊形是矩形，理由如下：
∵點在邊的中點，
∴，
由（1）得：，
∴四邊形是平行四邊形，
∵分別平分，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形．
【點睛】本題主要考查了矩形的判定，等腰三角形的判定，平行線的性質，熟練掌握矩形的判定，等腰三角形的判定，平行線的性質是解題的關鍵．
【考點1 矩形的性質與判定綜合應用】
【例1.1】（23-24八年級下·遼寧大連·期中）如圖，四邊形為平行四邊形，點E在邊上，連接交于點F，．
(1)如圖1，若，則的度數為______
(2)如圖2，若，，四邊形的周長為28，求四邊形的面積．
【答案】(1)；
(2)四邊形的面積為．
【分析】本題考查了菱形的性質，矩形的性質，利用完全平方公式求面積是解題的關鍵．
（1）設根據菱形的性質和等腰三角形的性質，得出三個角的度數，列方程得出，即可得到的度數；
（2）連接，求出對角線的長度，從而得出四邊形的邊長，求出面積．
【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，，
∴四邊形是菱形，
設， 則，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）解：連接交于點，如圖：
設，則，
∵四邊形是平行四邊形，，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
設，
，
∴四邊形的面積為．
【變式1.1】（2024·云南昆明·二模）如圖，平行四邊形的對角線，相交于點，，．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，平分，交邊于點，過點作于點．求的長．
【答案】(1)見解析
(2)的長為．
【分析】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的性質、等腰三角形的判定以及等腰直角三角形的判定與性質等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．
（1）由平行四邊形的性質得，，，再證明，得，則，進而得，然后由矩形的判定即可得出結論；
（2）由矩形的性質得，，，再證明是等腰直角三角形，得，，然后證明是等腰直角三角形，即可解決問題．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，
，
，
，
，
平行四邊形是矩形；
（2）解：由（1）可知，四邊形是矩形，
，，，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即的長為．
【變式1.2】（23-24八年級下·湖北隨州·期中）如圖，菱形的對角線，相交于點O，E是的中點，點F，G在上，，．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，求和的長．
【答案】(1)見詳解
(2)，
【分析】（1）先證為的中位線，則，再證四邊形為平行四邊形，然后證，即可得出結論；
（2）由菱形的性質得到，再由三角形中位線定理求出的長，然后由矩形的性質得到，，，由勾股定理得到，求出，最后由勾股定理即可求出的長．
【詳解】（1）證明：四邊形為菱形，
，
點為中點，
為的中位線，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，
，
平行四邊形為矩形；
（2）解：四邊形是菱形，
，
由（1）得：為的中位線，
，
點為的中點，
，
由（1）可知，四邊形是矩形，
，，，
，
，
．
【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、菱形的性質、平行四邊形的判定、三角形中位線定理、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質、菱形的性質是解題的關鍵．
【變式1.3】（23-24八年級下·湖北武漢·期中）如圖，平行四邊形對角線交于點O，點E在上，點F在延長線上，連接，且，與交于點G．
(1)求證：；
(2)若，，G恰好是的中點，求的長．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】（1）由平行四邊形的性質可得，結合可得是的中位線，即可求證；
（2）連接由（1）知得，根據題意證明，利用三角形全等的性質即可求證是矩形，在根據結合勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，
，
，
是的中位線，
，
；
（2）連接如圖：
由(1)得∶，
，
是的中點，
，
在和中，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是平行四邊形，
，
，
又，
，
平行四邊形是矩形，
，
，
在中：，
，
．
【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形中位線的性質，勾股定理，掌握三角形全等的判定及平行四邊形的性質運用是解題的關鍵．
【變式1.5】（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）在中，點M、N分別為邊、的中點，連接、．
(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如圖2，延長至點P，使，連接，若，請直接寫出圖2中所有與相等的線段（不包括）．
【答案】(1)見解析
(2)、、、、、
【分析】（1）先根據平行四邊形的性質證明，，然后證明，，即可證明是平行四邊形；
（2）連接，．首先證明四邊形是矩形．推出，證明為直角三角形，根據M為的中點，得出，根據，得出，即可得出答案．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
∴，，
點，分別為邊，的中點，
，，
，，
四邊形是平行四邊形．
（2）解：如圖，連接，，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為矩形，
∵點N是的中點，
∴點N在上，
∴，，，，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∵，
∴為直角三角形，
∵M為的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴與相等的線段有、、、、、．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質、矩形的判定和性質、直角三角形斜邊中線定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
1．（2024·河北石家莊·二模）在矩形中，，點P是線段上一點，點M、N、E分別是的中點，下列四種情況，哪一種情況不可能使四邊形成為矩形（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了矩形的性質與判定，三角形中位線定理，勾股定理，先由三角形中位線定理得到，則當時，四邊形是矩形，由矩形的性質得到，設，則，由勾股定理推出，據此求出即可得到答案．
【詳解】解：∵點M、N、E分別是的中點，
∴分別是的中位線，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴當時，四邊形是矩形，
∵四邊形是矩形，
∴，
設，則，
由勾股定理得，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四個選項中，只有D選項符合題意，
故選：D．
2．（2024·浙江杭州·二模）如圖，在矩形中，對角線，交于點，是上一點，沿折疊，點恰好落在點處，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查矩形與折疊，根據矩形的性質，折疊的性質，推出為等邊三角形，進而得到，即可得出結果．
【詳解】解：∵矩形，
，
∵沿折疊，點恰好落在點處，
∴，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∴；
故選C．
3．（23-24八年級下·四川瀘州·期中）如圖，是矩形的邊上一個動點，矩形的兩條邊、的長分別為和，那么點到矩形的兩條對角線和的距離之和是（ ）
A． B． C． D．無法確定
【答案】C
【分析】本題考查了矩形的性質、勾股定理以及三角形面積問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．首先連接，由矩形的兩條邊、的長分別為和，可求得，的面積，然后由求得答案．
【詳解】解：連接，
∵矩形的兩條邊、的長分別為和，
∴，，， ，
∴，
∴，
∴，
∵，
解得： ．
∴點到矩形的兩條對角線和的距離之和是．
故選．
4．（23-24八年級下·湖北武漢·期中）如圖，平分，為矩形的對角線上的一點，于點，的延長線與的延長線交于點，若，則的值是( )

A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【分析】本題考查了矩形的性質，等角對等邊，過作于，連接，證明，根據，得出，則，根據等角對等邊即可求解．
【詳解】解：過作于，連接，
平分，
，
四邊形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故選：D．
5．（23-24八年級下·浙江溫州·期中）如圖，在中，，，為的中點，為的中點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．
連接，根據平行四邊形的對邊相等，對角線互相平分可得，，推得，根據等腰三角形底邊上的中線和底邊上的高重合，可得，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．
【詳解】解：連接，如圖：
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
∵為的中點，
∴，
在中，為的中點，
∴．
故選：A．
6．（23-24八年級下·湖北荊州·期中）已知平行四邊形ABCD的對角線交于點O，分別添加下列條件：①；②；③；④中的一個，能使平行四邊為矩形的條件的序號是 ．
【答案】①③④
【分析】本題主要考查了矩形的判定，根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形等判定方法一一判定即可．
【詳解】解：①∵有一個角是直角的平行四邊形是矩形，∴此項成立；
②∵菱形是平行四邊形，它的對角線也互相垂直，但它不是矩形，∴此項不成立；
③∵對角線相等的平行四邊形是矩形，∴此項成立；
④∵平行四邊形的對角線互相平分，由可得它的對角線相等，∴此項成立．
故答案為：①③④．
7．（23-24七年級上·福建福州·期末）如圖，是矩形中邊的中點，將沿折疊到在矩形內部，延長交于點，若，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了折疊問題以及矩形的性質的運用，解題的關鍵是利用折疊圖形中的對應角相等進行求解．由沿折疊到，得出，由，求出，利用求解．
【詳解】解：沿折疊到，
，
，，
，
．
故答案為：．
8．（2024·湖南永州·三模）如圖，矩形中，O為的中點．對角線的垂直平分線分別交于點E、F，若，則的面積是 ．
【答案】5
【分析】本題考查矩形的性質、線段的垂直平分線的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質和勾股定理，證明三角形全等是解題的關鍵．連接，由線段垂直平分線的性質得出，，證明得出，得出，，由勾股定理求出，再求解的面積．
【詳解】解：連接，如圖：
是的垂直平分線，
，，
四邊形是矩形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的面積是，
故答案為：5
9．（2024·浙江臺州·三模）如圖，點E為矩形的邊上一點，，，將沿翻折得到，使點F落在矩形內部，連接．若平分，則的長為 ．

【答案】或
【分析】過F作于G，交于H，則可得四邊形是矩形，，由已知得，由折疊知，，；設，在中由勾股定理可求得a的值，從而得；設，在中，由勾股定理建立方程求得x的值，進而得到的長．
【詳解】解：如圖，過F作于G，交于H．
在矩形中，，
，
四邊形是矩形．
，．
平分，
．
．
．
由折疊知，，．
設，則；
在中，由勾股定理可得：，
解得：．
即或，
當時，．
設，則，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
即．
當時，．
設，則，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
即．
綜上，或．

故答案為：或．
【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，折疊的性質，勾股定理，等腰三角形的判定等知識，作出輔助線利用勾股定理建立方程求解是關鍵．
10．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，矩形中，，，為中點，為上一點，將沿折疊后，點恰好落到上的點處，則折痕的長為 ．
【答案】/
【分析】連接，利用矩形的性質以及折疊的性質，即可得到與全等，設，則可得，在中利用勾股定理即可得到的值，在中利用勾股定理即可求出的長度．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵四邊形是矩形，
∴，,
∵為中點，
∴，
由折疊可得，，，
∴，,
又∵，
∴，
又∵，
∴（），
∴ ，
設，則， ， ，
∵，
∴中，，
即，
解得 ，
∴ ，
∵，
∴中， ，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質以及折疊問題，解題時我們常常設要求的線段長為，然后根據折疊和軸對稱的性質用含的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案．
11．（23-24八年級下·江蘇南通·期中）如圖，菱形的對角線交于點O，點E是菱形外一點，，．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)連接交于點F，當，時，求的長度．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據，，，即可證明；
（2）連接，利用勾股定理得出，進一步證明出四邊形是平行四邊形，得到，，最后利用勾股定理計算即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形 ．
（2）連接，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∵四邊形是菱形，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴在中，，
∴．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定、菱形的性質、矩形的性質與判定、勾股定理、含的直角三角形，熟練掌握平行四邊形的性質與判定、菱形的性質、矩形的性質與判定是解題的關鍵．
12．（23-24八年級下·四川綿陽·期中）如圖，菱形的對角線，相交于點O，于點E，F是的中點，于點G．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的性質、三角形中位線定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵.
（1）證明是的中位線， 得，再證， ， 則四邊形是平行四邊形，即可得出結論；
（2）由矩形的性質和時間在我想到了得，， 再求出 ，然后由菱形的性質和面積公式即可得出結論.
【詳解】（1）證明： ∵四邊形是菱形，
∴，
∵是的中點，
∴是的中位線，
∴，
∵， ，
∴， ，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴平行四邊形是矩形；
（2）由（1）可知， 四邊形是矩形， 是的中位線，
∴，
∵，
，
∵四邊形是菱形，
∴，
又∵，
∴.
13．（23-24八年級下·湖北荊門·期中）如圖，在菱形中，對角線，交于點O，過點A作的垂線，垂足為點E，延長到點F，使，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)連接，若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了菱形的性質、矩形的判定、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理，熟練掌握知識點并靈活運用是解題的關鍵．
（1）根據菱形的性質可得且，等量代換得到，推出四邊形是平行四邊形，再根據矩形的判定定理即可得出結論；
（2）由菱形的性質可得,，由直角三角形斜邊上的中線的性質可得，由勾股定理可得，計算出的長，最后再由勾股定理計算出AE的長即可．
【詳解】（1）證明: ∵四邊形是菱形,
∴且,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴四邊形是平行四邊形，
∵,
∴,
∴四邊形是矩形；
（2）∵四邊形是菱形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
，即，
，
．
14．（2024八年級下·浙江·專題練習）在中，，為上的兩點，且，．

(1)求證：；
(2)求證：是矩形；
(3)連接，若是的平分線，，，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析；
(3)．
【分析】本題考查了矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，角平分線定義，熟練掌握矩形的判定和性質定理是解題的關鍵．
（1）首先根據平行四邊形的性質得到，然后結合已知條件利用判定兩三角形全等即可；
（2）根據全等三角形的性質得到，從而判定矩形；
（3）根據矩形的性質和角平分線的定義以及矩形的面積公式即可得到結論．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）證明：，
，
在平行四邊形中，，
，
，
四邊形是矩形；
（3）解：四邊形是矩形，
，
是的平分線，
，
，
，
，
，
，
四邊形的面積．
15．（2024·江蘇南京·二模）如圖，在中，，垂足分別為G 、H，E 、F分別是、的中點，連接．

(1)求證：；
(2)連接，若，則四邊形的面積為 ．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）證明四邊形是矩形，則，由E 、F分別是、的中點，可得，證明即可；
（2）如圖，連接，由，E是的中點，可得，，由勾股定理得，，由，可求，由E 、F分別是、的中點，則底邊上的高均為，由，可得，同理（1）可證，，，根據 ，計算求解即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵E 、F分別是、的中點，
∴，
∵，，，
∴；
（2）解：如圖，連接，

∵，E是的中點，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵E 、F分別是、的中點，
∴底邊上的高均為，
∵，
∴，
同理（1）可證，，
∴，
∴
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，矩形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理等知識．熟練掌握平行四邊形的性質，矩形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理是解題的關鍵．

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