資源簡介

專題05二次函數(shù)的三種表示方式
二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，也是高考必考內(nèi)容，同時(shí)還是一個(gè)研究函數(shù)性質(zhì)的很好的載體，因此做好二次函數(shù)的初高中銜接至關(guān)重要，初中階段對二次函數(shù)的要求，是立足于用代數(shù)方法來研究，比如配方結(jié)合頂點(diǎn)式，描述函數(shù)圖象的某些特征(開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最值)等；再比如待定系數(shù)法，通過解方程組的形式來求二次函數(shù)的解析式.
高中的函數(shù)立足于集合觀點(diǎn)，對二次函數(shù)的學(xué)習(xí)要求明顯提高，二次函數(shù)的研究更側(cè)重于數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法.
《初中課程要求》 了解了一些簡單函數(shù)圖象的變換，如左加右減之類的水平平移，還了解了些簡單的對稱變換
《高中課程要求》 掌握各種平移變換，如左加右減的水平平移，上加下減的垂直平移，還要掌握各種對稱變換，特別是關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸的對稱變換
高中必備知識點(diǎn)1：一般式
形如下面的二次函數(shù)的形式稱為一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
高中必備知識點(diǎn)2：頂點(diǎn)式
形如下面的二次函數(shù)的形式稱為頂點(diǎn)式：y＝a(x-h)2＋k (a≠0)，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)．
高中必備知識點(diǎn)3：交點(diǎn)式
形如下面的二次函數(shù)的形式稱為交點(diǎn)式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
高中必備知識點(diǎn)1：一般式
【典型例題】
已知拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝﹣1，且過點(diǎn)(﹣3，0)，(0，﹣3)．
(1)求拋物線的表達(dá)式．
(2)已知點(diǎn)(m，k)和點(diǎn)(n，k)在此拋物線上，其中m≠n，請判斷關(guān)于t的方程t2+mt+n＝0是否有實(shí)數(shù)根，并說明理由．
【變式訓(xùn)練】
拋物線的圖象如下，求這條拋物線的解析式。(結(jié)果化成一般式)
【能力提升】
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線先向右平移2個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到拋物線.
(1)求拋物線的解析式(化為一般式)；
(2)直接寫出拋物線的對稱軸與兩段拋物線弧圍成的陰影部分的面積.
高中必備知識點(diǎn)2：頂點(diǎn)式
【典型例題】
已知二次函數(shù)．
⑴用配方法將此二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式；
⑵求出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸方程．
【變式訓(xùn)練】
已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)是(﹣1，2)，且經(jīng)過(1，﹣6)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
【能力提升】
二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，．
(1)求此二次函數(shù)的關(guān)系式；
(2)求此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)填空：把二次函數(shù)的圖象沿坐標(biāo)軸方向最少平移 個(gè)單位，使得該圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)．
高中必備知識點(diǎn)3：交點(diǎn)式
【典型例題】
已知在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) y=x2+2x+2k﹣2 的圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
(1)求 k 的取值范圍；
(2)當(dāng) k 取正整數(shù)時(shí)，請你寫出二次函數(shù) y=x2+2x+2k﹣2 的表達(dá)式，并求出此二次函數(shù)圖象與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練】
已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3，－8)，對稱軸是直線x＝－2，此時(shí)拋物線與x軸的兩交點(diǎn)間距離為6.
(1)求拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)求拋物線的解析式．
【能力提升】
已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．
(1)求該二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)；
(2)在所給坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的大致圖象，并寫出當(dāng)y＜0時(shí)，x的取值范圍．
1．已知拋物線(，，是常數(shù)，)經(jīng)過點(diǎn)，其對稱軸為直線．有下列結(jié)論：①；②；③關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如圖是二次函數(shù)(，，是常數(shù)，)圖象的一部分，與軸的交點(diǎn)在和之間，對稱軸是直線．對于下列說法中，錯(cuò)誤的是( )
A． B．
C． D．(為實(shí)數(shù))
3．已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，現(xiàn)有如下結(jié)論：①此拋物線過定點(diǎn)；②若拋物線開口向下，則m的取值范圍是；③若時(shí)，有，，則m的取值范圍是．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．二次函數(shù)為常數(shù)，且)中的x與y的部分對應(yīng)值如表：
x -1 0 1 3
y -1 3 5 3
下列結(jié)論： ①；②當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減小；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最值；④是方程的一個(gè)根；⑤ 當(dāng)時(shí)，．其中結(jié)論正確的有( )
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
5．如圖是拋物線，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，下列結(jié)論：
①；
②；
③；
④；
⑤關(guān)于x的方程的另一個(gè)解在和之間，
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
6．二次函數(shù)的最大值為，且中只有兩點(diǎn)不在該二次函數(shù)圖象上，下列關(guān)于這兩點(diǎn)的說法正確的是( )
A．這兩點(diǎn)一定是M和N B．這兩點(diǎn)一定是Q和R
C．這兩點(diǎn)可能是M和Q D．這兩點(diǎn)可能是P和Q
7．二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，則b的取值范圍是( )
A． B． C．或 D．
8．函數(shù)(a，b，c為常數(shù)，)的圖象與x軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，其中．有下列結(jié)論：①；②函數(shù)在和處的函數(shù)值相等；③點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，若，則．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如圖是二次函數(shù)(，，是常數(shù)，)圖象的一部分，與軸的交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，對稱軸是直線，對于下列說法：①；②；③3；④當(dāng)時(shí)，；⑤(為實(shí)數(shù))．其中正確的是( )
A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
10．已知拋物線y＝－x2＋(6－2m)x－m2＋3的對稱軸在y軸的右側(cè)，當(dāng)x＞2時(shí)，y的值隨著x值的增大而減小，點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)P的縱坐標(biāo)為t，若t≤3，則m的取值范圍是( )
A．m≥ B．≤m＜3 C．m＜3 D．1≤m＜3
11．已知二次函數(shù)y＝4x2﹣mx+5，當(dāng)x≤﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x≥﹣2時(shí)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝1時(shí)，y的值為_____．
12．拋物線一定經(jīng)過非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.
13．拋物線圖象與軸無交點(diǎn)，則的取值范圍為；
14．拋物線y＝ax2+ax+2(a≠0)的對稱軸是直線_____．
15．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列四個(gè)結(jié)論：
①；②；③；④．其中正確的有______．(填寫番號)
16．從，，，2，5中任取一數(shù)作為a的值，能使拋物線的開口向下的概率為__________．
17．拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣1，圖象過(1，0)點(diǎn)，部分圖象如圖所示，下列判斷：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＜0；④若點(diǎn)(﹣0.5，y1)，(﹣2，y2)均在拋物線上，則y1＞y2，其中正確判斷的序號是_____．
18．二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為1，則的取值范圍是________．
19．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)(﹣1，0)，對稱軸為直線x＝2，下列結(jié)論：(1)4a+b＝0；(2)9a+c＞﹣3b；(3)7a﹣3b+2c＞0；(4)若點(diǎn)A(﹣3，y1)、點(diǎn)B(﹣，y2)、點(diǎn)C(7，y3)在該函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；(5)若方程a(x+1)(x﹣5)＝﹣3的兩根為x1和x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1＜5＜x2，其中正確的結(jié)論有_____．
20．拋物線的頂點(diǎn)為，與軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，則以下結(jié)論：①；②；③；④方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，其中正確結(jié)論為__________．
21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．
(1)當(dāng)時(shí)，
①拋物線的對稱軸為______；
②若在拋物線上有兩點(diǎn)，，且，則的取值范圍是______；
(2)拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，將點(diǎn)向右平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，若拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象，求的取值范圍．
22．平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)(為常數(shù))的圖象與軸交于點(diǎn)．
(1)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)．
(2)當(dāng)此函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求此函數(shù)表達(dá)式，并寫出函數(shù)隨增大而增大時(shí)的取值范圍．
(3)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)(為常數(shù))圖象最低點(diǎn)到直線的距離為3，求的值．
23．已知函數(shù)(，為常數(shù))．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，請對該函數(shù)及其圖象進(jìn)行探究：
(1)___________，___________；
(2)請?jiān)诮o出的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象，并結(jié)合所畫圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)．
(3)已知函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象，直接寫出不等式的解集．
24．已知二次函數(shù)(是常數(shù))．
(1)若該函數(shù)圖像與軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)求證：不論為何值，該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上；
(3)，是該二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，都有，則的取值范圍是___________．
25．已知拋物線．
(1)求此拋物線的對稱軸；
(2)若此拋物線的頂點(diǎn)在直線上，求拋物線的解析式；
(3)若點(diǎn)與點(diǎn)在此拋物線上，且，求a的取值范圍．
26．已知拋物線．
(1)求該拋物線的對稱軸；
(2)若該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求其解析式；
(3)當(dāng)時(shí)，若為該拋物線上三點(diǎn)，且總有，請結(jié)合圖象直接寫出m的取值范圍．
27．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
(1)直接寫出拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出與的關(guān)系式；
(2)若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，均滿足，求的取值范圍；
(3)過拋物線上動(dòng)點(diǎn)(其中)作軸的垂線，設(shè)與直線交于點(diǎn)，若、兩點(diǎn)間的距離恒大于等于1，求的取值范圍．
28．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
(1)求、的值；
(2)若的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值，求的值；
(3)直線與直線、直線分別相交于、，若拋物線與線段(包含、兩點(diǎn))有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．
29．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝x2－2ax－1(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A．
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
(2)當(dāng)此函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，2)時(shí)，求此函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)值y隨x的增大而增大時(shí)x的取值范圍．
(3)當(dāng)x≤0時(shí)，若函數(shù)y＝x2－2ax－1(a為常數(shù))的圖象的最低點(diǎn)到直線y＝2a的距離為2，求a的值．
30．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過A(n，b)，B(m，a)且m﹣n＝1．
(1)當(dāng)b＝a時(shí)，直接寫出函數(shù)圖象的對稱軸；
(2)求b和c(用只含字母a、n的代數(shù)式表示)；
(3)當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)有最大值﹣1，b＋c≥a，n≤，求a的取值范圍．
專題05二次函數(shù)的三種表示方式
二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，也是高考必考內(nèi)容，同時(shí)還是一個(gè)研究函數(shù)性質(zhì)的很好的載體，因此做好二次函數(shù)的初高中銜接至關(guān)重要，初中階段對二次函數(shù)的要求，是立足于用代數(shù)方法來研究，比如配方結(jié)合頂點(diǎn)式，描述函數(shù)圖象的某些特征(開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最值)等；再比如待定系數(shù)法，通過解方程組的形式來求二次函數(shù)的解析式.
高中的函數(shù)立足于集合觀點(diǎn)，對二次函數(shù)的學(xué)習(xí)要求明顯提高，二次函數(shù)的研究更側(cè)重于數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法.
《初中課程要求》 了解了一些簡單函數(shù)圖象的變換，如左加右減之類的水平平移，還了解了些簡單的對稱變換
《高中課程要求》 掌握各種平移變換，如左加右減的水平平移，上加下減的垂直平移，還要掌握各種對稱變換，特別是關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸的對稱變換
高中必備知識點(diǎn)1：一般式
形如下面的二次函數(shù)的形式稱為一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
高中必備知識點(diǎn)2：頂點(diǎn)式
形如下面的二次函數(shù)的形式稱為頂點(diǎn)式：y＝a(x-h)2＋k (a≠0)，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)．
高中必備知識點(diǎn)3：交點(diǎn)式
形如下面的二次函數(shù)的形式稱為交點(diǎn)式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
高中必備知識點(diǎn)1：一般式
【典型例題】
已知拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝﹣1，且過點(diǎn)(﹣3，0)，(0，﹣3)．
(1)求拋物線的表達(dá)式．
(2)已知點(diǎn)(m，k)和點(diǎn)(n，k)在此拋物線上，其中m≠n，請判斷關(guān)于t的方程t2+mt+n＝0是否有實(shí)數(shù)根，并說明理由．
答案:(1)y＝x2+2x﹣3；(2)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
解析：
(1)拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝﹣1，且過點(diǎn)(﹣3，0)，(0，3)
9a﹣3b+c＝0
解得a＝1，b＝2，c＝﹣3
∴拋物線y＝x2+2x﹣3；
(2)∵點(diǎn)(m，k)，(n，k)在此拋物線上，
∴(m，k)，(n，k)是關(guān)于直線x＝﹣1的對稱點(diǎn)，
∴＝﹣1 即m＝﹣n﹣2
b2﹣4ac＝m2﹣4n＝(﹣n﹣2)2﹣4n＝n2+4＞0
∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【變式訓(xùn)練】
拋物線的圖象如下，求這條拋物線的解析式。(結(jié)果化成一般式)
答案:
解析：由圖象可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，
設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+4
把點(diǎn)(3，0)代入解析式，得：
4a+4，即a=-1
所以此函數(shù)的解析式為y=-(x-1)2+4
故答案是y=-x2+2x+3．
【能力提升】
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線先向右平移2個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到拋物線.
(1)求拋物線的解析式(化為一般式)；
(2)直接寫出拋物線的對稱軸與兩段拋物線弧圍成的陰影部分的面積.
答案:(1) ;(2)4.
解析：
(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，把點(diǎn)先向右平移2個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
拋物線的解析式為；
(2)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且拋物線的對稱軸與兩段拋物線弧圍成的陰影部分的面積，
拋物線的對稱軸與兩段拋物線弧圍成的陰影部分的面積.
高中必備知識點(diǎn)2：頂點(diǎn)式
【典型例題】
已知二次函數(shù)．
⑴用配方法將此二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式；
⑵求出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸方程．
答案:(1)；(2)(1，2)，直線
解析：
(1)
(2)∵
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，對稱軸方程為直線.
【變式訓(xùn)練】
已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)是(﹣1，2)，且經(jīng)過(1，﹣6)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
答案:二次函數(shù)的解析式為y=﹣2(x+1)2+2．
解析：
∵二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)是(﹣1，2)，
∴設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a(x+1)2+2，將(1，﹣6)代入得，a(1+1)2+2=﹣6，
解得a=﹣2，所以，這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=﹣2(x+1)2+2．
【能力提升】
二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，．
(1)求此二次函數(shù)的關(guān)系式；
(2)求此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)填空：把二次函數(shù)的圖象沿坐標(biāo)軸方向最少平移 個(gè)單位，使得該圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)．
答案:(1)；(2)(1，-4)；(3)5
解析：
(1)設(shè)，把點(diǎn)，，代入得
，解得
∴；
(2)∵
∴函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-4)；
(3)∵|1-0|+|-4-0|=5
∴二次函數(shù)的圖象沿坐標(biāo)軸方向最少平移5個(gè)單位，使得該圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)．
高中必備知識點(diǎn)3：交點(diǎn)式
【典型例題】
已知在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) y=x2+2x+2k﹣2 的圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
(1)求 k 的取值范圍；
(2)當(dāng) k 取正整數(shù)時(shí)，請你寫出二次函數(shù) y=x2+2x+2k﹣2 的表達(dá)式，并求出此二次函數(shù)圖象與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)．
答案:(1)k＜；(2)(﹣2，0)和(0,0).
解析：
(1)∵圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴ 解得
(2)∵k 為正整數(shù)，
∴k=1．
∴
令 y=0，得 解得
∴交點(diǎn)為(﹣2，0)和(0，0).
【變式訓(xùn)練】
已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3，－8)，對稱軸是直線x＝－2，此時(shí)拋物線與x軸的兩交點(diǎn)間距離為6.
(1)求拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)求拋物線的解析式．
答案:(1)(－5，0)，(1，0)；(2)y＝－x2－2x＋.
解析：
(1) ∵因?yàn)閽佄锞€對稱軸為直線x=-2，且圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為6，
∴點(diǎn)A、B到直線x=-2的距離為3，
∴A為(-5，0)，B為(1，0)；
(2)設(shè)y＝a(x＋5)(x－1)．∵點(diǎn)(3，－8)在拋物線上，
∴－8＝a(3＋5)(3－1)，a＝－，∴y＝－x2－2x＋.
【能力提升】
已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．
(1)求該二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)；
(2)在所給坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的大致圖象，并寫出當(dāng)y＜0時(shí)，x的取值范圍．
答案:(1)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)(3，0)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，﹣1)；
(2)圖見詳解；當(dāng)y＜0時(shí)，1＜x＜3．
解析：
(1)當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
所以該二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)(3，0)；
因?yàn)閥＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝(x﹣2)2﹣1，
所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，﹣1)；
(2)函數(shù)圖象如圖：
由圖象可知，當(dāng)y＜0時(shí)，1＜x＜3．
1．已知拋物線(，，是常數(shù)，)經(jīng)過點(diǎn)，其對稱軸為直線．有下列結(jié)論：①；②；③關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案:C
解：∵拋物線的對稱軸為直線x2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，所以①正確；
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，0)，
∴x＝﹣3時(shí)，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②錯(cuò)誤；
∵
∴
由題意得：過點(diǎn)(0，-3)作x軸的平行線，如圖所示．
∵該直線y=-3與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)論③正確；
故選：C．
2．如圖是二次函數(shù)(，，是常數(shù)，)圖象的一部分，與軸的交點(diǎn)在和之間，對稱軸是直線．對于下列說法中，錯(cuò)誤的是( )
A． B．
C． D．(為實(shí)數(shù))
答案:C
解：A、∵對稱軸在y軸右側(cè)，
∴a、b異號，
∴ab＜0，故正確，不符合題意；
B、∵對稱軸x=-=1，
∴2a+b=0；故正確，不符合題意；
C、∵2a+b=0，
∴b=-2a，
∵當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c＜0，
∴a-(-2a)+c=3a+c＜0，故錯(cuò)誤，符合題意；
D、根據(jù)圖示知，當(dāng)x=1時(shí)，有最大值；
當(dāng)m≠1時(shí)，有am2+bm+c＜a+b+c，
所以a+b≥m(am+b)(m為實(shí)數(shù))．
故正確，不符合題意．
故選：C．
3．已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，現(xiàn)有如下結(jié)論：①此拋物線過定點(diǎn)；②若拋物線開口向下，則m的取值范圍是；③若時(shí)，有，，則m的取值范圍是．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案:D
解:把函數(shù)變形，由m為任意數(shù)
∴，
解得，
拋物線過定點(diǎn)，
①此拋物線過定點(diǎn)正確；
∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
，
，
解得且，
∵拋物線開口向下，
∴，
解得，
又∵且，
∴；
②若拋物線開口向下，則m的取值范圍是正確，
若時(shí)，，拋物線開口向上，
拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
，
∴當(dāng)x=-2,，y，當(dāng)x=-1，y，
即，
解得，
，
∴當(dāng)x=1,，y，當(dāng)x=2，y，
即，
解得，
∴有，，則m的取值范圍是．
③若時(shí)，有，，則m的取值范圍是正確，
所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有3個(gè)．
故選擇D．
4．二次函數(shù)為常數(shù)，且)中的x與y的部分對應(yīng)值如表：
x -1 0 1 3
y -1 3 5 3
下列結(jié)論： ①；②當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減小；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最值；④是方程的一個(gè)根；⑤ 當(dāng)時(shí)，．其中結(jié)論正確的有( )
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
答案:C
解：根據(jù)x與y的部分對應(yīng)值可知：
當(dāng)x=-1時(shí)，y=-1，即a-b+c=-1；
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即c=3；
當(dāng)x=1時(shí)，y=5，即a+b+c=5；
∴，解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x2+3x+3．
①ac=-1×3=-3＜0，故本選項(xiàng)正確；
②對稱軸為直線x==，a=-1＜0，
∴當(dāng)x＞時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③∵對稱軸為直線x=，
∴當(dāng)x=1.5時(shí)，函數(shù)有最值，故本選項(xiàng)正確；
④方程ax2+(b-1)x+c=0可化為方程ax2+bx+c=x，
由表格數(shù)據(jù)可知，x=3時(shí)，y=3，則3是方程ax2+bx+c=x的一個(gè)根，從而也是方程ax2+(b-1)x+c=0的一個(gè)根，故本選項(xiàng)正確；
⑤不等式ax2+(b-1)x+c＞0可化為：ax2+bx+c＞x，即y＞x，
∵由表格可知，(-1，-1)，(3，3)均在直線y=x上，又拋物線y=ax2+bx+c開口向下，
∴當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，y＞x，故本選項(xiàng)正確；
綜上，只有②錯(cuò)誤．
故選：C．
5．如圖是拋物線，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，下列結(jié)論：
①；
②；
③；
④；
⑤關(guān)于x的方程的另一個(gè)解在和之間，
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
答案:D
∵拋物線開口向下，
∴，
∵對稱軸直線，
∴，
∴，
故①②正確；
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴點(diǎn)與關(guān)于直線對稱，
∵時(shí)，，
∴時(shí)，，即，
故③正確；
∵拋物線，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
故④正確；
∵拋物線的對稱軸為直線，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在和之間，
∴關(guān)于x的方程的另一個(gè)解在和之間，
故⑤錯(cuò)誤；
∴正確結(jié)論的有①②③④共4個(gè)，
故選：D．
6．二次函數(shù)的最大值為，且中只有兩點(diǎn)不在該二次函數(shù)圖象上，下列關(guān)于這兩點(diǎn)的說法正確的是( )
A．這兩點(diǎn)一定是M和N B．這兩點(diǎn)一定是Q和R
C．這兩點(diǎn)可能是M和Q D．這兩點(diǎn)可能是P和Q
答案:C
解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的最大值為a﹣b+c，
∴拋物線開口向下，對稱軸為x＝﹣1，
A. 若M和N不在該二次函數(shù)圖象上，則由題意知P(1，m)，Q(2，n)，R(3，n+1)一定在圖象上，而x＞﹣1時(shí)y隨x增大而減小，這與Q(2，n)，R(3，n+1)矛盾，故A不符合題意；
B. 若Q和R不在該二次函數(shù)圖象上，則M(﹣4，c)一定在圖象上，而拋物線與y軸交點(diǎn)(0，c)一定在圖象上，這樣拋物線對稱軸為，這與拋物線對稱軸為x＝﹣1矛盾，故B不符合題意；
C. M和Q可能不在該二次函數(shù)圖象上，故C符合題意；
D. 若P和Q不在該二次函數(shù)圖象上，則M(﹣4，c)一定在圖象上，同B理由，故D不符合題意．
故選：C．
7．二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，則b的取值范圍是( )
A． B． C．或 D．
答案:C
對于一次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
二次函數(shù)的對稱軸為，
由題意，分以下三種情況：
(1)當(dāng)時(shí)，
若兩個(gè)函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值大于6；或當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值小于0，
即或，
不等式可化為，
利用因式分解法解方程得：，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，或(舍去)，
同理可得：不等式無解，
綜上，此時(shí)的取值范圍為；
(2)當(dāng)時(shí)，
若兩個(gè)函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，則無解，
即關(guān)于的方程無解，
則方程的根的判別式，
解得，
則此時(shí)的取值范圍為；
(3)當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值為，
所以二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，
則此時(shí)的取值范圍為；
綜上，的取值范圍為或，
故選：C．
8．函數(shù)(a，b，c為常數(shù)，)的圖象與x軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，其中．有下列結(jié)論：①；②函數(shù)在和處的函數(shù)值相等；③點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，若，則．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案:C
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
∴拋物線的對稱軸為直線x=-1
∵拋物線的圖象與x軸交于點(diǎn)
設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0)，則-1-x=2+1
∴x=-4
即拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和
故拋物線的解析式為
∵n>0，即拋物線的頂點(diǎn)在x軸的上方，且拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
∴a<0
∴b=2a<0，c=-8a>0
∴abc>0
故①正確
當(dāng)x=1時(shí)，y=-5a；當(dāng)x=-2時(shí)，y=-8a
∵a<0
∴-5a<-8a
故②錯(cuò)誤
當(dāng)x=-3時(shí)，y=-5a；當(dāng)x=1時(shí)，y=-5a
∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而減小
∴當(dāng)時(shí)，
∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而減小
∴
∴
故③正確
從而正確的結(jié)論有兩個(gè)．
故選：C．
9．如圖是二次函數(shù)(，，是常數(shù)，)圖象的一部分，與軸的交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，對稱軸是直線，對于下列說法：①；②；③3；④當(dāng)時(shí)，；⑤(為實(shí)數(shù))．其中正確的是( )
A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
答案:B
解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵對稱軸x1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正確；
∵拋物線與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)(2，0)(3，0)之間，對稱軸為x＝1，
∴拋物線x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在(﹣1，0)和(0，0)之間，
∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，即a+c＜b，即②正確，④錯(cuò)誤；
拋物線與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)(2，0)(3，0)之間，
∴9a+3b+c＜0，
又b＝﹣2a，
∴9a﹣6a+c＝3a+c＜0，故③錯(cuò)誤；
由圖可知，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最大值，
∴對于任意實(shí)數(shù)m，有am2+bm+c≤a+b+c，即a+b≥m(am+b)，故⑤正確．
綜上，正確的有①②⑤．
故選：B．
10．已知拋物線y＝－x2＋(6－2m)x－m2＋3的對稱軸在y軸的右側(cè)，當(dāng)x＞2時(shí)，y的值隨著x值的增大而減小，點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)P的縱坐標(biāo)為t，若t≤3，則m的取值范圍是( )
A．m≥ B．≤m＜3 C．m＜3 D．1≤m＜3
答案:B
解：∵拋物線y＝－x2＋(6－2m)x－m2＋3的對稱軸在y軸的右側(cè)，
∴，
∴m＜3，
∵當(dāng)x＞2時(shí)，y的值隨著x值的增大而減小，
∴，
∴1≤m，
∵y＝－x2＋(6－2m)x－m2＋3＝－(x＋m－3)2－6m＋12，拋物線上的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t≤3，
∴當(dāng)x＝3－m時(shí)，y≤3，
即－6m＋12≤3，
∴m≥，
綜上所述，滿足條件的m的值為≤m＜3．
故選：B．
11．已知二次函數(shù)y＝4x2﹣mx+5，當(dāng)x≤﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x≥﹣2時(shí)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝1時(shí)，y的值為_____．
答案:25
解：當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
對稱軸，解得，
，那么當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值為25．
故答案為25．
12．拋物線一定經(jīng)過非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.
答案:(5，6)
解：y=mx2+(1-4m)x+1-5m=(x2-4x-5)m+x+1，
令x2-4x-5=0，解得x=-1或x=5，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=0；
當(dāng)x=5時(shí)，y=6；
∴非坐標(biāo)軸上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，6)．
故答案為：(5，6)．
13．拋物線圖象與軸無交點(diǎn)，則的取值范圍為；
答案:．
解：∵拋物線圖象與軸無交點(diǎn)，
∴該拋物線開口向下，且，
即： ，解之得：，
故答案為：．
14．拋物線y＝ax2+ax+2(a≠0)的對稱軸是直線_____．
答案:
解：∵拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸方程x＝，
∴拋物線y＝ax2+ax+2(a≠0)的對稱軸是x＝．
即對稱軸是x＝ ．
故答案為：x＝．
15．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列四個(gè)結(jié)論：
①；②；③；④．其中正確的有______．(填寫番號)
答案:③④
解：由圖象知，二次函數(shù)的圖象開口向下，，故①錯(cuò)誤；
由圖象知，二次函數(shù)的圖象與軸交于正半軸，，故②錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，由圖可知，，，故③正確；
由圖可知，二次函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，故④正確，
故其中正確的有③④，
故答案為：③④．
16．從，，，2，5中任取一數(shù)作為a的值，能使拋物線的開口向下的概率為__________．
答案:
根據(jù)使拋物線的開口向下的條件是，
∴只有，-1符合條件．
∴使拋物線的開口向下的概率為．
故答案為：．
17．拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣1，圖象過(1，0)點(diǎn)，部分圖象如圖所示，下列判斷：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＜0；④若點(diǎn)(﹣0.5，y1)，(﹣2，y2)均在拋物線上，則y1＞y2，其中正確判斷的序號是_____．
答案:②③．
①由圖象可知：a＞0，c＜0，對稱軸：x＝＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①錯(cuò)誤．
②由拋物線的對稱性可知：△＞0，即b2﹣4ac＞0，故②正確．
③∵＝﹣1，
∴b＝2a，
令x＝1代入，y＝a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴5a﹣2b+c＝5a﹣4a﹣3a＝﹣2a＜0，故③正確．
④(﹣0.5，y1)與(﹣1.5，y1)關(guān)于直線x＝﹣1對稱，
由于﹣1.5＞﹣2，
∴y1＜y2，故④錯(cuò)誤．
故答案為：②③．
18．二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為1，則的取值范圍是________．
答案:
∵二次函數(shù)，，
∴函數(shù)圖像開口向下，對稱軸，
①當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
，
當(dāng)時(shí)，或，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，
時(shí)，y隨x的增大而增大，x=0時(shí)，恒成立，此時(shí)都滿足題意；
時(shí)，，，
即當(dāng)時(shí)，y在隨x的增大而增大，
∴x=0時(shí)，，符合題意，
則此情況下；
③當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∵的最小值為1，
∴，，
此時(shí)，
綜上：．
19．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)(﹣1，0)，對稱軸為直線x＝2，下列結(jié)論：(1)4a+b＝0；(2)9a+c＞﹣3b；(3)7a﹣3b+2c＞0；(4)若點(diǎn)A(﹣3，y1)、點(diǎn)B(﹣，y2)、點(diǎn)C(7，y3)在該函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；(5)若方程a(x+1)(x﹣5)＝﹣3的兩根為x1和x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1＜5＜x2，其中正確的結(jié)論有_____．
答案:(1)(2)(5)
∵x＝﹣＝2，
∴4a+b＝0，故(1)正確．
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(-1，0)，對稱軸為直線x=2，
∴另一個(gè)交點(diǎn)為(5，0)，
∵拋物線開口向下，
∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＞0，即9a+3b+c＞0，
∴9a+c＞﹣3b，故(2)正確．
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(﹣1，0)，
∴a﹣b+c＝0
∵b＝﹣4a，
∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a，
∴7a﹣3b+2c＝7a+12a﹣10a＝9a，
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∴7a﹣3b+2c＜0，故(3)錯(cuò)誤；
∵拋物線的對稱軸為x＝2，C(7，y3)在拋物線上，
∴點(diǎn)(﹣3，y3)與C(7，y3)關(guān)于對稱軸x＝2對稱，
∵A(﹣3，y1)在拋物線上，
∴y1=y3，
∵﹣3＜﹣，在對稱軸的左側(cè)，拋物線開口向下，
∴y隨x的增大而增大，
∴y1＝y(tǒng)3＜y2，故(4)錯(cuò)誤．
方程a(x+1)(x﹣5)＝0的兩根為x＝﹣1或x＝5，
過y＝﹣3作x軸的平行線，直線y＝﹣3與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的兩根，
∵x1＜x2，拋物線與x軸交點(diǎn)為(-1，0)，(5，0)，
∴依據(jù)函數(shù)圖象可知：x1＜﹣1＜5＜x2，故⑤正確．
故答案為：(1)(2)(5)
20．拋物線的頂點(diǎn)為，與軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，則以下結(jié)論：①；②；③；④方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，其中正確結(jié)論為__________．
答案:②③
解：∵拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴，所以①錯(cuò)誤，不符合題意；
∵頂點(diǎn)為，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，
∴拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，所以②正確，符合題意；
∵拋物線的頂點(diǎn)為，
∴，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∴，即，所以③正確，符合題意；
∵當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值為，
即只有時(shí)，，
∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以④錯(cuò)誤，不符合題意．
故答案為：②③．
21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．
(1)當(dāng)時(shí)，
①拋物線的對稱軸為______；
②若在拋物線上有兩點(diǎn)，，且，則的取值范圍是______；
(2)拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，將點(diǎn)向右平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，若拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象，求的取值范圍．
答案:(1)①1；②或；(2)或．
(1)①拋物線的對稱軸為：，
故答案為：1；
(2)根據(jù)拋物線圖象特征，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，故在拋物線上有兩點(diǎn)，，且，則的取值范圍是或，
故答案為：或；
(2)拋物線的對稱軸為：，且對稱軸與x軸交于點(diǎn)M，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，
M向右平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，
，
依題意，拋物線G與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)，
把點(diǎn)代入拋物線，可得，
把點(diǎn)代入拋物線，可得，
把點(diǎn)代入拋物線，可得，
根據(jù)所畫圖象可知拋物線G與線段AB的交點(diǎn)恰有一個(gè)時(shí)，或．
22．平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)(為常數(shù))的圖象與軸交于點(diǎn)．
(1)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)．
(2)當(dāng)此函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求此函數(shù)表達(dá)式，并寫出函數(shù)隨增大而增大時(shí)的取值范圍．
(3)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)(為常數(shù))圖象最低點(diǎn)到直線的距離為3，求的值．
答案:(1)；(2)，；(3)或．
解：(1)當(dāng)時(shí)，，
所以；
(2)將點(diǎn)代入，得，
解得，
所以，
拋物線的開口向上，其對稱軸為，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；
(3)拋物線的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
由題意，分以下三種情況：
①如圖，當(dāng)時(shí)，則對稱軸在軸右側(cè)，
當(dāng)時(shí)，此函數(shù)圖象的最低點(diǎn)就是頂點(diǎn)，
最低點(diǎn)到直線的距離為3，
，
解得或(不符題設(shè)，舍去)；
②如圖，當(dāng)時(shí)，則對稱軸在軸左側(cè)，
當(dāng)時(shí)，此函數(shù)圖象的最低點(diǎn)就是點(diǎn)，
最低點(diǎn)到直線的距離為3，
，
解得或(不符題設(shè)，舍去)；
③如圖，當(dāng)時(shí)，則對稱軸為軸，直線為直線，
當(dāng)時(shí)，此函數(shù)圖象的最低點(diǎn)就是點(diǎn)，
則最低點(diǎn)到直線的距離為1(不符題意，舍去)；
綜上，的值為或．
23．已知函數(shù)(，為常數(shù))．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，請對該函數(shù)及其圖象進(jìn)行探究：
(1)___________，___________；
(2)請?jiān)诮o出的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象，并結(jié)合所畫圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)．
(3)已知函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象，直接寫出不等式的解集．
答案:(1)2，；(2)見解析；(3)或
解：(1)由題意得：，解得，
故答案為2，；
(2)由(1)知函數(shù)的表達(dá)式為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
根據(jù)函數(shù)表達(dá)式畫出函數(shù)圖象如下：
從圖象看，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小(答案不唯一)；
(3)從圖象看兩個(gè)函數(shù)交于點(diǎn)、，
聯(lián)立和得：，解得(負(fù)值已舍去)，
即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
從函數(shù)圖象看，不等式的解集為或．
24．已知二次函數(shù)(是常數(shù))．
(1)若該函數(shù)圖像與軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)求證：不論為何值，該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上；
(3)，是該二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，都有，則的取值范圍是___________．
答案:(1)；(2)見解析；(3)或
解：(1)令，則，
∵，，，
∴，
∵該函數(shù)圖像與軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，
∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，即，
解得．
∴當(dāng)時(shí)，該函數(shù)圖像與軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．
(2)由，得頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
將代入，得，
∴不論為何值，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上．
(3)或
由(2)可知該拋物線頂點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，，
∴時(shí)，隨的增大而減少，
又∵該函數(shù)開口向下，對稱軸為直線，
∴如圖，得出，
當(dāng)時(shí)，，
要使恒成立，則，
∴，或，
結(jié)合，
∴或．
25．已知拋物線．
(1)求此拋物線的對稱軸；
(2)若此拋物線的頂點(diǎn)在直線上，求拋物線的解析式；
(3)若點(diǎn)與點(diǎn)在此拋物線上，且，求a的取值范圍．
答案:(1)；(2)或；(3)當(dāng)＜時(shí)，＞或＜ 當(dāng)＞時(shí)，＜＜
解：(1)
拋物線的對稱軸為：
(2) 的對稱軸為直線
頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，
縱坐標(biāo)為：，
又頂點(diǎn)在上，
解得：
所以拋物線的解析式為：或
(3)關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：
當(dāng)＜時(shí)，拋物線的開口向下，
點(diǎn)與點(diǎn)在此拋物線上，且，如圖，
＞或＜
當(dāng)＞時(shí)，拋物線的開口向上，如圖，
同理可得：點(diǎn)與點(diǎn)在此拋物線上，且，
此時(shí)：＜＜
26．已知拋物線．
(1)求該拋物線的對稱軸；
(2)若該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求其解析式；
(3)當(dāng)時(shí)，若為該拋物線上三點(diǎn)，且總有，請結(jié)合圖象直接寫出m的取值范圍．
答案:(1)拋物線的對稱軸為直線x＝1；(2)拋物線為yx2+x或y＝x2-2x+1；(3) 且m≠－1
解：(1)∵拋物線y＝ax2﹣2ax﹣2+3a2＝a(x﹣1)2+3a2﹣a﹣2．
∴拋物線的對稱軸為直線x＝1；
(2)∵拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，
∴3a2﹣a﹣2＝0，
解得a或a＝1，
∴拋物線為yx2+x或y＝x2-2x+1；
(3)∵拋物線的對稱軸為x＝1，
∴關(guān)于x＝1對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為
∵a＞0，對稱軸為x＝1
∴為頂點(diǎn)坐標(biāo)，即 為最小值；
∵總有，m-1＜m+2
∴ 且
解得 且m≠－1
27．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
(1)直接寫出拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出與的關(guān)系式；
(2)若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，均滿足，求的取值范圍；
(3)過拋物線上動(dòng)點(diǎn)(其中)作軸的垂線，設(shè)與直線交于點(diǎn)，若、兩點(diǎn)間的距離恒大于等于1，求的取值范圍．
答案:(1)，；(2)；(3)或
解：(1)由題意得D在直線y=-3上且D在二次數(shù)對稱軸x=1上，
∴D(1-3)，將其代入得-3=a-2a+c，化簡得c=a-3；
(2)當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向上，
如圖，拋物線的開口向上，當(dāng)，即，
此時(shí)：當(dāng)時(shí)，滿足，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最大，則
解得：，不合題意，舍去
當(dāng)＜＜時(shí)，則＜＜，如圖，
此時(shí)：當(dāng)時(shí)，滿足，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最大，則
解得：，不合題意，舍去
當(dāng)時(shí)，則，如圖，
此時(shí)：當(dāng)時(shí)，滿足，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最大，
則
恒成立，
當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向下，此時(shí)函數(shù)有最大值，不滿足，此情況不存在；
綜上；
(3)|MN|≥1即，即
①(x≥3恒成立要求a＞0，其對稱軸為x，
只需要求x=3時(shí)即9a-3a-a≥1，
解得；
②(x≥3恒成立要求a﹤0)，
只需要求x=3時(shí)即9a-3a-a≤-1，
解得．
28．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
(1)求、的值；
(2)若的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值，求的值；
(3)直線與直線、直線分別相交于、，若拋物線與線段(包含、兩點(diǎn))有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．
答案:(1)2；-1 (2)-3或4 (3)或
解：(1)由于拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)
所以，，所以
(2)因?yàn)閽佄锞€為，又頂點(diǎn)坐標(biāo)為
所以，所以
∵，
∴拋物線開口向下，對稱軸，
∵時(shí)，有最大值，
∴當(dāng)時(shí)，有，
∴或，
①在左側(cè)，隨的增大而增大，
∴時(shí)，有最大值，
∴；
②在對稱軸右側(cè)，隨增大而減小，
∴時(shí)，有最大值；
綜上所述：或；
(3)與直線、直線分別相交于、，
∴，
①時(shí)，時(shí)，，即；
②時(shí)，時(shí)，，即，
直線的解析式為，
拋物線與直線聯(lián)立：，
∴，
，∴，
∴的取值范圍為或．
29．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝x2－2ax－1(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A．
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
(2)當(dāng)此函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，2)時(shí)，求此函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)值y隨x的增大而增大時(shí)x的取值范圍．
(3)當(dāng)x≤0時(shí)，若函數(shù)y＝x2－2ax－1(a為常數(shù))的圖象的最低點(diǎn)到直線y＝2a的距離為2，求a的值．
答案:(1)；(2)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；(3)或a=-1-．
(1)當(dāng)時(shí)，，所以.
(2)將點(diǎn)代入，得.
解得
所以(如圖1所示)
拋物線的開口向上，對稱軸為.
因此當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大.
(3)拋物線的對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
如圖2，如果，那么對稱軸在軸右側(cè)，最低點(diǎn)就是.
已知最低點(diǎn)到直線的距離為2，
所以.
解得.
如圖3，如果，那么對稱軸在軸左側(cè)，頂點(diǎn)就是最低點(diǎn).
所以.
整理，得.
解得，或(舍去正值).
綜上：或.
30．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過A(n，b)，B(m，a)且m﹣n＝1．
(1)當(dāng)b＝a時(shí)，直接寫出函數(shù)圖象的對稱軸；
(2)求b和c(用只含字母a、n的代數(shù)式表示)；
(3)當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)有最大值﹣1，b＋c≥a，n≤，求a的取值范圍．
答案:(1)；(2)；(3)
(1)函數(shù)的對稱軸為直線，
∵，
∴；
(2)∵二次函數(shù)經(jīng)過A(n，b)，B(m，a)，
則，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
將代入得：；
(3)∵，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，；
而，故，
∵()，
∴，
∴，且，
∴，
化簡得：，
∴，
∵，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴．

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