資源簡介

專題06二次函數的簡單應用
二次函數是初中數學的一個重要內容，是中考重點考查的內容，也是高考必考內容，同時還是一個研究函數性質的很好的載體，因此做好二次函數的初高中銜接至關重要，初中階段對二次函數的要求，是立足于用代數方法來研究，比如配方結合頂點式，描述函數圖象的某些特征(開口方向、頂點坐標、對稱軸、最值)等；再比如待定系數法，通過解方程組的形式來求二次函數的解析式.
高中的函數立足于集合觀點，對二次函數的學習要求明顯提高，二次函數的研究更側重于數形結合、分類討論等思想方法.
《初中課程要求》 要求會通過圖象發現些信息，但只停留在會識圖的基礎之上，而不是應用圖象解決問題
《高中課程要求》 會靈活應用各種函數的圖象，如利用函數圖象求值域、解方程、求根的個數、解不等式等
高中必備知識點1：平移變換
問題1 在把二次函數的圖象進行平移時，有什么特點？依據這一特點，可以怎樣來研究二次函數的圖象平移？
我們不難發現：在對二次函數的圖象進行平移時，具有這樣的特點——只改變函數圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數的圖象平移問題時，只需利用二次函數圖象的頂點式研究其頂點的位置即可．
高中必備知識點2：對稱變換
在把二次函數的圖象關于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，有什么特點？依據這一特點，可以怎樣來研究二次函數的圖象平移？
我們不難發現：在把二次函數的圖象關于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，具有這樣的特點——只改變函數圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數圖象的對稱變換問題時，關鍵是要抓住二次函數的頂點位置和開口方向來解決問題．
高中必備知識點3：分段函數
一般地，如果自變量在不同取值范圍內時，函數由不同的解析式給出，這種函數，叫作分段函數．
高中必備知識點1：平移變換
【典型例題】
如圖，拋物線經過兩點，頂點為D．
求a和b的值；
將拋物線沿y軸方向上下平移，使頂點D落在x軸上．
求平移后所得圖象的函數解析式；
若將平移后的拋物線，再沿x軸方向左右平移得到新拋物線，若時，新拋物線對應的函數有最小值2，求平移的方向和單位長度．
【變式訓練】
已知拋物線，把它向上平移，得到的拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，若是直角三角形，那么原拋物線應向上平移幾個單位？
【能力提升】
已知拋物線y＝x(x﹣2)+2．
(1)用配方法把這個拋物線的表達式化成y＝a(x+m)2+k的形式，并寫出它的項點坐標；
(2)將拋物線y＝x(x﹣2)+2上下平移，使頂點移到x軸上，求新拋物線的表達式．
高中必備知識點2：對稱變換
【典型例題】
如圖，拋物線y=ax -2x+c(a≠0)與x軸，y軸分別交于點A，B，C三點，已知點(-2,0)，C(0,-8)，點D是拋物線的頂點.
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
(2)如圖，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，第四象限的拋物線上有一點P，將△EB直線EP折疊，使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標；
【變式訓練】
已知二次函數的圖象的頂點坐標為(3,-2),且與y軸交于(0,).
(1)求函數的解析式;
(2)若點(p,m)和點(q,n)都在該拋物線上,若p>q>5,判斷m和n的大小.
【能力提升】
已知拋物線經過點(1，-2)．
(1)求的值；
(2)若點A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在該拋物線上，試比較y1與y2的大小．
高中必備知識點3：分段函數
【典型例題】
函數，則的值是___．
【變式訓練】
已知函數，若，則_________．
【能力提升】
函數__________．
1．如圖，菱形的對角線與相交于點，，，點在上運動．過點作交于，交于點，將沿翻折得到，若，與重疊部分的面積為，下列圖象能正確反映與的函數關系的是( )
A． B．
C． D．
2．如圖，在中，是邊上的中線，將沿射線方向以每秒個單位長度的速度平移，平移后的三角形記為，設與重疊部分的面積為，平移運動的時間為，當點與點重合時，停止運動，則下列圖象能反映與之間函數關系的是( )
A． B．
C． D．
3．如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AB=10，一個三角形的直角頂點E是邊AB上的一動點，一直角邊過點D，另一直角邊與BC交于F，若AE=x，BF=y，則y關于x的函數關系的圖象大致為(　　)

A． B．
C． D．
4．一次足球訓練中，小明從球門正前方將球射向球門，球射向球門的路線呈拋物線，當球飛行的水平距離為時，球達到最高點，此時球離地面．已知球門高是，若足球能射入球門，則小明與球門的距離可能是( )
A． B． C． D．
5．如圖，矩形中，，，拋物線的頂點在矩形內部或其邊上，則的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
6．如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，若水面下降2.5m，那么水面寬度為(　　)m．
A．3 B．6 C．8 D．9
7．已知二次函數的圖象與軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，頂點C，點C關于軸的對稱點為D點，若四邊形為正方形，則的值為( )
A． B． C． D．
8．在中考體育訓練期間，小宇對自己某次實心球訓練的錄像進行分析，發現實心球飛行高度y(米)與水平距離x(米)之間的關系式為，由此可知小宇此次實心球訓練的成績為(　　)
A．米 B．8米 C．10米 D．2米
9．已知中，，正方形中，和在同一直線上，將向右平移，則和正方形重疊部分的面積y與點B移動的距離x之間的函數圖象大致是( )
A． B． C． D．
10．如圖，正方形的邊長為a，點E在邊上運動(不與點A，B重合)，，點F在射線上，且，與相交于點G，連接、、、則下列結論：
①；②的周長為；③；④的面積的最大值是；⑤當時，G是線段的中點．其中正確結論的個數是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
11．飛機著陸后滑行的距離(單位：)關于滑行的時間(單位：)的函數解析式是，飛機著陸后滑行______米才能停下來．
12．如圖，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻，張大爺利用舊墻和籬笆圍城一個矩形菜園ABCD，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米籬笆，若a=30米，則矩形菜園ABCD面積的最大值為__________．
13．如圖，拋物線y＝x2﹣4與x軸交于 A、B兩點，P是以點C(0，3)為圓心，2為半徑的圓上的動點，Q是線段PA的中點，連接OQ，則線段OQ的最小值是_____．
14．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一個動點，連接CD，將△BCD繞點C順時針旋轉90°得到△ACE，連接DE，則△ADE面積的最大值等于____________．
15．如圖，將矩形置于平面直角坐標系中，點О是坐標原點，點A的坐標是，點C在x軸上，點在邊BC上，將沿AD折疊，得到，若拋物線(且a為常數)的頂點落在的內部(不含邊界)，則a的取值范圍是__________．
16．如圖，在第一象限內作與x軸的夾角為30°的射線OC，在射線OC上取點A，過點A作AH⊥x軸于點H，在拋物線y＝x2(x＞0)上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A有____個．
17．某游樂園有一圓形噴水池(如圖)，中心立柱AM上有一噴水頭A，其噴出的水柱距池中心3米處達到最高，最遠落點到中心M的距離為9米，距立柱4米處地面上有一射燈C，現將噴水頭A向上移動1.5米至點B(其余條件均不變)，若此時水柱最高處D與A，C在同一直線上，則水柱最遠落點到中心M的距離增加了_____米．
18．如圖，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點A(-2，0)點B(1，0)，拋物線y=x2-4x+m與正方形有兩個交點時，則m的取值范圍是_______．
19．如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進高度(單位：m)與水平距離(單位：m)之間的關系是．則他將鉛球推出的距離是__________m．
20．豎直上拋物體時，物休離地而的高度與運運動時間之間的關系可以近似地用公式表示，其中是物體拋出時高地面的高度，是物體拋出時的速度．某人將一個小球從距地面的高處以的速度豎直向上拋出，小球達到的離地面的最大高度為___m．
21．如圖，一小球沿與地面成一定角度的方向飛出，小球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度(單位：)與飛行時間(單位：)之間具有函數關系，請根據要求解答下列問題：
(1)在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是多少？
(2)在飛行過程中，小球飛行高度何時最大？最大高度是多少？
22．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點和點，動點和點在軸上方拋物線上，點在點的右側，軸．分別過點，點作軸于點，軸于點．
(1)求拋物線的表達式，并直接寫出拋物線的頂點的坐標；
(2)設點的橫坐標為，四邊形的周長為，求的最大值；
(3)在(2)的條件下，連接，，、點在軸下方拋物線上，點到的距離記為，點到的距離記為，當，
①直接寫出點的坐標；
②將沿射線平移，平移后的三角形記為，在平移過程中，當三邊所在直線最后一次經過點時，直接寫出平移的距離．
23．天府新區某商場開業后要經營一種新上市的文具進價為10元/件．試營銷階段發現：當銷售單價是13元時，每天的銷售量為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件，設該商場銷售這種文具每天的銷售量為y件，銷售單價為x元/件．
(1)寫出y與x之間的函數關系式；
(2)設商場每天的銷售利潤為w(元)，若每天銷售量不少于150件，求商場每天的最大利潤．
24．如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點．已知點的坐標為，點為第二象限內拋物線上的一個動點，連接．
(1)求這個拋物線的表達式．
(2)點為第二象限內拋物線上的一個動點，求四邊形面積的最大值．
(3)①點在平面內，當是以為斜邊的等腰直角三角形時，求出滿足條件的所有點的坐標；
②在①的條件下，點在拋物線對稱軸上，當時，求出滿足條件的所有點的坐標．
25．某企業研發了一種新產品，已知這種產品的成本為30元/件，且年銷售量(萬件)與售價(元/件)的函數關系式為
(1)當售價為60元/件時，年銷售量為________萬件；
(2)當售價為多少時，銷售該產品的年利潤最大？最大利潤是多少？
(3)若銷售該產品的年利潤不少于750萬元，直接寫出的取值范圍．
26．某商場銷售每件進貨價為40元的一種商品，規定每件售價不低于進貨價，經市場調查，每月的銷售量(件)與每件的售價(元)滿足一次函數關系．
(1)商場每月想從這種商品銷售中獲利36000元，該如何給這種商品定價？
(2)市場監管局規定，該商品的每件售價不得高于60元，請問售價定為多少元可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
27．某書店銷售一本暢銷的小說，每本進價為20元．根據以往經驗，當銷售單價是25元時，每天的銷售量是250本；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10本．
(1)請求出書店銷售該小說每天的銷售量y(本)與銷售單價x元)之間的函數關系式；
(2)書店決定每銷售1本該小說，就捐贈2元給山區貧困兒童，若想每天扣除捐贈后獲得最大利潤，則每本該小說售價為多少元？最大利潤是多少？
28．某蔬菜基地種植的某種綠色蔬菜，根據今年的市場行情，預計從5月1日起的50天內，第天上市的該種蔬菜每千克的市場售價為元，是關于的一次函數，其中部分對應數據如下表；第天上市的該種蔬菜每千克的種植成本為元，與滿足關系．
1 2 3 …
5.04 4.98 4.92 …
(1)求市場售價關于的函數表達式，并寫出的取值范圍；
(2)若市場售價減去種植成本為利潤，自5月1日起的50天內，第幾天上市的該種蔬菜每千克的利潤最大，最大利潤是多少？
29．某地區在2020年開展脫貧攻堅的工作中大力種植有機蔬菜．某種蔬菜的銷售單價與銷售月份之間的關系如圖(1)所示，每千克成本與銷售月份之間的關系如圖(2)所示(其中圖(1)的圖象是直線，圖(2)的圖象是拋物線)．
(1)求每千克蔬菜銷售單價與銷售月份之間的關系式；
(2)判斷哪個月份銷售每千克蔬菜的收益最大？并求出最大收益；
(3)求出一年中銷售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？
30．今年甲、乙兩個果園的紅心獼猴桃喜獲豐收，已知甲果園的總產量為27噸，乙果園的總產量13噸，某果業公司租用、兩種型號的保鮮貨車去果園運輸獼猴桃，甲果園需要型保鮮貨車滿載獼猴桃運輸6趟，同時需要型保鮮貨車滿載獼猴桃運輸5趟才能剛好運輸完：乙果園需型保鮮貨車滿載獼猴桃運輸2趟，同時需要型保鮮貨車滿載獼猴桃運輸3趟剛好運輸完．
(1)求、兩種保鮮貨車滿載獼猴桃運輸一趟分別是多少噸？
(2)果業公司收購該批獼猴桃的單價為0.8萬元/噸，目前公司可以0.9萬元/噸的價格售出，如果保鮮冷藏儲存起來，旺市再銷售以便獲取最大利潤，由于失水和腐爛，水果重量每天減少0.5噸，且每天需支付各種費用0.08萬元/噸，而每天的價格會持續上漲0.1萬元/噸、如果公司計劃把該批獼猴桃最多保鮮冷藏儲存20天，那么儲存多少天后出售這批獼猴桃所獲得的利潤最大？最大利潤是多少萬元？
專題06二次函數的簡單應用
二次函數是初中數學的一個重要內容，是中考重點考查的內容，也是高考必考內容，同時還是一個研究函數性質的很好的載體，因此做好二次函數的初高中銜接至關重要，初中階段對二次函數的要求，是立足于用代數方法來研究，比如配方結合頂點式，描述函數圖象的某些特征(開口方向、頂點坐標、對稱軸、最值)等；再比如待定系數法，通過解方程組的形式來求二次函數的解析式.
高中的函數立足于集合觀點，對二次函數的學習要求明顯提高，二次函數的研究更側重于數形結合、分類討論等思想方法.
《初中課程要求》 要求會通過圖象發現些信息，但只停留在會識圖的基礎之上，而不是應用圖象解決問題
《高中課程要求》 會靈活應用各種函數的圖象，如利用函數圖象求值域、解方程、求根的個數、解不等式等
高中必備知識點1：平移變換
問題1 在把二次函數的圖象進行平移時，有什么特點？依據這一特點，可以怎樣來研究二次函數的圖象平移？
我們不難發現：在對二次函數的圖象進行平移時，具有這樣的特點——只改變函數圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數的圖象平移問題時，只需利用二次函數圖象的頂點式研究其頂點的位置即可．
高中必備知識點2：對稱變換
在把二次函數的圖象關于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，有什么特點？依據這一特點，可以怎樣來研究二次函數的圖象平移？
我們不難發現：在把二次函數的圖象關于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，具有這樣的特點——只改變函數圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數圖象的對稱變換問題時，關鍵是要抓住二次函數的頂點位置和開口方向來解決問題．
高中必備知識點3：分段函數
一般地，如果自變量在不同取值范圍內時，函數由不同的解析式給出，這種函數，叫作分段函數．
高中必備知識點1：平移變換
【典型例題】
如圖，拋物線經過兩點，頂點為D．
求a和b的值；
將拋物線沿y軸方向上下平移，使頂點D落在x軸上．
求平移后所得圖象的函數解析式；
若將平移后的拋物線，再沿x軸方向左右平移得到新拋物線，若時，新拋物線對應的函數有最小值2，求平移的方向和單位長度．
答案:將拋物線向左平移個單位長度或向右平移個單位長度．
解析：
代入，
得：，解得：．
，
拋物線頂點D的坐標為．
將拋物線沿y軸平移后，頂點D落在x軸上，
平移后的拋物線的頂點坐標為，
平移后的拋物線為，即．
若將拋物線向左平移個單位長度，則新拋物線的解析式為，
時，新拋物線對應的函數有最小值2，
新拋物線必過點，
，
解得：舍去；
若將拋物線向右平移個單位長度，則新拋物線的解析式為，
時，新拋物線對應的函數有最小值2，
新拋物線必過點．
，
解得：舍去．
將拋物線向左平移個單位長度或向右平移個單位長度．
【變式訓練】
已知拋物線，把它向上平移，得到的拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，若是直角三角形，那么原拋物線應向上平移幾個單位？
答案:向上平移3個單位．
解析：
由題意知，必為等腰直角三角形，設平移后的拋物線為，
則，
代入拋物線方程得：，
舍去．
所以向上平移3個單位．
【能力提升】
已知拋物線y＝x(x﹣2)+2．
(1)用配方法把這個拋物線的表達式化成y＝a(x+m)2+k的形式，并寫出它的項點坐標；
(2)將拋物線y＝x(x﹣2)+2上下平移，使頂點移到x軸上，求新拋物線的表達式．
答案:(1)y＝(x﹣1)2+1，它的頂點坐標為：(1，1)；(2)圖象向下平移1個單位得到：y＝(x﹣1)2．
解析：
(1)y=x(x﹣2)+2=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1，它的頂點坐標為：(1，1)；
(2)∵將拋物線y=x(x﹣2)+2上下平移，使頂點移到x軸上，∴圖象向下平移1個單位得到：y=(x﹣1)2．
高中必備知識點2：對稱變換
【典型例題】
如圖，拋物線y=ax -2x+c(a≠0)與x軸，y軸分別交于點A，B，C三點，已知點(-2,0)，C(0,-8)，點D是拋物線的頂點.
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
(2)如圖，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，第四象限的拋物線上有一點P，將△EB直線EP折疊，使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標；
答案:(1)y=x2﹣2x﹣8；D(1，﹣9)；(2)P()．
解析：
(1)將點A、點C的坐標代入拋物線的解析式得：，
解得：a=1，c=﹣8．
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣8．
∵y=(x﹣1)2﹣9，
∴D(1，﹣9)．
(2)將y=0代入拋物線的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，
∴B(4，0)．
∵y=(x﹣1)2﹣9，
∴拋物線的對稱軸為x=1，
∴E(1，0)．
∵將△EBP沿直線EP折疊，使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上，
∴EP為∠BEF的角平分線．
∴∠BEP=45°．
設直線EP的解析式為y=﹣x+b，將點E的坐標代入得：﹣1+b=0，解得b=1，
∴直線EP的解析式為y=﹣x+1．
將y=﹣x+1代入拋物線的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．
∵點P在第四象限，
∴x=．
∴y=．
∴P()．
【變式訓練】
已知二次函數的圖象的頂點坐標為(3,-2),且與y軸交于(0,).
(1)求函數的解析式;
(2)若點(p,m)和點(q,n)都在該拋物線上,若p>q>5,判斷m和n的大小.
答案:(1)y=(x-3)2-2.(2)m>n.
解析：
(1)由題意設函數的解析式為y=a(x-3)2-2,
根據題意得9a-2=
解得a=，
所以函數解析式是y=(x-3)2-2.
(2)因為a=>0,所以拋物線開口向上,
又因為二次函數的對稱軸是直線x=3.
所以當x>3時,y隨x增大而增大,
因為p>q>5>3,
所以m>n.
【能力提升】
已知拋物線經過點(1，-2)．
(1)求的值；
(2)若點A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在該拋物線上，試比較y1與y2的大小．
答案:(1)a=-1；(2)y1＜y2．
解析：
(1)、∵拋物線經過點(1，-2)， ∴，解得a=-1；
(2)、∵函數的對稱軸為x=3，
∴ A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)在對稱軸左側，
又∵拋物線開口向下，∴ 對稱軸左側y隨x的增大而增大， ∵ m＜n＜3，∴ y1＜y2．
高中必備知識點3：分段函數
【典型例題】
函數，則的值是___．
答案:0
解析：
∵函數f(x)，
∴f(1)＝1﹣1＝0，
f(f(1))＝f(0)＝0．
故答案為：0．
【變式訓練】
已知函數，若，則_________．
答案:
解析：
，故，填．
【能力提升】
函數__________．
答案:1.
解析：
由題意得．
故答案為：1．
1．如圖，菱形的對角線與相交于點，，，點在上運動．過點作交于，交于點，將沿翻折得到，若，與重疊部分的面積為，下列圖象能正確反映與的函數關系的是( )
A． B．
C． D．
答案:A
解：分情況討論：
①當翻折后點G在點O的左側時(如圖①)，即2≤x≤4，
∵EF∥AC，
∴∠BEF=∠BAC，∠BFE=∠BCA，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即BN=EF=4-x，
由四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又∵EF∥AC，
∴EF⊥BD，
翻折后，重疊部分；
②當翻折后點G在點O的右側時(如圖②)，即0≤x≤2，
翻折后，重疊部分y=S梯形HIEF，
∵ON=x，BN=4-x，GN=BN=4-x，
∴OG=4-2x，
又∵EF∥AC，
同理可得△GHI∽△GEF，
∴HI=OG=4-2x，
∴，
綜上所述，，
故選：A．
2．如圖，在中，是邊上的中線，將沿射線方向以每秒個單位長度的速度平移，平移后的三角形記為，設與重疊部分的面積為，平移運動的時間為，當點與點重合時，停止運動，則下列圖象能反映與之間函數關系的是( )
A． B．
C． D．
答案:A
當時 ，平移了個單位長度，即
∵
∴，
∴，
∴
∵中，是邊上的中線
∴
∴與是等腰三角形
∵沿射線方向平移后的三角形記為
∴
∵
∴是的中位線
∴
∴
即時，，故可得C、D錯誤，故舍去
當，如圖：
∵
∴
∴
∴
可見當時，，函數圖像為開口向上的拋物線，則A符合題意，B為一次函數不符合題意．
故選A．
3．如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AB=10，一個三角形的直角頂點E是邊AB上的一動點，一直角邊過點D，另一直角邊與BC交于F，若AE=x，BF=y，則y關于x的函數關系的圖象大致為(　　)

A． B．
C． D．
答案:A
解：如圖，連接，
設，，
則，
，
；
為直角三角形，
，
即，
解得，
根據函數關系式可看出中的函數圖象與之對應．
故選：A．
4．一次足球訓練中，小明從球門正前方將球射向球門，球射向球門的路線呈拋物線，當球飛行的水平距離為時，球達到最高點，此時球離地面．已知球門高是，若足球能射入球門，則小明與球門的距離可能是( )
A． B． C． D．
答案:A
解：如圖，建立直角坐標系，設拋物線解析式為y=+3
將(0，0)代入解析式得a＝，
∴拋物線解析式為y=，
當x＝10時，y＝，
∵＜2.44，滿足題意，
故選：A．
5．如圖，矩形中，，，拋物線的頂點在矩形內部或其邊上，則的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
答案:D
解：拋物線的頂點坐標M為(m，-m＋1)，
∵，，
∴，
∴-1≤m≤0，
故選：D．
6．如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，若水面下降2.5m，那么水面寬度為(　　)m．
A．3 B．6 C．8 D．9
答案:B
解：建立平面直角坐標系，設橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點，
拋物線以y軸為對稱軸，且經過A，B兩點，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點C坐標為(0，2)，
設頂點式y＝ax2+2，把A點坐標(﹣2，0)代入得a＝﹣0.5，
∴拋物線解析式為y＝﹣0.5x2+2，
當水面下降2.5米，通過拋物線在圖上的觀察可轉化為：
當y＝﹣2.5時，對應的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線y＝﹣2.5與拋物線相交的兩點之間的距離，
可以通過把y＝﹣2.5代入拋物線解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面寬度為3﹣(﹣3)＝6(m)．
故選：B．
7．已知二次函數的圖象與軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，頂點C，點C關于軸的對稱點為D點，若四邊形為正方形，則的值為( )
A． B． C． D．
答案:C
解：二次函數的圖象與軸交于A、B兩點，
，，
拋物線的對稱軸為直線，
設頂點C的坐標為，
四邊形為正方形，
，
或，
把C點的坐標代入得：或，
解得：，
故選：C．
8．在中考體育訓練期間，小宇對自己某次實心球訓練的錄像進行分析，發現實心球飛行高度y(米)與水平距離x(米)之間的關系式為，由此可知小宇此次實心球訓練的成績為(　　)
A．米 B．8米 C．10米 D．2米
答案:B
解：當y＝0時，即＝0，
解得：x1＝﹣2(舍去)，x2＝8，
所以小宇此次實心球訓練的成績為8米，
故選：B．
9．已知中，，正方形中，和在同一直線上，將向右平移，則和正方形重疊部分的面積y與點B移動的距離x之間的函數圖象大致是( )
A． B． C． D．
答案:C
依題意可得當0≤x≤2時，和正方形重疊部分為等腰直角△EBC
BE=x
∴y=
當2＜x＜4時，和正方形重疊部分為五邊形CMEFN，如圖所示
由題意可得S△CHM=，S△CGN=，
∴S五邊形CMEFN=2×2--=
當4≤x≤6時，AF=6-x，
∴y=
∴y=
故函數圖象如下圖所示：
故選C．
10．如圖，正方形的邊長為a，點E在邊上運動(不與點A，B重合)，，點F在射線上，且，與相交于點G，連接、、、則下列結論：
①；②的周長為；③；④的面積的最大值是；⑤當時，G是線段的中點．其中正確結論的個數是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案:B
解：如圖1中，在BC上截取BH＝BE，連接EH．
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EH＝BE，
∵AF＝BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC(SAS)，
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，
∵∠ECH＋∠CEB＝90°，
∴∠AEF＋∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正確，
如圖2中，延長AD到H，使得DH＝BE，則△CBE≌△CDH(SAS)，
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH(SAS)，
∴EG＝GH，
∵GH＝DG＋DH，DH＝BE，
∴EG＝BE＋DG，故③錯誤，
∴△AEG的周長＝AE＋EG＋AG＝AE＋AH＝AD＋DH＋AE＝AE＋EB＋AD＝AB＋AD＝2a，故②錯誤，
設BE＝x，則AE＝a x，AF＝x，
∴S△AEF＝ (a x) x＝ x2＋ax＝ (x2 ax＋a2 a2)＝ (x a)2＋a2，
∵ ＜0，
∴x＝a時，△AEF的面積的最大值為a2．故④正確，
當BE＝a時，設DG＝x，則EG＝x＋a，
在Rt△AEG中，則有(x＋a)2＝(a x)2＋(a)2，
解得：x＝，
∴AG＝GD，故⑤正確，
∴①④⑤正確，正確結論的個數是3個，
故選B．
11．飛機著陸后滑行的距離(單位：)關于滑行的時間(單位：)的函數解析式是，飛機著陸后滑行______米才能停下來．
答案:600
解：由函數解析式是可化為，
∴當t=20時，滑行距離s最大，最大距離為600，
∴飛機著陸后滑行600米才能停下來；
故答案為600．
12．如圖，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻，張大爺利用舊墻和籬笆圍城一個矩形菜園ABCD，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米籬笆，若a=30米，則矩形菜園ABCD面積的最大值為__________．
答案:1050平方米
解：設BC=x米，則
S=(100-x)
=(x-50)2+1250(0＜x≤30)，
∵，對稱軸為x=50，
∴x=a=30時，S的最大值是1050．
答：當a=30米時，矩形菜園ABCD面積的最大值為1050平方米．
故答案為：1050平方米．
13．如圖，拋物線y＝x2﹣4與x軸交于 A、B兩點，P是以點C(0，3)為圓心，2為半徑的圓上的動點，Q是線段PA的中點，連接OQ，則線段OQ的最小值是_____．
答案:
解：連接BP，如圖，
當y＝0時，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，則A(﹣4，0)，B(4，0)，
∵Q是線段PA的中點，
∴OQ為△ABP的中位線，
∴OQ＝BP，
當BP最小時，OQ最小，
連接BC交圓于P時，PB最小，
∵BC＝＝5，
∴BP的最小值＝5﹣2＝3，
∴線段OQ的最小值為．
故答案為：．
14．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一個動點，連接CD，將△BCD繞點C順時針旋轉90°得到△ACE，連接DE，則△ADE面積的最大值等于____________．
答案:
解：如圖，△BCD繞點C順時針旋轉90°得到△ACE，
∴△BDC≌△AEC，
∴∠B=∠CAE，
∵BC=AC=，△ABC為等腰直角三角形，
∴∠B=∠CAE=∠BAC=45°，
∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理AB=，
設BD=AE=x，則AD=(2-x)，
∴，
∵，函數開口向下，函數有最大值，
當x=1時，．
故答案為：．
15．如圖，將矩形置于平面直角坐標系中，點О是坐標原點，點A的坐標是，點C在x軸上，點在邊BC上，將沿AD折疊，得到，若拋物線(且a為常數)的頂點落在的內部(不含邊界)，則a的取值范圍是__________．
答案:且
折疊可知：BD=ED，AB=AE
∵在矩形OABC中，A(0， 6).D(10， 1)
∴AE=AB=10，BD=ED=5，∠B=∠E=90°
過點E作EF垂直于y軸于G，交BC的延長線于點F
∵∠AEG+∠DEF=90°，∠AEG+∠GAE=90°
∴ ∠GAE=∠DEF，又∠AGE=∠F=90°
∴ △AGE ∽△EFD
∴
設GE=x，則EF=10-x，DF=x
由勾股定理得：DE2=DF2+EF2
x=10(舍去)或x=6
∴E(6，-2)
∵拋物線的對稱軸是x= =6
設直線AD的解析式為y=kx+b.
將A(0， 6)、D(10， 1)代入得：
解得
∴直線AD的解析式為：y= x+6
將x=6代入 得：y=3
∴直線x=6與直線AD的交點坐標為(6，3)
由
因為拋物線頂點在△AED中，
所以-2<-2a+1<3
解得： ，且a≠0
16．如圖，在第一象限內作與x軸的夾角為30°的射線OC，在射線OC上取點A，過點A作AH⊥x軸于點H，在拋物線y＝x2(x＞0)上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A有____個．
答案:4
解：①當∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH=30°，設A坐標為(a，b)，
在直角三角形OAH中，tan∠AOH=tan30°== ，
設直線OA的方程為y=kx，把A的坐標代入得k==，
∴直線OA的解析式： y=x，聯立拋物線的解析式，
得：，
解得 ， ；
∴A(，)；
②當∠POQ=∠AOH=30°，此時△POQ≌△AOH；
易知∠POH=60°，則直線OP：y= x，聯立拋物線的解析式，得： ，
解得，；
∴P(，3)，即可得A(3，)；
③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時，此時△QOP≌△AOH；
易知∠POH=60°，則直線OP：y=x，聯立拋物線的解析式，得：，
解得 ，；
∴P(，3)，
∴OP=2，QP=2，
∴OH=OP=2，AH=QP=2，
∴A(2，2)；
④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時△OQP≌△AOH；
此時直線OP：y=x，聯立拋物線的解析式，得：，
解得 ， ；
∴P(， )，
∴QP=，OP=，
∴OH=QP=，AH=OP=，
∴A(，)．
綜上可知：符合條件的點A有四個，且坐標為：(，)，(3，)，(，2)，(，)．
故答案為：4．
17．某游樂園有一圓形噴水池(如圖)，中心立柱AM上有一噴水頭A，其噴出的水柱距池中心3米處達到最高，最遠落點到中心M的距離為9米，距立柱4米處地面上有一射燈C，現將噴水頭A向上移動1.5米至點B(其余條件均不變)，若此時水柱最高處D與A，C在同一直線上，則水柱最遠落點到中心M的距離增加了_____米．
答案:
解：如圖，以地面為x軸，中心立柱為y軸建立平面直角坐標系．
根據題意可知水柱可以看成拋物線(只考慮第一象限)．
由題意可知C點坐標為(-4，0)．
∵噴水頭A噴出的水柱距池中心3米處達到最高，
故該拋物線的對稱軸為．
∴設該拋物線解析式為，
又∵水柱最遠落點到中心M的距離為9米，
∴該拋物線又經過點(9，0)．
∴，即，
∴該拋物線解析式為．
當x=0時，
故點A坐標為(0，-27a)．
由題意可知將噴水頭A向上移動1.5米至點B，即將拋物線向上平移1.5．
∴平移后的拋物線為．
∴點D坐標為(3，)．
設經過點A、C的直線解析式為，
∴，解得．
即經過點A、C的直線解析式為．
又∵該直線經過點D．
∴．
解得：．
故平移后的拋物線解析式為，
整理得：．
當時，即，
解得：(舍)．
∴移動后最遠落點到中心M的距離為米，
∴移動后水柱最遠落點到中心M的距離增加了(米)．
故答案為：．
18．如圖，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點A(-2，0)點B(1，0)，拋物線y=x2-4x+m與正方形有兩個交點時，則m的取值范圍是_______．
答案:
∵A(-2，0)，B(1，0)，四邊形ABCD是正方形．
∴AB=1-(-2)=3．
∴C點坐標為(1，3)．
根據題意可知拋物線在點A和點C之間時符合題意．
當拋物線經過點A時，即將A點坐標代入中，得：
，解得：．
當拋物線經過點C時，即將C點坐標代入中，得：
，解得：．
綜上，．
故答案為：．
19．如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進高度(單位：m)與水平距離(單位：m)之間的關系是．則他將鉛球推出的距離是__________m．
答案:10
解：當y=0時，
解得，x1=10，x2=-2(負值舍去)，
∴該男生把鉛球推出的水平距離是10m．
20．豎直上拋物體時，物休離地而的高度與運運動時間之間的關系可以近似地用公式表示，其中是物體拋出時高地面的高度，是物體拋出時的速度．某人將一個小球從距地面的高處以的速度豎直向上拋出，小球達到的離地面的最大高度為___m．
答案:21.5
解：由題意得：
h＝﹣5t2+20t+1.5
＝﹣5(t﹣2)2+21.5，
∵a＝﹣5＜0，
∴當t＝2時，h取得最大值，此時h＝21.5．
故答案為：21.5．
21．如圖，一小球沿與地面成一定角度的方向飛出，小球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度(單位：)與飛行時間(單位：)之間具有函數關系，請根據要求解答下列問題：
(1)在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是多少？
(2)在飛行過程中，小球飛行高度何時最大？最大高度是多少？
答案:(1)在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是；(2)在飛行過程中，在時小球飛行高度最大，最大高度是
解：(1)∵，
∴令，得，
解得，，
∵，
∴在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是．
(2)
，
∴當時，取得最大值，最大值為20.
∴在飛行過程中，在時小球飛行高度最大，最大高度是．
22．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點和點，動點和點在軸上方拋物線上，點在點的右側，軸．分別過點，點作軸于點，軸于點．
(1)求拋物線的表達式，并直接寫出拋物線的頂點的坐標；
(2)設點的橫坐標為，四邊形的周長為，求的最大值；
(3)在(2)的條件下，連接，，、點在軸下方拋物線上，點到的距離記為，點到的距離記為，當，
①直接寫出點的坐標；
②將沿射線平移，平移后的三角形記為，在平移過程中，當三邊所在直線最后一次經過點時，直接寫出平移的距離．
答案:(1)拋物線的表達式為，頂點的坐標為；(2)10；(3)①；②
解：(1)將點，代人，得
解得
∴拋物線的表達式為，
∴頂點的坐標為；
(2)∵軸，軸，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，，
設點，
∴點，
∴，，
∴，
∵，∴的最大值是10；
(3)①如圖，連接PF，CP，OP，PE，過點P作PN⊥EF交EF的延長線于N，過點C作CM⊥PN于M，連接BM．設P(x0，y0)．
由(2)可知，a=2，
∴E(2，3)，F(0，3)，C(1，4)，
∴CF=，OE=，
∵S△PCF=S△PCM-S△PMB-S△CMB=(x0-y0+3)
S△PCF=，
∴h1=，
同法h2=，
∵，且y0＝+2x0+3，
如圖，x0＞3或x0＜-1，y0＜0，
解得：，
∴P(-4，-21)．
②令x=-4代入lCF：y=x+3中，y=-1，
∴(-4，-21)不過點P，
若直線CE平移后過點P，設平移后直線解析式為：y=-x+b，
代入(-4，-21)，得b=-25，
此時平移距離為[5 ( 25)]＝15，
若直線EF平移后過點P，設F'(f，-21)，
代入lCF：y=x+3中，得f=-24，
∴平移距離為，
∴直線最后一次經過點P時，平移的距離為24．
23．天府新區某商場開業后要經營一種新上市的文具進價為10元/件．試營銷階段發現：當銷售單價是13元時，每天的銷售量為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件，設該商場銷售這種文具每天的銷售量為y件，銷售單價為x元/件．
(1)寫出y與x之間的函數關系式；
(2)設商場每天的銷售利潤為w(元)，若每天銷售量不少于150件，求商場每天的最大利潤．
答案:(1)；(2)1950元
解：(1)當銷售單價是13元時，每天的銷售量為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件，
銷售量件，銷售單價元件之間的關系為：；
(2)每天銷售量不少于150件，
，即，解得，
商場每天的銷售利潤，
關于的拋物線對稱軸為，
而，開口向下，當時，圖象在對稱軸左側，隨的增大而增大，
時，最大，且最大值為1950，
若每天銷售量不少于150件，則商場每天的最大利潤是1950元．
24．如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點．已知點的坐標為，點為第二象限內拋物線上的一個動點，連接．
(1)求這個拋物線的表達式．
(2)點為第二象限內拋物線上的一個動點，求四邊形面積的最大值．
(3)①點在平面內，當是以為斜邊的等腰直角三角形時，求出滿足條件的所有點的坐標；
②在①的條件下，點在拋物線對稱軸上，當時，求出滿足條件的所有點的坐標．
答案:(1)；(2)；(3)①或，②或或
解：(1)∵拋物線交軸于點和點，
∴拋物線的表達式為：，
即，解得：，故拋物線的表達式為：；
(2)連接，設點，
則
，
．故有最大值，當時，的最大值為；
(3)①如圖2，若點在左側，連接，
，且，
，且，，
∴點坐標，若點在右側，同理可求點；
②如圖3，
∵拋物線的表達式為：；
∴對稱軸為：直線，
∴點在對稱軸上，，
∴點是的中點，
，
∴點，點，點在以為直徑的圓上，
當點在以為直徑的圓上時，，符合題意，
∵點，點，，且點在拋物線對稱軸上，
∴點，點，延長交對稱軸與，
∵點，點，∴直線解析式為：，
∴當時，，∴點的坐標，
∵點的坐標，點，點，且，
，，
∴點符合題意，
綜上所述：點的坐標為：或或．
25．某企業研發了一種新產品，已知這種產品的成本為30元/件，且年銷售量(萬件)與售價(元/件)的函數關系式為
(1)當售價為60元/件時，年銷售量為________萬件；
(2)當售價為多少時，銷售該產品的年利潤最大？最大利潤是多少？
(3)若銷售該產品的年利潤不少于750萬元，直接寫出的取值范圍．
答案:(1)20；(2)當售價為50元/件時，年銷售利潤最大，最大為800萬元；(3)
(1)．
(2)設銷售該產品的年利潤為萬元，
當時，．
∵，
∴當時，
當時，
∵，
∴當時，
∵，
∴當時，
∴當售價為50元/件時，年銷售利潤最大，最大為800萬元．
(3)
理由如下：由題意得
26．某商場銷售每件進貨價為40元的一種商品，規定每件售價不低于進貨價，經市場調查，每月的銷售量(件)與每件的售價(元)滿足一次函數關系．
(1)商場每月想從這種商品銷售中獲利36000元，該如何給這種商品定價？
(2)市場監管局規定，該商品的每件售價不得高于60元，請問售價定為多少元可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
答案:(1)商品可定價為每件70元或100元；(2)售價定為每件60元可獲得最大利潤，最大利潤是28000元
解：(1)由題意得：，
解得，，．
∴這種商品可定價為每件70元或100元．
(2)由題意得：
∵該商品的每件售價不得高于60元，每件售價不低于進貨價40元，
∴．
設利潤為元，則
，
∵，對稱軸為直線，
∴當時，隨的增大而增大，
∴當時，取得最大值，此時．
∴售價定為每件60元可獲得最大利潤，最大利潤是28000元．
27．某書店銷售一本暢銷的小說，每本進價為20元．根據以往經驗，當銷售單價是25元時，每天的銷售量是250本；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10本．
(1)請求出書店銷售該小說每天的銷售量y(本)與銷售單價x元)之間的函數關系式；
(2)書店決定每銷售1本該小說，就捐贈2元給山區貧困兒童，若想每天扣除捐贈后獲得最大利潤，則每本該小說售價為多少元？最大利潤是多少？
答案:(1)；(2)小說每本售價36元時，每天扣除捐贈后獲得的利潤最大，最大利潤為1960元
(1)銷售量y(本)與銷售單價x(元)之間的函數關系式為：，
∴．
(2)設每天扣除捐贈后可獲得的利潤為W元，則，
化簡并配方，得：，
∵，
∴拋物線開口向下，有最大值，
當時，．
故小說每本售價36元時，每天扣除捐贈后獲得的利潤最大，最大利潤為1960元．
28．某蔬菜基地種植的某種綠色蔬菜，根據今年的市場行情，預計從5月1日起的50天內，第天上市的該種蔬菜每千克的市場售價為元，是關于的一次函數，其中部分對應數據如下表；第天上市的該種蔬菜每千克的種植成本為元，與滿足關系．
1 2 3 …
5.04 4.98 4.92 …
(1)求市場售價關于的函數表達式，并寫出的取值范圍；
(2)若市場售價減去種植成本為利潤，自5月1日起的50天內，第幾天上市的該種蔬菜每千克的利潤最大，最大利潤是多少？
答案:(1)(，取正整數)；(2)第22天時，每千克利潤最大，最大值為1.69元．
(1)設，
∵函數圖象過點，，
∴
解得：，
∴(，取正整數)．
(2)設純利潤為，由題意得
因為，且，
所以時，每千克利潤最大，最大值為1.69元．
29．某地區在2020年開展脫貧攻堅的工作中大力種植有機蔬菜．某種蔬菜的銷售單價與銷售月份之間的關系如圖(1)所示，每千克成本與銷售月份之間的關系如圖(2)所示(其中圖(1)的圖象是直線，圖(2)的圖象是拋物線)．
(1)求每千克蔬菜銷售單價與銷售月份之間的關系式；
(2)判斷哪個月份銷售每千克蔬菜的收益最大？并求出最大收益；
(3)求出一年中銷售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？
答案:(1)y=x+7；(2)5月出售每千克收益最大，最大為元；(3)一年中銷售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三個月．
解：(1)設，將和代入得，
，解得．
；
(2)設每千克成本與銷售月份之間的關系式為：y=a(x-6)2+1，把代入得，
4=a(3-6)2+1，解得．
，即．
收益
，
，
當時，．
故5月出售每千克收益最大，最大為元；
(3)一年中銷售每千克蔬菜的收益：，
當時，，解得：x1=7，x2=3，
，為正整數，
∴一年中銷售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三個月．
30．今年甲、乙兩個果園的紅心獼猴桃喜獲豐收，已知甲果園的總產量為27噸，乙果園的總產量13噸，某果業公司租用、兩種型號的保鮮貨車去果園運輸獼猴桃，甲果園需要型保鮮貨車滿載獼猴桃運輸6趟，同時需要型保鮮貨車滿載獼猴桃運輸5趟才能剛好運輸完：乙果園需型保鮮貨車滿載獼猴桃運輸2趟，同時需要型保鮮貨車滿載獼猴桃運輸3趟剛好運輸完．
(1)求、兩種保鮮貨車滿載獼猴桃運輸一趟分別是多少噸？
(2)果業公司收購該批獼猴桃的單價為0.8萬元/噸，目前公司可以0.9萬元/噸的價格售出，如果保鮮冷藏儲存起來，旺市再銷售以便獲取最大利潤，由于失水和腐爛，水果重量每天減少0.5噸，且每天需支付各種費用0.08萬元/噸，而每天的價格會持續上漲0.1萬元/噸、如果公司計劃把該批獼猴桃最多保鮮冷藏儲存20天，那么儲存多少天后出售這批獼猴桃所獲得的利潤最大？最大利潤是多少萬元？
答案:(1)型保鮮貨車的滿載重量為2噸，型保鮮貨車的滿載重量為3噸；(2)保鮮儲存至第3或4天時，利潤最大為4.6萬元
(1)設A型保鮮貨車載重量為噸，型保鮮貨車載重量為噸，
由題意得：
，
解之得：，
所以A型保鮮貨車的滿載重量為2噸，型保鮮貨車的滿載重量為3噸．
(2)設儲存天之后，獲得利潤為萬元，根據題得：
∵，
∴有最大值，
∵對稱軸為，且，為整數，
∴當或4時，
答：保鮮儲存至第3或4天時，利潤最大為4.6萬元．

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