資源簡介

專題04二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質
確定二次函數的圖象，主要應抓?。簰佄锞€的開口方向、頂點位置、對稱軸以及與兩坐標軸的交點.解決二次函數的問題，通常利用配方法和數形結合思想求解，先畫出二次函數的圖象，根據題中所給的區間觀察函數的單調區間，再利用函數的單調區間研究最值等問題.
二次函數是初中數學的一個重要內容，是中考重點考查的內容，也是高考必考內容，同時還是一個研究函數性質的很好的載體，因此做好二次函數的初高中銜接至關重要，初中階段對二次函數的要求，是立足于用代數方法來研究，比如配方結合頂點式，描述函數圖象的某些特征(開口方向、頂點坐標、對稱軸、最值)等；再比如待定系數法，通過解方程組的形式來求二次函數的解析式.
高中的函數立足于集合觀點，對二次函數的學習要求明顯提高，二次函數的研究更側重于數形結合、分類討論等思想方法.
《初中課程要求》 熟悉了二次函數的定義和解析式，掌握了二次函數的圖象畫法
《高中課程要求》 掌握二次函數在一個閉區間上的最值求法，會求二次函數的解析式，會通過圖象分析性質
高中必備知識點1：二次函數圖像的伸縮變換
問題 函數y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關系？
為了研究這一問題，我們可以先畫出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的圖象，通過這些函數圖象與函數y＝x2的圖象之間的關系，推導出函數y＝ax2與y＝x2的圖象之間所存在的關系．
先畫出函數y＝x2，y＝2x2的圖象．
先列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2x2 … 18 8 2 0 2 8 18
從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應的x2的值擴大兩倍就可以了．
再描點、連線，就分別得到了函數y＝x2，y＝2x2的圖象(如圖2－1所示)，從圖2－1我們可以得到這兩個函數圖象之間的關系：函數y＝2x2的圖象可以由函數y＝x2的圖象各點的縱坐標變為原來的兩倍得到．
同學們也可以用類似于上面的方法畫出函數y＝x2，y＝－2x2的圖象，并研究這兩個函數圖象與函數y＝x2的圖象之間的關系．
通過上面的研究，我們可以得到以下結論：
二次函數y＝ax2(a≠0)的圖象可以由y＝x2的圖象各點的縱坐標變為原來的a倍得到．在二次函數y＝ax2(a≠0)
高中必備知識點2：二次函數圖像的平移變換
函數y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關系？
同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數圖象之間的關系來研究它們之間的關系．同學們可以作出函數y＝2(x＋1)2＋1與y＝2x2的圖象(如圖2－2所示)，從函數的同學我們不難發現，只要把函數y＝2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數y＝2(x＋1)2＋1的圖象．這兩個函數圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點．
類似地，還可以通過畫函數y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的圖象，研究它們圖象之間的相互關系．
通過上面的研究，我們可以得到以下結論：
二次函數y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”．
由上面的結論，我們可以得到研究二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：
由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－
，
所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性質：
(1)當a＞0時，函數y＝ax2＋bx＋c圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而減??；當x＞時，y隨著x的增大而增大；當x＝時，函數取最小值y＝．
(2)當a＜0時，函數y＝ax2＋bx＋c圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而增大；當x＞時，y隨著x的增大而減??；當x＝時，函數取最大值y＝．
高中必備知識點1：二次函數圖像的伸縮變換
【典型例題】
二次函數的圖象如圖所示，有下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論個數是　　
A．1個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
【變式訓練】
下列說法錯誤的是( )
A．二次函數y=－2x2中，當x=0時，y有最大值是0
B．二次函數y=4x2中，當x>0時，y隨x的增大而增大
C．在三條拋物線y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的圖象開口最大，y=－x2的圖象開口最小
D．不論a是正數還是負數，拋物線y=ax2(a≠0)的頂點一定是坐標原點
【能力提升】
拋物線y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的圖象開口最大的是(　　)
A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2
高中必備知識點2：二次函數圖像的平移變換
【典型例題】
如圖，已知拋物線C1：y＝﹣x2+4，將拋物線C1沿x軸翻折，得到拋物線C2
(1)求出拋物線C2的函數表達式；
(2)現將拋物線C1向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A，B；將拋物線C2向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸交點從左到右依次為D，E．在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．
【變式訓練】
如圖，拋物線軸的負半軸相交于點，將拋物線平移得到拋物線相交于點，直線于點，且.
(1)求點的坐標；
(2)寫出一種將拋物線平移到拋物線的方法；
(3)在軸上找點，使得的值最小，求點的坐標.
【能力提升】
已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點B(﹣1，0)和點C(2，3)．
(1)求此拋物線的函數表達式；
(2)如果此拋物線上下平移后過點(﹣2，﹣1)，試確定平移的方向和平移的距離．
1．點在拋物線上，若，關于a，b的數量關系，下列描述正確的是( )
A． B． C． D．無法確定
2．若a、b是關于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的兩實根，則(a+2)(b+2)的最小值為(　　)
A．7 B．10 C．14 D．16
3．如圖，在平面直角坐標系中，有一系列的拋物線(為正整數)，若和的頂點的連線平行于直線，則該條拋物線對應的的值是( )
A．8 B．9 C．11 D．10
4．關于拋物線，有以下結論：①當時，拋物線過原點；②拋物線必過點；③頂點的縱坐標最大值為1；④若當時，，當時，隨的增大而減小，則的取值范圍是．錯誤結論的序號是( )
A．① B．② C．③ D．④
5．對于二次函數的圖象，下列說法正確的是( )
A．開口向下 B．對稱軸是直線
C．有最大值為2 D．當時，隨增大而增大
6．已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸是直線x=1，其部分圖象如圖所示，下列說法中：①abc<0；②4a 2b+c<0；③若A(，y1)、B(，y2)、C(，y3)是拋物線上的三點，則有；④若m，n()為方程的兩個根，則且，以上說法正確的有( )
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
7．如圖，拋物線y＝a(x+3)(x﹣k)交x軸于點A、B，(A左B右)，交y軸于點C，△AOC的周長為12，sin∠CBA＝，則下列結論：①A點坐標(﹣3，0)；②a＝﹣；③點B坐標(8，0)；④對稱軸x＝．其中正確的有(　　)個．
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如圖，直線y＝2x與直線x＝2相交于點A，將拋物線y＝x2沿線段OA從點O運動到點A，使其頂點始終在線段OA上，拋物線與直線x＝2相交于點P，則點P移動的路徑長為(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
9．王芳將如圖所示的三條水平直線，，的其中一條記為x軸(向右為正方向)，三條豎直直線，，的其中一條記為y軸(向上為正方向)，并在此坐標平面內畫出了拋物線，則她所選擇的x軸和y軸分別為(　　)
A．，
B．，
C．，
D．，
10．在平面直角坐標系中，O 為原點，拋物線y＝－x2＋3x 的對稱軸l 交x 軸于點M，直線 y＝mx－2m(m＜0)與該拋物線x 軸上方的部分交于點A，與l 交于點B，過點A 作AN⊥x 軸，垂足為N，則下列線段中，長度隨線段ON 長度的增大而增大的是( )
A．AN B．MN C．BM D．AB
11．已知函數y＝，若使y＝k成立的x的值恰好有三個，則k的值為_____．
12．已知一個二次函數的圖象形狀與拋物線相同，且頂點坐標為，則這個二次函數的解析式為_____________．
13．設A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是拋物線y=-(x+1)2+3上的三點，則y1，y2，y3的大小關系為______________________．
14．設，，是拋物線上的三點，則，，的大小關系為________．
15．若A(m-2，n)，B(m+2，n)為拋物線上兩點，則n=_______．
16．函數的最小值是_____．
17．已知點都在二次函數上，的橫坐標分別為，過點分別向軸、軸作垂線，垂足分別為，當點在線段上時，的值為___________．
18．定義符號的含義為：當時，；當時，如：，=則的最大值是______．
19．已知當x=m和x=n時，多項式x2﹣4x+1的值相等，且m≠n，則當x=m+n﹣3時多項式x2﹣4x+1的值為_____．
20．如圖，正方形ABCD的邊長為a，點E在邊AB上運動(不與點A，B重合)，∠DAM＝45°，點F在射線AM上，且AF＝BE，CF與AD相交于點G，連接EC、EF、EG．則下列結論：①∠ECF＝45°；②△AEG的周長為(1+)a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面積的最大值是a2；⑤當時BE＝a，G是線段AD的中點．其中正確的結論是_____．
21．已知函數y＝(k﹣2)是關于x的二次函數，求：
(1)滿足條件的k的值；
(2)當k為何值時，拋物線有最高點？求出這個最高點，這時，x為何值時，y隨x的增大而增大？
(3)當k為何值時，函數有最小值？最小值是多少？這時，當x為何值時，y與x的增大而減小？
22．定義新運算：對于任意實數m，n都有，等式右邊是常用的加法、減法、乘法及乘方運算．例如：．根據以上知識解決問題：
(1)若，求x的值；
(2)求拋物線的頂點坐標；
(3)將(2)中的拋物線繞著原點旋轉，寫出得到的新的拋物線解析式．
23．(1)先填表，并在同一直角坐標系中畫出二次函數和的圖象；
x -3 -2 -1 0 1 2 3
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
(2)分別寫出它們頂點坐標．
24．已知二次函數y＝x2﹣2x﹣3．
(1)求該二次函數的圖象與x軸的交點坐標．
(2)當﹣1≤x≤5時，則y的范圍是　 　≤y≤　 　(直接寫出答案)．
25．如圖，有四張背面完全相同的卡片，，，，其中正面分別寫著四個不同的函數表達式，將四張卡片洗勻正面朝下隨機放在桌面上．
(1)從四張卡片中隨機摸出一張，摸出的卡片上的函數隨的增大而減小的概率是______；
(2)小亮和小強用這四張卡片做游戲，規則如下：兩人同時從四張卡片中各隨機抽出一張，若抽出的兩張卡片上的函數增減性相同，則小亮勝；若抽出的兩張卡片上的函數增減性不同，則小強勝．這個游戲公平嗎？請說明理由．
26．在平面直角坐標系中，已知拋物線和直線l:y=kx+b，點A(-3,-3)，B(1,-1)均在直線l上．
(1)若拋物線C與直線l有交點，求a的取值范圍；
(2)當a=-1，二次函數的自變量x滿足m≤x≤m+2時，函數y的最大值為-4，求m的值；
(3)若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，請直接寫出a的取值范圍．
27．已知拋物線與軸有兩個不同的交點.
(1)求的取值范圍；
(2)若拋物線經過點和點，試比較與的大小，并說明理由.
28．已知拋物線經過點、．
(1)求拋物線的表達式；
(2)把表達式化成的形式，并寫出頂點坐標與對稱軸．
29．已知二次函數．
(1)用配方法把該二次函數的解析式化為的形式；
(2)寫出該二次函數圖象的開口方向、頂點坐標和對稱軸，并說明函數值y隨自變量x的變化而變化的情況．
30．已知拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(1，0)和點B(3，0)，且過點C(0，﹣3)．
(1)求拋物線的表達式；
(2)若這條拋物線平移后的頂點落在x軸上，請寫出一種平移的方法，并寫出平移后的拋物線的表達式．
專題04二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質
確定二次函數的圖象，主要應抓?。簰佄锞€的開口方向、頂點位置、對稱軸以及與兩坐標軸的交點.解決二次函數的問題，通常利用配方法和數形結合思想求解，先畫出二次函數的圖象，根據題中所給的區間觀察函數的單調區間，再利用函數的單調區間研究最值等問題.
二次函數是初中數學的一個重要內容，是中考重點考查的內容，也是高考必考內容，同時還是一個研究函數性質的很好的載體，因此做好二次函數的初高中銜接至關重要，初中階段對二次函數的要求，是立足于用代數方法來研究，比如配方結合頂點式，描述函數圖象的某些特征(開口方向、頂點坐標、對稱軸、最值)等；再比如待定系數法，通過解方程組的形式來求二次函數的解析式.
高中的函數立足于集合觀點，對二次函數的學習要求明顯提高，二次函數的研究更側重于數形結合、分類討論等思想方法.
《初中課程要求》 熟悉了二次函數的定義和解析式，掌握了二次函數的圖象畫法
《高中課程要求》 掌握二次函數在一個閉區間上的最值求法，會求二次函數的解析式，會通過圖象分析性質
高中必備知識點1：二次函數圖像的伸縮變換
問題 函數y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關系？
為了研究這一問題，我們可以先畫出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的圖象，通過這些函數圖象與函數y＝x2的圖象之間的關系，推導出函數y＝ax2與y＝x2的圖象之間所存在的關系．
先畫出函數y＝x2，y＝2x2的圖象．
先列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2x2 … 18 8 2 0 2 8 18
從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應的x2的值擴大兩倍就可以了．
再描點、連線，就分別得到了函數y＝x2，y＝2x2的圖象(如圖2－1所示)，從圖2－1我們可以得到這兩個函數圖象之間的關系：函數y＝2x2的圖象可以由函數y＝x2的圖象各點的縱坐標變為原來的兩倍得到．
同學們也可以用類似于上面的方法畫出函數y＝x2，y＝－2x2的圖象，并研究這兩個函數圖象與函數y＝x2的圖象之間的關系．
通過上面的研究，我們可以得到以下結論：
二次函數y＝ax2(a≠0)的圖象可以由y＝x2的圖象各點的縱坐標變為原來的a倍得到．在二次函數y＝ax2(a≠0)
高中必備知識點2：二次函數圖像的平移變換
函數y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關系？
同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數圖象之間的關系來研究它們之間的關系．同學們可以作出函數y＝2(x＋1)2＋1與y＝2x2的圖象(如圖2－2所示)，從函數的同學我們不難發現，只要把函數y＝2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數y＝2(x＋1)2＋1的圖象．這兩個函數圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點．
類似地，還可以通過畫函數y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的圖象，研究它們圖象之間的相互關系．
通過上面的研究，我們可以得到以下結論：
二次函數y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”．
由上面的結論，我們可以得到研究二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：
由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－
，
所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性質：
(1)當a＞0時，函數y＝ax2＋bx＋c圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而減小；當x＞時，y隨著x的增大而增大；當x＝時，函數取最小值y＝．
(2)當a＜0時，函數y＝ax2＋bx＋c圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而增大；當x＞時，y隨著x的增大而減小；當x＝時，函數取最大值y＝．
高中必備知識點1：二次函數圖像的伸縮變換
【典型例題】
二次函數的圖象如圖所示，有下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論個數是　　
A．1個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
答案:C
解析：
由圖象可得，
，
，故錯誤，
當時，，故正確，
當時，，
由得，，
則，得，故正確，
，得，故正確，
故選：C．
【變式訓練】
下列說法錯誤的是( )
A．二次函數y=－2x2中，當x=0時，y有最大值是0
B．二次函數y=4x2中，當x>0時，y隨x的增大而增大
C．在三條拋物線y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的圖象開口最大，y=－x2的圖象開口最小
D．不論a是正數還是負數，拋物線y=ax2(a≠0)的頂點一定是坐標原點
答案:C
解析：
A、a=-2＜0，拋物線開口向下，當x=0時，y有最大值是0，故該選項正確；
B、二次函數y=4x2中，當x＞0時，y隨x的增大而增大，故該選正確；
C、因為|2|＞|-1|＞|-0.5|，所以，y=2x2的圖象開口最小，y=-0.5x2的圖象開口最大，故該選錯誤；
D、不論a是正數還是負數，拋物線y=ax2(a≠0)的頂點一定是坐標原點，故該選正確．
故選C．
【能力提升】
拋物線y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的圖象開口最大的是(　　)
A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2
答案:A
解析：
∵二次函數中|a|的值越小，則函數圖象的開口也越大，
又∵，
∴拋物線y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的圖象開口最大的是y=x2，
故選A．
高中必備知識點2：二次函數圖像的平移變換
【典型例題】
如圖，已知拋物線C1：y＝﹣x2+4，將拋物線C1沿x軸翻折，得到拋物線C2
(1)求出拋物線C2的函數表達式；
(2)現將拋物線C1向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A，B；將拋物線C2向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸交點從左到右依次為D，E．在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．
答案:(1)y＝x2﹣4(2)當m＝3時，以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形
解析：
(1)∵拋物線C1的頂點為(0，4)，
∴沿x軸翻折后頂點的坐標為(0．﹣4)，
∴拋物線C2的函數表達式為y＝x2﹣4；
(2)存在
連接AN，NE，EM，MA，
依題意可得：M(﹣m，4)，N(m，﹣4)，
∴M，N關于原點O對稱OM＝ON，
原C1、C2拋物線與x軸的兩個交點分別(﹣2，0)，(2，0)，
∴A(﹣2﹣m，0)，E(2+m，0)，
∴A，E關于原點O對稱，
∴OA＝OE
∴四邊形ANEM為平行四邊形，
∴AM2＝22+42＝20，
ME2＝(2+m+m)2+42＝4m2+8m+20，
AE2＝(2+m+2+m)2＝4m2+16m+16，
若AM2+ME2＝AE2，
∴20+4m2+8m+20＝4m2+16m+16，
解得m＝3，
此時△AME是直角三角形，且∠AME＝90，
∴當m＝3時，以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形．
【變式訓練】
如圖，拋物線軸的負半軸相交于點，將拋物線平移得到拋物線相交于點，直線于點，且.
(1)求點的坐標；
(2)寫出一種將拋物線平移到拋物線的方法；
(3)在軸上找點，使得的值最小，求點的坐標.
答案:(1)A(-2，0)，B(3，5)，C(8，10)；(2)先將向右平移5個單位，再向上平移5個單位得到；(3)P(0， ).
解析：
(1)M1：y=x2-4與x軸的負半軸相交于點A，
∴A(-2，0)，
∵AB=BC，C(8，m)，
∴，
設AB直線解析式為y=kx+b
，
∵y=x2-4與相交于點A和B，
∴m=10，
∴B(3，5)，C(8，10)；
(2)∵拋物線M1平移得到拋物線M2，
∴a=1，
∵B(3，5)，C(8，10)在拋物線y=x2+bx+c上，
∴y=x2-10+26=(x-5)2+1，
由M1平移得到拋物線M2先向右平移5個單位長度，再向上平移5個單位長度；
(3)作點B關于y軸的對稱點B'，連接CB'與y軸的交點即為P，
∴B'(-3，5)，
設直線B'C的直線解析式為y=mx+n，
.
【能力提升】
已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點B(﹣1，0)和點C(2，3)．
(1)求此拋物線的函數表達式；
(2)如果此拋物線上下平移后過點(﹣2，﹣1)，試確定平移的方向和平移的距離．
答案:(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)將拋物線向上平移4個單位．
解析：
(1)把B(﹣1，0)和點C(2，3)代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，
所以拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；
(2)把x＝﹣2代入y＝﹣x2+2x+3得y＝﹣4﹣4+3＝﹣5，
點(﹣2，﹣5)向上平移4個單位得到點(﹣2，﹣1)，
所以需將拋物線向上平移4個單位．
1．點在拋物線上，若，關于a，b的數量關系，下列描述正確的是( )
A． B． C． D．無法確定
答案:A
解：∵在上，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
故選A．
2．若a、b是關于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的兩實根，則(a+2)(b+2)的最小值為(　　)
A．7 B．10 C．14 D．16
答案:D
解：∵方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0有實數根，
∴△＝(﹣2t)2﹣4×1×(t2﹣2t+4)≥0，
∴t≥2.
∵a、b是關于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的兩實根，
∴a+b＝2t，ab＝t2﹣2t+4，
∴(a+2)(b+2)＝ab+2a+2b+4＝ab+2(a+b)+4＝t2﹣2t+4+4t+4＝t2+2t+8＝(t+1)2+7.
∵1＞0，t≥2，
∴當t≥2時，(a+2)(b+2)的值隨t的增大而增大，
∴當t＝2時，(a+2)(b+2)取得最小值，最小值＝(2+1)2+7＝16.
故選：D.
3．如圖，在平面直角坐標系中，有一系列的拋物線(為正整數)，若和的頂點的連線平行于直線，則該條拋物線對應的的值是( )
A．8 B．9 C．11 D．10
答案:B
解：當x=1時，拋物線C1的頂點坐標為(1,1)
∵和的頂點的連線平行于直線，
∴設直線的解析式為+b，將點C1的坐標(1,1)代入，得10+b=1，
解得b=-9，
∴直線的解析式為-9，
將拋物線Cn的頂點坐標為(n，)代入，得，
解得n=1或n=9
故選：B．
4．關于拋物線，有以下結論：①當時，拋物線過原點；②拋物線必過點；③頂點的縱坐標最大值為1；④若當時，，當時，隨的增大而減小，則的取值范圍是．錯誤結論的序號是( )
A．① B．② C．③ D．④
答案:A
解：①當時，，當x=0，y=1, 拋物線不過原點，故①不正確；
②當x=0時，，∴拋物線必過點；故②正確；
③=,頂點的縱坐標
∵，開口朝下，有最大值為1，
∴頂點的縱坐標最大值為1，
故③正確；
④當時，，，即，當時，隨的增大而減小，
，，
∴的取值范圍是．
故④正確．
故選擇A．
5．對于二次函數的圖象，下列說法正確的是( )
A．開口向下 B．對稱軸是直線
C．有最大值為2 D．當時，隨增大而增大
答案:D
解：A．a=1，故函數開口向上，故錯誤；
B．對稱軸是直線x=1，故錯誤；
C．x=1時，y有最小值2，，故錯誤；
D．x≥1時，為對稱軸右側，y隨x的增大而增大，故正確；
故選D．
6．已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸是直線x=1，其部分圖象如圖所示，下列說法中：①abc<0；②4a 2b+c<0；③若A(，y1)、B(，y2)、C(，y3)是拋物線上的三點，則有；④若m，n()為方程的兩個根，則且，以上說法正確的有( )
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
答案:A
解：根據圖象可得：，，
對稱軸：，
，
，
，
，故①正確；
由拋物線的對稱軸是直線，且過點，可得當時，，
∴當時，，
即，故②正確；
并且，根據拋物線的對稱性可知，當時，，
∵，
∴
當時，，
∴，故③正確；
若m，n()為方程的兩個根，
則的圖像由拋物線y=ax2+bx+c向下平移得到，
則且，故④正確；
綜上所述，正確的有①②③④，
故選：A．
7．如圖，拋物線y＝a(x+3)(x﹣k)交x軸于點A、B，(A左B右)，交y軸于點C，△AOC的周長為12，sin∠CBA＝，則下列結論：①A點坐標(﹣3，0)；②a＝﹣；③點B坐標(8，0)；④對稱軸x＝．其中正確的有(　　)個．
A．4 B．3 C．2 D．1
答案:A
令y＝0，則y＝a(x+3)(x﹣k)＝0，
解得x＝﹣3或k，
∴A(﹣3,0)，B(k,0)，
故①正確；
∵y＝a(x+3)(x﹣k)＝ax2+(3a﹣ak)x﹣3ak，
∴C(0,﹣3ak)，
∴OC＝﹣3ak，
∵sin∠CBA＝，
∴，
∴BC＝，
∵BC2﹣OC2＝OB2，
∴45a2k2﹣9a2k2＝k2，
∴a2＝，
∵拋物線的開口向下，
∴a＝﹣，
故②正確；
∴OC＝k，
∴AC＝，
∵△AOC的周長為12，
∴3+k+＝12，
解得，k＝8，
∴B(8,0)，
故③正確；
∵A(﹣3,0)，B(8,0)，
∴對稱軸為：x＝，
故④正確．
綜上所述①②③④都正確
故選：A．
8．如圖，直線y＝2x與直線x＝2相交于點A，將拋物線y＝x2沿線段OA從點O運動到點A，使其頂點始終在線段OA上，拋物線與直線x＝2相交于點P，則點P移動的路徑長為(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案:C
解：∵設拋物線的頂點M的橫坐標為m，且在線段OA上移動，
∴y＝2m(0≤m≤2)．
∴當拋物線運動到A點時，頂點M的坐標為(m，2m)，
∴拋物線函數解析式為y＝(x-m)2+2m．
∴當x＝2時，y＝(2-m)2+2m＝m2-2m+4(0≤m≤2)，
∴點P的坐標是(2，m2-2m+4)．
∵對于二次函數y′＝m2-2m+4＝(m-1)2+3
當0≤m≤2時，
∴m＝1時，y′有最小值3，
當m＝0或2時，y′的值為4，
∴點P移動的路徑長為2×(4-3)＝2，
故選：C．
9．王芳將如圖所示的三條水平直線，，的其中一條記為x軸(向右為正方向)，三條豎直直線，，的其中一條記為y軸(向上為正方向)，并在此坐標平面內畫出了拋物線，則她所選擇的x軸和y軸分別為(　　)
A．，
B．，
C．，
D．，
答案:A
解析：
根據拋物線開口向上可知a＞0，將拋物線配方為，可得拋物線的對稱軸為x=3，可知應選擇的y軸為直線；由頂點坐標為(3，-3-9a)，拋物線與y軸的交點為(0，-3)，而-3-9a＜-3，可知應選擇的x軸為直線，
故選：A．
10．在平面直角坐標系中，O 為原點，拋物線y＝－x2＋3x 的對稱軸l 交x 軸于點M，直線 y＝mx－2m(m＜0)與該拋物線x 軸上方的部分交于點A，與l 交于點B，過點A 作AN⊥x 軸，垂足為N，則下列線段中，長度隨線段ON 長度的增大而增大的是( )
A．AN B．MN C．BM D．AB
答案:C
解析：
如圖:
直線 y＝mx－2m(m＜0)與x軸交于(2,0)
當線段ON 長度增大時,M逐漸變小，
當直線 y＝mx－2m(m＜0)與該拋物線交于對稱軸左側時，MN,AB逐漸變?。?br/>如果交于對稱軸右側時,隨著ON的增大AN逐漸變小;
只有BM才會逐漸變大
故選C.
11．已知函數y＝，若使y＝k成立的x的值恰好有三個，則k的值為_____．
答案:1或2
解：函數y＝的圖象如圖：
根據圖象知道當y＝1或2時，對應成立的x值恰好有三個，
∴k＝1或2．
故答案為1或2．
12．已知一個二次函數的圖象形狀與拋物線相同，且頂點坐標為，則這個二次函數的解析式為_____________．
答案:y＝ 4x2＋16x 13或y＝4x2 16x＋19．
解：∵二次函數的圖象頂點坐標為(2，3)，
∴設二次函數的解析式為y＝a(x 2)2＋3．
∵形狀與拋物線y＝4x2相同，
∴|a|＝4，
∴該二次函數解析式為y＝ 4(x 2)2＋3或y＝4(x 2)2＋3，
即y＝ 4x2＋16x 13或y＝4x2 16x＋19．
故答案為：y＝ 4x2＋16x 13或y＝4x2 16x＋19．
13．設A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是拋物線y=-(x+1)2+3上的三點，則y1，y2，y3的大小關系為______________________．
答案:y1> y2 > y3
解：∵y=-(x+1)2+3，
∴圖象的開口向下，對稱軸是直線x=-1，
A(-2，y1)關于直線x=-1的對稱點是(0，y1)，
∵0＜1＜2，
∴y1> y2 > y3
故答案為：y1> y2 > y3
14．設，，是拋物線上的三點，則，，的大小關系為________．
答案:
解：∵拋物線y=-(x+1)2+k，
∴對稱軸為x=-1，
∵A(-2，y1)，
∴A點關于x=-1的對稱點A'(0，y1)，
∵a=-1＜0，
∴在x=-1的右邊y隨x的增大而減小，
∵A'(0，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，0＜1＜2，
∴y1＞y2＞y3，
故答案為：．
15．若A(m-2，n)，B(m+2，n)為拋物線上兩點，則n=_______．
答案:2016
解：∵A(m-2，n)，B(m+2，n)是拋物線上兩點，
∴拋物線的對稱軸為，
∴m-2+m+2=2h，解得m=h，
∴A(h 2，n)，B(h＋2，n)，
當x＝h＋2時，n＝ (h＋2 h)2＋2020＝2016，
故答案為：2016．
16．函數的最小值是_____．
答案:
解：如圖，平面直角坐標系中，點A坐標為，點B坐標為，作直線AC∥y軸，作BC∥x軸交于點C，則點C坐標為，在Rt△ABC中，，
此公式表示已知平面直角坐標系兩點坐標，即可求出這兩點的距離．
∵，
∴y表示的幾何含義為拋物線y＝x2上的一點P(x，x2)到點A(2，1)和點B(0，2)的距離之和，
即y＝AP+PB≥AB，如圖，
∴當且僅當A、P、B三點共線時，y取得最小值=．
故答案為：．
17．已知點都在二次函數上，的橫坐標分別為，過點分別向軸、軸作垂線，垂足分別為，當點在線段上時，的值為___________．
答案:
解：過點作，過B作軸于N，軸于M，
因為點在線段上，
所以，，
，
∴，化簡得：，
化為，
∴ (舍負)，
∴
故答案為：
18．定義符號的含義為：當時，；當時，如：，=則的最大值是______．
答案:
解：在同一坐標系xOy中，畫出函數二次函數y=-x2+1與正比例函數y=-x的圖象，如圖所示,
設它們交于點A、B，令-x2+1=-x，即x2-x-1=0
解得:x=或
∴A(,),B(,)，觀察圖象可知：
當x≤時，min{-x2+1，-x}=-x2+1，函數值隨x的增大而增大，其最大值為，
當＜x≤時，min{-x2+1，-x}=-x，函數值隨x的增大而減小，沒有最大值；
當x＞時，min{-x2+1，-x}=-x2+1，函數值隨x的增大而減小，最大值為
綜上所示，min{-x2+1，-x}的最大值是，
故答案為：．
19．已知當x=m和x=n時，多項式x2﹣4x+1的值相等，且m≠n，則當x=m+n﹣3時多項式x2﹣4x+1的值為_____．
答案:﹣2
∵x=m和x=n時，多項式x2﹣4x+1的值相等，
∴y=x2﹣4x+1的對稱軸為直線x==﹣，
解得：m+n=4，
∴x=m+n﹣3=4﹣3=1，x2﹣4x+1=12﹣4×1+1=﹣2．
故答案為﹣2．
20．如圖，正方形ABCD的邊長為a，點E在邊AB上運動(不與點A，B重合)，∠DAM＝45°，點F在射線AM上，且AF＝BE，CF與AD相交于點G，連接EC、EF、EG．則下列結論：①∠ECF＝45°；②△AEG的周長為(1+)a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面積的最大值是a2；⑤當時BE＝a，G是線段AD的中點．其中正確的結論是_____．
答案:①④⑤
解：如圖1中，在BC上截取BH＝BE，連接EH．
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EH＝BE，
∵AF＝BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC(SAS)，
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正確，
如圖2中，延長AD到H，使得DH＝BE，則△CBE≌△CDH(SAS)，
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH(SAS)，
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③錯誤，
∴△AEG的周長＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②錯誤，
設BE＝x，則AE＝a﹣x，AF＝x，
∴S△AEF＝ (a﹣x)×x＝﹣x2+ax＝﹣(x2﹣ax+a2﹣a2)＝﹣(x﹣a)2+a2，
∵﹣＜0，
∴x＝a時，△AEF的面積的最大值為a2．故④正確，
當BE＝a時，設DG＝x，則EG＝x+a，
在Rt△AEG中，則有(x+a)2＝(a﹣x)2+(a)2，
解得x＝，
∴AG＝GD，故⑤正確，
故答案為：①④⑤．
21．已知函數y＝(k﹣2)是關于x的二次函數，求：
(1)滿足條件的k的值；
(2)當k為何值時，拋物線有最高點？求出這個最高點，這時，x為何值時，y隨x的增大而增大？
(3)當k為何值時，函數有最小值？最小值是多少？這時，當x為何值時，y與x的增大而減?。?br/>答案:(1)；(2)k＝1，最高點為(0，0)，當x＜0時，y隨x的增大而增大；(3)k＝3，最小值為0，當x＜0時，y隨x的增大而減?。?br/>解：(1)∵函數y＝(k﹣2)是關于x的二次函數，
∴k滿足，且k﹣2≠0，
∴解得：；
(2)∵拋物線有最高點，
∴圖象開口向下，即k﹣2＜0，結合(1)所得，
∴k＝1，
∴最高點為(0，0)，當x＜0時，y隨x的增大而增大．
(3)∵函數有最小值，
∴圖象開口向上，即k﹣2＞0，
∴k＝3，
∴最小值為0，當x＜0時，y隨x的增大而減?。?br/>22．定義新運算：對于任意實數m，n都有，等式右邊是常用的加法、減法、乘法及乘方運算．例如：．根據以上知識解決問題：
(1)若，求x的值；
(2)求拋物線的頂點坐標；
(3)將(2)中的拋物線繞著原點旋轉，寫出得到的新的拋物線解析式．
答案:(1)；(2)頂點坐標(，)；(3)．
解：(1)根據題意，得，
移項、合并同類項，得，
整理，得，
解得：；
(2)根據題意知，
整理得：
所以，頂點坐標(，)；
(3)根據題意知，新的拋物線解析式為．
23．(1)先填表，并在同一直角坐標系中畫出二次函數和的圖象；
x -3 -2 -1 0 1 2 3
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
(2)分別寫出它們頂點坐標．
答案:(Ⅰ)見解析；(2)二次函數的頂點坐標為，的頂點坐標為
解：(1)列表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
9 4 1 0 1 4 9
4 1 0 1 4 9 16
在同一直角坐標系中畫出二次函數和的圖象如圖：
(2)二次函數的頂點坐標為，
的頂點坐標為；
24．已知二次函數y＝x2﹣2x﹣3．
(1)求該二次函數的圖象與x軸的交點坐標．
(2)當﹣1≤x≤5時，則y的范圍是　 　≤y≤　 　(直接寫出答案)．
答案:(1)二次函數的圖象與x軸的交點坐標是(3，0)、(﹣1，0)；(2)﹣4；12
(1)∵二次函數y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣3)(x+1)
∴該二次函數的圖象與x軸的交點坐標是(3，0)、(﹣1，0)；
(2)由二次函數y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4知，該拋物線的頂點坐標是(1，﹣4)且開口方向向上．該拋物線的大致圖象如下：
當x＝5時，y＝12．
當x＝﹣1時，y＝﹣4．
所以當﹣1≤x≤5時，則y的范圍是﹣4≤y≤12．
故答案是：﹣4；12．
25．如圖，有四張背面完全相同的卡片，，，，其中正面分別寫著四個不同的函數表達式，將四張卡片洗勻正面朝下隨機放在桌面上．
(1)從四張卡片中隨機摸出一張，摸出的卡片上的函數隨的增大而減小的概率是______；
(2)小亮和小強用這四張卡片做游戲，規則如下：兩人同時從四張卡片中各隨機抽出一張，若抽出的兩張卡片上的函數增減性相同，則小亮勝；若抽出的兩張卡片上的函數增減性不同，則小強勝．這個游戲公平嗎？請說明理由．
答案:(1)；(2)不公平，見解析
(1)卡片A上的函數為，為減函數，隨的增大而減小；
卡片B上的函數為，為增函數，隨的增大而增大；
卡片C上的函數為，為增函數，隨的增大而增大；
卡片D上的函數為，為減函數，隨的增大而減小；
所以從四張卡片中隨機摸出一張，摸出的卡片上的函數隨的增大而減小的概率為
(2)不公平．理由如下，根據題意列表得：
卡片A 卡片B 卡片C 卡片D
卡片A AB AC AD
卡片B AB BC BD
卡片C AC BC CD
卡片D AD BD CD
卡片A，卡片D上的函數為減函數，卡片B，卡片C上的函數為增函數，
由表可知總共有12中等可能的結果，抽出的兩張卡片上的函數增減性相同的概率為
；抽出的兩張卡片上的函數增減性不同的概率是，
，
∴不公平．
26．在平面直角坐標系中，已知拋物線和直線l:y=kx+b，點A(-3,-3)，B(1,-1)均在直線l上．
(1)若拋物線C與直線l有交點，求a的取值范圍；
(2)當a=-1，二次函數的自變量x滿足m≤x≤m+2時，函數y的最大值為-4，求m的值；
(3)若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，請直接寫出a的取值范圍．
答案:(1)a≤且a≠0；(2)m=-3或m=3；(3)或a≤-2；
解：(1)點，代入，
，
，
；
聯立與，則有，
拋物線與直線有交點，
，
a≤且a≠0；
(2)根據題意可得，，
，
拋物線開口向下，對稱軸，
時，有最大值，
∴當時，有，
或，
①在左側，隨的增大而增大，
時，有最大值，
；
②在對稱軸右側，隨最大而減小，
時，有最大值；
綜上所述：m=-3或m=3；
(3)①時，時，，
即；
②時，時，，
即，
直線的解析式為，
拋物線與直線聯立：，
，
，
，
的取值范圍為或a≤-2.
27．已知拋物線與軸有兩個不同的交點.
(1)求的取值范圍；
(2)若拋物線經過點和點，試比較與的大小，并說明理由.
答案:(1) 的取值范圍是； (2). 理由見解析.
(1).
由題意，得，
∴
∴的取值范圍是.
(2). 理由如下:
∵拋物線的對稱軸為直線，
又∵，
∴當時，隨的增大而增大.
∵，∴.
28．已知拋物線經過點、．
(1)求拋物線的表達式；
(2)把表達式化成的形式，并寫出頂點坐標與對稱軸．
答案:(1)；(2)，頂點坐標為：，對稱軸為：直線．
解：(1)由拋物線經過點、兩點可得：
解得：；
∴拋物線的解析式為：；
(2)；
∴，
∴頂點坐標為：，對稱軸為：直線．
29．已知二次函數．
(1)用配方法把該二次函數的解析式化為的形式；
(2)寫出該二次函數圖象的開口方向、頂點坐標和對稱軸，并說明函數值y隨自變量x的變化而變化的情況．
答案:(1)；(2)開口向下，頂點，對稱軸直線，x≤-1時，隨增大而增大；x＞-1時，隨增大而減小．
解:(1)
(2)①二次函數開口方向向下，
②頂點坐標，對稱軸直線，
③x≤-1時，隨增大而增大；x＞-1時，隨增大而減?。?br/>30．已知拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(1，0)和點B(3，0)，且過點C(0，﹣3)．
(1)求拋物線的表達式；
(2)若這條拋物線平移后的頂點落在x軸上，請寫出一種平移的方法，并寫出平移后的拋物線的表達式．
答案:(1)y＝﹣x2+4x﹣3；(2)向下平移1個單位；y＝﹣x2+4x﹣4．
解：(1)由題意可設拋物線的解析式為：y＝a(x﹣1)(x﹣3)，
把C(0，﹣3)代入，可得3a＝﹣3，
解得：a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣(x﹣1)(x﹣3)＝﹣x2+4x﹣3；
(2)由(1)得y＝﹣x2+4x﹣3，化為頂點式為y＝﹣(x﹣2)2+1，
∴將拋物線向下平移1個單位，即得到頂點落在x軸上的拋物線，
∴新的拋物線的解析式為：y＝﹣(x﹣2)2，
即y＝﹣x2+4x﹣4．

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