資源簡(jiǎn)介

7.2 兩直線的位置關(guān)系
●知識(shí)梳理
1.平行與垂直
若直線l1和l2有斜截式方程l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，則
（1）直線l1∥l2的充要條件是k1=k2且b1≠b2.
（2）直線l1⊥l2的充要條件是k1·k2=－1.
若l1和l2都沒有斜率，則l1與l2平行或重合.
若l1和l2中有一條沒有斜率而另一條斜率為0，則l1⊥l2.
2.相交
（1）兩條直線l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2相交得到兩類角：“到角”和“夾角”.
①到角：直線l1到l2的角是指l1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與l2重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角.
設(shè)l1到l2的角為θ1，l2到l1的角為θ2，則有θ1∈（0，π），θ2∈（0，π），且θ1+θ2=π.
當(dāng)k1k2≠－1時(shí)，有公式tanθ1=.
當(dāng)k1k2=－1時(shí)，l1⊥l2，θ1=θ2=.
②夾角：l1到l2的角θ1和l2到l1的角θ2中不大于90°的角叫l(wèi)1和l2的夾角.設(shè)為α，則有α∈（0，］，當(dāng)α≠時(shí)，有公式tanα=||.
如果直線l1和l2中有一條斜率不存在，“到角”和“夾角”都可借助于圖形，通過直線的傾斜角求出.
（2）交點(diǎn)：直線l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
相交方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；
平行方程組無解.
重合方程組有無數(shù)解.
3.點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離d=.
兩平行線l1：Ax+By+C1=0和l2：Ax+By+C2=0之間的距離d=.
●點(diǎn)擊雙基
1.點(diǎn)（0，5）到直線y=2x的距離為
A. B. C. D.
解析：a==.
答案：B
2.三直線ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x－y=10相交于一點(diǎn)，則a的值是
A.－2 B.－1 C.0 D.1
4x+3y=10，
2x－y=10，
得交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，－2），
代入ax+2y+8=0，得a=－1.
答案：B
3.直線x+y－1=0到直線xsinα+ycosα－1=0（＜α＜)的角是
A.α－ B. －α
C.α－ D. －α
解析：由tanθ=
==tan（－α）=tan（－α），
∵＜α＜，－＜－α＜0，
＜－α＜π，∴θ=－α.
答案：D
4.已知點(diǎn)P是直線l上的一點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)P逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<90°），所得直線方程是x－y－2=0，若將它繼續(xù)旋轉(zhuǎn)90°－α角，所得直線方程是2x+y－1=0，則直線l的方程是____________.
解析：∵直線l經(jīng)過直線x－y－2=0和2x+y－1=0的交點(diǎn)（1，－1），且又與直線2x+ y－1=0垂直，
∴l(xiāng)的方程為y+1=（x－1），即x－2y－3=0.
答案：x－2y－3=0
5.若直線l1：ax+2y+6=0與直線l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0平行且不重合，則a的值是____________.
解析：利用兩直線平行的條件.
答案：－1
●典例剖析
【例1】 等腰三角形一腰所在直線l1的方程是x－2y－2=0，底邊所在直線l2的方程是x+y－1=0，點(diǎn)（－2，0）在另一腰上，求該腰所在直線l3的方程.
剖析：依到角公式求出l3的斜率，再用點(diǎn)斜式可求l3的方程.
解：設(shè)l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，則k1=，k2=－1，tanθ1===－3.
∵l1、l2、l3所圍成的三角形是等腰三角形，
∴θ1=θ2，tanθ1=tanθ2=－3，
即=－3，=－3，解得k3=2.
又∵直線l3經(jīng)過點(diǎn)（－2，0），
∴直線l3的方程為y=2（x+2），
即2x－y+4=0.
評(píng)述：本題根據(jù)條件作出合理的假設(shè)θ1=θ2，而后利用直線到直線所成角的公式，最后利用點(diǎn)斜式，求出l3的方程.
思考討論
用夾角公式會(huì)產(chǎn)生什么問題，怎樣去掉增解?
【例2】 已知兩直線l1：x＋m2y＋6＝0，l2：（m－2）x＋3my＋2m＝0，當(dāng)m為何值時(shí)，l1與l2（1）相交；（2）平行；（3）重合?
剖析：依據(jù)兩直線位置關(guān)系判斷方法便可解決.
解：當(dāng)m=0時(shí)，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，
∴l(xiāng)1∥l2.
當(dāng)m=2時(shí)，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，
∴l(xiāng)1與l2相交.
當(dāng)m≠0且m≠2時(shí)，由＝得m=－1或m=3，由＝得m＝3.
故（1）當(dāng)m≠－1，m≠3且m≠0時(shí)，l1與l2相交；
（2）當(dāng)m＝－1或m＝0時(shí)，l1∥l2；
（3）當(dāng)m＝3時(shí)，l1與l2重合.
評(píng)述：對(duì)這類問題要從有斜率、沒斜率兩方面進(jìn)行考慮.
深化拓展
不討論有斜率、沒斜率能直接求解嗎?
【例3】 已知點(diǎn)P（2，－1），求：
（1）過P點(diǎn)與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程；
（2）過P點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多少?
（3）是否存在過P點(diǎn)與原點(diǎn)距離為6的直線?若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.
剖析：已知直線過定點(diǎn)求方程，首先想到的是求斜率或設(shè)方程的斜截式，但不要忘記考察斜率不存在的直線是否滿足題意.若滿足，可先把它求出，然后再考慮斜率存在的一般情況.圖形中量的最值問題往往可由幾何原理作依據(jù)求得解決.
解：（1）過P點(diǎn)的直線l與原點(diǎn)距離為2，而P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），可見，過P（2，1）垂直于x軸的直線滿足條件.
此時(shí)l的斜率不存在，其方程為x=2.
若斜率存在，設(shè)l的方程為y+1=k（x－2），即kx－y－2k－1=0.
由已知，得=2，解之得k=.
此時(shí)l的方程為3x－4y－10=0.綜上，可得直線l的方程為x=2或3x－4y－10=0.
（2）作圖可證過P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過P點(diǎn)且與PO垂直的直線，由l⊥OP，得kl·kOP =－1，
所以kl =－=2.由直線方程的點(diǎn)斜式得y+1=2（x－2），即2x－y－5=0，
即直線2x－y－5=0是過P點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最大的直線，最大距離為=.
（3）由（2）可知，過P點(diǎn)不存在到原點(diǎn)距離超過的直線，因此不存在過P點(diǎn)且到原點(diǎn)距離為6的直線.
評(píng)述：第（3）問是判斷存在性問題，通常的解決方法是先假設(shè)判斷對(duì)象存在，令其滿足應(yīng)符合的條件，若有解，則存在，并求得；若無解，則不存在，判斷無解的過程就是結(jié)論的理由.如（3）解法二：由于斜率不存在且過P點(diǎn)的直線到原點(diǎn)距離不是6，因此，設(shè)過P點(diǎn)到原點(diǎn)距離為6的直線的斜率存在且方程為y+1=k（x－2），即kx－y－2k－1=0.原點(diǎn)O到它的距離d==6，即32k2－4k+35=0.因Δ=16－4×32×35<0，故方程無解.所以不存在這樣的直線.
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實(shí)基礎(chǔ)
1.（2004年全國(guó)卷Ⅳ，3）過點(diǎn)（－1，3）且垂直于直線x－2y+3=0的直線方程為
A.2x+y－1=0 B.2x+y－5=0
C.x+2y－5=0 D.x－2y+7=0
解析：由已知直線的斜率為，
知所求直線的斜率為－2.
由點(diǎn)斜式得所求直線方程為2x+y－1=0.
答案：A
2.若直線y=|x|與y=kx+1有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是____________.
解析：y=|x|是第一、二象限角的平分線，直線y=kx+1是過定點(diǎn)（0，1）的直線系方程.
由圖象易知－1答案：－13.△ABC中，a、b、c是內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數(shù)列，則下列兩條直線l1：（sin2A）x+（sinA）y－a=0，l2：（sin2B）x+（sinC）y－c=0的位置關(guān)系是____________.
解析：由已知2lgsinB=lgsinA+lgsinC，
得lg（sinB）2=lg（sinA·sinC）.
∴sin2B=sinA·sinC.
設(shè)l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0．
∵===，
=，
===，
∴==，l1與l2重合．
答案：重合
4.求過點(diǎn)P（5，－2），且與直線x－y+5=0相交成45°角的直線l的方程.
解：（1）若直線l的斜率存在，設(shè)為k，由題意，tan45°=||，得k=0，所求l的直線方程為y=－2.
（2）若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=5，且與直線x－y+5=0相交成45°角.
綜合（1）（2），直線l的方程為x=5或y=－2.
5.已知△ABC的兩條高線所在直線的方程為2x－3y+1=0和x+y=0，頂點(diǎn)A（1，2），求：
（1）BC邊所在直線的方程；
（2）△ABC的面積.
解：（1）A點(diǎn)不在兩條高線上，從而AB、AC邊所在直線方程為3x+2y－7=0，x－y+1=0.
∴C（－2，－1）、B（7，－7）.
∴邊BC所在直線方程是2x+3y+7=0.
（2）∵｜BC｜＝，點(diǎn)A到邊BC的高為h＝，從而△ABC的面積是×3×＝．
培養(yǎng)能力
6.光線從A（－3，4）點(diǎn)射出，到x軸上的B點(diǎn)后，被x軸反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射線恰好過點(diǎn)D（－1，6），求BC所在直線的方程.
解法一：如下圖所示，依題意，B點(diǎn)在原點(diǎn)O左側(cè)，設(shè)坐標(biāo)為（a，0），由入射角等于反射角得∠1=∠2，∠3=∠4，
∴kAB=－kBC.
又kAB==－（a≠－3），
∴kBC=.∴BC的方程為y－0=（x－a），即4x－（3+a）y－4a=0.
令x=0，解得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），
則kDC==－.
∵∠3=∠4，∴=.
∴=.
解得a=－，
代入BC方程得5x－2y+7=0.
解法二：點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′（－3，－4），點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D′（1，6），
由入射角等于反射角及對(duì)頂角相等可知A′、D′都在直線BC上，
∴BC的方程為5x－2y+7=0.
7.在平面直角坐標(biāo)系中，在y軸的正半軸（原點(diǎn)除外）上給定兩點(diǎn)A（0，a）、B（0，b）（a＞b＞0）.試在x軸的正半軸（原點(diǎn)除外）上求點(diǎn)C，使∠ACB取得最大值，并求出這個(gè)最大值.
解：由題意作下圖，設(shè)C（x，0），其中x＞0．
又A（0，a），B（0，b）（a＞b＞0），
則kAC＝＝－，
kBC＝＝－.
∴tan∠ACB＝ ＝=≤．此時(shí)x＝時(shí)取等號(hào).故所求點(diǎn)C（，0），最大值為arctan．
8.（理）已知過點(diǎn)A（1，1）且斜率為－m（m＞0）的直線l與x軸、y軸分別交于P、Q，過P、Q作直線2x+y=0的垂線，垂足為R、S，求四邊形PRSQ面積的最小值.
解：設(shè)l的方程為y－1=－m（x－1），
則P（1+，0），Q（0，1+m）.
從而可得直線PR和QS的方程分別為
x－2y－=0和x－2y+2（m+1）=0.
又PR∥QS，
∴｜RS｜=
=.又｜PR｜=，
｜QS｜=，
四邊形PRSQ為梯形，
S四邊形PRSQ=［+］·
=（m++）2－≥（2+）2－=3.6.
∴四邊形PRSQ的面積的最小值為3.6.
（文）在△ABC中，已知BC邊上的高所在直線的方程為x－2y+1=0，∠A的平分線所在直線的方程為y=0.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），求點(diǎn)C的坐標(biāo).
解：點(diǎn)A為y=0與x－2y+1=0兩直線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－1，0）.
∴kAB==1.
又∵∠A的平分線所在直線的方程是y=0，
∴k AC=－1.
∴直線AC的方程是y=－x－1.
而BC與x－2y+1=0垂直，∴kBC=－2.
∴直線BC的方程是y－2=－2（x－1）.
y=－x－1，
y=－2x+4，
解得C（5，－6）.
探究創(chuàng)新
9.已知三條直線l1：2x－y+a=0（a＞0），直線l2：－4x+2y+1=0和直線l3：x+y－1=0，且l1與l2的距離是.
（1）求a的值；
（2）求l3到l1的角θ；
（3）能否找到一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①P是第一象限的點(diǎn)；②P點(diǎn)到l1的距離是P點(diǎn)到l2的距離的；③P點(diǎn)到l1的距離與P點(diǎn)到l3的距離之比是∶？若能，求P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由.
解：（1）l2即2x－y－=0，
∴l(xiāng)1與l2的距離d==.
∴=.∴|a+|=.
∵a＞0，∴a=3.
（2）由（1），l1即2x－y+3=0，∴k1=2.而l3的斜率k3=－1，
∴tanθ===－3.
∵0≤θ＜π，∴θ=π－arctan3.
（3）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），若P點(diǎn)滿足條件②，則P點(diǎn)在與l1、l2平行的直線l′：2x－y+C=0上，
且=，即C=或C=，
∴2x0－y0+=0或2x0－y0+=0；
若P點(diǎn)滿足條件③，由點(diǎn)到直線的距離公式，
有=，
即|2x0－y0+3|=|x0+y0－1|，
∴x0－2y0+4=0或3x0+2=0.
由P在第一象限，∴3x0+2=0不可能.
聯(lián)立方程2x0－y0+=0和x0－2y0+4=0，
x0=－3，
y0=，
2x0－y0+=0，
x0－2y0+4=0，
x0=，
y0=.
∴P（，）即為同時(shí)滿足三個(gè)條件的點(diǎn).
●思悟小結(jié)
1.要認(rèn)清直線平行、垂直的充要條件，應(yīng)特別注意對(duì)x、y的系數(shù)中一個(gè)為零的情況的討論.
2.在運(yùn)用一條直線到另一條直線的角的公式時(shí)要注意無斜率的情況及兩條直線垂直的情況.
3.點(diǎn)到直線的距離公式是一個(gè)基本公式，它涉及絕對(duì)值、直線垂直、最小值等內(nèi)容.
●教師下載中心
教學(xué)點(diǎn)睛
1.兩條直線的位置關(guān)系的有關(guān)內(nèi)容是本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，在整個(gè)解析幾何的學(xué)習(xí)中占有重要地位.這部分內(nèi)容是用代數(shù)方法研究幾何圖形的具體應(yīng)用.
2.在判斷兩直線的位置關(guān)系時(shí)，也可利用直線方程的一般式，由系數(shù)間的關(guān)系直接作出結(jié)論，設(shè)l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0.
（1）l1∥l2=≠
A1B2=A2B1，
A1C2≠A2C1.
（2）l1與l2相交≠
A1B2≠A2B1.
（3）l1與l2重合==
A1B2=A2B1，
A1C2=A2C1.
（4）l1⊥l2A1A2+B1B2=0.
拓展題例
【例1】 當(dāng)0解：直線l1交y軸于A（0，2－a），直線l2交x軸于C（a2+2，0），l1與l2交于點(diǎn)B（2，2）.
則四邊形AOCB的面積為S=S△AOB+S△OCB=·（2－a）·2+（a2+2）·2=a2－a+4=（a－）2+，
當(dāng)a=時(shí)，S最小.
因此使四邊形面積最小時(shí)a的值為.
【例2】 已知n條直線l1：x－y+C1=0，C1=，l2：x－y+C2=0，l3：x－y+C3=0，…，ln：x－y+Cn=0（其中C1＜C2＜C3＜…＜Cn），這n條平行直線中，每相鄰兩條直線之間的距離順次為2、3、4、…、n.
（1）求Cn；
（2）求x－y+Cn=0與x軸、y軸圍成的圖形的面積；
（3）求x－y+Cn－1=0與x－y+Cn=0及x軸、y軸圍成圖形的面積.
解：（1）原點(diǎn)O到l1的距離為1，原點(diǎn)O到l2的距離為1+2，……原點(diǎn)O到ln的距離dn為1+2+…+n=.
∵Cn=dn，
∴Cn=.
（2）設(shè)直線ln：x－y+Cn=0交x軸于M，交y軸于N，則△OMN面積
S△O MN=|OM|·|ON|=Cn2=.
（3）所圍成的圖形是等腰梯形，由（2）知Sn=，則有Sn－1=.
∴Sn－Sn－1=－=n3.
∴所求面積為n3.

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