資源簡介

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第04講一元二次方程的解法（因式分解法）
（2個知識點+5個考點+易錯分析）
模塊一 思維導圖串知識 模塊二 基礎知識全梳理（吃透教材） 模塊三 核心考點舉一反三 模塊四 小試牛刀過關測 1．認識用因式分解法解方程的依據． 2．會用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．
知識點1：因式分解法（重難點）
（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟
①將方程右邊化為0；
　 　②將方程左邊分解為兩個一次式的積；
　　 ③令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；
　　 ④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.
（2）常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要點詮釋：
（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結構特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數的代數式.
知識點2：靈活運用合適的方法解一元二次方程（難點）
(1)在一元二次方程的四種解法中,優先選取順序依次為直接開平方法→因式分解→公式法→配方法,若沒有特別說明,一般不采用配方法.
(2)對于復雜的一元二次方程,一般不急于化為一般形式,應先觀察其特點,看能否用直接開平方法或因式分解法,若不能,再化為一般形式用公式法求解。
考點1：利用提公因式法分解因式解一元二次方程
【例1】用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋5x＝0； (2)(x－5)(x－6)＝x－5.
解析：變形后方程右邊是零，左邊是能分解的二次三項式，可用因式分解法．
解：(1)原方程轉化為x(x＋5)＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴原方程的解為x1＝0，x2＝－5；
(2)原方程轉化為(x－5)(x－6)－(x－5)＝0，∴(x－5)[(x－6)－1]＝0，∴(x－5)(x－7)＝0，∴x－5＝0或x－7＝0，∴原方程的解為x1＝5，x2＝7.
【變式1-1】（23-24九年級上·山東聊城·期末）方程的解是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】本題考查解一元二次方程，根據方程的特點選擇合適的方法解方程是解題關鍵．先移項，再根據因式分解法求解即可．
【詳解】解：，
，
，
，
解得：．
故選C．
【變式1-2】（23-24九年級上·遼寧丹東·階段練習）一元二次方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解題的關鍵熟練掌握因式分解法解方程．
【詳解】解：
，
或，
∴，，
故選：．
【變式1-3】解關于的方程（因式分解方法）：
（1）； （2）．
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1） （2）
① ②
∴；
②
∴．
【總結】本題考查了因式分解法解一元二次方程．
考點2：利用公式法分解因式解一元二次方程
【例2】用因式分解法解下列方程：
(1)x2－6x＝－9； (2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.
解：(1)原方程可變形為：x2－6x＋9＝0，則(x－3)2＝0，∴x－3＝0，因此原方程的解為：x1＝x2＝3.
(2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0，(7x－16)(－3x＋4)＝0，∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，∴原方程的解為x1＝，x2＝.
方法總結：因式分解法解一元二次方程的一般步驟是：①將方程的右邊化為0；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每一個因式分別為零，就得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解．
【例2-1】用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．
【解析】 (2x+3-5)(2x+3+5)＝0，
∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，
∴ x1＝1，x2＝-4．
【變式2-2】解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；
【解析】 (2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，
(2x+1+2)2＝0． 即，
∴ ．
【變式2-3】（23-24九年級上·四川成都·階段練習）一個菱形的邊長是方程的一個根其中一條對角線長為6，則該菱形的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性質、勾股定理，先解方程得出，，結合一條對角線長為6得出菱形的邊長為，利用勾股定理得出菱形的另一條對角線為，再由面積公式計算即可．
【詳解】解：，
，
解得：，，
菱形一條對角線長為6，
菱形的邊長為，
菱形的另一條對角線為，
菱形的面積為，
故答案為：．
【變式2-4】．（23-24九年級上·廣西南寧·階段練習）解方程：．
【答案】，
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，利用十字相乘法把方程左邊因式分解，然后解方程即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴或，
解得，．
【變式2-5】解下列關于的方程：
（1）； （2）；
【答案】（1）； （2）；
【解析】（1），
，
解得：；
（2）
，
解得：；
【總結】本題考查了一元二次方程的解法．
考點3：選擇合適的方法解一元二次方程
【例3】用適當的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【解析】（1） （2）
， ② ， ，
解得：； 解得：；
（3）整理得： （4）∵原方程是一元二次方程，
， ，
，
解得：； ，
解得：．
【總結】本題考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰當選擇．
【變式3-1】.解關于的方程（合適的方法 ）：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因式分解法 （2）直接開方法
① ②
∴； ∴．
【總結】本題考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的寫法！
【變式3-2】解關于的方程（合適的方法）：
（1）； （2）．
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）因式分解法 （2）把看作一個整體，因式分解
① ②
∴；
②
∴．
【總結】本題考查了一元二次方程的解法，注意整體意識的建立．
【變式3-3】（23-24九年級上·河南許昌·階段練習）用合適的方法解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查了解一元二次方程 因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
（1）用公式法求解；
（2）用因式分解法求解；
（3）用公式法求解；
（4）用因式分解法求解．
【詳解】（1）解：
，
∴原方程的根為：；
（2）解：
或
解得：或
∴原方程的根為：；
（3）解：
，
原方程的根為：；
（4）解：
或
解得：或，
∴原方程的根為：．
考點4：用因式分解法解決問題
【例4】若a、b、c為△ABC的三邊，且a、b、c滿足a2－ac－ab＋bc＝0，試判斷△ABC的形狀．
解析：先分解因式，確定a，b，c的關系，再判斷三角形的形狀．
解：∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a－c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC為等腰三角形．
【變式4-1】（23-24九年級上·重慶江津·期中）已知直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程的兩根，則此直角三角形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程的解，求出一元二次方程的解，得到直角三角形的兩條直角邊的長，再根據直角三角形的面積計算公式計算即可求解，正確求出一元二次方程的解是解題的關鍵．
【詳解】解：解方程得，，，
∵直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程的兩根，
∴直角三角形的兩條直角邊的長分別為和，
∴此直角三角形的面積為，
故選：．
【變式4-2】．（23-24九年級上·新疆昌吉·階段練習）已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是（ ）
A． B．3 C．5 D．9
【答案】C
【分析】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了勾股定理．先利用因式分解法解方程得到直角三角形的兩條直角邊的長分別為3，4，然后利用勾股定理計算直角三角形的斜邊長．
【詳解】解：，
，
或，
，即直角三角形的兩條直角邊的長分別為4，3，
直角三角形的斜邊長為．
故選：C．
【變式4-3】．（23-24九年級上·四川成都·階段練習）已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程的兩根，則該等腰三角形的周長為（ ）
A．9 B．6 C．1或4 D．9或6
【答案】A
【分析】本題主要考查解一元二次方程，三角形的三邊關系以及等腰三角形的性質，熟練掌握解一元二次方程是解題的關鍵．將等腰三角形的兩邊計算出來，再根據等腰三角形的性質即可得到答案．
【詳解】解：依題意，解方程得，
當為腰長時，等腰三角形的三邊分別為，不符合三角形的三邊關系，故不符合題意；
當為腰長時，等腰三角形的三邊分別為，符合三角形的三邊關系，則該等腰三角形的周長為．
故選A．
【變式4-4】．（23-24九年級上·江蘇揚州·階段練習）若菱形兩條對角線的長度是方程的兩根，則該菱形的面積為 ．
【答案】10
【分析】本題考查解一元二次方程，菱形的面積公式，先求解一元二次方程，得到兩根即為菱形對角線的長，再根據菱形面積等于對角線乘積的一半即可求解．
【詳解】解：
解得：，即菱形對角線的長分別為5和4，
菱形的面積為：，
故答案為：10．
考點5：新定義問題
【例5】．（23-24九年級上·廣東汕頭·期末）對于兩個不相等的實數a、b， 我們規定符號表示a、b中的較小值． 如：，按照這個規定，方程 的解為
【答案】
【分析】本題考查了新定義，根據，再根據新定義化簡已知等式，求出解即可．
【詳解】解：，
由，得，
解得：
故答案為：
【變式5-1】．（23-24九年級上·山東聊城·期末）若規定兩數，，通過運算“”可得，即，如，若，則的值為 ．
【答案】或/或
【分析】本題考查定義新運算、一元二次方程的解法等，根據材料寫出正確的算式是關鍵．
已知等式利用題中新定義變形，計算即可求出x的值．
【詳解】已知等式利用題中新定義化簡得：，即，
分解因式得：，
解得：或．
故答案為：或．
【變式5-2】．（23-24九年級上·山東棗莊·期末）對于實數，定義運算“※”：．例如，因為，所以．若，是一元二次方程的兩個根，則 ．
【答案】4或1
【分析】本題考查了新定義的運算，解一元二次方程，掌握新定義的運算順序是解答關鍵．
先利用因式分解法解方程得到方程的兩個根分別為3，2，則或當，然后利用新定義計算的值．
【詳解】解：方程的兩個根分別為3，2，
當時，，則；
當時，則．
所以的值為4或1．
故答案為：4或1．
【變式5-3】．（23-24九年級上·河北保定·期末）新定義：如果關于的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．
（1）方程 “倍根方程”（填“是”或“不是”）；
（2）若是“倍根方程”，則 ．
【答案】 是 4或16/16或4
【分析】本題主要考查了新定義“倍根方程”、解一元二次方程等知識，解題關鍵是熟練掌握解一元二次方程的常用方法，如直接開方法、配方法、公式法、因式分解法等．
（1）利用因式分解法解方程，然后根據“倍根方程”的定義判斷即可；
（2）解方程，然后分是8的2倍、8是的2倍兩種情況討論，即可獲得答案．
【詳解】解：（1），
∴，
∴，，
∵4是2的2倍，
∴方程是“倍根方程”；
（2）解方程，
可得，，
∵是“倍根方程”，
∴當是8的2倍時，即有，
當8是的2倍時，即有．
故答案為：（1）是；（2）4或16．
易錯點1：在方程兩邊同時除以含有未知數的式子，導致丟根。
【例6】解關于的方程：
（1）； （2）
（3）．
【答案】 （1），；
（2）當時，，；
當時， ；
當，原方程有無數解；
（3）當時，，；
當時，；
當時，．
【解析】（1），
，
∴，；
①當即時，原方程是一元二次方程
∴，；
②當且時，即時，原方程是一元一次方程；
③當，等式恒成立，原方程有無數解；
綜上：當時，，；
當時， ；
當，原方程有無數解；
（3）整理得：
① 當即時，原方程是一元二次方程
∴，；
②當時，原方程為：，解得：；
③當時，原方程為：，解得：；
綜上：當時，，；
當時，；
當時，；
【總結】本題考查了含參數一元二次方程的解法，一定要分類討論！是一元二次方程時，一般利用因式分解法．
易錯點2：用因式分解法解一元二次方程時，忽略整體取值范圍導致出錯
【例7】如果，請你求出的值．
【答案與解析】
設，∴ z(z-2)＝3．
整理得：，∴ (z-3)(z+1)＝0．
∴ z1＝3，z2＝-1．
∵ ，∴ z＝-1(不合題意，舍去)
∴ z＝3．
即的值為3．
【總結升華】如果把視為一個整體，則已知條件可以轉化成一個一元二次方程的形式，用因式分解法可以解這個一元二次方程．此題看似求x、y的值，然后計算，但實際上如果把看成一個整體，那么原方程便可化簡求解。這里巧設再求z值，從而求出的值實際就是換元思想的運用．
易錯提示:忽視，而得或．
一、單選題
1．（23-24九年級上·山東濟寧·期末）方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本題考查了解一元二次方程，根據因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【詳解】解：，
或，
，，
2．（23-24九年級上·江蘇南京·期末）一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【分析】
本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可，熟練選擇解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
【詳解】解：，
，
解得，
故選：C．
故選：B．
3．（23-24九年級上·云南昭通·階段練習）方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了因式分解法方程的根，選擇適當解方程的方法是解題的關鍵．
【詳解】∵，
∴，
解得．
故選C．
4．（23-24九年級上·四川瀘州·階段練習）如果方程的兩個根分別是的兩條邊的長，那么的面積為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題主要考查解一元二次方程，先解一元二次方程求出直角三角形兩邊長，分兩種情況討論，兩邊都是直角邊，或有一邊是斜邊求解即可．
【詳解】解：∵
∴
解得，
∴的兩個直角邊的邊長為1，3，
當兩邊都是直角邊，，
當是斜邊時，另一直角邊，
，
綜上所述：的面積為或．
故選D．
5．（23-24九年級上·山東濟寧·階段練習）已知3是關于x的方程的一個實數根，并且這個方程的兩個實數根恰好是等腰的兩條邊的邊長，則的周長為（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
【答案】D
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定義，構成三角形的條件，等腰三角形的定義，先把代入原方程求出m的值，進而解方程求出或，再分當腰長為3時，則底邊長為4，當腰長為4時，則底邊長為3，兩種情況利用構成三角形的條件進行求解即可．
【詳解】解：∵3是關于x的方程的一個實數根，
∴，
解得，
∴原方程為，
解方程得或，
當腰長為3時，則底邊長為4，
∵，
∴此時能構成三角形，
∴此時的周長為；
當腰長為4時，則底邊長為3，
∵，
∴此時能構成三角形，
∴此時的周長為，
綜上所述，的周長為10或11，
故選D．
6．（23-24九年級上·河南許昌·階段練習）若，則關于x的方程必有一根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是一元二次方程的根，由題目中所給條件代入方程可以求出方程的兩個根，其中有一個準確的根．
【詳解】解：∵，代入方程中，
，
，
∴，．
故選：C．
二、填空題
7．（23-24九年級上·重慶沙坪壩·期末）如圖，圖中展示了某位同學解方程的步驟，他是在第 步開始出錯．（填序號）
解方程： 解：…① …② …③
【答案】②
【分析】本題考查解一元二次方程，利用因式分解法求解即可得出答案．
【詳解】解：，
，，
故答案為：②．
8．（23-24九年級上·遼寧盤錦·階段練習）方程的兩個根是 ．
【答案】，
【分析】本題考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法時解題關鍵．直接利用因式分解法解方程即可．
【詳解】解：，
，
，
或，
，，
即方程的兩個根，，
故答案為：，．
9．（23-24九年級上·云南昭通·階段練習）關于的一元二次方程的常數項為0，則等于 ．
【答案】1
【分析】此題考查一元二次方程的一般形式，解一元二次方程－因式分解法．關于x一元二次方程的常數項是為0，則，解出關于m的一元二次方程，并且注意而二次項系數，兩者結合求得m的值．
【詳解】解：∵關于x一元二次方程常數項為0，
∴，
解得，；
又∵，
∴，
∴．
故答案為：1．
10．（23-24九年級上·四川涼山·階段練習）已知等腰三角形的一邊長是7，另一邊長是方程的根，則該等腰三角形的周長為 ．
【答案】18或15
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，構成三角形的條件，先解一元二次方程得到該等腰三角形的另一邊長為4，再分當腰長為4時，當腰長為7時，兩種情況求出三角形三邊長，然后根據構成三角形的條件求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
解得，
∴該等腰三角形的另一邊長為4，
當腰長為4時，則該三角形三邊長為4，4，7，
∵，
∴此時能構成三角形，符合題意，
∴該等腰三角形的周長為；
當腰長為7時，則該三角形三邊長為4，7，7，
∵，
∴此時能構成三角形，符合題意，
∴該等腰三角形的周長為；
綜上所述，該等腰三角形的周長為18或15，
故答案為：18或15．
11．（23-24九年級上·寧夏吳忠·階段練習）規定運算，即，若則 ．
【答案】0或2
【分析】本題主要考查了新運算、解一元二次方程等知識點，根據新運算法則將寫成一元二次方程是解題的關鍵．
先根據新運算法則將寫成一元二次方程，然后解一元二次方程即可．
【詳解】解： ，
，
或
所以．
故答案為：0或2．
12．（22-23九年級上·黑龍江·期中）實數x滿足方程，則的值等于 ．
【答案】2
【分析】本題考查解一元二次方程，將看作一個整體，利用因式分解法解一元二次方程，并對結果進行判斷，即可解題．
【詳解】解：，
，
或，
解得或，
，
，又，則該式子不成立，
，
故答案為：．
三、解答題
13．（23-24九年級上·廣東揭陽·期末）解方程：．
【答案】，．
【分析】本題考查一元二次方程的解法，熟練掌握因式分解法、配方法、公式法，并能靈活選用是關鍵．
根據因式分解法解方程即可．
【詳解】解：，
，
，．
14．（23-24九年級上·湖北十堰·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了解一元二次方程：
（1）方程左邊提取公因式x分解因式，然后解方程即可；
（2）方程左邊利用十字相乘法分解因式，然后解方程即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
15．（23-24九年級上·云南怒江·階段練習）解下列方程．
(1)（公式法） (2)
(3)（配方法） (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題主要考查了解一元二次方程：
（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）先把二次項系數化為1，再把常數項移到方程右邊，接著把方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方進行配方，進而解方程即可；
（4）先移項，然后去括號和合并同類項后利用因式分解法解方程即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（3）解∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得．
16．（23-24九年級上·福建廈門·期中）解方程
(1) (2)
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本題主要考查了解一元二次方程：
（1）方程左邊提取公因式x分解因式，然后解方程即可；
（2）方程左邊利用因式分解法解方程即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
17．（23-24九年級上·河南三門峽·期末）解方程
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了解一元二次方程：
（1）先把方程左邊利用提公因式法分解因式，然后解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
18．（23-24九年級上·江蘇無錫·期末）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本題考查了解一元二次方程公式法，因式分解法．熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
（1）利用解一元二次方程因式分解法，進行計算即可解答；
（2）利用解一元二次方程公式法，進行計算即可解答．
【詳解】（1）解： ，
，
，，
，；
（2）解：，
，
，
，．
19．（23-24九年級上·四川南充·階段練習）按要求解下列方程
(1)（直接開平方法）．
(2)（用配方法解方程）．
(3)（用公式法解方程）．
(4)（）（用因式分解法）．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）本題考查了解一元二次方程直接開平方法，先變形為，然后利用直接開平方法即可求解；
（2）本題考查了解一元二次方程配方法，先變形為，再利用配方法得到，然后利用直接開平方法即可求解；
（3）本題考查了解一元二次方程公式法，先計算判別式的值，然后利用公式法即可求解；
（4）本題考查了解一元二次方程因式分解法，先移項得到，再化為，然后利用因式分解法即可求解．
【詳解】（1）解：
，
，；
（2）解：
，
，
，
，；
（3）解：
有，，，
，
，
，；
（4）解：（），
或，
，．
20．（23-24九年級上·北京·階段練習）解下列方程
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本題考查了一元二次方程的解法，能選擇適當的方法解一元二次方程是解此題的關鍵．
（1）移項后直接開平方即可求解；
（2）直接因式分解法即可求解；
（3）直接因式分解法即可求解；
（4）移項后，利用平方差公式進行分解因式即可求解；
【詳解】（1）解： ，
移項得，
由此可得，．
（2）解：
分解因式得 ，
由此可得 ，．
（3）解：
分解因式得 ，
由此可得 ，．
（4）解：
移項得 ，
分解因式得 ，
整理得 ，
由此可得 ，．中小學教育資源及組卷應用平臺
第04講一元二次方程的解法（因式分解法）
（2個知識點+5個考點+易錯分析）
模塊一 思維導圖串知識 模塊二 基礎知識全梳理（吃透教材） 模塊三 核心考點舉一反三 模塊四 小試牛刀過關測 1．認識用因式分解法解方程的依據． 2．會用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．
知識點1：因式分解法（重難點）
（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟
①將方程右邊化為0；
　 　②將方程左邊分解為兩個一次式的積；
　　 ③令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；
　　 ④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.
（2）常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要點詮釋：
（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結構特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數的代數式.
知識點2：靈活運用合適的方法解一元二次方程（難點）
(1)在一元二次方程的四種解法中,優先選取順序依次為直接開平方法→因式分解→公式法→配方法,若沒有特別說明,一般不采用配方法.
(2)對于復雜的一元二次方程,一般不急于化為一般形式,應先觀察其特點,看能否用直接開平方法或因式分解法,若不能,再化為一般形式用公式法求解。
考點1：利用提公因式法分解因式解一元二次方程
【例1】用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋5x＝0； (2)(x－5)(x－6)＝x－5.
【變式1-1】（23-24九年級上·山東聊城·期末）方程的解是（ ）
A． B．
C． D．或
【變式1-2】（23-24九年級上·遼寧丹東·階段練習）一元二次方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】解關于的方程（因式分解方法）：
（1）； （2）．
考點2：利用公式法分解因式解一元二次方程
【例2】用因式分解法解下列方程：
(1)x2－6x＝－9； (2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.
【例2-1】用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．
【變式2-2】解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；
【變式2-3】（23-24九年級上·四川成都·階段練習）一個菱形的邊長是方程的一個根其中一條對角線長為6，則該菱形的面積為 ．
【變式2-4】．（23-24九年級上·廣西南寧·階段練習）解方程：．
【變式2-5】解下列關于的方程：
（1）； （2）；
考點3：選擇合適的方法解一元二次方程
【例3】用適當的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【變式3-1】.解關于的方程（合適的方法 ）：
（1）； （2）．
【變式3-2】解關于的方程（合適的方法）：
（1）； （2）．
【變式3-3】（23-24九年級上·河南許昌·階段練習）用合適的方法解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
考點4：用因式分解法解決問題
【例4】若a、b、c為△ABC的三邊，且a、b、c滿足a2－ac－ab＋bc＝0，試判斷△ABC的形狀．
【變式4-1】（23-24九年級上·重慶江津·期中）已知直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程的兩根，則此直角三角形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】．（23-24九年級上·新疆昌吉·階段練習）已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是（ ）
A． B．3 C．5 D．9
【變式4-3】．（23-24九年級上·四川成都·階段練習）已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程的兩根，則該等腰三角形的周長為（ ）
A．9 B．6 C．1或4 D．9或6
【變式4-4】．（23-24九年級上·江蘇揚州·階段練習）若菱形兩條對角線的長度是方程的兩根，則該菱形的面積為 ．
考點5：新定義問題
【例5】．（23-24九年級上·廣東汕頭·期末）對于兩個不相等的實數a、b， 我們規定符號表示a、b中的較小值． 如：，按照這個規定，方程 的解為
【變式5-1】．（23-24九年級上·山東聊城·期末）若規定兩數，，通過運算“”可得，即，如，若，則的值為 ．
【變式5-2】．（23-24九年級上·山東棗莊·期末）對于實數，定義運算“※”：．例如，因為，所以．若，是一元二次方程的兩個根，則 ．
【變式5-3】．（23-24九年級上·河北保定·期末）新定義：如果關于的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．
（1）方程 “倍根方程”（填“是”或“不是”）；
（2）若是“倍根方程”，則 ．
易錯點1：在方程兩邊同時除以含有未知數的式子，導致丟根。
【例6】解關于的方程：
（1）； （2）
（3）．
易錯點2：用因式分解法解一元二次方程時，忽略整體取值范圍導致出錯
【例7】如果，請你求出的值．
一、單選題
1．（23-24九年級上·山東濟寧·期末）方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（23-24九年級上·江蘇南京·期末）一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．，
3．（23-24九年級上·云南昭通·階段練習）方程的根是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年級上·四川瀘州·階段練習）如果方程的兩個根分別是的兩條邊的長，那么的面積為（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（23-24九年級上·山東濟寧·階段練習）已知3是關于x的方程的一個實數根，并且這個方程的兩個實數根恰好是等腰的兩條邊的邊長，則的周長為（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
6．（23-24九年級上·河南許昌·階段練習）若，則關于x的方程必有一根是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
7．（23-24九年級上·重慶沙坪壩·期末）如圖，圖中展示了某位同學解方程的步驟，他是在第 步開始出錯．（填序號）
解方程： 解：…① …② …③
8．（23-24九年級上·遼寧盤錦·階段練習）方程的兩個根是 ．
9．（23-24九年級上·云南昭通·階段練習）關于的一元二次方程的常數項為0，則等于 ．
10．（23-24九年級上·四川涼山·階段練習）已知等腰三角形的一邊長是7，另一邊長是方程的根，則該等腰三角形的周長為 ．
11．（23-24九年級上·寧夏吳忠·階段練習）規定運算，即，若則 ．
12．（22-23九年級上·黑龍江·期中）實數x滿足方程，則的值等于 ．
三、解答題
13．（23-24九年級上·廣東揭陽·期末）解方程：．
14．（23-24九年級上·湖北十堰·期中）解方程：
(1)； (2)．
15．（23-24九年級上·云南怒江·階段練習）解下列方程．
(1)（公式法） (2)
(3)（配方法） (4)
16．（23-24九年級上·福建廈門·期中）解方程
(1) (2)
17．（23-24九年級上·河南三門峽·期末）解方程
(1)； (2)．
18．（23-24九年級上·江蘇無錫·期末）解方程：
(1) (2)
19．（23-24九年級上·四川南充·階段練習）按要求解下列方程
(1)（直接開平方法）．
(2)（用配方法解方程）．
(3)（用公式法解方程）．
(4)（）（用因式分解法）．
20．（23-24九年級上·北京·階段練習）解下列方程
(1) (2)
(3) (4)

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