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專題09三角形
三角形的“四心”有著明顯的幾何特征，這些幾何特征與高中很多知識都有交匯，所以要熟練掌握它們的概念，理解對應的幾何意義，為高中“四心”知識的綜合奠定基礎.
1.四心的地位
所謂三角形的“四心”，是指三角形的四種重要線段相交而成的四類特殊點.它們分別是三角形的內心、外心、垂心與重心，其中，外心與內心在初中課本中分別作出了敘述和介紹，而垂心與重心這兩個概念是在高中加強的.在高中后續學習向量、立體幾何、解析幾何等內容時，垂心、重心、內心、外心都是不可缺少的知識點，在高考試卷中也屢屢出現，所以要清楚它們的基本概念，在三角形中用尺規作圖的方法能夠找到這四心，也就是要熟悉它們的幾何特征，正三角形四心(內心、重心、垂心、外心)合一，該點稱為正三角形的中心.
2.四心的概念與常用性質
內心：三角形的三個內角的角平分線的交點，該點為三角形內切圓的圓心，內心到三角形的三邊的距離相等；
垂心：三角形的三條高的交點；通過作圖可知銳角三角形的垂心在三角形內，直角三角形的垂心為直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形外，該點分每條高線的兩部分乘積相等；
重心：三角形的三條中線的交點，該點到頂點的距離為到對邊中點距離的2倍；
外心：三角形的三條邊的垂直平分線的交點，該交點為三角形外接圓的圓心，外心到三個頂點的距離相等.
四心在高中階段具有代數與幾何的雙重身份，需要給這四心的幾何特征以代數形式，數形結合，以形助數，以數解形.
《初中課程要求》 1、三角形及其性質 2、全等三角形 3、相似三角形 4、直角三角形
《高中課程要求》 1、三角變換與解三角形的綜合問題 2、解三角形與平面向量結合 3、以平面圖形為背景的解三角形問題
高中必備知識點1：三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題.
如圖3.2-1 ，在三角形中，有三條邊，三個角，三個頂點，在三角形中，角平分線、中線、高(如圖3.2-2)是三角形中的三種重要線段.
三角形的三條中線相交于一點，這個交點稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內部，恰好是每條中線的三等分點.
三角形的三條角平分線相交于一點，是三角形的內心. 三角形的內心在三角形的內部，它到三角形的三邊的距離相等.
三角形的三條高所在直線相交于一點，該點稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內部，直角三角形的垂心為他的直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.
過不共線的三點A、B、C有且只有一個圓，該圓是三角形ABC的外接圓，圓心O為三角形的外心.三角形的外心到三個頂點的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點.
高中必備知識點2：幾種特殊的三角形
結論一：等腰三角形底邊上三線(角平分線、中線、高線)合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的內心I、重心G、垂心H必然在一條直線上.
結論二：正三角形三條邊長相等，三個角相等，且四心(內心、重心、垂心、外心)合一，該點稱為正三角形的中心.
高中必備知識點1：三角形的“四心”
【典型例題】
如圖，在⊙O中，AB是的直徑，PA與⊙O 相切于點A，點C在⊙O 上，且PC＝PA，
(1)求證PC是⊙O的切線；
(2)過點C作CD⊥AB于點E，交⊙O于點D，若CD＝PA＝2，
①求圖中陰影部分面積；
②連接AC，若△PAC的內切圓圓心為I，則線段IE的長為 ．
【變式訓練】
已知菱形ABCD的邊長為2．∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點E、F。
(1)特殊發現：如圖①，若點E、F分別是邊DC、CB的中點．求證：菱形ABCD對角線AC、BD交點O即為等邊△AEF的外心；
(2)若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動．記等邊△AEF的外心為點P．
①猜想驗證：如圖②．猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；
②拓展運用：如圖③，當△AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，試判斷是否為定值．若是．請求出該定值；若不是．請說明理由。
【能力提升】
定義：到三角形的兩邊距離相等的點，叫做此三角形的準內心，例如：如圖1，PD⊥AC，PE⊥AB，垂足分別為點D、E，若PD＝PE，則點P為△ABC的準內心
(1)應用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準內心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度數．
(2)探究：如圖3，已知△ABC為直角三角形，斜邊BC＝5，AB＝3，準內心P在AC邊上(不與點A、C重合)，求PA的長．
高中必備知識點2：幾種特殊的三角形
【典型例題】
問題發現：如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊AD上的一點，過點D作DE∥BC交AC于E，則線段BD與CE有何數量關系？
拓展探究：如圖2，將△ADE繞點A逆時針旋轉角α(0°＜α＜360°)，上面的結論是否仍然成立？如果成立，請就圖中給出的情況加以證明．
問題解決：如果△ABC的邊長等于2，AD＝2，直接寫出當△ADE旋轉到DE與AC所在的直線垂直時BD的長．
【變式訓練】
如圖，兩條射線BA//CD，PB和PC分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P，分別交AB，CD與點A，D．
(1)求∠BPC的度數；
(2)若，求AB+CD的值；
(3)若為a，為b，為c，求證：a+b=c．
【能力提升】
如圖，△ABC、△DCE、△FEG是三個全等的等腰三角形，底邊BC、CE、EG在同一直線上，且AB= ，BC=1，連結BF，分別交AC、DC、DE于點P、Q、R．
(1)求證：△BFG∽△FEG
(2)求sin∠FBG的值．
1．如圖，等邊的頂點，；規定把“先沿軸翻折，再向左平移1個單位”為一次變換，這樣連續經過2021次變換后，等邊的頂點的坐標為( )．
A． B． C． D．
2．如圖，在中，點D是邊上的中點，連接，將沿著翻折，得到，與交于點F，連接．若，則點C到的距離為( )
A． B． C． D．
3．在中，，點D為中點，，繞點D旋轉，分別與邊，交于E，F兩點，下列結論：①；②；③；④始終為等腰直角三角形，其中正確的是( )
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，BE是AC邊的中線，CF是∠ACB的角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法正確的是( )
①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
5．已知a、b為兩正數，且，則代數式最小值為( )
A．12 B．13 C．14 D．15
6．已知、、4分別是等腰三角形三邊的長，且、是關于的一元二次方程的兩個根，則的值等于( )
A．6 B．7 C．-7或6 D．6或7
7．如圖，在銳角ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是( )
A． B．1 C． D．
8．如圖所示的網格是正方形網格，點是網格線交點，則的度數為( )
A． B． C． D．
9．如圖，在中，，平分，于E，則下列結論中，不正確的是( )
A．平分 B． C．平分 D．
10．如圖，一艘輪船在處測的燈塔在北偏西15°的方向上，該輪船又從處向正東方向行駛20海里到達處，測的燈塔在北偏西60°的方向上，則輪船在處時與燈塔之間的距離(即的長)為( )
A．海里 B．海里
C．40海里 D．海里
11．如圖，在正方形中，，點是線段上的動點，將沿直線翻折，得到，點是上一點，且，連接，，當的長為______時，是直角三角形．
12．如圖，點在直線上，過點作軸交直線于點，以點為直角頂點，為直角邊在的右側作等腰直角，再過點作過點軸交直線和直線于，兩點，以點為直角頂點，為直角邊在的右側作等腰直角，…，按此規律進行下去，則等腰直角的邊長為_____．(用含正整數的代數式表示)
13．如圖，在平面直角坐標系中，點在軸上，點在直線上．若，且都是等邊三角形，從左到右的小三角形(陰影部分)的面積分別記為，則可表示為____．
14．如圖，四邊形ABCD中，ADBC，連接AC，AC⊥BC，∠BAD＝135°，E為AC上一點，連接BE，∠BEC＝2∠ACD，AD＝2，CE＝3，則線段BE＝__．
15．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC繞點B逆時針旋轉一定的角度α(0°＜α＜90°)，直線A1C1分別交AB，AC于點G，H．當△AGH為等腰三角形時，則CH的長為_____．
16．如圖，在中，，點D是的中點，點E在上，將沿折疊，若點B的落點在射線上，則與所夾銳角的度數是________．
17．如圖所示的網格是正方形網格，A，B，C，D 是網格線交點，則△ABC與△DBC面積的大小關系為：S△ABC ______ S△DBC(填“＞”，“＝”或“＜”)．
18．如圖，____________．
19．如圖，在中，，，，平分，，則的長是__________．
20．如圖，將一個含30°角的三角尺ABC繞點A按順時針方向旋轉得到△ADE，使點B的對應點D恰好落在BC邊上，若AB=，則CD的長為_______．
21．如圖1，在中，，，點是的中點，連接，點是上一點，連接并延長交于點．
(1)若點是中點，求證：；
(2)如圖2，若．
①求證：；
②猜想的值并寫出計算過程．
22．如圖，邊長為1的正方形中，點在上，連接，過點，作的垂線，垂足分別為，，點是正方形的中心，連接，．
(1)求證：；
(2)請判斷的形狀，并說明理由；
(3)若點在線段上運動(不包括端點)，設，的面積為，求關于的函數關系式(寫出的范圍)；若點在射線上運動，且的面積為，請直接寫出長．
23．如圖，在正方形中，動點，分別在邊，上移動(不與頂點重合)，且滿足．連接和，交于點．
(1)請你寫出與的數量關系和位置關系，并說明理由；
(2)由于點，的移動，使得點也隨之運動．
①請用文字描述并且在圖中畫出點的運動路徑；
②若，請求出線段的最小值．
24．在平面直角坐標系中，直線與軸負半軸交于點，與軸交于點，點坐標為，，點在軸上(點在點的右側)，，動點從點出發，以每秒1個單位長度的速度沿運動，動點從點出發，以每秒3個單位長度的速度沿射線運動，兩點同時出發，當點到達點時，兩點同時停止運動．設運動時間為秒()．
(1)如圖，當點在線段上時．
①求點的坐標：
②當是等腰三角形時，求的值；
(2)是否存在時刻，使得，若存在，直接寫出的值；若不存在，說明理由．
25．如圖，在中，點D，E分別在邊，上，且，點P與點C關于直線成軸對稱．
(1)求作點P；(要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)連接EP，若，判斷點P是否在直線上，并說明理由．
26．如圖，在矩形中，點是邊上一點，．
(1)過作于點．(基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，要下結論)；
(2)求證：．
27．如圖，中，，，，點在的邊上，，以為直角邊在同側作等腰直角三角形，使，過作于點，連接．
(1)求證：；
(2)求的最小值；
(3)若，求的值．
28．如圖，，直線過點，直線，直線，垂足分別為、，且．
(1)求證；
(2)求證．
29．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的中線，AE∥BC，CE∥AD．
(1)求證：四邊形ADCE是菱形；
(2)連接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的長．
30．如圖，在中，，，，將繞點按逆時針方向旋轉得到，此時點恰好落在邊上，則周長為__________．
專題09三角形
三角形的“四心”有著明顯的幾何特征，這些幾何特征與高中很多知識都有交匯，所以要熟練掌握它們的概念，理解對應的幾何意義，為高中“四心”知識的綜合奠定基礎.
1.四心的地位
所謂三角形的“四心”，是指三角形的四種重要線段相交而成的四類特殊點.它們分別是三角形的內心、外心、垂心與重心，其中，外心與內心在初中課本中分別作出了敘述和介紹，而垂心與重心這兩個概念是在高中加強的.在高中后續學習向量、立體幾何、解析幾何等內容時，垂心、重心、內心、外心都是不可缺少的知識點，在高考試卷中也屢屢出現，所以要清楚它們的基本概念，在三角形中用尺規作圖的方法能夠找到這四心，也就是要熟悉它們的幾何特征，正三角形四心(內心、重心、垂心、外心)合一，該點稱為正三角形的中心.
2.四心的概念與常用性質
內心：三角形的三個內角的角平分線的交點，該點為三角形內切圓的圓心，內心到三角形的三邊的距離相等；
垂心：三角形的三條高的交點；通過作圖可知銳角三角形的垂心在三角形內，直角三角形的垂心為直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形外，該點分每條高線的兩部分乘積相等；
重心：三角形的三條中線的交點，該點到頂點的距離為到對邊中點距離的2倍；
外心：三角形的三條邊的垂直平分線的交點，該交點為三角形外接圓的圓心，外心到三個頂點的距離相等.
四心在高中階段具有代數與幾何的雙重身份，需要給這四心的幾何特征以代數形式，數形結合，以形助數，以數解形.
《初中課程要求》 1、三角形及其性質 2、全等三角形 3、相似三角形 4、直角三角形
《高中課程要求》 1、三角變換與解三角形的綜合問題 2、解三角形與平面向量結合 3、以平面圖形為背景的解三角形問題
高中必備知識點1：三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題.
如圖3.2-1 ，在三角形中，有三條邊，三個角，三個頂點，在三角形中，角平分線、中線、高(如圖3.2-2)是三角形中的三種重要線段.
三角形的三條中線相交于一點，這個交點稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內部，恰好是每條中線的三等分點.
三角形的三條角平分線相交于一點，是三角形的內心. 三角形的內心在三角形的內部，它到三角形的三邊的距離相等.
三角形的三條高所在直線相交于一點，該點稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內部，直角三角形的垂心為他的直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.
過不共線的三點A、B、C有且只有一個圓，該圓是三角形ABC的外接圓，圓心O為三角形的外心.三角形的外心到三個頂點的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點.
高中必備知識點2：幾種特殊的三角形
結論一：等腰三角形底邊上三線(角平分線、中線、高線)合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的內心I、重心G、垂心H必然在一條直線上.
結論二：正三角形三條邊長相等，三個角相等，且四心(內心、重心、垂心、外心)合一，該點稱為正三角形的中心.
高中必備知識點1：三角形的“四心”
【典型例題】
如圖，在⊙O中，AB是的直徑，PA與⊙O 相切于點A，點C在⊙O 上，且PC＝PA，
(1)求證PC是⊙O的切線；
(2)過點C作CD⊥AB于點E，交⊙O于點D，若CD＝PA＝2，
①求圖中陰影部分面積；
②連接AC，若△PAC的內切圓圓心為I，則線段IE的長為 ．
答案:(1)詳見解析；(2)①S陰影＝． ②．
解析：
(1)證明：連接OC OP，
∵點C在⊙O上，
∴OC為半徑．
∵PA與⊙O相切于點A，
∴OA⊥PA．
∴∠PAO＝90°．
∵OC＝OA，
OP＝OP，
PC＝PA，
∴△PCO≌△PAO．
∴∠PCO＝∠PAO＝90°．
∴PC⊥OC．
∴PC是⊙O的切線．
(2)①作CM⊥AP于點M，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝ ，∠CEA＝90°．
∴四邊形CMAE是矩形．
∴AM＝．
∴PM＝AM．
∴PC＝AC．
∵PC＝PA，
∴△PCA是等邊三角形．
∴∠PAC＝60°．
∴∠CAB＝30°．
∴∠COE＝60°．
∴∠COD＝120°．
在Rt△COE中，
sin60°＝ ，
∴OC＝2．
∴S陰影＝π－．
②∵AP=2 ,AH=CE=
∴CH=AH=3
又∵I為正△PAC的內心
∴CI= CH=2
∴IE= = =
【變式訓練】
已知菱形ABCD的邊長為2．∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點E、F。
(1)特殊發現：如圖①，若點E、F分別是邊DC、CB的中點．求證：菱形ABCD對角線AC、BD交點O即為等邊△AEF的外心；
(2)若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動．記等邊△AEF的外心為點P．
①猜想驗證：如圖②．猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；
②拓展運用：如圖③，當△AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，試判斷是否為定值．若是．請求出該定值；若不是．請說明理由。
答案:(1)見解析；(2)①外心P一定落在直線DB上，見解析；②為定值，.
解析：
(1)證明：如圖I，分別連接OE、0F
∵四邊形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=∠ADC=×60°=30°，
又∵E、F分別為DC、CB中點
∴OE=CD，OF=BC，AO=AD，
∴0E=OF=OA ，
∴點O即為△AEF的外心，
(2)①猜想：外心P一定落在直線DB上，
證明：如圖2，分別連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J
∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵點P是等邊△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA
∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ，
∴點P在∠ADC的平分線上，即點P落在直線DB上，
②為定值1.
當AE⊥DC時．△AEF面積最小，
此時點E、F分別為DC、CB中點．
連接BD、AC交于點P，由(1)
可得點P即為△AEF的外心，
解法：如圖3．設MN交BC于點G
設DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，則 CN=
由BC∥DA 易證△GBP≌△MDP．∴BG=DM=x．
∴，
∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM
∴，∴
∴.
∴，即.
【能力提升】
定義：到三角形的兩邊距離相等的點，叫做此三角形的準內心，例如：如圖1，PD⊥AC，PE⊥AB，垂足分別為點D、E，若PD＝PE，則點P為△ABC的準內心
(1)應用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準內心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度數．
(2)探究：如圖3，已知△ABC為直角三角形，斜邊BC＝5，AB＝3，準內心P在AC邊上(不與點A、C重合)，求PA的長．
答案:(1)∠APB＝90°；(2).
解析：
(1)∵準內心P在高CD上，
∴①點P為∠CAD的角平分線與CD的交點，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠PAD＝∠PAC＝30°，
∵CD為等邊三角形ABC的高，
∴AD＝DP，AD＝BD，
與已知PD＝AB矛盾，
∴點P不可能為∠CAD的角平分線與CD的交點，
同理可知②點P不可能為∠CBD的角平分線與CD的交點，
③∵CD⊥AB，
∴點P為∠BCA的平分線，
此時，點P到AC和BC的距離相等，
∵PD＝AB，
∴PD＝AD＝BD，
∴∠APD＝∠BPD＝45°，
∴∠APB＝90°；
(2)∵BC＝5，AB＝3，
∴AC＝＝4，
∵準內心在AC邊上，(不與點A，B重合)，
∴點P為∠CBA的平分線與AC的交點，
作PD⊥BC與點D，
∴PA＝PD，BD＝BA＝3，
設PA＝x，則x2+22＝(4﹣x)2，
∴x＝，即PA＝．
高中必備知識點2：幾種特殊的三角形
【典型例題】
問題發現：如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊AD上的一點，過點D作DE∥BC交AC于E，則線段BD與CE有何數量關系？
拓展探究：如圖2，將△ADE繞點A逆時針旋轉角α(0°＜α＜360°)，上面的結論是否仍然成立？如果成立，請就圖中給出的情況加以證明．
問題解決：如果△ABC的邊長等于2，AD＝2，直接寫出當△ADE旋轉到DE與AC所在的直線垂直時BD的長．
答案:問題發現：BD＝CE；拓展探究：結論仍然成立，見解析；問題解決：BD的長為2和2．
解析：
問題發現：如圖1,BD=CE,理由是
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,
∵DE∥BC,
∴BD=CE,
拓展探究：結論仍然成立,如圖2,
由圖1得,△ADE是等邊三角形,
∴AD=AE,
由旋轉得∠BAD=∠CAE,△BAD≌△CAE,(旋轉的性質)
∴BD=CE,
問題解決：當△ADE旋轉到DE與AC所在的直線垂直時,設垂足為點F,此時有兩種情況:
①如圖3,
∵△ADE是等邊三角形,AF⊥DE,
∴∠DAF=∠EAF=30°,
∴∠BAD=30°,
過D作DG⊥AB,垂足為G,
∵AD=2,
∴DG=1,AG=,
∵AB=2,
∴BG=AB-AG=,
∴BD=2(勾股定理),
②如圖4,
同理得△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,
∵△ADE是等邊三角形,
∴∠ADE=60°,
∵AD=AE,DE⊥AC,
∴∠DAF=∠EAF=30°,
∴EF=FD=AD=1,
∴AF=,
∴CF=AC+CF=2+=3,
在Rt△EFC中,EC=,
∴BD=EC=2.
綜上所述,BD的長為2和2.
【變式訓練】
如圖，兩條射線BA//CD，PB和PC分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P，分別交AB，CD與點A，D．
(1)求∠BPC的度數；
(2)若，求AB+CD的值；
(3)若為a，為b，為c，求證：a+b=c．
答案:(1)90°；(2)4；(3)證明見解析
解析：
(1)∵BA∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°．
∵PB和PC分別平分∠ABC和∠DCB，∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠BCD，∴∠PBC+∠PCB(∠ABC+∠BCD)=90°，∴∠BPC=90°；
(2)若∠BCD=60°，BP=2，∴∠ABC=180°－60°=120°，∠PCD∠BCD=30°，∴∠ABP∠ABC=60°．
在Rt△ABP中，BP=2，AB=1．在Rt△BCP中，CP=2．在Rt△PCD中，PD，CD=3，∴AB+CD=4．
(3)如圖，作PQ⊥BC．
∵∠ABP=∠QBP，∠BAP=∠BQP，BP=BP．
∴△ABP≌△BQP(AAS)．
同理△PQC≌△PCD(AAS)，∴S△BCP=S△BPQ+S△PQC=S△ABP+S△PCD，∴a+b=c．
【能力提升】
如圖，△ABC、△DCE、△FEG是三個全等的等腰三角形，底邊BC、CE、EG在同一直線上，且AB= ，BC=1，連結BF，分別交AC、DC、DE于點P、Q、R．
(1)求證：△BFG∽△FEG
(2)求sin∠FBG的值．
答案:(1)證明見解析；(2)．
解析：
解：(1)依題可得：
BC=CE=EG=1，FG=AB=，
∴BG=3，
在△BFG和△FEG中，
∵，∠G=∠G，
∴△BFG∽△FEG.
(2)過點F作FH⊥BG于點H，如圖，
，
則∠FHG=90°，
∵△FEG是等腰三角形，EG=1，
∴，
∴FH= ，
∵△BFG∽△FEG，
∴∠BFG=∠FEG=∠G，
∴BF=BG=3BC=3，
在Rt△FBH中，
∴sin∠FBG=.
1．如圖，等邊的頂點，；規定把“先沿軸翻折，再向左平移1個單位”為一次變換，這樣連續經過2021次變換后，等邊的頂點的坐標為( )．
A． B． C． D．
答案:D
過點作交于點
∵等邊
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
第一次把“先沿軸翻折，再向左平移1個單位”，得，即；
第二次把“先沿軸翻折，再向左平移1個單位”，得，即；
第三次把“先沿軸翻折，再向左平移1個單位”，得，即；
…
當為奇數時，第次把“先沿軸翻折，再向左平移1個單位”，得
當為偶數時，第次把“先沿軸翻折，再向左平移1個單位”，得
∵2021為奇數
∴第2021次把“先沿軸翻折，再向左平移1個單位”，得，即；
故選：D．
2．如圖，在中，點D是邊上的中點，連接，將沿著翻折，得到，與交于點F，連接．若，則點C到的距離為( )
A． B． C． D．
答案:C
連接BE，延長CD交BE于G點，過C作CH⊥AB于H，如圖所示
由折疊的性質，得：BD=ED，CB=CE
∴CG是線段BE的垂直平分線
∴BG=BE
∵D點是AB的中點
∴BD=AD，
∴AD=ED
∴∠DAE=∠DEA
∵BD=ED
∴ ∠DEB=∠DBE
∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°
即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°
∴2∠DEA+2∠DEB=180°
∴∠DEA+∠DEB=90°
即∠AEB=90°
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
∴
∵
∴
∴
故選：C．
3．在中，，點D為中點，，繞點D旋轉，分別與邊，交于E，F兩點，下列結論：①；②；③；④始終為等腰直角三角形，其中正確的是( )
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
答案:D
解：連接，，點為中點，，
．，．
，
，
．
在和中，
，
，
，，．
，
，
．
，
．
，
，
．
，，
始終為等腰直角三角形．
，
．
，
．
正確的有①②③④．
故選D．
4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，BE是AC邊的中線，CF是∠ACB的角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法正確的是( )
①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
答案:D
解：∵BE是AC邊的中線，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面積＝，△BCE的面積＝AB，
∴△ABE的面積＝△BCE的面積，故①正確；
∵AD是BC邊上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分線，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②錯誤；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正確；
根據已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④錯誤；
即正確的為①③，
故選：D．
5．已知a、b為兩正數，且，則代數式最小值為( )
A．12 B．13 C．14 D．15
答案:B
解：如圖所示，構造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，
根據勾股定理可得：AB=和AC=，
所以：
，
∴當A，B，C三點共線時有最小值，即BC，
在Rt△BDC中．
故選：B
6．已知、、4分別是等腰三角形三邊的長，且、是關于的一元二次方程的兩個根，則的值等于( )
A．6 B．7 C．-7或6 D．6或7
答案:D
解：∵a、b、4分別是等腰三角形三邊的長，
∴當a＝4或b＝4時， 即：42 6×4＋k＋2＝0，解得：k＝6，
此時，的兩個根為：x1=2，x2=4，符合題意；
當a＝b時，即△＝( 6)2 4×(k＋2)＝0，解得：k＝7，
此時，的兩個根為：x1=x2=3，符合題意；
綜上所述，k的值等于6或7，
故選：D．
7．如圖，在銳角ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是( )
A． B．1 C． D．
答案:B
如圖，作于點H，交于點，作于點，則為所求最小值．
由角平分線的性質可知，
∴，即長為所求最小值．
∵，
∴為等腰直角三角形．
∴．
故選B．
8．如圖所示的網格是正方形網格，點是網格線交點，則的度數為( )
A． B． C． D．
答案:A
解：如圖，連接CG、AG，
由勾股定理得：AC2＝AG2＝12＋22＝5，CG2＝12＋32＝10，
∴AC2＋AG2＝CG2，
∴∠CAG＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
∵，
∴△CFG≌△ADE(SAS)，
∴∠FCG＝∠DAE，
∴∠BAC ∠DAE＝∠ACF ∠FCG＝∠ACG＝45°，
故選：A．
9．如圖，在中，，平分，于E，則下列結論中，不正確的是( )
A．平分 B． C．平分 D．
答案:A
∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，ED⊥AB
∴CD=ED，
∴BC=BD+CD=BD+ED
故選項B正確；
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠EAD
∵CD⊥AC，ED⊥AB
∴∠C=∠DEA=90゜
∴∠ADC=∠ADE
即AD平分∠EDC
故選項C正確；
在△ACD中，AC+CD>AD
∴ED+AC>AD
故選項D正確；
若DE平分∠ADB
則有∠BDE=∠ADE
∵∠ADE=∠ADC
∴∠ADE=∠ADC=∠BDE
∵∠ADE+∠ADC+∠BDE=180゜
∴∠BDE=60゜
∴∠B=90゜-∠BDE=30゜
顯然這里∠B是不一定為30゜
故選項A錯誤．
故選：A．
10．如圖，一艘輪船在處測的燈塔在北偏西15°的方向上，該輪船又從處向正東方向行駛20海里到達處，測的燈塔在北偏西60°的方向上，則輪船在處時與燈塔之間的距離(即的長)為( )
A．海里 B．海里
C．40海里 D．海里
答案:D
解：過作于，如圖所示：
在中，，海里，
∴(海里)，(海里)，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴海里，
∴海里，
故選：D．
11．如圖，在正方形中，，點是線段上的動點，將沿直線翻折，得到，點是上一點，且，連接，，當的長為______時，是直角三角形．
答案:或
①當E在AH的上方時，且∠AEH=90，
根據折疊的性質，∠AEP=∠D=90，AD=AE，DP=PE，
∴∠AEP=∠AEH=90，AD=AE=AB，
∴點P、E、H在同一直線上，
在Rt△ABH和Rt△AEH中，
，
∴Rt△ABHRt△AEH(HL)，
∴EH=BH=3，
設DP=x，則PC=8－x，HC=8-3=5， PH=PE+HE=x+3，
在Rt△CPH中，，即，
解得，即DP=；
②當E在AH的下方時，且∠AEH=90，如圖：
此時，點E與點B重合，則點P與點C重合，
∴DP=；
綜上，當DP的長為或時，是直角三角形．
故答案為：或．
12．如圖，點在直線上，過點作軸交直線于點，以點為直角頂點，為直角邊在的右側作等腰直角，再過點作過點軸交直線和直線于，兩點，以點為直角頂點，為直角邊在的右側作等腰直角，…，按此規律進行下去，則等腰直角的邊長為_____．(用含正整數的代數式表示)
答案:
解：點在直線上，
點橫坐標為2，將代入得，
點坐標為．
△為等腰直角三角形，
，
點坐標為．．
過點作軸，
，的橫坐標為3，將分別代入與中得，的縱坐標分別為3，，
即，，，
．點坐標為．
同理可得，
．
故答案為：．
13．如圖，在平面直角坐標系中，點在軸上，點在直線上．若，且都是等邊三角形，從左到右的小三角形(陰影部分)的面積分別記為，則可表示為____．
答案:
解：由等邊三角形可知：
A1B1∥A2B2∥…∥AnBn，
B1A2∥B2A3∥…∥BnAn+1，
∵直線yx與x軸的夾角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1，
∴A1(1，0)，
∴A1B1＝1，
同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，
∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，
可知∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°，
∴B1B2，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n﹣1，
∴S1，S2，…，Sn＝22n﹣3．
∴當n=2021時，
故答案為：．
14．如圖，四邊形ABCD中，ADBC，連接AC，AC⊥BC，∠BAD＝135°，E為AC上一點，連接BE，∠BEC＝2∠ACD，AD＝2，CE＝3，則線段BE＝__．
答案:5
解：如圖，過點E作EF//CD交BC于點F，作FG⊥BE于點G，
∵EF//CD，
∴∠FEC＝∠ACD，
∵∠BEC＝2∠ACD＝∠BEF+∠CEF，
∴∠BEF＝∠CEF，
∵AC⊥BC，FG⊥BE，
∴CF＝GF，
∵AD//BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝135°﹣90°＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
設AE＝x，
∴AC＝BC＝AE+EC＝x+3，
在Rt△EGF和Rt△ECF中，
，
∴Rt△EGF≌Rt△ECF(HL)，
∴EG＝EC，
∵∠DAC＝∠FCE＝90°，∠ACD＝∠CEF，
∴△ADC∽△CFE，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝，
∴GF＝，
∵∠BGF＝∠BCE＝90°，∠FBG＝∠EBC，
∴△BFG∽△BEC，
∴＝，
∴＝，
∴BG＝2，
∴BE＝BG+GE＝BG+EC＝2+3＝5．
故答案為：5．
15．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC繞點B逆時針旋轉一定的角度α(0°＜α＜90°)，直線A1C1分別交AB，AC于點G，H．當△AGH為等腰三角形時，則CH的長為_____．
答案:或1．
解：如圖1中，當AG=AH時，
∵AG=AH，
∴∠AHG=∠AGH，
∵∠A=∠A1，∠AGH=∠A1GB，
∴∠AHG=∠A1BG，
∴∠A1GB=∠A1BG，
∴A1B=A1G=5，
∴GC1=A1G-C1G=1，
∵∠BC1G=90°，
∴，
∴，，
如圖2中，當GA=GH時，過點G作GM⊥AH于M．
同法可證，GB=GA1，設GB=GA1=x，則有x2=32+(4-x)2，
解得，
∴，
∵GM∥BC，
∴，
∴，
∴，
∵GA=GH，GM⊥AH，
∴AM=HM，
∴AH=3，
∴CH=AC-AM=1．
當HG=AH時，∠HGA=∠HAG<45°<∠ABC(大邊對大角，小邊對小角)，
∴∠A1HC=∠HGA+∠HAG<90°，
∴∠C1BC=360°-90°-90°-∠A1HC＞90°，即旋轉角度大于90°，不符合題意．
綜上所述，滿足條件的CH的值為或1．
故答案為：或1．
16．如圖，在中，，點D是的中點，點E在上，將沿折疊，若點B的落點在射線上，則與所夾銳角的度數是________．
答案:．
如下圖，連接DE，與相交于點O，
將 △BDE 沿 DE 折疊，
，
,
又∵D為BC的中點，，
，
,
,
,
即與所夾銳角的度數是．
故答案為：．
17．如圖所示的網格是正方形網格，A，B，C，D 是網格線交點，則△ABC與△DBC面積的大小關系為：S△ABC ______ S△DBC(填“＞”，“＝”或“＜”)．
答案:＞
=3，
，
故填：＞．
18．如圖，____________．
答案:
∵∠BAC和∠DAE分別是△ACE和△ABD的外角，
∴∠BAC=∠C+∠E，∠DAE=∠B+∠D，
∴∠CAD+∠BAC+∠DAE=180°，
故答案為：180°
19．如圖，在中，，，，平分，，則的長是__________．
答案:5
在中，，，，
∴，
∵平分，
∴∠ABD=∠DBC，
∵，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD=5．
故答案為：5．
20．如圖，將一個含30°角的三角尺ABC繞點A按順時針方向旋轉得到△ADE，使點B的對應點D恰好落在BC邊上，若AB=，則CD的長為_______．
答案:
解：由旋轉得：AD=AB=，
∵在Rt△ABC中，
∠C=30°，∠CAB=90°，
∴∠B=60°，
∵AD=AD，
∴∠ADB=∠B=60°，
∵∠DAB+∠ADB+∠B=180°，
∴∠DAB=∠ADB=∠B=60°，
∴AD=AB=DB=，
在Rt△CAB中，∠C=30°，∠CAB=90°，
∴AB=BC，
∴BC=2AB=2，
∴CD=BC-BD=2-=．
故CD的長為．
21．如圖1，在中，，，點是的中點，連接，點是上一點，連接并延長交于點．
(1)若點是中點，求證：；
(2)如圖2，若．
①求證：；
②猜想的值并寫出計算過程．
答案:(1)見解析；(2)①見解析；②
解：(1)證明：，
，
點是的中點，點是中點，
，，
，
，
；
(2)①證明：連接，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，；
設，則，，
，，
；
②猜想：，
理由如下：
，
，
．
22．如圖，邊長為1的正方形中，點在上，連接，過點，作的垂線，垂足分別為，，點是正方形的中心，連接，．
(1)求證：；
(2)請判斷的形狀，并說明理由；
(3)若點在線段上運動(不包括端點)，設，的面積為，求關于的函數關系式(寫出的范圍)；若點在射線上運動，且的面積為，請直接寫出長．
答案:(1)見解析；(2)等腰直角三角形，理由見解析；(3)，長為或3
解：(1)證明：∵，，∴．
又∵，∴，，
∴．
在△AMB和△BNC中
，
∴，
∴．
(2)是等腰直角三角形，
理由如下：連接，
∵為正方形的中心
∴，，，
∵，
∴，即．
在△AMO和△BNO中
，
∴，
∴，，
∵，
∵，，∴，
∴是等腰直角三角形．
(3)在Rt△ABK中，BK=，
∵S△ABK=×AK×AB=×BK×AM，
∴AM=，
∴BN=AM=，
∵cos∠ABK=，
∴BM=，
∴MN=BM-BN=，
∵OM=ON=，S△OMN=，
∴S△OMN=，
∴，
當點在線段上時，則，解得：(不合題意舍去)，，
當點在線段的延長線時，同理可求得，
∴，
解得：，(不合題意舍去)，
綜上所述：長為或3時，的面積為．
23．如圖，在正方形中，動點，分別在邊，上移動(不與頂點重合)，且滿足．連接和，交于點．
(1)請你寫出與的數量關系和位置關系，并說明理由；
(2)由于點，的移動，使得點也隨之運動．
①請用文字描述并且在圖中畫出點的運動路徑；
②若，請求出線段的最小值．
答案:(1)，，見解析；(2)①點的運動路徑是以為直徑的圓的圓弧(去除端點，)；②
解：(1)，，
理由是：∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)如圖，
①∵點在運動中保持，設正方形的中心為，
∴得出點的運動路徑是以為直徑的圓的圓弧(去除端點，)，
②設的中點(圓心)為，連接交圓弧于點，此時線段的長度最小．
在中，
∴
即線段的最小值是．
24．在平面直角坐標系中，直線與軸負半軸交于點，與軸交于點，點坐標為，，點在軸上(點在點的右側)，，動點從點出發，以每秒1個單位長度的速度沿運動，動點從點出發，以每秒3個單位長度的速度沿射線運動，兩點同時出發，當點到達點時，兩點同時停止運動．設運動時間為秒()．
(1)如圖，當點在線段上時．
①求點的坐標：
②當是等腰三角形時，求的值；
(2)是否存在時刻，使得，若存在，直接寫出的值；若不存在，說明理由．
答案:(1)①；②；(2)存在，
解：(1)①∵，
∴，
∴在中，，
∵，∴
∴；
②∵
∴
∴在中，．
∴，
在中，，
∵BP=t，AQ=3t，
∴CP=3-t，CQ=5-3t，
∴當是等腰三角形時，，
∴3-t=5-3t，
∴t=1；
(2)如圖，設運動t秒時， PQ⊥AB，則PB=t，PC=3-t,AQ=3t，
∴Q的坐標為3t-；
∵sin∠CBO=,
∴∠CBO=30°，
過點P作PE⊥OC，垂足為E，
∴PE∥OB，
∴∠CBO=∠CPE=30°，
∴PE=PCcos30°=(3-t)，CE=PCsin30°=(3-t)，
∴點E(t，0)，
∴QE=3t--(t)=t-，
延長QP交AB于點D，∵PQ⊥AB，∠A=∠A，
∴△ADQ∽△AOB，
∴∠AQD=∠ABO，
∴tan∠AQD=tan∠ABO，
根據(1)知OA=，，
∴tan∠AQD=tan∠ABO==÷=，
∴=，
∴(3-t)：(t-)=，
解得t=1.96．
25．如圖，在中，點D，E分別在邊，上，且，點P與點C關于直線成軸對稱．
(1)求作點P；(要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)連接EP，若，判斷點P是否在直線上，并說明理由．
答案:(1)見解析；(2)點P在直線上，見解析
(1)如圖點P即為所求．
解法一： 解法二：
(2)點P在直線上，理由如下：
如圖，連接，設線段與交于點Q，
∵點P與點C關于直線成軸對稱，
∴垂直平分．
∴，．
∵，
∴．
∴四邊形是菱形．
∴
∴，．
∴．
∴．
∵，
設，則．
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵點Q在上，
∴點Q與點P重合．
∴點P在直線上．
26．如圖，在矩形中，點是邊上一點，．
(1)過作于點．(基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，要下結論)；
(2)求證：．
答案:(1)見解析；(2)見解析
解：(1)解：如圖，在DE另一側取點K， 以A為圓心，以AK為半徑畫弧，交DE于點M、N，分別以M、N為圓心，以大于MN為半徑畫弧，兩弧交于點G，連接AG交DE與F， 線段AF即為所求作線段；
(2)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，AB＝CD．
∴∠AEB＝∠DAE，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠AEB＝∠AED，
∵AB⊥BE，AF⊥ED，
∴AB＝AF，
∴AF＝CD．
27．如圖，中，，，，點在的邊上，，以為直角邊在同側作等腰直角三角形，使，過作于點，連接．
(1)求證：；
(2)求的最小值；
(3)若，求的值．
答案:(1)證明見解析；(2)；(3)．
解：(1)證明：∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
∴；
(2)由(1)得，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
當時，的最小值為，∴的最小值為；
(3)由(1)得，，
，
整理得，，
，
∵，∴，∴，∴，
在中，由勾股定理得，
，∴，∴，
∴，
，，∴．
28．如圖，，直線過點，直線，直線，垂足分別為、，且．
(1)求證；
(2)求證．
答案:證明見解析．
證明：(1)∵BM⊥直線l，CN⊥直線l，
∴∠AMB＝∠CNA＝，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA(HL)；
(2)由(1)得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝，
∴∠CAN+∠BAM＝，
∴∠BAC＝﹣＝
29．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的中線，AE∥BC，CE∥AD．
(1)求證：四邊形ADCE是菱形；
(2)連接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的長．
答案:(1)見解析；(2)
(1)證明：∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形．
∵∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，
∴AD=BD=CD．
∴四邊形ADCE是菱形．
(2)解：過點E作EH⊥BA交BA的延長線于點H．
在Rt△ABC中，∠ABC30°，AC2，
∴BC，AB．
∴ADBC2，
∵四邊形ADCE是菱形，
∴AEAD2，
∵AE//BC，
∴∠EAH∠ABC30°．
在Rt△AEH中，EH，
AH．
∴HBAH＋AB．
在Rt△BEH中，
BE．
30．如圖，在中，，，，將繞點按逆時針方向旋轉得到，此時點恰好落在邊上，則周長為__________．
答案:6
∵將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉得到△A'B'C，
∴AC＝A'C，AB＝A'B'，∠A＝∠CA'B'＝ ，
∴△AA'C是等邊三角形，
∵，∴AC＝＝＝2
周長為2+2+2=6．
故答案為：6

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