資源簡介

專題10圓
平面幾何中直線與圓的位置關系包含的知識點較多，方法靈活，抓住核心概念和基本方法即可，對定理的本質要理解，看到相關已知能夠聯想到需要的定理，常常先分析所求問題的路徑，找準方向，綜合運用條件加以突破.
直線與圓有三種位置關系：相離、相切和相交.相切和相交是代數與幾何研究的重點.
常用的結論包括：
1.切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
2.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.
3.相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等
4.切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項
5.割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等
《初中課程要求》 1、圓的基本性質 2、垂徑定理 3、點與圓的位置關系 4、點、直線與圓的位置關系 5、正多邊形與圓、弧長、扇形面積
《高中課程要求》 1、握圓的標準方程與一般方程 2、能判斷直線與圓、圓與圓的位置關系 3、能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題
高中必備知識點1：直線與圓的位置關系
設有直線和圓心為且半徑為的圓，怎樣判斷直線和圓的位置關系？
觀察圖3.3-1，不難發現直線與圓的位置關系為：當圓心到直線的距離時，直線和圓相離，如圓與直線；當圓心到直線的距離時，直線和圓相切，如圓與直線；當圓心到直線的距離時，直線和圓相交，如圓與直線.
在直線與圓相交時，設兩個交點分別為A、B.若直線經過圓心，則AB為直徑；若直線不經過圓心，如圖3.3-2，連結圓心和弦的中點的線段垂直于這條弦.且在中，為圓的半徑，為圓心到直線的距離，為弦長的一半，根據勾股定理，有.
當直線與圓相切時，如圖3.3-3，為圓的切線，可得，，且在中，.
如圖3.3-4，為圓的切線，為圓的割線，我們可以證得，因而.
高中必備知識點2：點的軌跡
在幾何中，點的軌跡就是點按照某個條件運動形成的圖形，它是符合某個條件的所有點組成的.例如，把長度為的線段的一個端點固定，另一個端點繞這個定點旋轉一周就得到一個圓，這個圓上的每一個點到定點的距離都等于；同時，到定點的距離等于的所有點都在這個圓上.這個圓就叫做到定點的距離等于定長的點的軌跡.
我們把符合某一條件的所有的點組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡.這里含有兩層意思：(1)圖形是由符合條件的那些點組成的，就是說，圖形上的任何一點都滿足條件；(2)圖形包含了符合條件的所有的點，就是說，符合條件的任何一點都在圖形上.
下面，我們討論一些常見的平面內的點的軌跡.
從上面對圓的討論，可以得出：
到定點的距離等于定長的點的軌跡是以定點為圓心，定長為半徑的圓.
我們學過，線段垂直平分線上的每一點，和線段兩個端點的距離相等；反過來，和線段兩個端點的距離相等的點，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：
和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分線.
由角平分線性質定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個軌跡：
到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線.
高中必備知識點1：直線與圓的位置關系
【典型例題】
在同一平面直角坐標系中有5個點：A(1，1)，B(﹣3，﹣1)，C(﹣3，1)，D(﹣2．﹣2)．
(1)畫出△ABC的外接圓⊙P，并指出點D與⊙P相的位置關系；
(2)E點是y軸上的一點，若直線DE與⊙P相切，求點E的坐標．
【變式訓練】
在平面直角坐標系xOy中，對于P、Q兩點給出如下定義：若點P到x、y軸的距離中的最大值等于點Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P、Q兩點為“等距點”，如圖中的P、Q兩點即為“等距點”．
(1)已知點A的坐標為(﹣3，1)
①在點E(0，3)、F(3，﹣3)、G(2，﹣5)中，點A的“等距點”是　 ?。?br/>②若點B在直線y＝x+6上，且A、B兩點為“等距點”，則點B的坐標為　 　；
(2)直線l：y＝kx﹣3(k＞0)與x軸交于點C，與y軸交于點D．
①若T1(﹣1，t1)、T2(4，t2)是直線l上的兩點，且T1、T2為“等距點”，求k的值；
②當k＝1時，半徑為r的⊙O上存在一點M，線段CD上存在一點N，使得M、N兩點為“等距點”，直接寫出r的取值范圍．
【能力提升】
如圖，在平面直角坐標系中，已知點．
請在圖中作出經過點A、B、C三點的，并寫出圓心M的坐標；
，試判斷直線BD與的位置關系，并說明理由．
高中必備知識點2：點的軌跡
【典型例題】
如圖，點，將繞點旋轉得到.
(1)請在圖中畫出，并寫出點的坐標；
(2)求旋轉過程中點的軌跡長.
【變式訓練】
閱讀理解：在平面直角坐標系中，若兩點P、Q的坐標分別是P(x1，y1)、
Q(x2，y2)，則P、Q這兩點間的距離為|PQ|=．如P(1，2)，Q(3，4)，則|PQ|==2．
對于某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動點形成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．如平面內到線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線．
解決問題：如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx+交y軸于點A，點A關于x軸的對稱點為點B，過點B作直線l平行于x軸．
(1)到點A的距離等于線段AB長度的點的軌跡是　 ??；
(2)若動點C(x，y)滿足到直線l的距離等于線段CA的長度，求動點C軌跡的函數表達式；
問題拓展：(3)若(2)中的動點C的軌跡與直線y=kx+交于E、F兩點，分別過E、F作直線l的垂線，垂足分別是M、N，求證：①EF是△AMN外接圓的切線；②為定值．
【能力提升】
在數學上，我們把符合一定條件的動點所形成的圖形叫做滿足該條件的點的軌跡．例如：動點P的坐標滿足(m，m﹣1)，所有符合該條件的點組成的圖象在平面直角坐標系xOy中就是一次函數y=x﹣1的圖象．即點P的軌跡就是直線y=x﹣1．
(1)若m、n滿足等式mn﹣m=6，則(m，n﹣1)在平面直角坐標系xOy中的軌跡是　 ?。?br/>(2)若點P(x，y)到點A(0，1)的距離與到直線y=﹣1的距離相等，求點P的軌跡；
(3)若拋物線y=上有兩動點M、N滿足MN=a(a為常數，且a≥4)，設線段MN的中點為Q，求點Q到x軸的最短距離．
1．如圖，將⊙O沿弦折疊，恰好經過圓心O，若⊙O的半徑為6，則的長為( )
A． B．π C． D．
2．如圖，為的直徑，直線與相切于點，直線交于點、交于點，連接、，則下列結論錯誤的是( )
A．若，則平分； B．若平分，則；
C．若，則平分； D．若，則．
3．如圖，在中，點在優弧上，將弧沿折疊后剛好經過的中點．若的半徑為5，，則的長是( )
A． B． C． D．
4．如圖，已知，為上一點，以為半徑的圓經過點，且與、交于點、，設，，則(　　)
A．若，則弧的度數為
B．若，則弧的度數為
C．若，則弧的度數為
D．若，則弧的度數為
5．如圖，為的直徑，C為圓上一點，過點C的切線與直徑的延長線交于點D，若，則的度數為( )
A． B． C． D．
6．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC、BC相切于點E、F，與AB分別相交于點G、H，且EH的延長線與CB的延長線交于點D，則CD的長為(　　)
A．2﹣1 B．2 C．+1 D．
7．如圖，已知⊙O的半徑為10，A、B是⊙O上的兩點，∠AOB＝90°，C是射線OB上一個動點，連結AC并延長交⊙O于點D，過點D作DE⊥OD交OB的延長線于點E．當∠A從30°增大到60°時，弦AD在圓內掃過的面積是(　　)
A． B． C． D．
8．如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB為直徑作⊙O，將矩形ABCD繞點B旋轉，使所得矩形A'BC'D'的邊C'D'與⊙O相切，切點為E，邊A'B與⊙O相交于點F．若BF＝8，則CD長為(　　)
A．9 B．10 C．8 D．12
9．如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，半徑為2的與軸的負半軸交于點，點是 上一動點，點為弦的中點，直線與 軸、軸分別交于點，，則面積的最小值為( )
A．5 B．6 C． D．
10．如圖，內接于，其外角平分AD交于D，于M，則結論①②③④中正確的是( )
A．① B．①②③ C．③④ D．①②③④
11．如圖，在扇形中，，以點為圓心，長為半徑畫弧交于弧點，得扇形，若，則圖中陰影部分的面積為______．
12．如圖，△ABC內接于⊙O， E是邊BC的中點，連接OE并延長交⊙O于點D，連接CD，若∠BCD＝26°，則∠A＝__°．
13．如圖，在邊長為4的正方形中，以點為圓心，的長為半徑畫弧，再以為直徑畫半圓，若陰影部分的面積分別為，則________．
14．如圖，是的直徑，弦，，．則圖中陰影部分的面積為___________．
15．如圖，在扇形中，已知，，過的中點作，，垂足分別為、，則圖中陰影部分的面積為__________．
16．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD交AB于E，連接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，過E作弦GF⊥BC交圓于G、F兩點，連接CF、BG．則下列結論：
①CD⊥AB；②PC是⊙O的切線；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．其中正確的是___(只需填序號)
17．如圖，銳角內接于，于點H，直徑，交于點D，，連結，，已知圓的半徑為13，，則____，四邊形的面積為_______．
18．如圖，的弦、相交于點，為弧的中點，過點作的切線交的延長線于點，連接，若，的半徑為，，則________．
19．如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點，AC與BD交于點E．若E是BD的中點，則AC的長是_____．
20．如圖，已知的半徑為2，弦，點為優弧上動點，點為的內心，當點從點向點運動時，點移動的路徑長為______．
21．如圖，四邊形內接于，是直徑，，過點作交的延長線于點．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求的值．
22．我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．例如線段的最小覆蓋圓就是以線段為直徑的圓．銳角三角形的最小覆蓋圓是該三角形的外接圓．
(1)分別在圖1，圖2中作出的最小覆蓋圓．(要求尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；
(2)根據(1)中的作圖，鈍角三角形的最小覆蓋圓是______；
(3)某地要修建一個基站，服務四個村莊E、F、G、H(其位置如圖3所示)，為使信號可以覆蓋四個村莊，且基站所需發射功率最小(距離越小，所需功率越小)，此基站應建在何處？請說明理由．
23．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延長線上一點，且∠ODB＝∠AEC．
(1)求證：BD是⊙O的切線；
(2)若⊙O的半徑為5，sinA＝，求BH的長．
24．如圖，是的半徑，且，是半圓上一點，連接，作，過點作半圓的切線，交的延長線于點，切點為，連接．
(1)當∥時，求證：；
(2)當 度時，為菱形．
25．如圖，已知以為直徑的中，點，在的同側，點是的中點，連接，過點作于點，于點．
(1)求證：是的切線；
(2)已知，，求的長．
26．如圖，在四邊形中，，過三點的圓交邊于點E．
(1)求證：E是的中點；
(2)若，求證：．
27．如圖，點為上一點，點在直徑的延長線上，且．
(1)判斷直線和的位置關系，并說明理由．
(2)過點作的切線交直線于點，若，的半徑是3，求的正切值．
28．如圖，是的直徑，點在上(點不與，重合)，直線交過點的切線于點，過點作的切線交于點．
(1)求證：；
(2)若，求的值．
29．如圖，中，以為直徑的交于點D，．
(1)求證：為的切線；
(2)在上取點E，使，過點E作交于點F．若，求的值．
30．如圖，⊙O的直徑，點為弧上一點，連接、，點為劣弧上一點(點不與點、重合)，連接交、于點、．
(1)當時，的長度為______；
(2)當點為劣弧的中點，且∽時，求的度數；
(3)當，且為直角三角形時，求四邊形的面積(直接寫出結果)．
專題10圓
平面幾何中直線與圓的位置關系包含的知識點較多，方法靈活，抓住核心概念和基本方法即可，對定理的本質要理解，看到相關已知能夠聯想到需要的定理，常常先分析所求問題的路徑，找準方向，綜合運用條件加以突破.
直線與圓有三種位置關系：相離、相切和相交.相切和相交是代數與幾何研究的重點.
常用的結論包括：
1.切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
2.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.
3.相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等
4.切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項
5.割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等
《初中課程要求》 1、圓的基本性質 2、垂徑定理 3、點與圓的位置關系 4、點、直線與圓的位置關系 5、正多邊形與圓、弧長、扇形面積
《高中課程要求》 1、握圓的標準方程與一般方程 2、能判斷直線與圓、圓與圓的位置關系 3、能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題
高中必備知識點1：直線與圓的位置關系
設有直線和圓心為且半徑為的圓，怎樣判斷直線和圓的位置關系？
觀察圖3.3-1，不難發現直線與圓的位置關系為：當圓心到直線的距離時，直線和圓相離，如圓與直線；當圓心到直線的距離時，直線和圓相切，如圓與直線；當圓心到直線的距離時，直線和圓相交，如圓與直線.
在直線與圓相交時，設兩個交點分別為A、B.若直線經過圓心，則AB為直徑；若直線不經過圓心，如圖3.3-2，連結圓心和弦的中點的線段垂直于這條弦.且在中，為圓的半徑，為圓心到直線的距離，為弦長的一半，根據勾股定理，有.
當直線與圓相切時，如圖3.3-3，為圓的切線，可得，，且在中，.
如圖3.3-4，為圓的切線，為圓的割線，我們可以證得，因而.
高中必備知識點2：點的軌跡
在幾何中，點的軌跡就是點按照某個條件運動形成的圖形，它是符合某個條件的所有點組成的.例如，把長度為的線段的一個端點固定，另一個端點繞這個定點旋轉一周就得到一個圓，這個圓上的每一個點到定點的距離都等于；同時，到定點的距離等于的所有點都在這個圓上.這個圓就叫做到定點的距離等于定長的點的軌跡.
我們把符合某一條件的所有的點組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡.這里含有兩層意思：(1)圖形是由符合條件的那些點組成的，就是說，圖形上的任何一點都滿足條件；(2)圖形包含了符合條件的所有的點，就是說，符合條件的任何一點都在圖形上.
下面，我們討論一些常見的平面內的點的軌跡.
從上面對圓的討論，可以得出：
到定點的距離等于定長的點的軌跡是以定點為圓心，定長為半徑的圓.
我們學過，線段垂直平分線上的每一點，和線段兩個端點的距離相等；反過來，和線段兩個端點的距離相等的點，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：
和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分線.
由角平分線性質定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個軌跡：
到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線.
高中必備知識點1：直線與圓的位置關系
【典型例題】
在同一平面直角坐標系中有5個點：A(1，1)，B(﹣3，﹣1)，C(﹣3，1)，D(﹣2．﹣2)．
(1)畫出△ABC的外接圓⊙P，并指出點D與⊙P相的位置關系；
(2)E點是y軸上的一點，若直線DE與⊙P相切，求點E的坐標．
答案:(1)見解析，點D在⊙P上；(2)E(0，﹣3)．
解析：
(1)如圖所示：
△ABC外接圓的圓心為(﹣1，0)，點D在⊙P上；
(2)連接PD，
∵直線DE與⊙P相切，
∴PD⊥PE，
利用網格過點D做直線的DF⊥PD，則F(﹣6，0)，
設過點D，E的直線解析式為：y＝kx+b，
∵D(﹣2，﹣2)，F(﹣6，0)，
∴，
解得：，
∴直線DE解析式為：y＝﹣x﹣3，
∴x＝0時，y＝﹣3，
∴E(0，﹣3)．
【變式訓練】
在平面直角坐標系xOy中，對于P、Q兩點給出如下定義：若點P到x、y軸的距離中的最大值等于點Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P、Q兩點為“等距點”，如圖中的P、Q兩點即為“等距點”．
(1)已知點A的坐標為(﹣3，1)
①在點E(0，3)、F(3，﹣3)、G(2，﹣5)中，點A的“等距點”是　 ??；
②若點B在直線y＝x+6上，且A、B兩點為“等距點”，則點B的坐標為　 ?。?br/>(2)直線l：y＝kx﹣3(k＞0)與x軸交于點C，與y軸交于點D．
①若T1(﹣1，t1)、T2(4，t2)是直線l上的兩點，且T1、T2為“等距點”，求k的值；
②當k＝1時，半徑為r的⊙O上存在一點M，線段CD上存在一點N，使得M、N兩點為“等距點”，直接寫出r的取值范圍．
答案:(1)①E、F；②(﹣3，3)；(2)①k的值為1或2；②≤r≤3．
解析：
(1)①∵點A(﹣3，1)到x、y軸的距離中最大值為3，
∴與A點是“等距點”的點是E、F．
②點B在直線y＝x+6上，當點B坐標中到x、y軸距離其中至少有一個為3的點有(3，9)、(﹣3，3)、(﹣9，﹣3)，
這些點中與A符合“等距點”的是(﹣3，3)．
故答案為①E、F；②(﹣3，3)；
(2)∵T1(﹣1，t1)、T2(4，t2)是直線l上的兩點，
∴t1＝﹣k﹣3，t＝4k﹣3．
∵k＞0，
∴|﹣k﹣3|＝k+3＞3，4k﹣3＞﹣3．
依據“等距點”定義可得：
當﹣3＜4k﹣3＜4時，k+3＝4，解得k＝1；
當4k﹣3≥4時，k+3＝4k﹣3，解得k＝2．
綜上所述，k的值為1或2．
②∵k＝1，
∴y＝x﹣3與坐標軸交點C(0，﹣3)、D(3，0)，線段CD＝3．
N點在CD上，則N點到x、y軸的距離最大值中最小數為，
若半徑為r的⊙O上存在一點M與N是“等距點”，則r最小值為，
r的最大值為CD長度3．
所以r的取值范圍為≤r≤3．
故答案為E、F；(﹣3，3)
【能力提升】
如圖，在平面直角坐標系中，已知點．
請在圖中作出經過點A、B、C三點的，并寫出圓心M的坐標；
，試判斷直線BD與的位置關系，并說明理由．
答案:如圖所示見解析，圓心M的坐標為 直線BD與相切，理由見解析.
解析：
如圖所示，即為所求．
由圖知，圓心M的坐標為；
連接MB，DB，DM，
，
，
是直角三角形，
，
即，
直線BD與相切．
高中必備知識點2：點的軌跡
【典型例題】
如圖，點，將繞點旋轉得到.
(1)請在圖中畫出，并寫出點的坐標；
(2)求旋轉過程中點的軌跡長.
答案:(1)圖形見解析, ；(2)5π.
解析：
解：(1)如圖所示，即為所求出；；
(2)連接，
∵，
∴旋轉過程中點的軌跡長.
【變式訓練】
閱讀理解：在平面直角坐標系中，若兩點P、Q的坐標分別是P(x1，y1)、
Q(x2，y2)，則P、Q這兩點間的距離為|PQ|=．如P(1，2)，Q(3，4)，則|PQ|==2．
對于某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動點形成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．如平面內到線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線．
解決問題：如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx+交y軸于點A，點A關于x軸的對稱點為點B，過點B作直線l平行于x軸．
(1)到點A的距離等于線段AB長度的點的軌跡是　 ??；
(2)若動點C(x，y)滿足到直線l的距離等于線段CA的長度，求動點C軌跡的函數表達式；
問題拓展：(3)若(2)中的動點C的軌跡與直線y=kx+交于E、F兩點，分別過E、F作直線l的垂線，垂足分別是M、N，求證：①EF是△AMN外接圓的切線；②為定值．
答案:(1)x2+(y﹣)2=1；(2)動點C軌跡的函數表達式y=x2；(3)①證明見解析；②證明見解析.
解析：
(1)設到點A的距離等于線段AB長度的點D坐標為(x，y)，
∴AD2=x2+(y﹣)2，
∵直線y=kx+交y軸于點A，
∴A(0，)，
∵點A關于x軸的對稱點為點B，
∴B(0，﹣)，
∴AB=1，
∵點D到點A的距離等于線段AB長度，
∴x2+(y﹣)2=1，
故答案為：x2+(y﹣)2=1；
(2)∵過點B作直線l平行于x軸，
∴直線l的解析式為y=﹣，
∵C(x，y)，A(0，)，
∴AC2=x2+(y﹣)2，點C到直線l的距離為：(y+)，
∵動點C(x，y)滿足到直線l的距離等于線段CA的長度，
∴x2+(y﹣)2=(y+)2，
∴動點C軌跡的函數表達式y=x2；
(3)①如圖，
設點E(m，a)點F(n，b)，
∵動點C的軌跡與直線y=kx+交于E、F兩點，
∴，
∴x2﹣2kx﹣1=0，
∴m+n=2k，mn=﹣1，
∵過E、F作直線l的垂線，垂足分別是M、N，
∴M(m，﹣)，N(n，﹣)，
∵A(0，)，
∴AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=(m+n)2﹣2mn+2=4k2+4，
MN2=(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn=4k2+4，
∴AM2+AN2=MN2，
∴△AMN是直角三角形，MN為斜邊，
取MN的中點Q，
∴點Q是△AMN的外接圓的圓心，
∴Q(k，﹣)，
∵A(0，)，
∴直線AQ的解析式為y=﹣x+，
∵直線EF的解析式為y=kx+，
∴AQ⊥EF，
∴EF是△AMN外接圓的切線；
②∵點E(m，a)點F(n，b)在直線y=kx+上，
∴a=mk+，b=nk+，
∵ME，NF，EF是△AMN的外接圓的切線，
∴AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，
∴=2，
即：為定值，定值為2．
【能力提升】
在數學上，我們把符合一定條件的動點所形成的圖形叫做滿足該條件的點的軌跡．例如：動點P的坐標滿足(m，m﹣1)，所有符合該條件的點組成的圖象在平面直角坐標系xOy中就是一次函數y=x﹣1的圖象．即點P的軌跡就是直線y=x﹣1．
(1)若m、n滿足等式mn﹣m=6，則(m，n﹣1)在平面直角坐標系xOy中的軌跡是　 　；
(2)若點P(x，y)到點A(0，1)的距離與到直線y=﹣1的距離相等，求點P的軌跡；
(3)若拋物線y=上有兩動點M、N滿足MN=a(a為常數，且a≥4)，設線段MN的中點為Q，求點Q到x軸的最短距離．
答案:(1)；(2)y=x2；(3)點Q到x軸的最短距離為1．
解析：
(1)設m=x，n﹣1=y，
∵mn﹣m=6，
∴m(n﹣1)=6，
∴xy=6，
∴
∴(m，n﹣1)在平面直角坐標系xOy中的軌跡是
故答案為：；
(2)∴點P(x，y)到點A(0，1)，
∴點P(x，y)到點A(0，1)的距離的平方為x2+(y﹣1)2，
∵點P(x，y)到直線y=﹣1的距離的平方為(y+1)2，
∵點P(x，y)到點A(0，1)的距離與到直線y=﹣1的距離相等，
∴x2+(y﹣1)2=(y+1)2，
∴
(3)設直線MN的解析式為y=kx+b，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴線段MN的中點為Q的縱坐標為
∴
∴x2﹣4kx﹣4b=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，
∴
∴
∴
∴點Q到x軸的最短距離為1．
1．如圖，將⊙O沿弦折疊，恰好經過圓心O，若⊙O的半徑為6，則的長為( )
A． B．π C． D．
答案:A
連接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由題意得，OC=OA，
∴sin∠OAC==，
∴∠OAC=30°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，
∴，
故選A．
2．如圖，為的直徑，直線與相切于點，直線交于點、交于點，連接、，則下列結論錯誤的是( )
A．若，則平分； B．若平分，則；
C．若，則平分； D．若，則．
答案:D
解：A、∵AH∥OD，OD⊥HF，
∴∠CAD=∠ADO，
∵AO=OD，
∴∠HAD=∠DAO=∠ADO，
∴AD平分∠BAH，故正確，不合題意；
B、∵AD平分∠BAH，
∴∠HAD=∠DAO，
∵AO=DO，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠ADO=∠HAD，
∴AH∥OD，
∵OD⊥HF，
∴HA⊥HF，故正確，不合題意；
C、∵AH⊥EF，OD⊥EH，
∴AH∥OD，
由A得：AD平分∠BHA，故正確，不合題意；
D、由無法證明AH⊥EF，故錯誤，符合題意；
故選D．
3．如圖，在中，點在優弧上，將弧沿折疊后剛好經過的中點．若的半徑為5，，則的長是( )
A． B． C． D．
答案:A
解：連接AC、OB、OD、CD，作于點F，作于點E，
由垂徑定理可知于點D，
又
CA、CD所對的圓周角為、，且
，△CAD為等腰三角形
又四邊形ODFE為矩形且OD=DF=
四邊形ODFE為正方形
故△CFB為等腰三角形，
所對的圓心角為
故選A．
4．如圖，已知，為上一點，以為半徑的圓經過點，且與、交于點、，設，，則(　　)
A．若，則弧的度數為
B．若，則弧的度數為
C．若，則弧的度數為
D．若，則弧的度數為
答案:B
解：連接BD，
設的度數是x，
則∠DBC=x，
∵AC過O，
∴∠ABD=90°，
∵∠A=β，
∴∠ADB=90°-β，
∵∠C=α，∠ADB=∠C+∠DBC，
∴90°-β=α+x，
解得：x=180°-2(α+β)，
即的度數是180°-2(α+β)，
A．當α+β=80°時，
的度數是180°-160°=20°，故本選項不符合題意；
B．當α+β=80°時，
的度數是180°-160°=20°，故本選項符合題意；
C．當α-β=80°，即α=80°+β或β=α-80°，
的度數是180°-2(80°+β+β)=20°-4β或180°-(α+α-80°)=260°-2α，故本選項不符合題意；
D．當α-β=80°時，
的度數是20°-4β或260°-2α，故本選項不符合題意；
故選：B．
5．如圖，為的直徑，C為圓上一點，過點C的切線與直徑的延長線交于點D，若，則的度數為( )
A． B． C． D．
答案:C
解：如圖，連接OC，
∵CD為的切線，
∴OC⊥CD，
∴∠COD=90°-∠D=70°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=．
故選：C
6．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC、BC相切于點E、F，與AB分別相交于點G、H，且EH的延長線與CB的延長線交于點D，則CD的長為(　　)
A．2﹣1 B．2 C．+1 D．
答案:C
解：如右圖所示，連接OE、OF，
∵⊙O與AC、BC切于點E、F，
∴∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C＝90°，
∴四邊形CEOF是正方形，
∴OE∥BC，
又∵以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC、BC相切于點E、F，OE＝OF，
∴O在∠ACB的角平分線上，
∵AC＝BC，
∴O是AB中點，
∴AE＝CE，
又∵AC＝2，
∴AE＝CE＝1，
∴OE＝OF＝CE＝1，
∴OH＝1，
∵OE∥CD，
∴△OEH∽△BDH，
∴，
又∵AB＝，
∴OB＝，
∴，
∴BD＝﹣1，
∴CD＝2+BD＝+1，
故選：C．
7．如圖，已知⊙O的半徑為10，A、B是⊙O上的兩點，∠AOB＝90°，C是射線OB上一個動點，連結AC并延長交⊙O于點D，過點D作DE⊥OD交OB的延長線于點E．當∠A從30°增大到60°時，弦AD在圓內掃過的面積是(　　)
A． B． C． D．
答案:B
解：過點D作AO的垂線，交AO的延長線于F．
當時，
根據題意可知：∠DOF＝60°，∠AOD＝120°
∴DF＝OD sin60°＝10×＝5，
∴．
當∠A＝60°時，
過點D'作D'F'⊥OA于F'，連接OD'，
根據題意可知：∠D'OF'＝60°，D'F'=OD' sin60°=5，
，
∴．
故選：B．
8．如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB為直徑作⊙O，將矩形ABCD繞點B旋轉，使所得矩形A'BC'D'的邊C'D'與⊙O相切，切點為E，邊A'B與⊙O相交于點F．若BF＝8，則CD長為(　　)
A．9 B．10 C．8 D．12
答案:B
連接OE，延長EO交BF于點M，
∵C'D'與⊙O相切，
∴∠OEC′＝90°，
又矩形A'BC'D'中，A'B∥C'D'，
∴∠EMB＝90°，
∴BM＝FM，
∵矩形ABCD繞點B旋轉所得矩形為A′BC′D′，
∴∠C′＝∠C＝90°，AB＝CD，BC＝BC'＝8，
∴四邊形EMBC'為矩形，
∴ME＝8，
設OB＝OE＝x，則OM＝8﹣x，
∵OM2+BM2＝OB2，
∴(8﹣x)2+42＝x2，
解得x＝5，
∴AB＝CD＝10．
故選：B．
9．如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，半徑為2的與軸的負半軸交于點，點是 上一動點，點為弦的中點，直線與 軸、軸分別交于點，，則面積的最小值為( )
A．5 B．6 C． D．
答案:D
解：連接，如圖，
點為弦的中點，
，
，
點在以為直徑的圓上，
以為直徑作，過點作直線于，交于，
則上到直線上最短的距離是，
此時，即的面積最小，
當時，，則 ，
當時，，
解得，則，
，
，
∵的半徑為2，
∴，
，
由等積法可知：
∴
∴，
∴，
即的面積最小是，
故選：．
10．如圖，內接于，其外角平分AD交于D，于M，則結論①②③④中正確的是( )
A．① B．①②③ C．③④ D．①②③④
答案:B
解：過點D作DF⊥BE于F，
∵A、B、C、D四點共圓，
∴∠FAD=∠BCD，
∵外角平分線AD交⊙O于D，
∴∠FAD=∠DAC，
又∵∠DBC=∠DAC，
∴∠BCD=∠CBD，
∴①DB=DC，故此選項正確；
∵AD外角平分線，DF⊥BE，DM⊥AC于M，
∴DF=DM，
在△BFD≌△CMD中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△CMD，
∴BF=CM，
又∵AF=AM，
∴②AC+AB=AM+MC+BF-FA=AM+MC+MC-AM=2CM，故此選項正確；
∴③AC-AB=CM+AM-AB=CM+AM-CM+AF=CM+AM-CM+AM=2AM，故此選項正確；
S△ABD和S△ABC的大小無法判斷，④錯誤，
故選：B．
11．如圖，在扇形中，，以點為圓心，長為半徑畫弧交于弧點，得扇形，若，則圖中陰影部分的面積為______．
答案:
連接AC，過A作AE⊥BC于E
∵
∴△ABC是等邊三角形
∴，
=
∴陰影部分的面積為：
=
故答案為：
12．如圖，△ABC內接于⊙O， E是邊BC的中點，連接OE并延長交⊙O于點D，連接CD，若∠BCD＝26°，則∠A＝__°．
答案:52°
解：連結OB、OC，
∵∠BCD＝26°，
∴∠BOD=2∠BCD=2×26°=52°，
∵OB=OC，E是邊BC的中點，
∴OE⊥BC，∠BOE=∠COE=52°，
∴∠BOC=∠DOB+∠COD=52°+52°=104°，
∴∠A=．
故答案為：52°．
13．如圖，在邊長為4的正方形中，以點為圓心，的長為半徑畫弧，再以為直徑畫半圓，若陰影部分的面積分別為，則________．
答案:
由圖形可知，扇形ABD的面積+半圓BC的面積+陰影部分①的面積-正方形ABCD的面積=陰影部分②的面積，
∴S2-S1=扇形ABD的面積+半圓BC的面積-正方形ABCD的面積
=+π×22-42
=-16，
故答案為：-16．
14．如圖，是的直徑，弦，，．則圖中陰影部分的面積為___________．
答案:
解：設線段相交于點，
是的直徑，弦，
，，
與中，
故答案為：．
15．如圖，在扇形中，已知，，過的中點作，，垂足分別為、，則圖中陰影部分的面積為__________．
答案:
解：連接，
∵，
∴，
∵，為的中點，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
即，
∴，
故答案為：．
16．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD交AB于E，連接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，過E作弦GF⊥BC交圓于G、F兩點，連接CF、BG．則下列結論：
①CD⊥AB；②PC是⊙O的切線；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．其中正確的是___(只需填序號)
答案:①②④
連接BD、OC、AG，過O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，
∵OD＝OB，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝2∠OBD，
∵∠AOD＝2∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABD，
∴弧AC＝弧AD，
∵AB是直徑，
∴CD⊥AB，即①正確；
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠PCD＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC＝∠P，
∴∠PCD+∠OCD＝90°，
∴∠PCO＝90°，
∴PC是切線，即②正確；
假設OD∥GF，則∠AOD＝∠FEB＝2∠ABC，
∵，
∴，即3∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝30°，已知沒有給出∠ABC＝30°，即③錯誤；
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
∴弧CF＝弧AG，
∴AG＝CF，
∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，
∴CQ＝AG，OZ＝AG，BZ＝BG，
∴OZ＝CQ，
∵OC＝OB，∠OQC＝∠OZB＝90°，
∴△OCQ≌△BOZ(HL)，
∴OQ＝BZ＝BG，即④正確．
故答案為：①②④．
17．如圖，銳角內接于，于點H，直徑，交于點D，，連結，，已知圓的半徑為13，，則____，四邊形的面積為_______．
答案:7 255
解：作，垂足為，作，垂足為，連接OB，
∵直徑，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四邊形AHGE為平行四邊形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四邊形OGHF為矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
．
∴，
故答案為：7；255．
18．如圖，的弦、相交于點，為弧的中點，過點作的切線交的延長線于點，連接，若，的半徑為，，則________．
答案:
解：連接OC、OA、OD，OC與AF交于點H，如圖，
∵C為弧AB的中點，
∴OC⊥AB，AH=BH，
∵AC∥DF，
∴∠ACD=∠CDF，
∵OD是切線，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
∴∠ODC+∠CDF=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCE+∠CEA=∠OCE+∠FED=90°，
∴∠CDF=∠DEF=∠ACD=∠AEC，
∴AC=AE，
設AE=5λ，則BE=3λ，
∴AC=5λ，AB=8λ，
∴AH=4λ，HE=λ，
在Rt△ACH中，由勾股定理得CH=3λ，
∴OH=OC-CH=-3λ，
在Rt△HCE中，由勾股定理得CE2=HC2+HE2=9λ2+λ2=10λ2，
∴CE=λ，
在Rt△HOA中，由勾股定理得，
OA2=AH2+OH2，
即()2=(4λ)2+(-3λ)2，
解得λ=1，
∴CE=λ=，
故答案為：．
19．如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點，AC與BD交于點E．若E是BD的中點，則AC的長是_____．
答案:8
解：連接OD，交AC于F，
∵D是的中點，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB(AAS)，
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝8，
故答案為8．
20．如圖，已知的半徑為2，弦，點為優弧上動點，點為的內心，當點從點向點運動時，點移動的路徑長為______．
答案:
連接，，過作，
∴，
∵，
∴sin∠AOD=，
∴，
，
，
∴，
連接，，
∵點為的內心，
∴，，
∴，
∵點為優弧上動點，
∴始終等于，
∴點在以為弦，并且所對的圓周角為的一段劣弧上運動，
設，，三點所在的圓的圓心為，
連接，，則，
∵，
∴，
連接，
∵，
∴，
∴，
點移動的路徑長．
故答案為：
21．如圖，四邊形內接于，是直徑，，過點作交的延長線于點．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求的值．
答案:(1)見詳解；(2)+1
解：(1)連接OB，
∵AC是直徑，，
∴∠ABC=90°，即是等腰直角三角形，
∵AO=CO，
∴BO⊥AC，
又∵，
∴BO⊥BF，
∴是的切線；
(2)連接OD，
∵，
∴OA=OC=OB=，
∵∠ADC=90°，，
∴∠DOC=∠AOD=60°，
∵OD=OC，
∴是等邊三角形，
過點C作CM⊥BF于點M，則四邊形BMCO是正方形，
∴BM=CM=OB=，
∵AC∥BF，
∴∠F=∠ACD=60°，
∴在中，MF=CM÷tan60°=÷=1，
∴BF=BM+MF=+1．
22．我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．例如線段的最小覆蓋圓就是以線段為直徑的圓．銳角三角形的最小覆蓋圓是該三角形的外接圓．
(1)分別在圖1，圖2中作出的最小覆蓋圓．(要求尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；
(2)根據(1)中的作圖，鈍角三角形的最小覆蓋圓是______；
(3)某地要修建一個基站，服務四個村莊E、F、G、H(其位置如圖3所示)，為使信號可以覆蓋四個村莊，且基站所需發射功率最小(距離越小，所需功率越小)，此基站應建在何處？請說明理由．
答案:(1)作圖見解析；(2)以最長邊為直徑的圓；(3)建在的外心(外接圓的圓心)，見解析．
(1)作圖如下圖所示；
(2)以最長邊為直徑的圓；
理由：∵線段的最小覆蓋圓就是以線段為直徑的圓，
由于∠A為鈍角，因此∠A在圓內，
∴該圓為能完全覆蓋該鈍角三角形的最小圓．
(3)的外心(外接圓的圓心)
理由：如圖，的外接圓剛好覆蓋E，F，H三點，與直線交于點D，連接DH和ＤF
∵，
且，
∴，
∵∠HGF=50°+60°=110°，
∴．
∴點G在點E，D之間．
即點G被外接圓覆蓋，
此時該圓為能完全覆蓋該四邊形的最小圓．
因此，此基站應建在的外心處．
23．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延長線上一點，且∠ODB＝∠AEC．
(1)求證：BD是⊙O的切線；
(2)若⊙O的半徑為5，sinA＝，求BH的長．
答案:(1)證明見解析；(2)BH=．
(1)證明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切線；
(2)解：連接BE，如圖2所示：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半徑為5，sin∠BAE＝，
∴AB＝10，BE＝AB sin∠BAE＝，
∵，
∴，
∴sin∠CBE=sin∠A=，
∴，
設BH=5x，EH=3x，
在Rt△BEH 中，
，解得，x=，
∴BH=．
24．如圖，是的半徑，且，是半圓上一點，連接，作，過點作半圓的切線，交的延長線于點，切點為，連接．
(1)當∥時，求證：；
(2)當 度時，為菱形．
答案:(1)見解析；(2)60
(1)證明：延長CB交AP于點F，連接OB、OE，
∵AD⊥AO，AD∥BC，
∴CF⊥AP，
∵BE∥AP，CF⊥AP，
∴CB⊥BE，即∠CBE=90°，
∵CE是⊙O的切線，則∠OEP=90°=∠CBE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=AO=OE，
∵BE∥AP，
∴∠P=∠CEB，
在△CBE和△OEP中，
，
∴△CBE≌△OEP(AAS)，
∴CE=OP；
(2)解：∵ ABCD為菱形，
∴DA=AB=AO=OB，
∴△BAO為等邊三角形，
∴∠BAP等于60度時， ABCD為菱形，
故答案為：60．
25．如圖，已知以為直徑的中，點，在的同側，點是的中點，連接，過點作于點，于點．
(1)求證：是的切線；
(2)已知，，求的長．
答案:(1)證明見解析；(2)．
解：(1)如圖1，連接，
則，
由點是的中點得，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴是的的切線；
(2)如圖2，連接，，，
∵是的直徑，
∴，
依據勾股室理得，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形是的內接四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴．
26．如圖，在四邊形中，，過三點的圓交邊于點E．
(1)求證：E是的中點；
(2)若，求證：．
答案:(1)見解析；(2)見解析
證明：(1)連接，
，
為直徑，
，
，
，
是的中線，
是的中點．
(2)連接．
是的中點，
．
，
，
．
四邊形是圓的內接四邊形，
．
，
．
，
，
．
27．如圖，點為上一點，點在直徑的延長線上，且．
(1)判斷直線和的位置關系，并說明理由．
(2)過點作的切線交直線于點，若，的半徑是3，求的正切值．
答案:(1)相切，見解析；(2)
解：(1)直線與的位置關系是相切.
理由：連接，如圖所示：
∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
∴直線是的切線.
即：直線與的位置關系是相切；
(2)∵，的半徑是3，
∴，，
在中，由勾股定理得：.
∵切于，切于，
∴，，
設，
在中，有勾股定理得：，
則，
解得：，
即，
∴，
即：．
28．如圖，是的直徑，點在上(點不與，重合)，直線交過點的切線于點，過點作的切線交于點．
(1)求證：；
(2)若，求的值．
答案:(1)見解析；(2)
(1)證明：連接，如圖，
∵、為的切線，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)解：作于，如圖，設的半徑為，
∵，
∴，
∴四邊形為矩形，
而，
∴四邊形為正方形，
∴，則，
∴和都為等腰直角三角形，
∴，，
在中，，
在中，，
即的值為．
29．如圖，中，以為直徑的交于點D，．
(1)求證：為的切線；
(2)在上取點E，使，過點E作交于點F．若，求的值．
答案:(1)見解析；(2)．
解：(1)證明：
∵為直徑，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴為的切線．
(2)解：∵，
∴．
∵，
∴．
設，則．
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
30．如圖，⊙O的直徑，點為弧上一點，連接、，點為劣弧上一點(點不與點、重合)，連接交、于點、．
(1)當時，的長度為______；
(2)當點為劣弧的中點，且∽時，求的度數；
(3)當，且為直角三角形時，求四邊形的面積(直接寫出結果)．
答案:(1)；(2)18°；(3)或．
解:(1)如圖，過點作于點，
故答案為：；
(2)如圖，連接，
∵，
∴，
∵點為弧中點，
∴，，
∵，
∴，
在中，由外角定理①
(或在中，由外角定理)
在中，②
由①②解得；
(3)分兩種情況討論，
①當時，過點作于點，
；
②當時，連接，
同理得
綜上所述，四邊形AOEB的面積為或．

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