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導(dǎo)數(shù)雙極值點(diǎn)問題
——韋達(dá)定理消元法
題型一方法：
對于出現(xiàn)形式證明題型，需要表示導(dǎo)函數(shù)的韋達(dá)定理
用參數(shù)替換與的表示式，使得只含有參數(shù)的式子出現(xiàn)，并求出參數(shù)取值范圍
對含有參數(shù)的式子進(jìn)行證明
例1.已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若，求證：.
【解析】(1)由題意可知，，
當(dāng)時(shí)，，則在是單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，
若，即時(shí)，和時(shí)，時(shí)，，
綜上，時(shí)，在是單調(diào)遞增；時(shí)，
在和遞增，在遞減
(2)由題意可設(shè)，是的兩個(gè)根，則
（用分別表示出和）
，整理，得
，此時(shí)
設(shè)，求導(dǎo)得
恒成立，
在上單調(diào)遞減，
例2.已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
解析：由（1）知且是方程的兩根，不妨設(shè)，即．此時(shí)．
欲證不等式成立，只需證．
因?yàn)椋裕恍枳C．
令，
所以，區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以，即證．
練習(xí)1：已知函數(shù)(aR)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的解的情況分類討論得單調(diào)性；
（2）由（1）知，化簡，不等式化為，再由不妨設(shè)，轉(zhuǎn)化為只要證這個(gè)不等式可利用（1）中的結(jié)論證明．
【詳解】
（1），令
當(dāng)即時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)即或時(shí)，
① 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
② 當(dāng)時(shí)，令，
+ 0 - 0 +
遞增 極大值 遞減 極小值 遞增
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減.
（2）由（1）知時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，
且，不妨設(shè)，
要證即證，即，
設(shè)由（1）知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞減， .原式得證.
練習(xí)2：已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）對求導(dǎo)，切線斜率為，再求切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可寫出切線方程；
（2）由題意可得，是方程的兩個(gè)不等式的實(shí)根，等價(jià)于，是方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再利用單調(diào)性求最值即可求解.
【詳解】
（1）由題意知，因?yàn)椋?br/>所以，，
所以所求切線方程為，即；
（2）由（1）知，
因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)，
所以，是方程的兩個(gè)根，可得，，，
易得，所以
，
，，
，因?yàn)榭傻茫?br/>所以，在單調(diào)遞減，
，
所以在上單調(diào)遞減，，
從而的取值范圍為.
題型二方法：
1.方法對于出現(xiàn)形式證明題型，需要表示導(dǎo)函數(shù)的韋達(dá)定理
2.用韋達(dá)定理公式替換參數(shù)，并消元只含有或只含有的式子
3.判斷單調(diào)區(qū)間，求最值證明
例3.已知.
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)（），若恒成立，試求的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解.
（2）根據(jù)題意可得是方程的兩個(gè)不等正實(shí)根，利用韋達(dá)定理得，故，然后分離參數(shù)只需恒成立，，從而令，，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解.
【詳解】
（1）時(shí)，，
所以，
，得（舍）或，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
（2）由（1）得，
若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程的兩個(gè)不等正實(shí)根，
則，故，
要使恒成立，只需恒成立．即
因?yàn)椋?br/>，
設(shè)，，
，
，，即
所以，單調(diào)遞減，當(dāng)
由題意，要使恒成立，只需滿足，即
所以實(shí)數(shù)的取值范圍．
練習(xí)1.已知函數(shù).
（1）求曲線上一點(diǎn)處的切線的方程；
（2）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線的切線方程；（2）有條件可知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得，代入 后消元得到，再根據(jù)換元，構(gòu)造函數(shù)求最小值.
【詳解】
對求導(dǎo)得：，故切線斜率為，
因此切線方程為，即，
故切線的方程為；
（2）函數(shù)，定義域?yàn)椋?br/>，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以是方程的兩不等正根，
則有，
∴，故，
且有，
，
，
令，則，
，，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，，
所以，的最小值為.導(dǎo)數(shù)雙極值點(diǎn)問題
——韋達(dá)定理消元法
題型一方法：
對于出現(xiàn)形式證明題型，需要表示導(dǎo)函數(shù)的韋達(dá)定理
用參數(shù)替換與的表示式，使得只含有參數(shù)的式子出現(xiàn)，并求出參數(shù)取值范圍
對含有參數(shù)的式子進(jìn)行證明
例1.已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若，求證：.
例2.已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
練習(xí)1：已知函數(shù)(aR)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
練習(xí)2：已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求的取值范圍.
題型二方法：
1.方法對于出現(xiàn)形式證明題型，需要表示導(dǎo)函數(shù)的韋達(dá)定理
2.用韋達(dá)定理公式替換參數(shù)，并消元只含有或只含有的式子
3.判斷單調(diào)區(qū)間，求最值證明
例3.已知.
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)（），若恒成立，試求的取值范圍.
練習(xí)1.已知函數(shù).
（1）求曲線上一點(diǎn)處的切線的方程；
（2）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，求的最小值.

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