資源簡介

專題15集合的概念
1、通過實例，了解集合的含義
2、理解元素與集合的“屬于”關系
3、針對具體問題，能在自然語言、圖形語言的基礎上，用符號語言(列舉法、描述法)刻畫集合.
高中必備知識點1：集合的概念
(1)含義：一般地，我們把所研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)．
(2)集合相等：只要構成兩個集合的元素是一樣的，即這兩個集合中的元素完全相同，就稱這兩個集合相等．
[知識點撥]　集合中的元素必須滿足如下性質：
(1)確定性：指的是作為一個集合中的元素，必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素屬于或不屬于這個集合是確定的，要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的．
(3)無序性：集合中的元素是沒有順序的，比如集合{1,2,3}與{2,3,1}表示同一集合．
高中必備知識點2：元素與集合的關系
關系 概念 記法 讀法
屬于 如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A a∈A a屬于集合A
不屬于 如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A a A a不屬于集合A
[知識點撥]　符號“∈”和“ ”只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換．
高中必備知識點3：集合的表示法
(1)自然語言表示法：用文字語言形式來表示集合的方法．例如：小于3的實數組成的集合．
(2)字母表示法：用一個大寫拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小寫拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用數集的表示：
名稱 非負整數集 (自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*或N＋ Z Q R
(3)列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{　}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
(4)描述法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的
一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
高中必會題型1：集合與元素的含義
1．下列各對象的全體，可以構成集合的是___(填序號)
①高一數學課本中的難題； ②與1非常接近的全體實數；
②高一年級視力比較好的同學； ④高一年級中身高超過1.70米的同學
2．集合中元素的三大特征是________．
3．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)山東新坐標書業有限公司的優秀員工可以組成集合.(______)
(2)分別由元素0，1，2和2，0，1組成的兩個集合是相等的.(______)
(3)由－1，1，1組成的集合中有3個元素.(______)
4．下列每組對象能構成一個集合是________(填序號).
(1)某校2019年在校的所有高個子同學；
(2)不超過20的非負數；
(3)帥哥；
(4)平面直角坐標系內第一象限的一些點；
(5)的近似值的全體.
5．下列說法中能構成集合的是________(填序號)．
①2019年參加江蘇高考的所有學生；
②2019年江蘇高考數學試題中的所有難題；
③美麗的花；
④與無理數無限接近的數．
高中必會題型2：元素與集合的關系
1．用符號“”或“”填空
(1)______， ______， ______
(2)___________Q
(3)________
2．給定集合A，若對于任意，有且，則稱集合A為閉集合，給出如下四個結論：①集合為閉集合；②正整數集是閉集合；③無理數集是閉集合；④集合為閉集合.其中正確的是_________.(填序號)
3．集合A中的元素y滿足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，則t的值為________．
4．集合A中含有三個元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a＝________.
5．用適當的符號填空：
_____ ； 0 _____ ； ______ ； ______
高中必會題型3：集合中元素特性的簡單應用
1．已知，求實數的值.
2．設A是由一些實數構成的集合，若a∈A，則 ∈A，且1 A，
(1)若3∈A，求A.
(2)證明:若a∈A，則.
3．已知集合A中含有兩個元素a-3和2a-1.
(1)若-3是集合A中的元素，試求實數a的值；
(2)-5能否為集合A中的元素？若能，試求出該集合中的所有元素；若不能，請說明理由.
4．集合A中共有3個元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3個元素9，a－5，1－a，現知9∈A且集合B中再沒有其他元素屬于A，能否根據上述條件求出實數a的值？若能，則求出a的值，若不能，則說明理由．
5．已知，求的值．
高中必會題型4：列舉法表示集合
1．用列舉法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整數；
(2)；
(3)．
2．用列舉法表示下列集合：
(1)滿足－2≤x≤2且x∈Z的元素組成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解組成的集合M；
(3)方程組 的解組成的集合B；
(4)15的正約數組成的集合N.
3．用列舉法表示下列集合
(1)由大于3且小于10的所有整數組成的集合
(2)方程的所有實數解組成的集合
4．用列舉法表示方程的解集為______________.
5．已知P＝{a,b}，又P的所有子集組成集合Q，用列舉法表示Q，則Q＝_________.
高中必會題型5：描述法表示集合
1．用描述法表示下列集合：
(1)拋物線y＝x2﹣2x+2的點組成的集合；
(2)使有意義的實數x的集合．
2．用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整數的集合．
(2)坐標平面內第一象限內的點的集合．
(3)大于4的所有偶數．
3．用描述法表示下列集合
(1)小于10的所有有理數組成集合；
(2)所有奇數組成集合；
(3)平面內，到定點的距離等于定長的所有點組成集合.
4．用描述法表示圖中陰影部分的點構成的集合為________．
5．用描述法表示被4除余3的正整數集合：______．
高中必會題型6：集合表示的綜合問題
1．(1)用描述法表示下圖中陰影部分(含邊界)的點構成的集合；
(2)用列舉法表示集合A＝{x∈N|∈N}.
2．把下列集合用另一種方法表示出來：
(1)；
(2)；
3．若集合A={x∣}中只有一個元素，試求實數k的值，并用列舉法表示集合A.
4．已知集合為小于6的正整數}，為小于10的素數}，集合為24和36的正公因數}．
(1)試用列舉法表示集合且；
(2)試用列舉法表示集合且．
5．用適當的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理數組成的集合．
(2)24的正因數組成的集合．
(3)自然數的平方組成的集合．
(4)由0，1，2這三個數字抽出一部分或全部數字(沒有重復)所組成的自然數組成的集合．
1．若由a2，2019a組成的集合M中有兩個元素，則a的取值可以是( )
A．0 B．2019
C．1 D．0或2019
2．下面有四個語句:
①集合N*中最小的數是0;
②-a N，則a∈N;
③a∈N，b∈N，則a+b的最小值是2;
④x2+1=2x的解集中含有兩個元素.
其中說法正確的個數是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．，對任意的，總有( )
A． B． C． D．
4．若集合，，則下列結論正確的是( )
A． B． C． D．
5．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，則集合A中元素的個數是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．現有以下說法，其中正確的是
①接近于0的數的全體構成一個集合；
②正方體的全體構成一個集合；
③未來世界的高科技產品構成一個集合；
④不大于3的所有自然數構成一個集合．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
7．下列集合中不同于另外三個集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x﹣1＝0} C．{x＝1} D．{1}
8．下列說法中正確的是( )
A．班上愛好足球的同學，可以組成集合
B．方程x(x﹣2)2＝0的解集是{2，0，2}
C．集合{1，2，3，4}是有限集
D．集合{x|x2+5x+6＝0}與集合{x2+5x+6＝0}是含有相同元素的集合
9．設，集合，則等于( )
A． B．1 C． D．2
10．已知集合，，則a與集合A的關系是( )
A． B． C． D．
11．用表示集合A中的元素個數，若集合，，且.設實數的所有可能取值構成集合M，則=( )
A．3 B．2 C．1 D．4
12．已知集合A滿足條件:若a∈A,則∈A,那么集合A中所有元素的乘積為(　　)
A．-1 B．1 C．0 D．±1
13．，，，中共有__個元素．
14．已知集合A是由a﹣2，2a2+5a，12三個元素組成的，且﹣3∈A，求a=________.
15．用列舉法表示集合：______.
16．設a，，若集合，則_______.
17．用適當方法表示下列集合：
(1)從1，2，3這三個數字中抽出一部分或全部數字(沒有重復)所組成的自然數的集合；
(2)方程+|y﹣2|＝0的解集；
(3)由二次函數y＝3x2+1圖象上所有點組成的集合.
18．求數集中的元素應滿足的條件.
19．已知1∈{x|x2+px﹣3＝0}，求p的值與集合中的所有元素.
20．已知集合.
(1)若A是空集，求的取值范圍；
(2)若A中只有一個元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至多有一個元素，求的取值范圍
21．下列三個集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它們是不是相同的集合？
(2)它們各自的含義是什么？
22．已知集合A含有兩個元素a－3和2a－1，a∈R.
(1)若－3∈A，試求實數a的值；
(2)若a∈A，試求實數a的值．
專題15 集合的概念
1、通過實例，了解集合的含義
2、理解元素與集合的“屬于”關系
3、針對具體問題，能在自然語言、圖形語言的基礎上，用符號語言(列舉法、描述法)刻畫集合.
高中必備知識點1：集合的概念
(1)含義：一般地，我們把所研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)．
(2)集合相等：只要構成兩個集合的元素是一樣的，即這兩個集合中的元素完全相同，就稱這兩個集合相等．
[知識點撥]　集合中的元素必須滿足如下性質：
(1)確定性：指的是作為一個集合中的元素，必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素屬于或不屬于這個集合是確定的，要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的．
(3)無序性：集合中的元素是沒有順序的，比如集合{1,2,3}與{2,3,1}表示同一集合．
高中必備知識點2：元素與集合的關系
關系 概念 記法 讀法
屬于 如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A a∈A a屬于集合A
不屬于 如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A a A a不屬于集合A
[知識點撥]　符號“∈”和“ ”只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換．
高中必備知識點3：集合的表示法
(1)自然語言表示法：用文字語言形式來表示集合的方法．例如：小于3的實數組成的集合．
(2)字母表示法：用一個大寫拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小寫拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用數集的表示：
名稱 非負整數集 (自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*或N＋ Z Q R
(3)列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{　}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
(4)描述法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的
一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
高中必會題型1：集合與元素的含義
1．下列各對象的全體，可以構成集合的是___(填序號)
①高一數學課本中的難題； ②與1非常接近的全體實數；
②高一年級視力比較好的同學； ④高一年級中身高超過1.70米的同學
答案:④
因為①②③所表示的研究對象不能確定，所以不能構成集合，而④符合集合的概念.
故答案為：④
2．集合中元素的三大特征是________．
答案:確定性、互異性、無序性
一定范圍內，確定的、不同的對象組成的全體，稱為一個集合，組成集合的這些對象就是集合的元素，它具有確定性、互異性、無序性．
故答案為：確定性、互異性、無序性．
3．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)山東新坐標書業有限公司的優秀員工可以組成集合.(______)
(2)分別由元素0，1，2和2，0，1組成的兩個集合是相等的.(______)
(3)由－1，1，1組成的集合中有3個元素.(______)
答案:× √ ×
(1)因為“優秀”沒有明確的標準，其不滿足集合中元素的確定性，所以不能構成集合.
(2)根據集合相等的定義知，兩個集合相等.
(3)因為集合中的元素要滿足互異性，所以由－1，1，1組成的集合有2個元素－1，1.
故答案為：(1)×； (2)√； (3)×.
4．下列每組對象能構成一個集合是________(填序號).
(1)某校2019年在校的所有高個子同學；
(2)不超過20的非負數；
(3)帥哥；
(4)平面直角坐標系內第一象限的一些點；
(5)的近似值的全體.
答案:(2)
(1)“高個子”沒有明確的標準，因此(1)不能構成集合.
(2)任給一個實數，可以明確地判斷是不是“不超過20的非負數”，
故“不超過20的非負數”能構成集合；
(3)“帥哥”沒有一個明確的標準，因此不能構成集合；
(4)“一些點”無明確的標準，因此不能構成集合；
(5)“的近似值”不明確精確到什么程度，所以不能構成集合.
故答案為：(2)
5．下列說法中能構成集合的是________(填序號)．
①2019年參加江蘇高考的所有學生；
②2019年江蘇高考數學試題中的所有難題；
③美麗的花；
④與無理數無限接近的數．
答案:①
因為未規定“難”的標準，所以②不能構成集合；
同理“美麗”、“無限接近”都沒有規定標準，所以③④不能構成集合；
由于①中的對象具備確定性、互異性，所以①能構成集合．
故答案為：①
本題主要考查集合的概念，屬于簡單題.
高中必會題型2：元素與集合的關系
1．用符號“”或“”填空
(1)______， ______， ______
(2)___________Q
(3)________
答案:
(1)是自然數，則；不是自然數，則；是自然數，則；
(2)是有理數，則；不是有理數，則；
(3)
故答案為：(1)，，；(2)，；(3)．
2．給定集合A，若對于任意，有且，則稱集合A為閉集合，給出如下四個結論：①集合為閉集合；②正整數集是閉集合；③無理數集是閉集合；④集合為閉集合.其中正確的是_________.(填序號)
答案:④
①中取，則，故①不成立；
②中取，此時，不是正整數，故②不成立；
③中取，則，不是無理數，故③不成立；
④中取，則，故④成立.
故答案為：④
3．集合A中的元素y滿足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，則t的值為________．
答案:0或1
因為,所以y=0或y=1,
所以A={0,1}，又t∈A，得到t=0或1；
故答案為：0，1.
4．集合A中含有三個元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a＝________.
答案:2或4
若a＝2，則6－2＝4∈A；若a＝4，則6－4＝2∈A；若a＝6，則6－6＝0 A.
故a＝2或4.
故答案為：2或4
5．用適當的符號填空：
_____ ； 0 _____ ； ______ ； ______
答案: 或
； 0 ； 或 ；
故答案為： ，，或 ，
高中必會題型3：集合中元素特性的簡單應用
1．已知，求實數的值.
答案:
因為
所以或或
解得或
由集合元素的互異性可知且
所以，
2．設A是由一些實數構成的集合，若a∈A，則 ∈A，且1 A，
(1)若3∈A，求A.
(2)證明:若a∈A，則.
答案:(1);(2)證明見解析.
(1)因為3∈A，
所以，
所以，
所以，
所以.
(2)因為a∈A，
所以，
所以.
3．已知集合A中含有兩個元素a-3和2a-1.
(1)若-3是集合A中的元素，試求實數a的值；
(2)-5能否為集合A中的元素？若能，試求出該集合中的所有元素；若不能，請說明理由.
答案:(1)實數a的值為0或-1；(2)-5不能為集合A中的元素；答案見解析.
(1)因為-3是集合A中的元素，
所以-3=a-3或-3=2a-1.
解得或，
當a=0時，此時集合A含有兩個元素-3，-1，符合要求；
當a=-1時，此時集合A中含有兩個元素-4，-3，符合要求.
綜上所述，滿足題意的實數a的值為0或-1.
(2)若-5為集合A中的元素，則a-3=-5，或2a-1=-5.
當a-3=-5時，解得a=-2，此時2a-1=2×(-2)-1=-5，顯然不滿足集合中元素的互異性；
當2a-1=-5時，解得a=-2，此時a-3=-5，顯然不滿足集合中元素的互異性.
綜上，-5不能為集合A中的元素.
4．集合A中共有3個元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3個元素9，a－5，1－a，現知9∈A且集合B中再沒有其他元素屬于A，能否根據上述條件求出實數a的值？若能，則求出a的值，若不能，則說明理由．
答案:存在，a＝－3.
∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，
若2a－1＝9，則a＝5，此時A中的元素為－4，9，25；B中的元素為9，0，－4，
顯然－4∈A且－4∈B，與已知矛盾，故舍去．
若a2＝9，則a＝±3，當a＝3時，A中的元素為－4，5，9；B中的元素為9，－2，－2，
B中有兩個－2，與集合中元素的互異性矛盾，故舍去．
當a＝－3時，A中的元素為－4，－7，9；B中的元素為9，－8，4，符合題意．
綜上所述，滿足條件的a存在，且a＝－3.
5．已知，求的值．
答案:
由已知條件得：
若a＝0，則集合為{0，﹣1，﹣1}，不滿足集合元素的互異性，∴a≠0；
若a﹣1＝0，a＝1，則集合為{1，0，0}，顯然a≠1；
若a2﹣1＝0則a＝±1，由上面知a＝1不符合條件；a＝﹣1時，集合為{﹣1，﹣2，0}；
∴a＝﹣1．
高中必會題型4：列舉法表示集合
1．用列舉法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整數；
(2)；
(3)．
答案:(1)；(2)；(3)
解：用列舉法表示下列集合
(1)大于1且小于6的整數，；
(2)；所以
(3)，
由解得，，故表示為，
2．用列舉法表示下列集合：
(1)滿足－2≤x≤2且x∈Z的元素組成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解組成的集合M；
(3)方程組 的解組成的集合B；
(4)15的正約數組成的集合N.
答案:(1) {－2，－1,0,1,2}(2) M＝{2,3}(3) B＝{(x，y)|(3,2)} (4) N＝{1,3,5,15}
(1)，
，
；
(2)解方程
和是方程的根，
；
(3)解方程組得
；
(4)的正約數有四個數字，
．
3．用列舉法表示下列集合
(1)由大于3且小于10的所有整數組成的集合
(2)方程的所有實數解組成的集合
答案:(1)；(2).
(1)由大于3且小于10的所有整數組成的集合為；
(2)解方程得，
所以方程的所有實數解組成的集合為.
4．用列舉法表示方程的解集為______________.
答案:
由得或，
所以方程的解集為.
故答案為：
5．已知P＝{a,b}，又P的所有子集組成集合Q，用列舉法表示Q，則Q＝_________.
答案:{ ，{a}，{b}，{a，b}}
由P＝{a,b}的子集為： ，{a}，{b}，{a,b}；
即集合Q＝{ ，{a}，{b}，{a,b}}.
故答案為：{ ，{a}，{b}，{a，b}}
高中必會題型5：描述法表示集合
1．用描述法表示下列集合：
(1)拋物線y＝x2﹣2x+2的點組成的集合；
(2)使有意義的實數x的集合．
答案:(1)；(2)．
(1)拋物線y＝x2﹣2x+2的點組成的集合：
(2)使有意義的實數x的集合：．
2．用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整數的集合．
(2)坐標平面內第一象限內的點的集合．
(3)大于4的所有偶數．
答案:(1)；(2)；(3)．
(1)因為集合中的元素除以3余數為1，所以集合表示為：；
(2)第一象限內的點，其橫坐標、縱坐標均大于0，所以集合表示為：；
(3)大于4的所有偶數都是正整數，所以集合表示為：．
3．用描述法表示下列集合
(1)小于10的所有有理數組成集合；
(2)所有奇數組成集合；
(3)平面內，到定點的距離等于定長的所有點組成集合.
答案:(1)；(2)；(3).
(1)小于10的所有有理數組成集合；
(2)所有奇數組成集合；
(3)平面內，到定點的距離等于定長的所有點組成集合.
4．用描述法表示圖中陰影部分的點構成的集合為________．
答案:{(x，y)|0≤x≤2且0≤y≤1}
解析：
由題意得，圖中的陰影部分構成的集合是點集，則且.
故答案為且.
5．用描述法表示被4除余3的正整數集合：______．
答案:{x|x＝4n+3，n∈N}
設該數為x，則該數x滿足x＝4n+3，n∈N；
∴所求的正整數集合為{x|x＝4n+3，n∈N}．
故答案為：{x|x＝4n+3，n∈N}．
高中必會題型6：集合表示的綜合問題
1．(1)用描述法表示下圖中陰影部分(含邊界)的點構成的集合；
(2)用列舉法表示集合A＝{x∈N|∈N}.
答案:(1){(x，y)|－1≤x≤3，0≤y≤3}；(2)A＝{1，7，9}.
解：(1)陰影部分的點P(x，y)的橫坐標x的取值范圍為－1≤x≤3，縱坐標y的取值范圍為0≤y≤3.
故陰影部分的點構成的集合為{(x，y)|－1≤x≤3，0≤y≤3}.
(2)因為x∈N，∈N，當x＝1時，＝1；
當x＝7時，＝3；
當x＝9時，＝9.
所以A＝{1，7，9}.
2．把下列集合用另一種方法表示出來：
(1)；
(2)；
答案:(1){且}；(2).
(1)因為集合中的元素都是偶數，
所以{且}；
(2).
3．若集合A={x∣}中只有一個元素，試求實數k的值，并用列舉法表示集合A.
答案:實數k的值為0或1，當時，；當，
解：由集合A={x∣}中只有一個元素，
即方程只有一個解，
①當時，方程為，解得，即；
②當時，方程只有一個解，則，即，
即方程為，解得，即，
綜合①②可得：實數k的值為0或1，當時，；當，.
4．已知集合為小于6的正整數}，為小于10的素數}，集合為24和36的正公因數}．
(1)試用列舉法表示集合且；
(2)試用列舉法表示集合且．
答案:(1) ；(2).
由題意，，.
(1).
(2).且
5．用適當的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理數組成的集合．
(2)24的正因數組成的集合．
(3)自然數的平方組成的集合．
(4)由0，1，2這三個數字抽出一部分或全部數字(沒有重復)所組成的自然數組成的集合．
答案:(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析；(4)答案見解析．
(1)用描述法表示為{x|2(2)用列舉法表示為{1，2，3，4，6，8，12，24}．
(3)用描述法表示為{x|x=n2，n∈N}．
(4)用列舉法表示為{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．
1．若由a2，2019a組成的集合M中有兩個元素，則a的取值可以是( )
A．0 B．2019
C．1 D．0或2019
答案:C
若集合M中有兩個元素，則a2≠2 019a.即a≠0且a≠2 019.
故選：C.
2．下面有四個語句:
①集合N*中最小的數是0;
②-a N，則a∈N;
③a∈N，b∈N，則a+b的最小值是2;
④x2+1=2x的解集中含有兩個元素.
其中說法正確的個數是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案:A
因為N*是不含0的自然數，所以①錯誤;
取a=，則- N， N，所以②錯誤;
對于③，當a=b=0時，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③錯誤;
對于④，解集中只含有元素1，故④錯誤.
故選：A
3．，對任意的，總有( )
A． B． C． D．
答案:B
解：將代入得顯然成立，故
將代入不等式得，即 ，顯然成立，∴；
所以
故選：B.
4．若集合，，則下列結論正確的是( )
A． B． C． D．
答案:D
因為，所以中元素全是整數，因為，所以，
故選：D．
5．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，則集合A中元素的個數是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案:B
解析：
集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有兩個元素，(1,2)和(3,4)
故選B.
6．現有以下說法，其中正確的是
①接近于0的數的全體構成一個集合；
②正方體的全體構成一個集合；
③未來世界的高科技產品構成一個集合；
④不大于3的所有自然數構成一個集合．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
答案:D
在①中，接近于0的標準不明確，不滿足集合中元素的確定性，不能構成一個集合，故①錯誤；在②中，正方體的全體能構成一個集合，故②正確；在③中，未來世界的高科技產品不能構成一個集合，高科技的標準不明確，不滿足集合中元素的確定性，故③錯誤；在④中，不大于3的所有自然數能構成一個集合，故④正確．故選D．
7．下列集合中不同于另外三個集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x﹣1＝0} C．{x＝1} D．{1}
答案:C
通過觀察得到：A，B，D中的集合元素都是實數，而C中集合的元素不是實數，是等式x＝1；
∴C中的集合不同于另外3個集合．
故選：C
8．下列說法中正確的是( )
A．班上愛好足球的同學，可以組成集合
B．方程x(x﹣2)2＝0的解集是{2，0，2}
C．集合{1，2，3，4}是有限集
D．集合{x|x2+5x+6＝0}與集合{x2+5x+6＝0}是含有相同元素的集合
答案:C
班上愛好足球的同學是不確定的，所以構不成集合，選項A不正確；
方程x(x﹣2)2＝0的所有解的集合可表示為{2，0，2}，由集合中元素的互異性知，選項B不正確；
集合{1，2，3，4}中有4個元素，所以集合{1，2，3，4}是有限集，選項C正確；
集合{x2+5x+6＝0}是列舉法，表示一個方程的集合，{x|x2+5x+6＝0}表示的是方程的解集，是兩個不同的集合，選項D不正確．
故選：C．
9．設，集合，則等于( )
A． B．1 C． D．2
答案:D
兩個集合相等，則集合中的元素相同，
，所以，則，那么，和，
所以.
故選：D
10．已知集合，，則a與集合A的關系是( )
A． B． C． D．
答案:A
解：，，
，
，
故選：．
11．用表示集合A中的元素個數，若集合，，且.設實數的所有可能取值構成集合M，則=( )
A．3 B．2 C．1 D．4
答案:A
由題意，，，可得的值為1或3，
若，則僅有一根，必為0，此時a=0，則無根，符合題意
若，若僅有一根，必為0，此時a=0，則無根，不合題意，故有二根，一根是0，另一根是a，所以必僅有一根，所以，解得，此時的根為1或，符合題意，
綜上，實數a的所有可能取值構成集合，故．
故選：A．
12．已知集合A滿足條件:若a∈A,則∈A,那么集合A中所有元素的乘積為(　　)
A．-1 B．1 C．0 D．±1
答案:B
由題意，當時，，
令代入，則，
則，則，
即，所以，故選B.
13．，，，中共有__個元素．
答案:6
，，，，，，，，，
故集合中共有6個元素.
故答案為：6.
14．已知集合A是由a﹣2，2a2+5a，12三個元素組成的，且﹣3∈A，求a=________.
答案:
解：由﹣3∈A，可得﹣3=a﹣2，或﹣3=2a2+5a，
由﹣3=a﹣2，解得a=﹣1，經過驗證a=﹣1不滿足條件，舍去.
由﹣3=2a2+5a，解得a=﹣1或，經過驗證：a=﹣1不滿足條件，舍去.
∴a=.
故答案為：﹣.
15．用列舉法表示集合：______.
答案:
∵，，∴.此時，即.
16．設a，，若集合，則_______.
答案:2
由易知，
由兩個集合相等定義可知
若，得，經驗證，符合題意；
若，由于，則方程組無解
綜上可知，，，故.
故答案為：2
17．用適當方法表示下列集合：
(1)從1，2，3這三個數字中抽出一部分或全部數字(沒有重復)所組成的自然數的集合；
(2)方程+|y﹣2|＝0的解集；
(3)由二次函數y＝3x2+1圖象上所有點組成的集合.
答案:(1){1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；(2)；(3){(x，y)|y＝3x2+1，x∈R}.
解：(1)當從1，2，3這三個數字中抽出1個數字時，自然數為1，2，3；
當抽出2個數字時，可組成自然數12，21，13，31，23，32；
當抽出3個數字時，可組成自然數123，132，213，231，321，312.
由于元素個數有限，故用列舉法表示為
{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}.
(2)由算術平方根及絕對值的意義，可知：
，解得，
因此該方程的解集為{(﹣，2)}.
(3)首先此集合應是點集，是二次函數y＝3x2+1圖象上的所有點，
故用描述法可表示為{(x，y)|y＝3x2+1，x∈R}.
18．求數集中的元素應滿足的條件.
答案:
由于實數集合，則實數x滿足：且且，
解得，所以滿足的條件是.
19．已知1∈{x|x2+px﹣3＝0}，求p的值與集合中的所有元素.
答案:p＝2；集合中的所有元素為：﹣3，1.
解：∵x＝1是集合{x|x2+px﹣3＝0}中的元素，
∴當x＝1時，x2+px﹣3＝0，故p＝2；
當p＝2時，集合{x|x2+px﹣3＝0}＝{x|x2+2x﹣3＝0}＝{﹣3，1}.
綜上所述，p＝2，集合中的所有元素為：﹣3，1.
20．已知集合.
(1)若A是空集，求的取值范圍；
(2)若A中只有一個元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至多有一個元素，求的取值范圍
答案:(1)；(2)當時，；當時，；(3).
(1)若A是空集，則方程ax2﹣3x+2＝0無解此時 ＝9-8a＜0即a
所以的取值范圍為
(2)若A中只有一個元素
則方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一個實根
當a＝0時方程為一元一次方程，滿足條件
當a≠0，此時＝9﹣8a＝0，解得：a
∴a＝0或a
當時，；當時，
(3)若A中至多只有一個元素，則A為空集，或有且只有一個元素
由(1)，(2)得滿足條件的a的取值范圍是.
21．下列三個集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它們是不是相同的集合？
(2)它們各自的含義是什么？
答案:(1)它們是不相同的集合．(2)見解析
解析：
(1)它們是不相同的集合．
(2)集合①是函數y＝x2＋1的自變量x所允許的值組成的集合．因為x可以取任意實數，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函數y＝x2＋1的所有函數值y組成的集合．由二次函數圖像知y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③是函數y＝x2＋1圖像上所有點的坐標組成的集合．
22．已知集合A含有兩個元素a－3和2a－1，a∈R.
(1)若－3∈A，試求實數a的值；
(2)若a∈A，試求實數a的值．
答案:(1)0或－1； (2)1 .
(1)因為－3∈A，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，則a＝0.
此時集合A含有兩個元素－3，－1，符合題意．
若－3＝2a－1，則a＝－1.
此時集合A含有兩個元素－4，－3，符合題意．
綜上所述，滿足題意的實數a的值為0或－1.
(2)因為a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.
當a＝a－3時，有0＝－3，不成立；
當a＝2a－1時，有a＝1，此時A中有兩個元素－2,1，
符合題意．
綜上所述，滿足題意的實數a的值為1.

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