資源簡介

專題19 充分條件與必要條件
1.通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系
2.通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系，
3.通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學定義與充要條件的關(guān)系
高中必備知識點1：充分條件與必要條件
命題真假 “若p，則q”是真命題 “若p，則q”是假命題
推出關(guān)系 p q pq
條件關(guān)系 p是q的充分條件 q是p的必要條件 p不是q的不充分條件 q不是p的不必要條件
高中必備知識點2：充要條件
1．如果既有p q，又有q p，則p是q的充要條件，記為p q．
2．如果p q且q p，則p是q的既不充分也不必要條件．
3．如果p q且q p，則稱p是q的充分不必要條件．
4．如果p q且q p，則稱p是q的必要不充分條件．
5．設與命題p對應的集合為A＝{x|p(x)}，與命題q對應的集合為B＝{x|q(x)}，
若A B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；
若A＝B，則p是q的充要條件．
若A B，則p是q的充分不必要條件．q是p的必要不充分條件．
若A B，則p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．
6．p是q的充要條件是說，有了p成立，就一定有q成立．p不成立時，一定有q不成立．
高中必會題型1：充分條件與必要條件的判定
1．已知，，則是的_______________(充分條件”、“必要條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選擇一個填空)．
2．設，，則是的______________條件(用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空)
3．給出下列結(jié)論，其中，正確的結(jié)論是________.
①“p且q為真”是“p或q為真”的充分不必要條件
②“p且q為假”是“p或q為真”的充分不必要條件
③“p或q為真”是“非p為假”的必要不充分條件
④“非p為真”是“p且q為假”的必要不充分條件
4．“”是“”的___________條件.
5．“或”是“”成立的_____________條件.
高中必會題型2：充要條件的判斷
1．若，都是實數(shù)，試從①；②；③；④中選出適合的條件，用序號填空．
(1)“，都為0”的必要條件是______；
(2)“，都不為0”的充分條件是______；
(3)“，至少有一個為0”的充要條件是______．
2．不等式有實數(shù)解的充要條件是______．
3．已知a、b是實數(shù)，則“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的__________________條件．
4．下列所給的p，q中，p是q的充要條件的為________.(填序號)
①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
②p：|x|>3，q：x2>9.
5．設，則是成立的________條件；
高中必會題型3：充要條件的證明
1．已知都是非零實數(shù)，且，求證：的充要條件是.
2．已知的三條邊為，求證：是等邊三角形的充要條件是．
3．設均為實數(shù)，判斷“”是“方程有一個正實根和一個負實根”的什么條件.
4．求證：四邊形是平行四邊形的充要條件是四邊形的對角線與互相平分.
5．已知ab≠0，求證：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要條件.
(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))
1．“a+b是偶數(shù)”是“a和b都是偶數(shù)”的( )
A．充分條件
B．必要條件
C．既是充分條件也是必要條件
D．既不是充分條件也不是必要條件
2．設a∈R，則“a > 0"是“a2 > 0”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．設，則“且”是“且”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
4．“”是“”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的( )
A．必要條件 B．充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
6．若“-1A． B．
C． D．
7．在如圖電路中，條件p：開關(guān)A閉合，條件q：燈泡B亮，則p是q的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
8．若非空集合A，B，C滿足A∪B=C，且B不是A的子集，則( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分條件但不是必要條件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件
C．“x∈C”是“x∈A”的充分條件也是“x∈A”的必要條件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分條件也不是“x∈A”的必要條件
9．“t≥-2”是“對任意正實數(shù)x，都有t2-t≤x+恒成立”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
10．是成立的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
11．已知，，若p是q的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A． B． C． D．
12．若“”是“”的必要不充分條件，則a的取值范圍是( )
A． B． C． D．
13．設命題p：x＞4；命題q：x2﹣5x+4≥0，那么p是q的_______條件(選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).
14．若p：是q：的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為______．
15．“”是“”的_________________條件．
16．若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是___________.
17．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：x2≥2x+a，且q是p的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.
18．已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么：
(1)s是q的什么條件？
(2)r是q的什么條件？
(3)p是q的什么條件？
19．設命題，命題，若是的必要條件，但不是的充分條件，求實數(shù)的取值組成的集合.
20．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}(a＞0)，B＝{x|x2+3x﹣4≤0}.
(1)若a＝3，求A∪B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.
21．設集合，
(1)請寫出一個集合，使“”是“”的充分條件，但“”不是“”的必要條件；
(2)請寫出一個集合，使“”是“”的必要條件，但“”不是“”的充分條件．
22．已知命題“關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根”是假命題.
(1)求實數(shù)m的取值集合；
(2)設集合，若是的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.
專題19 充分條件與必要條件
1.通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系
2.通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系，
3.通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學定義與充要條件的關(guān)系
高中必備知識點1：充分條件與必要條件
命題真假 “若p，則q”是真命題 “若p，則q”是假命題
推出關(guān)系 p q pq
條件關(guān)系 p是q的充分條件 q是p的必要條件 p不是q的不充分條件 q不是p的不必要條件
高中必備知識點2：充要條件
1．如果既有p q，又有q p，則p是q的充要條件，記為p q．
2．如果p q且q p，則p是q的既不充分也不必要條件．
3．如果p q且q p，則稱p是q的充分不必要條件．
4．如果p q且q p，則稱p是q的必要不充分條件．
5．設與命題p對應的集合為A＝{x|p(x)}，與命題q對應的集合為B＝{x|q(x)}，
若A B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；
若A＝B，則p是q的充要條件．
若A B，則p是q的充分不必要條件．q是p的必要不充分條件．
若A B，則p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．
6．p是q的充要條件是說，有了p成立，就一定有q成立．p不成立時，一定有q不成立．
高中必會題型1：充分條件與必要條件的判定
1．已知，，則是的_______________(充分條件”、“必要條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選擇一個填空)．
答案:充分條件
設命題對應的集合為,
命題對應的集合為,
因為,所以命題是命題的充分條件.
故答案為：充分條件.
2．設，，則是的______________條件(用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空)
答案:充分非必要
A是B的真子集，故是的充分非必要條件
故答案為：充分非必要
3．給出下列結(jié)論，其中，正確的結(jié)論是________.
①“p且q為真”是“p或q為真”的充分不必要條件
②“p且q為假”是“p或q為真”的充分不必要條件
③“p或q為真”是“非p為假”的必要不充分條件
④“非p為真”是“p且q為假”的必要不充分條件
答案:①③
對于①，由p且q為真，得和都為真，
由p或q為真，得和至少有一個為真，
故“p且q為真”是“p或q為真”的充分不必要條件，因此①正確；
對于②，由p且q為假，得和至少有一個為假，
由p或q為真，得和至少有一個為真，
故“p且q為真”是“p或q為真”的即不充分不必要條件，因此②錯；
對于③，由p或q為真，得和至少有一個為真，
由非p為假，得為真，
故“p或q為真”是“非p為假”的必要不充分條件，因此③正確；
對于④，由非p為真，得p為假，
由p且q為假，得和至少有一個為假，
故“非p為真”是“p且q為假”的充分不必要條件，因此④錯.
故答案為：①③.
4．“”是“”的___________條件.
答案:充分不必要條件.
由不等式，解得，構(gòu)成集合
又由不等式，解得，得到，
可得集合是的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.
故答案為：充分不必要條件.
5．“或”是“”成立的_____________條件.
答案:必要不充分
，不能推出且，反過來，且能推出，所以是且的必要不充分條件，利用逆否關(guān)系的等價性可知或是的必要不充分條件.
故答案為：必要不充分
高中必會題型2：充要條件的判斷
1．若，都是實數(shù)，試從①；②；③；④中選出適合的條件，用序號填空．
(1)“，都為0”的必要條件是______；
(2)“，都不為0”的充分條件是______；
(3)“，至少有一個為0”的充要條件是______．
答案:①②③ ④ ①
①或，即，至少有一個為0；所以是“，都為0”的必要條件，也是“，至少有一個為0”的充要條件；
②，互為相反數(shù)，則，可能均為0，也可能為一正一負；
所以是“，都為0”的必要條件；
③或；所以是“，都為0”的必要條件；
④或，則，都不為0，所以是“，至少有一個為0”的充要條件.
故答案為(1). ①②③ (2). ④ (3). ①
2．不等式有實數(shù)解的充要條件是______．
答案:
解：因為，當且僅當時等號成立，
所以不等式有實數(shù)解的充要條件是．
故答案為：．
3．已知a、b是實數(shù)，則“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的__________________條件．
答案:充要
∵a>0，b>0，∴a＋b>0，ab>0，
∴“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的充分條件；
∵ab>0，∴a與b同號，
a＋b>0，∴a>0且b>0，
∴“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的必要條件．
故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要條件．
故答案為：充要
4．下列所給的p，q中，p是q的充要條件的為________.(填序號)
①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
②p：|x|>3，q：x2>9.
答案:①②
①若a2＋b2＝0，則a＝b＝0，即p q；
若a＝b＝0，則a2＋b2＝0，即q p，故p q，
所以p是q的充要條件.
②由于p：|x|>3 q：x2>9，所以p是q的充要條件.
故答案為：①②
5．設，則是成立的________條件；
答案:充要
故答案為充要
高中必會題型3：充要條件的證明
1．已知都是非零實數(shù)，且，求證：的充要條件是.
答案:見解析
(1)必要性：由，得，即，
又由，得，所以.
(2)充分性：由及，
得，即.
綜上所述，的充要條件是.
2．已知的三條邊為，求證：是等邊三角形的充要條件是．
答案:證明見解析
證明(充分性)
∵，∴
∴
(必要性)
∵，∴
∴
即，∴，得證．
3．設均為實數(shù)，判斷“”是“方程有一個正實根和一個負實根”的什么條件.
答案:充要條件
充分性：
因為，所以，即方程有兩個不相同的實根，
設兩根為，則，即一正一負，故充分性成立；
必要性：
因為“方程有一個正實根和一個負實根”成立，
所以，即，故必要性成立.
所以“”是“方程有一個正實根和一個負實根”的充要條件.
4．求證：四邊形是平行四邊形的充要條件是四邊形的對角線與互相平分.
答案:證明見解析
設對角線與的交點為.充分性：由對角線與互相平分得，又，所以，所以，，，所以四邊形是平行四邊形；必要性：由四邊形是平行四邊形得，，，所以所以，四邊形的對角線與互相平分；
所以四邊形是平行四邊形的充要條件是四邊形的對角線與互相平分.
5．已知ab≠0，求證：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要條件.
(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))
答案:證明見解析
設p：a3+b3+ab-a2-b2=0，q：a+b=1.
(1)充分性(p q)：
因為a3+b3+ab-a2-b2=0，所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0，
因為ab≠0，a2-ab+b2=+b2>0，
所以a+b-1=0，即a+b=1.
(2)必要性(q p)：
因為a+b=1，所以b=1-a，所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0，
綜上所述，a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
1．“a+b是偶數(shù)”是“a和b都是偶數(shù)”的( )
A．充分條件
B．必要條件
C．既是充分條件也是必要條件
D．既不是充分條件也不是必要條件
答案:B
因為當a+b為偶數(shù)時，a，b都可以為奇數(shù).
所以“a+b是偶數(shù)”不能推出 “a和b都是偶數(shù)”，
顯然“a和b都是偶數(shù)” “a+b是偶數(shù)”.
所以“a+b是偶數(shù)”是“a和b都是偶數(shù)”的必要條件.
故選：B
2．設a∈R，則“a > 0"是“a2 > 0”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案:A
解：當時，，
當時，或，
所以“a > 0"是“a2 > 0”的充分不必要條件，
故選：A
3．設，則“且”是“且”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
答案:A
若且，由不等式的同向可加性可得，由不等式的同向同正可乘性可得，所以“且”可以推出“且”，即充分性成立；
反之，若，，滿足且”，所以 “且”不可以推出“且”，即必要性不成立；
所以“且”是“且”的充分不必要條件.
故選：A.
4．“”是“”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案:A
由得，則；
若，，則，但不能推出；
因此“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
5．王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的( )
A．必要條件 B．充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
答案:A
由題意，“返回家鄉(xiāng)”可推出“攻破樓蘭”，但“攻破樓蘭”不一定“返回家鄉(xiāng)”，
所以“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要條件.
故選：A.
6．若“-1A． B．
C． D．
答案:B
不等式-1由題意得“所以，且，
所以，且等號不能同時成立，解得.
故選：B.
7．在如圖電路中，條件p：開關(guān)A閉合，條件q：燈泡B亮，則p是q的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案:A
若開關(guān)A閉合，則燈泡B亮，所以條件p可以推出條件q；
若燈泡B亮，則開關(guān)A閉合或開關(guān)C閉合，不能確定開關(guān)A閉合，條件q推不出條件p；
所以p是q的充分不必要條件.
故選：A.
8．若非空集合A，B，C滿足A∪B=C，且B不是A的子集，則( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分條件但不是必要條件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件
C．“x∈C”是“x∈A”的充分條件也是“x∈A”的必要條件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分條件也不是“x∈A”的必要條件
答案:B
因為B不是A的子集，所以集合中必含有元素不屬于，而即為或，
x∈A必有x∈C，但反之不一定成立，所以“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件.
故選：B．
9．“t≥-2”是“對任意正實數(shù)x，都有t2-t≤x+恒成立”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案:B
由于x+≥2，由題意知t2-t≤2，
解得-1≤t≤2.
所以“t≥-2”是“-1≤t≤2”的必要不充分條件.
故選：B
10．是成立的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案:A
充分性顯然成立，必要性可以舉反例：，，顯然必要性不成立.
故選：A
11．已知，，若p是q的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A． B． C． D．
答案:D
由是的必要條件，可得，解得
故選：D.
12．若“”是“”的必要不充分條件，則a的取值范圍是( )
A． B． C． D．
答案:C
由“”是“”的必要不充分條件知：是的真子集，可得知
故選：C
13．設命題p：x＞4；命題q：x2﹣5x+4≥0，那么p是q的_______條件(選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).
答案:充分不必要
命題q：x2﹣5x+4≥0 x≤1或x≥4，
∵命題p：x＞4；
故p是q的充分不必要條件，
故答案為：充分不必要
14．若p：是q：的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為______．
答案:
若是的必要不充分條件，則是的真子集，
則，解得；
當時，不成立，
故，
即實數(shù)的取值范圍是，
故答案為：.
15．“”是“”的_________________條件．
答案:充分不必要
充分性：若，則，故充分性成立；
必要性：若，當時，不成立，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故答案為：充分不必要.
16．若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是___________.
答案:
解不等式，解得，
解方程，解得或.
①當時，即當時，不等式即為，
該不等式的解集為，不合乎題意；
②當時，即當時，解不等式可得.
由于是的充分不必要條件，則 ，
可得，此時；
③當時，即當時，解不等式可得.
由于是的充分不必要條件，則 ,
可得，解得.
檢驗：當時，則有 ，合乎題意；
當時，則有 ，合乎題意.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
17．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：x2≥2x+a，且q是p的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.
答案:(﹣∞，﹣1].
由x2﹣4x+3≤0得(x﹣1)(x﹣3)≤0得1≤x≤3，
由x2≥2x+a得x2﹣2x≥a，
若q是p的必要條件，
即當1≤x≤3時，x2﹣2x≥a恒成立，
設f(x)＝x2﹣2x，則在[1，3]上為增函數(shù)，
則f(x)的最小值為f(1)＝1﹣2＝﹣1，
∴a≤﹣1，
即實數(shù)a的取值范圍是(﹣∞，﹣1].
18．已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么：
(1)s是q的什么條件？
(2)r是q的什么條件？
(3)p是q的什么條件？
答案:(1)充要條件；(2)充要條件；(3)必要條件.
都是的必要條件 ，
是的充分條件
是的充分條件
(1)因為q s，s r q，所以s是q的充分條件，同時s是q的必要條件
所以，s是q的充要條件；
(2)因為r q，q s r，所以r是q的充分條件，同時r是q的必要條件，
所以，r是q充要條件；
(3)因為q s r p，所以p是q的必要條件，
所以，p是q的必要條件.
19．設命題，命題，若是的必要條件，但不是的充分條件，求實數(shù)的取值組成的集合.
答案:．
由得或，∴，
由是的必要條件，但不是的充分條件得且，從而有BA，
∴或或，
當時，，∴；
當時，，無解；
當時，，無解；
綜上：實數(shù)a的取值組成的集合為．
20．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}(a＞0)，B＝{x|x2+3x﹣4≤0}.
(1)若a＝3，求A∪B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.
答案:(1)[﹣4，5]；(2)a≥6.
(1)當a＝3時，A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}＝[﹣1，5]，
B＝{x|x2+3x﹣4≤0}＝[﹣4，1]，
所以，A∪B＝[﹣4，5]
(2)A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}(a＞0)，B＝{x|x2+3x﹣4≤0}＝[﹣4，1]，
因為“x∈A”是“x∈B”的必要條件，
所以，
所以，所以a≥6.
所以，當a≥6時，“x∈A”是“x∈B”的必要條件.
21．設集合，
(1)請寫出一個集合，使“”是“”的充分條件，但“”不是“”的必要條件；
(2)請寫出一個集合，使“”是“”的必要條件，但“”不是“”的充分條件．
答案:(1)(答案不唯一)；(2)(答案不唯一)
(1)由于“”是“”的充分條件，但“”不是“”的必要條件，所以集合是集合的真子集，由此可得符合題意.
(2)由于于“”是“”的必要條件，但“”不是“”的充分條件，所以集合是集合的真子集，由此可知符合題意.
22．已知命題“關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根”是假命題.
(1)求實數(shù)m的取值集合；
(2)設集合，若是的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.
答案:(1)；(2).
(1)若關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根”是真命題，
則，即，
解得：或，
所以方程有兩個不相等的實數(shù)根”是假命題則，
所以，
(2)是的充分不必要條件，則 ，
則，解得，
經(jīng)檢驗時，，滿足 ，所以成立，
所以實數(shù)a的取值范圍是.

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