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專(zhuān)題02分解因式
因式分解是代數(shù)式的一種重要恒等變形，它是學(xué)習(xí)分式的基礎(chǔ)，又在代數(shù)式的運(yùn)算、解方程、函數(shù)中有廣泛的應(yīng)用，通過(guò)本專(zhuān)題的學(xué)習(xí)，不僅能使學(xué)生掌握因式分解的概念和原理，而且又為繼續(xù)學(xué)習(xí)因式分解做好了充分的準(zhǔn)備.
因此，它起到了初、高中承上啟下的作用.
分組分解法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用：分式的約分與通分、解一元二次方程、分式方程；在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用更加廣泛：如無(wú)理方程、特殊的高次方程，解一元二次不等式及三角函數(shù)式的恒等變形，不等式證明，因此，學(xué)好因式分解對(duì)于代數(shù)知識(shí)的后續(xù)學(xué)習(xí)，具有相當(dāng)重要的意義，代數(shù)方面在數(shù)學(xué)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明題中的應(yīng)用較多，在幾何學(xué)中同樣有應(yīng)用.
用十字相乘法分解因式，首先分解二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，然后交叉相乘再相加，看是否為一次項(xiàng)系數(shù)，還要注意避免出現(xiàn)以下兩種錯(cuò)誤：一是沒(méi)有認(rèn)真地驗(yàn)證交叉相乘的兩個(gè)積的和是否等于一次項(xiàng)系數(shù)；二是由十字相乘法寫(xiě)出的因式漏寫(xiě)字母.
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法．
《初中課程要求》 1、大大弱化了十字相乘法的 學(xué)習(xí).一般只接觸過(guò)二次 項(xiàng)系數(shù)為1的十字相乘法 2、初中重點(diǎn)學(xué)習(xí)了提取公因式法、公式法，針對(duì)ax2+bx+c(a≠0)的因式分解，只學(xué)習(xí)了二次項(xiàng)系數(shù)為1的因式分解
《高中課程要求》 1、有大量二次項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法，會(huì)拆分多項(xiàng)式，用十字相乘法因式分解 2、對(duì)于項(xiàng)數(shù)比較多的多項(xiàng)式，要綜合使用提取公因式法、分組分解法、十宇相乘法、公式法來(lái)進(jìn)行因式分解，還會(huì)接觸到拆項(xiàng)法、添項(xiàng)法等.針對(duì)ax2+bx+c(a≠0)的因式分解要用公式法或十字相乘法因式分解
高中必備知識(shí)點(diǎn)1：十字相乘法
要點(diǎn)一、十字相乘法
利用十字交叉線(xiàn)來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對(duì)于二次三項(xiàng)式，若存在 ，則.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)在對(duì)分解因式時(shí)，要先從常數(shù)項(xiàng)的正、負(fù)入手，若，
則同號(hào)(若，則異號(hào))，然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)再確定的符號(hào)；
(2)若中的為整數(shù)時(shí)，要先將分解成兩個(gè)整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個(gè)整數(shù)之和能否等于，直到湊對(duì)為止.
要點(diǎn)二、首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法
在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即
，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：
按斜線(xiàn)交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)分解思路為“看兩端，湊中間”
(2)二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)
里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.
高中必備知識(shí)點(diǎn)2：提取公因式法與分組分解法
1.提取公因式法：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的積的形，這種因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符號(hào)語(yǔ)言：
3.提公因式的步驟：
確定公因式 (2)提出公因式并確定另一個(gè)因式(依據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式)
4.注意事項(xiàng)：因式分解一定要徹底
高中必備知識(shí)點(diǎn)3：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解
若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、，則二次三項(xiàng)式就可分解為.
高中必備知識(shí)點(diǎn)1：十字相乘法
【典型例題】
閱讀與思考：將式子分解因式．
法一：整式乘法與因式分解是方向相反的變形.
由，；
分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，
所以.
解：.
法二：配方的思想.
.
請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問(wèn)題：
(1)用兩種方法分解因式：；
(2)任選一種方法分解因式：.
【變式訓(xùn)練】
閱讀材料題：在因式分解中，有一類(lèi)形如x2+(m+n)x+mn的多項(xiàng)式，其常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因數(shù)的積，而它的一次項(xiàng)系數(shù)恰是這兩個(gè)因數(shù)的和，則我們可以把它分解成x2+(m+n)x+mn＝(x+m)(x+n)．
例如：x2+5x+6＝x2+(2+3)x+2×3＝(x+2)(x+3)．
運(yùn)用上述方法分解因式：
(1)x2+6x+8；
(2)x2﹣x﹣6；
(3)x2﹣5xy+6y2；
(4)請(qǐng)你結(jié)合上述的方法，對(duì)多項(xiàng)式x3﹣2x2﹣3x進(jìn)行分解因式．
【能力提升】
由多項(xiàng)式的乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，將該式從右到左使用，即可得到用“十字相乘法”進(jìn)行因式分解的公式：
x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
實(shí)例　分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)嘗試　分解因式：x2＋6x＋8；
(2)應(yīng)用　請(qǐng)用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
高中必備知識(shí)點(diǎn)2：提取公因式法與分組分解法
【典型例題】
閱讀下列因式分解的過(guò)程，再回答所提出的問(wèn)題：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是 ，共應(yīng)用了 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，則需應(yīng)用上述方法 次，結(jié)果是 .
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n為正整數(shù)).
【變式訓(xùn)練】
因式分解：
(1)16a2﹣4b2
(2)x3﹣2x2+x
(3)(a2﹣2b)2﹣(1﹣2b)2
【能力提升】
分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)，求的值
高中必備知識(shí)點(diǎn)3：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解
【典型例題】
因式分解：
【變式訓(xùn)練】
分解因式：．
【能力提升】
閱讀材料：
對(duì)于多項(xiàng)式x2＋2ax＋a2可以直接用公式法分解為(x＋a)2的形式．但對(duì)于多項(xiàng)式x2＋2ax－3a2就不能直接用公式法了，我們可以根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，在x2＋2ax－3a2中先加上一項(xiàng)a2，再減去a2這項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變．
解題過(guò)程如下：
x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2(第一步)
＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2(第二步)
＝(x＋a)2－(2a)2(第三步)
＝(x＋3a)(x－a)．(第四步)
參照上述材料，回答下列問(wèn)題：
(1)上述因式分解的過(guò)程，從第二步到第三步，用到了哪種因式分解的方法(　　)
A．提公因式法 B．平方差公式法
C．完全平方公式法 D．沒(méi)有因式分解
(2)從第三步到第四步用到的是哪種因式分解的方法：__________；
(3)請(qǐng)你參照上述方法把m2－6mn＋8n2因式分解．
1．對(duì)于：
①；
②；
③；
④．
其中因式分解正確的是( )
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
2．代數(shù)式因式分解為(　　)
A． B．
C． D．
3．若多項(xiàng)式可因式分解為，其中、、均為整數(shù)，則的值是( )
A．1 B．7 C．11 D．13
4．下列因式分解正確的是( )
A． B．
C． D．
5．已知中，，若，，，且，則( )
A． B． C． D．
6．下列多項(xiàng)式中，在實(shí)數(shù)范圍不能分解因式的是( )
A． B． C． D．
7．如圖，中，，將沿方向平移個(gè)單位得(其中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是)，設(shè)交于點(diǎn)，若的面積比的大，則代數(shù)式的值為( )
A． B． C． D．
8．若，，則與的大小關(guān)系為( )
A． B． C． D．無(wú)法確定
9．如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘?cái)?shù)”，則下面哪個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”( )
A．56 B．60 C．62 D．88
10．某種產(chǎn)品的原料提價(jià)，因而廠(chǎng)家決定對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行提價(jià),現(xiàn)有種方案：①第一次提價(jià),第二次提價(jià)；②第一次提價(jià),第二次提價(jià)；③第一次、第二次提價(jià)均為.其中和是不相等的正數(shù).下列說(shuō)法正確的是( )
A．方案①提價(jià)最多 B．方案②提價(jià)最多
C．方案③提價(jià)最多 D．三種方案提價(jià)一樣多
11．若，，則代數(shù)式的值等于__．
12．若，，則________．
13．分解因式：__________．
14．邊長(zhǎng)為a，b的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為10，面積為5，則的值為_(kāi)____．
15．已知，，則代數(shù)式的值為_(kāi)_______________．
16．已知，則的值是_________
17．已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足：xy+yz+zx≠1，且=4．求的值為_(kāi)___．
18．已知，那么
______________．
19．通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積，可表示一些代數(shù)恒等式，如圖所示，我們可以得到恒等式：______．
20．=_______．
21．已知若干張正方形和長(zhǎng)方形硬紙片如圖1所示．
(1)若用1張邊長(zhǎng)為a的正方形，2張邊長(zhǎng)為b的正方形，3張邊長(zhǎng)分別為a和b的長(zhǎng)方形拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形(如圖2)．請(qǐng)用兩種不同的方法計(jì)算圖2長(zhǎng)方形的面積并根據(jù)你的計(jì)算結(jié)果可以得到怎樣的等式；
(2)請(qǐng)通過(guò)拼圖的方式畫(huà)出一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形示意圖，并寫(xiě)出其因式分解的結(jié)果；
(3)在(2)的條件下，若拼成的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為66，圖1中小長(zhǎng)方形的面積為24，則拼成的長(zhǎng)方形面積是多少？
22．若一個(gè)正整數(shù)a可以表示為，其中b為大于2的正整數(shù)，則稱(chēng)a為“十字?jǐn)?shù)”，b為a的“十字點(diǎn)”．例如．
(1)“十字點(diǎn)”為7的“十字?jǐn)?shù)”為 ；130的“十字點(diǎn)”為 ；
(2)若b是a的“十字點(diǎn)”，且a能被整除，其中b為大于2的正整數(shù)，求a的值；
(3)m的“十字點(diǎn)”為p，n的“十字點(diǎn)”為q，當(dāng)時(shí)，求的值．
23．發(fā)現(xiàn)與探索：
(1)根據(jù)小明的解答將下列各式因式分解
小明的解答：
①
②
③
(2)根據(jù)小麗的思考解決下列問(wèn)題：
小麗的思考：代數(shù)式無(wú)論取何值都大于等于0，再加上4，則代數(shù)式大于等于4，則有最小值為4．
①說(shuō)明：代數(shù)式的最小值為．
②請(qǐng)仿照小麗的思考解釋代數(shù)式的最大值為8，并求代數(shù)式的最大值．
24．把下列多項(xiàng)式分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
25．如圖，將一張矩形紙板按圖中虛線(xiàn)裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為m的大正方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為n的小正方形，五塊是長(zhǎng)為m，寬為n的全等小矩形，且．(以上長(zhǎng)度單位：cm)
(1)觀(guān)察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解，請(qǐng)寫(xiě)出因式分解的結(jié)果；
(2)若每塊小矩形的面積為，四個(gè)正方形的面積和為，試求圖中所有裁剪線(xiàn)(虛線(xiàn)部分)長(zhǎng)之和．
26．因式分解：
(1)
(2)
27．因式分解：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)
28．分解因式：
(1)
(2)
(3)
29．用因式分解法解一元二次方程x2﹣5x＝6，下列是排亂的解題過(guò)程：
①x＋1＝0或x﹣6＝0，②x2﹣5x﹣6＝0，③x1＝﹣1，x2＝6，④(x＋1)(x﹣6)＝0
(1)解題步驟正確的順序是　 　；
(2)請(qǐng)用因式分解法解方程：(x＋3)(x﹣1)＝12
30．先化簡(jiǎn)，再求值：(1﹣)，其中x＝﹣3．
專(zhuān)題02分解因式
因式分解是代數(shù)式的一種重要恒等變形，它是學(xué)習(xí)分式的基礎(chǔ)，又在代數(shù)式的運(yùn)算、解方程、函數(shù)中有廣泛的應(yīng)用，通過(guò)本專(zhuān)題的學(xué)習(xí)，不僅能使學(xué)生掌握因式分解的概念和原理，而且又為繼續(xù)學(xué)習(xí)因式分解做好了充分的準(zhǔn)備.
因此，它起到了初、高中承上啟下的作用.
分組分解法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用：分式的約分與通分、解一元二次方程、分式方程；在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用更加廣泛：如無(wú)理方程、特殊的高次方程，解一元二次不等式及三角函數(shù)式的恒等變形，不等式證明，因此，學(xué)好因式分解對(duì)于代數(shù)知識(shí)的后續(xù)學(xué)習(xí)，具有相當(dāng)重要的意義，代數(shù)方面在數(shù)學(xué)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明題中的應(yīng)用較多，在幾何學(xué)中同樣有應(yīng)用.
用十字相乘法分解因式，首先分解二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，然后交叉相乘再相加，看是否為一次項(xiàng)系數(shù)，還要注意避免出現(xiàn)以下兩種錯(cuò)誤：一是沒(méi)有認(rèn)真地驗(yàn)證交叉相乘的兩個(gè)積的和是否等于一次項(xiàng)系數(shù)；二是由十字相乘法寫(xiě)出的因式漏寫(xiě)字母.
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法．
《初中課程要求》 1、大大弱化了十字相乘法的 學(xué)習(xí).一般只接觸過(guò)二次 項(xiàng)系數(shù)為1的十字相乘法 2、初中重點(diǎn)學(xué)習(xí)了提取公因式法、公式法，針對(duì)ax2+bx+c(a≠0)的因式分解，只學(xué)習(xí)了二次項(xiàng)系數(shù)為1的因式分解
《高中課程要求》 1、有大量二次項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法，會(huì)拆分多項(xiàng)式，用十字相乘法因式分解 2、對(duì)于項(xiàng)數(shù)比較多的多項(xiàng)式，要綜合使用提取公因式法、分組分解法、十宇相乘法、公式法來(lái)進(jìn)行因式分解，還會(huì)接觸到拆項(xiàng)法、添項(xiàng)法等.針對(duì)ax2+bx+c(a≠0)的因式分解要用公式法或十字相乘法因式分解
高中必備知識(shí)點(diǎn)1：十字相乘法
要點(diǎn)一、十字相乘法
利用十字交叉線(xiàn)來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對(duì)于二次三項(xiàng)式，若存在 ，則.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)在對(duì)分解因式時(shí)，要先從常數(shù)項(xiàng)的正、負(fù)入手，若，
則同號(hào)(若，則異號(hào))，然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)再確定的符號(hào)；
(2)若中的為整數(shù)時(shí)，要先將分解成兩個(gè)整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個(gè)整數(shù)之和能否等于，直到湊對(duì)為止.
要點(diǎn)二、首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法
在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即
，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：
按斜線(xiàn)交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)分解思路為“看兩端，湊中間”
(2)二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)
里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.
高中必備知識(shí)點(diǎn)2：提取公因式法與分組分解法
1.提取公因式法：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的積的形，這種因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符號(hào)語(yǔ)言：
3.提公因式的步驟：
確定公因式 (2)提出公因式并確定另一個(gè)因式(依據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式)
4.注意事項(xiàng)：因式分解一定要徹底
高中必備知識(shí)點(diǎn)3：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解
若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、，則二次三項(xiàng)式就可分解為.
高中必備知識(shí)點(diǎn)1：十字相乘法
【典型例題】
閱讀與思考：將式子分解因式．
法一：整式乘法與因式分解是方向相反的變形.
由，；
分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，
所以.
解：.
法二：配方的思想.
.
請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問(wèn)題：
(1)用兩種方法分解因式：；
(2)任選一種方法分解因式：.
答案:(1)；(2)
解析：
(1)法一：
,
法二：
,
(2)
.
或
.
【變式訓(xùn)練】
閱讀材料題：在因式分解中，有一類(lèi)形如x2+(m+n)x+mn的多項(xiàng)式，其常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因數(shù)的積，而它的一次項(xiàng)系數(shù)恰是這兩個(gè)因數(shù)的和，則我們可以把它分解成x2+(m+n)x+mn＝(x+m)(x+n)．
例如：x2+5x+6＝x2+(2+3)x+2×3＝(x+2)(x+3)．
運(yùn)用上述方法分解因式：
(1)x2+6x+8；
(2)x2﹣x﹣6；
(3)x2﹣5xy+6y2；
(4)請(qǐng)你結(jié)合上述的方法，對(duì)多項(xiàng)式x3﹣2x2﹣3x進(jìn)行分解因式．
答案:(1)(2)；(3)(4).
解析：
解：；
；
；
．
故答案為：(1)(2)；(3)(4).
【能力提升】
由多項(xiàng)式的乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，將該式從右到左使用，即可得到用“十字相乘法”進(jìn)行因式分解的公式：
x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
實(shí)例　分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)嘗試　分解因式：x2＋6x＋8；
(2)應(yīng)用　請(qǐng)用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
答案:(1) (x+2)(x＋4)；(2) x＝4或x＝－1.
解析：
(1)原式=(x+2)(x＋4)；　
(2)x2－3x－4＝(x－4)(x＋1)＝0，所以x－4＝0或x＋1＝0，即x＝4或x＝－1.
高中必備知識(shí)點(diǎn)2：提取公因式法與分組分解法
【典型例題】
閱讀下列因式分解的過(guò)程，再回答所提出的問(wèn)題：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是 ，共應(yīng)用了 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，則需應(yīng)用上述方法 次，結(jié)果是 .
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n為正整數(shù)).
答案:(1)提公因式，兩次；(2)2004次，(x＋1)；(3) (x＋1)
解析：
(1)上述分解因式的方法是：提公因式法，共應(yīng)用了2次．
故答案為：提公因式法，2次；
(2)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，
=(1+x)[1+x+x(1+x)+…+ x(x+1)2003]

=
=(1+x)2005，
故分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，，則需應(yīng)用上述方法2004次，結(jié)果是：(x+1)2005．
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2…+x(x+1)n(n為正整數(shù))的結(jié)果是：(x+1)n+1．
故答案為：(x+1)n+1．
【變式訓(xùn)練】
因式分解：
(1)16a2﹣4b2
(2)x3﹣2x2+x
(3)(a2﹣2b)2﹣(1﹣2b)2
答案:(1)4(2a+b)(2a﹣b)；(2)x(x﹣1)2；(3)(a2﹣4b+1)(a+1)(a﹣1)．
解析：
解：(1)原式＝4(4a2﹣b2)
＝4(2a+b)(2a﹣b)；
(2)x3﹣2x2+x
＝x(x2﹣2x+1)
＝x(x﹣1)2；
(3)(a2﹣2b)2﹣(1﹣2b)2
＝(a2﹣2b+1﹣2b)(a2﹣2b﹣1+2b)
＝(a2﹣4b+1)(a+1)(a﹣1)．
【能力提升】
分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)，求的值
答案:(1)-2b(2a+4b-5)；(2)(n-m)(2n-m)；(3)3y(a-b)[5a-5b+1]；(4)6(n-m)2(m-n-2)；(5)0
解析：
(1) = -2b(2a+4b-5)；
(2)=(n-m)(2n-m)；
(3)
(4)
(5)
高中必備知識(shí)點(diǎn)3：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解
【典型例題】
因式分解：
答案:
解析：
解：原式

【變式訓(xùn)練】
分解因式：．
答案:(x2-x+3)(x+1)(x-2)．
解析：
原式=(x2-x+3)(x2-x-2)
=(x2-x+3)(x+1)(x-2)．
【能力提升】
閱讀材料：
對(duì)于多項(xiàng)式x2＋2ax＋a2可以直接用公式法分解為(x＋a)2的形式．但對(duì)于多項(xiàng)式x2＋2ax－3a2就不能直接用公式法了，我們可以根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，在x2＋2ax－3a2中先加上一項(xiàng)a2，再減去a2這項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變．
解題過(guò)程如下：
x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2(第一步)
＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2(第二步)
＝(x＋a)2－(2a)2(第三步)
＝(x＋3a)(x－a)．(第四步)
參照上述材料，回答下列問(wèn)題：
(1)上述因式分解的過(guò)程，從第二步到第三步，用到了哪種因式分解的方法(　　)
A．提公因式法 B．平方差公式法
C．完全平方公式法 D．沒(méi)有因式分解
(2)從第三步到第四步用到的是哪種因式分解的方法：__________；
(3)請(qǐng)你參照上述方法把m2－6mn＋8n2因式分解．
答案:(1)C；(2)平方差公式法；(3)(m－2n)(m－4n)．
解析：
(1)C；
(2)平方差公式法；
(3)m2－6mn＋8n2
＝m2－6mn＋8n2＋n2－n2
＝m2－6mn＋9n2－n2
＝(m－3n)2－n2
＝(m－2n)(m－4n)．
1．對(duì)于：
①；
②；
③；
④．
其中因式分解正確的是( )
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
答案:D
解：①，此項(xiàng)錯(cuò)誤；
②，此項(xiàng)正確；
③，此項(xiàng)錯(cuò)誤；
④，此項(xiàng)正確．
故選D．
2．代數(shù)式因式分解為(　　)
A． B．
C． D．
答案:A
解：．
故選：A．
3．若多項(xiàng)式可因式分解為，其中、、均為整數(shù)，則的值是( )
A．1 B．7 C．11 D．13
答案:B
解：因?yàn)?x2+17x-12=(x+4)(5x-3)=(x+a)(bx+c)，
所以a=4，b=5，c=-3，
所以a-c=4-(-3)=7，
故選：B．
4．下列因式分解正確的是( )
A． B．
C． D．
答案:C
解：A．，該選項(xiàng)分解錯(cuò)誤，故不符合題意；
B．，該選項(xiàng)分解錯(cuò)誤，故不符合題意；
C．，該選項(xiàng)分解正確，故符合題意；
D．，該選項(xiàng)分解錯(cuò)誤，故不符合題意；
故選：C．
5．已知中，，若，，，且，則( )
A． B． C． D．
答案:B
∵a2﹣ab﹣2b2＝0，
∴(a﹣2b)(a+b)＝0，
∴a＝2b，或a＝﹣b(不符合題意)，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2+b2＝4b2+b2＝5b2，
∴c＝b，
∴a：b：c＝2b：b：b＝2：1：．
故選：B．
6．下列多項(xiàng)式中，在實(shí)數(shù)范圍不能分解因式的是( )
A． B． C． D．
答案:A
解：A．原式不能分解，符合題意；
B．原式，不符合題意；
C．原式，不符合題意；
D．原式，不符合題意；
故選：A．
7．如圖，中，，將沿方向平移個(gè)單位得(其中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是)，設(shè)交于點(diǎn)，若的面積比的大，則代數(shù)式的值為( )
A． B． C． D．
答案:B
∵，
∴，
由平移可知，AD=b，
∴，
∵的面積比的大，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故選B.
8．若，，則與的大小關(guān)系為( )
A． B． C． D．無(wú)法確定
答案:A
∵，，
∴
=
=
=＞＞0，
∴．
故選A．
9．如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘?cái)?shù)”，則下面哪個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”( )
A．56 B．60 C．62 D．88
答案:B
解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別2m、2m+2(m為自然數(shù))，
∴“神秘?cái)?shù)”=(2m+2)2-(2m)2=(2m+2+2m)(2m+2-2m)=4(2m+1)，
A、若4(2m+1)=56，解得m=，錯(cuò)誤；
B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正確；
C、若4(2m+1)=62，解得m=，錯(cuò)誤；
D、若4(2m+1)=88，解得m=，錯(cuò)誤；
故選：B．
10．某種產(chǎn)品的原料提價(jià)，因而廠(chǎng)家決定對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行提價(jià),現(xiàn)有種方案：①第一次提價(jià),第二次提價(jià)；②第一次提價(jià),第二次提價(jià)；③第一次、第二次提價(jià)均為.其中和是不相等的正數(shù).下列說(shuō)法正確的是( )
A．方案①提價(jià)最多 B．方案②提價(jià)最多
C．方案③提價(jià)最多 D．三種方案提價(jià)一樣多
答案:C
解：設(shè)，，則提價(jià)后三種方案的價(jià)格分別為：
方案①:；
方案②:；
方案③:，
方案③比方案①提價(jià)多：
，
和是不相等的正數(shù)，
，
，
方案③提價(jià)最多．
故選：C．
11．若，，則代數(shù)式的值等于__．
答案:-3
解：∵ab=3，a+b=-1，
a2b+ab2=ab(a+b)
=3×(-1)
=-3．
故答案為：-3．
12．若，，則________．
答案:4
解：，
當(dāng)，，
∴原式=．
故答案為：4．
13．分解因式：__________．
答案:
原式，
，
故答案為：．
14．邊長(zhǎng)為a，b的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為10，面積為5，則的值為_(kāi)____．
答案:25
解：∵邊長(zhǎng)為a，b的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為10，面積為5，
∴2(a+b)=10，ab=5，
故a+b=5，
則a2b+ab2=ab(a+b)=25．
故答案為：25．
15．已知，，則代數(shù)式的值為_(kāi)_______________．
答案:
解：，，
故答案為：．
16．已知，則的值是_________
答案:
由平方得：，
且，則：，
由得：，
∴
同理可得：，，
∴原式=
=
=
=
=
故答案為：．
17．已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足：xy+yz+zx≠1，且=4．求的值為_(kāi)___．
答案:1
解：∵=4，
∴z(x2﹣1)(y2﹣1)+x(y2﹣1)(z2﹣1)+y(z2﹣1)(x2﹣1)=4xyz，
∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，
整理，得
xyz(xy+yz+xz﹣1)﹣(x+y+z)(xy+yz+zx)+(x+y+z)=0，
∴xyz(xy+yz+xz﹣1)﹣(x+y+z)(xy+yz+zx﹣1)=0，
∴[xyz﹣(x+y+z)](xy+yz+zx﹣1)=0．
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣(x+y+z)=0，
∴xyz=x+y+z，
∴，
即的值為1．
故答案為：1．
18．已知，那么
______________．
答案:22100
解：∵
=
==42925
∴=(2+1)(2-1)+(4-3)(4+3)+(6-5)(6+5)+┈+(50-49)(50+49)
=(2+1)+(4+3)+(6+5)+┈+50+49=1275
42925+1275=44200
44200÷2=22100.
19．通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積，可表示一些代數(shù)恒等式，如圖所示，我們可以得到恒等式：______．
答案:．
解：由面積可得：．
故答案為．
20．=_______．
答案:
解：
=
=
=
=
21．已知若干張正方形和長(zhǎng)方形硬紙片如圖1所示．
(1)若用1張邊長(zhǎng)為a的正方形，2張邊長(zhǎng)為b的正方形，3張邊長(zhǎng)分別為a和b的長(zhǎng)方形拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形(如圖2)．請(qǐng)用兩種不同的方法計(jì)算圖2長(zhǎng)方形的面積并根據(jù)你的計(jì)算結(jié)果可以得到怎樣的等式；
(2)請(qǐng)通過(guò)拼圖的方式畫(huà)出一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形示意圖，并寫(xiě)出其因式分解的結(jié)果；
(3)在(2)的條件下，若拼成的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為66，圖1中小長(zhǎng)方形的面積為24，則拼成的長(zhǎng)方形面積是多少？
答案:(1)；(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析，；(3)266．
解：(1)用面積和差計(jì)算得：；
用長(zhǎng)方形面積公式計(jì)算得：；
可得等式為：；
(2) 根據(jù)算式可知用2張邊長(zhǎng)為a的正方形，2張邊長(zhǎng)為b的正方形，5張邊長(zhǎng)分別為a和b的長(zhǎng)方形拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，如圖所示：
根據(jù)面積公式可得，；
(3) (2)中拼成的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為66，則，
解得，，
∴，即，
圖1中小長(zhǎng)方形的面積為24，則，
則，
；
拼成的長(zhǎng)方形面積是266．
22．若一個(gè)正整數(shù)a可以表示為，其中b為大于2的正整數(shù)，則稱(chēng)a為“十字?jǐn)?shù)”，b為a的“十字點(diǎn)”．例如．
(1)“十字點(diǎn)”為7的“十字?jǐn)?shù)”為 ；130的“十字點(diǎn)”為 ；
(2)若b是a的“十字點(diǎn)”，且a能被整除，其中b為大于2的正整數(shù)，求a的值；
(3)m的“十字點(diǎn)”為p，n的“十字點(diǎn)”為q，當(dāng)時(shí)，求的值．
答案:(1)40，12；(2)4；(3)10
解：(1)“十字點(diǎn)”為7的“十字?jǐn)?shù)”，
∵，∴130的“十字點(diǎn)”為12；
(2)∵b是a的“十字點(diǎn)”，
∴(b＞2且為正整數(shù))，
∴，
∵a能被整除，
∴能整除2，
∴b-1=1或b-1=2，
∵b＞2，
∴b=3，
∴；
(3)∵m的“十字點(diǎn)”為p，
∴(p＞2且為正整數(shù))，
∵n的“十字點(diǎn)”為q，
∴(q＞2且為正整數(shù))，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，p＞2，q＞2且p、q為正整數(shù)；
∴p＞q，p+q＞4；
∴p+q-1＞3；
∵18=3×6=2×9，
∴ 或；
解得：(不合題意舍去)，；
∴
23．發(fā)現(xiàn)與探索：
(1)根據(jù)小明的解答將下列各式因式分解
小明的解答：
①
②
③
(2)根據(jù)小麗的思考解決下列問(wèn)題：
小麗的思考：代數(shù)式無(wú)論取何值都大于等于0，再加上4，則代數(shù)式大于等于4，則有最小值為4．
①說(shuō)明：代數(shù)式的最小值為．
②請(qǐng)仿照小麗的思考解釋代數(shù)式的最大值為8，并求代數(shù)式的最大值．
答案:(1)①(a-10)(a-2)；②(a-8)(a-2)；③(a-5b)(a-b)；(2)①見(jiàn)解析；②28
解：(1)①a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=(a-6)2-42
=(a-10)(a-2)；
②(a-1)2-8(a-1)+7
=(a-1)2-8(a-1)+16-16+7
=(a-5)2-32
=(a-8)(a-2)；
③a2-6ab+5b2
=a2-6ab+9b2-9b2+5b2
=(a-3b)2-4b2
=(a-5b)(a-b)；
(2)①a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=(a-6)2-16，
無(wú)論a取何值(a-6)2都大于等于0，再加上-16，
則代數(shù)式(a-6)2-16大于等于-16，
則a2-12a+20的最小值為-16；
②無(wú)論a取何值-(a+1)2都小于等于0，再加上8，
則代數(shù)式-(a+1)2+8小于等于8，
則-(a+1)2+8的最大值為8，
-a2+12a-8．
=-(a2-12a+8)
=-(a2-12a+36-36+8)
=-(a-6)2+36-8
=-(a-6)2+28
無(wú)論a取何值-(a-6)2都小于等于0，再加上28，
則代數(shù)式-(a-6)2+28小于等于28，
則-a2+12a-8的最大值為28．
24．把下列多項(xiàng)式分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
答案:(1)；(2)；(3)；(4)
解：(1)
=
=；
(2)
=
=
=；
(3)
=
=
=
=；
(4)
=
=
=
25．如圖，將一張矩形紙板按圖中虛線(xiàn)裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為m的大正方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為n的小正方形，五塊是長(zhǎng)為m，寬為n的全等小矩形，且．(以上長(zhǎng)度單位：cm)
(1)觀(guān)察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解，請(qǐng)寫(xiě)出因式分解的結(jié)果；
(2)若每塊小矩形的面積為，四個(gè)正方形的面積和為，試求圖中所有裁剪線(xiàn)(虛線(xiàn)部分)長(zhǎng)之和．
答案:(1)(m+2n)(2m+n)；(2)48cm
解：(1)2m2+5mn+2n2可以因式分解為(m+2n)(2m+n)；
故答案為：(m+2n)(2m+n)；
(2)依題意得，2m2+2n2=88，mn=10，
∴m2+n2=44，
∵(m+n)2=m2+2mn+n2，
∴(m+n)2=44+20=64，
∵m+n＞0，
∴m+n=8，
∴圖中所有裁剪線(xiàn)(虛線(xiàn)部分)長(zhǎng)之和為6m+6n=6(m+n)=48cm．
26．因式分解：
(1)
(2)
答案:(1)；(2)
解：(1)=；
(2)==
27．因式分解：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)
答案:(1)；(2)；(3)；(4)
解：(1)；
(2)=；
(3)，
=，
=；
(4)，
，
，
．
28．分解因式：
(1)
(2)
(3)
答案:(1)；(2)；(3)．
解：(1)原式．
(2)原式．
(3)原式．
29．用因式分解法解一元二次方程x2﹣5x＝6，下列是排亂的解題過(guò)程：
①x＋1＝0或x﹣6＝0，②x2﹣5x﹣6＝0，③x1＝﹣1，x2＝6，④(x＋1)(x﹣6)＝0
(1)解題步驟正確的順序是　 　；
(2)請(qǐng)用因式分解法解方程：(x＋3)(x﹣1)＝12
答案:(1)②④①③；(2)x1＝﹣5，x2＝3
解：(1)∵x2﹣5x＝6，
∴x2﹣5x﹣6＝0，
∴(x＋1)(x﹣6)＝0，
則x＋1＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝6，
故答案為：②④①③；
(2)∵(x＋3)(x﹣1)＝12，
∴x2＋2x﹣15＝0，
則(x＋5)(x﹣3)＝0，
∴x＋5＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝3.
30．先化簡(jiǎn)，再求值：(1﹣)，其中x＝﹣3．
答案:，
解：(1﹣)
=
=，
將x＝﹣3代入，則原式＝ ＝．

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