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二元一次方程組應用探索
二元一次方程組是最簡單的方程組，其應用廣泛，尤其是生活、生產實踐中的許多問題，大多需要通過設元、布列二元一次方程組來加以解決，現將常見的幾種題型歸納如下：
一、數字問題
例1 一個兩位數，比它十位上的數與個位上的數的和大9；如果交換十位上的數與個位上的數，所得兩位數比原兩位數大27，求這個兩位數．
分析：設這個兩位數十位上的數為x，個位上的數為y，則這個兩位數及新兩位數及其之間的關系可用下表表示：
十位上的數
個位上的數
對應的兩位數
相等關系
原兩位數
x
y
10x+y
10x+y=x+y+9
新兩位數
y
ｘ
10y+x
10y+x=10x+y+27
解方程組，得，因此，所求的兩位數是14．
點評：由于受一元一次方程先入為主的影響，不少同學習慣于只設一元，然后列一元一次方程求解，雖然這種方法十有八九可以奏效，但對有些問題是無能為力的，象本題，如果直接設這個兩位數為x，或只設十位上的數為x，那將很難或根本就想象不出關于x的方程．一般地，與數位上的數字有關的求數問題，一般應設各個數位上的數為“元”，然后列多元方程組解之．
二、利潤問題
例2一件商品如果按定價打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，問此商品的定價是多少？
分析：商品的利潤涉及到進價、定價和賣出價，因此，設此商品的定價為x元，進價為y元，則打九折時的賣出價為0.9x元，獲利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折時的賣出價為0.8x元，獲利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.
解方程組，解得，
因此，此商品定價為200元．
點評：商品銷售盈利百分數是相對于進價而言的，不要誤為是相對于定價或賣出價．利潤的計算一般有兩種方法，一是：利潤=賣出價-進價；二是：利潤=進價×利潤率（盈利百分數）．特別注意“利潤”和“利潤率”是不同的兩個概念．
三、配套問題
例3　某廠共有120名生產工人，每個工人每天可生產螺栓25個或螺母20個，如果一個螺栓與兩個螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產螺栓，多少名工人生產螺母，才能使每天生產出來的產品配成最多套？
分析：要使生產出來的產品配成最多套，只須生產出來的螺栓和螺母全部配上套，根據題意，每天生產的螺栓與螺母應滿足關系式：每天生產的螺栓數×2=每天生產的螺母數×1．因此，設安排ｘ人生產螺栓，ｙ人生產螺母，則每天可生產螺栓25ｘ個，螺母20ｙ個，依題意，得
，解之，得．
故應安排20人生產螺栓，100人生產螺母．
點評：產品配套是工廠生產中基本原則之一，如何分配生產力，使生產出來的產品恰好配套成為主管生產人員常見的問題，解決配套問題的關鍵是利用配套本身所存在的相等關系，其中兩種最常見的配套問題的等量關系是：
（1）“二合一”問題：如果ａ件甲產品和ｂ件乙產品配成一套，那么甲產品數的ｂ倍等于乙產品數的ａ倍，即；
（2）“三合一”問題：如果甲產品ａ件，乙產品ｂ件，丙產品ｃ件配成一套，那么各種產品數應滿足的相等關系式是：．
四、行程問題
例4　在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米．分別在A、C兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現場，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個加油站駛去，結果往B站駛來的團伙在1小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團伙經過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上．問巡邏車和犯罪團伙的車的速度各是多少？
【研析】設巡邏車、犯罪團伙的車的速度分別為x、y千米/時，則
，整理，得，解得，
因此，巡邏車的速度是80千米/時，犯罪團伙的車的速度是40千米/時．
點評：“相向而遇”和“同向追及”是行程問題中最常見的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個相等關系，這個關系涉及到兩者的速度、原來的距離以及行走的時間，具體表現在：
“相向而遇”時，兩者所走的路程之和等于它們原來的距離；
“同向追及”時，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們原來的距離．
五、貨運問題
典例5 某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應各裝多少噸？
分析：“充分利用這艘船的載重和容積”的意思是“貨物的總重量等于船的載重量”且“貨物的體積等于船的容積”．設甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸，則
，整理，得，解得，
因此，甲、乙兩重貨物應各裝150噸．
點評：由實際問題列出的方程組一般都可以再化簡，因此，解實際問題的方程組時要注意先化簡，再考慮消元和解法，這樣可以減少計算量，增加準確度．化簡時一般是去分母或兩邊同時除以各項系數的最大公約數或移項、合并同類項等．
六、工程問題
例6 某服裝廠接到生產一種工作服的訂貨任務，要求在規定期限內完成，按照這個服裝廠原來的生產能力，每天可生產這種服裝150套，按這樣的生產進度在客戶要求的期限內只能完成訂貨的；現在工廠改進了人員組織結構和生產流程，每天可生產這種工作服200套，這樣不僅比規定時間少用1天，而且比訂貨量多生產25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？
分析：設訂做的工作服是x套，要求的期限是y天，依題意，得
，解得.
點評：工程問題與行程問題相類似，關鍵要抓好三個基本量的關系，即“工作量=工作時間×工作效率”以及它們的變式“工作時間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時間”．其次注意當題目與工作量大小、多少無關時，通常用“1”表示總工作量．
《二元一次方程組實際問題》賞析
【知識鏈接】
列二元一次方程組解應用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步，即：
（1）審：通過審題，把實際問題抽象成數學問題，分析已知數和未知數，并用字母表示其中的兩個未知數；
（2）找：找出能夠表示題意兩個相等關系；
（3）列：根據這兩個相等關系列出必需的代數式，從而列出方程組；
（4）解：解這個方程組，求出兩個未知數的值；
（5）答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎上，寫出答案.
【典題精析】
例1（2006年南京市）某停車場的收費標準如下：中型汽車的停車費為6元/輛，小型汽車的停車費為4元/輛.現在停車場有50輛中、小型汽車，這些車共繳納停車費230元，問中、小型汽車各有多少輛？
解析：設中型汽車有x輛，小型汽車有y輛.由題意，得
解得，
故中型汽車有15輛，小型汽車有35輛.
例2（2006年四川省眉山市）某蔬菜公司收購蔬菜進行銷售的獲利情況如下表所示：
銷售方式
直接銷售
粗加工后銷售
精加工后銷售
每噸獲利（元）
100
250
450
現在該公司收購了140噸蔬菜，已知該公司每天能精加工蔬菜6噸或粗加工蔬菜16噸（兩種加工不能同時進行）．
（1）如果要求在18天內全部銷售完這140噸蔬菜，請完成下列表格：
銷售方式
全部直接銷售
全部粗加工后銷售
盡量精加工，剩余部分直接銷售
獲利（元）
（2）如果先進行精加工，然后進行粗加工，要求在15天內剛好加工完140噸蔬菜，則應如何分配加工時間？
解：（1）全部直接銷售獲利為：100×140=14000（元）；
全部粗加工后銷售獲利為：250×140=35000（元）；
盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利為：450×（6×18）＋100×（140－6×18）=51800（元）.
（2）設應安排x天進行精加工， y天進行粗加工.
由題意，得
解得，
故應安排10天進行精加工，5天進行粗加工.
【跟蹤練習】
為滿足市民對優質教育的需求，某中學決定改變辦學條件，計劃拆除一部分舊校舍，建造新校舍，拆除舊校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元. 計劃在年內拆除舊校舍與建造新校舍共7200平方米，在實施中為擴大綠地面積，新建校舍只完成了計劃的80%，而拆除舊校舍則超過了計劃的10%，結果恰好完成了原計劃的拆、建總面積.
（1）求：原計劃拆、建面積各是多少平方米？
（2）若綠化1平方米需200元，那么在實際完成的拆、建工程中節余的資金用來綠化大約是多少平方米？
答案：（1）原計劃拆、建面積各是4800平方米、2400平方米；
（2）可綠化面積為1488平方米.

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