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集 合 學(xué) 習(xí) 的 八 項(xiàng) 注 意
集合是中學(xué)數(shù)學(xué)中的最基本的概念之一，然而由于其知識新、符號多、信息量大，初學(xué)者往往顧此失彼．本文總結(jié)了集合學(xué)習(xí)中的八項(xiàng)注意，希望能夠幫助同學(xué)們進(jìn)一步理解集合的概念，從本質(zhì)上把握集合的內(nèi)涵，少走彎路、提高學(xué)習(xí)效率．
1．注意集合的“三性”
集合的“三性”指的是：確定性、互異性、無序性，它們是集合的最基本特征．要注意弄清它們的含義，才能在解題時(shí)正確運(yùn)用．
例1 以方程和方程的解為元素構(gòu)成集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：對于涉及集合元素的問題，首先應(yīng)想到其確定性、互異性、無序性．由集合元素的互異性可知，兩個(gè)相同的對象中能算作集合中的一個(gè)元素．方程的解為；方程的解為，所以，故選（Ｃ）．
例2　已知集合A={a，a+b，a+2b}，B={a，ac，ac2}，若A=B，求實(shí)數(shù)c的值．
分析：集合A=B，說明A，B中元素相同但順序可以不同，因此要分兩種情況討論．
解：（1）若∴a=0或c=1
當(dāng)a=0時(shí)，集合B中三元素都是0，舍去；
當(dāng)c=1時(shí)，集合B中三元素也都相同，舍去．
（2）若
∵a≠0，∴2c2-c-1=0，∴(c-1)(2c-1)=0
又∵c≠1，∴c=．經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．
綜上，c=．
2．注意0，{0}，Φ，{Φ}的關(guān)系
數(shù)0是元素，{0}是含一個(gè)元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，{Φ}是以Φ作為元素的集合．要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．
例3下列關(guān)系錯(cuò)誤的是…………………………（ ）
A Φ B 0∈{0} C 0∈Φ D 0{Φ}
解：A、B、D均正確，C是錯(cuò)誤的．
3．注意空集的特殊性21世紀(jì)教育網(wǎng)21世紀(jì)教育網(wǎng)
空集是不含有任何元素的集合，它是一種非常特殊的集合．我們要注意“空集是任何集合的子集”這一重要結(jié)論的運(yùn)用．
例4設(shè)集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若BA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
誤解：依題意，BA，∴∴即．
剖析：以上解法忽視了B=Φ的情形，此時(shí)m+1>2m-1，∴m<2，也符合BA．因此所求實(shí)數(shù)m的范圍應(yīng)為m<2或2≤m≤3，即m≤3．
例5已知A={x|x2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，并且A∪B=A，求實(shí)數(shù)a組成的集合C．
分析：因?yàn)锳∪B=A，可據(jù)此求a的值，但要注意B=Φ的情形．
解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，B=Φ符合題意；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，B={}，而A={1，2}，
∵A∪B=A ∴=1或=2 ，∴a=2或a=1．
綜上，C={0，1，2} ．
4．注意符號“∈”與“”的區(qū)別21世紀(jì)教育網(wǎng)21世紀(jì)教育網(wǎng)
符號“∈”用在元素和集合間表示從屬關(guān)系；符號“”用在兩集合間表示包含關(guān)系．特別需要指出的是，“a，b∈A”與“{a，b}”之間既有區(qū)別又有聯(lián)系．
例6設(shè)M={x∈R|x≤}，a=3，則下列關(guān)系正確的是………（ ）
A a∈M B aM C {a}∈M D {a}M
解：a是元素，{a}與M是集合，由于3，故選（D）．
例7（1）若a，b∈{3，4，5}，則函數(shù)f(x)=ax2+bx有多少條不同的對稱軸？
（2）若{a，b}{3，4，5}，則函數(shù)f(x)=ax2+bx有多少條不同的對稱軸？
分析：二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=- ，故只要研究有多少個(gè)不同的的值即可，但要注意兩小題的區(qū)別．第（1）小題中a，b∈{3，4，5}，當(dāng)a，b不同時(shí)有6個(gè)不同的的值，當(dāng)a，b相同時(shí)=1，因此共有7條不同的對稱軸；第（2）小題中{a，b}{3，4，5}，說明a，b只能不相等，因此只有6條不同的對稱軸．
5．注意數(shù)集與點(diǎn)集的區(qū)別21世紀(jì)教育網(wǎng)21世紀(jì)教育網(wǎng)
容易出現(xiàn)兩方面的錯(cuò)誤．一是書寫上的錯(cuò)誤，如把點(diǎn)集{（2，3）}誤寫為{2，3}或{x=2，y=3}等；二是理解上的錯(cuò)誤，如把數(shù)集{y|y=x2+1，x∈R}誤為{（x，y）|y=x2+1，x∈R}或{x|y=x2+1，x∈R}等．
例8（1）已知A={(x，y)|y=x2-1，x∈R}，B={(x，y)|y=7-x2，x∈R}， 則A∩B=______；
（2）已知A={y|y=x2-1，x∈R}，B={y|y=7-x2，x∈R}， 則A∩B=________．
分析：解方程組得，或 ，曲線y=x2-1和y=7-x2的兩交點(diǎn)為（-2，3）和（2，3），第（1）題中A、B為點(diǎn)集，A∩B={（-2，3），（2，3）}．而第（2）題如果理解為A∩B={3}那就錯(cuò)了，因?yàn)锳、B都表示數(shù)集，它們分別表示函數(shù)y=x2-1，x∈R和y=7-x2，x∈R的值域，從整體上把握，應(yīng)該有A={y|y≥-1}，B={y|y≤7}，因此A∩B={y|-1≤y≤7}．
6．注意求補(bǔ)集的前提——全集
在求補(bǔ)集時(shí)，不能忽略全集，因?yàn)橥患显诓煌醒a(bǔ)集是不相同的．
例9全集U是函數(shù)的定義域，A={x|x≥10}，求CUA ．
誤解：CUA={x|x<10}
剖析：誤解將全集默認(rèn)為實(shí)數(shù)集R，顯然不對．其實(shí)U={x|x≥7}，故CUA={x|7≤x<10}．
７．注意選取集合的表示法
當(dāng)集合為有限集時(shí)，一般用列舉法．當(dāng)集合為無限集時(shí)，一般不采用列舉法，因?yàn)椴荒軐⑵湟灰涣谐觯@時(shí)宜用描述法．對于同一集合，有時(shí)既可用列舉法又可用描述法，這時(shí)應(yīng)擇優(yōu)選用．
例10　已知集合，求集合．
解析：對于本題集合中元素應(yīng)是，而不是，滿足的條件是且．
，，又，．
，即．
8．注意用好容斥原理和Venn圖21世紀(jì)教育網(wǎng)21世紀(jì)教育網(wǎng)
與集合元素有關(guān)的計(jì)數(shù)問題牽涉因素較多，看上去錯(cuò)綜復(fù)雜．若能利用容斥原理和韋恩圖，則可使問題具體化而順利解決．
例11高一（1）班有45人．其中有30人訂閱了《起跑線》
這種雜志，有25人訂閱了《數(shù)學(xué)專頁》這種報(bào)紙．問這個(gè)班至少
有多少人這種雜志和這種報(bào)紙全訂閱了？
分析：集合A中元素的個(gè)數(shù)常記作card(A)．本題中設(shè)高一（1）班全體同學(xué)組成全集U，訂閱了《起跑線》雜志的人組成集合A，訂閱了《數(shù)學(xué)專頁》的人組成集合B．這樣雜志和報(bào)紙都訂閱的人就組成了A∩B．可借助容斥原理和韋恩圖來解題．
解：依題意，card(A)=30，card(B)=25，而card(U)=45，
∴card(A∩B)≥30+25-45=10
即至少有10人雜志和報(bào)紙都訂閱了．
注：本題中card(U)=45，∴card(A∪B)≤45．根據(jù)容斥原理card(A∪B)=card(A)
+card(B)-card(A∩B)和韋恩圖可得， 至少有10人雜志和報(bào)紙都訂閱了．
注：容斥原理card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)和韋恩圖是解決“至多”、“至少”問題的有力工具．

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