資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
11.1.2三角形的高、中線與角平分線 學(xué)案
（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.掌握三角形的高、中線及角平分線的概念和基本性質(zhì)。
2.能正確畫出并識別不同位置的三角形高線、中線以及角平分線，
3.能運(yùn)用其基本性質(zhì)解決簡單的幾何問題。
（二）學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：理解三角形的高、中線和角平分線的定義及其在幾何圖形中的作用
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：掌握高線與中線的區(qū)別和聯(lián)系，以及在具體問題中如何選擇和應(yīng)用
閱讀課本，識記知識：
（1）三角形的高
定義 幾何表達(dá)形式
從三角形的一個頂點(diǎn)向它所 對的邊畫垂線，頂點(diǎn)和垂足間 的線段叫做三角形的高 AD是△ABC的邊BC上的高或AD⊥BC于D或 ∠ADB=∠ADC=90°
（2）三角形的中線
定義 幾何表達(dá)形式
連接三角形的一個頂點(diǎn) 和它所對的邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線 AD是△ABC的邊BC上的中線或 BD = DC = BC或BC=2BD=2DC或 D為BC的中點(diǎn)
（4）三角形的角平分線
定義 幾何表達(dá)形式
三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線 AD是△ABC的角平分線或
（5）“三線”的交點(diǎn)
一個三角形有三條中線、三條角平分線、三條高，它們所在直線都分別相交于一點(diǎn).
線的名稱 線的位置 交點(diǎn)名稱
中線 三條中線交于三角形內(nèi)部 重心
角平分線 三條角平分線交于三角形內(nèi)部 內(nèi)心
高 銳角三角形：三條高都在三角形內(nèi)部 垂心
直角三角形；其中兩條恰好是直角邊
鈍角三角形：其中兩條在三角形外部
注意：三角形的高、中線、角平分線都是線段。
【例1】在下列圖形中，正確畫出邊上的高的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查三角形的高的定義；從三角形的一個頂點(diǎn)向?qū)吽谥本€作垂線，頂點(diǎn)與垂足間的線段叫做三角形的高，根據(jù)三角形高的定義逐項(xiàng)作出判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)銳角三角形和鈍角三角形的高線的畫法，
可得D選項(xiàng)中，是中邊長的高，
故選：D．
【例2】如圖所示，中邊上的高線畫法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形高線的作法，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵，經(jīng)過三角形的頂點(diǎn)（與底相對的點(diǎn)）向?qū)叄ǖ祝┳鞔咕€，頂點(diǎn)和垂足之間的線段就是三角形的一條高．中邊上的高線是過C點(diǎn)作的垂線，據(jù)此判斷即可．
【詳解】解：中邊上的高線是過C點(diǎn)作的垂線，只有C選項(xiàng)正確，符合題意，
故選：C．
選擇題
1．在下圖中，正確畫出邊上高的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查了三角形的高，關(guān)鍵是掌握高的定義：即從所對的頂點(diǎn)向這條邊或這條邊的延長線作垂線段．
【詳解】解：根據(jù)三角形高線的定義可知，只有是正確的，
故選：C．
2．如圖，在中有四條線段，其中有一條線段是的中線，則該線段是（ ）
A．線段 B．線段 C．線段 D．線段
【答案】B
【分析】本題主要考查三角形的中線，解題的關(guān)鍵是掌握三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．根據(jù)定義可得答案．
【詳解】解：∵三角形的中線是一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線
∴在中有四條線段中，線段是的中線
故選B
3．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形的面積為1，則點(diǎn)C的個數(shù)為（點(diǎn)C在格點(diǎn)上）（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本題考查借助網(wǎng)格求面積，根據(jù)題意，畫出點(diǎn)的位置，利用數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題意，畫圖如下：
由圖可知：共有8個；
故選D．
4．如圖，若的面積為，是的中線，是的中線，則的面積為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了三角形面積的求法和三角形的中線有關(guān)知識，根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分，進(jìn)而解答即可．熟知三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分是解決本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵是的中線，的面積為，
∴的面積為，
∵是的中線，
∴的面積為．
故選：B．
5．如圖，在中，已知點(diǎn)D、E、F分別為邊、、的中點(diǎn)，且的面積是，則陰影部分面積等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形邊中線，求三角形的面積，因?yàn)辄c(diǎn)F是的中點(diǎn)，所以的底是的底的一半，高等于的高，可得的面積等于的面積的一半；同理，D、E、分別是、的中點(diǎn)，可得的面積是面積的一半；利用三角形的等積變換可解答．
【詳解】解：點(diǎn)F是的中點(diǎn)，
∴的底是，的底是，即=，而高相等，
∴．
∵E是的中點(diǎn)，
∴，，
∴
∴．
∵，
∴，
即陰影部分的面積為．
故選：B．
6．如圖，在中，是的中線，是的中線，若，則的長度為（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【分析】本題考查三角形中線的性質(zhì)，三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．根據(jù)中線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵是的中線，
，
∵是的中線，
，
故選：A．
7．在中，D是上一點(diǎn)，一定能使得與面積相等的一個條件是（ ）
A． B．平分 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形面積的計算方法，與等高．若和面積相等，則與的底相等．
【詳解】解：∵和等高，
∴若和面積相等，則與的底相等，
即．
故選：D
8．如圖，在中，作邊上的高，以下作法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查作圖 基本作圖，三角形的高的定義等知識，根據(jù)三角形高線的定義：過三角形的頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線解答，解題的關(guān)鍵是理解三角形的高的定義．
【詳解】在中，作邊上的高，作法正確的是：
故選：C．
9．已知的三條高的比是，且三條邊的長均為整數(shù)，則的邊長可能是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】此題考查了三角形面積的求解方法．解題的關(guān)鍵是由三角形的面積的求解方法與三條高的比是，求得三條邊的比，設(shè)三邊為，， 三條對應(yīng)的高為，，，根據(jù)的面積的求解方法即可求得，由的三條高的比是，易得，又由三條邊的長均為整數(shù)，觀察4個選項(xiàng)，即可求得答案．
【詳解】解：設(shè)三邊為，， 三條對應(yīng)的高為，，，
可得：，
已知，
可得，
三邊均為整數(shù)．
又個答案分別是10，12，14，16．
的邊長可能是12．
故選：B．
10．如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G在小正方形的頂點(diǎn)上，則的重心是（　　）
A．點(diǎn)D B．點(diǎn)E C．點(diǎn)F D．點(diǎn)G
【答案】A
【分析】本題考查三角形的重心的定義，解題的關(guān)鍵是熟記三角形的重心是三角形中線的交點(diǎn)．
三角形三條中線的交點(diǎn)，叫做它的重心，據(jù)此解答即可．
【詳解】根據(jù)題意可知，直線經(jīng)過的邊上的中點(diǎn)，
直線經(jīng)過的邊上的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)是重心．
故選A．
填空題
11．如圖，在中，，是邊上的中線，若，，則的面積為 ．

【答案】15
【分析】本題考查直角三角形的斜邊的中線，三角形的面積等知識，根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積即可．
【詳解】解：，
，
是中線，
．
故答案為：15．
12．如圖，在中，為邊上的中線，已知，，的周長為20，則的周長為 ．
【答案】17
【分析】本題考查三角形的中線，根據(jù)為邊長的中線，可得出和的周長關(guān)系，進(jìn)而解決問題．
【詳解】解：因?yàn)槭沁吷系闹芯€，
所以．
又，
，
所以．
又，，的周長為20，
所以．
故答案為：17．
13．如圖，在三角形中，，，垂足為，，，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了運(yùn)用等積關(guān)系求線段的長，根據(jù)面積相等可列式，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求解，掌握直角三角形面積的不同求法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
14．如圖，是的中線，，和的周長差為 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了三角形中線的定義，三角形周長計算，根據(jù)三角形中線的定義得到，再分別求出兩個三角形的周長，然后作差即可得到答案．
【詳解】解：∵是的中線，
∴，
的周長，
的周長，
∵，
∴，
∴和的周長差為2，
故答案為：2．
15．如圖，在中，是中線的中點(diǎn)．若的面積是3，則的面積是 ．

【答案】12
【分析】本題考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用三角形的中線平分三角形面積進(jìn)行計算．
根據(jù)的面積等于的面積，的面積等于的面積計算出各部分三角形的面積，最后即可算出的面積．
【詳解】解：是邊上的中線，E為的中點(diǎn)，
根據(jù)等底同高可知，，，
∴，
故答案為：12．
三、解答題
16．在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，．
(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出；
(2)求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形中的描點(diǎn)、求三角形的面積，熟練掌握割補(bǔ)法求三角形的面積是本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)坐標(biāo)，，描點(diǎn)，連接即可得；
（2）用長方形面積減去小三角形的面積即可得到的面積．
【詳解】（1）解：即為所作；
（2）解：．
17．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1．
(1)過點(diǎn)C畫的平行線m；
(2)過點(diǎn)C畫的垂線，垂足是D；
(3)線段的長度是點(diǎn)C到直線 的距離；
(4)的面積 ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
(4)
【分析】本題主要考查作圖，以及垂線的定義，三角形的面積，熟練掌握作圖的方法是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平行線的定義畫圖即可；
（2）根據(jù)垂線的定義畫圖即可；
（3）根據(jù)垂線的定義即可得到答案；
（4）利用網(wǎng)格求出三角形的面積．
【詳解】（1）解：如圖所示，直線m即為所求；
（2）解：如圖所示，即為所求；
（3）解：，
線段的長度是點(diǎn)C到直線的距離；
（4）解：．
18. 如圖，在中，為的平分線，交于點(diǎn)．

(1)求的度數(shù)；
(2)請你畫出的中線，再找出的中點(diǎn)，連接．若，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)闉榈钠椒志€，
所以．
在中，．
（2）如圖所示，即為所求．
因?yàn)槭堑闹芯€，，
所以．
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，即是的中線，
所以．

（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學(xué)知識畫出思維導(dǎo)圖
目標(biāo)解讀
基礎(chǔ)梳理
典例探究
達(dá)標(biāo)測試
自學(xué)反思
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11.1.2三角形的高、中線與角平分線 學(xué)案
（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.掌握三角形的高、中線及角平分線的概念和基本性質(zhì)。
2.能正確畫出并識別不同位置的三角形高線、中線以及角平分線，
3.能運(yùn)用其基本性質(zhì)解決簡單的幾何問題。
（二）學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：理解三角形的高、中線和角平分線的定義及其在幾何圖形中的作用
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：掌握高線與中線的區(qū)別和聯(lián)系，以及在具體問題中如何選擇和應(yīng)用
閱讀課本，識記知識：
（1）三角形的高
定義 幾何表達(dá)形式
從三角形的一個頂點(diǎn)向它所 對的邊畫垂線，頂點(diǎn)和垂足間 的線段叫做三角形的高 AD是△ABC的邊BC上的高或AD⊥BC于D或 ∠ADB=∠ADC=90°
（2）三角形的中線
定義 幾何表達(dá)形式
連接三角形的一個頂點(diǎn) 和它所對的邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線 AD是△ABC的邊BC上的中線或 BD = DC = BC或BC=2BD=2DC或 D為BC的中點(diǎn)
（4）三角形的角平分線
定義 幾何表達(dá)形式
三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線 AD是△ABC的角平分線或
（5）“三線”的交點(diǎn)
一個三角形有三條中線、三條角平分線、三條高，它們所在直線都分別相交于一點(diǎn).
線的名稱 線的位置 交點(diǎn)名稱
中線 三條中線交于三角形內(nèi)部 重心
角平分線 三條角平分線交于三角形內(nèi)部 內(nèi)心
高 銳角三角形：三條高都在三角形內(nèi)部 垂心
直角三角形；其中兩條恰好是直角邊
鈍角三角形：其中兩條在三角形外部
注意：三角形的高、中線、角平分線都是線段。
【例1】在下列圖形中，正確畫出邊上的高的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查三角形的高的定義；從三角形的一個頂點(diǎn)向?qū)吽谥本€作垂線，頂點(diǎn)與垂足間的線段叫做三角形的高，根據(jù)三角形高的定義逐項(xiàng)作出判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)銳角三角形和鈍角三角形的高線的畫法，
可得D選項(xiàng)中，是中邊長的高，
故選：D．【例2】如圖所示，中邊上的高線畫法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形高線的作法，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵，經(jīng)過三角形的頂點(diǎn)（與底相對的點(diǎn)）向?qū)叄ǖ祝┳鞔咕€，頂點(diǎn)和垂足之間的線段就是三角形的一條高．中邊上的高線是過C點(diǎn)作的垂線，據(jù)此判斷即可．
【詳解】解：中邊上的高線是過C點(diǎn)作的垂線，只有C選項(xiàng)正確，符合題意，
故選：C．
選擇題
1．在下圖中，正確畫出邊上高的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如圖，在中有四條線段，其中有一條線段是的中線，則該線段是（ ）
A．線段 B．線段 C．線段 D．線段
3．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形的面積為1，則點(diǎn)C的個數(shù)為（點(diǎn)C在格點(diǎn)上）（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如圖，若的面積為，是的中線，是的中線，則的面積為（　?。?br/>A． B． C． D．
5．如圖，在中，已知點(diǎn)D、E、F分別為邊、、的中點(diǎn)，且的面積是，則陰影部分面積等于（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，在中，是的中線，是的中線，若，則的長度為（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
7．在中，D是上一點(diǎn)，一定能使得與面積相等的一個條件是（ ）
A． B．平分 C． D．
8．如圖，在中，作邊上的高，以下作法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知的三條高的比是，且三條邊的長均為整數(shù)，則的邊長可能是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
10．如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G在小正方形的頂點(diǎn)上，則的重心是（　?。?br/>A．點(diǎn)D B．點(diǎn)E C．點(diǎn)F D．點(diǎn)G
填空題
11．如圖，在中，，是邊上的中線，若，，則的面積為 ．

12．如圖，在中，為邊上的中線，已知，，的周長為20，則的周長為 ．
13．如圖，在三角形中，，，垂足為，，，，則 ．
14．如圖，是的中線，，和的周長差為 ．
15．如圖，在中，是中線的中點(diǎn)．若的面積是3，則的面積是 ．

三、解答題
16．在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，．
(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出；
(2)求的面積．
17．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1．
(1)過點(diǎn)C畫的平行線m；
(2)過點(diǎn)C畫的垂線，垂足是D；
(3)線段的長度是點(diǎn)C到直線 的距離；
(4)的面積 ．
18. 如圖，在中，為的平分線，交于點(diǎn)．

(1)求的度數(shù)；
(2)請你畫出的中線，再找出的中點(diǎn)，連接．若，求的面積．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學(xué)知識畫出思維導(dǎo)圖
目標(biāo)解讀
基礎(chǔ)梳理
典例探究
達(dá)標(biāo)測試
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