資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
11.2.1 三角形的內角 學案
（一）學習目標：
1.能夠理解三角形內角的定義，認識內角與外角的關系，并能夠通過實例加深理解。
2.能夠熟練運用內角和定理，計算給定三角形的內角和。
3.培養主動探究、合作學習的精神,激發對幾何圖形的興趣。
（二）學習重難點：
學習重點：掌握三角形內角的定義和性質；熟練運用內角和定理進行計算
學習難點：理解內角和外角的關系，并能將理論應用于實際問題中
閱讀課本，識記知識：
1.三角形的內角
(1)三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°.
(2)證明方法
剪拼成平角、通過作平行線構造平角，構造兩平行線下的同旁內角。
2.直角三角形的性質與判定
(1)性質：直角三角形的兩個銳角互余。
直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC。
(2)判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形。
如下圖，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形。
【例1】一個等腰三角形，一個角的度數是另一個角度數的，這個等腰三角形頂角的度數是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，三角形內角和定理，利用分類討論的思想解決問題是關鍵．設頂角度數為，分兩種情況討論：①若底角度數是頂角度數的；②若頂角度數是底角度數的，分別列方程求解即可．
【詳解】解：設頂角度數為，
①若底角度數是頂角度數的，則底角度數為，
則，
解得：；
②若頂角度數是底角度數的，則底角度數為，
則，
解得：；
即這個等腰三角形頂角的度數是或，
故選：D．
【例2】如圖，直線，且分別與的兩邊、相交，若，，則 ．

【答案】
【分析】本題考查平行線的性質、三角形內角和定理，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．先利用三角形內角和定理求出的度數，然后利用平行線的性質即可求解．
【詳解】解：如圖，

∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
選擇題
1．直角三角形的一個銳角等于，則它的另一個銳角等于（　　）
A． B．或 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是直角三角形的性質，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關鍵．
【詳解】解：∵三角形是直角三角形，它的一個銳角等于50°，
∴它的另一個銳角為：，
故選：D．
2．如圖，在中，，是邊上的高，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查三角形中求角度，涉及三角形內角和定理、互余等知識，先由得到，再由直角三角形兩銳角互余即可得到答案，熟練掌握等腰三角形性質是解決問題的關鍵．
【詳解】解：在中，，
，解得，
是邊上的高，
在中，，
故選：C．
3．如圖，在中，，分別平分，，，分別平分，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是三角形內角和定理，角平分線的定義，熟知三角形的內角和是是解答此題的關鍵．根據三角形的內角和定理得到，根據角平分線得到，再根據三角形的內角和定理解題即可．
【詳解】∵，
∴，
∵，分別平分，，
∴，，
又∵，分別平分，，
∴，
∴，
∴，
故選A
4．如圖，在中，點D、E分別在、邊上，，點F在的延長線上，若，，則的大小為（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查三角形內角和．根據平行線的性質得出，進而利用三角形內角和解答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
5．在中，若，則是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】本題主要考查三角形內角和及三角形的分類，根據題意及三角形內角和可進行求解出的度數，即可判斷．
【詳解】解：在中，
，
，
是銳角三角形，
故選：A．
6．如圖，是由一副三角板拼湊得到的，，，，A，E，B，D四點同線，E，F過點C，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了三角形內角和定理，牢記“三角形內角和是”是解題的關鍵．在及中，利用三角形內角和定理，可求出及的度數，再在中，利用三角形內角和定理，即可求出的度數．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故選：B．
7．如圖，已知平分平分，于C，則下列說法：①；②；③；④．（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義，垂直的定義，三角形內角和定理．根據垂直的定義得出，即可判斷①，根據角平分線的性質得出，根據，得出，即可判斷，得出②正確；根據平行線的性質以及角平分線的定義得出，即可判斷③，根據三角形內角和定理可得，再根據，得到，即可判斷④．
【詳解】解：∵，
∴，故①正確；
∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正確；
∵，
∴，
∵，
∴，故③正確；
∵，
∴，
∵，
∴，故④正確；
綜上所述，正確的說法有①②③④，共4個，
故選：A．
8．如圖，已知直線，，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質，直角三角形兩銳角互余，先根據，得出，再根據直角三角形兩銳角互余得出，即可解答．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
9．在直角三角形中，若一個銳角是，則該直角三角形的另一個銳角是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余的性質，根據直角三角形兩銳角互余，列式進行計算即可得解．
【詳解】解：在一個直角三角形中，有一個銳角等于，
另一個銳角的度數是．
故選：C．
10．下列命題中，假命題是（ ）
A．三角形的內角和等于 B．對頂角相等
C．內錯角相等 D．如果直線，，那么直線
【答案】C
【分析】本題考查的是命題的真假判斷，根據三角形內角和定理、對頂角的性質、平行線的性質、平行線的判定判斷即可．
【詳解】解：A、三角形的內角和等于，是真命題，不符合題意；
B、對頂角相等，是真命題，不符合題意；
C、兩直線平行，內錯角相等，故本選項命題是假命題，符合題意；
D、如果直線，，那么直線，是真命題，不符合題意；
故選：C．
填空題
11．將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，則的度數是 ．
【答案】
【分析】本題考查三角形內角和定理，根據題意可得：，，，根據三角形的內角和定理及對頂角可得，，最后再根據可得結論．掌握三角形內角和定理并靈活運用是解題的關鍵．
【詳解】解：∵將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的度數是．
故答案為：．
12．如圖，中，，，將沿EF折疊，A點落在形內的，則的度數為 ．
【答案】/60度
【分析】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是是解答此題的關鍵．先根據三角形內角和定理求出的度數，進而可得出的度數，根據圖形翻折變換的性質得出的度數，再由四邊形的內角和為即可得出結論．
【詳解】解：∵中，，，
∴，
∴，
∴，
∵由翻折而成，
∴，
∴．
故答案為：．
13．如圖，直線，，，則 ．

【答案】/80度
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形的內角和定理的運用，熟記性質并準確識圖理清各角度之間的關系是解題的關鍵．根據對頂角相等和利用三角形的內角和定理列式計算即可得解．
【詳解】解：如圖：

，，
，
故答案為：．
14．在中，則 ， ．
【答案】 /30度 /60度
【分析】本題主要考查三角形內角和，通過三角形內角和為列方程是解答本題的關鍵．
設設，，，根據三角形內角和為列方程求解即可．
【詳解】∵在中，
∴設，，，
∴，
解得
∴．
故答案為：，．
15．如圖，在中，D、E分別在上，若，則∠A的度數為 ．
【答案】60°/60度
【分析】本題主要考查了平行線的性質，三角形內角和定理的知識，掌握三角形內角和定理、兩直線平行同位角相等，是解答本題的關鍵．
由兩直線平行同位角相等，可得，再根據三角形內角和定理即可作答．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：60°．
三、解答題
16．如圖，島在島的北偏東方向，島在島的北偏東方向，島在島的北偏西方向，從島看、兩島的視角是多少度？

【答案】
【分析】本題主要考查了方位角的定義、平行線的性質、三角形內角和定理，根據方位角的概念，利用平行線的性質，結合三角形內角和定理即可求解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：島在島的北偏東方向，島在島的北偏東方向，
，，
，
，
，
，
島在島的北偏西方向，
，
，
．
17．在如圖所示的方格紙中，按下述要求畫圖并回答問題：
(1)畫線段，射線，過點C畫射線的垂線，垂足為點D，過點A畫平行于的直線，交于點E；
(2)若，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】此題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，射線、垂線及平行線的畫法，熟練掌握這些基礎知識點是解題關鍵．
（1）根據線段和射線的概念，結合網格的特點求解即可；
（2）首先根據平行線的性質得到，然后利用三角形內角和定理求解即可．
【詳解】（1）如圖所示，
（2）∵
∴
∵
∴
∴．
18．如圖，在中，，垂足為D，點E在上，，垂足為F，
(1)試說明的理由；
(2)如果，且，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)103°
【分析】本題考查的是三角形內角和定理和平行線的判定與性質，熟知三角形的內角和等于180°是解答此題的關鍵．
（1）先根據垂直定義得出，根據平行線判定可得出，故可得出，推出，根據平行線的判定即可得出結論；
（2）先根據得出，由直角三角形的性質得出的度數，故得出的度數，再根據平行線的性質即可得出結論．
【詳解】（1）解：．
理由是：∵，，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵由（1）知，
∴．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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11.2.1 三角形的內角 學案
（一）學習目標：
1.能夠理解三角形內角的定義，認識內角與外角的關系，并能夠通過實例加深理解。
2.能夠熟練運用內角和定理，計算給定三角形的內角和。
3.培養主動探究、合作學習的精神,激發對幾何圖形的興趣。
（二）學習重難點：
學習重點：掌握三角形內角的定義和性質；熟練運用內角和定理進行計算
學習難點：理解內角和外角的關系，并能將理論應用于實際問題中
閱讀課本，識記知識：
1.三角形的內角
(1)三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°.
(2)證明方法
剪拼成平角、通過作平行線構造平角，構造兩平行線下的同旁內角。
2.直角三角形的性質與判定
(1)性質：直角三角形的兩個銳角互余。
直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC。
(2)判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形。
如下圖，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形。
【例1】一個等腰三角形，一個角的度數是另一個角度數的，這個等腰三角形頂角的度數是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，三角形內角和定理，利用分類討論的思想解決問題是關鍵．設頂角度數為，分兩種情況討論：①若底角度數是頂角度數的；②若頂角度數是底角度數的，分別列方程求解即可．
【詳解】解：設頂角度數為，
①若底角度數是頂角度數的，則底角度數為，
則，
解得：；
②若頂角度數是底角度數的，則底角度數為，
則，
解得：；
即這個等腰三角形頂角的度數是或，
故選：D．
【例2】如圖，直線，且分別與的兩邊、相交，若，，則 ．

【答案】
【分析】本題考查平行線的性質、三角形內角和定理，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．先利用三角形內角和定理求出的度數，然后利用平行線的性質即可求解．
【詳解】解：如圖，

∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
選擇題
1．直角三角形的一個銳角等于，則它的另一個銳角等于（　　）
A． B．或 C． D．
2．如圖，在中，，是邊上的高，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
3．如圖，在中，，分別平分，，，分別平分，，若，則（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，在中，點D、E分別在、邊上，，點F在的延長線上，若，，則的大小為（　　）

A． B． C． D．
5．在中，若，則是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
6．如圖，是由一副三角板拼湊得到的，，，，A，E，B，D四點同線，E，F過點C，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
7．如圖，已知平分平分，于C，則下列說法：①；②；③；④．（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如圖，已知直線，，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
9．在直角三角形中，若一個銳角是，則該直角三角形的另一個銳角是( )
A． B． C． D．
10．下列命題中，假命題是（ ）
A．三角形的內角和等于 B．對頂角相等
C．內錯角相等 D．如果直線，，那么直線
填空題
11．將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，則的度數是 ．
12．如圖，中，，，將沿EF折疊，A點落在形內的，則的度數為 ．
13．如圖，直線，，，則 ．

14．在中，則 ， ．
15．如圖，在中，D、E分別在上，若，則∠A的度數為 ．
三、解答題
16．如圖，島在島的北偏東方向，島在島的北偏東方向，島在島的北偏西方向，從島看、兩島的視角是多少度？

17．在如圖所示的方格紙中，按下述要求畫圖并回答問題：
(1)畫線段，射線，過點C畫射線的垂線，垂足為點D，過點A畫平行于的直線，交于點E；
(2)若，求的度數．
18．如圖，在中，，垂足為D，點E在上，，垂足為F，
(1)試說明的理由；
(2)如果，且，求的度數．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
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達標測試
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