資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
11.2.2 三角形的外角 學案
（一）學習目標：
1.能夠理解三角形的外角概念，掌握外角與內角的關系.
2.能夠通過實際操作識別和計算三角形的外角。
3.能靈活運用外角定理解決簡單的幾何問題，并培養其空間想象能力和邏輯推理能力。
（二）學習重難點：
學習重點：理解并掌握三角形的外角概念及其與內角的關系
學習難點：學生能夠正確識別和計算三角形的外角，并能夠運用外角定理解決實際問題
閱讀課本，識記知識：
（1）定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.如圖，∠ABD是△ABC的一個外角。
（2）性質：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內角；三角形的外角和為360°。
【例1】如圖，是的一個外角，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查三角形的外角的性質，即三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，牢記三角形的外角的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵是的一個外角，
∴，
故選B．
【例2】把一副直角三角板（含、角）和（含、角）如圖放置，使直角頂點C重合，若，則的度數是 ．

【答案】/105度
【分析】本題主要考查平行線的性質以及三角形的外角和，解答本題的關鍵在于熟練掌握三角形的外角和性質，利用三角板的特殊角表示出，本題即可求解．
【詳解】解：∵，
（兩直線平行內錯角相等），
又，
（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和）．
故答案為：105°
選擇題
1．如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了三角形外角的性質，先求出，再根據三角形一個外角的度數等于與它不相鄰的兩個內角的度數之和進行求解即可．
【詳解】解：如圖，
由題意得，，
由三角形的外角性質得，．
故選：B．
2．將一副三角板按如圖所示方式擺放，使兩條斜邊互相平行，則＝( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查平行線的性質和三角形外角的性質，根據可得，再根據三角形外角的性質即可求解．
【詳解】解：如圖，
∵三角板兩條斜邊互相平行，即，
∴，
∵，
∴，
故選：D．
3．下列結論是真命題的是（ ）
A． B．是5的一個平方根
C．的立方根是 D．三角形的一個外角大于任何一個內角
【答案】B
【分析】根據平方根，算術平方根，立方根，三角形外角的性質判斷各選項的正誤，根據正確的命題是真命題進行作答即可．
【詳解】解：，A錯誤，故不符合要求；
是5的一個平方根，B正確，故符合要求；
的立方根是，C錯誤，故不符合要求；
三角形的一個外角大于不相鄰的任何一個內角，D錯誤，故不符合要求；
故選：B．
【點睛】本題考查了真命題，平方根，算術平方根，立方根，三角形外角的性質等知識．熟練掌握真命題，平方根，算術平方根，立方根，三角形外角的性質是解題的關鍵．
4．如圖，直線，，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題考查了平行線的性質，三角形外角的性質，首先根據得到，然后利用三角形外角的性質求解即可．解題的關鍵是熟練掌握三角形外角的性質：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．
【詳解】如圖所示，

∵，，
∴，
∵
∴．
故選A．
5．一副三角板有兩個直角三角形，如圖疊放在一起，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質、三角形外角的定義及性質，由題意得：，，，得出，由平行線的性質可得，再由三角形外角的定義及性質可得，計算即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：如圖，
，
由題意得：，，，
，
，
，
，
故選：B．
6．如圖是某支架的側面示意圖，經測量，，則圖中的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形外角的性質，根據即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴
故選：C．
7．如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點，交于，下面說法正確的是（ ）
①的面積等于的面積；②；③；④．
A．①③④ B．②④ C．①② D．①②③
【答案】D
【分析】本題主要考查三角形的中線，高線，角平分線，靈活運用三角形的中線，高線，角平分線的性質是解題的關鍵．根據三角形中線的性質可證明①；根據三角形的高線可得，利用三角形外角的性質結合角平分線的定義可求解，可判定②；根據角平分線的定義可求解③；根據已知條件無法判定④．
【詳解】是中線，
，
的面積的面積等底等高的三角形的面積相等，故正確；

是角平分線，
，
為高，
，
，
，，
，
，，
，故正確；
為高，
，
，
，，
，
是的平分線，
，
，
即，故正確；
根據已知條件不能推出，即不能推出，故錯誤；
故選：D．
8．如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心的光線相交于點，點為焦點． 若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查平行線的性質，三角形外角性質，對頂角的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．由平行線的性質得到，由對頂角的性質得到，再根據三角形外角的性質即可得到答案．
【詳解】解：，
，
，
，
，
．
故選C．
9．如圖，已知，，則的度數為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了三角形外角的性質．熟練掌握三角形外角的性質是解題的關鍵．
根據，計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，
故選：D．
10．將一副直角三角板如圖放置，使含角的三角板的短直角邊和含角的三角板的一條直角邊對齊，則的度數為( )

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是三角形內角和定理，三角形外角的性質，對頂角相等，解題的關鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和．
根據三角板可得：，然后根據三角形內角和定理可得的度數，進而得到的度數，再根據三角形的外角性質可得的度數．
【詳解】解：如圖：

由題意得：，
含角的三角板的短直角邊和含角的三角板的一條直角邊對齊，
，
，
，
故選：D．
填空題
11．如圖，已知是的外角，，，則的度數為 ．
【答案】
【分析】本題考查了三角形外角的定義及性質，根據三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內角之和進行求解即可，熟練掌握三角形的外角性質是解題的關鍵．
【詳解】解：是的外角，
，
，，
，
故答案為：．
12．如圖，在中，，，平分交于點，則 ．
【答案】85
【分析】本題考查了三角形內角和定理、角平分線的定義、三角形外角的定義及性質，由三角形內角和定理得出，由角平分線的定義得出，最后由三角形外角的定義及性質進行計算即可，熟練掌握三角形內角和定理、角平分線的定義、三角形外角的定義及性質是解此題的關鍵．
【詳解】解：在中，，，
，
平分交于點，
，
，
故答案為：．
13．將一副三角板按如圖所示的位置擺放，其中點O，E，F在直線l上，點B恰好落在邊上，，，，則的度數是 ．
【答案】/65度
【分析】此題考查了三角板中的角度計算，用到了三角形內角和定理、三角形外角的性質等知識，熟練掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．先根據三角形內角和定理和平角的定義求出，，再由三角形外角的性質求出，進一步即可得到的度數．
【詳解】解：∵，，．
∴，，
∴，
∴．
故答案為：．
14．如圖，在中，，點是延長線上一點，過點作，若，則的度數為
【答案】
【分析】本題考查了平行線的性質以及三角形的外角性質．由，利用“兩直線平行，內錯角相等”，再利用三角形的外角性質，即可求出的度數．
【詳解】解：∵，
∴．
是的外角，
，
∴．
故答案為：．
15．如圖，，，，則 ， ．

【答案】
【分析】本題主要考查了三角形的外角的定義根性質，根據，，問題即可得解．
【詳解】解：∵是的外角，
∴，
∵，，
∴；
∵是的外角，
∴，
∵，
∴．
故答案為：，．
三、解答題
16．如圖，在中，是邊上的高，，平分交于點E，，求的度數.
【答案】
【分析】本題考查了三角形高的定義，三角形角平分線的定義，三角形外角定理，三角形內角和定理的應用，掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．
根據三角形高的定義得出，依據進而得出，根據平分，得出，根據三角形內角和定理即可求出．
【詳解】是邊上的高，
，
又平分
在中， ，
17．如圖，，F是延長線上一點，G是上一點，并且，．請判斷與的數量關系并證明．
【答案】，證明見解析
【分析】本題考查平行線的性質，三角形的外角的性質．根據三角形的外角，得到，平行線的性質，得到，根據，即可得出結論．掌握相關性質，是解題的關鍵．
【詳解】解：，證明如下：
∵，，是的一個外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．如圖，已知：點P是內一點．
(1)求證：；
(2)若平分，平分，，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了三角形的外角性質、三角形內角和定理、三角形的角平分線定義．
（1）延長交于D，根據外角的性質知，根據外角的性質知，所以易證．
（2）由三角形內角和定理求出，由角平分線和三角形內角和定理即可得出結果．
【詳解】（1）證明：如圖：延長交于D，
是的一個外角，是的一個外角，
，，
；
（2）在中，
，
，
平分，平分，
，，
在中，
．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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11.2.2 三角形的外角 學案
（一）學習目標：
1.能夠理解三角形的外角概念，掌握外角與內角的關系.
2.能夠通過實際操作識別和計算三角形的外角。
3.能靈活運用外角定理解決簡單的幾何問題，并培養其空間想象能力和邏輯推理能力。
（二）學習重難點：
學習重點：理解并掌握三角形的外角概念及其與內角的關系
學習難點：學生能夠正確識別和計算三角形的外角，并能夠運用外角定理解決實際問題
閱讀課本，識記知識：
（1）定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.如圖，∠ABD是△ABC的一個外角。
（2）性質：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內角；三角形的外角和為360°。
【例1】如圖，是的一個外角，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查三角形的外角的性質，即三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，牢記三角形的外角的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵是的一個外角，
∴，
故選B．
【例2】把一副直角三角板（含、角）和（含、角）如圖放置，使直角頂點C重合，若，則的度數是 ．

【答案】/105度
【分析】本題主要考查平行線的性質以及三角形的外角和，解答本題的關鍵在于熟練掌握三角形的外角和性質，利用三角板的特殊角表示出，本題即可求解．
【詳解】解：∵，
（兩直線平行內錯角相等），
又，
（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和）．
故答案為：105°
選擇題
1．如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2．將一副三角板按如圖所示方式擺放，使兩條斜邊互相平行，則＝( )
A． B． C． D．
3．下列結論是真命題的是（ ）
A． B．是5的一個平方根
C．的立方根是 D．三角形的一個外角大于任何一個內角
4．如圖，直線，，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
5．一副三角板有兩個直角三角形，如圖疊放在一起，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
6．如圖是某支架的側面示意圖，經測量，，則圖中的度數為（ ）

A． B． C． D．
7．如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點，交于，下面說法正確的是（ ）
①的面積等于的面積；②；③；④．
A．①③④ B．②④ C．①② D．①②③
8．如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心的光線相交于點，點為焦點． 若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
9．如圖，已知，，則的度數為( )
A． B． C． D．
10．將一副直角三角板如圖放置，使含角的三角板的短直角邊和含角的三角板的一條直角邊對齊，則的度數為( )

A． B． C． D．
填空題
11．如圖，已知是的外角，，，則的度數為 ．
12．如圖，在中，，，平分交于點，則 ．
13．將一副三角板按如圖所示的位置擺放，其中點O，E，F在直線l上，點B恰好落在邊上，，，，則的度數是 ．
14．如圖，在中，，點是延長線上一點，過點作，若，則的度數為
15．如圖，，，，則 ， ．

三、解答題
16．如圖，在中，是邊上的高，，平分交于點E，，求的度數.
17．如圖，，F是延長線上一點，G是上一點，并且，．請判斷與的數量關系并證明．
18．如圖，已知：點P是內一點．
(1)求證：；
(2)若平分，平分，，求的度數．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
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