資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
11.3.1 多邊形 學案
（一）學習目標：
1.理解多邊形的定義及其分類，如三角形、四邊形等。
2.掌握多邊形內角和的計算方法，并能夠應用這一知識解決實際問題。
3.學會繪制多邊形，并能識別和判斷不同多邊形的特性。
4.培養空間想象能力和邏輯思維，提高解決與多邊形相關的數學問題的能力。
（二）學習重難點：
學習重點：多邊形的概念和分類以及內角和的計算
學習難點：理解和應用多邊形的性質及如何靈活運用公式計算內角和
閱讀課本，識記知識：
(1)定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。
(2)多邊形的內角；多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內角。
(3)多邊形的外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。
如圖，∠2是五邊形ABCDE的一個外角。
(4)多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.
(5)凸多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形就是凸多邊形.
(6)正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.一個n邊形從一個頂點出發有(n-3)條對角線，所有對角線的數量是 條
【例1】下面各選項中，說法錯誤的是（ ）
A．一個直五棱柱有10個頂點
B．用一平面去截一個圓錐，截面不可能是長方形
C．繞長方形的長或寬旋轉一周均可以得到一個圓柱
D．一個六邊形從一個頂點出發最多能引出4條對角線
【答案】D
【分析】五棱柱上下底面各有5個頂點，即共有10個頂點，即可判定A；用一平面去截一個圓錐，截面帶有弧線或截面是三角形，不可能是長方形，即可判斷B；根據面動成體結合圓柱的特點即可判斷C；根據n邊形一個頂點最多有條對角線即可判斷D．
【詳解】解：A、一個直五棱柱有10個頂點，原說法正確，不符合題意；
B、用一平面去截一個圓錐，截面不可能是長方形，原說法正確，不符合題意；
C、繞長方形的長或寬旋轉一周均可以得到一個圓柱，原說法正確，不符合題意；
D、一個六邊形從一個頂點出發最多能引出條對角線，原說法錯誤，符合題意；
故選D．
【點睛】本題主要考查了幾何體中頂點個數問題，截一個幾何體，面動成體，多邊形一個頂點的對角線問題，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
【例2】下列圖形是正多邊形的是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了正多邊形，根據正多邊形的定義；各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形可得答案．
【詳解】解：A.是等腰三角形，不是正多邊形，故選項A不符合題意；
B.是圓角矩形，不是正多邊形，故選項B不符合題意；
C.是正五邊形，符合題意；
D.是一般六邊形，不是正多邊形，故選項D不符合題意；
故選：C．
選擇題
1．邊長為整數的正多邊形的周長為13，則從該正多邊形的一個頂點出發的對角線條數為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】本題主要考查了多邊形一個頂點出發的對角線條數問題，先根據題意求出該正多邊形為正十三邊形，再根據多邊形的邊數多邊形從其一個頂點出發對角線條數進行求解即可．
【詳解】解：∵邊長為整數的正多邊形的周長為13，
∴該正多邊形為正十三邊形，
∴從該正多邊形的一個頂點出發的對角線條數為條，
故選C．
2．過八邊形的某一個頂點能畫的對角線條數是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【分析】本題考查了多邊形的對角線，解題的關鍵在于掌握計算方法：根據邊形從一個頂點出發可引出條對角線可直接得到答案．
【詳解】從八邊形的一個頂點可引出的對角線的條數有：（條）
故選：D．
3．若一個多邊形從一個頂點最多能引出5條對角線，則這個多邊形是（ ）．
A．六邊形 B．七邊形 C．八邊形 D．九邊形
【答案】C
【分析】本題考查了多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．掌握n邊形從一個頂點出發可引出條對角線是解題的關鍵．
【詳解】解：從一個多邊形的一個頂點出發可以引5條對角線，設多邊形邊數為n，
，
解得．
故選：C．
4．如果一個多邊形從一個頂點出發最多能畫6條對角線，則這個多邊形的邊數為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本題考查了一個頂點出發的對角線條數，解題的關鍵是掌握多邊形從一個頂點可以最多畫出條對角線．
根據從n邊形的一個頂點可以最多畫出條對角線，求出邊數即可．
【詳解】解：設多邊形的邊數為n，
由題意得：，
解得，
故選：C．
5．從一個七邊形的一個頂點可引出 條對角線，這些對角線把這個七邊形分成 個三角形，七邊形共有 條對角線．
A．4，5，14 B．6，7，42 C．4，5，28 D．6，7，21
【答案】A
【分析】本題主要考查了多邊形的對角線問題，熟練掌握過n邊形的一個頂點，可以引出條對角線，這些對角線把該多邊形分成個三角形是解題的關鍵．
【詳解】解：從一個七邊形的一個頂點可引出條對角線，這些對角線把這個七邊形分成個三角形，七邊形共有對角線條數為：
（條）．
故選：A．
6．一個多邊形過一個頂點有7條對角線，則這個多邊形的邊數為（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
【答案】D
【分析】本題考查了一個頂點出發的對角線條數，根據從多邊形的一個頂點可以作對角線的條數公式求出邊數即可得解．
【詳解】解：∵多邊形從一個頂點出發可引出7條對角線，
∴，
解得．
故選：D．
7．下列說法正確的是（ ）
A．連接兩點的線段叫做兩點間的距離 B．過七邊形的一個頂點有5條對角線
C．直線與直線是同一條直線 D．若，則C是線段的中點
【答案】C
【分析】根據兩點間的距離，多邊形的對角線的條數，線段中點的定義，直線的定義，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：A、連接兩點的線段的長叫做兩點之間的距離，選項錯誤，不符合題意；
B、過七邊形的一個頂點有4條對角線，選項錯誤，不符合題意；
C、直線與直線是同一條直線，選項正確，符合題意；
D、若點在線段上，，則是線段的中點，選項錯誤，不符合題意；
故選C．
【點睛】本題考查兩點間的距離，多邊形的對角線的條數，線段中點，直線的定義．熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵．
8．一個多邊形從一個頂點出發引出8條對角線，那么這個多邊形邊數是（　　）
A．8 B．10 C．11 D．9
【答案】C
【分析】本題主要考查了多邊形的對角線的條數問題．根據一個邊形從一個頂點出發有條對角線，即可求出該多邊形的邊數．
【詳解】解：設這個多邊形的邊數為，
一個多邊形從一個頂點出發共引8條對角線，
，
解得：，
故選：C．
9．如果從一個多邊形的一個頂點出發作它的對角線，最多能將多邊形分成2022個三角形，那么這個多邊形的邊數為（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【分析】本題考查多邊形的有關知識，根據從n邊形的一個頂點出發作它的對角線，將n邊形最多分成個三角形進行求解即可．
【詳解】解：∵從一個多邊形的一個頂點出發作它的對角線，最多能將多邊形分成2022個三角形，
∴這個多邊形的邊數為，
故選C．
10．如圖，在正八邊形中，連接，設，四邊形的周長分別為，則下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．無法比較的大小
【答案】B
【分析】本題考查了正多邊形的性質，三角形全等的判定和性質，三角形兩邊之和大于第三邊的應用，先證明，得到，計算，結合兩邊之和大于第三邊，計算判斷即可．
【詳解】∵該圖是正八邊形，
∴，
，
∵，
∴，
同理可證，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選B．
填空題
11．從七邊形的一個頂點作對角線，把這個七邊形分成三角形的個數為 ．
【答案】5
【分析】本題考查了多邊形的對角線，多邊形有n條邊，則經過多邊形的一個頂點的所有對角線有條，經過多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成個三角形．根據n邊形從一個頂點引出的對角線與邊的關系：，可分成個三角形直接判斷．
【詳解】解：從n邊形的一個頂點作對角線，把這個n邊形分成三角形的個數是，
∴從7邊形的一個頂點作對角線，把這個7邊形分成三角形的個數是：（個），
故答案為：5．
12．從多邊形的一個頂點出發，分別連接這個點與同它不相鄰的各個頂點，得到9個三角形，那么這個多邊形為 邊形．
【答案】11
【分析】本題主要考查了多邊形的性質，解題的關鍵是從n邊形的一個頂點出發，分別連接這個點與其余各頂點，形成的三角形個數為的規律進行解答即可．
【詳解】解：設多邊形有n條邊，則，
解得：，
故多邊形是十一邊形．
故答案為：11．
13．三角形具有穩定性．要使一個四邊形框架穩定不變形，至少需要釘1根木條；要使一個五邊形框架穩定不變形，至少需要釘2根木條；……．由此，要使一個十邊形框架穩定不變形，則至少需要釘 根木條．
【答案】7
【解析】略
14．如圖是一個五邊形木框，要固定它的形狀，至少要 釘根木條．
【答案】2
【分析】本題考查了三角形具有穩定性，以及多邊形從一個頂點可畫對角線的條數，根據n邊形從一個頂點可畫條對角線，即可解答．
【詳解】解：由題意得要使五邊形木框不變形，至少還要釘根木條，
故答案為：2．
15．把一個九邊形分割成三角形，至少可以分割成三角形的個數是 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了多邊形的對角線，根據邊形從一個頂點出發可引出條對角線，把多邊形分成個三角形進行計算，解題的關鍵是掌握邊形從一個頂點出發引出的對角線把多邊形分成個三角形．
【詳解】解：一個九邊形至少可以分割成三角形的個數為：，
故答案為：．
三、解答題
16．已知從一個七邊形的某一個頂點出發的所有對角線將這個七邊形分成了x個三角形，且這些對角線的條數是y，求的值．
【答案】
【分析】本題考查了多邊形的對角線，若多邊形為邊形，根據從多邊形一個頂點出發的所有對角線將多邊形分成個三角形，這些對角線有條，據此解答即可．
【詳解】解：根據題意可知，這個七邊形從一個頂點出發的對角線有4條，這些對角線將這個七邊形分成了5個三角形，
所以，，
所以
17．如圖，在五邊形的邊上，連接，可以得到幾個三角形？它與邊數有何關系？
【答案】可以得到4個三角形，三角形的個數等于邊數減1
【分析】根據圖形找出三角形的個數，再分析出三角形個數與邊數的關系即可．
【詳解】解：根據圖形可知，
圖中共有4個三角形，三角形的個數等于邊數減1．
【點睛】本題主要考查了多邊形的知識，正確找出三角形的個數是解題關鍵．
18．畫出下面各圖中多邊形的所有對角線．

【答案】見解析
【分析】將與每個頂點不相鄰的頂點連起來即可.
【詳解】解：分別將三個圖形中的與每個頂點不相鄰的頂點連接起來，
如圖所示，即為所求：

【點睛】本題主要考查了多邊形對角線的概念，熟記概念和嫻熟的作圖能力是解答本題的關鍵.
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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11.3.1 多邊形 學案
（一）學習目標：
1.理解多邊形的定義及其分類，如三角形、四邊形等。
2.掌握多邊形內角和的計算方法，并能夠應用這一知識解決實際問題。
3.學會繪制多邊形，并能識別和判斷不同多邊形的特性。
4.培養空間想象能力和邏輯思維，提高解決與多邊形相關的數學問題的能力。
（二）學習重難點：
學習重點：多邊形的概念和分類以及內角和的計算
學習難點：理解和應用多邊形的性質及如何靈活運用公式計算內角和
閱讀課本，識記知識：
(1)定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。
(2)多邊形的內角；多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內角。
(3)多邊形的外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。
如圖，∠2是五邊形ABCDE的一個外角。
(4)多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.
(5)凸多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形就是凸多邊形.
(6)正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.一個n邊形從一個頂點出發有(n-3)條對角線，所有對角線的數量是 條
【例1】下面各選項中，說法錯誤的是（ ）
A．一個直五棱柱有10個頂點
B．用一平面去截一個圓錐，截面不可能是長方形
C．繞長方形的長或寬旋轉一周均可以得到一個圓柱
D．一個六邊形從一個頂點出發最多能引出4條對角線
【答案】D
【分析】五棱柱上下底面各有5個頂點，即共有10個頂點，即可判定A；用一平面去截一個圓錐，截面帶有弧線或截面是三角形，不可能是長方形，即可判斷B；根據面動成體結合圓柱的特點即可判斷C；根據n邊形一個頂點最多有條對角線即可判斷D．
【詳解】解：A、一個直五棱柱有10個頂點，原說法正確，不符合題意；
B、用一平面去截一個圓錐，截面不可能是長方形，原說法正確，不符合題意；
C、繞長方形的長或寬旋轉一周均可以得到一個圓柱，原說法正確，不符合題意；
D、一個六邊形從一個頂點出發最多能引出條對角線，原說法錯誤，符合題意；
故選D．
【點睛】本題主要考查了幾何體中頂點個數問題，截一個幾何體，面動成體，多邊形一個頂點的對角線問題，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
【例2】下列圖形是正多邊形的是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了正多邊形，根據正多邊形的定義；各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形可得答案．
【詳解】解：A.是等腰三角形，不是正多邊形，故選項A不符合題意；
B.是圓角矩形，不是正多邊形，故選項B不符合題意；
C.是正五邊形，符合題意；
D.是一般六邊形，不是正多邊形，故選項D不符合題意；
故選：C．
選擇題
1．邊長為整數的正多邊形的周長為13，則從該正多邊形的一個頂點出發的對角線條數為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．過八邊形的某一個頂點能畫的對角線條數是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．若一個多邊形從一個頂點最多能引出5條對角線，則這個多邊形是（ ）．
A．六邊形 B．七邊形 C．八邊形 D．九邊形
4．如果一個多邊形從一個頂點出發最多能畫6條對角線，則這個多邊形的邊數為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．從一個七邊形的一個頂點可引出 條對角線，這些對角線把這個七邊形分成 個三角形，七邊形共有 條對角線．
A．4，5，14 B．6，7，42 C．4，5，28 D．6，7，21
6．一個多邊形過一個頂點有7條對角線，則這個多邊形的邊數為（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
7．下列說法正確的是（ ）
A．連接兩點的線段叫做兩點間的距離 B．過七邊形的一個頂點有5條對角線
C．直線與直線是同一條直線 D．若，則C是線段的中點
8．一個多邊形從一個頂點出發引出8條對角線，那么這個多邊形邊數是（　　）
A．8 B．10 C．11 D．9
9．如果從一個多邊形的一個頂點出發作它的對角線，最多能將多邊形分成2022個三角形，那么這個多邊形的邊數為（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
10．如圖，在正八邊形中，連接，設，四邊形的周長分別為，則下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．無法比較的大小
填空題
11．從七邊形的一個頂點作對角線，把這個七邊形分成三角形的個數為 ．
12．從多邊形的一個頂點出發，分別連接這個點與同它不相鄰的各個頂點，得到9個三角形，那么這個多邊形為 邊形．
13．三角形具有穩定性．要使一個四邊形框架穩定不變形，至少需要釘1根木條；要使一個五邊形框架穩定不變形，至少需要釘2根木條；……．由此，要使一個十邊形框架穩定不變形，則至少需要釘 根木條．
14．如圖是一個五邊形木框，要固定它的形狀，至少要 釘根木條．
15．把一個九邊形分割成三角形，至少可以分割成三角形的個數是 ．
三、解答題
16．已知從一個七邊形的某一個頂點出發的所有對角線將這個七邊形分成了x個三角形，且這些對角線的條數是y，求的值．
17．如圖，在五邊形的邊上，連接，可以得到幾個三角形？它與邊數有何關系？
18．畫出下面各圖中多邊形的所有對角線．

（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
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