資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
12.1 全等三角形 學案
（一）學習目標：
1.能夠理解全等三角形的觀點，掌握全等三角形的符號表示，并能夠識別全等三角形的特點。
2.通過觀察、分析、討論等活動，提高觀察能力和分析能力，加深對全等三角形觀點的理解。
3.培養空間觀念和觀察能力，激發對數學的興趣和熱愛。
（二）學習重難點：
學習重點：全等三角形的觀點識別和符號表示
學習難點：如何引導學生觀察、分析、討論，提高觀察能，力和分析能力
閱讀課本，識記知識：
1.全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.
2.全等三角形的相關概念及表示方法
(1)相關概念
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。
把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角。
(2)表示方法
全等的符號：“≌”，讀作“全等于”。
△ABC與△DEF全等，記作；△ABC≌△DEF，讀作：“三角形ABC全等于三角形DEF".
記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.△ABC和△DBC全等，點A和點D，點B和點B，點C和點C是對應頂點，記作△ABC≌△DBC。
3.全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等。
4.確定全等三角形對應邊、對應角的方法
(1)若有公共邊，則公共邊一定是對應邊。
(2)一對最長的邊一定是對應邊，一對最短的邊也一定是對應邊。
(3)若有公共角，則公共角一定是對應角。
(4)若有對頂角，則對頂角一定是對應角。
(5)一對最大的角一定是對應角，一對最小的角也一定是對應角。
(6)兩邊是對應的，則它們所對的角也一定是對應的；反過來，兩個角是對應的，則它們所對的邊也是對應的。
(7)兩條對應邊所夾的角是對應角，兩對對應角所夾的邊是對應邊。
(8)兩個三角形全等用“>”表示，找對應邊、對應角一般可以從其書寫的順序和位置上來找。
【例1】下列說法中，正確的個數有（ ）
①三角形具有穩定性；②直角三角形的三條高線的交點恰好是三角形的一個頂點
③全等三角形的面積一定相等；④三角形的外角大于它的內角
⑤能把一個三角形分成面積相等的兩個三角形的是中線和角平分線；
⑥三角形的三條角平分線交于一點，且這點在三角形內；
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形的角平分線以及中線、高線的定義、全等三角形的性質等知識，正確掌握相關定義是解題關鍵．直接利用三角形的角平分線以及中線、高線的定義、全等三角形的性質、三角形外角的性質分別分析得出答案．
【詳解】解：①三角形具有穩定性，正確；
②直角三角形的三條高線的交點恰好是三角形的一個頂點，正確；
③全等三角形的面積一定相等，正確；
④三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內角，故此選項錯誤；
⑤能把一個三角形分成面積相等的兩個三角形的是中線，故此選項錯誤；
⑥三角形的三條角平分線交于一點，且這點在三角形內，正確；
故選：C．
【例2】下列各組圖形中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查全等形，掌握能完全重合的兩個圖形是全等形是解題的關鍵．
【詳解】觀察發現：A，C，D選項中兩個圖形不能完全重合，不是全等形；
B選項中兩個圖形能完全重合，是全等形，
故選B．
選擇題
1．如圖，兩個三角形全等，則的度數是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了全等三角形對應角相等，根據全等三角形對應角相等可知是、邊的夾角，然后寫出即可．
【詳解】解：∵兩個三角形全等，是、邊的夾角
，
故選：A．
2．下列說法正確的是（ ）
A．形狀相同的兩個三角形全等 B．面積相等的兩個三角形全等
C．全等三角形的周長相等、面積相等 D．所有的等邊三角形全等
【答案】C
【分析】本題考查三角形全等的概念及性質，根據三角形全等的概念和性質逐一判斷即可.
【詳解】A選項：形狀和大小完全相同的兩個三角形全等，故形狀相同的兩個三角形不一定全等，本選項說法錯誤；
B選項：全等的兩個三角形面積相等，但面積相等的兩個三角形不一定全等，故本選項說法錯誤；
C選項：全等三角形的周長相等，面積相等，本選項說法正確；
D選項：等邊三角形的形狀相同，但大小不同，故本選項說法錯誤.
故選：C
3．如圖，若，四個點B、E、C、F在同一直線上，，，則的長是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【分析】本題考查的是全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等、全等三角形的對應角相等解題即可．
【詳解】解：∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∵．
故選：A．
4．下列命題中是真命題的是（ ）
A．相等的角是對頂角 B．不相交的兩條直線是平行線
C．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等 D．全等三角形對應邊上的高相等
【答案】D
【分析】本題考查的是真假命題的判斷，對頂角的定義，平面內，兩條直線的位置關系，平行線的性質，全等三角形的性質，熟記定義與性質是解本題的關鍵．
【詳解】解：相等的角不一定是對頂角，原來命題為假命題，
在同一平面內，不相交的兩條直線是平行線， 原來命題為假命題，
兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，原來命題為假命題，
全等三角形對應邊上的高相等，真命題，
故選D
5．如圖，如果，的周長是，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題主要考查了全等三角形的性質．利用全等三角形的性質得出對應邊的值，進而求出即可．
【詳解】解：∵，的周長是，
∴，
∴．
故選：A．
6．如圖，在中，．點P從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿折線A﹣C﹣B向終點B運動，同時點Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿折線B﹣C﹣A向終點A運動，點P，Q都運動到各自的終點時停止．設運動時間為t（秒），直線l經過點C，且，過點P，Q分別作直線l的垂線段，垂足為E，F．當與全等時，t的值不可能是（　　）
A．2 B． C．3 D．6
【答案】C
【分析】分三種情況討論得出關于t的方程，解方程求得t的值．本題考查了三角形全等的性質、一元一次方程的應用，根據題意得出關于t的方程是解題的關鍵．
【詳解】解：當P在上，Q在上時，如圖，過點P，Q，C分別作直線l于點E，直線l于點F，于點D，
∵，
∴，
∵于E，于F．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
當P在上，Q在上時，即P、Q重合時，則，
由題意得，，
解得；
當P在上，Q在上時，即A、Q重合時，則，
由題意得，，
解得．
綜上，當與全等時，t的值為2或或6．
∴t的值不可能是3．
故選：C．
7．如圖，，點在上，若，則的長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本題考查全等三角形的性質，根據，得到，，進而利用求出的長即可．掌握全等三角形的對應邊相等，是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，，
∵點在上，
∴；
故選C．
8．如圖，嘉淇利用全等三角形的知識測量池塘兩端A，B之間的距離，如果，則只需測出（ ）
A．的長度 B．的長度 C．的長度 D．的長度
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的應用，根據全等三角形的性質即可得到結論，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．
【詳解】∵，
∴，
故只需測出的長度，
故選：B．
9．下列各選項中的兩個圖形屬于全等形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是全等圖形，掌握全等圖形的概念是解決問題的關鍵．
利用全等圖形的概念可得答案．
【詳解】解：A．兩個圖形形狀相同，大小不同，不是全等圖形；
B．兩個圖形能完全重合，符合題意；
C．兩個圖形形狀不同，不是全等圖形；
D．兩個圖形形狀相同大小不同，不是全等圖形；
故選：B．
10．如圖，兩個三角形全等，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是全等三角形的性質，掌握全等三角形的性質定理是解題的關鍵．根據全等三角形的性質解答即可．
【詳解】解：∵與的兩邊長都為b與c，
∴由全等三角形的性質，可得：，
故選：C．
填空題
11．如圖，，若，則 ．
【答案】55
【分析】本題考查了全等三角形的性質和三角形內角和定理的應用，根據全等三角形對應角相等可得，再根據三角形的內角和定理列式求出．
【詳解】解：∵，，
，
，
，
故答案為：55．
12．如圖，，與是對應角，與是對應邊，，，那么的長是 cm．
【答案】8
【分析】本題考查了全等三角形的性質．由全等三角形的性質“全等三角形的對應邊相等”求得，，據此求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案為：8．
13．已知三邊長分別是4，，9，的三邊長4，，若這兩個三角形全等，則 ．
【答案】或/或
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質，根據全等三角形的性質得到，或，分別求出的值，代入計算即可．
【詳解】解：∵兩個三角形全等，
∴，或，
∴或，
∴或，
故答案為：或．
14．已知≌，點與點，點與點分別是對應頂點，若，，，則 ， ．
【答案】 20
【分析】考查“全等三角形對應邊相等，對應角相等”，利用全等三角形對應邊相等，對應角相等的性質即可解題，正確找出對應邊，對應角是解決本題的關鍵．
【詳解】在中， ，，
∴，
∵，點A與點D，點B與點E分別是對應頂點，
∴的對應角是，
∴，
∵
∴的對應邊是為，
故答案為， 20．
15．在中，，直線l過點 C．，，如圖，點B與點F關于直線l對稱，連接．點M從A點出發，以每秒的速度沿路徑運動，終點為C，點N以每秒的速度沿路徑運動，終點為F，分別過點M，N作直線l于點D，直線l于點E，點M，N同時開始運動，各自達到相應的終點時停止運動，設運動時間為t秒．當t是 秒時，與全等．

【答案】或5或
【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質．分點沿路徑運動、點沿路徑運動、點沿路徑運動、點沿路徑運動四種情況計算即可．
【詳解】解：∵，直線l于點D，點B與點F關于直線l對稱，
∴，
∴，
∵運動時間為t秒．
∴，
∴當時，，
當點沿路徑運動時，，
，
解得，，不合題意，
當點沿路徑運動時，，
，
解得，，
當點沿路徑運動時，
，
解得，，
當點沿路徑運動時，，
，
解得，，
綜上所述，當或5或時，．
故答案為：或5或．
三、解答題
16．如圖，A、D、E三點在同一條直線上，且．

(1)若，，求；
(2)若，求．
【答案】(1)2
(2)
【分析】此題考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的對應邊相等和對應角相等是解題的關鍵．
（1）根據全等三角形的性質得到，，即可得到答案；
（2）根據平行線的性質得到，根據全等三角形的性質得到，，則，由平角的定義及等量代換即可得到的度數．
【詳解】（1）解：∵，，，
，，
；
（2）∵，
，
∵，
，
，
，
，
，
．
17．如圖，，．若，，求線段的長．
【答案】2
【分析】本題考查全等三角形的性質，根據“全等三角形的對應邊相等”可得，再同時減去可得，最后求解即可．
【詳解】解：，，
，
，
，
，，
，
．
18．如圖，已知在中，，點為的中點．如果點在線段上以的速度由出發向點運動，同時點在線段上由點出發向A點運動．設運動時間為．
(1)第時，______，______．（用含的代數式表示）
(2)當和恰好是以點和為對應點的全等三角形時，求的值．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本題考查了動點問題在實際生活中的運用，全等三角形的性質的運用，行程問題的數量關系的運用，解答時運用全等三角形的性質求解是關鍵．
（1）根據距離速度時間分別求得、即可；
（2）分類討論，當和時，由全等三角形的性質就可以求出結論．
【詳解】（1）解：依題意得：，；
（2）解：當時，．
，
，
．
當時，．
點為的中點，
．
，
，
，
，
．
綜上所述，當和恰好是以點和為對應點的全等三角形時，或．
37．（2023上·江蘇連云港·八年級校考階段練習）沿圖中的虛線畫線，把下面的圖形劃
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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12.1 全等三角形 學案
（一）學習目標：
1.能夠理解全等三角形的觀點，掌握全等三角形的符號表示，并能夠識別全等三角形的特點。
2.通過觀察、分析、討論等活動，提高觀察能力和分析能力，加深對全等三角形觀點的理解。
3.培養空間觀念和觀察能力，激發對數學的興趣和熱愛。
（二）學習重難點：
學習重點：全等三角形的觀點識別和符號表示
學習難點：如何引導學生觀察、分析、討論，提高觀察能，力和分析能力
閱讀課本，識記知識：
1.全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.
2.全等三角形的相關概念及表示方法
(1)相關概念
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。
把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角。
(2)表示方法
全等的符號：“≌”，讀作“全等于”。
△ABC與△DEF全等，記作；△ABC≌△DEF，讀作：“三角形ABC全等于三角形DEF".
記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.△ABC和△DBC全等，點A和點D，點B和點B，點C和點C是對應頂點，記作△ABC≌△DBC。
3.全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等。
4.確定全等三角形對應邊、對應角的方法
(1)若有公共邊，則公共邊一定是對應邊。
(2)一對最長的邊一定是對應邊，一對最短的邊也一定是對應邊。
(3)若有公共角，則公共角一定是對應角。
(4)若有對頂角，則對頂角一定是對應角。
(5)一對最大的角一定是對應角，一對最小的角也一定是對應角。
(6)兩邊是對應的，則它們所對的角也一定是對應的；反過來，兩個角是對應的，則它們所對的邊也是對應的。
(7)兩條對應邊所夾的角是對應角，兩對對應角所夾的邊是對應邊。
(8)兩個三角形全等用“>”表示，找對應邊、對應角一般可以從其書寫的順序和位置上來找。
【例1】下列說法中，正確的個數有（ ）
①三角形具有穩定性；②直角三角形的三條高線的交點恰好是三角形的一個頂點
③全等三角形的面積一定相等；④三角形的外角大于它的內角
⑤能把一個三角形分成面積相等的兩個三角形的是中線和角平分線；
⑥三角形的三條角平分線交于一點，且這點在三角形內；
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形的角平分線以及中線、高線的定義、全等三角形的性質等知識，正確掌握相關定義是解題關鍵．直接利用三角形的角平分線以及中線、高線的定義、全等三角形的性質、三角形外角的性質分別分析得出答案．
【詳解】解：①三角形具有穩定性，正確；
②直角三角形的三條高線的交點恰好是三角形的一個頂點，正確；
③全等三角形的面積一定相等，正確；
④三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內角，故此選項錯誤；
⑤能把一個三角形分成面積相等的兩個三角形的是中線，故此選項錯誤；
⑥三角形的三條角平分線交于一點，且這點在三角形內，正確；
故選：C．
【例2】下列各組圖形中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查全等形，掌握能完全重合的兩個圖形是全等形是解題的關鍵．
【詳解】觀察發現：A，C，D選項中兩個圖形不能完全重合，不是全等形；
B選項中兩個圖形能完全重合，是全等形，
故選B．
選擇題
1．如圖，兩個三角形全等，則的度數是( )
A． B． C． D．
2．下列說法正確的是（ ）
A．形狀相同的兩個三角形全等 B．面積相等的兩個三角形全等
C．全等三角形的周長相等、面積相等 D．所有的等邊三角形全等
3．如圖，若，四個點B、E、C、F在同一直線上，，，則的長是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
4．下列命題中是真命題的是（ ）
A．相等的角是對頂角 B．不相交的兩條直線是平行線
C．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等 D．全等三角形對應邊上的高相等
5．如圖，如果，的周長是，則（ ）．
A． B． C． D．
6．如圖，在中，．點P從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿折線A﹣C﹣B向終點B運動，同時點Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿折線B﹣C﹣A向終點A運動，點P，Q都運動到各自的終點時停止．設運動時間為t（秒），直線l經過點C，且，過點P，Q分別作直線l的垂線段，垂足為E，F．當與全等時，t的值不可能是（　　）
A．2 B． C．3 D．6
7．如圖，，點在上，若，則的長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如圖，嘉淇利用全等三角形的知識測量池塘兩端A，B之間的距離，如果，則只需測出（ ）
A．的長度 B．的長度 C．的長度 D．的長度
9．下列各選項中的兩個圖形屬于全等形的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如圖，兩個三角形全等，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
填空題
11．如圖，，若，則 ．
12．如圖，，與是對應角，與是對應邊，，，那么的長是 cm．
13．已知三邊長分別是4，，9，的三邊長4，，若這兩個三角形全等，則 ．
14．已知≌，點與點，點與點分別是對應頂點，若，，，則 ， ．
15．在中，，直線l過點 C．，，如圖，點B與點F關于直線l對稱，連接．點M從A點出發，以每秒的速度沿路徑運動，終點為C，點N以每秒的速度沿路徑運動，終點為F，分別過點M，N作直線l于點D，直線l于點E，點M，N同時開始運動，各自達到相應的終點時停止運動，設運動時間為t秒．當t是 秒時，與全等．

三、解答題
16．如圖，A、D、E三點在同一條直線上，且．

(1)若，，求；
(2)若，求．
17．如圖，，．若，，求線段的長．
18．如圖，已知在中，，點為的中點．如果點在線段上以的速度由出發向點運動，同時點在線段上由點出發向A點運動．設運動時間為．
(1)第時，______，______．（用含的代數式表示）
(2)當和恰好是以點和為對應點的全等三角形時，求的值．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
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