資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
12.2 全等三角形的判定 學(xué)案
（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.掌握三角形的證明方法SAS\AAS和ASA等方法,會(huì)熟練掌握證明的標(biāo)準(zhǔn)步驟。
2.通過探究活動(dòng)，學(xué)生體會(huì)特殊到一般的思想，掌握研究幾何問題的一般方法。
3.通過探究三角形證明全等的證明方法，體會(huì)分類討論的數(shù)學(xué)思想，有助于學(xué)生養(yǎng)成勤于思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，體會(huì)數(shù)學(xué)的邏輯美、嚴(yán)謹(jǐn)美。
（二）學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：全等三角形的判定和證明方法
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用證明方法進(jìn)行證明，由證明結(jié)論倒推尋找已知和隱含條件的思維過程。
閱讀課本，識(shí)記知識(shí)：
1.三角形全等的判定方法
（1）SSS（邊邊邊）：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。
（2）SAS（邊角邊）：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。
（3）ASA（角邊角）：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。
（4）AAS（角角邊）：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。
（5）HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等。
2.合理選擇全等三角形的判定方法
（1）已知兩邊：①找夾角→SAS；②找第三邊→SSS；③找直角→HL。
（2）已知兩角：①找夾邊→ASA；②找其中一個(gè)已知角的對(duì)邊→AAS。
邊為角的對(duì)邊→找任一角→AAS
（3）已知一邊一角
①邊為角的對(duì)邊：找任意一角→AAS；
②邊為角的鄰邊：找夾角的另一邊→SAS；找夾邊的另一角→ASA；找邊的對(duì)角→AAS。
【例1】 已知：如圖，，，則不正確的結(jié)論是（ ）
A．與互為余角 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合直角三角形的兩銳角互余逐項(xiàng)判斷即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
，
，
，
，故B正確，不符合題意；
在和中，
，
，
，故C正確，不符合題意；
，
，
與互為余角，故A正確，不符合題意；
，但不一定等于，故D錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D．
【例2】 如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶上（ ）
A．① B．② C．③ D．①和③
【答案】C
【分析】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定方法的靈活運(yùn)用，要求對(duì)常用的幾種方法熟練掌握．
【詳解】解：第一塊，僅保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，不符合任何判定方法；
第二塊，僅保留了原三角形的一部分邊，所以該塊不行；
第三塊，不但保留了原三角形的兩個(gè)角還保留了其中一個(gè)邊，所以符合判定，所以應(yīng)該拿這塊去．
故選C．
選擇題
1．如圖，兩點(diǎn)分別在射線上，點(diǎn)在的內(nèi)部，且，垂足分別為點(diǎn)，且，若，則的長(zhǎng)為（ ）
A．10 B．13 C．15 D．17
【答案】B
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，先證明得到，則，進(jìn)一步證明得到，則．
【詳解】解：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選B．
2．我國傳統(tǒng)工藝中，油紙傘制作非常巧妙，其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)．如圖是油紙傘的張開示意圖，，則的依據(jù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，，，，兩直角三角形全等還有．根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．
【詳解】解：在和中，
，
，
故選：D．
3．如圖，點(diǎn)B，D，E，C在一條直線上，且，，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，通過，得到，由，得到，利用三角形外角的性質(zhì)得到，推出，利用，證明，得到，即可得出結(jié)論．
【詳解】，，
，，
，
，
在與中，
，
，
，
．
故選：B．
4．已知：如圖和中，，要使，則下列添加的條件錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形全等的判定，由三角形全等的判定方法、，判斷出A、B正確，由直角三角形全等的判定方法得出D正確，從而得到答案，熟練掌握全等三角形的判定方法是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、在和中，
，
，故A正確，不符合題意；
B、在和中，
，
，故B正確，不符合題意；
C、由，，，不能判定，故C錯(cuò)誤，符合題意；
D、，
和是直角三角形，
在和中，
，
，故C正確， 不符合題意；
故選：C．
5．如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的模具不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要去商店配一塊與原來一樣的三角形模具，那么最省事的是帶哪一塊去（　　）
A．① B．② C．③ D．①和②
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定方法結(jié)合圖形判斷出帶③去．
【詳解】解：由圖形可知，③有完整的兩角與夾邊，根據(jù)“角邊角”可以作出與原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是帶③去．
故選：C．
6．如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依據(jù)已有的已知條件,再結(jié)合各選項(xiàng)中添加的條件,根據(jù)全等三角形的判定定理逐個(gè)推導(dǎo)判斷即可．
本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是熟知：全等三角形的判定定理有．
【詳解】A、∵在和中
∴,故本選項(xiàng)不符合題意；
B、∵在和中,
∴,故本選項(xiàng)不符合題意；
C、根據(jù)不能推出,故本選項(xiàng)符合題意；
D、∵,
∴在和中
∴,故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
7．如圖所示是某標(biāo)志的主體部分（平面圖）．它是由四個(gè)完全相同的四邊形拼成的．間得，，，，則的度數(shù)是（　　）
A．116° B．117° C．118° D．119°
【答案】B
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理．
先根據(jù)證明，則可得，．由，可求出和的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．
熟練掌握全等三角形的判定方法和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】和中，
，
，
，．
，
．
，
，
，
．
故答案為：B
8．如圖，于點(diǎn) C，于點(diǎn)D，要根據(jù)“”直接證明 與全等， 則還需要添加一個(gè)條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了添加一個(gè)條件使得三角形全等，根據(jù)HL定理的條件進(jìn)行判斷即可；
【詳解】解：∵，，
∴當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
故選D．
9．如圖，張華同學(xué)用7塊高度都是的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻墻間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（，），點(diǎn)C在上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離的長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，利用證明得到
∴，則．
【詳解】解：由題意得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故選D．
10．如圖，在用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角時(shí)，小李進(jìn)行了以下五個(gè)步驟，將這5個(gè)步驟按正確的順序排列為（ ）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①④③⑤② D．②①③④⑤
【答案】B
【分析】此題主要考查了基本作圖，熟練掌握尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的作法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的作圖步驟可知正確的是：①③②⑤④．
故選：B．
填空題
11．如圖，已知，要判定，則需要補(bǔ)充的一個(gè)條件為 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
【詳解】解：添加，
∵在和中，
∴；
添加，
∵在和中，
∴；
添加，
∵在和中，
∴．
故答案為：（答案不唯一）．
12．在直角三角形中，，，直線過點(diǎn)，，，垂足分別為，，，，則的長(zhǎng)是 ．
【答案】2或4/4或2
【分析】此題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，同角的余角相等等知識(shí)．熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)的定理與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．分兩種情況討論：再根據(jù)已知條件證明，然后得，即可求出．
【詳解】解：如圖，當(dāng)在直線的異側(cè)時(shí)，
，
，
，，
，
，
，
在與中，
，
，
，
．
當(dāng)在直線的同側(cè)時(shí)，如圖，
同理可得：，
，
．
故答案為：2或4．
13．如圖，已知，，與交于點(diǎn)D，則對(duì)于下列結(jié)論：①；②；③D在的平分線上．其中正確的是 ．
【答案】①②③
【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．直接利用定理即可判斷①正確；先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再利用定理即可判斷②正確；連接，證出，由此即可判斷③正確．
【詳解】解：在和中，
，
，結(jié)論①正確；
，
∵，，
，即，
在和中，
，
，結(jié)論②正確；
如圖，連接，
，
，
在和中，
，
，
，
即在的平分線上，結(jié)論③正確；
綜上，正確的是①②③，
故答案為：①②③．
14．如圖，．請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使．你添加的條件是 （要求：不再添加輔助線，只需填一個(gè)答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的五種判定方法是解題關(guān)鍵．由題意可知，，，根據(jù)全等三角形的判定定理添加條件即可．
【詳解】解：由題意可知，，，
若，則，
若，則，
若，則，
故答案為：（或，或）．
15．如圖，已知，要使，只需增加的一個(gè)條件是 （圖形中不再增加其他字母）．
【答案】或
【分析】本題考查三角形全等的判定方法；要使，根據(jù)三角形全等的判定方法添加適合的條件即可．
【詳解】解：，，
可添加或分別利用，判定．
故答案為：（或．
三、解答題
16．如圖，在中，于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)F，且，．求證：
(1)．
(2)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．
（1）根據(jù)，得出，再根據(jù)證明，即可推出結(jié)論；
（2）因?yàn)椋瑒t，根據(jù)，，得出．又因?yàn)椋瑒t，得出．
【詳解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
17．如圖，在四邊形中，點(diǎn)E在邊上，且，．
求證．
【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，通過三角形外角的性質(zhì)得到，由推出，利用，證明，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：，，
，
在與中，
，
，
．
18．如圖，在和中，，，與交于點(diǎn)．
求證：．
【答案】證明見解析．
【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直接由證明，然后通過性質(zhì)和線段和差即可求證，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及其應(yīng)用．
【詳解】證明：在和中，
，
∴
∴
∵
∴
∴，即．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會(huì)了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學(xué)知識(shí)畫出思維導(dǎo)圖
目標(biāo)解讀
基礎(chǔ)梳理
典例探究
達(dá)標(biāo)測(cè)試
自學(xué)反思
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12.2 全等三角形的判定 學(xué)案
（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.掌握三角形的證明方法SAS\AAS和ASA等方法,會(huì)熟練掌握證明的標(biāo)準(zhǔn)步驟。
2.通過探究活動(dòng)，學(xué)生體會(huì)特殊到一般的思想，掌握研究幾何問題的一般方法。
3.通過探究三角形證明全等的證明方法，體會(huì)分類討論的數(shù)學(xué)思想，有助于學(xué)生養(yǎng)成勤于思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，體會(huì)數(shù)學(xué)的邏輯美、嚴(yán)謹(jǐn)美。
（二）學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：全等三角形的判定和證明方法
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用證明方法進(jìn)行證明，由證明結(jié)論倒推尋找已知和隱含條件的思維過程。
閱讀課本，識(shí)記知識(shí)：
1.三角形全等的判定方法
（1）SSS（邊邊邊）：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。
（2）SAS（邊角邊）：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。
（3）ASA（角邊角）：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。
（4）AAS（角角邊）：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。
（5）HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等。
2.合理選擇全等三角形的判定方法
（1）已知兩邊：①找夾角→SAS；②找第三邊→SSS；③找直角→HL。
（2）已知兩角：①找夾邊→ASA；②找其中一個(gè)已知角的對(duì)邊→AAS。
邊為角的對(duì)邊→找任一角→AAS
（3）已知一邊一角
①邊為角的對(duì)邊：找任意一角→AAS；
②邊為角的鄰邊：找夾角的另一邊→SAS；找夾邊的另一角→ASA；找邊的對(duì)角→AAS。
【例1】 已知：如圖，，，則不正確的結(jié)論是（ ）
A．與互為余角 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合直角三角形的兩銳角互余逐項(xiàng)判斷即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
，
，
，
，故B正確，不符合題意；
在和中，
，
，
，故C正確，不符合題意；
，
，
與互為余角，故A正確，不符合題意；
，但不一定等于，故D錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D．
【例2】 如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶上（ ）
A．① B．② C．③ D．①和③
【答案】C
【分析】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定方法的靈活運(yùn)用，要求對(duì)常用的幾種方法熟練掌握．
【詳解】解：第一塊，僅保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，不符合任何判定方法；
第二塊，僅保留了原三角形的一部分邊，所以該塊不行；
第三塊，不但保留了原三角形的兩個(gè)角還保留了其中一個(gè)邊，所以符合判定，所以應(yīng)該拿這塊去．
故選C．
選擇題
1．如圖，兩點(diǎn)分別在射線上，點(diǎn)在的內(nèi)部，且，垂足分別為點(diǎn)，且，若，則的長(zhǎng)為（ ）
A．10 B．13 C．15 D．17
2．我國傳統(tǒng)工藝中，油紙傘制作非常巧妙，其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)．如圖是油紙傘的張開示意圖，，則的依據(jù)是（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，點(diǎn)B，D，E，C在一條直線上，且，，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
4．已知：如圖和中，，要使，則下列添加的條件錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的模具不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要去商店配一塊與原來一樣的三角形模具，那么最省事的是帶哪一塊去（　　）
A．① B．② C．③ D．①和②
6．如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定的是（ ）
A． B． C． D．
7．如圖所示是某標(biāo)志的主體部分（平面圖）．它是由四個(gè)完全相同的四邊形拼成的．間得，，，，則的度數(shù)是（　　）
A．116° B．117° C．118° D．119°
8．如圖，于點(diǎn) C，于點(diǎn)D，要根據(jù)“”直接證明 與全等， 則還需要添加一個(gè)條件是（ ）
A． B． C． D．
9．如圖，張華同學(xué)用7塊高度都是的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻墻間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（，），點(diǎn)C在上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離的長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，在用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角時(shí)，小李進(jìn)行了以下五個(gè)步驟，將這5個(gè)步驟按正確的順序排列為（ ）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①④③⑤② D．②①③④⑤
填空題
11．如圖，已知，要判定，則需要補(bǔ)充的一個(gè)條件為 ．
12．在直角三角形中，，，直線過點(diǎn)，，，垂足分別為，，，，則的長(zhǎng)是 ．
13．如圖，已知，，與交于點(diǎn)D，則對(duì)于下列結(jié)論：①；②；③D在的平分線上．其中正確的是 ．
14．如圖，．請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使．你添加的條件是 （要求：不再添加輔助線，只需填一個(gè)答案即可）
15．如圖，已知，要使，只需增加的一個(gè)條件是 （圖形中不再增加其他字母）．
三、解答題
16．如圖，在中，于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)F，且，．求證：
(1)．
(2)．
17．如圖，在四邊形中，點(diǎn)E在邊上，且，．
求證．
18．如圖，在和中，，，與交于點(diǎn)．
求證：．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會(huì)了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學(xué)知識(shí)畫出思維導(dǎo)圖
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