資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
12.3 角的平分線的性質 學案
（一）學習目標：
1.理解角平分線的觀點和性質，掌握其在實際問題中的應用。
2.培養(yǎng)學生的觀察、分析和解決問題的能力。
3.增強學生的數學應用認識和幾何思維能力。
（二）學習重難點：
學習重點：理解角平分線的性質，掌握其在實際問題中的應用
學習難點：如何引導學生發(fā)現和證明角平分線的性質，培養(yǎng)學生的數學思維能力和推理能力
閱讀課本，識記知識：
1.角的平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.如圖，因為點P在△AOB的平分線上，PC上OA于點C，PD⊥OB于點D，所以PC=PD。
2.角的平分線的判定
角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.如上圖，因為PC⊥0A，PD⊥OB，PC=PD，所以點P在∠AOB的平分線上。
【例1】 如圖的尺規(guī)作圖是作（　　）
A．線段的垂直平分線 B．一個角等于已知角
C．一條直線的平行線 D．一個角的平分線
【答案】D
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作角平分線，根據作法解答即可．
【詳解】解：由圖形知，該尺規(guī)作圖的步驟依次是：以點O為圓心，任意長為半徑，交于點C，交于點D，
再分別以點C、D為圓心的長度為半徑畫弧，
則即為的平分線，
故選：D．
【例2】 如圖所示，平分，于點M，且，則與的關系是（　　）．
A．相等 B．互補 C．和為 D．和為
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線的性質、全等三角形的判定及性質、互補，過點作，交的延長線于點，根據角平分線的性質及得，進而可得，則可得，再利用得，進而可得，則可得，進而可求解，熟練掌握相關判定及性質是解題的關鍵．
【詳解】解：過點作，交的延長線于點，如圖：
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
與互補，
故選B．
選擇題
1．如圖，用直尺和圓規(guī)在內作射線，P是射線上一點，過點P分別作于點E，作于點F．若，則的長為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本題考查了基本作圖，角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．由作圖可知，平分，由角平分線的性質可得出答案．
【詳解】解：由作圖可知，平分，
∵，，
∴，
故選∶C．
2．下列尺規(guī)作圖的語句正確的是（ ）
A．連接BC，使 B．以點C為圓心，長為半徑畫弧
C．作直線 D．連接，并且平分
【答案】B
【分析】本題考查了作圖-尺規(guī)作圖的定義，根據作圖語言求解．
【詳解】解：A：連接，但是不一定能垂直，故A是錯誤的；
B：以點C為圓心，為半徑畫弧是符合作圖語句的，故B是正確的；
C：直線沒有長度，不可度量，故C是錯誤的；
D：連接，但是不一定能平分，故D是錯誤的；
故選：B．
3．如圖，將兩個完全相同含角的三角尺與按圖示位置擺放，這兩個三角尺直角邊所在直線交于點，連接并延長，射線就是的角平分線，判斷的依據是（　　）
A．角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等
B．角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上
C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等
D．以上均不正確
【答案】B
【分析】本題考查角平分線的判定，涉及“角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”，掌握角平分線的判定是解決問題的關鍵．
【詳解】解：由題意可知，本題判斷射線就是的角平分線的依據是“角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”，
故選：B．
4．如圖，點 是 的中點，平分 ，下列結論：①；②；③；④，四個結論中成立的是（　　）

A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①③
【答案】A
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質；
過E作于F，可得，運用全等三角形的判定可得，再運用全等三角形的性質可得，；根據點E是的中點即可判斷③是否正確；運用全等三角形的判定可得，再運用全等三角形的性質即可判斷②④是否正確；根據即可判斷①是否正確．
【詳解】解：如圖，過E作于F，

∵，平分，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，，
∵點E是的中點，
∴，
而，
∴，故③錯誤；
在和中，，
∴，
∴，，，故②正確；
∴，故④正確；
∴，故①正確．
綜上，四個結論中成立的是①②④，
故選：A．
5．如圖， 在中， ，平分，交 于點D，，則點 D到的距離是（ ）

A．4 B．2 C．3 D．6
【答案】A
【分析】本題考查了角平分線性質定理，過點D作于點E，則即為所求，根據角平分線性質得出，即可求出最后結果．
【詳解】解：如圖，過點D作于點E，則即為所求，
，平分，交 于點D，
,
故選：A．

6．如圖，①以點為圓心，適當長為半徑作弧，交、于點、；②分別以、為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；③作射線，連接，；則一定可以推得的結論是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【分析】本題主要考查角平分線的尺規(guī)作圖及全等三角形的性質與判定，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖及全等三角形的性質與判定是解題的關鍵；由題意易得，然后可得，進而問題可求解．
【詳解】解：由題意得：平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
∴一定可以推出的結論是且；
故選A．
7．如圖，在四邊形中，，對角線平分．若，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線的性質定理，角平分線上的點到角兩邊的距離相等，作得，據此即可求解．
【詳解】解：作，如圖所示：
∵平分，，
∴，
∴的面積為：，
故選：C
8．如圖，直線l1，l2，l3表示三條相交叉的公路．現在要建一個加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地點有（　　）
A．四處 B．三處 C．兩處 D．一處
【答案】A
【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，熟記性質并是解題的關鍵．
由三角形內角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，可得三角形內角平分線的交點滿足條件;然后利用角平分線的性質，可證得三角形兩條外角平分線的交點到其三邊的距離也相等，這樣的點有3個，可得可供選擇的地址有4個．
【詳解】解：滿足條件的有：
（1）三角形兩個內角平分線的交點，共一處；
（2）三角形外角平分線的交點，共三處．
故選：A．
9．如圖，中，，，平分交于于D，于E且，則的周長為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查角平分線的性質定理以及三角形全等的判定和性質定理，三角形的周長計算公式，理解題意是關鍵．
根據角平分線的性質可得，則，從而證明，所以，即可求得的周長．
【詳解】解：∵平分，
∴(角平分線上點到兩邊距離相等)，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
10．如圖所示，是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（ ）
A．的三條中線的交點 B．三條角平分線的交點
C．三條高所在直線的交點 D．三邊的中垂線的交點
【答案】B
【分析】本題主要考查了角平分線的性質，熟知角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵．
【詳解】解：∵角平分線上的點到角兩邊的距離相等，
∴三條角平分線的交點到三邊的距離相等，
∴涼亭的位置應選在三條角平分線的交點，
故選B．
填空題
11．如圖，是的角平分線，，垂足為E，是的中線，，，，的面積為 ．

【答案】
【分析】本題考查角平分線的性質，三角形的面積，關鍵是由角平分線的性質得到，求出的面積， 的面積．
過作于H，由角平分線的性質得到，即可求出，，得到，由是的中線，得到，再運用即可．
【詳解】解：過作于，

∵是的角平分線， ，
∴ ，
∵，
∴，
，
∴，
∵是的中線，
∴，
∴．
故答案為:．
12．如圖在中，，平分交于點，且，則點到的距離是 ．
【答案】/5厘米
【分析】本題考查了角平分線的性質定理、點到直線的距離，作于，由角平分線的性質定理可得，即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：如圖，作于，
，
，平分交于點，，
，
點到的距離是，
故答案為：．
13．如圖，在中，，是的平分線，，則點D到邊的距離是 .

【答案】6
【分析】本題考查角平分線的性質定理，根據“角平分線上的點到角兩邊距離相等”即可求解．
【詳解】解：如圖，作于點E，

，
，
又是的平分線，，
，
點D到邊的距離是6，
故答案為：6．
14．如圖，在中，，是外角平分線上一點，連接，，已知，則 ．
【答案】67°
【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，過點作于，于，根據角平分線的性質和全等三角形的判定和性質即可得到結論．
【詳解】解：過點作于，于，
平分，
，
在上截取，連接，
在和中，
，
，
在四邊形中，
∵，
∴在四邊形為正方形，
，
，
平分，
，
，
平分．
∴
∴
故答案為：67°
15．如圖，在中，，AD平分，交BC于D，若，P為上一動點，則的最小值為 ．
【答案】3
【分析】此題主要考查角平分線的性質和垂線段最短，作于H，根據角平分線的性質得到，然后根據垂線段最短求解．
【詳解】解：如圖，
作于H，
∵AD平分，，
∴，
∵P為上一動點，
∴的最小值為的長.
故答案為：3.
三、解答題
16．下面是小東設計的尺規(guī)作圖過程．
已知：如圖，在中，，
求作：點，使點在邊上，且到和的距離相等．
作法：
如圖，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點；
分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點；
畫射線，交于點．
所以點即為所求．
根據小東設計的尺規(guī)作圖過程：
(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；
(2)完成下面的證明．
證明：過點作于點，連接，，
在與中，
∵，，，
∴(______)，
∴____________，
∵，
∴，
又∵，
∴(______)．
【答案】(1)補圖見解析；
(2)，，，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
【分析】（）根據題意補全圖形，即可；
（）證明，可得，再根據角平分線的性質定理即可求證；
本題考查了尺規(guī)作圖——作已知角的平分線，角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，正確作出圖形是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：如圖，即為補全的圖形；
（2）證明：過點作于點，連接，，
在與中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴(角平分線上的點到角的兩邊的距離相等)，
故答案為：，，，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
17．如圖，尺規(guī)作圖痕跡與的邊分別交于點過點D分別作于點F，于點G，在邊上取一點H，連結，使．
(1)求證：．
(2)若的面積為的面積為，則的面積為______．
【答案】(1)見解析
(2)3
【分析】本題考查作圖—復雜作圖、角平分線的性質、全等三角形的判定與性質，熟練掌握角平分線的性質、全等三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．
(1)根據角平分線的性質以及全等三角形的判定證明即可．
(2)證明，可得，由，可得，進而可得，即可得出答案．
【詳解】（1）證明∶由作圖痕跡可知，平分，
．
（2）由（1）可知，，
，
的面積為，
的面積為，
即的面積為3．
18．如圖，在中，，，平分交于點D，點E是邊上一點，連接，若，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】本題考查角的運算，角平分線的性質定理以及平行線的判定，掌握角平分線的性質是解題的關鍵．
先求出的度數，進而得出，因為，由“內錯角相等，兩直線平行”即可判斷．
【詳解】在中，，，
，
平分，
，
，
，
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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12.3 角的平分線的性質 學案
（一）學習目標：
1.理解角平分線的觀點和性質，掌握其在實際問題中的應用。
2.培養(yǎng)學生的觀察、分析和解決問題的能力。
3.增強學生的數學應用認識和幾何思維能力。
（二）學習重難點：
學習重點：理解角平分線的性質，掌握其在實際問題中的應用
學習難點：如何引導學生發(fā)現和證明角平分線的性質，培養(yǎng)學生的數學思維能力和推理能力
閱讀課本，識記知識：
1.角的平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.如圖，因為點P在△AOB的平分線上，PC上OA于點C，PD⊥OB于點D，所以PC=PD。
2.角的平分線的判定
角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.如上圖，因為PC⊥0A，PD⊥OB，PC=PD，所以點P在∠AOB的平分線上。
【例1】 如圖的尺規(guī)作圖是作（　　）
A．線段的垂直平分線 B．一個角等于已知角
C．一條直線的平行線 D．一個角的平分線
【答案】D
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作角平分線，根據作法解答即可．
【詳解】解：由圖形知，該尺規(guī)作圖的步驟依次是：以點O為圓心，任意長為半徑，交于點C，交于點D，
再分別以點C、D為圓心的長度為半徑畫弧，
則即為的平分線，
故選：D．
【例2】 如圖所示，平分，于點M，且，則與的關系是（　　）．
A．相等 B．互補 C．和為 D．和為
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線的性質、全等三角形的判定及性質、互補，過點作，交的延長線于點，根據角平分線的性質及得，進而可得，則可得，再利用得，進而可得，則可得，進而可求解，熟練掌握相關判定及性質是解題的關鍵．
【詳解】解：過點作，交的延長線于點，如圖：
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
與互補，
故選B．
選擇題
1．如圖，用直尺和圓規(guī)在內作射線，P是射線上一點，過點P分別作于點E，作于點F．若，則的長為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列尺規(guī)作圖的語句正確的是（ ）
A．連接BC，使 B．以點C為圓心，長為半徑畫弧
C．作直線 D．連接，并且平分
3．如圖，將兩個完全相同含角的三角尺與按圖示位置擺放，這兩個三角尺直角邊所在直線交于點，連接并延長，射線就是的角平分線，判斷的依據是（　　）
A．角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等
B．角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上
C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等
D．以上均不正確
4．如圖，點 是 的中點，平分 ，下列結論：①；②；③；④，四個結論中成立的是（　　）

A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①③
5．如圖， 在中， ，平分，交 于點D，，則點 D到的距離是（ ）

A．4 B．2 C．3 D．6
6．如圖，①以點為圓心，適當長為半徑作弧，交、于點、；②分別以、為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；③作射線，連接，；則一定可以推得的結論是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
7．如圖，在四邊形中，，對角線平分．若，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，直線l1，l2，l3表示三條相交叉的公路．現在要建一個加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地點有（　　）
A．四處 B．三處 C．兩處 D．一處
9．如圖，中，，，平分交于于D，于E且，則的周長為（）
A． B． C． D．
10．如圖所示，是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（ ）
A．的三條中線的交點 B．三條角平分線的交點
C．三條高所在直線的交點 D．三邊的中垂線的交點
填空題
11．如圖，是的角平分線，，垂足為E，是的中線，，，，的面積為 ．

12．如圖在中，，平分交于點，且，則點到的距離是 ．
13．如圖，在中，，是的平分線，，則點D到邊的距離是 .

14．如圖，在中，，是外角平分線上一點，連接，，已知，則 ．
15．如圖，在中，，AD平分，交BC于D，若，P為上一動點，則的最小值為 ．
三、解答題
16．下面是小東設計的尺規(guī)作圖過程．
已知：如圖，在中，，
求作：點，使點在邊上，且到和的距離相等．
作法：
如圖，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點；
分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點；
畫射線，交于點．
所以點即為所求．
根據小東設計的尺規(guī)作圖過程：
(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；
(2)完成下面的證明．
證明：過點作于點，連接，，
在與中，
∵，，，
∴(______)，
∴____________，
∵，
∴，
又∵，
∴(______)．
17．如圖，尺規(guī)作圖痕跡與的邊分別交于點過點D分別作于點F，于點G，在邊上取一點H，連結，使．
(1)求證：．
(2)若的面積為的面積為，則的面積為______．
18．如圖，在中，，，平分交于點D，點E是邊上一點，連接，若，求證：．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導圖
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