資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
13.3.1 等腰三角形 學案
（一）學習目標：
1.經歷剪紙、折紙等活動，進一步認識等腰三角形，了解等腰三角形是軸對稱圖形；理解解等腰三角形的兩底角相等，底邊上的高、中線及頂角平分線三線合一的性質并能運用它們進行相關的論證和計算。
2.培養對命題的抽象概括能力，觀察猜想到理論證明的數學問題探究的方法，強化發散思相的訓練。
3.進行規律的再發現，激發審美情感，培養合作探究意識。
（二）學習重難點：
學習重點：等腰三角形性質的探索、證明和應用
學習難點：探究等腰三角形的性質證明及應用
閱讀課本，識記知識：
1.等腰三角形：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角。
頂角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形。
2.等腰三角形的性質
性質1：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)。
性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）。
3.等腰三角形的判定
(1)定義法：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。
(2)如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”）。
【例1】 如圖，在中，，為邊上的高，平分，點F在上連接并延長交于點G，若，，有下列結論：①；②；③；④．其中一定成立的有（ ）

A．1個 B．4個 C．3個 D．2個
【答案】B
【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，三角形內角和定理的應用，平行線的判定和性質．過點A作于點N，證明，得出，說明，判斷③正確；根據，得出，證明，判斷①正確；證明，得出，判斷④正確；證明，根據，得出，判斷②正確．
【詳解】解：過點A作于點N，如圖所示：

∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正確；
∵為邊上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正確；
∵在和中
，
∴，
∴，故④正確；
∵，，
∴，
∵，
∴，故②正確；
綜上分析可知，正確的有4個，故B正確．
故選：B．
【例2】 如圖，等腰中，，于點，，于點，于點S，則下列結論中錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查全等三角形的性質與判定及等腰三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵；由題意易得，，則有，然后問題可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；故A、C選項正確；
在和中，
，
∴，
∴，故B選項正確；
由圖可知不一定成立；
故選D．
選擇題
1．等腰三角形周長為，其中一邊長為，則該三角形的底邊長為（　　）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】本題考查了等腰三角形的定義和三角形的三邊關系由于長為的邊可能為腰，也可能為底邊，故應分兩種情況討論．
【詳解】解：由題意知，應分兩種情況：
（1）當腰長為時，則另一腰也為，
底邊為15﹣2×3＝9cm，
邊長分別為，，9cm，不能構成三角形；
（2）當底邊長為時，腰的長，
∴邊長為，，，能構成三角形．
故選：A．
2．如圖，在中，垂直平分，分別交、于D、E，連接，平分，交于F，若，，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了線段垂直平分的性質，等腰三角形的性質，三角形外角性質等知識點，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．
先根據線段垂直平分線的性質得到，則，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和計算出，接著利用三角形外角性質計算出，所以，然后利用三角形外角性質計算的度數．
【詳解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故選：．
3．如圖，在等腰中，，為延長線上一點，，垂足為C，且，連接，若，則的面積為（ ）
A．16 B．24 C．32 D．8
【答案】A
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質；過作于，過作于，由“三線合一”得，再由“”可判定，從而由全等三角形的性質得，再，即可求解；掌握性質及判定方法，能根據題意作出恰當的輔助線，構建是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，過作于，過作于，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
；
故選：A．
4．下列命題中，原命題與其逆命題均為真命題的有（ ）個
①全等三角形對應邊相等； ②全等三角形對應角相等；
③等腰三角形兩條腰上的高相等； ④如果兩個實數相等，那么它們的平方相等；
⑤兩條平行直線被第三條直線所截，截得的同旁內角的角平分線互相垂直．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本題主要考查真假命題、逆命題及等腰三角形的性質、實數的性質．本題考查了首先寫出各個命題的逆命題，再進一步判斷真假即可．
【詳解】解：①全等三角形對應邊相等，原命題是真命題；
逆命題為：對應邊相等的兩個三角形全等，逆命題不是真命題；
②全等三角形對應角相等，原命題是真命題；
逆命題為：對應角相等的兩個三角形全等，逆命題不是真命題；
③等腰三角形兩條腰上的高相等，原命題是真命題；
逆命題為：有兩條高相等的三角形是等腰三角形，逆命題是真命題；
④如果兩個實數相等，那么它們的平方相等，原命題是真命題；
逆命題為：如果兩個實數的平方相等，那么它們相等的平方相等，逆命題不是真命題；
⑤兩條平行直線被第三條直線所截，截得的同旁內角的角平分線互相垂直，原命題是真命題；
逆命題為：兩條直線被第三條直線所截，截得的同旁內角的角平分線互相垂直，則這兩條直線平行，逆命題是真命題．
原命題與其逆命題均為真命題的有③⑤，共2個．
故選：A．
5．如圖，在中，，分別為，邊上的高，，相交于點，，連接，則下列結論：①；②；③若，則周長等于的長；④．其中正確的有( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，得到是解決問題的關鍵．延長交于，先利用“”證明，得出，，可判斷①正確；由，得出，再由三角形外角的性質，可判斷④錯誤；由，，得出，得出，可判斷②正確；由，，可證明垂直平分，得出，，得出的周長，可判斷③正確；進而可以解決問題．
【詳解】解：如圖，延長交于，
，分別為，邊上的高，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故①正確；
，
，
，
，故④錯誤；
，，
，
，故②正確；
，，
，
，
，
垂直平分，
，，
的周長
，故③正確．
正確的有①②③．
故選：A．
6．如圖，在和中，與交于點E，，，則下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定，先根據得出，再結合，，得出，再利用全等三角形的性質判斷即可．
【詳解】解：，
，故D選項結論正確；
又，，
，
，，故A選項、C選項結論正確；
現有條件不能夠得出，故B選項結論不正確；
故選B．
7．如圖，，點在邊上，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查全等三角形的性質，等腰三角形的性質，關鍵是由，得到，．由全等三角形的性質推出，由等腰三角形的性質得到，求出，，即可得到．
【詳解】解：，
，
∵，
∴，
，
，
∴．
故選： B ．
8．如圖，把沿折疊后，點的對應點為，且點落在四邊形內部，則，，之間滿足的數量關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了折疊問題和三角形外角的性質，據此得到角之間的關系，即可得到結果，解題的關鍵是根據三角形外角的性質得到角度之間的關系．
【詳解】解：連接，如圖所示：
∵沿折疊后，點的對應點為，
∴，，，
在中，，
在中，，
∴，
即，
故選：B．
9．以下列長度的三條線段為邊，能組成一個等腰三角形的是（ ）
A．2，4，7 B．5，6，6 C．1，1，2 D．3，4，5
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的三邊關系，等腰三角形的定義，根據組成三角形的條件：任意兩邊之和大于第三邊，以及等腰三角形的兩邊相等，逐一判斷即可得出答案．
【詳解】解：A、，不能組成三角形，不符合題意；
B、有兩條邊相等們可以組成等腰三角形，符合題意；
C、，不能組成三角形，不符合題意；
D、三條邊都不相等，不能組成等腰三角形，
故選：B．
10．如圖，中，于點D，則的面積是（ ）
A．16 B．8 C．4 D．12
【答案】A
【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半．也考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，三角形的面積．得出是解題的關鍵．
先根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理求出，再根據角所對的直角邊等于斜邊的一半得出，則，然后根據的面積即可求解．
【詳解】解：，
，
．
在中，
，
，
，
的面積．
故答案為：A．
填空題
11．已知等腰三角形的兩邊長分別為10和4，則三角形的周長是 ．
【答案】24
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的三邊關系，分兩種情況：當等腰三角形的腰長為10，底邊長為4時，當等腰三角形的腰長為4，底邊長為10時，然后分別進行計算即可解答，分兩種情況討論是解題的關鍵．
【詳解】解：分兩種情況：
當等腰三角形的腰長為10，底邊長為4時，
∴這個等腰三角形的周長；
當等腰三角形的腰長為4，底邊長為10時，
∵，
∴不能組成三角形；
綜上所述，這個等腰三角形的周長為24，
故答案為：24．
12．如圖，，若，則 ．
【答案】/65度
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．根據證明得，，，再求出，然后利用等腰三角形的性質即可求解．
【詳解】解：在與中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
13．如圖，在中，，平分交于點D，點E在的延長線上，，若，則線段的長為 ．
【答案】4
【分析】如圖，在上截取，使，連接，證明，則，，，由，可得，則，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，在上截取，使，連接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：4．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，角平分線，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理等知識．熟練掌握等腰三角形的判定與性質，角平分線，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理是解題的關鍵．
14．如圖，在中，，于點D，的平分線交于F，交于E，若，，則 ．
【答案】5
【分析】本題考查同角或等角的余角相等，等腰三角形的判定．
由得到，由得到，又平分，即，從而，根據“等角對等邊”得到，從而可解決問題．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：5.
15．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，在x軸上取一點C使為等腰三角形，符合條件的C點有 個．
【答案】4
【分析】本題考查了等腰三角形的判定，根據等腰三角形的定義，以點A為圓心，以為半徑畫弧，以點B為圓心，以為半徑畫弧，畫線段的垂直平分線，按照等腰三角形成立的條件分析可得答案．
【詳解】解：觀察圖形可知，若以點A為圓心，以為半徑畫弧，與x軸有2個交點，這兩個交點中有一個是與B重合的，應舍掉，故只有1個；
若以點B為圓心，以為半徑畫弧，與x軸有2個交點，故有2個；
線段的垂直平分線與x軸有1個交點；
∴符合條件的C點有：（個），
故答案為：4．
三、解答題
16．如圖，在中，，點D，F在邊上，過點D作交于點E，G為上一點，連接，且．
(1)求證：；
(2)若點E為的中點，且，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了平行線的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形的外角性質；
（1）根據可得，進而證明，即可得到結論；
（2）根據條件證是的垂直平分線，得到，根據等腰三角形的性質，結合三角形外角的性質求解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵點E為的中點，
∴是的垂直平分線，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
17．如圖，已知在中，，是的中點．
求證：．

【答案】見解析
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質．證明，推出，再利用“三線合一”的性質即可求解．
【詳解】證明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的中點，
∴．
18.44．（2024上·北京海淀·九年級校考階段練習）在等腰直角三角形中，，.點為直線上一個動點（點不與點，重合），連接，點在直線上，且.過點作，點，在直線的同側，且，連接.
(1)情況一：當點在線段上時，圖形如圖所示；
情況二：如圖2，當點在的延長線上，且，請依題意補全圖；
(2)請從問題（1）的兩種情況中，任選一種情況，完成下列問題：
①求證：；
②用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明.
【答案】(1)圖形如下
(2)證明如下；
【分析】本題考查直角三角形的知識，解題的關鍵是掌握等腰直角三角形的性質，勾股定理的運用，全等三角形的判定和性質．
（1）根據題意，補充圖形，即可；
（2）根據等腰直角三角形的性質，則，根據，則，根據，即可；過點作交直線于點，根據等邊直角三角形，，根據，
則，根據等量代換，得，；再根據全等三角形的判定和性質，勾股定理的運用，即可．
【詳解】（1）圖形如下：
（2）根據情況一，即圖
證明如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
過點作交直線于點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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13.3.1 等腰三角形 學案
（一）學習目標：
1.經歷剪紙、折紙等活動，進一步認識等腰三角形，了解等腰三角形是軸對稱圖形；理解解等腰三角形的兩底角相等，底邊上的高、中線及頂角平分線三線合一的性質并能運用它們進行相關的論證和計算。
2.培養對命題的抽象概括能力，觀察猜想到理論證明的數學問題探究的方法，強化發散思相的訓練。
3.進行規律的再發現，激發審美情感，培養合作探究意識。
（二）學習重難點：
學習重點：等腰三角形性質的探索、證明和應用
學習難點：探究等腰三角形的性質證明及應用
閱讀課本，識記知識：
1.等腰三角形：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角。
頂角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形。
2.等腰三角形的性質
性質1：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)。
性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）。
3.等腰三角形的判定
(1)定義法：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。
(2)如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”）。
【例1】 如圖，在中，，為邊上的高，平分，點F在上連接并延長交于點G，若，，有下列結論：①；②；③；④．其中一定成立的有（ ）

A．1個 B．4個 C．3個 D．2個
【答案】B
【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，三角形內角和定理的應用，平行線的判定和性質．過點A作于點N，證明，得出，說明，判斷③正確；根據，得出，證明，判斷①正確；證明，得出，判斷④正確；證明，根據，得出，判斷②正確．
【詳解】解：過點A作于點N，如圖所示：

∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正確；
∵為邊上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正確；
∵在和中
，
∴，
∴，故④正確；
∵，，
∴，
∵，
∴，故②正確；
綜上分析可知，正確的有4個，故B正確．
故選：B．
【例2】 如圖，等腰中，，于點，，于點，于點S，則下列結論中錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查全等三角形的性質與判定及等腰三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵；由題意易得，，則有，然后問題可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；故A、C選項正確；
在和中，
，
∴，
∴，故B選項正確；
由圖可知不一定成立；
故選D．
選擇題
1．等腰三角形周長為，其中一邊長為，則該三角形的底邊長為（　　）
A． B． C． D．或
2．如圖，在中，垂直平分，分別交、于D、E，連接，平分，交于F，若，，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
3．如圖，在等腰中，，為延長線上一點，，垂足為C，且，連接，若，則的面積為（ ）
A．16 B．24 C．32 D．8
4．下列命題中，原命題與其逆命題均為真命題的有（ ）個
①全等三角形對應邊相等； ②全等三角形對應角相等；
③等腰三角形兩條腰上的高相等； ④如果兩個實數相等，那么它們的平方相等；
⑤兩條平行直線被第三條直線所截，截得的同旁內角的角平分線互相垂直．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如圖，在中，，分別為，邊上的高，，相交于點，，連接，則下列結論：①；②；③若，則周長等于的長；④．其中正確的有( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．如圖，在和中，與交于點E，，，則下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如圖，，點在邊上，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，把沿折疊后，點的對應點為，且點落在四邊形內部，則，，之間滿足的數量關系是（ ）
A． B． C． D．
9．以下列長度的三條線段為邊，能組成一個等腰三角形的是（ ）
A．2，4，7 B．5，6，6 C．1，1，2 D．3，4，5
10．如圖，中，于點D，則的面積是（ ）
A．16 B．8 C．4 D．12
填空題
11．已知等腰三角形的兩邊長分別為10和4，則三角形的周長是 ．
12．如圖，，若，則 ．
13．如圖，在中，，平分交于點D，點E在的延長線上，，若，則線段的長為 ．
14．如圖，在中，，于點D，的平分線交于F，交于E，若，，則 ．
15．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，在x軸上取一點C使為等腰三角形，符合條件的C點有 個．
三、解答題
16．如圖，在中，，點D，F在邊上，過點D作交于點E，G為上一點，連接，且．
(1)求證：；
(2)若點E為的中點，且，求的度數．
17．如圖，已知在中，，是的中點．
求證：．

在等腰直角三角形中，，.點為直線上一個動點（點不與點，重合），連接，點在直線上，且.過點作，點，在直線的同側，且，連接.
(1)情況一：當點在線段上時，圖形如圖所示；
情況二：如圖2，當點在的延長線上，且，請依題意補全圖；
(2)請從問題（1）的兩種情況中，任選一種情況，完成下列問題：
①求證：；
②用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明.
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
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