資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
13.3.2 等邊三角形 學案
（一）學習目標：
1.理解等邊三角形的定義，掌握等邊三角形的性質和特點。
2.通過觀察、討論、探究等教學活動，培養的觀察、分析、概括、推理等思維能力。
3.培養空間觀念和觀察能力，激發對數學的興趣和熱愛。
（二）學習重難點：
學習重點：理解等邊三角形的定義，掌握等邊三角形的性質
學習難點：如何引導發現等邊三角形的特點，培養的觀察和分析能力
閱讀課本，識記知識：
1.等邊三角形：等邊三角形是三邊都相等的三角形，也叫正三角形。
2.等邊三角形的性質
(1)等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60°。
(2)等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，三條對稱軸交于一點，該點稱為“中心”。
(3)等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質。
(4)等邊三角形外心、內心、重心、垂心四心合一。
3.等邊三角形的判定
(1)定義法：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.
(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形.
(3)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
4.含30°角的直角三角形的性質
在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
如圖，在Rt△ABC中，∠A=30°，則 。
【例1】 如圖，點A，點B分別在x軸和y軸上，，，則點B的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查圖形與坐標及含30度直角三角形的性質，熟練掌握含30度直角三角形的性質是解題的關鍵；由題意易得，然后問題可求解
【詳解】解：∵，，
∴，
∴點，
故選：C．
【例2】 已知，如圖在等邊中，是的一點，，下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．．
【答案】D
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，根據等邊三角形的性質得到，根據平角的定義和三角形內角和定理證明，，進而證明，得到根據現有條件無法證明，據此可得答案．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，則選項正確；
又∵，
∴，則選項正確；
∴，則選項正確；
∴四個選項中，只有D選項根據現有條件無法證明，
故選：D．
選擇題
1．如圖，在中，，是邊上的高，，，則的長為（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本題主要考查了直角三角形的性質，掌握30度所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．先根據是邊上的高，得到，由直角三角形兩銳角互余可得，進而得到，根據30度所對的直角邊等于斜邊的一半可得；即可解答．
【詳解】解：是邊上的高，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
故選：C．
2．如圖，在中，為直角，，于，若，則的長為（ ）

A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【分析】本題考查含角的直角三角形的性質，掌握含角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．
【詳解】解：∵為直角，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選A．
3．閱讀下面材料：
已知：，，，點是中點，給出下面四個結論：
①；
②；
③；
④點是上的一個動點，當取最小值時，．
上述結論中，所有正確結論的序號是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【分析】根據題意可推出，，即可判斷①、②；由，，即可判斷③；作點關于的對稱點，連接交于點，可得的最小值為，證得即可判斷④．
【詳解】解：∵，，
∴
∴，
∵點是中點，
∴
∴
∴是等邊三角形
∴，
∴，故①錯誤；
∵，
∴，
故②正確；
∴是等邊三角形，
∵，，
∴，故③正確；
作點關于的對稱點，連接交于點，如圖所示：
則有：
∴
∴的最小值為
∵，，
∴
∴
∴當取最小值時，
故④正確；
故選：D．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、三角形三邊關系、含的直角三角形的特征、全等三角形綜合以及線段和的最值問題，熟記相關定理結論是解題關鍵．
4．如圖，在等腰中，，，于點D，點P是延長線上一點，點O在延長線上，，下面的結論：①；②是正三角形；③；④，其中正確的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理；
求出，，，可得，①正確；證明，根據三角形內角和定理求出，即可證明是正三角形，故②正確；延長到T，使得，證明，可得，再由線段之間的關系可得，③正確；根據可得，則是定值，再由的面積是變化的可知④錯誤．
【詳解】解：如圖，設交于點J．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，故①正確；
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴是正三角形，故②正確；
延長到T，使得，
∵，
∴是等邊三角形，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正確；
∵，
∴，
∴，是定值，
∵的面積是變化的，
∴，故④錯誤；
故選：C．
5．如圖，在中，，，點D在上，，，則等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，解題的關鍵在于熟練掌握相關性質定理．根據等腰三角形的性質求出和度數，利用直角三角形中含所對應的邊是斜邊的一半求出的長度，根據角度相等求出以及對應長度，從而求出長度．
【詳解】解：，，
，，
，，
，，
，
，
，
．
故選：C．
6．如圖，已知，點P在邊上，，點C、D在邊上，，若，則（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】本題考查的是含度直角三角形的性質，等腰三角形的性質等知識．過點作，垂足為，根據等腰三角形的性質求出，根據直角三角形的性質求出，計算即可．
【詳解】解：過點作，垂足為，
，
，
，
，
，
，
故選：B．
7．如圖，，，于點，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了等角對等邊的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，根據等角對等邊的性質可得，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式求出，然后根據直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半解答即可．
【詳解】解：，
，
，
又，
．
故選：C．
8．如圖，在等邊中，于D，E是線段上一點，F是邊上一點，且滿足，G是的中點，連接，則下列四個結論：①；②；③；④；⑤當時，，其中正確的個數有（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本題主要考查了等邊三角形和等腰三角形的性質，有一角為的直角三角形的性質，根據題意逐一判斷即可，熟練掌握等腰三角形和等邊三角形的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：連接，如圖

∵是等邊三角形，
∴， ，
∵，
∴，故①符合題意；
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴， 故②符合題意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴， 故③符合題意；
∵，是的中點，
故④符合題意；
，
∴，
又∵
∴，
∴，故⑤符合題意．
故選：．
9．如圖，為的角平分線，，，點P，C分別為射線，上的動點，則的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】此題考查了角平分線的性質，直角三角形30度角的性質，最短路徑問題，正確掌握角平分線的性質定理是解題的關鍵．過點B作于D，交于P，過P作于C，此時的值最小，根據角平分線的性質得到，，由此得到，利用直角三角形30度角的性質得到的長，即可得到答案．
【詳解】解：過點B作于D，交于P，過P作于C，此時的值最小，
∵為的角平分線，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故選：A．

10．如圖，在四邊形中，，點在上，連接相交于點，，若，則的長為( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，平行線的性質，連接，先證明，根據全等三角形的性質可得，根據平行線的性質可得，進一步可得，根據，，可知是等邊三角形，從而可知是等邊三角形，可求得，根據求解即可．
【詳解】解：連接，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等邊三角形，
，
，
，，
是等邊三角形，
∵，
設，
∴，
解得
∴
故選：C．
填空題
11．如圖，點在的平分線上，，垂足為，點在上，若，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．過點作于點，根據角平分線的性質得到，再由直角三角形中角的直角邊是斜邊的一半求解即可．
【詳解】解：過點作于點，
點在的平分線上，，，
，，
，
，
，
在中，，，
．
故答案為：．
12．如圖，等邊中，于點H，點D、E分別在邊上，連接，點F在上，連接，若，則 ．
【答案】1
【分析】在上取點G，連接，使，證明，得到，，求出，則即可求出結果．本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，正確添加輔助線，構造全等三角形是解題關鍵．
【詳解】解：在上取點G，連接，使，
∵是等邊三角形，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案為：1．
13．已知，等邊三角形，點D，E分別在邊，上，且滿足，連接，，交于點M．作，的角平分線，交于點N．連接，當時，的度數為 ．
【答案】/73度
【分析】根據等邊三角形的性質，先證明，得到，得到．結合，得到，，，繼而得到，根據三角形外角性質計算即可．
【詳解】∵等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
，
∵，的角平分線，交于點N．
∴，
∴，
過點N分別作，垂足分別為F，P，Q，
∵，的角平分線，交于點N．
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，三角形全等的判定和性質，角的平分線的判定和性質，三角形的外角的性質，熟練掌握等邊三角形的性質，三角形全等的判定和性質，三角形的外角是解題的關鍵．
14．如圖，在中，，，交于點D，若，則 ．
【答案】9
【分析】此題考查了直角三角形兩銳角互余，含直角三角形的性質，首先根據直角三角形兩銳角互余得到，，然后利用含直角三角形的性質求解即可．解題的關鍵是熟練掌握直角三角形兩銳角互余，含直角三角形的性質．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案為：9．
15．如圖所示，已知在等邊三角形中，，分別是，上的點，且，連接，交于點，過點作，為垂足，若，則的長為 ．

【答案】
【分析】根據全等三角形的判定定理可判斷兩個三角形全等；根據全等三角形的對應角相等，以及三角形外角的性質，可以得到，根據直角三角形的性質即可得到．
【詳解】解：為等邊三角形．
，，
在和中，
，
，
，
為外角，
，
，
，
．
故答案為：．
三、解答題
16．如圖，在中，，，作的角平分線，交于點D．
(1)依題意補全圖形（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)求證．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖-復雜作圖，角平分線的性質，含30度角的直角三角形的特征，解題的關鍵是掌握尺規作已知角的角平分線．
（1）根據作已知角的角平分線步驟作圖即可；
（2）由，平分，可得，故，由，知，從而．
【詳解】（1）解：補全圖形如下：
（2）證明：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
∴．
17．如圖，在四邊形中，．
(1)若為的中點，，求證：平分；
(2)若為的中點，，，試判斷三角形的形狀，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)是等邊三角形，理由見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定，角平分線的性質，等腰三角形的性質，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵．
（1）延長交的延長線于點，由“”可證，可證，，可證，可得，可得結論；
（2）由等腰三角形的性質可得，，由“”可證，可得，可求，即可求解．
【詳解】（1）解：證明：延長交的延長線于點，
點是的中點，
，且，，
(),
，，
，，
，
，
，
平分；
（2）是等邊三角形．
理由如下：點是中點，
，
，，
，，
，
，且，
(),
，
，且，
，
，且，
是等邊三角形．
18．（1）如圖①，是等邊三角形，D是上一點，以為一邊向上作等邊，連接，求證：．
（2）在上題①中，當點在的延長線上時，其他條件不變，如圖②所示，請你補畫出題意的圖形，（1）的結論還成立嗎 若成立，請給予證明；若不成立，請簡要說明理由．
【答案】（1）證明見解析；（2）圖見解析，（1）的結論不成立，理由見解析
【分析】本題考查了等邊三角形的性質、三角形全等的判定與性質，正確找出兩個全等三角形是解題關鍵．
（1）先根據等邊三角形的性質可得，，，再證出，然后根據全等三角形的性質即可得證；
（2）先補畫出圖形，再證出，根據全等三角形的性質可得，由此即可得出結論．
【詳解】證明：（1）和都是等邊三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
；
（2）由題意，補畫出圖形如下：
（1）的結論不成立，理由如下：
和都是等邊三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，
又，
，
．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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13.3.2 等邊三角形 學案
（一）學習目標：
1.理解等邊三角形的定義，掌握等邊三角形的性質和特點。
2.通過觀察、討論、探究等教學活動，培養的觀察、分析、概括、推理等思維能力。
3.培養空間觀念和觀察能力，激發對數學的興趣和熱愛。
（二）學習重難點：
學習重點：理解等邊三角形的定義，掌握等邊三角形的性質
學習難點：如何引導發現等邊三角形的特點，培養的觀察和分析能力
閱讀課本，識記知識：
1.等邊三角形：等邊三角形是三邊都相等的三角形，也叫正三角形。
2.等邊三角形的性質
(1)等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60°。
(2)等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，三條對稱軸交于一點，該點稱為“中心”。
(3)等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質。
(4)等邊三角形外心、內心、重心、垂心四心合一。
3.等邊三角形的判定
(1)定義法：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.
(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形.
(3)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
4.含30°角的直角三角形的性質
在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
如圖，在Rt△ABC中，∠A=30°，則 。
【例1】 如圖，點A，點B分別在x軸和y軸上，，，則點B的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查圖形與坐標及含30度直角三角形的性質，熟練掌握含30度直角三角形的性質是解題的關鍵；由題意易得，然后問題可求解
【詳解】解：∵，，
∴，
∴點，
故選：C．
【例2】 已知，如圖在等邊中，是的一點，，下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．．
【答案】D
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，根據等邊三角形的性質得到，根據平角的定義和三角形內角和定理證明，，進而證明，得到根據現有條件無法證明，據此可得答案．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，則選項正確；
又∵，
∴，則選項正確；
∴，則選項正確；
∴四個選項中，只有D選項根據現有條件無法證明，
故選：D．
選擇題
1．如圖，在中，，是邊上的高，，，則的長為（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10
2．如圖，在中，為直角，，于，若，則的長為（ ）

A．8 B．6 C．4 D．2
3．閱讀下面材料：
已知：，，，點是中點，給出下面四個結論：
①；
②；
③；
④點是上的一個動點，當取最小值時，．
上述結論中，所有正確結論的序號是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
4．如圖，在等腰中，，，于點D，點P是延長線上一點，點O在延長線上，，下面的結論：①；②是正三角形；③；④，其中正確的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．如圖，在中，，，點D在上，，，則等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
6．如圖，已知，點P在邊上，，點C、D在邊上，，若，則（　　）
A． B．2 C． D．3
7．如圖，，，于點，則的長為（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，在等邊中，于D，E是線段上一點，F是邊上一點，且滿足，G是的中點，連接，則下列四個結論：①；②；③；④；⑤當時，，其中正確的個數有（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
9．如圖，為的角平分線，，，點P，C分別為射線，上的動點，則的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
10．如圖，在四邊形中，，點在上，連接相交于點，，若，則的長為( )
A．7 B．8 C．9 D．10
填空題
11．如圖，點在的平分線上，，垂足為，點在上，若，則 ．
12．如圖，等邊中，于點H，點D、E分別在邊上，連接，點F在上，連接，若，則 ．
13．已知，等邊三角形，點D，E分別在邊，上，且滿足，連接，，交于點M．作，的角平分線，交于點N．連接，當時，的度數為 ．
14．如圖，在中，，，交于點D，若，則 ．
15．如圖所示，已知在等邊三角形中，，分別是，上的點，且，連接，交于點，過點作，為垂足，若，則的長為 ．

三、解答題
16．如圖，在中，，，作的角平分線，交于點D．
(1)依題意補全圖形（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)求證．
17．如圖，在四邊形中，．
(1)若為的中點，，求證：平分；
(2)若為的中點，，，試判斷三角形的形狀，并說明理由．
18．（1）如圖①，是等邊三角形，D是上一點，以為一邊向上作等邊，連接，求證：．
（2）在上題①中，當點在的延長線上時，其他條件不變，如圖②所示，請你補畫出題意的圖形，（1）的結論還成立嗎 若成立，請給予證明；若不成立，請簡要說明理由．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
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