資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
13.4 課題學習 最短路徑問題 學案
（一）學習目標：
1.復習基本事實: 兩點之間線段最短和垂線段最短;
2.掌握利用軸對稱圖形的特點構造對應點，解決最短路徑問題;
3.經歷探索最短路徑問題的過程,體會利用操作、歸納獲得數學結論的過程,體驗解決實際問題的成就感。
（二）學習重難點：
學習重點：掌握利用軸對 稱圖形的特點構造對應點;熟知并熟練運用兩種數學模型,解決最短路徑問題
學習難點：將實際問題抽象為數學問題，利用數學模型解決問題;鍛煉學生掌握數形結合的數學思想方法，將數學知識與實際生活相聯系
閱讀課本，識記知識：
1.求直線異側的兩點到直線上一點距離的和最小的問題，只要連接這兩點，所得線段與直線的交點即為所求的位置.
點A，點B分別是直線l異側的兩個點，在l上找到一個點C，使CA+CB最小，這時點C是直線l與AB的交點，如圖所示。
2.求直線同側的兩點到直線上一點距離的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，所得線段與該直線的交點即為所求的位置.
點A，點B分別是直線l同側的兩個點，在l上找到一個點C，使CA+CB最小.這時先作點A關于直線l的對稱點A＇，則點C是直線l與A＇B的交點；或者先作點B關于直線l的對稱點B＇，則點C是直線l與直線AB＇的交點，如圖所示。
【例1】 如圖，直線表示一條河，，表示兩個村莊，向兩個村莊供水，現有如圖所示的四種鋪設管道的方案，則所需管道最短的方案是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了最短路徑的數學問題，依據兩點之間，線段最短，將所求路線長轉化為兩定點之間的距離是解答本題的關鍵．
依題意，分析出所需管道最短，利用對稱的性質，通過等線段代換，將所求路線長轉化為兩定點之間的距離．
【詳解】解：如圖，
畫出點關于的對稱點，則：
連接，交直線于點，
，
此時，最小，
故選：．
【例2】 某市要在河流上修建一個水站，向居民區提供自來水，要使點到的距離之和最短，則下列確定點位置的作法正確的是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據軸對稱最短路徑的作圖方法即可求解．
【詳解】解：根據題意，作點關于的對稱點，連接與交于點，即點的位置即為所求水站的位置，
故選：．
【點睛】本題主要考查對稱軸最短路徑的作圖方法，掌握軸對稱求最短路徑的方法是解題的關鍵．
選擇題
1．如圖，在銳角三角形中，，的面積為8，平分．若、分別是、上的動點，則的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本題考查了最短路線問題，角平分線的性質，垂線段最短定理．過點作，垂足為點，交于點，過點作，垂足為點，根據“垂線段最短”，即可得為的值最小，再利用面積公式求出的值，即可得出答案，解題關鍵是利用垂線段最短解決最值問題．
【詳解】解：如圖，過點作，垂足為點，交于點，過點作，垂足為點，
平分，
，
，
當點與點重合時，的值最小，等于的值，
，的面積為8，
，
，
的最小值為4，
故選：B．
2．如圖，在中，，如果點分別為上的動點，那么的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】如圖所示，作點A關于的對稱點，連接，，，則，，故，由此推出當、D、E三點共線時，，最小值即為的長，當最小時，即滿足，故根據三角形的面積即可求得的最小值．
【詳解】解：作點A關于的對稱點，作點，交于點D，連接，如圖：
則，
∴．
即的最小值為．
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
即的最小值為．
故選：B．
【點睛】此題考查了軸對稱最短路徑問題，垂線段的性質，勾股定理，根據三角形的面積求高等，熟練掌握以上性質是解本題的關鍵．
3．如圖，在中，，，的面積是16，的垂直平分線分別交，邊于E，F點，若點D為邊的中點，點M為線段上一動點，則周長的最小值為（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，將軍飲馬問題，理解將軍飲馬問題，正確添加輔助線是解題關鍵．連接，，先證明，根據三角形面積公式求出，根據線段垂直平分線的性質得到點C關于直線的對稱點為點A，根據，即可求出的周長最小值為10．
【詳解】解：連接，．
∵，點D是邊的中點，
∴，
∴，
解得，
∵是線段的垂直平分線，
∴點C關于直線的對稱點為點A，
∴，
∵，
∴的長為的最小值，
∴的周長最小值為．
故選：C
4．如圖，在等邊中，D，E分別是，的中點，且點P是線段上的一個動點，當的周長最小時，P點的位置在（ ）
A．A點處 B．D點處
C．的中點處 D．三條高的交點處
【答案】D
【分析】本題考查等邊三角形的性質、線段垂直平分線的性質、最短路徑問題，解答關鍵找到當的周長最小時，P點的位置．連接，根據等邊三角形的性質得到垂直平分，進而得到當點B、P、E共線時的周長最小，即可得到P點的位置為等邊三角形高線的交點．
【詳解】解：連接，
∵在等邊中，D是的中點，
∴，，即垂直平分，
∴，
∴的周長為，
∵E是的中點，
∴當點B、P、E共線時，的周長最小，此時，
∵三角形的三條高線交于一點，且點P在線段上，
∴P點的位置在在三條高的交點處，
故選：D
5．如圖，已知直線l垂直平分，點C在直線l的左側，且，，，P是直線l上的任意一點，則的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【答案】C
【分析】本題考查了最短路徑，垂直平分線的性質，根據垂直平分線的性質得到，利用兩點之間線段最短，找出最短距離為即可得到結果．
【詳解】解：連接，
∵l垂直平分，
，
，
的最小值是，值為7，
故選：C．
6．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為6，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC，AB于點E，F，D為BC邊的中點，M為線段EF上一動點，若△CDM的周長的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為（　　）
A．78 B．39 C．42 D．30
【答案】D
【詳解】如圖，連接AD，交EF于點M．
∵△ABC是等腰三角形，D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，CD=BC=3．∵EF是線段AC的垂直平分線，
∴點C關于直線EF的對稱點為A，AM=CM，∴此時△CDM的周長最小，∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13，∴AD=13－CD=13－3=10，∴S△ABC=BC·AD=×6×10=30．
7．如圖，直線是一條河，、 是兩個新農村定居點，欲在上的某點處修建一個水泵站，由水泵站直接向 、兩地供水，現有如下四種管道鋪設方案，圖中實線表示鋪設的供水管道，則鋪設管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了最短路徑的數學問題；利用對稱的性質，通過等線段代換，將所求路線長轉化為兩定點之間的距離．
【詳解】解：作關于的對稱點，連接交直線于點，如圖所示，
則
根據兩點之間，線段最短，可知選項D鋪設的管道，則所需管道最短．
故選：D．
8．如圖，在中，，垂直平分，交于點D，則周長的最小值是（　　）

A．12 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本題主要考查了，軸對稱﹣最短路線問題的應用，解此題的關鍵是找出P的位置．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，根據題意知點B關于直線的對稱點為點C，故當點P與點D重合時，的值最小，即可得到周長最小．
【詳解】解：∵垂直平分，
∴點B，C關于對稱．
∴當點P和點D重合時，的值最小．
此時，
∵，
周長的最小值是，
故選：C．
9．、、為三個小區，、、三個小區的學生人數比為，現在要在所在的平面上建造一個學校，使得所有學生走的路程和最短，則學校應該選在（ ）

A．點處 B．三條中線的交點處
C．點處 D．和的角平分線的交點處
【答案】B
【分析】本題考查了數學模型“費馬點”，“費馬點”是指三角形內部某一點到三個頂點之間的距離之和最短．當三角形的三個角都小于時，“費馬點”在三角形的內部，同時“費馬點”到兩個頂點之間的夾角都是，當有個角大于等于時，“費馬點”就是該角的頂點；但當且僅當三角形是等邊三角形時，“費馬點”和三角形的內角重合，而三角形的內心是三條角平線的交點．根據“費馬點”的定義并結合題意即可得到答案．
【詳解】解：∵圖中為銳角三角形，且不是等邊三角形，
∴A、C、D都不符合題意．
故選：B．
如圖，等腰中，，當的值最小時，的面積（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過點作，使，連接，證明，根據全等三角形的性質得，則，連接交于，在中，由三角形三邊關系可得，則、、三點共線時，的值最小，即的值最小，證明，根據全等三角形的性質得，過點作于，根據含角的直角三角形的性質求出，利用三角形的面積公式即可求解．
【詳解】解：過點作，使，連接，

∵，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
連接交于，
在中，由三角形三邊關系可得，則、、三點共線時，的值最小，即的值最小，
∵，
，
在和中，
，
，
，
過點作于，
，
，
的面積為．
故選：C．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、直角三角形的性質、三角形的三邊關系、最短距離問題、三角形的面積、平行線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．
填空題
11．如圖,鈍角三角形的面積是,最長邊,平分,點分別是,上的動點,則的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據題意過點作于點,交于點,過點作于點,則即為的最小值,再根據三角形面積公式求出的長,即為的最小值．
【詳解】解：過點作于點,交于點,過點作于點,
,
∵平分,,,
∴,
∴的最小值,
∵三角形的面積是,,
∴,即,解得:,
∴則的最小值為,
故答案為：．
【點睛】本題考查軸對稱-最短路線問題,角平分線性質,垂線段最短,三角形面積公式．
12．如圖，在中，，，點C在直線上，，點P為上一動點，連接，．當的值最小時，的度數為 度．
【答案】
【分析】本題主要考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質，軸對稱最短線路問題．
作點B關于直線的對稱點D，連接，，，當點P為與的交點時，的值最小．由軸對稱易證，結合證得是等邊三角形，可得，結合已知根據等腰三角形性質可求出，即可解決問題．
【詳解】如圖，作點B關于直線的對稱點D，連接，，，當點P為與的交點時，的值最小．
由軸對稱可得：，，，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴是等邊三角形，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
故答案為：
13．如圖，在中，，，，平分，點分別是，邊上的動點，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】作點關于直線的對稱點，連接、，根據軸對稱的性質、垂直平分線的性質可得，則欲求的最小值即為的最小值，即的最小值，則當時，即的值最小，最小值為的長．
【詳解】解：如圖，作點關于直線的對稱點，連接、，
是、的對稱軸，
即是線段的垂直平分線，
，
的最小值即為的最小值，即的最小值，
當時，即的值最小，此時與重合，與重合，最小值為的長，
在中，，，，
，
的最小值是．
故答案為：．
【點睛】本題考查的知識點是軸對稱的性質、垂直平分線的性質、最短路徑問題、垂線段最短及含角的直角三角形的性質，解題關鍵是找出點、的位置．
14．如圖，在公路兩側分別有七個工廠，各工廠與公路（圖中粗線）之間有小公路連接．現在需要在公路上設置一個車站，選擇站址的標準是“使各工廠到車站的距離之和越小越好”，由以上幾個描述：①車站的位置設在C點好于B點；②車站的位置在B點與C點之間任何一點效果一樣；③車站位置的設置與各段小公路的長短無關．其中，正確的是 ．
【答案】①③/③①
【分析】根據最優化問題，即可判斷出正確答案．此題屬于最優化問題，做這類題要做到規劃合理，也就是要考慮到省時省力．
【詳解】解；如圖，
因為A、D、E點各有一個工廠相連，B，C，各有兩個工廠相連，把工廠看作“人”．可簡化為“A，B，C，D，E處分別站著1，2，2，1，1個人（如圖），求一點，使所有人走到這一點的距離和最小”把人盡量靠攏，顯然把人聚到B、C最合適，靠攏完的結果變成了，最好是移動3個人而不要移動4個人．所以車站設在C點，且與各段小公路的長度無關．
故答案為：①③．
15．如圖，在中，，平分，交于點D，點M、N分別為、上的動點，若，的面積為6，則的最小值為 ．
【答案】3
【分析】本題考查了等腰三角形的軸對稱性和將軍飲馬模型．
根據等腰三角形的軸對稱性可知，C點與A點關于對稱，由此可得，又由“兩點之間線段最短”和“垂線段最短”可得當三點共線且時最短，根據三角形的面積公式可求出的長，即的最小值．
熟練掌握將軍飲馬模型和“垂線段最短”是解題的關鍵．
【詳解】
如圖，連接，
∵在中，，平分，
，且 ，
是等腰三角形的對稱軸，且C點與A點關于對稱，
，
．
如圖，當三點共線且時， ，
此時最小，即的值最小．
，
，
解得，
的最小值為3．
故答案為：3．
三、解答題
16．如圖，在平面直角坐標系中，點，，．
(1)在圖中畫出關于x軸對稱的；
(2)在y軸上畫出點P，使得的值最小（保留作圖痕跡），并直接寫出點P的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖-軸對稱變換、軸對稱-最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質是解答本題的關鍵．
（1）根據軸對稱的性質得到，，作圖即可．
（2）取點A關于y軸的對稱點，連接，交y軸于點P，即可得出答案．
【詳解】（1）解：與關于x軸對稱，
，，
如圖，即為所求；
（2）解：如圖，取點A關于y軸的對稱點，連接，交y軸于點P，
此時，為最小值，
則點P即為所求．
17．按要求畫圖．
(1)①如圖①由點A到河邊l的最短路線的依據是________________．
②如果從點A經過點B再到河邊l，要使路程最短，在圖中畫出行走路線．
(2)如圖②，內有一點P．過點P作交于點C，交于點D．
【答案】(1)①垂線段最短 ②見解析
(2)見解析
【分析】（1）①根據“點到直線的距離，垂線段最短”即可得到答案；②先連接，再過點B作直線l的垂線段，即為所求；
（2）利用平移的作法作出兩條已知射線的平行線即可．
【詳解】（1）解：①由點A到河邊l的最短路線的依據是：垂線段最短，
故答案為：垂線段最短；
②如圖，即為所求作：
（2）解：如圖，、即為所求作：
18．如圖，三個頂點的坐標分別為，，．
(1)的面積為______；
(2)請畫出關于y軸對稱的；
(3)在x軸上畫出點P，使值最小，并直接寫出點P的坐標．（保留畫圖痕跡）
【答案】(1)
(2)見解析
(3)見解析，
【分析】本題考查了作圖——軸對稱圖形、三角形面積：
（1）利用割補法即可求解；
（2）根據軸對稱圖形的性質作出軸對稱圖形即可求解；
（3）作點關于x軸對稱的點，連接，交x軸于，連接，根據軸對稱圖形的性質可得，則此時值最小，進而可求解；
熟練掌握軸對稱圖形的性質及割補法求圖形的面積是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：，
故答案為：．
（2）根據軸對稱圖形的性質得：
如圖所示，即為所求．
（3）作點關于x軸對稱的點，連接，交x軸于，連接，
，
，
則此時值最小，
如圖所示，點P即為所求，坐標為．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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13.4 課題學習 最短路徑問題 學案
（一）學習目標：
1.復習基本事實: 兩點之間線段最短和垂線段最短;
2.掌握利用軸對稱圖形的特點構造對應點，解決最短路徑問題;
3.經歷探索最短路徑問題的過程,體會利用操作、歸納獲得數學結論的過程,體驗解決實際問題的成就感。
（二）學習重難點：
學習重點：掌握利用軸對 稱圖形的特點構造對應點;熟知并熟練運用兩種數學模型,解決最短路徑問題
學習難點：將實際問題抽象為數學問題，利用數學模型解決問題;鍛煉學生掌握數形結合的數學思想方法，將數學知識與實際生活相聯系
閱讀課本，識記知識：
1.求直線異側的兩點到直線上一點距離的和最小的問題，只要連接這兩點，所得線段與直線的交點即為所求的位置.
點A，點B分別是直線l異側的兩個點，在l上找到一個點C，使CA+CB最小，這時點C是直線l與AB的交點，如圖所示。
2.求直線同側的兩點到直線上一點距離的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，所得線段與該直線的交點即為所求的位置.
點A，點B分別是直線l同側的兩個點，在l上找到一個點C，使CA+CB最小.這時先作點A關于直線l的對稱點A＇，則點C是直線l與A＇B的交點；或者先作點B關于直線l的對稱點B＇，則點C是直線l與直線AB＇的交點，如圖所示。
【例1】 如圖，直線表示一條河，，表示兩個村莊，向兩個村莊供水，現有如圖所示的四種鋪設管道的方案，則所需管道最短的方案是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了最短路徑的數學問題，依據兩點之間，線段最短，將所求路線長轉化為兩定點之間的距離是解答本題的關鍵．
依題意，分析出所需管道最短，利用對稱的性質，通過等線段代換，將所求路線長轉化為兩定點之間的距離．
【詳解】解：如圖，
畫出點關于的對稱點，則：
連接，交直線于點，
，
此時，最小，
故選：．
【例2】 某市要在河流上修建一個水站，向居民區提供自來水，要使點到的距離之和最短，則下列確定點位置的作法正確的是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據軸對稱最短路徑的作圖方法即可求解．
【詳解】解：根據題意，作點關于的對稱點，連接與交于點，即點的位置即為所求水站的位置，
故選：．
【點睛】本題主要考查對稱軸最短路徑的作圖方法，掌握軸對稱求最短路徑的方法是解題的關鍵．
選擇題
1．如圖，在銳角三角形中，，的面積為8，平分．若、分別是、上的動點，則的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如圖，在中，，如果點分別為上的動點，那么的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．
3．如圖，在中，，，的面積是16，的垂直平分線分別交，邊于E，F點，若點D為邊的中點，點M為線段上一動點，則周長的最小值為（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．如圖，在等邊中，D，E分別是，的中點，且點P是線段上的一個動點，當的周長最小時，P點的位置在（ ）
A．A點處 B．D點處
C．的中點處 D．三條高的交點處
5．如圖，已知直線l垂直平分，點C在直線l的左側，且，，，P是直線l上的任意一點，則的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
6．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為6，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC，AB于點E，F，D為BC邊的中點，M為線段EF上一動點，若△CDM的周長的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為（　　）
A．78 B．39 C．42 D．30
7．如圖，直線是一條河，、 是兩個新農村定居點，欲在上的某點處修建一個水泵站，由水泵站直接向 、兩地供水，現有如下四種管道鋪設方案，圖中實線表示鋪設的供水管道，則鋪設管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
8．如圖，在中，，垂直平分，交于點D，則周長的最小值是（　　）

A．12 B．6 C．7 D．8
9．、、為三個小區，、、三個小區的學生人數比為，現在要在所在的平面上建造一個學校，使得所有學生走的路程和最短，則學校應該選在（ ）

A．點處 B．三條中線的交點處
C．點處 D．和的角平分線的交點處
如圖，等腰中，，當的值最小時，的面積（ ）

A． B． C． D．
填空題
11．如圖,鈍角三角形的面積是,最長邊,平分,點分別是,上的動點,則的最小值為 ．
12．如圖，在中，，，點C在直線上，，點P為上一動點，連接，．當的值最小時，的度數為 度．
13．如圖，在中，，，，平分，點分別是，邊上的動點，則的最小值是 ．
14．如圖，在公路兩側分別有七個工廠，各工廠與公路（圖中粗線）之間有小公路連接．現在需要在公路上設置一個車站，選擇站址的標準是“使各工廠到車站的距離之和越小越好”，由以上幾個描述：①車站的位置設在C點好于B點；②車站的位置在B點與C點之間任何一點效果一樣；③車站位置的設置與各段小公路的長短無關．其中，正確的是 ．
15．如圖，在中，，平分，交于點D，點M、N分別為、上的動點，若，的面積為6，則的最小值為 ．
三、解答題
16．如圖，在平面直角坐標系中，點，，．
(1)在圖中畫出關于x軸對稱的；
(2)在y軸上畫出點P，使得的值最小（保留作圖痕跡），并直接寫出點P的坐標．
17．按要求畫圖．
(1)①如圖①由點A到河邊l的最短路線的依據是________________．
②如果從點A經過點B再到河邊l，要使路程最短，在圖中畫出行走路線．
(2)如圖②，內有一點P．過點P作交于點C，交于點D．
18．如圖，三個頂點的坐標分別為，，．
(1)的面積為______；
(2)請畫出關于y軸對稱的；
(3)在x軸上畫出點P，使值最小，并直接寫出點P的坐標．（保留畫圖痕跡）
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
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