資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
14.1.4 整式的乘法 學案
（一）學習目標：
1.探究并掌握多項式除以單項式法則;會用多項式除以單項式法則計算。
2.體會數學的應用價值，培養數學思維.
3.利用整式除法的逆運算或者約分的方法推理出多項式除以單項式的運算法則，掌握整式除法的運算.
（二）學習重難點：
學習重點：多項式除以單項式的運算法則的推導，以及法則的正確使用
學習難點：多項式除以單項式的運算法則的熟練應用
閱讀課本，識記知識：
1.單項式乘單項式
（1）法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，對只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。
（2）單項式乘以單項式的運算步驟：①系數：把它們的系數相乘，包括它們的符號；②同底數冪：同底數冪相乘；③只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數作為積的一個因式。
（3）知識拓展：①應先確定積的符號；②注意按運算順序進行；③不要丟掉只有一個單項式里含有的字母。
2.單項式乘多項式：
（1）法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即
；
（2）知識拓展：單項式與多項式相乘的依據是乘法分配律，先將單項式乘多項式轉化為單項式乘單項式，再轉化為同底數冪相乘；單項式與多項式相乘，結果是一個多項式，其項數與因式中多項式的項數相同，運算時可以以此來檢驗是否漏乘。
3.多項式乘多項式：
（1）法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，即：；
（2）知識拓展:①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積；③多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號，運算過程中要注意先確定積中各項的符號；④相乘后，若有同類項應該合并。
【例1】 在下列計算中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了同底數冪的除法，積的乘方，同底數冪的乘法，合并同類項，熟練掌握相關運算法則是解答本題的關鍵．
利用同底數冪的除法，積的乘方，同底數冪的乘法，合并同類項，分析每一個選項，只有符合題意，由此選出答案．
【詳解】解：、，本選項不正確，故不符合題意；
、，本選項正確，故符合題意；
、與不屬于同類項，不能合并，本選項不正確，故不符合題意；
、，本選項不正確，故不符合題意，
故選：．
【例2】 下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了同底數冪乘除法計算，積的乘方和冪的乘方計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵，注意積的乘方和冪的乘方指數是相乘，同底數冪乘除法指數是相加減．
【詳解】解：A、，原式計算錯誤，不符合題意；
B、，原式計算正確，符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算錯誤，不符合題意；
故選B．
選擇題
1．若關于的多項式展開合并后不含項，則的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本題考查多項式乘多項式，解題的關鍵是令含x的系數為零．
首先根據多項式乘多項式的法則化簡，然后根據題意得到，即可求出答案．
【詳解】解∶，
由題意可知：，
∴，
故選∶B．
2．下列運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查整式的混合運算，涉及積的乘方運算、同底數冪的乘法運算、冪的乘方運算和同底數冪的除法運算，熟記相關運算法則逐項驗證是解決問題的關鍵．
【詳解】解：A、，該選項錯誤，不符合題意；
B、，該選項錯誤，不符合題意；
C、，該選項正確，符合題意；
D、，該選項錯誤，不符合題意；
故選：C．
3．下列計算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據同底數冪的乘法、除法，冪的乘方，積的乘方，對各選項計算求解，然后判斷即可．
【詳解】解：，A錯誤，故不符合要求；
，B錯誤，故不符合要求；
，C正確，故符合要求；
，D錯誤，故不符合要求；
故選：C．
【點睛】本題考查了同底數冪的乘法、除法，冪的乘方，積的乘方．熟練掌握同底數冪的乘法、除法，冪的乘方，積的乘方是解題的關鍵．
4．在等式（______）中，括號內的代數式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了同底數冪乘除法計算，根據乘法和除法互為逆運算，只需要計算出的結果即可．
【詳解】解：
，
故選C．
5．下列計算中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了積的乘方，同底數冪乘除法計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵，注意同底數冪乘除法指數是相加減，積的乘方指數是相乘．
【詳解】解；A、，原式計算錯誤，不符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算正確，符合題意；
故選：D．
6．下列運算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是同底數冪的乘法與除法法則，冪的乘方與積的乘方法則，合并同類項，熟知以上知識是解題的關鍵．分別根據同底數冪的乘法與除法法則，冪的乘方與積的乘方法則對各選項進行計算即可．
【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并，不符合題意；
B、，正確，符合題意；
C、，原計算錯誤，不符合題意；
D、，原計算錯誤，不符合題意．
故選：B．
7．下列計算中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了同底數冪的乘法法則，冪的乘方法則，同底數冪除法，合并同類項，熟知計算法則是解題的關鍵．根據同底數冪的乘法法則，冪的乘方法則，同底數冪除法，合并同類項，逐一判斷即可解答．
【詳解】解：A．，原計算錯誤，不符合題意；
B． ，原計算錯誤，不符合題意；
C． ，原計算錯誤，不符合題意；
D．，原計算正確，符合題意；
故選：D．
8．根據流程圖中的程序，若輸入x的值為1，則輸出y的值為（ ）
A． B．8 C．7 D．
【答案】C
【分析】本題考查了流程圖的計算，理解運算流程是解題關鍵．把代入程序中計算，判斷結果與0的大小，由此可確定y的值．
【詳解】解：當時，
，
當時，
，
即．
故選：C．
9．下列運算一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了同底數冪乘除法，積的乘方和合并同類項等計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：A、，原式計算錯誤，不符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算正確，符合題意；
故選D．
10．下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了冪的乘方，同底數冪除法，合并同類項，熟知相關計算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：A、，原式計算正確，符合題意；
B、與不是同類項，不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；
C、與不是同類項，不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算錯誤，不符合題意；
故選A．
填空題
11．如果，那么 ．
【答案】2
【分析】本題考查同底數冪的除法、冪的乘方．同底數冪相除：底數不變，指數相減；冪的乘方：底數不變，指數相乘．由此列出關于k的一元一次方程，即可求出k的值．
【詳解】解：，
，
解得，
故答案為：2．
12．如圖，有一塊長為，寬為的長方形土地，規劃部門計劃在中間長方形部分修建一個噴泉廣場，將其余部分都留出寬為的綠化帶，則綠化帶的面積為 （請用含的式子表示）．
【答案】
【分析】本題考查根據圖形列代數式，涉及矩形面積、整式混合運算等知識，讀懂題意，數形結合是解決問題的關鍵．
【詳解】解：根據題意，如圖所示：
綠化帶的面積為
，
故答案為：．
13．若，其中為常數，則點關于軸的對稱點的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題考查了整式的混合運算，關于軸、軸對稱的點的坐標等知識點，能求出、的值是解此題的關鍵．先根據多項式乘多項式進行化簡，再合并同類項，求出、的值，再求出點的坐標，再求出答案即可．
【詳解】解：且，
，，
點關于軸的對稱點的坐標為，
故答案為：．
14．已知，則= ．
【答案】
【分析】本題主要考查了冪的乘方，同底數冪相除，先逆用冪的乘方，逆用同底數冪相除法則化簡，再代入計算．
【詳解】．
∵，，
∴原式．
15．已知，，則的值是 ．
【答案】/
【分析】本題考查了同底數冪的除法的逆運算、冪的逆運算．根據同底數冪的除法的逆運算、冪的逆運算法則求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴
故答案為：．
三、解答題
16．計算
(1)計算；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此題主要考查了整式的混合運算以及實數的運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
（1）先計算乘方，負整數冪，0指數冪，再計算加減即可得出答案；
（2）直接利用多項式除以單項式化簡，再合并同類項得出答案．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．如圖，兩個相連的正方形的邊長分別是a、b.完成下面兩題（如果含有，請在結果中保留的形式）．

(1)用含a、b的式子表示陰影部分的面積；
(2)當，時，求陰影部分的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了列代數式，涉及到正方形、圓的面積公式，正確表示出陰影部分的面積是解題的關鍵．
（1）陰影部分的面積梯形的面積三角形的面積正方形的面積扇形的面積；
（2）當，時，代入（1）中代數式計算即可．
【詳解】（1）解：陰影部分的面積為：
；
（2）當，時，原式．
18．（2023上·吉林長春·八年級統考期末）計算：．
【答案】
【分析】本題主要考查了整式混合運算，解題的關鍵是熟練掌握整式混合運算法則，準確計算．
【詳解】解：
．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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14.1.4 整式的乘法 學案
（一）學習目標：
1.探究并掌握多項式除以單項式法則;會用多項式除以單項式法則計算。
2.體會數學的應用價值，培養數學思維.
3.利用整式除法的逆運算或者約分的方法推理出多項式除以單項式的運算法則，掌握整式除法的運算.
（二）學習重難點：
學習重點：多項式除以單項式的運算法則的推導，以及法則的正確使用
學習難點：多項式除以單項式的運算法則的熟練應用
閱讀課本，識記知識：
1.單項式乘單項式
（1）法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，對只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。
（2）單項式乘以單項式的運算步驟：①系數：把它們的系數相乘，包括它們的符號；②同底數冪：同底數冪相乘；③只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數作為積的一個因式。
（3）知識拓展：①應先確定積的符號；②注意按運算順序進行；③不要丟掉只有一個單項式里含有的字母。
2.單項式乘多項式：
（1）法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即
；
（2）知識拓展：單項式與多項式相乘的依據是乘法分配律，先將單項式乘多項式轉化為單項式乘單項式，再轉化為同底數冪相乘；單項式與多項式相乘，結果是一個多項式，其項數與因式中多項式的項數相同，運算時可以以此來檢驗是否漏乘。
3.多項式乘多項式：
（1）法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，即：；
（2）知識拓展:①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積；③多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號，運算過程中要注意先確定積中各項的符號；④相乘后，若有同類項應該合并。
【例1】 在下列計算中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了同底數冪的除法，積的乘方，同底數冪的乘法，合并同類項，熟練掌握相關運算法則是解答本題的關鍵．
利用同底數冪的除法，積的乘方，同底數冪的乘法，合并同類項，分析每一個選項，只有符合題意，由此選出答案．
【詳解】解：、，本選項不正確，故不符合題意；
、，本選項正確，故符合題意；
、與不屬于同類項，不能合并，本選項不正確，故不符合題意；
、，本選項不正確，故不符合題意，
故選：．
【例2】 下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了同底數冪乘除法計算，積的乘方和冪的乘方計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵，注意積的乘方和冪的乘方指數是相乘，同底數冪乘除法指數是相加減．
【詳解】解：A、，原式計算錯誤，不符合題意；
B、，原式計算正確，符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算錯誤，不符合題意；
故選B．
選擇題
1．若關于的多項式展開合并后不含項，則的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列計算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
4．在等式（______）中，括號內的代數式是（ ）
A． B． C． D．
5．下列計算中正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列運算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列計算中正確的是（ ）
A． B． C． D．
8．根據流程圖中的程序，若輸入x的值為1，則輸出y的值為（ ）
A． B．8 C．7 D．
9．下列運算一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
填空題
11．如果，那么 ．
12．如圖，有一塊長為，寬為的長方形土地，規劃部門計劃在中間長方形部分修建一個噴泉廣場，將其余部分都留出寬為的綠化帶，則綠化帶的面積為 （請用含的式子表示）．
13．若，其中為常數，則點關于軸的對稱點的坐標為 ．
14．已知，則= ．
【答案】
【分析】本題主要考查了冪的乘方，同底數冪相除，先逆用冪的乘方，逆用同底數冪相除法則化簡，再代入計算．
【詳解】．
∵，，
∴原式．
15．已知，，則的值是 ．
三、解答題
16．計算
(1)計算；
(2)
17．如圖，兩個相連的正方形的邊長分別是a、b.完成下面兩題（如果含有，請在結果中保留的形式）．

(1)用含a、b的式子表示陰影部分的面積；
(2)當，時，求陰影部分的面積．
18．（2023上·吉林長春·八年級統考期末）計算：．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
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