資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
14.2.1 平方差公式 學案
（一）學習目標：
1.掌握平方差公式，會用平方差公式進行簡單計算.
2.經歷探索特殊形式的多項式乘法的過程,發展符號感和推理能力，逐漸掌握平方差公式.
3.通過合作學習，體會在解決具體問題過程中與他人合作的重合性，體驗數學活動充滿著探索性和創造性，感受數學知識的實際價值.
（二）學習重難點：
學習重點：平方差公式的推導和應用
學習難點：理解平方差公式的結構特征，靈活應用平方差公式
閱讀課本，識記知識：
（1）符號表述：
（2）語言描述：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差；
（3）知識拓展：①公式中的和可以是實數，也可以是單項式或多項式；②公式可以逆運用；
【例1】 下列算式能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了平方差公式．根據平方差公式特征，逐項判斷，即可求解．
【詳解】解：A、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
B、，能用平方差公式計算，故本選項符合題意；
C、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
D、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
故選：B
【例2】 設，則以下四個選項中最接近的整數為（ ）
A．252 B．504 C．1007 D．2013
【答案】B
【分析】題目主要考查求代數式的值，平方差公式，根據題意，進行錯位相減，然后求解即可．
【詳解】解：
∴
，
故選：B．
選擇題
1．如圖，在邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為的小正方形，把余下的部分沿虛線剪開，拼成一個矩形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查平方差公式的幾何推導，根據圖形，利用正方形和矩形的面積公式得到陰影面積，根據兩陰影面積相等可得等式．
【詳解】解：第1個圖形的陰影面積為大正方形的面積與小正方形的面積的差，即，
第2個圖形的陰影面積為，
∵兩陰影面積相等，
∴，
故選：A．
2．下列能使用平方差公式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要查了平方差公式．根據能用平方差公式計算的式子特點：左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數進行分析即可．
【詳解】解：A、不能使用平方差公式，故本選項不符合題意；
B、不能使用平方差公式，故本選項不符合題意；
C、不能使用平方差公式，故本選項不符合題意；
D、能使用平方差公式，故本選項符合題意；
故選：D
3．如圖，從邊長為的正方形中去掉一個邊長為的小正方形，然后用剩余的部分剪開后拼成一個長方形，上述操作能驗證的等式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，用代數式分別表示出左圖、右圖的涂色部分的面積即可，用代數式分別表示出左圖、右圖的涂色部分的面積是解此題的關鍵．
【詳解】解：左圖，涂色部分的面積為，拼成右圖的長為，寬為，因此面積為，
因此有：，
故選：D．
4．如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形，把余下的部分剪拼成如圖所示的長方形．通過計算剪拼前后陰影部分的面積，驗證了一個等式，這則個等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此題考查了平方差公式幾何背景問題的解決能力，關鍵是能準確表示兩個圖形中陰影部分的面積．
根據題意分別表示出兩個圖形中陰影部分的面積即可．
【詳解】解：∵圖1中陰影部分的面積表示為：，
圖2中陰影部分的面積表示為：，
∴，
故選：A．
5．在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形（，如圖1），把余下部分沿虛線剪開拼成一個長方形（如圖2），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證公式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平方差公式的幾何解釋，正確理解公式是解題的關鍵．
【詳解】解：圖1陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即，
圖2是長為，寬為的長方形，此時長方形的面積為，
根據面積相等的性質，得，
即：，
故選：C．
6．如圖，從邊長為的大正方形中剪掉一個邊長為的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成如圖矩形，這個圖形的變化過程寫出一個正確的等式(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平方差公式的幾何背景，利用正方形的面積公式和矩形的面積公式分別表示出陰影部分的面積，然后根據面積相等列出等式即可．
【詳解】解：第一個圖形陰影部分的面積是，
第二個圖形的面積是．
則．
故選：D．
7．如圖①，在邊長為的正方形中剪去一個邊長為的小正方形，然后把剩下部分沿圖中實線新開后排成如圖②所示的梯形、通過計算圖①、圖②中陰影部分的面積，可以得到的代數恒等式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平方差公式與幾何圖形，分別表示出兩幅圖形中的陰影部分的面積，再由兩個圖形中陰影部分的面積相等即可得到答案，準確表示出面積是解此題的關鍵．
【詳解】解：由圖可得：
左邊陰影部分的面積為，
右邊陰影部分的面積為，
兩個圖形中陰影部分的面積相等，
，
故選：D．
8．的計算結果的個位數字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【分析】本題考查了平方差公式的應用，數字的規律探究．熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．由題意知，根據，，，，，可推導一般性規律為，每4個計算結果的個位數字為1個循環，然后求解即可．
【詳解】解：
，
∵，，，，，……
∴可推導一般性規律為，每4個計算結果的個位數字為1個循環，
∴，
∴的個位數字為6，
故選：B．
9．下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查單項式除以單項式，冪的乘方和平方差公式，屬于基礎題．利用同底數冪的除法，冪的乘方和平方差公式解答即可得到本題答案．
【詳解】解:∵，故選項A錯誤；
∵，故選項B錯誤；
∵，故選項C錯誤；
∵，故選項D正確．
故選:D．
10．式子化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查平方差公式的應用．根據題意構造平方差,左右兩邊同時乘以是解出本題的關鍵．
【詳解】解:∵,
∴令,
∴兩邊同時乘得:,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
故選:C．
填空題
11．若，，則 ．
【答案】2
【分析】本題考查了平方差公式“”，熟記完全平方公式是解題關鍵．先根據平方差公式可得，再將代入計算即可得．
【詳解】解：∵，
，
又∵，
，
，
故答案為：2．
12．已知，，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解答本題的關鍵，平方差公式：．根據平方差公式，將，的值代入即可得到答案．
【詳解】
解得
故答案為：．
13．如圖，在邊長為a的正方形中減去一個邊長為b的小正方形，把剩下的部分拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分面積，驗證了公式 ．
【答案】
【分析】本題主要考查的是平方差公式的幾何表示，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關鍵，先根據左圖和右圖分別表示出陰影部分的面積，然后根據面積相等即可解答．
【詳解】解：由作圖可得：陰影部分的面積為；
由右圖可得：陰影部分的面積為：；
所以．
故答案為
14．如圖，陰影部分是邊長為的大正方形中減去一個邊長為的小正方形后所得到的圖形，將陰影部分通過割、拼，形成新的圖形．給出下列三種割、拼方法，其中能夠驗證平方差公式的是圖 ．
【答案】①②③
【解析】略
15．已知，，．則的值為 ．
【答案】56
【分析】本題主要考查了整式與平方差公式，熟練平方差公式是解決本題的關鍵．將與相加，即可得到，再乘以，利用平方差公式即可解決本題．
【詳解】解：，
．
故答案為：56．
三、解答題
16．計算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了多項式除以單項式、單項式乘以多項式、平方差公式等知識，熟練掌握整式的運算法則和平方差公式是解題關鍵．
（1）根據多項式除以單項式法則計算即可得；
（2）先計算單項式乘以多項式、平方差公式，再計算整式的加減法即可得．
【詳解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
17．某中學要舉行校慶活動，現計劃在教學樓之間的廣場上搭建舞臺．
已知廣場中心有一座邊長為的正方形的花壇，學生會提出兩個方案：
方案一：如圖1，繞花壇搭建外圍是正方形的“回”字形舞臺（陰影部分），面積為：
方案二：如圖2，在花壇的三面搭建“凹”字形舞臺（陰影部分），面積為：具體數據如圖所示．
(1)圖2長方形的長是______，寬是______；
(2)試比較與的大小關系．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題主要考查了列代數式，平方差公式在幾何圖形中的應用：
（1）根據所給圖形的數據進行求解即可；
（2）先根據圖形中已知條件，利用正方形和長方形的面積公式求出與，然后再根據與差的符號比較大小即可．
【詳解】（1）解：圖2長方形的長是，寬是，
故答案為：，；
（2）解：由題意得，，，
∴，
．
18．一個等腰三角形的兩邊長a和 b滿足，且.
(1)請你求出a和b的值.
(2)求這個等腰三角形的周長.
【答案】(1)，；
(2)等腰三角形的周長是16．
【分析】本題考查了等腰三角形的性質、因式分解的應用、三角形的三邊關系．
（1）根據題意和通過因式分解得出a和b的兩個關系式即可求出a、b；
（2）分情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵，①，
∴，
∴②，
由得：，
∴，
將代入①，得，
∴；
（2）解：①2是腰長時，三角形的三邊分別為2、2、7，
∵，
∴不能組成三角形；
②2是底邊時，三角形的三邊分別為2、7、7，
能組成三角形，
周長．
綜上所述，等腰三角形的周長是16．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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14.2.1 平方差公式 學案
（一）學習目標：
1.掌握平方差公式，會用平方差公式進行簡單計算.
2.經歷探索特殊形式的多項式乘法的過程,發展符號感和推理能力，逐漸掌握平方差公式.
3.通過合作學習，體會在解決具體問題過程中與他人合作的重合性，體驗數學活動充滿著探索性和創造性，感受數學知識的實際價值.
（二）學習重難點：
學習重點：平方差公式的推導和應用
學習難點：理解平方差公式的結構特征，靈活應用平方差公式
閱讀課本，識記知識：
（1）符號表述：
（2）語言描述：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差；
（3）知識拓展：①公式中的和可以是實數，也可以是單項式或多項式；②公式可以逆運用；
【例1】 下列算式能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了平方差公式．根據平方差公式特征，逐項判斷，即可求解．
【詳解】解：A、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
B、，能用平方差公式計算，故本選項符合題意；
C、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
D、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
故選：B
【例2】 設，則以下四個選項中最接近的整數為（ ）
A．252 B．504 C．1007 D．2013
【答案】B
【分析】題目主要考查求代數式的值，平方差公式，根據題意，進行錯位相減，然后求解即可．
【詳解】解：
∴
，
故選：B．
選擇題
1．如圖，在邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為的小正方形，把余下的部分沿虛線剪開，拼成一個矩形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證的等式是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列能使用平方差公式的是（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，從邊長為的正方形中去掉一個邊長為的小正方形，然后用剩余的部分剪開后拼成一個長方形，上述操作能驗證的等式是（　　）
A． B．
C． D．
4．如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形，把余下的部分剪拼成如圖所示的長方形．通過計算剪拼前后陰影部分的面積，驗證了一個等式，這則個等式是（ ）
A． B．
C． D．
5．在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形（，如圖1），把余下部分沿虛線剪開拼成一個長方形（如圖2），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證公式（ ）
A． B．
C． D．
6．如圖，從邊長為的大正方形中剪掉一個邊長為的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成如圖矩形，這個圖形的變化過程寫出一個正確的等式(　　)
A． B．
C． D．
7．如圖①，在邊長為的正方形中剪去一個邊長為的小正方形，然后把剩下部分沿圖中實線新開后排成如圖②所示的梯形、通過計算圖①、圖②中陰影部分的面積，可以得到的代數恒等式為（ ）
A． B．
C． D．
8．的計算結果的個位數字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
9．下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
10．式子化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
填空題
11．若，，則 ．
12．已知，，則的值為 ．
13．如圖，在邊長為a的正方形中減去一個邊長為b的小正方形，把剩下的部分拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分面積，驗證了公式 ．
14．如圖，陰影部分是邊長為的大正方形中減去一個邊長為的小正方形后所得到的圖形，將陰影部分通過割、拼，形成新的圖形．給出下列三種割、拼方法，其中能夠驗證平方差公式的是圖 ．
15．已知，，．則的值為 ．
三、解答題
16．計算：
(1)
(2)
17．某中學要舉行校慶活動，現計劃在教學樓之間的廣場上搭建舞臺．
已知廣場中心有一座邊長為的正方形的花壇，學生會提出兩個方案：
方案一：如圖1，繞花壇搭建外圍是正方形的“回”字形舞臺（陰影部分），面積為：
方案二：如圖2，在花壇的三面搭建“凹”字形舞臺（陰影部分），面積為：具體數據如圖所示．
(1)圖2長方形的長是______，寬是______；
(2)試比較與的大小關系．
18．一個等腰三角形的兩邊長a和 b滿足，且.
(1)請你求出a和b的值.
(2)求這個等腰三角形的周長.
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
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