資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
14.3.1 提公因式法 學(xué)案
（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.了解因式分解的意義，并能夠理解因式分解與多項式乘法的區(qū)別與聯(lián)系.
2.理解公因式的意義，會用提公因式法進行因式分解.
3.在探索提公因式法因式分解的過程中會用逆向思維，滲透化歸的思想方法思考現(xiàn)實世界。
（二）學(xué)習(xí)重難點：
學(xué)習(xí)重點：公因式的意義，提公因式法分解因式
學(xué)習(xí)難點：準確找到公因式，正確分解因式
閱讀課本，識記知識：
1.概念：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫作把這個多項式分解因式。
2.因式分解與整式乘法的關(guān)系：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即多項式乘以多項式或單項式乘以多項式是積化和，因式分解則是和化積。
3.因式分解的結(jié)果要以積的形式表示，否則不是因式分解；因式分解中每個括號內(nèi)如有同類項要合并，因式分解的結(jié)果要求必須將每個因式分解徹底。
4.公因式：多項式的各項中都含有的公共因式叫作這個多項式的公因式。確定公因式時，一看系數(shù)，取各項系數(shù)的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)；二看字母，取各項相同的字母；三看指數(shù)，取相同字母的最低次冪；最后還要根據(jù)情況確定符號。
5.提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式。（注意：①所提公因式必須是最大公因式；②如果多項式的首相系數(shù)是負數(shù)，應(yīng)先提出“-”號；③如果多項式的某一項恰好與公因式相同，那么提公因式后此項為1，而不是0）
【例1】 下列等式從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了因式分解的定義，把一個多項式變形為幾個整式乘積的形式叫做因式分解，據(jù)此逐一判斷即可．
【詳解】解：A、，等式左邊不是多項式，不是因式分解，不符合題意；
B、，這是整式乘法，不是因式分解，不符合題意；
C、，等式右邊不是積的形式，不是因式分解，不符合題意；
D、，是因式分解，符合題意；
故選D．
【例2】 下列從左到右的變形，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了因式分解的定義，根據(jù)因式分解的定義：因式分解是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，逐一判斷即可得到答案，掌握因式分解的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：．等式右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；
．等式左右不相等，故本選項不符合題意；
．等式左右不相等，故本選項不符合題意；
．等式右邊是整式積的形式，是因式分解，故本選項符合題意；
故選：．
選擇題
1．下列從左到右變形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了因式分解的定義，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種式子的變形叫做這個多項式的因式分解，熟練掌握此定義是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)因式分解的定義逐項判斷即可得到答案．
【詳解】解： A、右邊，左邊不等于右邊，故從左到右的變形不是因式分解，所以本選項錯誤，不符合題意；
B、，右邊是整式的積的形式，故從左到右的變形是因式分解，所以本選項正確，符合題意；
C、，右邊不是整式的積的形式，故從左到右的變形不是因式分解，所以本選項錯誤，不符合題意；
D、，右邊不是整式的積的形式，故從左到右的變形不是因式分解，所以本選項錯誤，不符合題意；
故選：B．
2．下列變形中，從左到右不是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查因式分解的定義，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．因式分解和整式的乘法是互為逆運算，要注意區(qū)分；
根據(jù)因式分解的定義，因式分解是把多項式寫成幾個整式積的形式，對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】A、符合因式分解的定義，是因式分解，故本選項不符合題意；
B、原式符合因式分解的定義，是因式分解，故本選項不符合題意；
C、右邊不是整式的積的形式，不是因式分解，故本選項符合題意；
D、原式符合因式分解的定義，是因式分解，故本選項不符合題意．
故選：C
3．下列從左到右的變形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了因式分解；根據(jù)因式分解的概念，即把一個多項式化成幾個整式的積的形式，進行逐一分析判斷．
【詳解】解：A、該變形是整式乘法，不是因式分解，故本選項不符合；
B、符合因式分解的概念，故本選項符合；
C、該變形是整式乘法，不是因式分解，故本選項不符合；
D、該變形沒有分解成積的形式，故本選項不符合．
故選：B．
4．下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了因式分解的意義：把一個多項式化為幾個最簡整式的積的形式，叫因式分解．根據(jù)因式分解的意義逐一判斷即可．
【詳解】解：A、，為乘法運算，所以A選項不正確；
B、，為乘法運算，所以B選項不正確；
C、，是因式分解，所以C選項正確；
D、，右邊不是整式的積的形式，所以D選項不正確．
故選：C．
5．下面從左到右的變形中，是因式分解且分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法． 因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止． 根據(jù)因式分解的定義及方法逐項分析即可．
【詳解】解：A、，故本選項不符合題意；
B、，從左到右的變形屬于因式分解；
C、，故本選項不符合題意；
D、，是整式的乘法，故本選項不符合題意．
故選：B．
6．下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查因式分解的定義：將一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做因式分解．根據(jù)定義進行判斷即可．
【詳解】解：A、不是對多項式進行變形，故選項錯誤，不符合題意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故選項錯誤，不符合題意；
C、是因式分解，故選項正確，符合題意；
D、等式右邊不是整式的積的形式，故選項錯誤，不符合題意；
故選：C．
7．觀察等式：；；；……已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，，，……，，，若，用含的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，分解因式，單項式乘以多項式，先根據(jù)題意得到規(guī)律，再把所求式子提取公因式，進而化簡得到，再由，可得原式．
【詳解】解：；
；
；
……，
以此類推，
由題知，
，
∵，
∴原式
，
又∵，
∴原式．
故選：D．
8．若多項式可分解為，則a+b的值為（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查因式分解以及多項式乘以多項式法則．根據(jù)多項式乘以多項式法則把展開，再求出a，b的值，進而求解．
【詳解】解：∵可分解為，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故選：A．
9．下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了因式分解的定義，根據(jù)因式分解的定義逐項判斷即可；掌握把一個多項式分解為幾個多項式的乘積的形式叫做因式分解成為解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A. ，屬于整式乘法，不是因式分解，不符合題意；
B. 并非將多項式轉(zhuǎn)化為整式乘積的形式，不符合題意；
C. 屬于整式乘法，不是因式分解，不符合題意；
D. 符合因式分解的定義，符合題意．
故選D．
10．下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了因式分解的意義．解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式．根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，可得答案．
【詳解】解：A、是整式的乘法計算，故不符合題意；
B、把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故符合題意；
C、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故不符合題意；
D、左右兩邊不相等，故不符合題意；
故選：B．
填空題
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本題考查提取公因式法因式分解，利用提取公因式法因式分解即可．
【詳解】解：
故答案為：．
12．分解因式： ．
【答案】
【分析】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)提公因式法進行因式分解．
【詳解】解：原式；
故答案為．
13．分解因式: ．
【答案】
【分析】此題主要考查了提取公因式法分解因式，直接提公因式即可．
【詳解】解：；
故答案為：．
14．分解因式： ．
【答案】
【分析】本題考查了因式分解，利用提公因式法即可求解．
【詳解】解：原式，
故答案為：
15．分解因式： ．
【答案】
【分析】本題考查的是因式分解，提取公因式即可，熟練的確定公因式是解本題的關(guān)鍵.
【詳解】解：，
故答案為：
三、解答題
16．已知，，求代數(shù)式的值．
【答案】21
【分析】本題考查了因式分解、代數(shù)式求值，熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵．先利用提取公因式法將分解因式，再把，代入計算即可得．
【詳解】解：∵，，
．
17．解答：（1）計算：；
（2）分解因式：．
【答案】（1）；（2）
【分析】此題主要考查了完全平方公式、單項式乘多項式和分解因式，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．
（1）直接利用乘法公式以及單項式乘多項式運算法則計算得出答案；
（2）直接提取公因式2m（m﹣n），進而分解因式即可．
【詳解】解：（1）；
；
（2）
．
18．先化簡，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本題考查了整式的化簡求值，提取公因式法，掌握提取公因式法是解題的關(guān)鍵．
觀察式子，先提取公因式，再化簡，最后代入字母的值求解即可．
【詳解】解：
，
，
．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學(xué)知識畫出思維導(dǎo)圖
目標(biāo)解讀
基礎(chǔ)梳理
典例探究
達標(biāo)測試
自學(xué)反思
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14.3.1 提公因式法 學(xué)案
（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.了解因式分解的意義，并能夠理解因式分解與多項式乘法的區(qū)別與聯(lián)系.
2.理解公因式的意義，會用提公因式法進行因式分解.
3.在探索提公因式法因式分解的過程中會用逆向思維，滲透化歸的思想方法思考現(xiàn)實世界。
（二）學(xué)習(xí)重難點：
學(xué)習(xí)重點：公因式的意義，提公因式法分解因式
學(xué)習(xí)難點：準確找到公因式，正確分解因式
閱讀課本，識記知識：
1.概念：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫作把這個多項式分解因式。
2.因式分解與整式乘法的關(guān)系：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即多項式乘以多項式或單項式乘以多項式是積化和，因式分解則是和化積。
3.因式分解的結(jié)果要以積的形式表示，否則不是因式分解；因式分解中每個括號內(nèi)如有同類項要合并，因式分解的結(jié)果要求必須將每個因式分解徹底。
4.公因式：多項式的各項中都含有的公共因式叫作這個多項式的公因式。確定公因式時，一看系數(shù)，取各項系數(shù)的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)；二看字母，取各項相同的字母；三看指數(shù)，取相同字母的最低次冪；最后還要根據(jù)情況確定符號。
5.提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式。（注意：①所提公因式必須是最大公因式；②如果多項式的首相系數(shù)是負數(shù)，應(yīng)先提出“-”號；③如果多項式的某一項恰好與公因式相同，那么提公因式后此項為1，而不是0）
【例1】 下列等式從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了因式分解的定義，把一個多項式變形為幾個整式乘積的形式叫做因式分解，據(jù)此逐一判斷即可．
【詳解】解：A、，等式左邊不是多項式，不是因式分解，不符合題意；
B、，這是整式乘法，不是因式分解，不符合題意；
C、，等式右邊不是積的形式，不是因式分解，不符合題意；
D、，是因式分解，符合題意；
故選D．
【例2】 下列從左到右的變形，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了因式分解的定義，根據(jù)因式分解的定義：因式分解是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，逐一判斷即可得到答案，掌握因式分解的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：．等式右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；
．等式左右不相等，故本選項不符合題意；
．等式左右不相等，故本選項不符合題意；
．等式右邊是整式積的形式，是因式分解，故本選項符合題意；
故選：．
選擇題
1．下列從左到右變形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列變形中，從左到右不是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列從左到右的變形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下面從左到右的變形中，是因式分解且分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．觀察等式：；；；……已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，，，……，，，若，用含的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是（ ）
A． B． C． D．
8．若多項式可分解為，則a+b的值為（　　）
A．2 B．1 C． D．
9．下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
填空題
11．因式分解： ．
12．分解因式： ．
13．分解因式: ．
14．分解因式： ．
15．分解因式： ．
三、解答題
16．已知，，求代數(shù)式的值．
17．解答：（1）計算：；
（2）分解因式：．
18．先化簡，再求值：，其中．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學(xué)知識畫出思維導(dǎo)圖
目標(biāo)解讀
基礎(chǔ)梳理
典例探究
達標(biāo)測試
自學(xué)反思
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