資源簡介

中小學教育資源及組卷應(yīng)用平臺
14.3.2 公式法 學案
（一）學習目標：
1. 掌握平方差公式的特點，會運用平方差公式進行因式分解;
2.理解運用平方差公式分解因式的方法,掌握提公因式法和公式法分解因式的綜合運用;
3.經(jīng)歷利用平方差公式進行因式分解的過程，發(fā)展學生的逆向思維，感受數(shù)學知識的關(guān)聯(lián)性和完整性.
（二）學習重難點：
學習重點：利用平方差公式分解因式
學習難點：提取公因式和平方差公式結(jié)合進行因式分解
閱讀課本，識記知識：
1.用平方差公式分解因式：（公式中的和可以是實數(shù)，也可以是單項式或多項式）
2.用完全平方公式分解因式：兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方，即：，；公式中的和可以是實數(shù)，也可以是單項式或多項式。
【鮑1】 下列各式中，能用平方差公式進行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了利用平方差公式進行因式分解，根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特點逐項分析即可，熟練掌握是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、是平方和的性質(zhì)，不能因式分解，故該選項不符合題意；
B、，故該選項符合題意；
C、，不能用平方差公式分解，故該選項不符合題意；
D、，不能用平方差公式分解，故該選項不符合題意；
故選：B．
【例2】 多項式與多項式的公因式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了公因式，提公因式法、公式法進行因式分解．熟練掌握提公因式法、公式法進行因式分解是解題的關(guān)鍵．
利用提公因式法、公式法進行因式分解，然后判斷作答即可．
【詳解】解：由題意知，，，
∴公因式為，
故選：A．
選擇題
1．已知，，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．12 D．
【答案】D
【分析】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，熟記平方差公式是解此題的關(guān)鍵．
根據(jù)平方差公式可將原式化為，然后將已知條件代入求值即可．
【詳解】解：
，，
原式，
．
故選：D．
2．如果，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】本題考查了因式分解，代數(shù)式求值，根據(jù)已知可得，根據(jù)完全平方公式因式分解代數(shù)式，進而代入即可求解．
【詳解】解：∵
∴，則，
∴，
故選：A．
3．已知，，則的值為（ ）
A．57 B．120 C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，把所求式子因式分解得到，再代值計算即可得到答案．
【詳解】解：∵，，
∴
，
故選D．
4．下列從左到右的變形，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了因式分解的定義．根據(jù)因式分解的定義：因式分解是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，逐一判斷即可得到答案，掌握因式分解的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、等式右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；
B、等式左右不相等，故本選項不符合題意；
C、等式左右不相等，故本選項不符合題意；
D、等式右邊是整式積的形式，是因式分解，故本選項符合題意；
故選：D．
5．下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了因式分解的定義，根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：A、等式從左到右變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；
B、等式從左到右變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；
C、等式從左到右變形因式分解出錯，故本選項不符合題意；
D、等式從左到右變形屬于因式分解，故本選項符合題意；
故選：D．
6．已知三角形的三條邊為a，b，c，且滿足，則這個三角形的最大邊c的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了完全平方公式在三角形的三邊關(guān)系中的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式、偶次方的非負性及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先利用配方法對含a的式子和含有b的式子配方，再根據(jù)偶次方的非負性可得出a和b的值，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得答案．
【詳解】解：，
，
，
，，
，，
，，
三角形的三條邊為a，b，c，
，
，
又這個三角形的最大邊為c，
故選：C．
7．下列因式分解結(jié)果正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解答本題的關(guān)鍵．
按照因式分解的方法，分析每一個選項，得到只有選項符合題意，由此選出答案．
【詳解】、，故本選項不符合題意；
、，故本選項不符合題意；
、，故本選項符合題意；
、無法利用完全平方公式因式分解，故本選項不符合題意，
故選：．
8．下列各式從左到右的變形屬于分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：A．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；
B．從左到右的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；
C．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；
D．等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；
故選：B．
9．多項式與多項式的公因式是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是公因式的定義，根據(jù)完全平方公式因式分解，把多項式分別進行因式分解，即可求解．
【詳解】解：
∴多項式與多項式的公因式是
故選：A．
10．已知整式則下列說法中正確的有（ ）個．
①存在的值，使得；
②若，則；
③若則；
④若為常數(shù)，若關(guān)于的多項式不含常數(shù)項，則有最小值為．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本題考查了整式的加減，完全平方公式，多項式乘以多項式不含問題，因式分解的應(yīng)用等知識，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．
①由得，代入驗證即可；
②把代入求解即可；
③先根據(jù)求出x的值，進而求出A和B的值，然后計算即可；
④先根據(jù)多項式不含常數(shù)項求出m的值，然后利用完全平方公式變形即可求出最小值．
【詳解】解：①∵，
∴，
∵
∴，
∴不存在的值，使得，故①不正確；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，故②不正確；
③∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
當時，，
∴；
當時，，
∴．故③正確；
④∵，
∴
，
∵多項式不含常數(shù)項，
∴，
∴．
∴
，
∵，
∴有最小值為．故④不正確．
故選：B．
填空題
11．分解因式： ．（其中且為整數(shù)）
【答案】
【分析】本題考查了因式分解，直接根據(jù)提公因式和平方差公式因式分解即可求解．
【詳解】解：原式
故答案為：．
12．已知，，則= ．
【答案】
【分析】此題主要考查代數(shù)式的值，先把因式分解為，再整體代入求值即可.
【詳解】解：
故答案為：.
13．（2023上·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）分解因式： ．
【答案】/
【分析】本題考查提取公因式法以及公式法分解因式，先提取公因式x，再利用完全平方公式進行分解因式即可．正確運用完全平方公式分解因式是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：
．
故答案為：．
14．下列各式：①；②；③；④，能用公式法分解因式的是 （填序號）．
【答案】②④
【分析】此題考查了因式分解﹣運用公式法，利用平方差公式及完全平方公式判斷即可．
【詳解】解：①，不能分解；
②；
③，不能分解；
④，
則能用公式法分解因式的是②④．
故答案為：②④．
15．一個各數(shù)位上的數(shù)字不完全相同且均不為0的四位正整數(shù)，若滿足千位數(shù)字與個位數(shù)字相等，百位數(shù)字與十位數(shù)字相等，則稱這樣的四位數(shù)為“翻折數(shù)”，將“翻折數(shù)”M的千位數(shù)字與百位數(shù)字對調(diào)，十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)得到一個新的“翻折數(shù)”記為，記，例如：當時，，則．若“翻折數(shù)”，滿足能被5整除，則A的最小值是 ；在能被5整除情況下，對于“翻折數(shù)”有成立，且k為正整數(shù)，則的最大值是 ．
【答案】
【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，理解題意，分類討論，搞清楚數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，由于能被整除, 則是的倍數(shù)，討論即可得的值； 同理可得因為可得，分類討論即可．
【詳解】解：，
則，
∴
，
∵能被整除,
∴是的倍數(shù)且，
∴的最小值為，
∴，
∴的最小值為；
又∵，
∴，
∴同上，，
∴，
，
∴，即，
又∵，
，
又∵為正整數(shù)，
∴即，
∴或，
當時, 則可取，對應(yīng)的數(shù)為，這時；
當時，則可取，對應(yīng)的數(shù)為，這時；
∴的最大值是，
故答案為:； ．
三、解答題
16．計算
(1)
(2)因式分解：
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查整式乘法和因式分解，涉及單項式乘以單項式、提公因式法因式分解和公式法因式分解等知識，熟練掌握整式乘法運算法則，綜合運用提公因式及公式法因式分解是解決問題的關(guān)鍵．
（1）先利用積的乘方運算，再由單項式乘以單項式的運算法則計算即可得到答案；
（2）先提公因式因式分解，再由完全平方和公式因式分解即可得到答案．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．已知實數(shù)滿足，求的值．（n是大于1的整數(shù)）
【答案】
【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，實數(shù)的運算，非負數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)，推出，進而根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到，則，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．（2024上·上海浦東新·七年級校考期末）分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了因式分解法則；熟悉因式分解的一般步驟，并正確運用其法則是解題的關(guān)鍵．
（1）本題先用提公因式法提出公因式，再運用十字相乘法進行因式分解；
（2）本題先進行分組，再運用平方差公式進行因式分解．
【詳解】（1）解：
（2）
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導(dǎo)圖
目標解讀
基礎(chǔ)梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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14.3.2 公式法 學案
（一）學習目標：
1. 掌握平方差公式的特點，會運用平方差公式進行因式分解;
2.理解運用平方差公式分解因式的方法,掌握提公因式法和公式法分解因式的綜合運用;
3.經(jīng)歷利用平方差公式進行因式分解的過程，發(fā)展學生的逆向思維，感受數(shù)學知識的關(guān)聯(lián)性和完整性.
（二）學習重難點：
學習重點：利用平方差公式分解因式
學習難點：提取公因式和平方差公式結(jié)合進行因式分解
閱讀課本，識記知識：
1.用平方差公式分解因式：（公式中的和可以是實數(shù)，也可以是單項式或多項式）
2.用完全平方公式分解因式：兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方，即：，；公式中的和可以是實數(shù)，也可以是單項式或多項式。
【鮑1】 下列各式中，能用平方差公式進行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了利用平方差公式進行因式分解，根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特點逐項分析即可，熟練掌握是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、是平方和的性質(zhì)，不能因式分解，故該選項不符合題意；
B、，故該選項符合題意；
C、，不能用平方差公式分解，故該選項不符合題意；
D、，不能用平方差公式分解，故該選項不符合題意；
故選：B．
【例2】 多項式與多項式的公因式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了公因式，提公因式法、公式法進行因式分解．熟練掌握提公因式法、公式法進行因式分解是解題的關(guān)鍵．
利用提公因式法、公式法進行因式分解，然后判斷作答即可．
【詳解】解：由題意知，，，
∴公因式為，
故選：A．
選擇題
1．已知，，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．12 D．
2．如果，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．0
3．已知，，則的值為（ ）
A．57 B．120 C． D．
4．下列從左到右的變形，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是( )
A． B．
C． D．
6．已知三角形的三條邊為a，b，c，且滿足，則這個三角形的最大邊c的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．下列因式分解結(jié)果正確的是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列各式從左到右的變形屬于分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
9．多項式與多項式的公因式是(　　)
A． B． C． D．
10．已知整式則下列說法中正確的有（ ）個．
①存在的值，使得；
②若，則；
③若則；
④若為常數(shù)，若關(guān)于的多項式不含常數(shù)項，則有最小值為．
A．0 B．1 C．2 D．3
填空題
11．分解因式： ．（其中且為整數(shù)）
12．已知，，則= ．
13．（2023上·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）分解因式： ．
14．下列各式：①；②；③；④，能用公式法分解因式的是 （填序號）．
15．一個各數(shù)位上的數(shù)字不完全相同且均不為0的四位正整數(shù)，若滿足千位數(shù)字與個位數(shù)字相等，百位數(shù)字與十位數(shù)字相等，則稱這樣的四位數(shù)為“翻折數(shù)”，將“翻折數(shù)”M的千位數(shù)字與百位數(shù)字對調(diào)，十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)得到一個新的“翻折數(shù)”記為，記，例如：當時，，則．若“翻折數(shù)”，滿足能被5整除，則A的最小值是 ；在能被5整除情況下，對于“翻折數(shù)”有成立，且k為正整數(shù)，則的最大值是 ．
三、解答題
16．計算
(1)
(2)因式分解：
17．已知實數(shù)滿足，求的值．（n是大于1的整數(shù)）
18．（2024上·上海浦東新·七年級校考期末）分解因式：
(1)；
(2)．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學知識畫出思維導(dǎo)圖
目標解讀
基礎(chǔ)梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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