資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
15.1.1 從分數(shù)到分式 學(xué)案
（一）學(xué)習(xí)目標：
1.了解分式的概念，能判斷一個代數(shù)式是否為分式，會求分式的值; 理解當分母不為零時分式才有意義,在分式有意義的條件下，會求分式的分母中所含字母的取值范圍，會確定分式的值為零的條件.
2.經(jīng)歷與分數(shù)類比學(xué)習(xí)分式的過程，養(yǎng)成縝密的思維習(xí)慣,形成類比思想，體驗數(shù)學(xué)的價值.
3.通過類比思考,揭示分式有意義的條件,在實際操練中掌握分式有意義的條件，體驗解題成功帶來的愉悅感.
（二）學(xué)習(xí)重難點：
學(xué)習(xí)重點：了解分式的概念，確定分式有意義的條件
學(xué)習(xí)難點：確定分式有意義的條件，分式的值為零的條件
閱讀課本，識記知識：
1.概念：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式，A叫作分子，B叫作分母。
2.分式的三個要素：
（1）形如的式子；
（2）A，B是整式；
（3）分母B中含有字母。
3.分式有意義的條件：分母不等于0。
4.分式無意義的條件：分母等于0.
5.分式的值為0的條件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。
【例1】 若分式的值為0，則的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．據(jù)此求解即可．
【詳解】解：分式的值為0，
，且，
解得：且，
，
故選：C．
【例2】 如圖，甲、乙、丙、丁四人手中各有一個圓形卡片，則卡片中的式子是分式的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了分式的定義，熟知分式的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的定義“形如，B中含有字母的式子叫分式”逐項判斷即可求解．
【詳解】解：甲、是分式；
乙、是分式；
丙、是分式；
丁、，分母不含字母，不是分式．
綜上，是分式的有甲、乙、丙，共3個，
故選：B．
選擇題
1．下列各式，，，，，其中分式共有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查了分式的定義“如果表示兩個整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式”，熟記分式的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)分式的定義即可得．
【詳解】解：是多項式，屬于整式，
和都是單項式，屬于整式，
和都是分式，
所以分式共有2個，
故選：B．
2．若分式有意義，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了分式有意義的條件，根據(jù)題意可得，即可求解．
【詳解】解：依題意，，
解得：
故選：D．
3．在下列各式，，，，中，是分式的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【分析】分式的定義：如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，據(jù)此逐個判斷即可．
本題主要考查了分式的判斷，熟練掌握分式的定義是解決問題的關(guān)鍵，分母中如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式，注意不是字母，是常數(shù)圓周率．
【詳解】根據(jù)分式定義，所給代數(shù)式中是分式的有式，，，共3個．
故選：B．
4．下列判斷中錯誤的是（ ）
A．與是同類項 B．是三次三項式
C．單項式的系數(shù)是 D．是分式
【答案】D
【分析】本題主要考查了整式以及分式的有關(guān)概念．根據(jù)同類項概念和單項式的系數(shù)以及多項式的次數(shù)的概念，分式的定義，分析判斷．
【詳解】A. 與是同類項，故該選項正確，不符合題意；
B. 是三次三項式，故該選項正確，不符合題意；
C. 單項式的系數(shù)是，故該選項正確，不符合題意；
D. 是整式，故該選項不正確，符合題意；
故選：D．
5．分式有意義的條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了分式有意義的條件，熟記分式有意義的條件是解此題的關(guān)鍵．
根據(jù)分式有意義的條件得出，再求出答案即可．
【詳解】要使分式有意義，必須，
解得：
故選：D
6．若分式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】B
【分析】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式的分母不能為0是解題關(guān)鍵．根據(jù)分式的分母不能為0求解即可得．
【詳解】解：∵分式有意義，
，
解得，
故選：B．
7．已知 ， 則 等于（ ）
A．3 B．5 C． D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)，，兩邊都除以a得到，即，兩邊平方后整理得到．
本題主要考查了等式，分式，完全平方公式．熟練掌握等式的基本性質(zhì)，分式有意義的條件，完全平方公式，是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
故選：B．
8．若分式有意義，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不為0是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵分式有意義，
∴，
∴，
故選：B．
9．若是分式，則可以是（ ）
A． B．2023 C．0 D．
【答案】D
【分析】本題主要查了分時，根據(jù)形如，其中中含有字母，這樣的式子叫做分式，進行判斷即可．
【詳解】解：是分式，則中含有字母，
∵四個選項中，只有D選項是字母；
故選D．
10.下列結(jié)論：①無論a為何實數(shù)，都有意義；②當時, 分式的值為0；③若的值為負， 則x的取值范圍是； ④若有意義，則x的取值范圍是且.其中正確的個數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①根據(jù)，得到有意義; ②當時, ，無意義；③若的值為負，則，； ④若有意義，則有意義，三個分母不等于0，,且，．
本題主要考查了分式有意義的條件和分式為0的條件．熟練掌握分式有意義的條件：分母不為0；分式為0的條件：分子為0，分母不為0．是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】①∵，
∴，
∴不論a為何值都有意義，
故此結(jié)論正確；
②當時，，此時分式無意義，
故此結(jié)論不正確；
③若的值為負，
∵，
∴，
∴，
故此結(jié)論正確；
④∵有意義，
∴有意義，
∴，
解得，且，
故此結(jié)論不正確．
綜上所述，其中正確的個數(shù)是2．
故選：B．
填空題
11．如果分式的值為0，那么的值為是 ．
【答案】2
【分析】本題考查了分式為條件，分式的分子為，分母不為是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)分式的分子為0，分母不為0，可得答案．
【詳解】解：分式的值為0，
，且，
，
故答案為：2．
12．如果分式的值為正整數(shù)，則所有滿足的整數(shù)x的值的和為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了分式的值，分式的值為正整數(shù)，則或或或，據(jù)此求出滿足題意的整數(shù)x的值，再求和即可．
【詳解】解：∵分式的值為正整數(shù)，
∴或或或，
∴或或或，
∴所有滿足的整數(shù)x的值的和為，
故答案為：．
13．從整式，，，中，任選兩個構(gòu)造一個分式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查分式的定義．分式的定義：如果A，B表示兩個整式，且B中含有字母，則稱為分式，根據(jù)定義選取含有字母的整式作為分母即可構(gòu)造分式．
【詳解】解：2和可構(gòu)造分式，答案不唯一，以或為分母均可．
故答案為：（答案不唯一）．
14．分式有意義，字母x滿足的條件為 ．
【答案】
【分析】本題考查了分式有意義的條件，當分母不等于零時，分式有意義；當分母等于零時，分式無意義．分式是否有意義與分子的取值無關(guān)．根據(jù)分母不等于零列式求解即可．
【詳解】解：∵分式有意義，
∴，
∴．
故答案為：．
15．對于分式來說，當時，分式無意義，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是分式無意義的條件，根據(jù)分式無意義分條件計算即可．
【詳解】解：當分式無意義時，，而此時．
所以．
故答案為：．
三、解答題
16．下列式子中，，哪些是整式？哪些是分式？
【答案】整式：；分式：
【分析】形如（f，g是整式，且g中含有字母，）的式子叫做分式．分母中含有字母，但表示一個常數(shù)，故不是分式；和顯然是整式；分母中不含字母，故不是分式．
【解】整式：．
分式：．
17．求下列條件下分式的值
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】分別把代入分式中，求出分式的值．
【解】（1）當時，，
（2）當時，．
18．（2023上·廣東江門·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）觀察下列式子：，，，……
(1)請你寫出第五個式子：____________
(2)請你用字母n寫出第n個式子____________，并加以證明。
(3)利用上面知識解決下列問題：
一個容器裝有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第n次倒出的水量是L的…按照這種倒水的方法，求倒n次倒出的總水量有多少L？
【答案】(1)
(2)，證明見解析
(3)
【分析】（1）觀察各等式，根據(jù)每個等式中的分數(shù)的分子都是1，分母分別是序號數(shù)、序號數(shù)加1，求解即可；
（2）根據(jù)探究出的式子存在的規(guī)律寫出第n個等式并證明，即可；
（3）先列出式子，再根據(jù)材料中的運算規(guī)律，直接計算和化簡．
本題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律的問題，觀察、分析、歸納并發(fā)現(xiàn)分母與序號的關(guān)系的規(guī)律，熟練掌握發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，列出代數(shù)式，裂項求和，是解決本題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）∵第一個式子是，，
第二個式子是，，
第三個式子是，，
∴第四個式子是， ，
第五個式子是，；
故答案為：
（2）由（1）中歸納的規(guī)律知，第n個式子是，
，
證明：
∵左邊，
右邊
∴左邊=右邊，
∴原式成立；
故答案為：；
（3）
（L）．
故倒n次倒出的總水量有L．
（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學(xué)知識畫出思維導(dǎo)圖
目標解讀
基礎(chǔ)梳理
典例探究
達標測試
自學(xué)反思
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15.1.1 從分數(shù)到分式 學(xué)案
（一）學(xué)習(xí)目標：
1.了解分式的概念，能判斷一個代數(shù)式是否為分式，會求分式的值; 理解當分母不為零時分式才有意義,在分式有意義的條件下，會求分式的分母中所含字母的取值范圍，會確定分式的值為零的條件.
2.經(jīng)歷與分數(shù)類比學(xué)習(xí)分式的過程，養(yǎng)成縝密的思維習(xí)慣,形成類比思想，體驗數(shù)學(xué)的價值.
3.通過類比思考,揭示分式有意義的條件,在實際操練中掌握分式有意義的條件，體驗解題成功帶來的愉悅感.
（二）學(xué)習(xí)重難點：
學(xué)習(xí)重點：了解分式的概念，確定分式有意義的條件
學(xué)習(xí)難點：確定分式有意義的條件，分式的值為零的條件
閱讀課本，識記知識：
1.概念：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式，A叫作分子，B叫作分母。
2.分式的三個要素：
（1）形如的式子；
（2）A，B是整式；
（3）分母B中含有字母。
3.分式有意義的條件：分母不等于0。
4.分式無意義的條件：分母等于0.
5.分式的值為0的條件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。
【例1】 若分式的值為0，則的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．據(jù)此求解即可．
【詳解】解：分式的值為0，
，且，
解得：且，
，
故選：C．
【例2】 如圖，甲、乙、丙、丁四人手中各有一個圓形卡片，則卡片中的式子是分式的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了分式的定義，熟知分式的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的定義“形如，B中含有字母的式子叫分式”逐項判斷即可求解．
【詳解】解：甲、是分式；
乙、是分式；
丙、是分式；
丁、，分母不含字母，不是分式．
綜上，是分式的有甲、乙、丙，共3個，
故選：B．
選擇題
1．下列各式，，，，，其中分式共有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．若分式有意義，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．在下列各式，，，，中，是分式的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
4．下列判斷中錯誤的是（ ）
A．與是同類項 B．是三次三項式
C．單項式的系數(shù)是 D．是分式
5．分式有意義的條件是（ ）
A． B． C． D．
6．若分式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．且
7．已知 ， 則 等于（ ）
A．3 B．5 C． D．6
8．若分式有意義，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．若是分式，則可以是（ ）
A． B．2023 C．0 D．
10.下列結(jié)論：①無論a為何實數(shù)，都有意義；②當時, 分式的值為0；③若的值為負， 則x的取值范圍是； ④若有意義，則x的取值范圍是且.其中正確的個數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
填空題
11．如果分式的值為0，那么的值為是 ．
12．如果分式的值為正整數(shù)，則所有滿足的整數(shù)x的值的和為 ．
13．從整式，，，中，任選兩個構(gòu)造一個分式 ．
14．分式有意義，字母x滿足的條件為 ．
15．對于分式來說，當時，分式無意義，則的值為 ．
三、解答題
16．下列式子中，，哪些是整式？哪些是分式？
17．求下列條件下分式的值
(1)
(2)
18．（2023上·廣東江門·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）觀察下列式子：，，，……
(1)請你寫出第五個式子：____________
(2)請你用字母n寫出第n個式子____________，并加以證明。
(3)利用上面知識解決下列問題：
一個容器裝有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第n次倒出的水量是L的…按照這種倒水的方法，求倒n次倒出的總水量有多少L？
（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學(xué)知識畫出思維導(dǎo)圖
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