資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
15.1.2 分式的基本性質 學案
（一）學習目標：
1.理解分式的基本性質;
2.能運用分式的基本性質進行等值變形;
3.理解約分的概念和理論根據，會用分式的基本性質將分式約分,并能準確判斷最簡分式;
4.體會類比思想，通過分式約分的過程，感受復雜與簡潔，體驗數學的簡潔美。
（二）學習重難點：
學習重點：理解并掌握分式的基本性質，掌握約分
學習難點：靈活應用分式的基本性質將分式約分
閱讀課本，識記知識：
一、分式的基本性質
1.分式的意義：分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變。
2.用式子表示：，其中A，B，C均為整式。
二、分式的約分、最簡分式
1.分式的約分：根據分式的基本性質，把一個分式的分子、分母的公因式約去，叫作分式的約分。
2.分式約分的依據：分式的基本性質。
3.約分的方法：
（1）先確定分式的分子、分母的公因式，當分子、分母都是單項式時，分子、分母的公因式是分子、分母系數的最大公約數和相同字母的最低次冪的積；當分子、分母是多項式時，應先將多項式因式分解，再根據確定公因式的方法確定公因式；
（2）根據分式基本性質，分子分母都除以它們的公因式；
（3）最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫作最簡分式。
4.分式的約分，一般要約去分子和分母所有的公因式，使所得結果成為最簡分式或整式。
三、分式的通分、最簡公分母
1.分式的通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式叫作分式的通分。
2.通分的依據：分式的基本性質。
3.最簡公分母：異分母的分式通分時，一般取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母叫作最簡公分母。
4.確定最簡公分母的方法：
（1）取各分母的系數的最小公倍數；
（2）各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到；
（3）相同字母（或因式）的冪取指數最大的；
（4）所得系數的最小公倍數與各字母（或因式）的最高次冪的積即為最簡公分母。
5.約分與通分的聯系與區別
（1）聯系：約分與通分都是根據分式的基本性質，對分式進行恒等變形，即每個分式變形之后都不改變原分式的值；
（2）區別：約分是針對一個分式來說的，而通分是針對兩個或兩個以上的分式來說的，通分可使異分母分式化為同分母分式。
【例1】 下列各式從左到右的變形一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查分式的基本性質，掌握分式的基本性質是解題關鍵．利用分式的基本性質，分子分母都乘以或除以同一個不為零的數分式的值不變，依此判斷即可．
【詳解】解：A.、，缺條件，從左到右的變形不正確，故本選項不符合題意；
B、，原式從左到右的變形不正確，故本選項不符合題意；
C、，原式從左到右的變形不正確，故本選項不符合題意；
D、從左到右的變形正確，故本選項符合題意．
故選擇：D．
【例2】 下列約分正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了約分，根據分式的基本性質進行約分計算，然后作出判斷．
【詳解】解：A. ，故此選項不符合題意；
B.，故此選項不符合題意；
C. ，正確，符合題意；
D.的分子分母中不含有公因式，不能進行約分，故此選項不符合題意，
故選：C．
選擇題
1．如果將分式中的和都擴大為原來的2倍，那么分式的值（ ）
A．縮小為原來的 B．擴大為原來的4倍
C．擴大為原來的2倍 D．縮小為原來的
【答案】A
【分析】本題考查分式的基本性質，分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變；
先根據題意對分式進行變形，再依據分式的性質進行化簡，將化簡后的分式與原分式進行對比即可．
【詳解】解：將和都擴大為原來的2倍，得，
故分式的值縮小為原來的，
故選：A．
2．使得等式成立的m的取值范圍為（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】本題考查了分式的基本性質．根據分式的基本性質選擇作答即可．
【詳解】解：使得等式成立的的取值范圍為．
故選：D．
3．下列分式中最簡分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查了最簡分式的概念，根據最簡分式的概念，可把各分式因式分解后，看分子分母有沒有公因式.
【詳解】解：A. ，不是最簡分式，故該選項不正確，不符合題意；
B. ，不是最簡分式，故該選項不正確，不符合題意；
C. 是最簡分式，故該選項正確，符合題意；
D. ，不是最簡分式，故該選項不正確，不符合題意；
故選：C．
4．寫出一個與分式相等的分式，下面正確的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是分式的基本性質，根據分式的分子與分母同時乘以或除以一個不等于零的數或式子，分式的值不變解答．
【詳解】解：A. ，故該選項正確，符合題意；
B. ，故該選項不正確，不符合題意；
C. 當時，，故該選項不正確，不符合題意；
D. 當時，，故該選項不正確，不符合題意；
故選：A．
5．下列各式從左到右的變形正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解題關鍵．根據分式的基本性質逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、，則此項錯誤，不符合題意；
B、，則此項錯誤，不符合題意；
C、，則此項錯誤，不符合題意；
D、，則此項正確，符合題意；
故選：D．
6．若將分式中的x與y都擴大為原來的3倍，則這個代數式的值（ ）
A．擴大為原來的3倍 B．不變
C．縮小為原來的 D．縮小為原來的
【答案】B
【分析】本題考查了分式的基本性質：分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變．分別用和去代換原分式中的x和y，利用分式的基本性質化簡即可．
【詳解】解：∵，
∴這個代數式的值不變．
故選B．
7．分式與的最簡公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查最簡公分母的概念（取各分母系數的最小公倍數與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母）．解題的關鍵是根據因式分解、最簡公分母的概念解答即可．
【詳解】解：，
∴與的最簡公分母是．
故選：C．
8．下列代數式中最簡分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查最簡分式，熟練掌握分式的性質是解題的關鍵；因此此題可根據分式的性質進行求解．
【詳解】解：A、，所以不是最簡分式，故不符合題意；
B、是最簡分式，故符合題意；
C、，所以不是最簡分式，故不符合題意；
D、，所以不是最簡分式，故不符合題意；
故選B．
9．下列分式的變形正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了分式的變形是否正確，根據分式的基本性質，逐項判斷即可．
【詳解】解：．當時，不成立，故本選項不符合題意；
．∵，，
∴，故本選項不符合題意；
．∵，
∴，故本選項符合題意；
．∵，
∴，故本選項不符合題意；
故選：C．
10．根據分式的性質，分式可變形為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了分式的性質，分子、分母同時提取負號，再約分即可求解．
【詳解】解：，
故選：C．
填空題
11．，， 的最簡公分母是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了最簡公分母的概念，先將各個分母因式分解，然后再結合最簡公分母的定義即可解答．掌握最簡公分母（取各分母系數的最小公倍數與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母）的定義成為解題的關鍵
【詳解】解：∵，，，
∴它們的最簡公分母是．
故答案為：．
12．根據分式的基本性質填空：
（1），橫線處應填：
（2），橫線處應填：
（3），橫線處應填：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）因為的分母乘就能化為ab，所以根據分式的基本性質，分子也需乘，這樣所得分式才與原分式相等．
（2）因為的分子乘xy就能化為，所以根據分式的基本性質，分母也需乘xy，這樣所得分式才與原分式相等．
（3）因為的分母除以就能化為，所以根據分式的基本性質，分子也需除以，這樣所得分式才與原分式相等．
【解】（1） （2） （3）
13．分式化簡后的結果為 ．
【答案】
【分析】本題考查分數的性質，先將分子分母因式分解，然后約分，即可求解．
【詳解】解：
，
故答案為：．
14．如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且這個分式是最簡分式，那么我們稱這個分式為“和諧分式”．下列分式中，是“和諧分式”的是 （填序號）．
①；②；③；④．
【答案】②
【解析】略
15．當時， ．
【答案】
【解析】略
三、解答題
16．計算:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查分數四則混合運算．
（1）先計算括號內容,將其結果乘以即可得到本題答案;
（2）先計算小括號內的,再算中括號內的,最后將出發轉化為乘法即可得到本題答案．
【詳解】（1）解:,
,
,
,
（2）解:,
,
,
,
,
,
,
17．（1）約分：；
（2）通分：，．
【答案】（1）；（2），
【分析】本題主要考查了分式的約分和通分，熟知約分和通分的計算法則是解題的關鍵．
（1）分別把分子和分母分解因式，然后約去公因式即可得到答案；
（2）先把兩個分式的分母分解因式，再找到兩個分式的公分母，再進行同分即可．
【詳解】解（1）
；
（2）∵，，
∴，．
18．已知，代數式：，，．
(1)在A，B，C中任選一個代數式因式分解；
(2)在A，B，C中任選兩個代數式，分別作為分子、分母，組成一個分式，并化簡該分式．
【答案】(1)；；（選擇一個進行分解因式）
(2)選擇A、B，（答案不唯一）
【分析】本題主要考查了因式分解，分式化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法，準確計算．
（1）根據提公因式法和公式法分解因式即可；
（2）利用分式的基本性質性質進行化簡即可．
【詳解】（1）解：，
，
；
（2）解：；
；
；
；
；
．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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15.1.2 分式的基本性質 學案
（一）學習目標：
1.理解分式的基本性質;
2.能運用分式的基本性質進行等值變形;
3.理解約分的概念和理論根據，會用分式的基本性質將分式約分,并能準確判斷最簡分式;
4.體會類比思想，通過分式約分的過程，感受復雜與簡潔，體驗數學的簡潔美。
（二）學習重難點：
學習重點：理解并掌握分式的基本性質，掌握約分
學習難點：靈活應用分式的基本性質將分式約分
閱讀課本，識記知識：
一、分式的基本性質
1.分式的意義：分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變。
2.用式子表示：，其中A，B，C均為整式。
二、分式的約分、最簡分式
1.分式的約分：根據分式的基本性質，把一個分式的分子、分母的公因式約去，叫作分式的約分。
2.分式約分的依據：分式的基本性質。
3.約分的方法：
（1）先確定分式的分子、分母的公因式，當分子、分母都是單項式時，分子、分母的公因式是分子、分母系數的最大公約數和相同字母的最低次冪的積；當分子、分母是多項式時，應先將多項式因式分解，再根據確定公因式的方法確定公因式；
（2）根據分式基本性質，分子分母都除以它們的公因式；
（3）最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫作最簡分式。
4.分式的約分，一般要約去分子和分母所有的公因式，使所得結果成為最簡分式或整式。
三、分式的通分、最簡公分母
1.分式的通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式叫作分式的通分。
2.通分的依據：分式的基本性質。
3.最簡公分母：異分母的分式通分時，一般取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母叫作最簡公分母。
4.確定最簡公分母的方法：
（1）取各分母的系數的最小公倍數；
（2）各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到；
（3）相同字母（或因式）的冪取指數最大的；
（4）所得系數的最小公倍數與各字母（或因式）的最高次冪的積即為最簡公分母。
5.約分與通分的聯系與區別
（1）聯系：約分與通分都是根據分式的基本性質，對分式進行恒等變形，即每個分式變形之后都不改變原分式的值；
（2）區別：約分是針對一個分式來說的，而通分是針對兩個或兩個以上的分式來說的，通分可使異分母分式化為同分母分式。
【例1】 下列各式從左到右的變形一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查分式的基本性質，掌握分式的基本性質是解題關鍵．利用分式的基本性質，分子分母都乘以或除以同一個不為零的數分式的值不變，依此判斷即可．
【詳解】解：A.、，缺條件，從左到右的變形不正確，故本選項不符合題意；
B、，原式從左到右的變形不正確，故本選項不符合題意；
C、，原式從左到右的變形不正確，故本選項不符合題意；
D、從左到右的變形正確，故本選項符合題意．
故選擇：D．
【例2】 下列約分正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了約分，根據分式的基本性質進行約分計算，然后作出判斷．
【詳解】解：A. ，故此選項不符合題意；
B.，故此選項不符合題意；
C. ，正確，符合題意；
D.的分子分母中不含有公因式，不能進行約分，故此選項不符合題意，
故選：C．
選擇題
1．如果將分式中的和都擴大為原來的2倍，那么分式的值（ ）
A．縮小為原來的 B．擴大為原來的4倍
C．擴大為原來的2倍 D．縮小為原來的
2．使得等式成立的m的取值范圍為（ ）
A． B． C．或 D．
3．下列分式中最簡分式是（ ）
A． B． C． D．
4．寫出一個與分式相等的分式，下面正確的（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式從左到右的變形正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．若將分式中的x與y都擴大為原來的3倍，則這個代數式的值（ ）
A．擴大為原來的3倍 B．不變
C．縮小為原來的 D．縮小為原來的
7．分式與的最簡公分母是（ ）
A． B． C． D．
8．下列代數式中最簡分式是（ ）
A． B． C． D．
9．下列分式的變形正確的是（ ）
A． B． C． D．
10．根據分式的性質，分式可變形為（ ）
A． B． C． D．
填空題
11．，， 的最簡公分母是 ．
12．根據分式的基本性質填空：
（1），橫線處應填：
（2），橫線處應填：
（3），橫線處應填：
13．分式化簡后的結果為 ．
14．如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且這個分式是最簡分式，那么我們稱這個分式為“和諧分式”．下列分式中，是“和諧分式”的是 （填序號）．
①；②；③；④．
15．當時， ．
三、解答題
16．計算:
(1)
(2)
17．（1）約分：；
（2）通分：，．
18．已知，代數式：，，．
(1)在A，B，C中任選一個代數式因式分解；
(2)在A，B，C中任選兩個代數式，分別作為分子、分母，組成一個分式，并化簡該分式．
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
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